1 newtonsche mechanik kontinuierlicher systeme kapitel v
TRANSCRIPT
![Page 1: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/1.jpg)
1
Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme
Kapitel V
![Page 2: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/2.jpg)
2
a) Haftreibung reale, rauhe OberflächeF
NF
Normalkraft
F FH Körper haftet
F FH Körper gleitet
Empirisch: FμF NHH H HaftreibungskoeffizientExp. Test:
HFF
NF
HFF
NF
NF2
HF2F
V.1.1. ReibungV.1. Eigenschaften realer Festkörper
![Page 3: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/3.jpg)
3
Messung von μH :
αH
m
gm
HF
NF
αH
αH Winkel beim
Losrutschen
NHHNH FμαtanFF !
HH αtanμ
![Page 4: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/4.jpg)
4
BF
Bremskraft ( Seilspannung )
Beispiel: Haftreibung eines Fixierungsseils
Belasteter Stab, Poller, Abseilkarabiner, ...
n Windungen
Seil
F
Kraft durch Last am Stab
Stabquerschnitt
Infinitesimales Seilstück
F(φ) F(φ)Spannung
φ
dφ
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
Nachbarseilstück:
F(φ dφ) F(φ) dF
φ dφ
Tafelrechnung Hμnπ2
B eFF
![Page 5: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/5.jpg)
5
b) Gleitreibung
Empirisch: FμF NGG
G Gleitreibungskoeffizient
reale, rauhe Oberflächev
NF
Normalkraft
GF
vμμ GG vμvμ HG
Hinreichend kleine Geschwindigkeiten: Gv const.
Große Geschwindigkeiten: Gv wächst mit v
![Page 6: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/6.jpg)
6
bzgl. Drehung um Finger 1
Experiment: Stock auf zwei Fingern
Stockm S
Finger 1 Finger 2
a b
F mg M a·F
F1
F2 M2 ( a b )·F2
Gleichgewicht:gmF,gmF ba
b1ba
a2
a b ① rutschtb a ② rutscht
Treffpunkt im Schwerpunkt
![Page 7: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/7.jpg)
7
c) Rollreibung
Empirisch: FμM NRR
R Rollreibungskoeffizient
Deformation (übertrieben) bremsendes Drehmoment
NF
αR Winkel beim
Losrollen
αR
m
gm
RF
NF
αR
r
i) Haftung:
RRNR
RR
RR
αcosgmμFμαsinrgmM
αsingmF
RR αtanrμ
Beobachtung: R ≪ H
![Page 8: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/8.jpg)
8
ii) Rollvorgang: vμμ RR Experiment: Vergleich zwischen Gleiten und Rollen:
1rμ
μ
rM
F
F
F
R
G
R
G
R
G
Große technische Bedeutung: Kugellager, Schmiermittel, Autoreifen, Bohren, Drehen, Fräsen,
GF
m
r
Gleiten
m
r
Rollen
RF
![Page 9: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/9.jpg)
9
V.1.2. Deformationen von FestkörpernWesentliche Einschränkung: betrachte nur isotrope, homogene KörperAllgemeine Theorie: Landau, Liftschitz („Elastizitätstheorie”)
Hookesches Gesetz: εEσ E Elastizitätsmodul , Materialeigenschaft, E 1 N m2
... Druck, ,Temperaturε,EE unabhängig von Geometrie (A und L)
a) Elastizitätsmodul, Hookesches Gesetz
A
Feste Wand
L F
A Querschnitt F
Def.: Zugspannung
Relative Dehnung
AFσ
LLΔε
Kraft pro „Elementarfaser”
Dehnung pro „Elementarfeder”
![Page 10: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/10.jpg)
10ε
σ
ProportionalitätsbereichProportionalitätsbereich
Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)
Nichtlinearer Bereich (fast elastisch)
Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)
Nicht-elastischer Bereich (plastische Verformung)
ReißenReißen
Hookesches Gesetz: εEσ gültig im elastischen Bereich
.constεE0ε Taylor-
Entwicklung Proportionalbereich
![Page 11: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/11.jpg)
11
Beispiel: Kerbspannung
F
ΔL / L groß
Kerbspannung
![Page 12: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/12.jpg)
12
Elastische Hysterese und elastische Nachwirkung:
ε
σ
elastische Nachwirkung dεσFläche dεσFläche
Plastische Verformungsarbeit ( Wärme) pro Volumen
Tafelrechnung
![Page 13: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/13.jpg)
13
b) Querkontraktion
L
D
L dL
D dD
Def.: Poissonzahl
LLd
DDdμ
0,5μ0μ21εV
Vd
Volumenzunahme:D
Dd2
L
Ld
V
VdDLV 2
ε ε2μ
Zugspannung
![Page 14: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/14.jpg)
14
c) Kompressionsmodul
dF p dA
dF p dA
dF p dA
dANormalkraft
FlächeDef.: Druck p
Pascal1Pa1mN1p 2
Def.: Kompressibilität
Kompressionsmodul
pd
Vd
V
1 κ
κ
1K
![Page 15: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/15.jpg)
15
Zusammenhang zwischen E, und K:
μ21E
3
K
1 κ
Beweis:
dFdF
A
μ21AE
Fdμ21
E
σμ21ε
V
dV
μ21E
pd3μ21
AE
Fd3
V
dV dFdF
dF
dFdF
dF pd AFd
μ21E
3
pd
Vd
V
1κ q.e.d.
![Page 16: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/16.jpg)
16
d) Scherung und Torsionsmodul
Tangentialkräfte ScherungFFläche A
αDef.: Schub- / Scherspannung
AFτ
αGτ
Hookesches Gesetz:
(für hinreichend kleine )
G Schub- / Scher- / Torsionsmodul , G 1 N m2 rad1
EGEμ12
EG 3
121
Beweis: Bergmann Schaefer
![Page 17: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/17.jpg)
17
L
r
Feste Einspannung
dünnes, langes Drahtseil
φ
d dr
α
Fd
Torsionsschwingung Messung von G(vgl. Tafelrechnung)
Rücktreibendes Drehmoment
DMel
Richtmoment
GL2
rπD
4
mit
FdrMd
![Page 18: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/18.jpg)
18
Realisierung als Drehpendel:
ωIL ω
z
ωIL ω
z
Bewegungsgleichung der Drehbewegung:
eltdLd Mz eltdLd Mz
Def.:
Tafelrechnung Schwingungperiode T
2r
π2GπLI2T 2r
π2GπLI2T
Draht
Trägheitsmoment I
φ
z
L
![Page 19: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/19.jpg)
19
Beispiel: Einseitig eigespannter Balken
s
gedehnt
gestaucht
Querschnitt A( unabhängig von s )
x
y
homogen
yN
0
feste Einspannungzz eFF
0 L
b Biegepfeil
e) Biegung Messung von E
Näherung kleiner Biegung: sf,1sf sρ1
Neutrale Faser: f(s)Neutrale
Faser: f(s)z
![Page 20: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/20.jpg)
20
neutrale Faserneutrale Faser
s s Δs
ρ(s)
Δs
Δs Δℓ
gedehnte Faser
gedehnte Faser
y – yN
sρ
ΔsΔ sρ
ΔsΔ
dx·dy
elFd
elastische Gegenkraft
elastische Gegenkraft
zur Tafelrechnung:
![Page 21: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/21.jpg)
21zz eFF
s
gedehnt
gestaucht
Querschnitt A( unabhängig von s )
x
y
homogen
yN
0
feste Einspannung
0 L
b Biegepfeil
Neutrale Faser: f(s)Neutrale
Faser: f(s)
sδsγsβαsf0sf 324 sδsγsβαsf0sf 324
bF
ssL3sf
3
z
L
IE3z
2IE6
F
bF
ssL3sf
3
z
L
IE3z
2IE6
F
Randbedingungen
Biegekurve:
z
A
2NyydydxI
Flächenträgheitsmoment
![Page 22: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/22.jpg)
22
V.2. Eigenschaften von Flüssigkeiten und Gasen
• Statik Gleichgewichtszustände, zeitunabhängig
• ideale Flüssigkeit ohne Arbeit verformbar bei Volumen const.
• reale Flüssigkeit Oberflächenkräfte und innere Reibung
• Gase Form- und Volumenänderung bei kleinem Energieaufwand
V.2.1. Oberfläche der idealen Flüssigkeit
Ideale Flüssigkeit
dV an Oberfläche
NF
TF
F
Tangentialkraft entlang der Oberfläche
VerschiebungTF
Statik 0F T
![Page 23: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/23.jpg)
23
Beispiel: Rotationsparaboloid
z
ω
z0
r m
F
mω2r
mg
α
α
rd
zd
g
rω
gm
rωmαtan
22
22
0 rg2
ωzrz
Betrachtung im körperfesten
System
![Page 24: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/24.jpg)
24
V.2.2. Statischer Druck (ohne Schwerkraft) Äußere Kraft
A
F
A
Fp :Druck
Fd dV
dx
p(x) p(x dx)
dA
VdAdxd
AdxdxpAdxpFd
xp
xp
x
dVpgradFd
dVpgradFd
Druckkraft:
Statik: 0f
.constp .constp
pgradf VdFd
pgradf VdFd
Kraftdichte:
p potentielle Energiedichte
![Page 25: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/25.jpg)
25
2s
Anwendung: Hydraulische Presse
1F
1A 1s2A
2F
Externe Kraft
Interne Kraft
11AA
2AF
AF FFFp
1
2
2
2
1
1 aber 11AA
2 sss2
1
![Page 26: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/26.jpg)
26
V.2.3. Kompressibilität
pd
Vd
V
1 κ in Flüssigkeiten i.a. sehr klein:
Nm105 κ 1210OH2
Flüssigkeiten oft annähernd inkompressibel, d. h.
Dichte .constpρ Vdmd
![Page 27: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/27.jpg)
27
Anwendung: Schweredruck
0
z
H
dA
Fd
ρ
dA HgρdF dA HgρdF 0dVpedVgρ z
ρg
0
zp
yp
xp
p const. bei konstanter Tauchtiefe
zHgρzp Tauchtiefe
![Page 28: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/28.jpg)
28
Folgerung: Hydrostatisches Paradoxon
Identische Bodendrücke
ρρρ ρ
Anwendung: Kommunizierende Röhren Demo-Exp.
![Page 29: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/29.jpg)
29
h1
h2
h~ρ1
ρ2
Anwendung: Dichtewaage
AF1 F2
F1 = F2F1 = F2
h~
hgρh~
gρhgρ 22111
h~
h
h~
h
ρ
ρ
1
2
2
1
h~
h
h~
h
ρ
ρ
1
2
2
1
![Page 30: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/30.jpg)
30
V.2.4. Auftrieb
Archimedisches Prinzip:Die Auftriebskraft ist gleich
dem Gewicht der/des verdrängten Flüssigkeit/Gases
gmK
AFAuftriebskraft
ρ
ρKmK
Schwerkraft oder Trägheitskraft, wenn System beschleunigt bewegt
GF A
dA
Beweis: ( hier für kleinen Quader )( allgemein Gaußscher Integralsatz )
ze
dz
dV dm
p(zdz)
p(z)
zA edAdzzpzpFd
dzzρg
zedVzρg
dm
.d.e.q,GdedmgFd zA
Flüssigkeit oder Gas
![Page 31: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/31.jpg)
31
Folgerung:
K Fl Körper sinkt zu Boden
K Fl Körper schwimmt (partielles Eintauchen)
K Fl Körper schwebt
![Page 32: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/32.jpg)
32
Beispiel: Eisberg
T = 0 ºC
Eisberg10 %
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
lkg1,05ρ
lkg0,95ρ
Salzwasser
Eis
![Page 33: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/33.jpg)
33
V.2.5. GasdruckGase sind komprimierbar p
(Empirisches) Gesetz von Boyle-Mariotte
p V const. bei konstanter Temperatur T
x
Druck p Volumen V x
Experiment:
p x1
![Page 34: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/34.jpg)
34
T.constVp Folgerungen:
• Kompressibilität
p
V
p
Vp
p
.const
dp
dV22
T
p
1
pd
Vd
V
1κ
T
• Dichte
pV
1
V
Mρ
TTT
ppρ bei T const.
• Barometrische Höhenformel ( Tafelrechnung )
zexp0pzp 0p
g0ρ zexp0ρzρ 0p
g0ρ
![Page 35: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/35.jpg)
35
V.2.6. Luftdruck
ρ
Luftdruck p
Vakuum
gρ
pΔh
Messung mit Quecksilbersäule:
Def.: 1 Torr 1 mm Hg-Säule
Umrechnung: 1 Torr 133,3 Pa
Def.: Der Normaldruck von
wird als 1 physikalische Atmosphäre bezeichnet
Pa101325Torr760
![Page 36: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/36.jpg)
36
V.2.7. Grenzflächen einer (realen) Flüssigkeit
0FR
EE InnenpotOberflächepot
Def.: Sei W die Arbeit, die für die Vergrößerung der Oberfläche um A aufgebracht werden muss. Dann heißt
spezifische Oberflächenenergie der Flüssigkeit.
ΔA
ΔWε mJ1ε 2
![Page 37: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/37.jpg)
37
σL2
Fε
L
s
F
Flüssigkeitshaut
Messung der spezifischen Oberflächenenergie:
dAεdsFdW
dsL2dA
2 Oberflächen
εL2F
Def.: Oberflächenspannung tangentiale Zugkraft pro Länge der Begrenzungslinie der Oberfläche
![Page 38: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/38.jpg)
38
F
Wasserhaut
hr
Beispiel: Messung der Oberflächenspannung
σrπ22F (Gewicht der Haut vernachlässigt)
![Page 39: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/39.jpg)
39
Minimalflächen:Bei vorgegebenen Randlinien nimmt die Flüssigkeitshaut die zweidimensionale Form mit minimaler Energie an. Bei vernachlässigtem Gewicht ist dies eine Fläche mit (lokal) minimalem Flächeninhalt, eine Minimalfläche. Unberandete Flüssigkeiten bilden also Kugeltropfen.
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf1.htm
http://www.uni-regensburg.de/Fakultaeten/nat_Fak_I/sammlung/mnf2.htm
![Page 40: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/40.jpg)
40
Seifenblasen:
r
p p
p
Seifenblase
Aufblähen: rdrr
rdrπ16rπ42ddA 2
rdεrπ16AdεdWOb
rdrπ4pΔdW 2pΔ
dWp dWOb: Blase expandiert
dWp dWOb: Blase schrumpft
dWp dWOb: Blase stationär r
1
r
ε4pΔ
Experiment: Kleine Blase bläst große Blase auf
![Page 41: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/41.jpg)
41
V.2.8. Grenzflächen zwischen verschiedenen Medien
Medium i
Medium k
Kohäsionskräfte
Kohäsionskräfte
Adhäsionskräfte
Def.: Grenzflächenspannung
εσ kiki
ik Energieaufwand pro Grenzflächenvergrößerung
![Page 42: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/42.jpg)
42
Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf
1Wand
2 Flüssigkeit
3 Dampf
σ13Achse
σ12Achse
σ23Achseφ
23 23 0 (sonst Verdampfung)12 0 Adhäsion12 Kohäsion2
12 0 Adhäsion12 Kohäsion2
• analog für 13
![Page 43: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/43.jpg)
43
Beispiel: Wand, Flüssigkeit, Dampf
1Wand
2 Flüssigkeit
3 Dampf
σ13Achse
σ12Achse
σ23Achseφ
Grenzwinkel:
cosσσσ 231213
23
1213
σ
σσcos
![Page 44: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/44.jpg)
44
23
1213
σ
σσcos
Def.: 13 12 Adhäsionsspannung 23 cos
13 12 0 90º
13 12 0 90º
13 12 23 vollständige Benetzung
![Page 45: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/45.jpg)
45
V.2.9. Kapillaren
φ
benetzende Flüssigkeit
2r
Kapillareh
φ
dF = σ · dl
Kapillare enges Rohr ( Flüssigkeitsoberfläche hat nur Randbereich)
Kraft nach oben: cosσrπ2
Adhäsionsspannung
Kraft nach unten: hrπgρ 2
Gleichgewicht:
r
1
rgρ
cosσ2h
![Page 46: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/46.jpg)
46
Kapillare Depression bei nicht-benetzenden Flüssigkeiten:
nicht-benetzende Flüssigkeit
2r
Kapillare
h
r
1
rgρ
cosσ2h
0h90
![Page 47: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/47.jpg)
47
h
Kapillarwirkung zwischen Platten (breit, parallel, kleiner Abstand)
L
d
hdLgρcosσL2
d
1
dgρ
cosσ2h
![Page 48: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/48.jpg)
48
2α
Folgerung: Flüssigkeit im Keil
Platten
x0
tanα2xxd
dgρ
cosσ2h
x
1
αtangρ
cosσh
Hyperbel
![Page 49: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/49.jpg)
49
V.2.10. Innere Reibung in Flüssigkeiten und Gasen
Bewegungslinien der Volumenelemente
Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung
Abgleiten dünner Schichten ohne Verwirbelung
Def.: Laminare (schlichte) Strömung
Gegensatz: Turbulente Strömung
![Page 50: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/50.jpg)
50
dVdAdx
x
vηFdFdFd
2
2
12R
dAx
vηFd
1,2x1,2
rv
dV
1Fd
2Fd
xx1 x2 = x1+dx
dA
Def.: Innere Reibung im Strömungsfeld : rv
Reibungskräfte zwischen den Randschichten
1,2Fd
allgemein rvΔηf
dVrvΔηFd
R
R
Viskosität (Zähigkeit)
msN1η 2
![Page 51: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/51.jpg)
51
Anwendung: Kapillarviskosimeter
Rp1
p2
L
rv
Gleichgewicht: Reibungskraft = Druckkraft
4η
rR
|p|
L
ppr v
2221
4η
rR
|p|
L
ppr v
2221
Parabel
Durchfluss: rdrπ2rvIR
0tdVd
Hagen-Poiseulle-Gesetz
ηR
η8Rπ 44
pI
![Page 52: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/52.jpg)
52
ρfl η
Ruhende Flüssigkeitssäule
2rρK
v0
Gleichgewichts-Geschwindigkeit
Anwendung: Kugelfallviskosimeter
Schwerkraft: gρρπrF flK3
34
g
Auftrieb
Reibungskraft (kleine Kugeln):
0R vrηπ6F Stokessches Gesetz:
Kräfte-Gleichgewicht
ηr
flKηr
92
0
22
ρρgv
![Page 53: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/53.jpg)
53
V.2.11. Strömungen in idealen & realen Flüssigkeiten(gilt auch für Gase)
A) Grundbegriffe
Stromröhre:
Stromlinie(Stromfaden)
t,rv
t,rv
Stomröhre: Gesamtheit der Stromlinien durch einen Querschnitt
Strömungsfeld:
Stationäres Strömungsfeld: (zeitlich konstant) Stromlinien entlang
rv
rv
![Page 54: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/54.jpg)
54
Stromlinie(Stromfaden)
t,rv
Laminare Strömung: ist wirbelfrei. Stromfäden liegen nebeneinander.
Reibungskräfte ≫ beschleunigende Kräfte.
Turbulente Strömung: ist nicht wirbelfrei.Große Reibung an Berandungen. Kleine innere Reibung.
v
v
![Page 55: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/55.jpg)
55
B) Kontinuitätsgleichung
Annahme: Flüssigkeitsmasse wird weder erzeugt noch vernichtet
Massenbilanz während dt (nur x-Richtung):
x x dx
dV t,rρ
dA
tz,y,x,vx tz,y,dx,xvx
xxin dAdtvρdm dxxxaus dAdtvρdm
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
![Page 56: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/56.jpg)
56
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
dt dV
dAdxvρx
dmdmdm xausinx
Gesamtmassenbilanz für dV während dt:
dt dVvρdmdmdmdm zyx
Folge:
tdvρt,rρVd
mddVt,rρ tdt,rρtd
t
ρt,rρ
0vρt
ρ
Kontinuitätsgleichung:
vρdivvρ
![Page 57: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/57.jpg)
57
0vρt
ρ
Kontinuitätsgleichung:
Def: Stromdichte t,rvt,rρj
Massenfluss durch Fläche v
0jt
ρ
Kontinuitätsgleichung:
Folgerung:
Wenn die Masse in dV abnimmt, ... fließt Masse aus dV hinaus
![Page 58: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/58.jpg)
58
Wasserrohre mit veränderlichem Querschnitt:
A1
A2
Strömung
ideale Flüssigkeit
1v
2v
Inkompressible Flüssigkeit: ρ = const. 0vdiv
Äquivalent: Während dt gilt dVein dVaus
dtvA 11 dtvA 22
A
A
v
v
1
2
2
1 A
A
v
v
1
2
2
1
Anders ausgedrückt: MtdMd
tdVd
tdd IρAρAvρ.const
Die Massenstromstärke IM ist konstant.
![Page 59: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/59.jpg)
59
C) Die Bernoullische Gleichung
ρv
Lokaler Druck p(hydrodynamischer Druck)
Annahmen:
1. ideale Flüssigkeit η 0 v const. entlang Rohrquerschnitt
2. inkompressible Flüssigkeit ρ const.
3. Keine Schwerkraft ( kein Rohrgefälle )
![Page 60: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/60.jpg)
60
Energiedichten: dV
dEε
dV
dEε
dxA
dV A·dx
F(x) F(xdx)v
dVdxdx
dp
dxAxpdxxp
dxxFdxxFdVdεp
Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )
Potentielle Energiedichte: εp = p( Nullpunkt willkürlich bei p = 0 )
221
kin v
dm
dVρdVε Kinetische Energiedichte: Kinetische Energiedichte: 221
kin vρε
const.εε kinp
Bernoulli-Gleichung:
const.pvρp 02
21
![Page 61: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Beispiel: Pitot-Rohr
p
p0
vρ
h p ρ g h
Statischer Druck
Statischer Druck
Gesamtdruck ( Staudruck )
Gesamtdruck ( Staudruck )
ρvpp 221
0 ρvpp 221
0
![Page 62: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/62.jpg)
62
v
Erweiterung: Rohre mit Gefälle im Schwerefeld
z
x
g z(x)
const. xzgρρvp 221 const. xzgρρvp 221
Potentielle Energiedichte im Schwerefeld
Potentielle Energiedichte des hydrodynamischen Drucks
Kinetische Energiedichte der Strömung
![Page 63: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/63.jpg)
63
Anwendung: Druckverteilung in Rohren
ρ
v
hhh Δh
221 vΔρΔhgρΔp
Reibung zusätzliches kontinuierliches Druckgefälle
![Page 64: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/64.jpg)
64
Anwendung: Zerstäuber
Luft
Unterdruck
![Page 65: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Anwendung: Wasserstrahlpumpe
Rohr
VakuumgefäßAnsaugstutzen
p0
Luft
0pp 0pp
Wasser, sehrlangsam bewegt
Wasser, sehrschnell bewegt Außenluftdruck p
![Page 66: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/66.jpg)
66
Anwendung: Aero-/Hydrodynamisches Paradoxon
d
Luft, v1
v2
222
1 vρΔp
d 0 v2 Unterdruck überwiegt
Schwerkraft
Chladnische Pfeife
![Page 67: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/67.jpg)
67
Anwendung: Aerodynamischer Auftrieb
Flügel
Zirkulationsströmung
Luftströmung (Fahrtwind)
v1 v2
v2
Auftrieb
![Page 68: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/68.jpg)
68
Anwendung: Magnus-Effekt
Laminare Strömung Zirkulationsströmung durch Drehung
Auftrieb
v2
v1 v2
![Page 69: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/69.jpg)
69
Anwendung: Prandtlsches Staurohr
Luftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
p
p0
Flüssigkeit
221
0 vρpp
![Page 70: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/70.jpg)
70
Keine Angst!
D) Die reale viskose Flüssigkeit
Navier-Stokes-Gleichung
vΔηgρpvvρ t
Änderung der Impulsdichte Druck-kraftdichte
Schwerkraft-dichte
Reibungs-kraftdichte
Spezialfall 0 Euler-Gleichung
Interessanter Term: vvvvv 221
Geschwindig-keitsänderung
Wirbelbildung und Dynamik
Wirbelfreie (laminare) Strömung 0v
![Page 71: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/71.jpg)
71
Woher kommt ? vvρ t
• Betrachte Punktmasse dm im Medium• Bahnkurve von dm:• 2. Newtonsches Axiom
tr
vvdmvvdm
dmtr,tvdmFd
t
3
1jrjt
3
1jt
r
rv
tv
tdd
j
j
j
eKraftdichtfvvρ t
![Page 72: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Wirbelbildung: Wände/Kanten mit großer Haftreibung großvΔ
v kleinkeine Reibung
laminar
v großOberflächenreibung
turbulent
S1 S2
QS1 S2
W Δp
S1: v 0 p(S1) = p0
Q: v max p(Q) = min p0
S2: v 0 p(S2) = p0
• Reibung v(W) 0
• Vakuum bei S2 Wirbel
• v groß in Wirbeln p bei S2 p bei S1 „Druckwiderstand“
Beispiel: Umströmter Kreiszylinder
![Page 73: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/73.jpg)
73
Beispiel: Kantenwirbel
Rohr Kantenwirbel
runde, scharfkantige Öffnung
MembranWirbelring
![Page 74: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/74.jpg)
74
Wirbelstärke:Wirbelfläche A
Winkelgeschwindigkeit
Definition: Die Größe
Ω·A bzw.
heißt (integrierte) Wirbelstärke
A
AdΩ
Helmholtzscher Wirbelsatz: In einer reibungsfreien Flüssigkeit ist die Wirbelstärke zeitlich konstant. Wirbel können weder entstehen noch vergehen.Anschaulich: Wegen Drehimpulserhaltung. Wirbel verhalten sich wie rotierende starre Körper.
.constρ
![Page 75: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/75.jpg)
75
De-Mystifizierung der Wirbelstärke:
gρptr,tvρ tdd
Euler-Gleichung:
Euler-Gleichung:
0vρ
tr,t
in t .const|v tr,t
Inkompressibel:
.const|vtr,t tr,t21
Wirbelstärke:
Bildliche Interpretation (s.o.): aus Stokes-Integralsatz
![Page 76: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/76.jpg)
76
E) Turbulente Strömung und StrömungswiderstandLuftströmung (Fahrtwind)
ρ
v
A
Wirbelstraße
Reibung Wirbel reißen ab Wirbelstraße
Druckwiderstand Reibungswiderstand
Bernoulli-Gleichung 2
2ρ vΔp
AvcF 22ρ
WW ParametrisierungFW Widerstandskraft
cW Widerstandsbeiwert
![Page 77: 1 Newtonsche Mechanik kontinuierlicher Systeme Kapitel V](https://reader036.vdocuments.mx/reader036/viewer/2022062307/55204d6749795902118bd87a/html5/thumbnails/77.jpg)
77
F) Ähnlichkeitsgesetze
Längenskala L , Zeitskala T
dimensionslose Größen:
ppLvvt 2
LT
ρ1
LT
Tt
Navier-Stokes-Gleichung: vRe
1pvv
t
v
Tη
LρRe
2
mit Reynoldsche Zahl
Folge: Zwei Strömungen sind ähnlich, d. h. relativ skaliert in Raum und Zeit, wenn Re in beiden Fällen identisch ist und die Dimensions-verhältnisse (Gefäße, Objekte) ebenso relativ skaliert sind.
Anwendung: Modelltests im Windkanal