1 letnik matematika2018/12/01 · matematika 1 skripta je namenjena kot dodatek k predavanjem...

Izobraževalni program: - srednješolsko izobraževanje

Vsebinski sklop:

MATEMATIKA 1

Skripta je namenjena kot dodatek k predavanjem avtorja. Kakršnakoli druga uporaba je dovoljena le s pisno privolitvijo avtorja. Reprodukcija tega dela (fotokopiranje) lahko uporablja le s pisno privolitvijo avtorja. Besedilo ni lektorirano.

Litija, september 2012

IZOBRAŽEVALNI CENTER GEOSS D.O.O., LITIJA

ˇ

Poklicna matura preverja poznavanje nekaterih pojmov, ki so opisani tudi v kataloguznanja za matematiko. Te cilje bom preverjal tudi na posameznem izpitu, zato sole-ti našteti tudi spodaj.

Kaj moram znati - cilji preverjanja za POM:

1. Računati z naravnimi in celimi števili in uporabljati zakonitosti računskihoperacij v naravnih in celih številih.

2. Računati s potencami z naravnimi eksponenti ter uporabljati pravila za računanjez njimi.

3. Računati z algebrskimi izrazi (potencirati dvočlenik, razcepiti razliko kvadra-tov, razliko in vsoto kubov, uporabljati Vietovo pravilo).

4. Poiskati večkratnike in deljitelje naravnih in celih števil.

5. Poznati relacijo deljivosti.

6. Poznati in uporabljati osnovni izrek o deljenju.

7. Poznati praštevila in sestavljena števila.

8. Dano število razcepiti v produkt praštevil.

9. Poiskati največji skupni deljitelj števil.

10. Poiskati najmanǰsi skupni večkratnik števil.

11. Ugotoviti, ali je število deljivo z 2, 3, 5, 9 in 10.

12. Računati s številskimi in algebrskimi ulomki.

13. Zapisati racionalno število z decimalno številko.

14. Zapisati periodično decimalno število kot okraǰsani ulomek.

15. Računati s potencami s celimi eksponenti ter uporabljati pravila za računanjez njimi.

16. Računati s koreni.

17. Delno koreniti.

18. Racionalizirati imenovalec.

19. Zapisati koren v obliki potence in obratno.

20. Računati s potencami z racionalnimi eksponenti.

21. Rešiti linearne enačbe.

22. Rešiti linearne neenačbe.

23. Rešiti sistem dveh linearnih enačb.

24. Rešiti besedilno nalogo z uporabo linearne enačbe in sistema dveh enačb zdvema neznankama.

Gradivo k predavanjem 2

,

Kazalo

1 Naravna in cela števila 51.1 Naravna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.2 Cela števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.3 Urejenost naravnih in celih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.4 Vrstni red računskih operacij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Potence z naravnimi eksponenti 102.1 Pravila za računanje s potencami . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.1.1 Seštevanje in odštevanje potenc . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.2 Množenje potenc . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2 Predznak potence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.3 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

3 Izrazi 163.1 Poenostavljanje izrazov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

3.1.1 Kvadrat dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 173.1.2 Kub dvočlenika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3.2 Razstavljanje izrazov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.1 Razstavljanje z izpostavljanjem skupnega faktorja . . . . . . . 193.2.2 Razlika dveh kvadratov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.3 Vsota in razlika dveh kubov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.4 Vietovo pravilo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 203.2.5 Razstavljanje štiričlenikov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3.3 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

4 Deljivost v naravnih in celih številih 264.1 Kriteriji deljivosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 274.2 Praštevila in sestavljena števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 284.3 Največji skupni delitelj in najmanǰsi skupni večkratnik . . . . . . . . 294.4 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

5 Ulomki in racionalna števila 335.1 Upodabljanje racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.2 Razširjanje in kraǰsanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 355.3 Urejenost racionalnih števil . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 365.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.5 Množenje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.6 Deljenje ulomkov . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.7 Računska praksa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.8 Računanje z algebrskimi ulomki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.9 Decimalna števila . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.10 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

6 Potence s celimi eksponenti 476.1 Pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti . . . . . . . . . 496.2 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

Gradivo k predavanjem 3

ˇ

7 Kvadratni in kubični koren 527.1 Pravila za računanje s kvadratnim in kubičnim korenom . . . . . . . 537.2 Delno korenjenje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.3 Racionalizacija imenovalca . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 557.4 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

8 Potence z racionalnimi eksponenti 588.1 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9 Enačbe 599.1 Linearne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 609.2 Linearne neenačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 619.3 Razcepne enačbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 629.4 Sistemi dveh linearnih enačb z dvema neznankama . . . . . . . . . . . 64

9.4.1 Zamenjalni način reševanja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 649.4.2 Metoda nasprotnih koeficientov . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

9.5 Vaje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

Gradivo k predavanjem 4 Matematika 1. del

ˇ

1 Naravna in cela števila

1.1 Naravna števila

Naravna števila so: 1, 2, 3,...

Množico vseh naravnih števil označimo z N in pǐsemo

N = {1, 2, 3, ...}.V naravnih številih lahko seštevamo in množimo. ← Pomni:

Kadar seštevamo,pravimo posameznimštevilom členi.Ko pa jih množimo,jih imenujemo faktorji.

Računski operaciji seštevanja in množenja v naravnih številih imata nekaj lastnosti,ki jih lahko s pridom uporabimo pri računanju.

Te lastnosti ali računski zakoni so:

• zakon o združevanju: ← S tujko:Asociativnostni zakon

a · b · c = (a · b) · c = a · (b · c)a + b + c = (a + b) + c = a + (b + c)

Ta zakon nam pove, da je pri seštevanju (ali množenju) treh ali več številvseeno, kateri dve števili seštejemo (ali zmnožimo) najprej.

Zgled 1: Uporabi zakon o združevanju in izračunaj.

2 · 3 · 4 = (2 · 3) · 4 = 6 · 4 = 242 · 3 · 4 = 2 · (3 · 4) = 2 · 12 = 24

• zakon o zamenjavi: ← S tujko:Komutativnostni zakon

a · b = b · aa + b = b + a

Ta zakon nam pove, da vrstni red seštevanja (ali množenja) ni pomemben.

Zgled 2: Uporabi zakon o zamenjavi in izračunaj.

2 · 3 = 3 · 2 = 62 + 3 = 3 + 2 = 5

• zakon o razčlenjevanju: ← S tujko:Distributivnostni zakon

(a + b) · c = a · c + b · cTa zakon nam pove, kako lahko izračunamo vrednost izraza z oklepaji.

Zgled 3: Uporabi zakon o razčlenjevaju in izračunaj na dva načina.

(2 + 3) · 4 = (5) · 4 = 20(2 + 3) · 4 = 2 · 4 + 3 · 4 = 8 + 12 = 20


ˇ

1.2 Cela števila

Cela števila so: ..., -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...

Množico vseh celih števil označimo z Z in pǐsemo

Z = {...,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, ...}.

Cela števila delimo na negativna cela števila Z− = {...,−3,−2,−1}, število 0 inpozitivna cela števila Z+ = {1, 2, 3, ...}.

Nasprotno število: Število −a imenujemo nasprotna vrednost števila a. Takoje število −5 nasprotna vrednost števila 5, število 27 pa nasprotna vrednost števila−27. ← Pomni:

Nasprotna vrednost

V celih številih lahko seštevamo, odštevamo in množimo.

Za seštevanje in množenje v celih številih veljajo enaki računski zakoni kot za na-ravna števila (zakon o združevanju, zamenjavi in razčlenjevanju), za odštevanje pavelja le zakon o razčlenjevanju: (a − b) · c = a · c − b · c.

Zgled 4: Uporabi zakon o razčlenjevaju za odštevanje in izračunaj na dvanačina.

(2 − 3) · 4 = (−1) · 4 = −4(2 − 3) · 4 = 2 · 4 − 3 · 4 = 8 − 12 = −4

Premisli, zakaj ostala dva zakona ne (ali velja zakon o zamenjavi: 2 − 3 = 3 − 2 inali velja zakon o združevanju: 2 − 3 − 4 = (2 − 3) − 4 = 2 − (3 − 4)?).

1.3 Urejenost naravnih in celih števil

Naravna in cela števila lahko uredimo po velikosti, od najmanǰsega do največjega.To naredimo z relacijo �biti manǰsi�, za katero uporabljamo oznako 0,negativno z a < 0.

Zgled 5: Števila −3, 10,−54, 0, 11, 2004 uredimo po velikosti in pǐsemo:

−54 < −3 < 0 < 10 < 11 < 2004

Zgled 6: Zapis x < 10 označuje vsa števila x, manǰsa od števila 10. Število10 zapisu ne ustreza.

Včasih uporabljamo tudi druge oznake: > pomeni �biti večji�, ≤ pomeni �bitimanǰsi ali enak�, znak ≥ pa �biti večji ali enak�.


ˇ

Zgled 7: Števila −3, 10,−54, 0, 11, 2004 uredimo po velikosti od največjegado najmanǰsega in pǐsemo:

2004 > 11 > 10 > 0 > −3 > −54

Zgled 8: Števila −3, 10,−3,−54, 0, 11, 2004, 10, 2004 uredimo po velikosti inpǐsemo:

−54 < −3 ≤ −3 < 0 < 10 ≤ 10 < 11 < 2004 ≤ 2004

Zgled 9: Pǐsemo lahko tudi 4 ≤ 4, ker je 4 manǰse ali enako 4.

Naravna in cela števila lahko tudi upodobimo na številski premici. Pri tem so levood števila 0 upodobljena negativna števila, desno od števila 0 pa naraščajo pozitivnaštevila.

Iz upodobitve naravnih in celih števil na številski premici lahko zlahka ugotovimo,katero od dveh upodobljenih števil je večje oziroma manǰse: večje število je tisto, kije bolj desno.

Zgled 10: Števila −3, 0, 1, 4 upodobi na spodnji številski premici.

�

1.4 Vrstni red računskih operacij

Pri računanju moramo poleg zakona o združevanju, zakona o zamenjavi in zakona orazčlenjevanju upoštevati tudi vrstni red računskih operacij. Pri tem upoštevamo:

1. Najprej odpravimo oklepaje. Če so oklepaji vgnezdeni eden v drugem, najprejodpravimo najbolj notranje,

2. potem opravimo množenja

3. in šele na koncu seštevanja in odštevanja.

Slika 1: Vrstni red računskih operacij.


ˇ

Zgled 11: Izračunaj

1 + 2 · (3 · 4 + 5 · (6 + 7)) == 1 + 2 · (3 · 4 + 5 · 13) =

= 1 + 2 · (12 + 65) == 1 + 2 · 77 =

= 1 + 154 = 155

Zgled 12: Izračunaj

1 − 3 · (4 − 5 · (6 − 7)) == 1 − 3 · (4 − 5 · (−1)) =

= 1 − 3 · (4 + 5) == 1 − 3 · 9 =

= 1 − 27 = −26

Zaradi preglednosti izrazov znak za množenje v nekaterih primerih izpuščamo: ← Pomni:Kdaj izpuščamoznak za množenje.

Namesto pǐsemo2 · (x + 1) 2(x + 1)(x + 2) · 3 (x + 2)3

(x + 1) · (x − 3) (x + 1)(x − 3)a · b ab2 · b 2bx · 2 2x

1.5 Vaje

1. Izračunaj brez kalkulatorja in pri tem po potrebi uporabi računske zakone.

a) 23 + 68 + 235 + 27 + 265 + 32 =

b) 5 · 25 · 16 · 4 =c) (37 + 63) · 21 =d) (25 + 250) · 4 =

[R: a) 650, b) 8000, c) 2100, d) 1100]

2. Izračunaj.

a) 1 + (3 + 4(7 + 2)) =

b) 1 + (6 + 3(5 + 3)(4 + 2))2 =

c) ((4 + 3) + 3(1 + 5))2 =

d) 2 + (3 + 5(3 + 8))2 + 3 =

e) 2(3 + 4(4 + 8) + 2(1 + 9)) =

f) 7(1 + 2(3 + 4(5 + 6))2 + 2) =

g) 2(2 + 4(2 + 5) + 2(4 + 5(2 + 8))) + 1 =

h) (8 + 1)2 + 3(1 + 2(1 + 4(1 + 9) + 2) + 3) =

i) 3(3 + 2(3 + (5 + 3)3) + 3) =

j) (((4 + 4)4 + 4)3 + 4)2 + 9 =


ˇ

[R: a) 40, b) 301, c) 50, d) 121, e) 142, f) 1337, g) 277, h) 288, i) 180, j) 233]

3. Izračunaj.

a) −3(5 − (−3) · (−2) − 1) =b) 2 · (3 · (−2) − 5 · (−1)) =c) 3 · (2 · 4 − (4 · 1 − 2)) · (−5 − (−7)) =d) −3 · (2 + 3 · (−5) − (−7)) · (−3) =e) −2 · (3 + 6 · (−2) − 7) · (5 − 1 − (−8)) · 4 =f) 4 · 3 − 12 · (1 + 2 · (−5) − (−1)) · (−3) =g) (4 · 3 − (12 · (−1) + 2)) · (−5 − (−1)) · (−3) =h) 5 · (−4) − (5 − (−3) · (−2) − 6 · (−7)) · (3 − 4) =

[R: a) 6, b) −2, c) 36, d) −54, e) 1536, f) −276, g) 264, h) 21]

4. Izračunaj vrednosti izrazov.

a) 2 · (3 · (y − x) − 2 · (x − 2y) + y), za x = −1 in y = 2b) −2y + 3(3x − 5y + 2 · (x − 2y)), za x = 1 in y = −2c) −3 · (−1 · (2x − 3y) − (−4x + y) · (−1)), za x = −1 in y = −2d) 3x − 2 · (−5 · (x − 3y) − 7(−2x + 7y) − 4), za x = −1 in y = −1

[R: a) 42, b) 73, c) 6, d) −45]

Δ 5. Izračunaj.

a) 2

(2(5 + 1) + 2

(6 + 2

(1 + 2(1 + 1)

))+ 1

)=

b) 1 − 2(

5 −(1 − 3(5 − 7(2 − 1)) + 1))− 2(1 − 3) =

c) 2(−3) − 6(

10 − 10(5 − (−7)(−1)

))=

d) 1 −(

− (−1) − 2(

(−6)(−5)(−1) − (−2)))

·(

5 − (−2)(−3))

=

e) (−3) · (−5) −(− 3 · (7 − 9) + (−7) · (− 1 − 1 · (−3) + 1)) =

f) −1 − 2(

1 − 2(−2)(−3) − 2(3 − (−1)(−2))) =[R: a) 90, b) 11, c) −186, d) 58, e) 30, f) 25]


ˇ

2 Potence z naravnimi eksponenti

Produkt

3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3zapǐsemo kraǰse kot

315

in zapisu pravimo potenca. V splošnem:

a · a · a · . . . · a · a · a︸︷︷︸n faktorjev

= an

Številu a pravimo osnova potence, številu n eksponent potence, zapisu an pa po-tenca. ← Pomni:

osnovaeksponent

Potenca je torej le kraǰsi zapis produkta več enakih faktorjev. ← Pomni:Kaj je potenca?

Kaj lahko počnemo s potencami:

• zapisujemo velika števila: 15·1010 m = 150000000000 m je razdalja med Zemljoin Soncem.

• zapisujemo majhna števila (glej poglavje Potence z celimi eksponenti)• računamoZgled 1: Izračunaj vrednosti potenc.

a) 42 = 4 · 4 = 16b) 23 = 2 · 2 · 2 = 8 Pozor - pogosta napaka: 23 �= 6!!!c) 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81d) 27 = 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128e) 106 = 10 · 10 · 10 · 10 · 10 · 10 = 1000000 (milijon)

Zgled 2: Zapǐsi v obliki potence.

a) 27 = 3 · 3 · 3 = 33

b) 125 = 5 · 5 · 5 = 53

c) 16 = 2 · 2 · 2 · 2 = 24

d) 1000000000 = 109 (milijarda)

e) 216 = 6 · 6 · 6 = 63


ˇ

2.1 Pravila za računanje s potencami

Potence so sicer uporabne za zapisovanje velikih in majhnih števil ter za kraǰsezapisovanje produkta več enakih faktorjev, vendar pa se da z njimi tudi računati.

2.1.1 Seštevanje in odštevanje potenc

Potence lahko seštevamo in odštevamo le tedaj, kadar so enake. Seštevamo inodštevamo potence po spodnjem vzorcu. Več o seštevanju in odštevanju potencsi bomo ogledali v 3. delu: Izrazi.

Zgled 3: Seštej in preveri pravilnost računa.

a) 33 + 33 = 2 · 33 = 2 · 27 = 54b) 22 + 22 + 22 + 22 + 22 = 5 · 22 = 5 · 4 = 20c) 22 + 52 + 52 + 22 + 22 = 3 · 22 + 2 · 52 = 3 · 4 + 2 · 25 = 12 + 50 = 62d) x2 + x3 + x2 + x2 + x3 = 3x2 + 2x3

e) 2x2 + 6x3 + 3x2 + 7x2 + 9x3 = 12x2 + 15x3

2.1.2 Množenje potenc

• Množenje potenc z enakimi osnovami:

Zgled 4: Zmnoži oziroma izračunaj.

33 · 35 = 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 38


x4 · x3 = x · x · x · x · x · x · x = x7

odtod lahko izpeljemo formulo ← Pomni:Osnovo prepǐsemoeksponenta paseštejemoam · an = am+n

V besedi: Potenci z enakima osnovama zmnožimo tako, da osnovoprepǐsemo, eksponenta pa seštejemo.


ˇ

• Množenje potenc z enakimi eksponenti:


23 · 53 = 2 · 2 · 2 · 5 · 5 · 5 = 2 · 5 · 2 · 5 · 2 · 5 = (2 · 5)3 = 103


34 · x4 = 3 · 3 · 3 · 3 · x · x · x · x = 3 · x · 3 · x · 3 · x · 3 · x = (3x)4

odtod lahko izpeljemo formulo ← Pomni:Osnove zmnožimoeksponent paprepǐsemoan · bn = (a · b)n

V besedi: Potenci z enakima eksponentoma zmnožimo tako, dazmnožimo osnovi, eksponent pa prepǐsemo.

• Potenciranje potence:

Zgled 8: Potenciraj.

(52)3 = 52 · 52 · 52 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 56

Zgled 9: Potenciraj.

(x3)4 = x3 · x3 · x3 · x3 = x · x · x · x · x · x · x · x · x · x · x · x = x12

odtod lahko izpeljemo formulo ← Pomni:Osnovo prepǐsemoeksponenta pazmnožimo(an)m = an·m

V besedi: Potenco potenciramo tako, da osnovo prepǐsemo, ekspo-nenta pa zmnožimo.

2.2 Predznak potence

Pri računanju s potencami moramo biti še posebej pazljivi pri določanju predznaka,kadar potenciramo negativna števila. Za primer si vzemimo spodnja zgleda.

Zgled 10: Izračunaj.

(−10)2 = (−10) · (−10) = +100

Zgled 11: Izračunaj.−102 = −10 · 10 = −100


ˇ

V čem je razlika med prvim in drugim zgledom? ← Pomni:(−3)2 = +9(−3)4 = 81−32 = −9−34 = −81prepǐsemo

V prvem zgledu oklepaj okoli števila (-10) predpisuje, da potenciramo tudi znak −,ki je tudi v oklepaju. Zato je rezultat pozitivno število.

Pri drugem zgledu pa oklepaja okoli znaka − ni, torej velja prednost množenja (karpotenciranje pravzaprav je) pred odštevanjem (znak −). V drugem primeru torejdobimo negativen rezultat.

Kako pa v splošnem določamo predznak potence, če je osnova negativno število, t.j.,če potenciramo negativno število?

Poizkusimo izluščiti pravilo iz spodnjega zgleda:


a) (−2)2 = (−2) · (−2) = +4b) (−2)3 = (−2) · (−2) · (−2) = −8c) (−2)4 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = +16d) (−2)5 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = −32e) (−2)6 = (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) · (−2) = +64

Kaj lahko sklepamo iz tega zgleda? ← Pomni:(−a)sodo = pozit.(−a)liho = negat.

• Če negativno število potenciramo na sod eksponent, je rezultat pozitivnoštevilo.

• Če negativno število potenciramo na lih eksponent, je rezultat negativno število.Tako lahko tudi enostavno določimo predznak potence tudi brez množenja.


a) (−1)2004 = +1b) (−1)2005 = −1


ˇ

2.3 Vaje

1. Izračunaj brez kalkulatorja.

a) 54 =

b) (−4)2 =c) −42 =d) −33 =e) (−3)3 =

f) (−1)332 =g) (−1)13 =h) (−2)4 =i) −(−1)2003 =j) −(−1)1856 =

[R: a) 625, b) 16, c) −16, d) −27, e) −27, f) +1, g) −1, h) +16, i) +1, j) −1]

2. Uredi dana števila po velikosti.

a) 12004, (−3)2, 72, (−1)2005, (−2)3,−23 b) 52, (−5)3,−54,−32, (−3)2, (−2)3,−23

[R: a) −23 ≤ (−2)3 < (−1)2005 < 12004 < (−3)2 < 72,b) −54 < (−5)3 < −32 < (−2)3 ≤ −23 < (−3)2 < 52]

3. Dana števila zapǐsi kot potence.

9, 49, 64, 125, 10000, 100000, 256

[R: 32, 72, 26, 53, 104, 105, 28]

4. Izračunaj oziroma poenostavi.

a) −(−3)3 + (−1)5 · 32 + 32 · (−2)2 =b) 22 · (−2)2 + (−1)3 · 23 − (−3)3 =c) (−1)3 + (−1)2 − 2 · (−1)7 =d) (−3)2 + (−2)3 − 3 · (−1)11 =e) (−2)3 + (−2)2 − 2 · (−1)7 =

f) −3 · (−1)9 + (−3)3 + (−3)2 =g) (−2)4 + (−3)3 − 5 · (−1)2000 − (−4)2 =h) (−3)2 − 10 · (−1)2001 + (−3)3 + (−2)2 =i) 23 · (−5)2 − (−3)2 + (−2)3 + (−1)27 =j) 5 · (−2)2 − 3 · (−5)2 − 43 − (−1)4 =

[R: a) 54, b) 35, c) 2, d) 4, e) −2, f) −15, g) −32, h) −4, i) 182, j) −120]


a) a3 · a5 · a7 =b) a2 · b3 · a7 · b9 =c) x6 · y5 · y3 · x2 · y =d) xy2 · x2y · x3y =e) (2x2)3 · x4 =

f) a5 · (a2)5 =g) (b2)4 · (b3)2 =h) 10(x2y)3 · (−2)4 =i) (2x3y4)2 =

j) (−x2y)3(−2xy)3 =


ˇ

[R: a) a15, b) a9b12, c) x8y9, d) x6y4, e) 8x10, f) a15, g) b14, h) 160x6y3, i) 4x6y8, j)8x9y6]


a) (3a2c)2 · (−2ab2c)4 =b) (−3x)3 · (−x2y)2 · (−2x3y4) =c) (−2u)3 · (−3u3v4) · (−u2v)2 =d) (−3a2b3)3 · (−b2) · (2ab4)2 =

e) (−3x5y2)2 · (−y3) · (x3y4)3 =f) (2xy3z)2 · (3x3z)2 · (−2xy3z3)3 =g) (ab2)2 · (22a3b6)3 · (−2a2b4)2 =h) 52a2(b2)2 · 5a2b3c2 · (−1)4a3 · (c3)3 =

[R: a) 144a8b8c6, b) 54x10y6, c) 24u10v6, d) 108a8b19, e) −9x19y19, f) −288x11y15z13,g) 256a15b30, h) 125a7b7c11]

Δ 7. Poenostavi.

a)

((−2)4 + (−2)2

)((−4)3 − (−6)2

)+ (−3)1 =

b) 4 − (−2)3 ·(

(−1)2004 · (−2)3 − (−4)2 + (−1)1)· (−10) =

c)

(3 − (−2)3

)·(− 4 · (−2) + (−3)2 · (−1)3

)+ (52 − 62) =

d)

(1 − (−2)2

)·(

(−1)2004(−1)2005(−1)2006 − (−2)3 · (−1)5)· ((−3)2 − 23) =

e)

(a3b2(−2)3(− a2b)4)2 · ((− a2b3)2)3 =

f)

(− a3b4 · (− ab5)3 · (−1)5)3 · (− a2b4)3 =

[R: a) −2003, b) 2004, c) −22, d) 27, e) 64a34b30, f) a24b69]


ˇ

3 Izrazi

Kaj je izraz?Algebrski izraz (na kratko izraz) je zapis, sestavljen iz števil ali enočenikov, med ← Pomni!katerimi so smiselno postavljeni znaki za računske operacije, lahko pa tudi oklepaji.

Zgled 1: Primer algebrskega izraza

2 · (x + 3)2 − (x − 3) · (x + 3) − 2x2 · (−3 − 10)

in zapisa, ki ni izraz3((· − 5 − 3(x2 − ·6 + +

Pri poimenovanju izrazov se držimo teh pravil: ← Pomni!

• enočlenik je izraz, v katerem so številke in spremenljivke med seboj povezanez množenjem

• veččlenik je izraz, v katerem so posamezni enočleniki med seboj povezani zseštevanjem in odštevanjem

• če veččlenik obdamo z oklepaji, ga štejemo kot enočlenikZgled 2: Poimenuj izraze glede na število členov.

a) 2x2y je enočlenik

b) 2 + x2y je dvočlenik

c) 2 + x2 + y je tričlenik

d) 2(x2 + y) je enočlenik

e) (2 + x2) + y je dvočlenik

f) (2 + x)(x + y) je enočlenik

Pri poenostavljanju izrazov se držimo enakih pravil kot veljajo za seštevanje, odštevanjein množenje naravnih in celih števil:

1. Najprej odpravimo oklepaje. Če so oklepaji vgnezdeni eden v drugem, najprejodpravimo najbolj notranje,

2. potem opravimo množenja

3. in šele na koncu seštevanja in odštevanja posameznih členov.

Računanje z izrazi je ponavadi dvoje: ← Pomni!

• Razširjanje ali poenostavljanje izrazov: potenciranje dvočlenikov, odpra-vljanje oklepajev, računanje vrednosti izraza,...

• Faktorizacija ali razstavljanje izrazov (zapis izraza kot produkta več faktor-jev): izpostavljanje skupnega faktorja, Vietovo pravilo, razstavljanje dvočlenikov,štiričlenikov,...


ˇ

3.1 Poenostavljanje izrazov

Tu si bomo ogledali pravila za množenje večlenikov ter kvadrat in kub dvočlenika.Seveda lahko kvadriramo ali kubiramo dvočlenik tudi brez uporabe pravil, samo zuporabo definicije potence in pravila za množenje veččlenikov. Uporaba pravil panam olaǰsa nadaljnje delo z izrazi.

Zgled 3: Poenostavi izraz.

(2x + 1) · (x − 4) = 2x · x − 2x · 4 + 1 · x − 1 · 4 = 2x2 − 7x − 4

Večlenike množimo tako, da vsak člen iz prvega oklepaja množimo zvsakim členom iz drugega oklepaja. Temu pravilu pravimo tudi �vsakega z ← Pomni!vsakim�.

Ko odpravimo oklepaje, pride na vrsti seštevanje in odštevanje podobnih enočlenikov.Enočlenika sta si podobna, če se ujemata v vseh spremenljivkah in njihovih poten-cah. Podobne enočlenike nato seštejemo tako, da seštejemo števila pred spremen-ljivkami (koeficiente), spremenljivke in njihove potence pa prepǐsemo.

Zgled 4: Poenostavi izraze.

a) 2x2 + 5x2 + x2 = 8x2, ker je 2 + 5 + 1 = 8

b) 4x3+3x2+2x3 = 6x3+3x2 (enočlenika x2 in x3 si nista podobna!)

c) −5x3 − 3x2 + 11x3 − 9x3 + 2x2 = −3x3 − x2

d) 2x − 4x2 + 5x − 12x − x2 − 7x2 + 6x = −12x2 + x

3.1.1 Kvadrat dvočlenika

Kaj pa množenje dveh enakih dvočlenikov oziroma kvadriranje dvočlenika, kot temupravimo? Seveda lahko tako množenje opravimo enako, kot vsako množenje veččlenikov(pravilo � vsakega z vsakim �), kot kaže spodnji zgled.

Zgled 5: Kvadriraj dvočlenike.

a) (x + 1)2 = (x + 1)(x + 1) = x2 + 2x + 1

b) (x − 3)2 = (x − 3)(x − 3) = x2 − 6x + 9c) (x + 4)2 = (x + 4)(x + 4) = x2 + 8x + 16

d) (x − 5)2 = (x − 5)(x − 5) = x2 − 10x + 25e) (x − 2)2 = (x − 2)(x − 2) = x2 − 4x + 4


ˇ

Iz zgornjih primerov lahko izluščimo splošno pravilo za kvadrat dvočlenika, ali pa siga izpeljemo z množenjem izrazov (a + b)2 in (a − b)2. Tako dobimo pravili: ← Pomni:

obe pravili senauči na pamet!

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a − b)2 = a2 − 2ab + b2

Opomba: Lažje se je morda za uporabo zapomniti pravili v obliki:

(1.člen + 2.člen)2 = 1.člen2 + 2 · 1.člen · 2.člen + 2.člen2

(1.člen − 2.člen)2 = 1.člen2 − 2 · 1.člen · 2.člen + 2.člen2

Zgled 6: Kvadriraj dvočlenike.

a) (x + 6)2 = x2 + 2 · x · 6 + 62 = x2 + 12x + 36b) (2x − 3)2 = (2x)2 − 2 · 2x · 3 + 32 = 4x2 − 12x + 9c) (3x + 1)2 = (3x)2 + 2 · 3x · 1 + 12 = 9x2 + 6x + 1d) (x2 − 5)2 = (x2)2 − 2 · x2 · 5 + 52 = x4 − 10x2 + 25e) (2x3 − 2)2 = (2x3)2 − 2 · 2x3 · 2 + 22 = 4x6 − 8x3 + 4

3.1.2 Kub dvočlenika

Na enak način kot zgoraj, le z malce več truda lahko poǐsčemo tudi pravilo za kubdvočlenika. Tako dobimo še dve novi pravili: ← Pomni:

obe pravili senauči na pamet!

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3

(a − b)3 = a3 − 3a2b + 3ab2 − b3

Opomba: Poizkusi si tudi ti dve pravili zapomniti v obliki

(1.člen + 2.člen)3 = . . .

Zgled 7: Kubiraj dvočlenike.

a) (x + 6)3 = x3 + 3 · x2 · 6 + 3 · x · 62 + 63 = x3 + 18x2 + 108x + 216b) (x − 4)3 = x3 − 3 · x2 · 4 + 3 · x · 42 − 43 = x3 − 12x2 + 48x − 64c) (x + 1)3 = x3 + 3 · x2 · 1 + 3 · x · 12 + 13 = x3 + 3x2 + 3x + 1d) (2x−5)3 = (2x)3−3 ·(2x)2 ·5+3 ·2x ·52−53 = 8x3−60x2+150x−125e) (3x−2)3 = (3x)3 −3 · (3x)2 ·2+3 ·3x ·22 −23 = 27x3 −54x2 +36x−8


ˇ

3.2 Razstavljanje izrazov

Če gre pri poenostavljanju izrazov za to, da odpravimo oklepaje in združimo po-dobne enočlenike, gre pri razstavljanju za neke vrste obratno pot. Izraz, zapisan kotvsota in razlika več členov želimo zapisati kot produkt več faktorjev (oklepajev).

Ko razstavljamo izraze, le-te razdelimo v skupine:

1. izrazi, ki jih razstavljamo s pomočjo izpostavljanja skupnega faktorja

2. dvočleniki (razlika dveh kvadratov, vsota in razlika dveh kubov)

3. tričleniki (Vietovo pravilo)

3.2.1 Razstavljanje z izpostavljanjem skupnega faktorja

Najbolj enostavno je razstavljanje s pomočjo izpostavljanja skupnega faktorja.

Zgled 8: Izpostavi največji skupni faktor.

a) 6a2 + 18a = 6a · a + 6a · 3 = 6a(a + 3)b) 11ab3 − 44ab = 11ab · b2 − 11ab · 4 = 11ab(b2 − 4)c) 6a4 + 18a3 + 12a2 = 6a2 · a2 + 6a2 · 3a + 6a2 · 2 = 6a2(a2 + 3a + 2)d) 2x4 + 54x = 2x · x3 + 2x · 27 = 2x(x3 + 27)e) 12x5y − 48x4y − 48x3y + 192x2y = 12x2y · x3 − 12x2y · 4x2 − 12x2y ·

4x + 12x2y · 16 = 12x2y(x3 − 4x2 − 4x + 16)

Ponavadi velja, da je izpostavljanje skupnega faktorja le eden izmed korakov prirazstavljanju izrazov. V zgornjem zgledu se da tako vse izraze v oklepajih, z izjemoprvega, še naprej razstaviti, kot bomo videli v nadaljevanju.

3.2.2 Razlika dveh kvadratov

Po tem pravilu razstavljamo, kadar je izraz sestavljen iz razlike (odštevanje) dvehčlenov in znamo oba člena zapisati kot kvadrat nekega enočlenika. ← Kvadrat:

kvadrat števila5 je 52!

Pri tem uporabljamo pravilo:

a2 − b2 = (a + b)(a − b)Zgled 9: Razstavi naslednje dvočlenike.

a) x2 − 36 = (x + 6)(x − 6)b) u2 − 100 = (u + 10)(u − 10)c) y2 − 625 = (y + 25)(y − 25)d) c2 − 729 = (c + 27)(c − 27)e) x2 + 16 = vsote dveh kvadratov se ne da razstaviti!


ˇ

Seveda pa pogosteje srečamo primere, ko je potrebno najprej izpostaviti skupnifaktor in razstaviti preostanek.

Zgled 10: Razstavi naslednje dvočlenike.

a) 3x3 − 75x = 3x(x2 − 25) = 3x(x − 5)(x + 5)b) 5x4 − 5x2 = 5x2(x2 − 1) = 5x2(x + 1)(x − 1)c) 2a4b − 8a2b = 2a2b(a2 − 4) = 2a2b(a + 2)(a − 2)d) ab3 + 4ab = ab(b2 + 4) vsota kvadratov se naprej ne da razstaviti

e) 3x4 − 48 = 3(x4 − 16) = 3(x2 + 4)(x2 − 4) = 3(x2 + 4)(x + 2)(x − 2)

3.2.3 Vsota in razlika dveh kubov

Po tem pravilu razstavljamo, kadar je izraz sestavljen iz vsote ali razlike dveh členovin znamo oba člena zapisati kot kub nekega enočlenika. ← Kub:

kub števila2 je 23!

Pri tem uporabljamo pravili: ← Pozor!Ne zamešaj formulea2 + ab + b2

s formulo za kvadratdvočlenikaa2 + 2ab + b2

a3 + b3 = (a + b)(a2 − ab + b2)a3 − b3 = (a − b)(a2 + ab + b2)

Zgled 11: Razstavi izraze.

a) x3 + 8 = (x)3 + (2)3 = (x + 2)(x2 − x · 2 + 22) = (x + 2)(x2 − 2x + 4)b) y3 +125 = (y)3 +(5)3 = (y +5)(y2 − y · 5+52) = (y +5)(y2 − 5y +25)c) n3 − 27 = (n)3 − (3)3 = (n− 3)(n2 + n · 3 + 32) = (n− 3)(n2 + 3n + 9)

Zgled 12: Razstavi izraze.

a) x4 − 64x = x(x3 − 64) = x(x − 4)(x2 + 4x + 16)b) 2x5 + 2x2 = 2x2(x3 + 1) = 2x2(x + 1)(x2 − x + 1)c) 2a2b4 − 2000a2b = 2a2b(b3 − 1000) = 2a2b(b − 10)(b2 + 10b + 100)

3.2.4 Vietovo pravilo

Vietovo pravilo nam služi za razstavljanje tričlenikov. Sam zapis Vietovega pravilaje kompliciran, zato se ga zapomnimo v obliki postopka in ne formule.

Vietovo pravilo:x2 + (a + b)x + ab = (x + a)(x + b)

Oglejmo si postopek na zgledu razstavljanja izraza x2 − 5x − 6. Izraz se razstavi v(x+?)(x+?). Število −6 je produkt iskanih dveh števil, število -5 pa vsota iskanihdveh števil. Kakšne so možne kombinacije?


ˇ

−6 = −1 · 6 −1 + 6 = 5−6 = 1 · (−6) +1 − 6 = −5−6 = −2 · 3 −2 + 3 = 1−6 = 2 · (−3) +2 − 3 = −1

Zgoraj vidimo, da je edina ustrezna izbira za iskani dve števili +1 in −6. Izraz setorej razstavi v izraz (x + 1)(x − 6). Tako pǐsemo

x2 − 5x − 6 = (x + 1)(x − 6)Zgled 13: Razstavi tričlenike.

a) x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2)b) u2 + 4u − 12 = (u + 6)(u − 2)c) n2 − 2n − 35 = (n − 7)(n + 5)

Zgled 14: Razstavi tričlenike.

a) 5x2 + 25x + 20 = 5(x2 + 5x + 4) = 5(x + 4)(x + 1)

b) x3 + 5x2 − 14x = x(x2 + 5x − 14) = x(x + 7)(x − 2)c) 3x3 − 3x2 − 18x = 3x(x2 − x − 6) = 3x(x − 3)(x + 2)

Opomba: Tudi pri razstavljanju vsote in razlike dveh kubov a3+b3 dobimo tričlenik. . . (a2 − ab + b2), katerega pa se ne da razstaviti. ← Pozor!

Ne razstavljajtričlenika, kiostane porazstavljanju kubov!

3.2.5 Razstavljanje štiričlenikov

Za razstavljanje štiričlenikov pa nimamo nobenih formul, ampak samo postopek, spomočjo katerega razstavimo štiričlenike. Najbolje je, da si sam postopek ogledamokar na primeru razstavljanja. Z zgled si vzemimo izraz x3 − 3x2 +2x− 6. Štiri členev izrazu najprej razdelimo na dva para, npr.

x3 − 3x2 + 2x − 6Nato iz vsakega para posebej izpostavimo največji skupni faktor

x2(x − 3) + 2(x − 3)Dobljena (iz štirih z izpostavljanjem) dva člena imata nekaj skupnega, izraz v okle-paju. Le-tega spet izpostavimo in dobimo

(x − 3)(x2 + 2)Nobenega od izrazov v oklepajih se ne da več naprej razstavljati, zato smo končali.

Postopek je enak za vse štiričlenike, le da moramo pri zahtevneǰsih primerih pazitina izbiro parov. Pri zahtevneǰsih primerih ni nujno prava izbira parov prva dva indruga dva, ampak je lahko tudi prvi in tretji ter drugi in četrti,...Seveda pa ne smemo pozabiti, da moramo ravno tako kot pri razstavljanju drugihizrazov najprej pogledati, če se da iz celotnega izraza izpostaviti največji skupnifaktor.


ˇ

Zgled 15: Razstavi štiričlenike.

a) x3 +3x2−x−3 = x2(x+3)−1(x+3) = (x+3)(x2−1) = (x+3)(x+1)(x − 1)

b) x3 +x2−9x−9 = x2(x+1)−9(x+1) = (x+1)(x2−9) = (x+1)(x+3)(x − 3)

c) x3 − x2 − 16x + 16 = x2(x − 1) − 16(x − 1) = (x − 1)(x2 − 16) =(x − 1)(x + 4)(x − 4)

Zgled 16: Razstavi štiričlenike.

a) x4−2x3 +4x2−8x = x(x3−2x2 +4x−8) = x(x2(x−2)+4(x−2)) =x(x − 2)(x2 + 4)

b) 10x4 − 20x3 − 250x2 + 500x = 10x(x3 − 2x2 − 25x+ 50) = 10x(x2(x−2) − 25(x − 2)) = 10x(x − 2)(x2 − 25) = 10x(x − 2)(x + 5)(x − 5)

c) 3x5 + 18x4 − 3x3 − 18x2 = 3x2(x3 + 6x2 − x − 6) = 3x2(x2(x + 6) −1(x + 6)

)= 3x2(x + 6)(x2 − 1) = 3x2(x + 6)(x + 1)(x − 1)

3.3 Vaje

1. Poenostavi izraze.

a) 3x(x + 4) − 2x(x + 1) =b) (x + 4)(x − 7) + 3(x + 1)(x − 1) =c) x(x + 1)(x + 1) − x2(x + 2)(x − 2) =d) (x + 1)2 + (x − 2)2 − (x + 4)(x − 4) =e) 2(x − 2)2 − (x − 3)2 + 4x(x − 2) =f) (x − 1)3 + (x − 3)2 − 2x(x − 4)(x + 4) =

[R: a) x2+10x, b) 4x2−3x−31, c) −x4+x3+6x2+x, d) x2−2x+21, e) 5x2−10x−1,f) −x3 − 2x2 + 29x + 8]

2. Izpostavi skupni faktor.


ˇ

a) ab + bc + abc =

b) c2d2 + cd + d =

c) 2ab − 2a2 + 4ab2 =d) 25x3 − 15x2 + 5x =e) x10 + x7 + x3 =

f) 10xy − 10y + 20x2y =g) 13xy2 − 78xy + 65x =h) 12x3y2 − 6x2y3 + 18x3y3 =i) 15x2y4 − 6xy6 + 18x3y4 =j) x3y2z − 4x2y3z2 + 8x2y4z2 =

[R: a) b(a + c + ac), b) d(c2d + c + 1), c) 2a(b − a + 2b2), d) 5x(5x2 − 3x + 1), e)x3(x7 + x4 + 1), f) 10y(x− 1 + 2x2), g) 13x(y2 − 6y + 5), h) 6x2y2(2x− y + 3xy), i)3xy4(5x − 2y2 + 6x2), j) x2y2z(x − 4yz + 8y2z)]

3. Kvadriraj.

a) (x + 1)2 =

b) (x − 3)2 =c) (x + 9)2 =

d) (x − 7)2 =e) (a + 5)2 =

f) (k − 6)2 =g) (2x + 3)2 =

h) (3x − 1)2 =i) (2x + 3y)2 =

j) (4a − 2b)2 =[R: a) x2+2x+1, b) x2−6x+9, c) x2+18x+81, d) x2−14x+49, e) a2+10a+25, f)k2−12k+36, g) 4x2+12x+9, h) 9x2−6x+1, i) 4x2+12xy+9y2, j) 16a2−16ab+4b2]

4. Kubiraj.

a) (x + 1)3 =

b) (x − 3)3 =c) (x + 9)3 =

d) (x − 7)3 =e) (a + 5)3 =

f) (k − 6)3 =g) (2x + 3)3 =

h) (3x − 1)3 =i) (2x + 3y)3 =

j) (2a − b)3 =[R: a) x3 + 3x2 + 3x + 1, b) x3 − 9x2 + 27x − 27, c) x3 + 27x2 + 243x + 729, d)x3 − 21x2 + 147x − 343, e) a3 + 15a2 + 75x + 125, f) k3 − 18k2 + 108k − 216, g)8x3 + 36x2 + 54x + 27, h) 27x3 − 27x2 + 9x − 1, i) 8x3 + 36x2y + 54xy2 + 27y3, j)8a3 − 12a2b + 6ab2 − b3]

5. Razstavi dvočlenike.

a) x2 − 25 =b) a2 − 100 =c) c2 + 36 =

d) y2 − 81 =e) 36a2 − 49 =f) 9x2 − 25 =g) 1 − 49x2y2 =

h) 3a4 − 108a2 =i) 6x4 − 150x2 =j) 5xy6 − 5xy2 =k) 2x4 − 32 =l) 9x2 − 900 =

m) 4a5 − 100a3 =n) 9x5y2 − 81x3y4 =

[R: a) (x + 5)(x− 5), b) (a + 10)(a− 10), c) vsote kvadratov se ne da razstaviti, d)(y + 9)(y − 9), e) (6a + 7)(6a − 7), f) (3x + 5)(3x − 5), g) (1 + 7xy)(1 − 7xy), h)


ˇ

3a2(a+6)(a− 6), i) 6x2(x+5)(x− 5), j) 5xy2(y2 +1)(y +1)(y− 1), k) 2(x2 +4)(x+2)(x − 2), l) 9(x + 10)(x − 10), m) 4a3(a + 5)(a − 5), n) 9x3y2(x + 3y)(x − 3y)]

6. Razstavi dvočlenike.

a) a3 − 27 =b) x3 + 1000 =

c) u3 + 8 =

d) b3 − a3 =e) 1 − x3 =

f) x4 − 27x =g) 2x4 + 16x =

h) 54 − 2x3 =i) x99 − x96 =j) 2x7 + 250x4 =

[R: a) (a − 3)(a2 + 3a + 9), b) (x + 10)(x2 − 10x + 100), c) (u + 2)(u2 − 2u + 4), d)(b−a)(b2+ab+a2), e) (1−x)(1+x+x2), f) x(x−3)(x2+3x+9), g) 2x(x+2)(x2−2x+4),h) 2(3 − x)(9 + 3x + x2), i) x96(x − 1)(x2 + x + 1), j) 2x4(x + 5)(x2 − 5x + 25)]

7. Razstavi tričlenike.

a) x2 − 9x + 18 =b) x2 − 4x − 12 =c) y2 − 11y + 18 =d) 4x2 − 40x + 100 =e) 3z2 + 24z + 48 =

f) 2n2 − 10n + 12 =g) 5x2 − 5x − 30 =

h) −5x2 + 5x + 60 =i) 3x2 + 6x − 45 =j) −4x2 − 4x + 48 =k) 2x2 + 10x − 28 =l) 3x2 − 45x + 150 =

m) 3a3 − 30a2 + 63a =n) 3x3y + 15x2y2 − 72xy3 =

[R: a) (x − 3)(x − 6), b) (x + 2)(x − 6), c) (y − 2)(y − 9), d) 4(x − 5)(x − 5), e)3(z + 4)(z + 4), f) 2(n − 2)(n − 3), g) 5(x + 2)(x − 3), h) −5(x + 3)(x − 4), i)3(x + 5)(x − 3), j) −4(x + 4)(x − 3), k) 2(x + 7)(x − 2), l) 3(x − 5)(x − 10), m)3a(a − 3)(a − 7), n) 3xy(x + 8y)(x − 3y)]

8. Razstavi štiričlenike.

a) x3 − 7x2 − 4x + 28 =b) x3 − 4x2 − 9x + 36 =c) x3 − 5x2 − 9x + 45 =

d) a3 − 3a2 − 25a + 75 =e) a3 − 4a2 − 25a + 100 =f) 2x3 − 6x2 + 8x − 24 =

[R: a) (x − 7)(x + 2)(x − 2), b) (x − 4)(x + 3)(x − 3), c) (x − 5)(x + 3)(x − 3), d)(a − 3)(a + 5)(a − 5), e) (a − 4)(a + 5)(a − 5), f) 2(x − 3)(x2 + 4)]

9. Skrči izraz in rezultat razstavi.

a) x(2x − 5) − (x − 7)(x + 3) − 63 =b) (2x − 7)(3x + 2) − 2(x − 2)2 + 5x − 2 =c) (2x − 3)(x + 3) − (x + 4)x − 11 =d) (2x − 3)2 − 2(x + 5)(x + 3) + 26x − 3 =e) (2x + 3)(x + 1) − (x − 1)2 − 20 =


ˇ

f) 2(x + 1 + x(x − 1))− (x + 3)(x − 1) − 4x =

g) (3x − 5)(3x + 5) − (2x − 3)2 − x(x − 8) + 34 =h) (x − 2)(x + 2) − (2x − 1)2 + 2x + 14 =i) (3a − 4)2 − (2a + 5)(2a − 5) − a(a + 8) − 41 =j) (3a − 5)(3a + 5) − (2a − 3)2 − a(12 − a) + 10 =k) 41 + 6(x + 12) + 10(x − 2)(x + 2) − (1 − 3x)2 =l) −2(x − 2)(x + 2) + (x − 3)2 + x(x − 5) − x + 19 =

m) (2x − 5)2 − (3x − 4)(3x + 4) + 6x(x + 3) − 44 =[R: a) x2 − x − 42 = (x − 7)(x + 6), b) 4x2 − 4x − 24 = 4(x − 3)(x + 2), c)x2 − x− 20 = (x− 5)(x + 4), d) 2x2 − 2x− 24 = 2(x− 4)(x + 3), e) x2 + 7x− 18 =(x + 9)(x − 2), f) x2 − 6x + 5 = (x − 5)(x − 1), g) 4x2 + 20x = 4x(x + 5), h)−3x2 + 6x + 9 = −3(x − 3)(x + 1), i) 4a2 − 32a = 4a(a − 8), j) 6a2 − 24 =6(a + 2)(a − 2), k) x2 − 18x + 81 = (x − 9)(x − 9), l) −12x + 36 = −12(x − 3), m)x2 − 2x − 3 = (x − 3)(x + 1)]


ˇ

4 Deljivost v naravnih in celih številih

Število a je deljivo s številom b takrat, ko je ostanek pri deljenju enak 0.

Zgled 1: Deli.52 : 13 = 4ost. 0

130 : 13 = 10ost. 0

Vsako deljenje lahko zapǐsemo v drugačni obliki, kot množenje: ← Pomni!Osnovni izreko deljenju!

a : b = k, ost.r ↔ a = k · b + rTej ugotovitvi pravimo osnovni izrek o deljenju. Število a imenujemo deljenec,število b delitelj, število k količnik in število r ostanek. ← Pomni!

Deljenec, deliteljkoličnik, ostanek.

Zgled 2: Zapǐsi dane račune po osnovnem izreku o deljenju.

a) 52 : 13 = 4, ost. 0 ↔ 52 = 4 · 13 + 0b) 46 : 7 = 6, ost. 4 ↔ 46 = 6 · 7 + 4c) 137 : 11 = 12, ost. 5 ↔ 137 = 12 · 11 + 5

Hitro se lahko prepričamo, da je ostanek pri deljenju vedno manǰsi od delitelja. Izdeljivosti tudi izhajajo pojmi večkratnik, delitelj in deli. ← Pomni!

Večkratnik,delitelj, deli.

Zgled 3: V kakšnem medsebojnem odnosu sta števili 144 in 6?

a) Število 144 je večkratnik števila 6, saj je 144 = 24 · 6b) Število 6 je delitelj števila 144, saj je 144 = 24 · 6b) Število 6 je deli število 144, saj je 144 = 24 · 6

Sklepamo lahko naslednje: število b deli število a (v simbolih b|a) takrat, ko je avečkratnik števila b. ← Pomni!

b deli ab|aZgled 4: Preveri, ali velja.

a) 6|144, ker je 144 = 24 · 6b) 8|256, ker je 256 = 32 · 8b) 3|35679, ker je 35679 = 11893 · 3


ˇ

4.1 Kriteriji deljivosti

Zadnji zgled zgoraj trdi, da število 3 deli število 35679. Kako se v to prepričamo?Z deljenjem:

Zgled 5: Deli števili.35679 : 3 = 118930502600270000900000 ost. Ostanek je enak 0, zato 3 res deli število 35679.

Ali je deljenje vedno potrebno? ← Pomni!soda števila2, 4, 6, 8, 10, . . .liha števila1, 3, 5, 7, 9, 11, . . .

Zgled 6: Preveri.

a) Ali število 2 deli število 35679?

Ne deli, ker zadnja števka (9) števila 35679 ni sodo število.

b) Ali število 2 deli število 35678?

Deli, ker je zadnja števka (8) števila 35678 sodo število.

Kriterij za deljivost s številom 2 je torej naslednji:

Število je deljivo z 2, če je zadnja števka števila sodo število. ← Kriterij!za deljivost z 2

Obstajajo pa še kriteriji za deljivost še z nekaterimi drugimi števili:

Število je deljivo s 5, če je zadnja števka števila enaka 0 ali 5. ← Kriterij!za deljivost s 5

Zgled 7: Preveri deljivost danih števil s številom 5.

a) Števila 55, 135, 9150 in 347685 so vsa deljiva s 5.

b) Števila 56, 137, 9341 in 347586 niso deljiva s 5.

Število je deljivo z 10, če je zadnja števka števila enaka 0. ← Kriterij!za deljivost z 10


a) Števila 1350, 73960 in 1346780 so vsa deljiva z 10.

b) Števila 56, 1375, 9345 in 347582 niso deljiva z 10.

Poznamo tudi kriterija za deljivost s številoma 3 in 9, ki pa sta malce zahtevneǰsaod preǰsnjih:

Število je deljivo s 3, če je vsota števk števila deljiva s 3. ← Kriterij!za deljivost s 3


ˇ

Zgled 9: Ali velja 3|6789 (t.j., da število 3 deli število 6789)?

6 + 7 + 8 + 9 = 30

Število 3 deli število 30 (vsoto števk), zato število 3 deli tudi število 6789.

Število je deljivo z 9, če je vsota števk števila deljiva z 9. ← Kriterij!za deljivost z 9


a) Ali velja 9|6789?6 + 7 + 8 + 9 = 30

Število 9 ne deli števila 30 (vsoto števk), zato število 9 ne deli števila6789.

b) Ali velja 9|5733?5 + 7 + 3 + 3 = 18

Število 9 deli število 18 (vsoto števk), zato število 9 deli tudi število5733.

4.2 Praštevila in sestavljena števila

Zgled 11: Naštej vse delitelje števil 5, 6, 7 ,8 ,9 ,10, 11, 12, 13, 14, 15, 16 in17.

D5: 1, 5D6: 1, 2, 3, 6D7: 1, 7D8: 1, 2, 4, 8D9: 1, 3, 9D10: 1, 2, 5, 10D11: 1, 11D12: 1, 2, 3, 4 ,6 ,12D13: 1, 13D14: 1, 2, 7, 14D15: 1, 3, 5, 15D16: 1, 2, 4, 8, 16D17: 1, 17

Glede na število deliteljev delimo naravna števila v tri skupine:

• Število 1, ki ima le enega delitelja, samega sebe.• Števila, ki imajo natanko dva delitelja, število 1 in samega sebe. Tem številom

pravimo praštevila.

• Števila, ki imajo več kot dva delitelja. Tem številom pravmo sestavljenaštevila.


ˇ

Zgled 12: Praštevila in sestavljena števila.

a) Naštejmo vsa praštevila do števila 100.

2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,73, 79, 83, 89, 97.

b) Ali je število 6396 praštevilo?

Ne. Število 2 deli število 6396 (po kriterijih za deljivost), zato imapoleg števila 1 in samega sebe vsaj še enega delitelja, število 2.

c) Ali je število 7587 praštevilo?

Ne. Število 3 deli število 7587 (po kriterijih za deljivost), zato imapoleg števila 1 in samega sebe vsaj še enega delitelja, število 3.

d) Ali je število 1727 praštevilo?

Po kriterijih število 1727 ni deljivo z 2, 3, 5, 9 ali 10, kar pa še nepomeni, da je praštevilo.

1727 = 11 · 157, torej ima za deljitelja še števili 11 in 157, kar papomeni, da ni praštevilo.

Ugotavljanje, ali je neko število praštevilo je pri velikih številih težka in dolgotrajnanaloga in brez računalnikov skoraj nemogoča. Zato se danes velika praštevila upo-rabljajo za šifriranje podatkov.

Lastnosti praštevil:

• Edino sodo praštevilo je število 2.• Praštevil je neskončno.• IZREK: Vsako naravno število lahko na en sam način zapǐsemo kot produkt

praštevil (praštevilska faktorizacija).

Zgled 13: Zapǐsi števila kot produkt samih praštevil.

a) 12 = 2 · 6 = 2 · 2 · 3 = 22 · 3b) 72 = 8 · 9 = 2 · 2 · 2 · 3 · 3 = 23 · 32

c) 7150 = 715 · 10 = 143 · 5 · 2 · 5 = 11 · 13 · 5 · 2 · 5 = 2 · 52 · 11 · 13

4.3 Največji skupni delitelj in najmanǰsi skupni večkratnik

Zgled 14: Zapǐsi vse delitelje števil 52 in 130 ter poǐsči skupne.

D52: 1, 2, 4, 13, 26, 52

D130: 1, 2, 5 ,10, 13, 26, 65, 130

Skupni delitelji so: 1, 2, 13, 26.


ˇ

Dve števili imata vedno končno skupnih deliteljev. Največjemu izmed njih pravimonajvečji skupni delitelj in ga označimo z D(a, b), kjer sta a in b dani števili.

Zgled 15: Poǐsči največji skupni delitelj števil 52 in 130.D(52, 130) = 26.

Kaj pa skupni večkratniki?

Zgled 16: Zapǐsi vse večkratnike števil 52 in 130 ter poǐsči skupne.

V52: 52, 104, 156, 208, 260, 312, 364, 416, 468, 520, . . .

V130: 130, 260, 390, 520, 650, 780, . . .

Skupni večkratniki so: 260, 520, . . .

Dve števili imata neskončno kupnih večkratnikov. Največjega ni. Najmanǰsemumed njimi pa pravimo najmanǰsi skupni večkratnik in ga označimo z v(a, b),kjer sta a in b dani dve števili.

Zgled 17: Poǐsči najmanǰsi skupni večkratnik števil 52 in 130.v(52, 130) = 260.

Največji skupni delitelj in najmanǰsi skupni večkratnik poǐsčemo hitreje s pomočjopraštevilske faktorizacije (razcepa). Števili najprej razcepimo na produkt praštevil.

Za največji skupni delitelj vzamemo produkt tistih potenc, ki so skupneobema razcepoma. ← Pomni!

Iskanje D

Za najmanǰsi skupni večkratnik vzamemo produkt vseh različnih potenciz obeh razcepov, in sicer v najvǐsjem eksponentu. ← Pomni!

Iskanje v

Zgled 18: Poǐsči največji skupni delitelj in najmanǰsi skupni večkratnik

a) števil 52 in 130:

52 = 22 · 13130 = 2 · 5 · 13D(52, 130) = 2 · 13 = 26v(52, 130) = 22 · 5 · 13 = 260

b) števil 72 in 60:

72 = 23 · 3260 = 22 · 3 · 5D(72, 60) = 22 · 3 = 12v(72, 60) = 23 · 32 · 5 = 360


ˇ

c) števil 36 in 25:

36 = 22 · 3225 = 52

D(36, 25) = 1 (saj 1 deli vsako število, torej je skupen delitelj)

v(36, 25) = 22 · 32 · 52 = 900

Števili, katerih največji skupni delitelj je enak 1 sta tuji si števili.

4.4 Vaje

1. Katera števila med števili 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 36, 45, 64, 84, 120 so deliteljištevila 12?[R: 1, 2, 4, 6, 12]

2. Katera števila med števili 1, 2, 4, 5, 6, 8, 9, 11, 12, 36, 45, 64, 84, 120 sovečkratniki števila 12?[R: 12, 36, 84, 120]

3. S katerimi izmed števil 2, 3, 5, 9, in 10 so deljiva naslednja števila?

400, 144, 101556, 19665, 36846, 9216, 39096495

[R: a) z 2, 5 in 10, b) z 2, 3 in 9, c) z 2, 3 in 9, d) s 3, 5 in 9, e) z 2, 3 in 9, f) z 2, 3in 9, g) s 3, 5 in 9]

4. Naštej vse delitelje danih števil.

12, 18, 24, 36, 45, 72

[R: a) D12 = {1, 2, 3, 4, 6, 12}, b) D18 = {1, 2, 3, 6, 9, 18}, c) D24 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 12, 24},d) D36 = {1, 2, 3, 4, 6, 9, 12, 18, 36}, e) D45 = {1, 3, 5, 9, 15, 45},f) D72 = {1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36, 72}]

5. Naštej prve štiri večkratnike danih števil.

8, 10, 12, 15, 21

[R: a) V8 = {8, 16, 24, 32, . . .}, b) V10 = {10, 20, 30, 40, . . .}, c) V12 = {12, 24, 36, 48, . . .},d) V15 = {15, 30, 45, 60, . . .}, e) V21 = {21, 42, 63, 84, . . .}]


ˇ

6. Razcepi dana števila na produkt prafaktorjev.

72, 45, 78, 90, 124, 168, 312, 900

[R: a) 72 = 23 · 32, b) 45 = 32 · 5, c) 78 = 2 · 3 · 13, d) 90 = 2 · 32 · 5, e) 124 = 22 · 31,f) 168 = 23 · 3 · 7, g) 312 = 23 · 3 · 13, h) 900 = 22 · 32 · 52]

7. Poǐsči največji skupni delitelj danih števil.

a) D(6, 4)

b) D(12, 15)

c) D(24, 16)

d) D(51, 44)

e) D(51, 84)

f) D(99, 121)

g) D(145, 72)

h) D(21, 12)

i) D(24, 72)

[R: a) D(6, 4) = 2, b) D(12, 15) = 3, c) D(24, 16) = 8, d) D(51, 44) = 1, e) D(51, 84) =3, f) D(99, 121) = 11, g) D(145, 72) = 1, h) D(21, 12) = 3, i) D(24, 72) = 24]

8. Poǐsči najmanǰsi skupni večkratnik danih števil.

a) v(6, 4)

b) v(12, 15)

c) v(24, 16)

d) v(51, 44)

e) v(51, 84)

f) v(99, 121)

g) v(145, 72)

h) v(21, 12)

i) v(24, 72)

[R: a) v(6, 4) = 12, b) v(12, 15) = 60, c) v(24, 16) = 48, d) v(51, 44) = 2244,e) v(51, 84) = 1428, f) v(99, 121) = 1089, g) v(145, 72) = 10440, h) v(21, 12) = 84,i) v(24, 72) = 72]


ˇ

5 Ulomki in racionalna števila

Z naravnimi števili lahko neomejeno izvajamo naslednji računski operaciji: seštevanjein množenje. Če želimo odštevati, moramo naravnim številom dodati negativnaštevila in število 0. Tako dobimo cela števila. V celih številih lahko torej seštevamo,odštevamo in množimo.

S čim moramo razširiti cela števila, da bi lahko še delili?

Celim številom moramo dodati rezultate računov

1 : 3, 5 : 4, 22 : 7, . . .

Dodati jim moramo ulomke

1

3,5

4,22

7, . . .

Tako dobimo množico racionalnih števil, ki jo označimo z Q.

Poglejmo si najprej osnovne pojme.

• ab

→ števec ulomkaimenovalec ulomka

• Ulomka ab

in cd

sta enaka natanko takrat, ko je ad = bc. ← Križno množenje!a

b= c

d↔ ad = bc

Zgled 1: Preveri, ali so naslednji ulomki enaki.

a) 312

in 28: sta enaka, ker je 3 · 8 = 2 · 12

b) 68

in 912

: sta enaka, ker je 6 · 12 = 9 · 8c) 7

12in 3

4: nista enaka, ker 7 · 4 �= 12 · 3

d) 56

in 12: nista enaka, ker 5 · 2 �= 6 · 1

Zgled 2: Določi neznano število x tako, da bosta ulomka x12

in 1520

enaka.

x

12=

15

20→ 20x = 12 · 15 → x = 12 · 15

20= 9

Enakost dveh ulomkov pa lahko preverjamo tudi tako, da jih razširimo naskupni imenovalec, nato pa primerjamo števca, kot bomo videli v nadaljevanju.

• Nasprotni ulomek ulomka ab

je enak ulomku −ab.

Zgled 3: Zapǐsi danim ulomkom nasprotne ulomke.

3

2,−5

9,1

6, 4, 0

Nasprotne vrednosti teh ulomkov so

−32,5

9,−1

6,−4, 0


ˇ

• Predznak ulomka določimo po naslednjih pravilih:−ab

=a

−b = −a

bnegativno število

in −a−b = +

a

bpozitivno število

Zgled 4: Določi predznak danih ulomkov.

−32

,−5−9 ,

0

−6Prvi ulomek je negativno število, drugi pozitivno, tretji ulomek pa je enak0, število 0 pa nima predznaka.

Pri računanju z ulomki moramo biti pozorni na dva posebna primera: ← Pomni!0

b= 0

a

0ni definiran• 0

b= 0 ulomek je enak 0, če je števec ulomka enak 0.

• a0

ulomek nima definirane vrednosti, če je imenovalec enak 0.

Zgled 5:

a) Dan je ulomek x−3x+1

. Za katere x ulomek ni definiran in za katere x jeenak 0?

Ta ulomek za x = −1 ni definiran (−1−3−1+1 = −40 ),za x = 3 pa je enak 0 (3−3

3+1= 0

4= 0).

b) Dan je ulomek x2+7x+12

x−2 . Za katere x ulomek ni definiran in za katerex je enak 0?

Najprej razstavimo števec in dobimo (x+3)(x+4)x−2 .

Ta ulomek za x = 2 ni definiran (2+32+4

= 300),

za x = −3 ali x = −4 pa je enak 0.

5.1 Upodabljanje racionalnih števil

Racionalna števila, tako kot naravna in cela števila, upodabljamo na številski pre-mici. Pri tem si pomagamo s Talesovim izrekom iz geometrije. Njegovo uporabo silahko ogledamo na spodnjih zgledih.

Zgled 6: Na številski premici ponazorimo ulomek 57.


ˇ

Zgled 7: Na številski premici ponazorimo ulomek −35.

Zgled 8: Na številski premici ponazorimo ulomek 53.

5.2 Razširjanje in kraǰsanje ulomkov

Vrednost ulomka se ne spremeni, če števec in imenovalec pomnožimo ali delimo zistim (neničelnim) številom.

Kadar števec in imenovalec ulomka množimo, pravimo, da ulomek razširjamo. Kopa števec in imenovalec delimo, pravimo, da ulomek kraǰsamo.

Zgled 9: Okraǰsaj ulomke.

a) 2540

= 25:5

40:5= 5

8

b) 2849

= 28:7

49:7= 4

7

c) 6496

= 64:32

96:32= 2

3

d) 6a2b

9ab= 6a

2b:3ab

9ab:3ab= 2a

3

e) 12a2b3c

16ab2c= 12a

2b3c:4ab2

c

16ab2c:4ab2c

= 3ab4

Zgled 10: Razširi ulomka na skupni imenovalec.

a) 38

in 710

→ 1540

in 2840

b) 45

in 34→ 16

20in 15

20

c) 516

in 1124

→ 1548

in 2248


ˇ

5.3 Urejenost racionalnih števil

Množica racionalnih števil je urejena, kar pomeni, da lahko ulomke primerjamo medseboj po velikosti ter jih tudi uredimo po velikosti.

Tako za ulomka ab

in cd

velja natanko ena od spodnjih možnosti:

a

b<

c

da

b>

c

da

b=

c

d

Kako pa primerjamo dva ulomka? Najlažje tako, da oba razširimo na skupniimenovalec, nato pa primerjamo števca po velikosti.

Opomba: Ulomka smo morda bolj navajeni primerjati tako, da ju zapǐsemo kotdecimalni števili.

Zgled 11: Uredi naslednje ulomke po velikosti

3

4,16

20,7

9,2

3,3

5,5

8

Najprej jih razširimo na skupen imenovalec.

270

360,288

360,280

360,240

360,216

360,225

360

in uredimo216

360<

225

360<

240

360<

270

360<

280

360<

288

360

oziroma3

5<

5

8<

2

3<

3

4<

7

9<

16

20

Zgled 12: Za katera števila x bo ulomek x4

večji od ulomka 3020

?

x

4>

30

20

Ulomek 3020

okraǰsamo s 5 in dobimo 64.

x

4>

6

4

Torej mora biti število x večje od 6, kar zapǐsemo

x ≥ 6


ˇ

5.4 Seštevanje in odštevanje ulomkov

Ulomka, ki imata enaka imenovalca seštejemo tako, da seštejemo števca, imenovalecpa prepǐsemo.

Zgled 13: Seštej.

a) 59

+ 139

= 189

= 2

b) 5363

+ 163

= 5463

= 67

c) 57121

+ 31121

= 88121

= 811

Opomba: Na koncu računanja rezultate vedno okraǰsamo! ← Pomni!Rezultat nakoncu okraǰsaj!

Ulomka, ki imata različne imenovalce seštejemo tako, da ju najprej razširimo naskupni imenovalec, nato pa se ravnamo po preǰsnjem navodilu.

Odštevanje ulomkov gre po istem postopku, le da števca odštejemo.


a) 23

+ 14

= 812

+ 312

= 1112

b) 512

− 59

= 1536

− 2036

= − 536

c) 712

+ 45

= 3560

+ 4860

= 8360

d) 1116

− 2324

= 3348

− 4648

= 7948

Lastnosti seštevanja ulomkov:

• Zakon o zamenjavi: ab

+ cd

= cd

+ ab

Zgled 15: Uporabi zakon o zamenjavi v spodnjem računu.

2

3+

1

4=

1

4+

2

3

• Zakon o združevanju: ab

+ cd

+ ef

= (ab

+ cd) + e

f= a

b+ ( c

d+ e

f)

Zgled 16: Prepričaj se, da je rezultat v obeh primerih enak.

a) (23

+ 14) + 5

6= ( 8

12+ 3

12) + 5

6= 11

12+ 5

6= 11

12+ 10

12= 21

12

b) 23

+ (14

+ 56) = 2

3+ ( 3

12+ 10

12) = 2

3+ 13

12= 8

12+ 13

12= 21

12

Za odštevanje števil ta dva zakona seveda ne veljata.


ˇ

5.5 Množenje ulomkov

Ulomka množimo tako, da zmnožimo števec s števcem in imenovalec zimenovalcem.

a

b· cd

=a · cb · d


a) 23· 1

4= 2·1

3·4 =212

= 16

b) 37· 5

8= 3·5

7·8 =1556

Pred samim množenjem števce in imenovalce ponavadi (križno) okraǰsamo. ← Pomni!Pred množenjemokraǰsaj!


a) 35:5

16:8· 8:8

75:5= 7

2· 1

15= 7

30

b) 7:7

24:8· 16:8

21:7= 1

3· 2

3= 2

9

Za množenje ulomkov veljata zakon o zamenjavi ter zakon o združevanju, poleg tehdveh pa še zakon o razčlenjevanju:

a

b· ( c

d+

e

f) =

a

b· cd

+a

b· ef

Zgled 19: Izračunaj 516

· ( 825

+ 815

).

5

16· ( 8

25+

8

15) =

5

16· 825

+5

16· 815

=1

10+

1

6=

8

30=

4

15

Obratna vrednost ulomka ab

je ulomek ba. Označimo ga z (a

b)−1. Za ulomek in

njegovo obratno vrednost velja ab· b

a= 1. ← Pomni!

Obratna vrednostulomka a

b

je ulomek ba.

Zgled 20: Poǐsči obratne vrednosti danih ulomkov.

a) 34→ 4

3

b) −56→ −6

5

c) −2 → −12

Opomba: Spoznali smo pojem nasprotne vrednosti ulomka (zamenjamo predznak)in pojem obratne vrednosti ulomka (zamenjamo števec in imenovalec). Obeh poj-mov ne smemo pomešati med seboj. ← Pomni!

Obratna vrednostni enako kotnasprotna vrednost.


ˇ

5.6 Deljenje ulomkov

Ulomka delimo med seboj tako, da prvi ulomek množimo z obratno vre-dnostjo drugega ulomka.

a

b:

c

d=

a

b· dc

=ad

bc


a) 516

: 158

= 516

· 815

= 16

b) 1225

: 1615

= 1225

· 1516

= 920

5.7 Računska praksa

Pri računanju dalǰsih izrazov z ulomki upoštevamo enaka pravila, kot veljajo zaračunanje dalǰsih izrazov z naravnimi in celimi števili:

• Če izraz vsebuje oklepaje, najprej izračunamo vrednosti izrazov v njih. Začnemopri najbolj notranjih oklepajih.

• Ko odpravljamo oklepaje upoštevamo, da ima množenje in deljenje prednostpred seštevanjem in odštevanjem.

• Rezultat okraǰsamo, če gre.Zgled 22: Izračunaj.

(2

3· 2110

− 34) :

26

10− 1

10=

= (7

5− 3

4) :

26

10− 1

10=

=13

20:26

10− 1

10=

=13

20· 1026

− 110

=

=1

4− 1

10=

=3

20

V računih srečamo tudi t.i. dvojne ulomke. To so ulomki, ki imajo v števcu inimenovalcu ulomek namesto običajnega celega števila. V takih primerih uporabimodejstvo, da ulomkova črta pomeni pravzaprav deljenje.


a)3

45

8

= 34

: 58

= 34· 8

5= 6

5

b)16

158

25

= 1615

: 825

= 1615

· 258

= 103


ˇ

5.8 Računanje z algebrskimi ulomki

Če v računih v števcu ali imenovalcu nastopajo tudi spremenljivke (x, y, a, b, . . .),pravimo takim ulomkom algebrski.

Pri računanju takih izrazov uporabljamo enaka pravila, kot jih uporabljamo priračunanju številskih izrazov:

• Pri razširjanju ulomkov uporabljamo znanje o množenju izrazov.

Zgled 24: Razširi ulomka z x + 2.

a) x+1x+3

= (x+1)·(x+2)(x+3)·(x+2) =

x2+3x+2x2+5x+6

b) xx−1 =

x·(x+2)(x−1)·(x+2) =

x2+2xx2+x−2

• Pri kraǰsanju uporabljamo znanje o razstavljanju izrazov. Pri tem upoštevamo,da kraǰsamo le cele oklepaje. ← Pomni!

Kako kraǰsamoalgebrskeulomke.

Zgled 25: Okraǰsaj ulomke.

a) x2−1

x2+2x−3 =(x+1)(x−1)(x+3)(x−1) =

x+1x+3

b) x2+2x

x2+x−2 =x(x+2)

(x−1)(x+2) =x

x−1

c) 2x4+10x3

4x2+20x= 2x

3(x+5)4x(x+5)

= x2

2

• Pri iskanju skupnega imenovalca uporabimo znanje o iskanju najmanǰsega sku-pnega večkratnika dveh števil.

Zgled 26: Razširi na skupni imenovalec in seštej.

a) x+2x+1

+ xx−2 =

(x+2)(x−2)(x+1)(x−2) +

x(x+1)(x−1)(x+1) =

(x+2)(x−2)+x(x+1)(x+1)(x−2) =

2x2+x−4(x+1)(x−2)

b) x+3x

+ x−10x+1

= (x+3)(x+1)x(x+1)

+ x(x−10)x(x+1)

= 2x2−6x+3

x(x+1)

c) x2x+10

+ 65x+25

= x2(x+5)

+ 65(x+5)

= 5x10(x+5)

+ 1210(x+5)

= 5x+1210(x+5)

• Pred množenjem ulomke (križno) okraǰsamo.

Zgled 27: Okraǰsaj ulomke in zmnoži.

a) x2−4

x2−9 · x2+6x+9x2−x−2 =

(x+2)(x−2)(x+3)(x−3) · (x+3)(x+3)(x−2)(x+1) = (x+2)(x+3)(x−3)(x+1)

b) x2+5x

x2−x−6 · x2+4x+46x+30

= x(x+5)(x−3)(x+2) · (x+2)(x+2)6(x+5) = x(x+2)6(x−3)

• Če so v izrazu oklepaji, ravnamo enako, kot pri številskih izrazih: najprejodpravimo oklepaje, nato opravimo množenja in deljenja in šele na koncuseštevanja in odštevanja.


ˇ

2 Zgled 28: Izračunaj.(6

x2 − 2x − 3 +x − 4x − 3

):

3x − 3x2 − 2x − 3 =

razstavimo imenovalce in pomnoženi ulomek,

=

(6

(x + 1)(x − 3) +x − 4x − 3

):

3(x − 1)(x + 1)(x − 3) =

ulomka v oklepaju razširimo na skupni imenovalec,

=

(6

(x + 1)(x − 3) +(x + 1)(x − 4)(x + 1)(x − 3)

)· (x + 1)(x − 3)

3(x − 1) =

ter ju seštejemo,

=6 + (x + 1)(x − 4)

(x + 1)(x − 3) ·(x + 1)(x − 3)

3(x − 1) =

poenostavimo števec prvega ulomka,

=6 + x2 − 3x − 4(x + 1)(x − 3) ·

(x + 1)(x − 3)3(x − 1) =

=x2 − 3x + 2

(x + 1)(x − 3) ·(x + 1)(x − 3)

3(x − 1) =

razstavimo števec prvega ulomka,

=(x − 2)(x − 1)(x + 1)(x − 3) ·

(x + 1)(x − 3)3(x − 1) =

ulomka (križno) okraǰsamo in zmnožimo

=(x − 2)

1· 13

=x − 2

3

5.9 Decimalna števila

Vsak ulomek lahko zapǐsemo tudi v obliki decimalnega števila.

15, 87

Delu števila levo ed decimalne vejice pravimo celi del števila, delu desno od deci-malne vejice pa decimalni del števila.

Ulomke z imenovalci 10, 100, 1000, . . . (t. j. potence števila 10) in tiste, ki jih lahkorazširimo na enega od teh imenovalcev zapǐsemo v decimalni obliki direktno. Takimulomkom pravimo desetǐski ulomki.


ˇ

Zgled 29: Zapǐsi v decimalni obliki.

a) 410

= 0, 4

b) 51100

= 0, 51

c) 3491000

= 0, 349

d) 247100

= 2, 47

e) 15710

= 15, 7

f) 231000

= 0, 023

g) 425

= 16100

= 0, 16

h) 34

= 75100

= 0, 75

i) 320

= 15100

= 0, 15

j) 45

= 810

= 0, 8

Ulomke, kateri v imenovalcu nimajo števil 10, 100, 1000, . . . in se jih tudi ne darazširiti na take, zapǐsemo v decimalni obliki tako, da števec delimo z imenovalcem.

Če se deljenje nikoli ne ustavi, dobimo periodično decimalno število, v kateremse števke v decimalnem delu od nekje naprej periodično ponavljajo (perioda deci-malnega števila).

Perioda decimalnega števila je lahko tudi zelo dolga.

Zgled 30: Zapǐsi v decimalni obliki.

a) 321125

= 321 : 125 = 2, 568

b) 23

= 2 : 3 = 0, 666 . . . = 0, 6

c) 2312

= 23 : 12 = 1, 91666 . . . = 1, 916

d) 1411

= 14 : 11 = 1, 272727 . . . = 1, 27

e) 1217495

= 1217 : 495 = 2, 4585858 . . . = 2, 458

f) 30499

= 304 : 99 = 3, 070707 . . . = 3, 07

g) 57

= 5 : 7 = 0, 714285714285 . . . = 0, 714285

Tako smo se naučili pretvarjati ulomke v decimalna števila. Kako pa je z obratnopotjo, pretvarjanjem decimalnih števil v ulomke?


ˇ

Zgled 31: Zapǐsi z ulomki.

a) 2, 56 = 256100

= 6425

b) 17, 5 = 17510

= 352

c) 0, 034 = 341000

= 17500

d) 0, 120 = 12100

= 325

e) 5, 045 = 50451000

= 1009200

f) 23, 27 = 2327100

c) 5, 15 = 515100

= 10120

Težje pa je pretvoriti periodična decimalna števila nazaj na ulomke. To naredimopo naslednjem postopku.

Zgled 32: Pretvori število 1, 4777 . . . = 1, 47 v ulomek. Najprej zapǐsemo

x = 1, 47

Nato enačbo množimo s 100 in nato enačbo množimo še z 10. Dobimosistem dveh enačb

100x = 147, 7

10x = 14, 7

enačbi odštejemo med seboj (odštejemo levi strani in odštejemo desni strani)in dobimo

100x − 10x = 147, 7 − 14, 790x = 133

x =133

90

Torej smo periodično decimalno število zapisali z ulomkom.

Kako v zgornjem postopku vemo, s koliko (v tem primeru 100 in 10) množiti?

Prvič množimo s takim številom, da dobimo decimalno vejico za črtico, ki označujeperiodo, in drugič s takim številom, da dobimo decimalno vejico pred črtico, kioznačuje periodo.

Zgled 33: Število 2, 45 bi prvič množili s 100, drugič pa z 1 in dobili enačbi

100x = 245, 45 in x = 2, 45

enačbi odštejemo in dobimo

99x = 243

odtod pa x = 24399

.


ˇ

5.10 Vaje

1. Določi x tako, da bosta ulomka enaka:

a) x30

in 1525

b) 3x

in 714

c) 3339

in x26

[R: a) x = 18, b) x = 6, c) x = 22]

2. Za katera števila x je dani ulomek enak 0 in za katera števila x dani ulomek nidefiniran?

a) x+5x−7

b) xx+2

c) 2x−1x+3

d) x2−x−6x+1

[R: a) za x = 7 ni def., za x = −5 enak 0, b) za x = −2 ni def., za x = 0 enak 0, c)za x = −3 ni def., za x = 1

2enak 0, d) za x = −1 ni def., za x = −2 in x = 3 enak

0]

3. Okraǰsaj ulomke:

a) 14481

b) 256144

c) 6xy9x

d) 5x2y

10xy

[R: a) 169, b) 16

9, c) 2y

3, d) x

2]

4. Uredi ulomke po velikosti.

5

7,3

5,

7

10,29

35,1

2,11

14

[R: 12

< 35

< 710

< 57

< 1114

< 2935

]

5. Izračunaj.

a) 116− 5

12+ 3

4=

b) 34− 3

5+ 2 6

10+ 17

4=

c) 23

+ 2 + 214− 11

2− 11

12=

d) −1 + 223− 13

4+ 6

6=

e) 113

+ 1 + 225− 15

6− 1

2=

f) 2 + 2 910

− 34

+ 35

=

[R: a) 136, b) 7, c) 5

2, d) 11

12, e) 12

5, f) 19

4]

6. Izračunaj.

a) 37· 22

3− 3

7: 11

2+ 11

7=

b) 78

: 116− 7

8· 15

7+ 2 =

c) 335· 2 1

12− (33

8+ 15

6) : 31

8=

d) (3 120

− 2 · 6) · 5 : 614

+ 4 =

e) 115

+ (4 − 134

: 72) · 4

5=

f) 37· (21

2+ 1

3) − 3

7: 11

2+ 2 =

g) (1 − 910

) · (3 + 1012

: 112) =

h) (1 − 17) · (31

2+ 21

2: 11

2) =


ˇ

[R: a) 2, b) 54, c) 35

6, d) −79

25, e) 4, f) 41

14, g) 1, h) 9]

7. Izračunaj.

a)5

725

14

= b)12

259

50

=

[R: a) 25, b) 8

3]

8. Okraǰsaj algebrske ulomke.

a) x2+x−6x2−9 =

b) x2−7x

2x2−14x =

c) x2+6x+5

x2+4x−5 =

d) x2−x−2

x2−2x−3 =

e) x3+2x2+xx3−x =

f) 2x3+10x2

x2+3x−10 =

[R: a) x−2x−3 , b)

12, c) x+1

x−1 , d)x−2x−3 , e)

x+1x−1 , f)

2x2

x−2 ]

9. Razširi ulomka na skupni imenovalec in seštej oziroma odštej.

a) 1x+2

+ 1x−2 =

b) 3x+5

+ xx+2

=

c) (a2−84

+ 2) · 10a2

=

d) ( 3xx+2

− 1) · 2x−1 =

e) x2x+6

+ x+1x+3

=

f) 53x+3

− x−72x+2

=

g) x+1x+5

− x−2x−5 =

h) x+3x2+2x

− x+3x2−x =

[R: a) 2x(x+2)(x−2) , b)

x2+8x+6(x+5)(x+2)

, c) 52, d) 4

x+2, e) 3x+2

2(x+3), f) 31−3x

6(x+1), g) 5−7x

(x+5)(x−5) , h)−3x−9

x(x+2)(x−1) ]

10. Izračunaj.

a) 2xx−5 − x+3x+5 − 3x−5x2−25 =

b) x2+9xx2−9 +

xx+3

− x+1x−3 =

c) 2x−1x−5 − x+1x−2 + −2x−17x2−7x+10 =

d) (a−3a

− a−3a2−2a) :

a−3a

=

e) ( 2aa+2

− a2+3a2+a−2) · a

2−4a2−6a+9 =

f) ( aa+3

− 3a+10a2+3a

) · a2+8a+15a2−25 =

g) (a+1a+2

− 2a+2a2+2a

) · a2+2aa2−4a+4 =

h) a2+2aa+6

· ( 2aa−4 − a

2−a+6a2−2a−8) =

[R: a) x+4x−5 , b)

x−1x−3 , c)

x+3x−2 , d)

a−3a−2 , e)

(a+1)(a−2)(a−1)(a−3) , f)

a+2a

, g) a+1a−2 , h)

a(a−1)a−4 ]

11. Dane ulomke zapǐsi v decimalni obliki.

a) 34

b) 75

c) 138

d) 13

e) 1711

f) 1112

g) 16113

h) 27

[R: a) 0, 75, b) 1, 4, c) 1, 625, d) 0, 3, e) 1, 54, f) 0, 916, g) 12, 384615, h) 0, 285714]

12. Dana decimalna števila zapǐsi kot ulomke.


ˇ

a) 3, 25

b) 6, 5

c) 11, 2

d) 0, 73

e) 0, 052

f) 1′09

g) 5, 37

h) 2, 06

i) 0, 37

j) 1, 235

[R: a) 134, b) 13

2, c) 56

5, d) 73

100, e) 13

250, f) 12

11, g) 532

99, h) 31

15, i) 17

45, j) 1223

990]

13. Izračunaj z ulomki.

a) 115

+ (4 − 134

: 3, 5) · 45

=

b) 3, 5 : 245− 3, 2 · 0, 5 + 2, 4 · 5

8− 3

20=

c) 1, 8 · 1, 5 + 4, 8 : 135− 0, 6 : 0, 4 =

d) 2, 1 : 75− 1, 6 · 0, 25 + 3, 2 · 5

8=

e) 1, 6 : 135

+ 1, 03 − 137· 1, 4 =

f) 2, 3 − 1, 83 · 1, 2 + 2, 1 : 125

=

g) (0, 46 + 35) : 0, 71 =

h) (1 − 5′54 : 11) : 0, 60 =[R: a) 4, b) 1, c) 43

10, d) 31

10, e) 1

33, f) 8

5, g) 3

2, h) 9

11]


ˇ

6 Potence s celimi eksponenti

Če ponovimo na kratko definicijo potence z naravnim eksponentom ter pravila zaračunanje z njimi: potenca je kraǰsi zapis za množenje več enakih faktorjev medseboj.

Zgled 1:2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 212

Zgled 2:a · a · a · . . . · a · a · a = an

Število a je osnova potence, število n pa eksponent potence.


a) 23 = 2 · 2 · 2 = 8b) 32 = 3 · 3 = 9c) 103 = 1000

Kako določimo predznak potence?


a) (−2)2 = (−2)(−2) = 4b) (−2)3 = (−2)(−2)(−2) = −8c) (−2)4 = (−2)(−2)(−2)(−2) = 16d) (−2)5 = (−2)(−2)(−2)(−2)(−2) = −32e) (−5)2 = (−5)(−5) = 25f) −52 = −5 · 5 = −25 Potenciranje ima prednost!!

Kaj pa pravila za računanje z njimi?

Zgled 5: Množenje potenc z enakimi osnovami.

a) 43 · 46 = 43+6 = 49 osnova se prepǐse, eksponenta se seštejetab) 25 · 29 = 25+9 = 214 Formula: an · am = an+m

c) x6 · x5 = x6+5 = x11


ˇ

Zgled 6: Množenje potenc z enakimi eksponenti.

a) 34 · 54 = (3 · 5)4 = 154 osnovi se zmnožita, eksponent se prepǐseb) 26 · 56 = (2 · 5)6 = 106 = 1000000 Formula: an · bn = (ab)n

c) 26 · x6 = (2x)6

Zgled 7: Potenciranje potence.

a) (22)3 = 22 ·22 ·22 = 26 osnova se prepǐse, eksponenta se zmnožitab) (x7)3 = x21 Formula: (an)m = an·m

c) (103)5 = 1015

Deljenja potenc si še nismo ogledali. Najprej si poglejmo, kakšno je pravilo zadeljenje potenc.

Zgled 8: Deli potence.

a) x9 : x5 = x9

x5= x·x·x·x·x·x·x·x·x

x·x·x·x·x =x4

1= x4

b) a5 : a3 = a·a·a·a·aa·a·a = a

2

c) b13 : b7 = b13−7 = b6

Pravilo za deljenje potenc:

an : am = an−m osnova se prepǐse, eksponenta odštejeta

To, zadnje pravilo pa nam prinese še nekaj novih pojmov - potenco z negativnimeksponentom. Poglejmo si, kako pridemo do nje in kaj pomeni potenca z negativnimeksponentom.

Zgled 9: Izračunaj.53 : 53 = 53−3 = 50

Po drugi strani pa je53 : 53 = 125 : 125 = 1

Torej je 50 = 1.

Pravilo:

a0 = 1 (a �= 0) karkoli na nič je 1, razen 00.Zgled 10: Izračunaj.

x3 : x7 = x3−7 = x−4

Po drugi strani pa je

x3 : x7 =x3

x7=

x · x · xx · x · x · x · x · x · x =

1

x4

Torej je x−4 = 1x4


ˇ

Pravilo:

a−n =1

andefinicija potence z negativnim eksponentom

Poglejmo si sedaj na nekaj primerih, kako ravnamo s takimi potencami.

Zgled 11: Upoštevaj definicijo potence z negativnim eksponentom inizračunaj.

a) 2−3 = 123

= 18

b) 3−2 = 132

= 19

c) 5−2 = 152

= 125

d) 10−1 = 110

Spomni se: Obratna vrednost števila!

e) (−2)−4 = 1(−2)4 =

116

f) (−5)−2 = 1(−5)2 =

125

g) (−3)−3 = 1(−3)3 =

1−27 = − 127

h) (−9)−1 = 1−9 = −19i) (−7)−1 = 1−7 = −17a) (2

3)−1 = 3

2Spomni se: Obratna vrednost ulomka!

b) (14)−2 = (4

1)2 = 16

c) (45)−3 = (5

4)3 = 125

64

Iz zadnjih treh zgledov tudi vidimo, kako potenciramo ulomke na negativen ekspo-nent. Števec in imenovalec se zamenjata, eksponent na ostane brez predznaka.

Pravilo:

(a

b)−n = (

b

a)n

6.1 Pravila za računanje s potencami s celimi eksponenti

Pri računanju s potencami z negativnimi eksponenti uporabljamo enaka pravila, kotza računanje s potencami z naravnimi eksponenti. Zapisana skupaj so:

an · am = an+m an : am = an−man · bn = (ab)n an : bn = (a

b)n

(an)m = an·m a0 = 1a−n = 1

an(a

b)−n = ( b

a)n


ˇ

Zgled 12: S pomočjo prvih dveh pravil izračunaj oziroma poenostavi.

a) x−4 · y−3 · x−7 · x5 · y−5 = x−4−7+5 · y−3−5 = x−6y−8

b) (x3y−2)−2 = x−6y4

c) (2x−1y−4)−3 = 2−3x3y12 = 18x3y12

d) (2x2y−6)−2 · 12x3y−2 = 14x−4y12 · 12x3y−2 = 3x−1y10

Zgled 13: Izračunaj in rezultat zapǐsi z decimalnim številom.(1 − (2

3)−10 + (

1

99)−1

)0+ (

5

9)−2 − (−5)−2 + (−2)−1 + ( 3

10)2 =

= 1 + (9

5)2 − 1

25− 1

2+

9

100=

= 1 +81

25− 1

25− 1

2+

9

100=

=100

100+

324

100− 4

100− 50

100+

9

100=

=379

100= 3, 79

6.2 Vaje

1. Izračunaj.

a) 2−3 =

b) 15−2 =

c) 1−7 =

d) 3−3 =

e) 9−2 =

f) 10−1 =

g) 7−2 =

h) 5−4 =

[R: a) 18, b) 1

225, c) 1, d) 1

27, e) 1

81, f) 1

10, g) 1

49, h) 1

625]

2. Izračunaj.

a) (−2)−1 =b) (−3)−3 =c) (−5)−2 =d) (−1)−155 =

e) (−7)−1 =f) (−10)−2 =g) (−9)−2 =h) (−9)−1 =


ˇ

[R: a) −12, b) − 1

27, c) 1

25, d) −1, e) −1

7, f) 1

100, g) 1

81, h) −1

9]

3. Izračunaj.

a) (23)−1 =

b) (15)−2 =

c) (43)−3 =

d) (89)−2 =

e) (45)−2 =

f) (109)−2 =

g) (−3−4)−2 =

h) (−10−7 )−1 =

[R: a) 32, b) 25, c) 27

64, d) 81

64, e) 25

16, f) 81

100, g) 16

9, h) 7

10]

4. Zapǐsi z ulomki in izračunaj.

a) 0, 5−3 =

b) 1, 5−2 =

c) 2, 5−2 =

d) 0, 1−3 =

e) 0, 75−2 =

f) (0, 09)−2 =

g) (0, 4)−1 =

h) (0, 16)−2 =

[R: a) 8, b) 49, c) 4

25, d) 1000, e) 16

9, f) 121, g) 9

4, h) 36]

5. Izračunaj.

a) (−2)2 + (13)−2 + (1 − 10)0 =

b) (76)−1 + 7−1 − (−5

3)0 + 7−2 =

c) (13)−3 − 2−2 − (−1)−2005 + (2

3)−2 =

d) 2 · (−7)−1 + (72)−1 − 2−2 + (2

9)−2 =

e) (20050 + 20060)−2 − (45)−1 =

f) (−2)−2 − (1−7 − 7−1) · (1−1 + 6−1) =g) (4

3)−2 · ((2

3)−2 − (−2)−2) =

h) (50 + 20050 + 05) : (2005 · 02005 + 20) =[R: a) 14, b) 1

49, c) 30, d) 20, e) −1, f) −3

4, g) 9

8, h) 2]

5. Izračunaj.

a)(1 − (2

3)−10 + ( 1

99)−1

)0+ (10

3)−2 − (−5)−2 + (−2)−2 =

b) (1 − 5)0 + ((13)−2 − 0, 5−1)2 + (−1)−190 =

c) 0, 75−1 · (13)−2 ·

(20+40

50+60+70

)· (20 − 2−1) =

d) ((99 − 210)0 + (7292 + 92 · 29)0)−2 · (14)−1 =

e) (4x2y−3)−2 =

f) (4xy−2)−1 · (2−1x2y)−3 =g) ( 1

24xy2)−1 · (3x3y−1)−2 · (2x−2y−7)−3 =

h) (4x2

3y)−2 · (9y3

2x)−1 =

[R: a) 1310

, b) 49, c) 4, d) 1, e) 14x−4y6, f) 2x−7y−1, g) 1

3x−1y21, h) 1

8x−3y−1]


ˇ

7 Kvadratni in kubični koren

Kvadratni in kubični koren sta obratni operaciji kvadriranju in kubiranju. Zato setudi definicija kvadratnega in kubičnega korena sklicuje na kvadriranje in kubiranje.

Število x je kvadratni koren števila a (x =√

a), če je x2 = a.

Število y je kubični koren števila b (y = 3√

b), če je y3 = b.

Za kvadratni koren pravimo, da je stopnje dve, za kubičnega pa, da jestopnje tri. ← Pomni!

Stopnja korena

Zgled 1:52 = 25√

25 = 5, ker je 52 = 25Zgled 2:

53 = 1253√

125 = 5, ker je 53 = 125

Kvadratne in kubične korene nekaterih števil lahko izračunamo na pamet, drugelahko le s kalkulatorjem.

Zgled 3: Izračunaj na pamet.

a)√

64 = 8, ker je 82 = 64

b)√

49 = 7, ker je 72 = 49

c)√

81 = 9, ker je 92 = 82

d)√

36 = 6, ker je 62 = 36

e)√−36 =??, saj kvadrat nobenega števila ne da −36

f)√

0 = 0, ker je 02 = 0

g) 3√

64 = 4, ker je 43 = 64

h) 3√

27 = 3, ker je 33 = 27

i) 3√

8 = 2, ker je 23 = 8

j) 3√−27 = −3, ker je (−3)3 = −27

k) 3√−1000 = −10, ker je (−10)3 = −1000

Na zgornjih zgledih e), f), j) in k) lahko že opazimo lastnost, ki jo imata kvadratniin kubični koren.

Kvadratni koren lahko izračunamo le za nenegativna števila (pozitivnaštevila in število 0), kubičnega pa za poljubno število. ← Pomni!


ˇ

Temu pravimo tudi, da je kvadratni koren definiran le za nenegativna števila,kubični koren pa definiran za poljubna realna števila.

Zgled 4: Izračunaj s pomočjo kalkulatorja.

a)√

27 = 5, 1961524 . . .

b)√

8 = 2, 8284271 . . .

c) 3√

25 = 2, 9240177 . . .

d) 3√

9 = 2, 08000838 . . .

Druga lastnost kvadratnega in kubičnega korena je, da je kvadratni in kubični korenv splošnem iracionalno število (brez konca decimalk, ki se ne ponavljajo). ← Pomni!

Iracionalna števila

Če združimo racionalna števila (ulomke) s kvadratnimi in kubičnimi koreni, dobimomnožico števil, ki ji pravimo realna števila. Oznaka zanje je R. ← Pomni!

Realna števila

Naučiti pa se moramo tudi računati s kvadratnimi in kubičnimi koreni, za kar papotrebujemo pravila, po katerih se bomo ravnali.

7.1 Pravila za računanje s kvadratnim in kubičnim korenom

Seštevanje in odštevanje korenov: Korene lahko seštevamo in odštevamo le ta-krat, ko so enaki. ← Pomni!

Seštevanje inodštevanje korenov.

Pravili: √a +

√a = 2

√a

3√

a + 3√

a = 2 3√

a

Zgled 5: Poenostavi izraze:

a)√

2 + 2√

5 − 5√5 = √2 − 3√5b)

√3 + 3

√6 + 7

√2 − 2√3 − 5√6 + √2 = 8√2 −√3 − 2√6

c) 2(√

2 +√

3)− 3(√2−√3) = 2√2 + 2√3− 3√2 + 3√3 = −√2 + 5√3

Množenje in deljenje korenov: Korene lahko množimo, če so enakih stopenj(kvadratne korene s kvadratnimi koreni, kubične korene s kubičnimi).

Pravila:√

a ·√

b =√

a · b √a :√

b =√

a : b =

√a

b

3√

a · 3√

b =3√

a · b 3√a : 3√

b =3√

a : b = 3√

a

b


ˇ


a)√

2 · √2 = √4 = 2b)

√12 · √75 = √900 = 30

c)√

6 · √24 = √144 = 12d)

√32 :

√8 =

√4 = 2

e)√

50 :√

2 =√

25 = 5

f)√

1000 :√

10 =√

100 = 10

g) 3√

12 · 3√18 = 3√216 = 6h) 3

√72 : 3

√9 = 3

√8 = 2

i) 3√−16 : 3√2 = 3√−8 = −2

Pravili za deljenje nam dasta hkrati tudi navodilo, kako korenimo ulomke. Ulomkekorenimo tako, da korenimo števec posebej in imenovalec posebej.


a)√

1625

= 45

b)√

10081

= 109

c)√

28

=√

14

= 12

Ulomek okraǰsamo, če se da.

d)√

2712

=√

94

= 32

e)√

30027

=√

1009

= 103

Potenciranje korenov: Ta lastnost sledi iz same definicije kvadratnega in kubičnegakorena ter pravil za množenje korenov.

Pravila:(√

a)2 =√

a2 = a ( 3√

a)3 =3√

a3 = a

(√

a)n =√

an ( 3√

a)n = 3√

an


ˇ


a) (√

5)2 = 5

b) (√

7)2 = 7

c) ( 3√

4)3 = 4

d) ( 3√−2)3 = −2

e) (√

5)3 =√

53 =√

125

f) ( 3√

6)2 =3√

62 = 3√

36

Poleg teh splošnih pravil za računanje s koreni pa poznamo še dve pravili oziromapostopka, ki nam pomagata poenostavljati izraze, ki vsebujejo korene. To sta delnokorenjenje ter racionalizacija ulomkov.

7.2 Delno korenjenje

Kadar se števil ne da skoreniti, jih poizkusimo vsaj delno koreniti. Pri tem upora-bljamo pravili za množenje korenov ter potenciranje korenov. Tako dobimo pravili:

√a2b =

√a2 ·

√b = a

√b

3√

a3b =3√

a3 · 3√

b = a3√

b

Zgled 9: Delno koreni.

a)√

12 =√

4 · 3 = 2√3b)

√32 =

√16 · 2 = 4√2

c)√

48 =√

16 · 3 = 4√3d)

√18 =

√9 · 2 = 3√2

e)√

75 =√

25 · 3 = 5√3f) 3

√54 = 3

√27 · 2 = 3 3√2

7.3 Racionalizacija imenovalca

Drugi postopek pa je racionalizacija imenovalca ulomka. Le-to uporabimo, kadarimenovalec vsebuje korene. Pri tem uporabimo pravilo, ki smo ga srečali pri izrazih:

(a − b) · (a + b) = a2 − b2

Pri nas bosta števili a in b korena. Delovanje pravila si najprej oglejmo na prepro-steǰsih zgledih, kot je racionalizacija.


ˇ

Zgled 10: Zmnoži.

a) (2 −√3)(2 + √3) = 22 − (√3)2 = 4 − 3 = 1b) (5 −√4)(5 + √4) = 52 − (√4)2 = 25 − 4 = 21c) (

√7 −√3)(√7 + √3) = (√7)2 − (√3)2 = 7 − 3 = 4

Pri množenju takih izrazov se torej popolnoma znebimo korenov. Poglejmo si šeuporabo pri racionalizaciji imenovalcev ulomkov.

Zgled 11: Racionaliziraj imenovalce.

a) 10+√

5√5

= 10+√

5√5

·√

5√5

= (10+√

5)·√55

= 10√

5+55

= 5(2+√

5)5

= 2 +√

5

b) 12+2√

3√3

= 12+2√

3√3

·√

3√3

1 letnik matematika2018/12/01 · matematika 1 skripta je namenjena kot dodatek k predavanjem...

Documents