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Ondes HZS-OE5-NW144 – C. Reynaerts Version 1.0 Septembre 2012 1-1 1 Les notions fondamentales concernant les ondes mobiles Dans ce chapitre tu apprends, à connaître les ondes mobiles, à décrire une onde mobile par sa fonction d’onde, en particulier l’onde harmonique, à connaitre les paramètres associés aux ondes harmoniques, à connaitre les facteurs déterminant la vitesse de propagation ou célérité des ondes, à connaitre la notion de front d’onde, que malgré leur vaste diversité, les ondes ont également beaucoup en commun.

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Version 1.0 Septembre 2012

1-1

1 Les notions fondamentales concernant les ondes mobiles

Dans ce chapitre tu apprends,

• à connaître les ondes mobiles,

• à décrire une onde mobile par sa fonction d’onde, en particulier l’onde harmonique,

• à connaitre les paramètres associés aux ondes harmoniques,

• à connaitre les facteurs déterminant la vitesse de propagation ou célérité des ondes,

• à connaitre la notion de front d’onde,

• que malgré leur vaste diversité, les ondes ont également beaucoup en commun.

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1.1 Les ondes mobiles Une onde mobile est la variation d’une grandeur physique se propageant dans un milieu ou dans le vide.

• une onde mécanique: le déplacement, la densité, la pression

• une onde électromagnétique: le champ électrique et le champ magnétique.

Il y a toujours un transport d’énergie associé à une onde.

On parle d’une onde transversale lorsque la direction dans laquelle la grandeur physique varie, est perpendiculaire par rapport à la direction de propagation de l’onde. On parle d’une onde longitudinale lorsque la direction dans laquelle la grandeur physique varie, est la même que la direction de propagation de l’onde.

EXEMPLES

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1.2 La fonction d’onde La fonction d’onde, f, décrit la variation de la grandeur physique y en fonction de la position x et du temps t. L’onde se propage à une vitesse v.

• une onde mobile vers la droite: )tvx(fy ⋅−=

t = 0 t

• une onde mobile vers la gauche: )tvx(fy ⋅+=

t = 0 t

Quand la fonction f prend la forme d’un sinus ou d’un cosinus, on parle d’une onde harmonique:

)txksin(A

)tT

2x

2sin(A))

T

tx(2sin(A))tf

x(2sin(A

))tfx

(2sin(A))tvx

(2sin(A))tvx(2

sin(Ay

φ−⋅ω±⋅⋅=

φ−⋅π⋅

±⋅λ

π⋅⋅=φ−±

λ⋅π⋅⋅=φ−⋅±

λ⋅π⋅⋅=

φ−⋅λ

⋅λ±

λ⋅π⋅⋅=φ−⋅

λ±

λ⋅π⋅⋅=φ−⋅±⋅

λ

π⋅⋅=

or

A : l’amplitude, l’intensité maximale de la variation

v : la vitesse de propagation ou célérité de l’onde, T

fvλ

=⋅λ= [ v ] = m s-1

λ : la longueur d’onde, la distance minimale entre deux points

aux phases identiques [ λ ] = m

T : la période, le temps dans lequel l’onde parcourt une longueur d’onde [ T ] = s

f : la fréquence, T

1f = [ f ] = Hz = s-1

k : le nombre d’onde, λ

π⋅=

2k [ k ] = rad m-1

ω : la pulsation, f2T

2⋅π⋅=

π⋅=ω [ ω ] = rad s-1

φ : l’angle de déphasage [ φ ] = rad

x

y

x

y

tv ⋅

x

y

x

y

tv ⋅

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La longueur d’onde λ est la distance parcourue par l’onde harmonique dans un laps de temps égal à une période T.

golflengte - longeur d'onde

y(x,t)

x

λλλλ

λλλλ

periode - période

t

y(x,t) T

T

1.3 L’équation d’onde et la vitesse de propagation des ondes En appliquant certains des procédés expliqués dans les cours de mathématiques, on peut prouver que les fonctions d’ondes obéissent à une équation, appelée équation différentielle partielle

2

22

2

2

x

yv

t

y

∂⋅=

∂⇒ l’équation d’onde.

La rédaction de telles équations d’ondes permet aux physiciens de rédiger des expressions pour la vitesse de propagation ou célérité des ondes. Le tableau de classification des ondes en annexe auprès de ce syllabus en donne quelques exemples. DEVOIR Analyse attentivement les expressions pour les vitesses de propagation dans le tableau de classification des ondes. Essaye d’en tirer des conclusions au sujet des facteurs déterminant les célérités.

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1.4 La vitesse de propagation ou célérité Il existe des sortes d’ondes dont la vitesse de propagation ou célérité dépend de la fréquence de l’onde. Ce phénomène est appelé la dispersion. Un exemple en est la dispersion par un morceau de verre d’un faisceau de lumière blanche dans les couleurs de l’arc-en-ciel.

Un autre exemple d’un milieu dispersif est l’eau, du moins pour les ondes superficielles. La vitesse de propagation, v, d’une onde harmonique à la surface de

l’eau dépend de sa longueur d’onde λ, de l’accélération gravitationnelle g, de la

densité de l’eau ρ, de la profondeur de l’eau d et de la tension superficielle σ (ρ ≈

1000 kgm-3, σ ≈ 0,07 Nm-1). 1 2

1.5 Les fronts d’onde Une surface dont tous les points manifestent la même variation dans la grandeur physique “ondulante” est appelée un front d’onde. EXEMPLES

1.6 L’énergie transportée par une onde La quantité moyenne d’énergie transportée par unité de temps par une onde harmonique, la

puissance moyenne, P , est directement proportionnelle au carré de l’amplitude et directement proportionnelle au carré de la fréquence de l’onde. Une importante grandeur dérivée est l’intensité I de l’onde, notamment la puissance moyenne transportée par unité de superficie.

1 Dans les eaux profondes ( d >> λ) des ondes (avec une longueur d’onde λ > 10 cm), appelées ondes

de gravitation sont causées par un vent constant et fort. Elles sont à leur tour la cause du mal de mer. 2 Dans les eaux profondes ( d >> λ) des ondes (avec une longueur d’onde λ < 0,5 cm), appelées

ondes capillaires ou rides, sont causées par un vent faible. On les trouve également à la surface d’un récipient d’eau effectuant une vibration à faible amplitude et à haute fréquence.

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Dans le cas d’ondes émises par une source ponctuelles et se propageant avec la même vitesse dans toutes les directions, les fronts d’ondes sont des sphères concentriques avec la source au centre. La puissance de la source à une distance r de cette source est donc

répartie sur l’aire d’une sphère, 4πr². Autrement dit, l’intensité est inversement proportionnelle à la distance r par rapport à la source! EXERCICE Déterminez l’unité SI de l’intensité et exprimez la en fonction des unités fondamentales.

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1.7 Orientation pour faire un résumé de ce chapitre La définition d’une onde mobile : Les notions « onde transversale » et « onde longitudinale » :

La définition de la fonction d’onde + l’expression de ses formes générales : La définition de l’onde harmonique :

La définition d’un front d’onde : La définition de l’intensité d’une onde : La formule pour l’intensité d’une onde émise par une source ponctuelle :

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L’expression de la fonction d’onde pour une onde harmonique + la définition des symboles + les rapports entre eux: Complétez le tableau concernant la classification des ondes mobiles !

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1.8 Exercices

(R = 8,31 J/(mol K) ) [1] Quelle est la vitesse de propagation d’une onde dont la fréquence est de 100 Hz et la

longueur d’onde est de 11 m? [2] La vitesse relative de l’aiguille d’un tourne-disque par rapport au sillon est de 25 cm/s.

Les “bosses” dans le sillon se trouvent à des intervalles de 0,1 mm. Calculez la fréquence du son produit.

[3] Une sirène consiste d’un disque avec 15 trous uniformément répartis, à travers lesquels on souffle de l’air. Le disque tourne uniformément au régime de 20 révolutions par seconde. Calculez la fréquence du son produit.

[4] Calculez la longueur d’onde dans de l’air ou la vitesse de propagation du son est de 331 m/s, pour une onde sonore avec une fréquence de 440 Hz.

[5] La vitesse de propagation du son dans de l’eau de mer est de 1531 m/s. Calculez la longueur d’onde d’une onde sonore avec une fréquence de 256 Hz.

[6] La fréquence d’un diapason est de 300 Hz. La vitesse du son dans l’eau est de 1498 m/s et de 331 m/s dans l’air. Calculez la longueur d’onde du son produit par le diapason dans l’eau et dans l’air.

[7] La fréquence d’un diapason est de 600 Hz. La longueur d’onde dans l’eau du son produit par ce diapason est de 2,5 m. Calculez la vitesse du son dans cet eau.

[8] Un petit bateau amarré est bercé par la houle. La distance entre les crêtes des ondes est de 30 m. Tous les 4 s, le bateau se déplace verticalement de 2 m. Calculez la fréquence, la vitesse de propagation et l’amplitude de l’onde, et la vitesse des molécules d’eau.

[9] Un tremblement de terre engendre deux sortes d’ondes, l’onde P et l’onde S aux vitesses de propagation respectives de 8,0 km/s et de 4,5 km/s. A un certain endroit, l’onde P est enregistrée 3 minutes avant l’onde S. A quelle distance est-ce que cet endroit se trouve-t-il de l’épicentre?

[10] Une onde avec une fréquence f1 et une longueur d’onde λ1 se propage à une vitesse v dans un premier milieu et ensuite à une vitesse qui est le double de v dans un second

milieu. Quelles sont les valeurs de la fréquence f2 et de la longueur d’onde λ2 de cette onde dans le deuxième milieu?

[11] A quelle vitesse est-ce qu’une onde se propage sur une corde tendue, soumis à une tension de 192 N. La masse de la corde est de 2 kg par 6 mètres de longueur.

[12] Combien de temps faut-il à une impulsion pour effectuer un aller-retour sur une corde tendue soumis à une tension de 2 kN? La masse de la corde est de 7 kg et sa longueur est de 30 m.

[13] Le module de Young du Cu est de 1,2 1011 Pa et la densité du Cu est de 8,8 103 kg/m³. A quelle vitesse est-ce que une onde sonore se déplace dans une barre de cuivre?

[14] Le son se propage dans l’eau à une vitesse de 1450 m/s. Calculez le module d’élasticité de l’eau?

[15] Une augmentation de la pression de 1,0 105 Pa engendre une diminution du volume d’eau de 5 10-5 fois le volume initial. Calculez la longueur d’onde dans l’eau d’une onde sonore avec une fréquence de 200 Hz.

[16] Calculez la vitesse du son dans de l’He (4,00 u ; γ = 1,66) à 800 °C et 2,3 105 Pa.

[17] Calculez la vitesse du son dans du CO2 (44 u ; γ = 1,30) à 400 °C et 0,5 105 Pa.

[18] Calculez la vitesse du son dans l’air (γ = 1,40) à la pression normale (1013 hPa) et à la température de 0 °C. La densité de l’air dans ces conditions est de 1,293 kg/m³.

[19] Calculez la vitesse du son dans de l’H2 (γ = 1,40) à la pression normale (1013 hPa) et à la température de 0 °C. La densité relative de l’H2 est de 0,069.

[20] Calculez la vitesse du son dans de l’air à 24 °C. [21] Calculez la longueur d’onde du son produit par un diapason avec une fréquence de 284

Hz dans l’air à 25 °C.

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[22] Une sirène consiste en un disque avec 40 trous uniformément répartis, à travers lesquels on souffle de l’air. Le disque tourne uniformément au régime de 1200 révolutions par minute. La température de l’air est de 15° C. Calculez la fréquence et la longueur d’onde du son produit.

[23] Un projectile est lancé vers une cible à une distance de 800 m. 5 s plus tard la personne ayant lancé le projectile entend l’impact. La température de l’air est de 20 °C. Calculez la vitesse du projectile.

[24] Deux personnes, A en B, se trouvant à 5 km l’un de l’autre disposent chacun d’un chronomètre et d’un fusil. 15,5 s après avoir vu l’éclair, A entend la détonation de l’arme à feu de B. 14,5 s après avoir vu l’éclair, B entend la détonation de l’arme à feu de A. Calculez de vitesse du son dans l’air et la vitesse du vent dans la direction AB.

[25] Une source ponctuelle émet des ondes de manière isotrope. A 2,50 m de la source, l’intensité des ondes est de 1,91 10-4 W/m². Quelle est la puissance de la source?

1.9 Réponses [1] 1100 m/s [2] 2,5 kHz [3] 300 Hz [4] 0,75 m [5] 5,98m [6] 4,99 m ; 1,10 m [7] 1500 m/s [8] 0,25 Hz ; 7,5 m/s ; 1 m ; 1,57 m/s [9] 1855 km

[10] f1 ; 2 fois λ1 [11] 24 m/s [12] 0,65 s [13] 3693 m/s [14] 2,1 GPa [15] 7,07 m [16] 1924 m/s [17] 406 m/s [18] 331 m/s [19] 1260 m/s [20] 345 m/s [21] 1,218 m [22] 800 Hz ; 42,5 cm [23] 300 m/s [24] 333,7 m/s ; 11,1 m/s [25] 0,015 W

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2 Les battements – la réflexion des ondes – les ondes stationnaires

Dans ce chapitre tu apprends,

• à étudier le phénomène produit par la superposition de deux ondes harmoniques aux fréquences légèrement différentes, appelé « battements »,

• à étudier la réflexion des ondes,

• à comprendre le phénomène connu comme « ondes stationnaires », produit dans des conditions favorables appelées « résonance », par la superposition d’une onde harmonique et de sa réflexion,

• à apprécier les applications pratiques des ondes stationnaires.

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2.1 Les battements Dans le cas de plusieurs ondes qui se propagent dans la même direction, les élongations engendrées par les ondes individuelles s’ajoutent, autrement dit les ondes se superposent. Des battements est le nom donné au phénomène issu de la superposition de deux ondes avec la même amplitude mais aux fréquences légèrement différentes. Observons le phénomène du point de vue d’un observateur fixe. Le plus simple est de choisir le zéro de l’axe des x au niveau de cet observateur.

)tf2sin(A)tf2sin(Ayyy 2121 ⋅⋅π⋅⋅+⋅⋅π⋅⋅=+=

Les fréquences f1 en f2 des deux ondes peuvent être exprimées en fonction de la fréquence

moyenne, 2

fff 21m

+= , et de la moitié de la différence entre les deux,

2

fff 21d

−=

dm2121

1 ff2

ff

2

fff +=

−+

+= et dm

21212 ff

2

ff

2

fff −=

−−

+= .

( ) )tf2sin()tf2cos(A2

)tf2cos()tf2sin(A2

)tf2sin()tf2cos(A)tf2cos()tf2sin(A

)tf2sin()tf2cos(A)tf2cos()tf2sin(A

)tf2tf2sin(A)tf2tf2sin(Ay

md

dm

dmdm

dmdm

dmdm

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅⋅=

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅−⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅+

⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅+⋅⋅π⋅⋅⋅⋅π⋅⋅=

=⋅⋅π⋅−⋅⋅π⋅⋅+⋅⋅π⋅+⋅⋅π⋅⋅=

Dans les cas des ondes sonores, on observe ce phénomène comme un son de hauteur tonale moyenne qui s’amplifie et s’affaiblit alterné ment, avec une fréquence qui est appelée la fréquence de battement, fb (beat frequency), et qui est égale à

21d fff2 −=⋅ .

-2

-1

0

1

2

0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

t (s)

y/Aamplitude/A

EXERCICE Familiarisez-vous avec les battements par le moyen du fichier Excel mis à votre disposition sur Blackboard à cette fin.

Tb = 1/fb

Tb = 1/fb

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2.2 La réflexion des ondes Ce qui se passe à la réflexion d’une onde sur une extrémité d’un milieu dans lequel l’onde se propage, se concrétise le plus clairement dans le cas d’une impulsion sur une corde tendue, mais les conclusions qui s’en suivent s’appliquent aux ondes mécaniques en général.

2.2.1 La réflexion sur un point “fixe”

Sous l’effet de la force de réaction exercée par le “point d’attache”, l’impulsion est inversée à la réflexion.

Considérons à nouveau le cas d’une onde harmonique. L’onde incidente peut être décrite comme une onde se propageant vers la droite et l’onde réfléchie comme une onde se propageant vers la gauche

)txksin(Ay i ⋅ω−⋅⋅= et )txksin(Ay r φ−⋅ω+⋅⋅= .

Le plus simple est de choisir le zéro de l’axe des x au niveau du point de réflexion. Le

déphasage, φ, est déterminé en exprimant que l’élongation de l’onde réfléchie pour x = 0 est à n’importe quel moment l’opposé de celle de l’onde incidente.

)tsin(A)tsin(A φ−⋅ω⋅−=⋅ω−⋅

( )φ⋅⋅ω⋅−φ⋅⋅ω−=⋅ω⋅− sin)tcos(Acos)tsin(A)tsin(A

φ⋅⋅ω−φ⋅⋅ω=⋅ω sin)tcos(cos)tsin()tsin( 0=φ⇒

L’élongation résultante s’ensuit par la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie

)tf2cos(x

2sinA2)tcos()xksin(A2

)tsin()xkcos(A)tcos()xksin(A

)tsin()xkcos(A)tcos()xksin(A

)txksin(A)txksin(Ayyy ri

⋅⋅π⋅⋅

λ⋅π⋅⋅⋅=⋅ω⋅⋅⋅⋅=

⋅ω⋅⋅⋅+⋅ω⋅⋅⋅+

⋅ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅ω+⋅⋅+⋅ω−⋅⋅=+=

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ce qui signifie que tous les points pour lesquels x est un multiple de λ/2 ne s’écartent jamais

de leur position d’équilibre, et que tous les point pour lesquels x est un multiple impair de λ/4

effectuent une oscillation avec une amplitude maximale, de A2 ⋅ , et avec la fréquence f. On dit qu’une onde stationnaire (E: standing wave) s’est installée et les points ci-dessus sont respectivement appelés nœuds (E: nodes) et ventres (E: anti-nodes).

2.2.2 La réflexion sur un point “libre”

Dans ce cas, l’impulsion est uniquement réfléchie, sans être inversée.

Considérons à nouveau le cas d’une onde harmonique. A nouveau, l’onde incidente peut être décrite comme une onde se propageant vers la droite et l’onde réfléchie comme une onde se propageant vers la gauche

)txksin(Ay i ⋅ω−⋅⋅= et )txksin(Ay r φ−⋅ω+⋅⋅= .

Le plus simple est à nouveau de choisir le zéro de l’axe des x au niveau du point de

réflexion. Le déphasage, φ, est déterminé en exprimant que l’élongation de l’onde réfléchie pour x = 0 est à n’importe quel moment la même que celle de l’onde incidente.

)tsin(A)tsin(A φ−⋅ω⋅=⋅ω−⋅

φ⋅⋅ω⋅−φ⋅⋅ω=⋅ω⋅− sin)tcos(Acos)tsin(A)tsin(A

φ⋅⋅ω+φ⋅⋅ω−=⋅ω sin)tcos(cos)tsin()tsin( π=φ⇒

L’élongation résultante s’ensuit par la superposition de l’onde incidente et de l’onde réfléchie

)tf2sin(x

2cosA2)tsin()xkcos(A2

)tsin()xkcos(A)tcos()xksin(A

)tsin()xkcos(A)tcos()xksin(A

)txksin(A)txksin(A

)txksin(A)txksin(Ayyy ri

⋅⋅π⋅⋅

λ⋅π⋅⋅⋅−=⋅ω⋅⋅⋅⋅−=

⋅ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅−

⋅ω⋅⋅⋅−⋅ω⋅⋅⋅=

⋅ω+⋅⋅−⋅ω−⋅⋅=

π−⋅ω+⋅⋅+⋅ω−⋅⋅=+=

ce qui signifie que tous les points pour lesquels x est un multiple impair de λ/4 ne s’écartent

jamais de leur position d’équilibre, et que tous les point pour lesquels x est un multiple de λ/2

effectuent une oscillation avec une amplitude maximale, de A2 ⋅ , et avec la fréquence f. On dit à nouveau qu’une onde stationnaire (E: standing wave) s’est installée et les points ci-dessus sont respectivement appelés nœuds (E: nodes) et ventres (E: anti-nodes). EXERCICE Déterminez pur chacun des deux cas, la distance entre deux nœuds avoisinants, deux ventres avoisinants, et un nœud et un ventre avoisinant.

2.3 Les ondes stationnaires

2.3.1 La résonance

Lorsqu’une onde réfléchie arrive à l’autre extrémité du milieu dans lequel les ondes se propagent, elle assume à son tour, le rôle d’onde incidente qui sera réfléchie, avec ou sans inversion. Dans le cas ou cette deuxième onde réfléchie serait en phase avec l’onde initiale, celle-ci sera renforcée. L’onde stationnaire est stable et l’amplitude des oscillations continue

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à augmenter aussi longtemps que l’onde incidente continue à être excitée. On appelle cela de la résonance.

Ce phénomène se présente uniquement à condition que l’onde stationnaire “entre” exactement entre les deux extrémités. Trois cas différents peuvent se présenter, suivant que les extrémités sont des nœuds ou des ventres.

2.3.2 Les ondes stationnaires “nœud-nœud”

Ce cas se présente pour une corde tendue entre deux points.

2.3.3 Les ondes stationnaires “ventre-ventre”

Ce cas se présente pour les colonnes d’air vibrantes, ouverts des deux cotés (tuyaux d’orgue ouverts) et pour les barres solides aux extrémités libres.

2.3.4 Les ondes stationnaires “ventre-noeud”

Ce cas se présente pour les colonnes d’air vibrantes, ouvert d’un coté et fermé de l’autre (tuyaux d’orgue fermés).

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2.4 Orientation pour faire un résumé de ce chapitre Explique le phénomène « battements » : La formule pour la fréquence de battement, fb (beat frequency) :

Explique ce que c’est la résonance et les ondes stationnaires :

Vous recevrez trois pages avec des représentations d’ondes stationnaires. Vérifiez auquel des trois cas ci-dessus chacun d’entre eux correspond.

La fréquence minimale pour laquelle la longueur d’onde “entre” dans le milieu et une onde stationnaire s’installe, est appelée la fréquence fondamentale. Les fréquences supérieures pour lesquelles la longueur d’onde “entre” dans le milieu, et une onde stationnaire s’installe, sont appelées les harmoniques. La fréquence fondamentale et les harmoniques sont appelées les fréquences propres (E: eigenfrequencies).

Exprimez pour les trois cas, la fréquence fondamentale et les harmoniques en fonction de la longueur du milieu, L, et de la vitesse de propagation de l’onde, v.

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2.5 Exercices

(la vitesse du son dans l’air à 0°C : 331 m/s) [1] Quel est le nombre de battements par seconde, observé lorsqu’on frappe

simultanément 2 diapasons aux fréquences respectives de 200 Hz et de 205 Hz? [2] Lorsqu’on frappe simultanément 2 diapasons, on observe 4 battements par seconde.

Un des diapasons a une fréquence de 300 Hz. Quelle est la fréquence de l’autre? [3] Une corde en métal a une longueur L de 50 cm et une masse m de 0,50 g. Elle subit

une tension avec une intensité F de 88,2 N. Déterminez la vitesse de propagation, v, d’une onde transversale sur cette corde, la fréquence fondamentale et les fréquences de la première et de la deuxième harmonique.

[4] Une corde tendue a une longueur L de 60 cm et une masse m de 3 g. La fréquence f de la première harmonique est de 200 Hz. Quelle est l’intensité F de la tension?

[5] Une corde tendue a une longueur L de 80 cm et une masse m de 0,2 g. Sa fréquence d’oscillation, f, est de 250 Hz et le nombre de ventres est de 4. Quelle est de l’intensité F de la tension?

[6] La fréquence fondamentale d’une corde tendue est de 256 Hz. Quelle est la fréquence fondamentale d’une corde dont la longueur est la moitié, dont le diamètre est le double et sur laquelle une tension 4 fois plus petite est exercée?

[7] Deux cordes tendues ont la même longueur et le même diamètre et ils sont soumis à la

même tension. La première est fabriquée d’acier (ρr,acier = 7,8) et sa fréquence

fondamentale f1 est de 200Hz. La deuxième est fabriquée d’argent (ρr,argent = 10,6). Quelle est la fréquence fondamentale f2 de la deuxième?

[8] A quelle position est-ce qu’il faut pincer une corde pour exciter sa fréquence fondamentale? A quelle position est-ce qu’il faut pincer une corde et à quel endroit est-ce qu’il faut la caler pour exciter la première harmonique? A quelle position est-ce qu’il faut pincer une corde et à quel endroit est-ce qu’il faut la caler pour exciter la deuxième harmonique?

[9] Une barre avec une longueur L de 2 m est fixée à 50 cm d’une de ses extrémités. Sa fréquence d’oscillation est de 3000 Hz. Quelle est la vitesse de propagation du son dans la barre?

[10] Une barre avec une longueur L de 6 m est fixée au milieu. La fréquence de sa première harmonique est de 1200 Hz. Quelle est la vitesse de propagation du son dans la barre?

[11] Une barre avec une longueur L de 1,2 m est fixée au milieu. Elle produit sa première harmonique. A quelle autre position est-ce qu’on aurait pu avoir calé la barre afin de créer le même mode?

[12] Quelle est la longueur minimale d’un tuyau d’orgue ouvert et quelle est la longueur minimale d’un tuyau d’orgue fermé dont la fréquence fondamentale est de 159Hz (la température de l’air est de 0 °C)?

[13] Déterminez la longueur d’onde de la quatrième harmonique d’un tuyau d’orgue ouvert et de la quatrième harmonique d’un tuyau d’orgue fermé, avec une longueur L de 0,90 m.

[14] Un tuyau d’orgue a une longueur L de 67 cm. La température de l’air est de 20 °C. Déterminez la fréquence fondamentale et les fréquences de la première et de la deuxième harmonique pour un tuyau d’orgue fermé et pour un tuyau d’orgue ouvert.

[15] Un tuyau d’orgue fermé a une longueur L de 60 cm. La température de l’air est de 18 °C. Déterminez la fréquence fondamentale et les fréquences de la première, de la deuxième et de la troisième harmonique.

[16] Un tuyau d’orgue fermé a une longueur variable. Pour une longueur de 28 cm il se produit une résonance avec un diapason de 300 Hz et ensuite, à nouveau pour une longueur de 84 cm. Déterminez la vitesse de propagation du son dans l’air.

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2-8

[17] La longueur minimale d’un tuyau d’orgue fermé avec un diamètre de 10 cm pour laquelle il se produit une résonance avec un diapason est de 30 cm. La température de l’air est de 20°C. Afin de tenir compte d’effets aux bornes, il faut appliquer une correction qui consiste à ajouter 0,285 fois le diamètre à la longueur du tuyau d’orgue. Quelle est la fréquence du diapason?

[18] Un tuyau de Kundt se compose d’une barre suivie par un tuyau d’orgue. La barre est fixée au milieu et elle produit sa fréquence fondamentale. Pour la fréquence fondamentale de la colonne d’air dans le tuyau d’orgue la distance entre les nœuds est de 6 cm. La longueur L de la barre est de 0,90 m. La vitesse de propagation du son dans l’air du tuyau d’orgue est de 340 m/s. Quelle est la vitesse de propagation du son dans la barre?

[19] La longueur L de la barre d’un tuyau de Kundt est de 1,2 m. La vitesse de propagation du son dans l’air du tuyau d’orgue est de 345 m/s. La distance entre le premier et le septième nœud dans la colonne d’air du tuyau d’orgue est de 60 cm. Quelle est la vitesse de propagation du son dans la barre?

[20] Lorsque le tuyau d’orgue d’un tuyau de Kundt est rempli d’air à 15 °C, la distance entre les ventres est de 10,0 cm. Lorsque le tuyau d’orgue est rempli de H2 à 15 °C, la distance entre les ventres est de 38,5 cm. Quelle est la vitesse de propagation du son dans de l’H2 à 15 °C?

[21] Une barre en bronze a une longueur L1 de 1 m, un diamètre d1 de 1 cm et une masse m1 de 680 g. Une barre en acier a une longueur L2 de 1,65 m, un diamètre d2 de 1 cm et une masse m2 de 990 g. Les deux barres sont fixées au milieu. La fréquence fondamentale de la barre en bronze est la même que celle d’une corde en bronze, avec une longueur L3 de 50 cm. La fréquence fondamentale de la barre en acier est la même que celle d’une corde en acier, avec une longueur L4 de 52 cm. Les deux cordes ont la même densité linéaire et elles sont soumises à la même tension. Le module de Young E2 de l‘acier est de 2,07 1011 Pa. Quelle est le module de Young E1 du bronze?

[22] Une barre a une longueur L de 2 m, une masse m de 2 kg et une section transversale de 1 cm². La barre est fixée au milieu et sa fréquence fondamentale est de 1000 Hz. Quelle sera l’allongement de la barre si on y exerce une tension de 980 N des deux cotés?

[23] Une barre avec une longueur L de 1,5 m est fixée au milieu. La barre est fabriquée d’un

matériau avec une densité relative ρr de 8. La barre produit sa fréquence fondamentale, et ensemble avec un diapason de 1004 Hz elle produit des battements avec une fréquence de battement de 4 Hz. Avec un diapason de 998 Hz elle produit des battements avec une fréquence de battement de 2 Hz. Quel est le module de Young du matériau dont la barre est fabriquée?

[24] Une corde de banjo et un tuyau d’orgue fermé produisent ensembles des battements avec une fréquence de battement de 5 Hz. Si on diminue la tension dans la corde du banjo, les battements disparaissent. Le tuyau d’orgue a une longueur de 60 cm et il produit sa première harmonique. La vitesse de propagation du son dans l’air est de 332 m/s. La longueur de la corde du banjo est de 20 cm et sa masse est de 2 g. Elle produit sa fréquence fondamentale. Quelle était la tension dans la corde du banjo?

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2-9

2.6 Réponses [1] 5 [2] 296 Hz ou 304 Hz [3] 297 m/s ; 297 Hz ; 594 Hz ; 891 Hz [4] 72 N [5] 2,5 N [6] 128 Hz [7] 172 Hz [8] au milieu ; à un quart et au milieu ; à un sixième et à un tiers [9] 6000 m/s [10] 4800 m/s [11] à 0,2 m d’une des extrémités [12] 1,04 m ; 0,52 m [13] 0,36 m ; 0,40 m [14] 128 Hz ; 384 Hz ; 640 Hz ; 256 Hz ; 512 Hz ; 768 Hz [15] 142,5 Hz ; 427,5 Hz ; 712,5 Hz ; 997,5 Hz [16] 336 m/s [17] 261 Hz [18] 5099 m/s [19] 4140 m/s [20] 1309 m/s [21] 93,2 GPa [22] 0,01225 cm [23] 72 GPa [24] 282 N

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3-1

3 Quelques applications importantes du principe de Huygens

Dans ce chapitre tu apprends, • à connaître le principe de Huygens, concernant les fronts d’ondes et les ondes

secondaires, • à appliquer ce principe pour expliquer la réflexion et la réfraction, • à étudier le phénomène produit par la superposition de deux ondes avec la

même fréquence, mais avec un déphasage, appelé « interférence », • que l’interférence peut être soit constructive, soit constructive, soit entre les deux, • à appliquer le principe de Huygens pour expliquer l’interférence à deux fentes

(expérience de Young), • à étendre les résultats obtenus au cas de plusieurs fentes, • à appliquer le principe de Huygens pour expliquer la diffraction à une fente, • à étudier l’interférence et la diffraction combinée, • à apprécier l’application pratique de ces phénomènes.

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3-2

θi θr

A

B

C

D

B’

C’

D’

A’’ C’’

D’’

D’’’

A’’’

B’’’ Civ

Biv

Aiv

t +∆t

t +2∆t

t +3∆t

t +3∆t

t +2∆t

t +∆t t +2∆t

t +3∆t

t +3∆t

t t +∆t t +2∆t t +3∆t

A’ B’’ C’’’ Div

3.1 Le principe de Huygens Le principe de Huygens apprend que chaque point d’un front d’onde peut être considéré comme une source secondaire d’ondes sphériques. L’enveloppe de ces fronts d’ondes sphériques, secondaires, élémentaires forme le front d’onde suivant. Exemples: onde plane onde sphérique front d’onde primaire

fronts d’onde élémentaires secondaires

front d’onde suivant

3.2 Les lois de la réflexion et de la réfraction Ces lois peuvent être dérivées à partir du principe de Huygens, au moyen d’une simple construction géométrique.

3.2.1 La loi de la réflexion

v : la vitesse de propagation de l’onde

B’B’’ = C’C’’ = C’’C’’’ = D’D’’= D’’D’’’ = D’’’Div = v.∆t

A’A’’ = B’’B’’’ = C’’’Civ = v.∆t A’’A’’’ = A’’’Aiv = B’’’Biv = v.∆t

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3-3

θr

A’

B’ A’’

B’’

θi

θi

θr

riri

r

i

θθθsinθsin

''B'Atv

''B'A''A'A

θsin

''B'Atv

''B'A''B'B

θsin=⇒=⇒

∆⋅==

∆⋅==

(comme 0° < θi, θr < 90°)

L’angle de réflexion est égal à l’angle d’incidence.

3.2.2 La loi de la réfraction de Snellius-Descartes

v1 , v2 : la vitesse de propagation de l’onde dans le milieu 1, dans le milieu 2

B’B’’ = C’C’’ = C’’C’’’ = D’D’’= D’’D’’’ = D’’’Div = v1.∆t

A’A’’ = B’’B’’’ = C’’’Civ = v2.∆t A’’A’’’ = A’’’Aiv = B’’’Biv = v2.∆t

t +3∆t

A

B

C

D

B’

C’

D’

C’’

D’’

D’’’

t

t +∆t

t +2∆t

B’’ C’’’ Div

A’’ B’’’

A’’’

Aiv

Biv

Civ

t +2∆t

t +3∆t

t +∆t

θ2

A’

θ1

t +3∆∆∆∆t

t +2∆t t +∆t

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3-4

2

1

2

1

22

11

vv

θsinθsin

''B'A

tv

''B'A''A'A

θsin

''B'Atv

''B'A''B'B

θsin=⇒

∆⋅==

∆⋅==

Au passage d’un milieu à un autre où la vitesse de propagation de l’onde est plus petite, la réfraction tourne la direction de propagation vers la normale. Au passage d’un milieu à un autre où la vitesse de propagation est plus grande, la réfraction fait dévier la direction de propagation de la normale.

3.3 L’interférence L’interférence est le résultat de la superposition de deux ou de plusieurs ondes. Lorsqu’il s’agit d’ondes aux fréquences légèrement différentes, on obtient des battements. L’interférence d’une onde incidente et d’une onde réfléchie par contre crée des ondes stationnaires. On peut également obtenir de l’interférence entre des ondes avec la même fréquence, mais originaires de deux sources ponctuelles se trouvant à une distance l’une de l’autre. Suivant la différence en distance parcourue par les deux ondes, la différence de marche, les deux ondes ont un certain déphasage à leur arrivée dans un point. Selon ce déphasage les ondes se renforcent (interférence constructive), s’éteignent (interférence destructive) ou font quelque chose entre les deux. phase phase opposée

B’

B’’

A’’

θ2

A’

θ1

θ1

θ2

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3-5

Les distances r1 et r2 étant les distances entre un point et les sources ponctuelles respectives, on obtient1

⋅ω−

+⋅⋅

−⋅⋅⋅=

−⋅⋅

⋅ω−

+⋅⋅⋅=

−⋅⋅

⋅ω−

+⋅⋅−

−⋅⋅

⋅ω−

+⋅⋅+

−⋅⋅

⋅ω−

+⋅⋅+

−⋅⋅

⋅ω−

+⋅⋅=

−⋅−⋅ω−

+⋅⋅+

−⋅+⋅ω−

+⋅⋅=

⋅ω−

−⋅−

+⋅⋅+

⋅ω−

−⋅+

+⋅⋅=

⋅ω−⋅⋅+⋅ω−⋅⋅=+=

t2

rrksin

2rr

kcosA2

2rr

kcost2

rrksinA2

2rr

ksint2

rrkcosA

2rr

kcost2

rrksinA

2rr

ksint2

rrkcosA

2rr

kcost2

rrksinA

2rr

kt2

rrksinA

2rr

kt2

rrksinA

t2

rrk

2rr

ksinAt2

rrk

2rr

ksinA

)trksin(A)trksin(Ayyy

2121

2121

21212121

21212121

21212121

21212121

2121

or

02

rrkcos 21 =

−⋅ à condition que

2)1n2(rr

2)1n2(

2

rr22

rr22

rrk 21

212121 λ⋅+⋅=−=δ⇒

π⋅+⋅=

λ

−⋅

π=

−⋅

λ

π⋅=

−⋅ (n ∈ ℤ)

et

12

rrkcos 21 ±=

−⋅ à condition que

λ⋅=−=δ⇒π⋅=λ

−⋅π=

−⋅

λ

π⋅=

−⋅ nrrn

rr2

rr22

rrk 21

212121 (n ∈ ℤ)

Quand la différence de marche, δ = (r1 - r2), égale un multiple impair de la moitié de la longueur d’onde, les ondes sont en opposition et l’interférence est destructive. Quand la différence de marche, δ = (r1 - r2), égale un multiple de la longueur d’onde, les ondes sont en phase et l’interférence est constructive.

EXERCICE Familiarisez-vous avec l’effet de la différence de marche, au moyen du fichier Excel que vous trouvez sur Blackboard à cette fin.

1 Le calcul a été fait pour 2 sources émettant des ondes en phase. Le raisonnement est également valable pour des sources déphasées. Mais, la figure d’interférence obtenue n’est stable qu’à condition que les sources soient cohérentes, autrement dit à condition que leur déphasage ne se modifie pas au fil du temps. Sinon, on observe une moyenne temporelle de différentes figures d’interférence et le phénomène de l’interférence ne peut plus être observé clairement.

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3-6

3.4 L’interférence aux fentes

3.4.1 L’interférence à deux fentes (expérience de Young)

Considérons une barrière dans laquelle se trouvent deux petits trous (“fentes”). Une onde tombe sur la barrière. L’application du principe de Huygens explique ce qu’on observe de l’autre coté de la barrière. Les 2 fentes peuvent être considérées comme des sources ponctuelles secondaires et les ondes sphériques provenant des sources ponctuelles interfèrent l’une avec l’autre. Considérons des ondes lumineuses et plaçons un écran du coté des ondes secondaires. Ainsi, nous allons observer sur cet écran une alternance de zones lumineuses et de zones sombres, appelées franges d’interférence.

Calculons la position des franges lumineuse dans le cas où l’écran se trouve à une distance considérable de la barrière.

On obtient des franges lumineuses lorsqued

ndd

rrθsin 21 λ

⋅=δ

=−

= et des franges

sombres lorsque d2

)1n2(dd

rrθsin 21

λ⋅+⋅=

δ=

−= (n∈ℕ) ou approximativement

d

y

0

D (>> d)

θ

θ

θ

d

θ

θ

|r1 –r2|=|δ|

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3-7

⇒⋅=−=δ⇒

≈≈⇒<<

=

δ=

−=

Dd

yrr

θsinθtgθθ

D

yθtg

dd

rrθsin

21

21

franges lumineusesdD

ny⋅λ

⋅= (n∈ℕ)

franges sombresd2D

)1n2(y⋅

⋅λ⋅+⋅=

(n∈ℕ)

On peut démontrer que l’intensité de la figure d’interférence peut être exprimée comme suit

⋅λ

⋅⋅π⋅+⋅=

λ

δ⋅π⋅+⋅=

λ

−⋅π⋅+⋅=

Ddy

2cos12I

2cos12Irr

2cos12I

I oo21o

où Io représente l’intensité des franges lumineuses.

I/Io

3.4.2 L’interférence à plusieurs fentes

Dans le cas de N fentes on obtient une figure d’interférence dans laquelle on trouve systématiquement N-2 maxima secondaires moins intenses entre chaque paire de maxima principales.

On peut démontrer que l’intensité de la figure d’interférence peut être exprimée comme suit 2

2o

θsind

sin

θsind

Nsin

N

II

λ⋅π

λ⋅π⋅

⋅= où Io représente l’intensité des maxima principales.

N² I/Io

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3-8

θ

a/2

a/2

1 2 3

1’ 2’ 3’

3.4.3 L’interférence à un réseau

Pour un nombre de fentes suffisamment élevé, les maxima secondaires sont négligeables et les maxima principales prennent la forme de franges lumineuses très fines, dont la position

est donnée par d

nθsinλ

⋅= , avec n ∈ ℤ.

Dans le cas d’un réseau, en général, on ne donne pas la distance entre les fentes, d, mais plutôt la constante de réseau, c’est-à-dire le nombre de fentes par mm. EXERCICE Familiarisez-vous avec l’effet de la largeur de la fente et du nombre de fentes sur la figure d’interférence, au moyen du fichier Excel que vous trouvez sur Blackboard à cette fin.

3.5 La diffraction

3.5.1 La diffraction à une fente

Jusqu’à présent, dans le contexte de l’interférence aux fentes, les fentes ont été considérées comme des sources secondaires ponctuelles. A présent, nous allons tenir compte de la largeur, a, d’une fente, qui doit en fait être considérée comme une série de sources secondaires ponctuelles. Considérons à nouveau des ondes secondaires se propageant de ces sources ponctuelles vers un point très éloigné, donc suivant des directions de propagation parallèles (diffraction de Fraunhofer).

Imaginons la fente être divisée en deux parties égales. A chaque onde secondaire de la partie supérieure de la fente, correspond une onde secondaire dans la partie inférieure de la fente de manière à ce que la différence de marche entre eux égale

θsin2a

⋅=δ .

Pour θ = 0, δ = 0, autrement dit, les ondes sont en phase et l’interférence est constructive. En face de la fente on observe une frange lumineuse. En nous écartant de cette frange lumineuse centrale, nous allons arriver à un endroit auquel l’angle θ prend une valeur θ1 pour lequel la différence de marche δ égale une demi-longueur d’onde, λ/2, et l’interférence est destructive.

⇒λ

=⋅=δ2

θsin2a

1 asin 1

λ=θ .

Imaginons la fente être divisée en quatre parties égales. A chaque onde secondaire d’une partie de la fente, correspond une onde secondaire de la partie avoisinante de la fente de manière à ce que la différence de marche entre eux égale

a/2

θ

|r1 –r2|=|δ|

θ

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3-9

θsin4a

⋅=δ .

S’il existe un endroit auquel l’angle θ prend une valeur θ2 pour laquelle la différence de marche δ égale une demie longueur d’onde, λ/2, l’interférence y est à nouveau destructive.

⇒λ

=⋅=δ2

θsin4a

2 a2sin 2

λ⋅=θ .

Imaginons la fente être divisée en 2.n parties égales. En reprenant le même raisonnement, nous arrivons à la conclusion que l’interférence sera destructive pour un angle θn obéissant à la condition suivante

⇒λ

=⋅=δ2

θsinna

n ansin n

λ⋅=θ (n ∈ ℤo).

On peut démontrer que l’intensité de la figure d’interférence peut être exprimée comme suit

2

o

2

o

2

oθsina

θsinasin

I

2

θsina2

2

θsina2

sin

I

2

2sin

II

λ

⋅⋅π

λ

⋅⋅π

⋅=

λ

⋅⋅π⋅

λ

⋅⋅π⋅

⋅=

φ

φ

⋅=

ou Io représente l’intensité de la frange lumineuse centrale.

Idiffr/Io

a/4

θ

|r1 –r2|=|δ|

θ

a/4

a/4 a/4

a/4

1 2

1’’’ 2’’’

1’ 2’

θ

1’’ 2’’

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3-10

3.5.2 La diffraction et l’interférence combinés

Lorsque l’effet de la diffraction n’est pas négligeable, il se présente comme la modulation de la figure d’interférence par la figure de la diffraction. Les franges d’interférence lumineuses n’ont plus toutes la même intensité, mais du à la diffraction elles sont de plus en plus faibles à mesure qu’elles se trouvent plus loin du centre. Parfois, il y même certaines franges d’interférence lumineuses qui ont complètement disparues parce qu’elles se trouvaient à la même position qu’un minimum de la figure de diffraction.

I/Io

-0.0075 -0.0050 -0.0025 0.0000 0.0025 0.0050 0.0075

EXERCICE Familiarisez-vous avec le rôle que joue la largeur de la fente dans la diffraction, et avec l’effet combiné de la diffraction et de l’interférence, au moyen des fichiers Excel que vous trouvez sur Blackboard à cette fin.

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3-11

3.6 Orientation pour faire un résumé de ce chapitre Le principe de Huygens: La loi de la réflexion : La loi de la réfraction (Snellius-Descartes) + conclusions: Discutez la notion de l’interférence.

a) en général:

b) dans le contexte de l’expérience de Young:

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3-12

Discutez la notion de la différence de marche et utilisez la pour exprimer les conditions pour l’interférence destructive et l’interférence constructive : La position des franges lumineuses d’interférence (expérience de Young) : La position des franges sombres d’interférence (expérience de Young) : Le rapport entre la constante de réseau et la distance entre les fentes, d: La position des franges sombres de diffraction : Considérez le cas où la distance etres les fentes, d, est un multiple entier de l’épaisseur des fentes, a ( apd ⋅= met p ∈ ℕo ). Discutez comment on voit cela dans le diagramme interférence et diffraction combinés, et expliquez comment cela se fait.

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3-13

Lorsque tu regardes un diagramme avec des franges sombres et des franges lumineuses, comment est-ce que tu peux savoir s’il s’agit d’un diagramme d interférence, de diffraction ou d’interférence et diffraction combinés ? Interférence : Diffraction : Interférence et diffraction combinés : Quelle est l’information que tu peux tirer de chacun de ces diagrammes et comment le faire ? Interférence : Diffraction : Interférence et diffraction combinés :

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3-14

3.7 Exercices [1] Des ondes provenant de l’océan s’approchent de la côte sous un angle de 30° par

rapport à la normale sur la côte. Un changement abrupt dans la profondeur engendre une diminution de la vitesse de propagation des ondes de 4 à 3 m/s. Sous quel angle est-ce que la propagation se fait ensuite?

[2] Deux sources ponctuelles d’ondes radio se trouvent à une distance, d, de 2 m, l’une de l’autre. Elles émettent des ondes en phase, avec la même amplitude et avec une longueur d’onde λ de 0,50 m. Combien de maxima sont enregistrés par un détecteur tournant dans un cercle dans les plan des 2 sources, et autour des deux sources?

[3] Deux sources ponctuelles d’ondes électromagnétiques se trouvent à une distance d de 4 m, l’une de l’autre. Elles émettent des ondes en phase, avec la même amplitude et avec une longueur d’onde λ de 1 m. Un détecteur se déplace sur une ligne droite passant par la première source et perpendiculaire par rapport à la ligne passant par les deux. À quelles distances est-ce que de détecteur enregistre les 3 premiers maxima?

[4] Dans une expérience de Young l’écran se trouve à une distance D de 5 m de la barrière. La distance, d, entre les fentes étroites est de 5 mm. On illumine avec 2 sortes de lumière aux longueurs d’onde respectives λa = 480 et λb = 600 nm. À quelle distance l’une de l’autre, est-ce qu’on observe sur l’écran les franges lumineuses d’interférence de l’ordre n = 3?

[5] Dans une expérience de Young la distance, d, entre les fentes étroites est de 0,60 mm. Dessinez la figure d’interférence obtenue pour de la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 600 nm (θ entre 0 et 0,0040 rads).

[6] De la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 633 nm illumine une fente. L’angle entre les premiers minima de diffraction au deux cotés du maximum central est de 1,20°. Quelle est la largeur de la fente, a?

[7] De la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 441 nm illumine une fente. Sur un écran se trouvant à une distance D de 2 m, on mesure une distance de 1,50 cm entre le maximum central et le deuxième minimum de diffraction. Quelle est la largeur de la fente, a?

[8] On illumine une fente avec 2 sortes de lumière aux longueurs d’onde respectives λa en λb . Le premier minimum de diffraction pour λa est coïncidant avec le deuxième minimum de diffraction pour λb. Quel est le rapport entre les deux longueurs d’onde? Est-ce qu’il y a d’autres minima coïncidents?

[9] De la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 550 nm illumine une fente. Sur un écran se trouvant à une distance D de 40 cm, on mesure une distance de 0,35 mm entre le premier et le cinquième minimum de diffraction. Quelle est la largeur de la fente, a? Sous quel angle θ est-ce que le premier minimum de diffraction est-il observé?

[10] Des ondes sonores avec une fréquence de 3000 Hz sont émis à travers une fente de 30 cm de largeur au centre d’un mur d’une grande salle (v = 343 m/s dans de l’air). La longueur de la salle est de 100 m. Trouvez l’endroit devant le mur opposé où on n’entend pas le son (premier minimum de diffraction)? On peut négliger les réflexions.

[11] De la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 589 nm illumine une fente avec une largeur a de 1 mm. Quelle distance est-ce qu’on mesure entre le premier et le deuxième minimum de diffraction sur un écran se trouvant à une distance D de 3 m?

[12] De la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 589 nm illumine une fente avec une largeur a de 0,1 mm. Quel est le déphasage entre les ondes secondaires provenant du bord et les ondes secondaires provenant du milieu de la fente, pour θ = 30°?

[13] Dans une expérience avec deux fentes il y une distance d entre les fentes et la largeur de chaque fente est a. Enveloppé par le maximum de diffraction central, il se trouve exactement 11 lumineuses franges d’interférence. Quel est le rapport entre d en a?

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3-15

Combien de franges d’interférence lumineuses se trouvent-ils entre les minima de diffraction de premier et de deuxième ordre?

[14] Dans une expérience avec deux fentes la distance, d, entre les fentes est le double de la largeur, a, d’une fente. Quel est le nombre de franges d’interférence lumineuses sont enveloppées par le maximum de diffraction central?

[15] Dans une expérience avec deux fentes la distance, d, entre les fentes est de 0,150 mm et la largeur de la fente, a, est de 30 µm. Quel est le nombre de franges d’interférence lumineuses sont enveloppées par le maximum de diffraction central?

[16] Dans une expérience avec deux fentes il y une distance, d, entre les fentes et la largeur de chaque fente est a. En illuminant avec de la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 440 nm, on obtient le diagramme suivant l’intensité des franges. Quelle est la valeur de la distance entre les fentes et de la largeur d’une fente?

I/Io

0 1 2 3 4 5 6 7 8

θθθθ (°)

[17] Un réseau est 20 mm de large et il contient 6000 lignes (= fentes étroites). Il est illuminé

avec de la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 589 nm. À quels angles θ correspondent les franges lumineuses?

[18] La constante de réseau d’un réseau est de 315 lignes par mm. Pour quelles longueurs d’onde du spectre de la lumière visible (430 nm – 690 nm) est-ce que la cinquième frange lumineuse est visible?

[19] La constante de réseau d’un réseau est de 400 lignes par mm. Quel est l’ordre maximal des franges lumineuses visible pour toutes les longueurs d’onde dans le spectre de la lumière visible (430 nm – 690 nm)?

[20] Un réseau est fait de fentes entre lesquelles il y a une distance, d, et avec une largeur, a, des fentes. Il est illuminé avec de la lumière monochromatique avec une longueur d’onde λ de 600 nm. Les angles pour 2 franges consécutives ont comme sinus respectifs 0,2 en 0,3. La frange lumineuse d’ordre 4 est absente. Quelle est la valeur de distance, d, entre les fentes et de la largeur, a, de la fente?

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3-16

3.8 Réponses [1] 22° [2] 16 [3] 1,17 m ; 3,00 m ; 7,50 m [4] 0,36 mm

[5]

I/Io

0

0.5

1

0.00000 0.00100 0.00200 0.00300 0.00400θθθθ

[6] 60,4 µm [7] 0,118 mm [8] λa est le double de λb ; chaque minimum d’ordre n pour λa avec l’ordre 2n pour λb [9] 2,51 mm ; 2,19 10-4 rad [10] à 41,2 m du centre [11] 1,767 mm [12] 0,8896 π rad [13] a = d/6 ; 5 [14] 3 [15] 9 [16] 20,194 µm ; 5,0484 µm [17] 10,18° ; 20,72° ; 32.05° ; 45.03° ; 62,18° [18] λ ne dépasse pas 634,92 nm [19] 3 [20] 6,0 µm ; 1,5 µm

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4-1

4 L’effet de Doppler pour les ondes mécaniques – l’échelle décibel

Dans ce chapitre tu apprends, • à étudier l’effet Doppler pour les ondes mécaniques et ses applications pratiques, • à connaitre la notion du niveau sonore, de l’échelle décibel – dB - et du décibel

pondéré - dB(A) - et de la notion de la phonie, • à comprendre les raisons pour lesquelles ont les utilise.

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4-2

4.1 L’effet de Doppler pour les ondes mécaniques Les vitesses de la source et de l’observateur dans les formules ci-dessous, représentent les modules des vitesses relatives par rapport au milieu dans lequel l’onde se propage!

4.1.1 Un observateur en mouvement

+⋅=

+⋅

λ=

λ

+=λ

⋅+⋅

=vv

1fvv

1vvv

t

tvtv

'f ooo

o

−⋅=

−⋅

λ=

λ

−=λ

⋅−⋅

=vv

1fvv

1vvv

t

tvtv

'f ooo

o

tv ⋅ tv o ⋅

λ

� vo

� tv ⋅ tv o ⋅

vo λ

� tv ⋅ tv o ⋅

vo λ

tv ⋅

tv o ⋅

λ

� vo

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4-3

4.1.2 Une source en mouvement

v

v1

fvvfv

vvT

v

TvT.vv

'v

'f

ss

ss

+

=+

⋅=

+=

⋅+=

λ=

v

v1

fvvfv

vvT

v

TvT.vv

'v

'f

ss

ss

=−

⋅=

−=

⋅−=

λ=

4.1.3 La formule générale

s

o

vvvv

f'f±

±⋅=

Remarque: ± de sorte que la fréquence augmente lorsque il a une approche relative entre la source et l’observateur, et que la fréquence diminue lorsque il a un éloignement relatif entre la source et l’observateur!

4.2 L’échelle décibel Le niveau sonore, L, d’une onde sonore est défini par la formule suivante

refII

log10L ⋅=

où I est l’intensité de l’onde et Iref = 10-12 Wm-2 est l’intensité de référence (notamment le seuil d’audibilité à 1000 Hz). Le niveau est exprimé en décibel (dB).

On peut écrire la formule également comme suit

120Ilog10L +⋅= .

La sensibilité de l’oreille humaine dépend de la fréquence du son. C’est pourquoi l’effet qu’il fait est comparé à celui par un ton avec une fréquence de référence, notamment 1000 Hz. Pour prendre en compte cette sensibilité de l’oreille par rapport aux fréquences, dans les indicateurs acoustiques du bruit et dans les calculs on utilise souvent le décibel pondéré, le

� vs

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4-4

dB(A), au lieu du décibel. Le tympan ensemble avec le marteau, l’enclume et l’étrier forment un filtre mécanique avec une bande de fréquence spécifique. Ainsi un être humain perçoit un ton de 10 Hz par exemple, beaucoup plus faible qu’un ton de 1000 Hz avec la même intensité sonore physique, notamment 70 dB plus faible. Les hommes sont presque sourds à des fréquences aussi basses. Le décibel pondéré, le nombre de db(A) est obtenu du nombre de dB en y appliquant une correction dont la valeur est obtenue à moyen de la courbe de pondération ci-dessous (appelée la pondération-A). A 1000 Hz la correction est nulle, la pondération y est de 0 dB. A 10 Hz (complètement à gauche dans le diagramme) la pondération est de -70 dB. Pour les mesures de bruit on utilise souvent un filtre électronique aux caractéristiques similaires à l’oreille humaine. Les mesures obtenues par un tel « filtre-A » sont exprimés en dB(A). La perception de sons par l’oreille humaine est plus compliquée que ce que le dB(A) ne représente. Sa sensibilité ne dépend pas seulement de la fréquence mais aussi du niveau sonore. Une représentation plus précise que le db(A) est fournie par le phone. La phonie d’un ton avec une fréquence f, est égale à la valeur du niveau d’un ton de 1000 Hz qui fait la même impression (isosonique). Il est exprimé en phone. La pondération-A est basée sur les courbes isosoniques d’environs 20-40 phone.

Faites bien attention en classe et prenez note des raisons pour lesquelles on utilise l’échelle décibel ! FAITES ATTENTION, L’ECHELLE DECIBEL EST UNE ECHELLE LOGARITHMIQUE, N’ADDITIONEZ DONC JAMAIS DES DECIBELS!

Fréquence (Hz)

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4-5

Seuil de sensation douloureuse

Seuil d’audibilité

L en dB I en Watt/m²

0 phone

20 phone

40 phone

60 phone

80 phone

100 phone

f en Hz

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4-6

4.3 Orientation pour faire un résumé de ce chapitre La formule Doppler générale pour les ondes mécaniques: Qu’est-ce que tu ne peux pas oublier au sujet de l’effet Doppler dans le cas d’ondes réfléchies? Quelle est la forme de la formule Doppler dans ce cas ? Le calcul du niveau sonore L (échelle décibel) à partir de l’intensité I : Le calcul de l’intensité I à partir du niveau sonore L (échelle décibel) : Quelles sont les raisons pour l’introduction de l’échelle décibel?

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4-7

Explique comment on calcule le niveau sonore lorsque plusieurs sources sont actives simultanément? Explique le rapport entre dB et dB(A) Explique la notion de la phonie

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4-8

4.4 Exercices [1] Une voiture de police fait retentir sa sirène avec une fréquence f de 1800 Hz (v = 343

m/s). Quelle est la fréquence observée par un criminel a) lorsqu’il est stationnaire et que la police s’approche de lui à 90 km/h b) lorsqu’il est stationnaire et que la police s’éloigne de lui à 90 km/h c) lorsque la police est stationnaire et qu’il s’approche d’elle à 90 km/h d) lorsque la police est stationnaire et qu’il s’éloigne d’elle à 90 km/h?

[2] Une voiture roule à 30 m/s vers un complexe industriel où retentit un coup de sifflet avec une fréquence f de 500 Hz (v = 340 m/s). Déterminez la fréquence observée, f’.

[3] Une locomotive roule à 100 km/h et elle émet un coup de sifflet avec une fréquence f de 2 kHz (v = 335 m/s). Déterminez la fréquence f’ observée par un observateur stationnaire lorsque le train s’approche. Déterminez de fréquence f’’ observée par un observateur stationnaire lorsque le train s’éloigne.

[4] Un navire B fait retentir sa corne de brume, avec une fréquence f de 200 Hz (v = 332 m/s). Sur un navire A, on observe une fréquence f’ de 204 Hz pour le signal sonore en provenance de B. Le navire B se déplace le long de la ligne AB. Est-ce qu’il s’approche de A ou est-ce qu’il s’en éloigne? Et à quelle vitesse?

[5] Une personne s’éloigne d’une source sonore avec une fréquence f et elle observe une fréquence f’ laquelle est 10% inférieure à f (v = 335 m/s). Quelle est la vitesse de la personne?

[6] Lorsqu’une moto s’approche d’un observateur stationnaire, celui-ci observe un ton f’. Lorsque la moto s’éloigne de l’observateur stationnaire, celui-ci observe un ton f’’, avec f’/f’’ = 4/3 (v = 343 m/s). Quelle est la vitesse de la moto?

[7] Le moteur d’un avion produit un bruit avec une fréquence f de 16 kHz (v = 343 ms/). L’avion vole à 200 m/s. Un deuxième avion vole à 250 ms/ et tente de le dépasser. Quelle fréquence f’ est-ce qu’il observe?

[8] Deux trains produisent des coups de sifflet avec la même fréquence f de 260 Hz (v = 343 m/s). Un des trains s’éloigne d’un observateur stationnaire à 80 km/h. L’autre train ne bouge pas. Quelle est la fréquence des battements observée par l’observateur?

[9] Un diapason avec une fréquence f de 400 Hz, s’éloigne d’un observateur à 2 m/s et il s’approche d’une paroi plane (v = 335 m/s). Déterminez la fréquence f’ observée pour les ondes incidentes et la fréquence f’’ observée pour les ondes réfléchies. Déterminez la fréquence des battements observée.

[10] Une onde sonore avec une fréquence f de 5000 Hz (v = 343 m/s) est réfléchie par un objet qui s’approche de la source stationnaire à 3,5 m/s. Quelle est la fréquence observée pour l’onde réfléchie?

[11] Un dispositif d’alarme antivol émet un signal ultrasonore avec une fréquence 28 kHz (v = 343 m/s). Quelle est la fréquence des battements engendrés par un cambrioleur filant à 0,95 m/s?

[12] Deux sous-marines s’approchent l’une de l’autre, dans de l’eau stationnaire (v = 5470 km/h). La première se déplace à 50 km/h et la deuxième à 70 km/h. Le sonar de la première émet un signal avec une fréquence f de 1000 Hz. Quelle est la fréquence f’ observée par la deuxième? Quelle est la fréquence f’’ observée par la première pour l’onde réfléchie?

[13] Personne 1 se trouve dans un train qui s’éloigne à une vitesse de 10 m/s (mesurée par rapport au sol) de la personne 2, qui ne bouge pas. Le train produit un coup de sifflet avec une fréquence f de 500 Hz (v = 343 m/s). Déterminez la fréquence f’ observée par la personne 2 et la fréquence f’’ observée par la personne 1. En suite, déterminez la fréquence f’’’ observée par la personne 2 lorsque le vent souffle à une vitesse de 10 m/s dans la même direction mais dans le sens opposé à ce que le train roule. Finalement, déterminez la fréquence fiv observée par la personne 1 lorsque le vent souffle à une vitesse de 10 m/s dans la même direction mais dans le sens opposé à ce que le train roule.

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4-9

[14] Les trains A et B roulent l’un vers l’autre, tous les deux à 30,5 m/s (mesurée par rapport au sol). Le train A produit un coup de sifflet avec une fréquence f de 500 Hz (v = 343 m/s). Déterminez la fréquence f’ observée dans le train B lorsque il fait un calme plat. Déterminez la fréquence f’’ observée dans le train B lorsque le vent souffle de B vers A, à une vitesse de 30,5 m/s. Déterminez la fréquence f’’’ observée dans le train B lorsque le vent souffle de A vers B, à une vitesse de 30,5 m/s.

[15] Deux navires naviguent sur la même ligne droite. Le navire A fait retentir sa corne de brume avec une fréquence f de 200 Hz (v = 343 m/s). Sur l’autre navire B, on observe une fréquence f’ de 204 Hz. Le navire A, celui qui fait retentir sa corne de brume, navigue deux fois plus vite que le navire B. Déterminez pour chacun des navires son sens de navigation et sa vitesse de déplacement.

[16] Un navire est amarré et il émet une onde ultrasonore dans une direction, avec fréquence f de 50 kHz. Le long de cette direction se déplace (à une vitesse constante) un banc de dauphins, par lequel l’onde est réfléchie. Les ondes ultrasonores se propagent dans l’eau à une vitesse v de 1450 m/s. Sur le navire on observe une fréquence f’ = 50,138 kHz pour l’onde réfléchie. Qu’est-ce que vous pouvez en conclure par rapport à la vitesse du banc de dauphins?

[17] Le niveau sonore L produit par un camion est de 70 dB? Quelle est l’intensité acoustique qu’il produit?

[18] Combien de fois plus intense est un bruit de 50 dB qu’un bruit de 40 dB et qu’un bruit de 20 dB?

[19] Combien de fois plus intense est le bruit produit par une tondeuse à gazon, 100 dB, que le bruit produit par une personne parlant à haute voix, 60 dB?

[20] À une distance de 0,915 m d’une personne parlante, on observe un niveau sonore de 40 dB. Jusqu’à quelle distance est-ce que la personne est-elle audible (L au moins 20 dB)?

[21] Une intensité acoustique dépassant les 1 W/m², peut provoquer des dégâts à l’oreille. À quel niveau sonore est-ce que cela correspond?

[22] À une distance de 30,5 m, un avion à réaction provoque un niveau sonore de 140 dB. À quelle distance est-ce que le niveau est-il réduit à 90 dB?

[23] Deux ondes sonores ont des intensités acoustiques respectives de10 µW/cm² et de 500 µW/cm². Combien de dB est-ce que le niveau sonore du second dépasse celui du premier?

[24] Un premier son est 8 dB plus fort qu’un deuxième. Combien de fois plus grande est l’intensité acoustique du premier que celle du second?

[25] Quelle intensité acoustique correspond à un niveau sonore 3 dB plus fort que celui d’un bruit avec une intensité acoustique de 10 µW/cm²?

[26] Par combien de dB est-ce que le niveau sonore augmente lorsque l’intensité acoustique est doublée?

[27] Qu’est-ce qui s’est passé avec l’intensité acoustique lorsque le niveau sonore d’un bruit a augmenté de 30 dB?

[28] Dans un programme télévisé léger le présentateur disait: “Lorsqu’une personne ronfle, elle produit un niveau sonore de 69 dB. Un bébé qui fait du vacarme produit 81 dB. Ensembles, cela fait 150 dB” Est-ce que vous êtes d’accord avec lui? À condition qu’oui, expliquez pourquoi? À condition que non, expliquez pourquoi et donnez le niveau sonore total produit selon vous?

[29] Quel est niveau sonore total produit par deux sources de 0 dB chacun? [30] La norme de sécurité pour la protection de l’ouie de l’équipage dans la salle des

machines est de 90 dB. Quel est le nombre maximal de machines produisant 85 dB chacune, qu’on peut placer dans la salle des machines sans dépasser la norme?

[31] Dans une salle des machines, fonctionnent 2 machines produisant un niveau sonore de 96 dB chacune. Quel est le nombre additionnel de machines d’une autre sorte, produisant un niveau sonore de 84 dB chacune, qui peuvent être mis en marche sans dépasser le niveau sonore admissible maximal de 100 dB?

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4-10

4.5 Réponses [1] 1942 Hz ; 1678 Hz ; 1931 Hz ; 1669 Hz [2] 544 Hz [3] 2181 Hz ; 1847 Hz [4] il s’approche ; 6,51 m/s [5] 33,5 m/s [6] 176,4 km/h [7] 17,5 kHz [8] 16 Hz [9] 398 Hz ; 402 Hz ; 4 Hz [10] 5103 Hz [11] 155 Hz [12] 1022 Hz ; 1045 Hz [13] 485,8 Hz ; 500 Hz ; 486,2 Hz ; 500 Hz [14] 597,6 Hz ; 608 Hz ; 588,9 Hz [15] 4,514 m/s et 2,257 m/s, l’un vers l’autre ; ou 13,192 m/s et 6,596 m/s tous les deux

dans le sens de A vers B [16] 2 m/s, vers le navire [17] 10-5 W/m² [18] 10 fois ; 1000 fois [19] 10000 fois [20] 9,15 m [21] 120 dB [22] 9645 m [23] 17 dB [24] 6,3 fois [25] 20 µW/cm² [26] 3,01 dB [27] elle est devenue 1000 fois plus grande [28] non, il faut ajouter les intensités acoustiques et ne pas les niveaux sonores; 81,27 dB [29] 3,01 dB [30] 3 [31] 8

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5-1

5 Les ondes électromagnétiques Dans ce chapitre tu apprends,

• à apprécier le spectre électromagnétique,

• à connaître la notion de l’indice de réfraction et la loi de Snellius-Descartes,

• à connaitre le phénomène de la réflexion interne totale,

• à étudier l’effet Doppler pour les ondes électromagnétiques et ses applications pratiques.

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5-2

5.1 Le spectre électromagnétique

Les ondes électromagnétiques ondes peuvent avoir des fréquences jusqu’à 1024 Hz. Dans le vide, ils se propagent à 3 108 m/s ou 162 103 miles nautiques par seconde (la “vitesse de la lumière” c).

L’œil humain n’est sensible qu’à une petite partie de ce spectre, notamment aux longueurs d’onde entre environs 400 et environs 700 nm (fréquences de l’ordre de grandeur de 1015 à 1014 Hz).

Les ondes radar se situent dans l’intervalle de fréquences entre quelques dixièmes et quelques dizaines de GHz (longueurs d’onde de quelques mètres jusqu’à quelques mm). La puissance véhiculée par unité de surface par une onde électromagnétique, l’intensité, est le module du

vecteur de Poynting BEcBE

S o

o

rrrr

r×⋅⋅=

×= ε

µ2

.

Les ondes électromagnétiques sont des ondes transversales. La direction de propagation est perpendiculaire par rapport au plan défini par le champ

électrique Er

et le champ magnétique Br

.

( ooc µε ⋅= 1 , or εo et µo la permittivité et la

perméabilité du vide)

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5-3

5.2 L’indice de réfraction Dans un milieu les ondes électromagnétiques se propagent à une vitesse v, qui est inférieure à la vitesse de la lumière dans le vide, c. Le rapport entre c et v est appelé l’indice de réfraction1 du milieu et il est d’usage de l’appeler n

v

cn = 2.

Alors, la loi de Snellius-Descartes 2

1

2

1

v

v

θsin

θsin=

peut être exprimée comme suit

1

2

2

1

2

1

2

1

n

n

n

1

n

1

c

vc

v

θsin

θsin=== ou 1

2

12 θsin

n

nθsin ⋅= .

5.3 La réflexion interne totale La dernière forme de la loi de réfraction met en évidence que l’angle de réfraction est inexistant, pour les transitions d’un milieu optiquement dense vers un milieu optiquement

moins dense (n2 < n1) à condition que l’angle d’incidence dépasse l’angle de limite θL. Autrement dit, il y a de la réflexion interne totale.

( ) L

2

1θsin

n

n190sin ⋅==° ⇒

1

2L

n

nθsin = ⇒

=

1

2L

n

narcsinθ

Une application pratique de la réflexion interne totale est l’emploi de fibres optiques dans la communication.

Un phénomène plus complexe que la simple réflexion à une interface fait que les ondes radio sont captivées entre l’ionosphère et la surface terrestre, permettant la diffusion mondiale de messages radio.

1 Pour des matériaux tels que le verre, l’indice de réfraction, et donc l’angle

de réfraction, dépend de la longueur d’onde (“ la couleur “) de la lumière. La conséquence en est la dispersion: la lumière blanche est divisée dans les différentes couleurs de l’arc-en-ciel. 2 Comme on a toujours que v ≤ c, il s’ensuit que toujours n ≥ 1.

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5-4

5.4 L’effet Doppler pour les ondes électromagnétiques L’effet Doppler pour les ondes électromagnétiques dépend de la vitesse relative entre la source et l’observateur!

Dans le cas d’une approche relative entre la source et l’observateur, la fréquence observée, f’, est calculée comme suit

c

v1

c

v1

f'f

+

⋅= ,

et, dans le cas d’un éloignement relatif entre la source et l’observateur, la fréquence observée, f’, est calculée comme suit

c

v1

c

v1

f'f

+

⋅= ,

où f est la fréquence émise, v le module de la vitesse relative et c la vitesse de la lumière dans le vide (3 108 m/s ou 162 103 miles nautiques par seconde).

Remarquez qu’il s’agit à nouveau d’une augmentation de la fréquence dans le cas d’une approche relative et d’une diminution de la fréquence dans le cas d’un éloignement relatif!

L’effet Doppler est appliqué, entre autres, dans les radars pour les contrôles de vitesse. Des vitesses “ordinaires” sont largement inférieures à c et, dans ce cas, les formules prennent les formes simplifiées suivantes

+⋅+⋅=

2

c

v1

2

1

2

1f'f et

−⋅+⋅=

2

c

v1

2

1

2

1f'f (approximation de deuxième ordre),

ou

+⋅=

c

v1f'f et

−⋅=

c

v1f'f (approximation de premier ordre).

EXERCICE Démontrez ces formules en appliquant l’expansion en série suivante, pour m = ½ et pour m = -½ ,

...x!2

)1m(mx

!1

m1)x1( 2m +⋅

−⋅+⋅+=+

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5-5

5.5 Orientation pour faire un résumé de ce chapitre La définition de l’indice de réfraction, n :

Discutez le phénomène de la réflexion interne totale (+ la formule pour l’angle de limite, θL) : Les formules Doppler pour les ondes électromagnétiques : Qu’est-ce que tu ne peux pas oublier au sujet de l’effet Doppler dans le cas d’ondes réfléchies? Quelle est la forme des formules Doppler dans ce cas ?

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5-6

5.6 Exercices [1] Un radar émet avec une fréquence de répétition de 1000 Hz, donc avec des intervalles

de 1 ms = 1000 µs. La durée d’une impulsion est de 10 µs. Durant chaque cycle, il reste

donc 990 µs pour écouter les échos. Quelle est la plus grade distance à laquelle un objet peut se trouver pour que son écho soit enregistré dans un seul cycle?

[2] Un rayon de lumière entre un prisme en verre, comme indiqué dans le dessin. Il subit de la réflexion interne totale. Qu’est-ce qu’on peut en conclure au sujet de l’indice de réfraction du verre, n1?

[3] Supposez que vous avez négligé un feu rouge (λrouge = 620 nm) et que vous êtes pris en flagrant délit. Vérifiez qu’il ne serait pas du tout une bonne idée de raconter que vous

aviez observé un feu vert à cause de l’effet Doppler (λvert = 540 nm). La moindre des choses que vous risqueriez, serait une grosse amende pour vitesse excessive, par au-dessus du marché!

[4] Un radar pour les contrôles de vitesse émet des ondes avec une fréquence de 20 GHz. Quel est le changement en fréquence des ondes réfléchies par un objet qui s’approche du radar avec une vitesse de 35 m/s?

[5] Un radar pour les contrôles de vitesse émet des ondes avec une fréquence de 18 GHz. La fréquence des ondes réfléchies par un objet qui se déplace sur une ligne droite passant par le radar, est de 17,9999991 GHz. Qu’est-ce que vous pouvez en conclure au sujet du mouvement de l’objet?

5.7 Réponses [1] 148,5 km ou 80,2 miles nautiques

[2] θL < 45° ⇒ 4,1)45sin(

1n1 ≈

°>

[3] Il faudrait que ta vitesse soit à peu près 14% de la vitesse de la lumière, donc la bagatelle de 150 millions de km/h!

[4] + 4667 Hz [5] il s’éloigne à une vitesse de 7,5 m/s (27 km/h)

45° air (n2 ≈ 1)

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longitudinale transversale matière vide mécaniqueelectro-

magnétiquegrandeur(s) unité(s)

onde sur une

corde tendue

onde dans un

ressort

onde sonore

onde

ultrasonique

onde

infrasonique

onde à la

surface de l'eau

lumière

onde radio

micro-onde

grandeur variablevitesse de propagation v

description de

l'onde

variation propagation phénomène

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longitudinale transversale matière vide mécaniqueelectro-

magnétiquegrandeur(s) unité(s)

onde sur une

corde tendue☺ ☺ ☺ coordonnée m

onde dans un

ressort ☺ ☺ ☺ coordonnée m

onde sonore

☺ ☺ ☺

coordonnée

densité

pression

m

kg/m³

Pa

gaz parfait

ideaal gas

liquide

vloeistof

solide (barre) vaste

stof (staafvorm)

(γ = cp/cV ) (γ = 1,67 monat.) (γ = 1.40 diat.) (γ = 1.30 polyat.)

(B = module d'élasticité = p / (-∆V/V))

(E = module de Young = (Fn / A) / (|∆L|/L)

onde

ultrasonique ☺ ☺ ☺voir onde

sonore

voir onde

sonorevoir onde sonore

onde

infrasonique ☺ ☺ ☺voir onde

sonore

voir onde

sonorevoir onde sonore

onde à la

surface de l'eau

☺ ☺ ☺ ☺ coordonnée m

(σ = tension superficielle, d = profondeur de l'eau)

lumière

☺ ☺ ☺ ☺

champ

électrique

en

champ

magnétique

vitesse de la lumière c

(ε permittivité, µ perméabilité)

dans le vide co = 3 108 m/s

dans une matière co/n

(n = indice de réfraction, dépendant de λ)

onde radio☺ ☺ ☺ ☺ voir lumière

micro-onde☺ ☺ ☺ ☺ voir lumière

vitesse de la lumière

(ε permittivité, µ perméabilité)

grandeur variablevitesse de propagation v

description de

l'onde

variation propagation phénomène

µ⋅ε=

1c

µεc

⋅=

1

oo

o

1c

µ⋅ε=

M

TRpv

⋅⋅γ=

ρ⋅γ=

L/m

FFv =

µ=

ρ=

Ev

λ

⋅π⋅⋅

λ⋅ρ

σ⋅π⋅+

π⋅

λ⋅=

d2th

2

2

gv

ρ

Bv =

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