1. introducción · • un proceso no estacionario que se convierte en estacionario después de h...

Curso 2006/07 Econometría II

1

Tema 2 1

Tema 2: El incumplimiento de la hipótesis de estacionariedad. Cómo resolverla

1.1. IntroducciIntroduccióónn

2. La falta de estacionariedad en varianza

3. La falta de estacionariedad en media

Tema 2 2

2.1 Introducción

• Pocas series temporales reales son estacionarias. Motivos: a) Presentan tendencia

b) Varianza no constantec) Variación estacional

Solución: Operaciones algebraicas• Un proceso no estacionario que se convierte en estacionario

después de h operaciones de diferencia se denomina homogéneo de orden h o integrado de orden h.

• Detección: inspección del gráfico de la serie y de su FAS

Si presenta tendencia lineal transf.:

Si presenta tendencia cuadrática transf.:

ttt XXX Δ=− −1

tX2Δ


2

Tema 2 3

Series temporales

¿Proceso estacionario?

Tema 2 4

Correlogramas

¿Proceso estacionario?


3

Tema 2 5

• Paseo Aleatorio:Caso específico de proceso integrado. Se suele usar como modelo para las cotizaciones de bolsa.Expresión:Media constante, pero varianza creciente.Aplicando diferencias primeras, resulta:Dado que ya es un proceso puramente aleatorio, podemos decir que Xt es integrada de primer orden.

• Conclusión: La aplicación de diferencias finitas a procesos no estacionarios reduce, hasta cierto grado, la varianza. La “sobrediferenciación” produce el efecto contrario.

• Si la serie presenta variación estacional, se soluciona tomando diferencias estacionales

ttt XX ε+= −1

tttt XXX εΔ =−= −1

tε

Tema 2 6

Camino Aleatorio

Tras primeras diferencias


4

Tema 2 7


1. Introducción

2.2. La falta de estacionariedad en varianzaLa falta de estacionariedad en varianza

3. La falta de estacionariedad en media

Tema 2 8

2.2 La falta de estacionariedad en varianza

• Muchas series temporales económicas no son estacionarias, si bien suelen ser homogéneas, esto es, son susceptibles de convertirse en estacionarias aplicando transformaciones:

transformación de Box-Cox: determinación de λdiferencias sucesivas: determinación de d

• Cuando la serie Xt no es estacionaria en varianza se transforma la misma mediante la transformación de Box-Cox

( )

⎪⎩

⎪⎨⎧

=

≠−

==0

01

λ

λλ

λ

λ

t

t

tt

Xln

XwX


5

Tema 2 9

• Para detectar si Xt es estacionaria en varianza podemos analizar la serie temporal o el diagrama rango/media ¿Cómo?

Gráfico Rango Media:Dividir la serie en intervalos (si hay estacionalidad, intervalo=período estacional; si no, intervalos de 5 a 10 datos)Calcular el rango y la media de cada intervalo.

50

100

150

200

250

300

350

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

EXPORT

0

20

40

60

80

100

120

50 100 150 200 250 300

MEDIAEXPORT

RAN

GO

EXPO

RT

λ=0 (aplicar ln)

λ=1(Xt=wt)

Tema 2 10

Graficar los pares de valores (media,rango)Decidir el valor de λ según la pendiente de la recta de regresión ajustada (normalmente =0 ó =1)

Como es difícil determinar “a ojo” el valor de λ, se opta por calcular la siguiente regresión, que vuelve a relacionar “dispersión” con valores medios:

Se contrasta si el parámetro asociado al logaritmo de la media es significativo o no. Si lo es, hay que transformar el modelo (con Box-Cox, para el valor λ obtenido). Si no lo es, no se transforma el modelo.

( ) ixx iiεμλδσ +−+= ln1lnln 2


6

Tema 2 11

Tema 2 1211848.949.241.84848.7...38.550.340.364.441.638.8desv.tip.

452171178142180194...116177135226152139rango

645698714652651654...705719718732740759media

305752763668642641...676697701731777729Diciemb.

650730806637654707...754787754697774782Noviem.

730710759727763771...743825774728716810Octubre

709771759726673663...724729743837822788Septiem.

700755687660621654...755749746768786774agosto

757658708591664679...664738727666720715julio

639646675629592624...690681694727690735junio

550664721664616656...685686726749752740mayo

602706700633661657...662648642759735748abril

743671717646634625...738730724659712824marzo

648600649585583577...639650639620670685febrero

707712628656712596...731707743846729776enero

010099989796...908988878685


7

Tema 2 13

Gráfico D.T.- Media

0

100

200

300

400

500

600

700

800

0 100 200 300 400 500 600 700 800

Media

Des

viac

ión

Típi

ca

Tema 2 14

4.143228252.809559715

3.3789263142.84380357

3.3843334982.853900916

3.2418299962.814136566

3.3621406922.813747736

3.3744377342.815688411

3.1978068312.813302933

2.8519544292.816130778

3.1855657622.827046017

3.1029170342.84885596

3.2140247282.83415568

3.171797532.848240449

3.4023318482.856678552

3.211482082.855973201

3.618311822.86465938

3.2391795212.869378416

3.1780091732.8801464

ln varianzaln media

¿Decisión?


8

Tema 2 15


1. Introducción

2. La falta de estacionariedad en varianza

3.3. La falta de estacionariedad en mediaLa falta de estacionariedad en media

Tema 2 16

• Cuando la serie Xt no es estacionaria en media se transforma la misma calculando diferencias sucesivas.

• De manera general:

Analizar el gráfico de la serie original y sus correlogramasSerie oscila en torno a un valor, FAS decrece rápido: d=0Serie con distintos niveles, FAS con decrecimiento lento, FAP con primer valor cercano a 1: diferenciamos y volvemos a El proceso se repite hasta obtener un valor d que asegure que es estacionaria (normalmente )

( ) ttttt XXLXXw Δ=−=−= − 11 ttt Xww 21 Δ=− −; ; ...

( )λΔ td

t Xw = ¿Valor de d?

[ ]210 ,,d ∈


9

Tema 2 17

• Ejemplos:

• El valor d también puede obtenerse aplicando los contrastes de DF y DFA (nos darán mayor fiabilidad)

0

000000

000000

000000

000000

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85

RENTA

0

10

20

30

40

50

60

70

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

SERIE3

4.5

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

40 45 50 55 60 65 70 75 80 85 90 95

SERIE1

d=0 d=1 d=2

Tema 2 18

• Los procesos a los que se les aplica diferenciación, se conocen como procesos ARIMA(p,d,q), donde d indica el número de diferenciaciones realizadas.

• Ejemplo:

• La serie de interés para nosotros es Xt y no wt , por eso tenemos que aplicar el proceso de integración, una vez realizado todo el estudio: (Ej. d=1)

Paseo aleatorio Ruido BlancoΔ

ARIMA(p,d,q) ARMA(p,q)Diferenciación Δd

Integración

Xtwt

( ) 11 −−=−== ttttt XXXLXw Δ 1−+= ttt XwX


10

Tema 2 19

Contrastes de integración. Los test de DF y de DFA

• Los contrastes de integración son más conocidos como contrastes de raíces unitarias. Sirven para decidir el valor de d.

Detecta la posibilidad de tener que diferenciar. Una serie es integrada de orden 1, , cuando al realizar su primera diferencia, , conseguimos que sea estacionaria.

Un AR(1) puede ser:

Si φ1 =1 no es estacionario, pero si aplico una diferencia sí.

( )1I~Xt( ) tt XXL Δ=−1

1 1t t tX t Xδ β φ ε−= + ⋅ + +1 1t t tX Xδ φ ε−= + +

1 1t t tX Xφ ε−= + (1)(2)(3)

ttX εΔ =De (1) Dem:

Tema 2 20

El contraste de D-F se basa en esa idea. Por lo tanto, estima (3) y plantea el contraste:

Una forma alternativa de plantearlo es restando Xt-1 a ambos lados del modelo (3). Así:

Entonces el contraste se planteará como:*

0 1*

1 1

: 0: 0

HH

φφ

⎧ =⎨

<⎩ *1

*1

ˆ

ˆ 0 ~ˆ

t DFφ

φσ

−=

( ) *1 1 1 11t t t t tX t X t Xδ β φ ε δ β φ ε− −Δ = + ⋅ + − + = + ⋅ + +

0 1

1 1

: 1: 1

HH

φφ

=⎧⎨ <⎩

1

1

ˆ

ˆ 1 ~ˆ

t DFφ

φσ

−=


11

Tema 2 21

Ejemplo:Xt = Tipos de cambio del franco canadiense frente al dólar

(desde 1973 hasta 1989)

0.80

0.85

0.90

0.95

1.00

1.05

74 76 78 80 82 84 86 88

TIPOCAMBIO

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

0.2 0.4 0.6 0.8 1.0

MEDTC

RA

NG

TC

Tema 2 22


12

Tema 2 23

¿Residuos no correlacionados?

Tema 2 24

La forma de realizar este contraste ya no parte de un AR(1) con ruido blanco, sino que generaliza para un AR(p).

Sea:

Se puede reescribir como:

Y a partir de aquí:

1 1 2 2 ...t t t p t p tX t X X Xδ β φ φ φ ε− − −= + ⋅ + + + + +

1

11 1 1

1p p p

t i t i t k ti k i k

X t X Xδ β φ φ ε−

− −= = = +

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞= + ⋅ + − − Δ +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦∑ ∑ ∑

( )* *

111

p

t t i t i ti

X t X Xδ β φ φ ε− −=

Δ = + ⋅ + + Δ +∑ ( )*

1δ φ δ=

( ) 1 21 1 ... pφ φ φ φ= − − − −(4)


13

Tema 2 25

Entonces el contraste se vuelve a plantear como:

Si aceptamos Ho tendremos que diferenciar una vez. ¿Y dos?Se repetiría todo el proceso partiendo de la serie ya

diferenciada una vez.

Dudas: ¿Cuántos retardos debe incluir la ecuación (4)?¿Es necesario incluir en la ecuación (4) constante? ¿Y tendencia?

( )

( )

0 1

1 1

: 0

: 0

H

H

φ

φ

=⎧⎪⎨ <⎪⎩

( )

( )1

1

ˆ

ˆ 0~

ˆt DF

φ

φ

σ

−=

Tema 2 26

Los pasos a seguir a la hora de hacer el contraste serán:Hacer el contraste DF/DFA con constante y tendencia, para seleccionar el número de retardos necesarios hasta que el residuo tenga un FAS y FAP ruido blanco.Selección de constante y/o tendencia: Sin modificar el número de retardos de , aplicar los siguientes contrastes, que se resuelven todos con el siguiente estadístico:

( )

( )kTee

reeee

nr

nrr

i

−

−= '

''φ

r = nº de restricciones en la HoT = nº de observaciones usadask = nº de parámetros del modelo no restringido


14

Tema 2 27

Nota: el modelo restringido aparece siempre en la Ho.

Sin constante ni tendencia

Acepto Ho

Sólo con constante

Acepto H1

Ho: MCO sin constanteH1: MCO con constante

Acepto Ho

Sin constante ni tendencia

Acepto Ho

Con constante y tendencia

Acepto H1

Ho: MCO sin constante ni tendenciaH1: MCO con constante y tendencia

Acepto H1

Ho: MCO con constanteH1: MCO con constante y tendencia

( )3φ

( )1φ ( )2φ

Tema 2 28

( )3φ

( )1φ


15

Tema 2 29

( )2φ

Tema 2 30

Ejemplo:


16

Tema 2 31

Dependent Variable: DTIPOCAMBIO Method: Least Squares Sample(adjusted): 1973:04 1989:11 Included observations: 200 after adjusting endpoints

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. TIPOCAMBIO(-1) 0.000340 0.001165 0.292174 0.7705

DTIPOCAMBIO(-1) -0.199450 0.069463 -2.871314 0.0045 DTIPOCAMBIO(-2) -0.183411 0.069319 -2.645884 0.0088

Sum squared resid 0.046296 Schwarz criterion -5.453672


Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.018184 0.018270 0.995257 0.3208

TIPOCAMBIO(-1) -0.019160 0.019628 -0.976167 0.3302 DTIPOCAMBIO(-1) -0.187419 0.070508 -2.658113 0.0085 DTIPOCAMBIO(-2) -0.174385 0.069912 -2.494362 0.0134


Tema 2 32

ADF Test Statistic -9.575255 1% Critical Value* -2.5759 5% Critical Value -1.9413 10% Critical Value -1.6165

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root.

Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(TIPOCAMBIO,2)

ADF Test Statistic 0.292174 1% Critical Value* -2.5759 5% Critical Value -1.9413 10% Critical Value -1.6165

*MacKinnon critical values for rejection of hypothesis of a unit root. Augmented Dickey-Fuller Test Equation Dependent Variable: D(TIPOCAMBIO)


Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob. C 0.008174 0.019961 0.409483 0.6826 T 2.46E-05 1.99E-05 1.236479 0.2178

TIPOCAMBIO(-1) -0.011103 0.020657 -0.537492 0.5915 DTIPOCAMBIO(-1) -0.200982 0.071263 -2.820301 0.0053 DTIPOCAMBIO(-2) -0.187263 0.070590 -2.652823 0.0086


1. introducción · • un proceso no estacionario que se convierte en estacionario después de h...

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