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Introdução à Programação Linguagem R
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Introdução
• A aprendizagem de uma linguagem de programação desenvolve a capacidade de raciocínio e análise do aluno e é uma vantagem comparativa na luta pelos empregos melhor remunerados.
• O R é uma linguagem simples mas que permite escrever programas para realizar tarefas computacionalmente complexas.
• É de distribuição gratuita (procurar R-project).
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Introdução
• O que escrevermos na linha de comando, depois de fazermos “Enter” – assumiremos a partir de agora, que se faz
sempre Enter no fim de escrever os comandos
• Vai ser processado pelo R.
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Introdução
• Por exemplo, se escrever
(2+7+5)/5
• aparece o resultado
[1] 2.8
• O número [1] não tem, para já, significado.
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Introdução
• Se executarmos o comando
q()
• saímos do R. (faz uma pergunta a que dizemos sim).
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Objectos
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Objectos
• Um objecto pode ser – uma variável,
– uma constante,
– um vector,
– uma matriz,
– uma tabela de dados,
– uma função, etc.
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Objectos
• Cada objecto tem um nome formado por letras (as maiúsculas são diferentes das minúsculas), por números e pelo carácter ponto, “.”, não podendo ter espaços.
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Objectos
• Constantes. Eu posso criar a constante X executando
X <- 45 (que é diferente do objecto x).
• Para ver o conteúdo de um objecto, executo o seu nome. Se executar
X
• aparece
[1] 45
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Objectos
• Se atribuir outra vez outro valor a X, o valor anterior será destruído e substituído.
• Também poderia fazer a atribuição usando = em vez de <-
X = 45
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Objectos
• Expressões. Posso executar expressões algébricas e ver o resultado ou colocar o resultado numa constante.
• Nas expressões posso ter números, operadores algébricos (+, –, /, *) e potenciação (^). Posso ainda usar outros objectos e funções.
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Objectos
• Se executar
i <- ((X*2 + 5^2)^2) / log(1.05)
• e depois
i
• aparece
[1] 271058.7
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Exercício
• Ex.3.1. Emprestei 1000€ a uma taxa anual de 5%/ano. Quanto dinheiro receberei ao fim de 10 anos (capitalização composta)?
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Exercício
Tx.de.jr.an<-0.05
Cap.inic<-1000
Prazo<-10
Cap.final<-Cap.inic*(1+Tx.de.jr.an)^Prazo
Cap.final
[1] 1628.895
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Objectos
• Vectores. Um vector é uma “constante” multi-dimensional.
• Para dar a indicação de que vou criar um vector, usa o “comando” c(valor1, valor2).
• Os vectores têm um “modo” (se são números reais, complexos, valores lógicos, palavras, etc.) onde todas as dimensões do vector têm que ser do mesmo “modo”.
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Objectos
• E.g., durante um empréstimo a 3 anos capitalizado, a taxa de juro dos anos foi 3.7%, 4.1% e 4.9%. Posso guardar essas taxas num vector executando
Juros<-c(0.037,0.041,0.049)
• Se quiser saber quantos elementos tem o vector executo
length(Juros)
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Objectos
• Resumindo sabemos como definir
• Constantes
X = 45
• Expressões
i <- ((X*2 + 5^2)^2) / log(1.05)
• Vectores
Juros<-c(0.037,0.041,0.049)
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Operações com vectores
• Eu posso usar os vectores na expressões algébricas
• O R vai calcular a expressão para cada um dos elementos e retorna como resultado outro vector.
• Não se trata de cálculo vectorial normal
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Operações com vectores
• Por exemplo, as taxas de juro são
Juros<-c(0.037,0.041,0.049)
• E eu emprestei 5000€, recebendo os juros no fim de cada ano. Obtenho os juros recebidos nos 3 anos executando o comando … de que resulta
5000*Juros
[1] 185 205 245
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Operações com vectores
• Nota. Uma constante é um vector de dimensão unitária.
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Operações com vectores
• Se eu executar operações com dois vectores, as operações vão ser realizada entre os elementos de igual índice.
• Por exemplo, se eu executar … resultará
v1 <- c(4, 6, 87)
v2 <- c(34, 32.4, 12)
v1 + v2
[1] 38.0 38.4 99.0
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Operações com vectores
• Se eu aplicar funções a vectores, a função é aplicada a cada elemento do vector.
• Por exemplo, se eu executar… resultará
v1 <- c(4, 6, 87)
v1^0.5
[1] 2.000000 2.449490 9.327379.
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Exercício
• Ex.3.2. Um banco personaliza as taxas de juro dos depósitos dos seus clientes.
• i) Crie, para 10 clientes, um hipotético vector de taxas de juro, um vector de saldos e calcule os juros a pagar a cada cliente.
• ii) Capitalize esses saldos com a taxa de juro respectiva a 5 anos.
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Exercício
Tx.juros<- c(4.5, 5.1, 4, 3.6, 3, 5, 4.6, 4.8, 3.6, 5)/100
Saldos<- c(10, 150, 45, 20, 100, 75, 15, 67, 9, 2)*1000
Juros <- Saldos*Tx.juros
• ii) Cap.final<- Saldos*(c(1,1,1,1,1,1,1,1,1,1) + Tx.juros)^5
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Exercício
• Ex.3.3. Quero saber, em função do prazo, qual é o capital final de emprestar 1000€ a uma taxa anual de 4%.
• Experimente 1, 2, 5 e 10 anos.
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Exercício
• R. Vou usar as potencialidades do R relativamente a “operações” com vectores.
Anos <- c(1, 2, 5, 10)
Tx.juro.anual<-0.04
Capital.final <- 1000*(1+Tx.juro.anual)^Anos
Capital.final
[1] 1040.000 1081.600 1216.653 1480.244
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Operações com vectores
• Reciclagem. Se realizar operações com dois vectores de tamanhos diferentes, o vector mais pequeno vai ser “reciclado” até ficar com o tamanho do maior.
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Operações com vectores
• Por exemplo, se executar … resultará
v3 <- c(1, 2, 3, 4)
v4 <- c(10, 2)
v3 + v4
[1] 12 4 13 6
• É como se o vector v4 fosse
v4 <-(10, 2, 10, 2)
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Operações com vectores
• Se, numa operação com vectores, usar uma constante, esta vai ser reciclada até ficar com o tamanho do vector.
• No ex.3.2 bastaria executar
• Capital.final<- Saldos*(1 + Tx.juros)^5
• Nota. Se os tamanhos não forem múltiplos um do outro, o R imprime um aviso.
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Operações com vectores
• Sequências. Quando os elementos do vector são uma série, podemos usar o operador “:” para criá-lo.
• Por exemplo, se executar … resulta
v5 <- 1:10
V5
[1] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
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Operações com vectores
• Fazendo operações algébricas com este gerador de séries, posso criar series mais complicadas.
• Por exemplo se executar … resultav5<- (1+0.05)^-(1:10) v5 [1] 0.9523810 0.9070295 0.8638376 0.8227025[4] 0.7835262 0.7462154 0.7106813 0.6768394[9] 0.6446089 0.6139133• que é o factor que desconta os valores
futuros ao presente à taxa anual de 5%
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Operações com vectores
• Devemos ter cuidado com a precedência do operador “:” pelo que se aconselha a usar parênteses:
• -(1:10) é diferente de -1:10
• Por exemplo, um vector de dimensão 10 com 5 em todos os elementos, posso fazer
v <- (1:5)*0 + 5
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Exercício
• Ex.3.4. Como criar num vector a sequência (10, 10.5, 11, 11.5, 12)?
v <- 10 + (0:4)/2
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Exercício
• Ex.3.5. Num investimento, apliquei 1000€ e recebi 250€, 350€, 450€ a intervalos de um ano. Sendo que a taxa de desconto é de 4.5% ao ano, qual o VAL deste investimento?
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Exercício
Cash.flow<-c(-1000, 250, 350, 450)Taxa.de.desconto<-0.045Desconto<-(1+Taxa.de.desconto)^-(0:3)Vai<-Cash.flow*DescontoVai[1] -1000.0000 239.2344 320.5055 394.3335Va<-sum(Vai)Va[1] -45.9266
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Exercício
• Ex.3.6. Apliquei 5000€ a 10 anos. Sendo que as taxas de juro foram 3.1%, 3.7%, 4.1%, 3.9%, 4.2%,4.3%, 4.5%, 3.9%, 3.5%, 3.2%, quanto dinheiro recebi no fim do prazo?
• Terei que capitalizar os 10 anos multiplicando as taxas de todos os anos.
• Para isso uso a função prod() ou log(), somo os resultados e aplico a função exp()
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Exercício
Possso usar a função prod()
Tx.juro<-c(3.1, 3.7, 4.1, 3.9, 4.2,4.3, 4.5, 3.9, 3.5, 3.2)/100
Tx.juro.total<- prod(Tx.juro+1)
Capital<-5000*Tx.juro.total
Capital
[1] 7287.484
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Exercício
Tx.juro<-c(3.1, 3.7, 4.1, 3.9, 4.2,4.3, 4.5, 3.9, 3.5, 3.2)/100
Tx.juro.total<- sum(log(Tx.juro+1))
Capital<-5000*exp(Tx.juro.total)
Capital
[1] 7287.484
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Operações com vectores
Sequências de números aleatórios. O R (contrariamente ao Excel) tem geradores de números aleatórios de muitas funções de distribuição.
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Operações com vectores
Para criar um vector com 1000 números aleatórios que seguem Distribuição Normal com, por exemplo, média 10 e desvio padrão 5, executo
va<-rnorm(10000, mean=10, sd=5)
Depois, posso usar este vector nas minhas simulações
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Operações com vectores
Por exemplo, a taxa de juro futura assume-se ser N(0.03;0.015). Pretende-se saber qual a prestação antecipada de amortizar 250mil€ em 50 anos.
)1/())600()^1(1/(. iiiVP
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Operações com vectores
r<-rnorm(10000, mean=0.03, sd=0.015)
rm<-(1+r)^(1/12)-1
P<-25000*rm/(1-(1+rm)^(-600))/(1+rm)
c(mean(P),sd(P))
[1] 80.81870 21.28977
summary(P)
Min. 1st Qu. Median Mean 3rd Qu. Max.
18.69 65.63 79.86 80.82 94.65 164.80
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44
Indexação de vectoresAcesso a elementos do vector
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45
Indexação de vectores
Quando pretendo aceder um elemento do vector, uso o índice do elemento que eu quero, entre parênteses rectos. E.g., se quisesse saber a taxa de juro do 2º ano, executava … resultava
Tx.juro<-c(3.1, 3.7, 4.1, 3.9, 4.2, 4.3)/100
Tx.juro[2]
[1] 0.037
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46
Indexação de vectores
Posso alterar
E.g., para alterar o 4º ano da série fazia
Tx.juro[4] <- 0.043
Ou criar novo elemento (o 7º ano)
Tx.juro[7]<- 0.041
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47
Indexação de vectores
Também posso querer o valor que tem determinada característica e qual:
max(Tx.juro)
min(Tx.juro)
which.max(Tx.juro)
which.min(Tx.juro)
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48
Indexação de vectores
Se quiser aceder a vários elementos, uso um vector com os seus índices.
E.g., quero o 1º e o 5º ano
Tx.juro[c(1,5)]
Notar que tenho que usar o comando de vector c().
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49
Indexação de vectores
Posso também usar o gerador de séries executando (4 primeiros anos)
Tx.juro[1:4]
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50
Exercício
• Ex.3.7. i) Crie um vector com 1000 número aleatórios que seguem lei normal com média 100 e desvio padrão 50.
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51
Exercício
• serie<-rnorm(1000, mean=100, sd=50)
• i) Determine a diferença entre a média dos primeiros 500 valores para os últimos 500 valores.
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52
Exercício
diferenca<- mean(serie[1:500])-mean(serie[501:1000])
diferenca
[1] 0.4310512
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53
Exercício
• iii) Determine a média dos 100 maiores valores e dos 100 menores valores (use o comando sort( ) para ordenar de forma crescente).
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54
Exercício
ordenados<-sort(serie)
m.menores <- mean(ordenados[1:100])
m.maiores<- mean(ordenados[901:1000])
m.menores
[1] 9.373458
m.maiores
[1] 190.8691
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55
Exercício
• Ex.3.8. Num vector estão os salários anuais de determinado trabalhador que se quer reformar (crie aleatoriamente o vector com 40 elementos com média 600 e d.p. 200).
• Determine o valor da sua reforma que será 2.2% por cada ano da média dos maiores 10 anos dos últimos 15.
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56
Exercício
salarios<-rnorm(40, mean=600, sd=200)us.mel<- sort(salarios[26:40])[6:15]s.medio <- mean(us.mel)(reforma<-
s.medio*length(salarios)*2.2/100)[1] 596.2028colocando a expressão entre parêntesis,
atribui-se a variável e visualiza-se imediatamente o resultado
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57
Filtragem de vectores.
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58
Filtragem de vectores.
Pode acontecer eu precisar retirar do vector os elementos que obedecem a determinado critério. Por exemplo, quero os elementos que são maiores que zero.
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59
Filtragem de vectores.
Para isso uso uma condição no índice:
x <- rnorm(40,mean=0,sd=10)
x[x>0]
Reparar que o que está no índice é um vector com a mesma dimensão de x mas em que os elementos são TRUE ou FALSE.
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60
Filtragem de vectores.
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61
Filtragem de vectores.
Por exemplo, quero saber na distribuição normal de média zero quanto é a média dos maiores que zero
x<-rnorm(1000000,mean=0,sd=10)
mean(x)
[1] 0.009357231
mean(x[x>0])
[1] 7.973201
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62
Filtragem de vectores.
Posso usar como comparações
maior >
maior ou igual >=
menor <
menor ou igual <=
, igual == (dois iguais)
diferente !=
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63
Filtragem de vectores.
Pode ainda usar-se o “ou” de várias condições com o carácter | ou o “e” com o carácter &.
e.g., quero os valores maiores que 0 e menores ou iguais a 5 executo
X[X>0 & X<=5]
Para negar uma condição uso o carácter !.
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64
Exercício
Ex.3.9. Suponha que as notas de um disciplina seguem lei normal com média 11.47 valores e desvio padrão de 3.51 valores.
i) Crie um vector com 250 “indivíduos”.
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65
Exercício
notas <-rnorm(250, mean=11.47, sd=3.51)
ii) Retire para outro vector os alunos com nota maior ou igual a 9,5 valores e calcule a percentagem de passados.
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66
Exercício
passados <- notas [notas>=9.5]
length(passados)/length(notas)
• iii) Substitua os valores maiores que 20 por 20 e os menores que zero por zero.
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67
Exercício
passados[passados > 20] <- 20
passados[passados < 0] <- 0
• iv) arredonde as notas
• v) determine quantos alunos tiveram 10 valores
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68
Exercício
passados <- round(passados,0)
length(passados [passados == 10])
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69
Exercício
• Ex.3.10. Suponha que se prevê que a EURIBOR do próximo ano segue lei normal com média 5% e desvio padrão 3 pontos percentuais mas que nunca poderá ser menor que 0.25% nem maior que 10%.
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70
Exercício
• i) Crie um vector com 1000 “indivíduos” com estas características substituindo os valores “errados” por estas taxas limite.
•
• ii) extraia 2000, apague os “errados” e depois retire 1000 “certos”
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71
Exercício
tx.prox.ano <- rnorm(1000, mean=0.05, sd=0.03)
tx.prox.ano [tx.prox.ano < 0.0025] <- 0.0025
tx.prox.ano [tx.prox.ano > 0.1] <- 0.1
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72
Exercício
tx.prox.ano <- rnorm(2000, mean=0.05, sd=0.03)
tx.prox.ano <- tx.prox.ano [tx.prox.ano >= 0.0025 & tx.prox.ano <= 0.1]
tx.prox.ano <- tx.prox.ano [1:1000]
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73
Criação de uma Função
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74
Funções
• Eu posso criar uma função que
• tem uma variável de entrada (que também pode ser um vector) e
• tem um resultado de saída (que pode ser uma variável ou um vector).
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75
Funções
• Por exemplo, quero dividir as notas dos alunos em “reprovou” ou “passou”. Para isso escrevo num editor de texto a função:
Classifica <-function(nota){
if(nota >= 9.5) decisao<- ”passou” else decisao<- ‘reprovou’
decisao}
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76
Funções
• Depois copio estas linhas de comando e executo-as no R.
• Depois eu posso usar essa para classificar se os alunos passaram ou reprovaram.
• Na sintaxe da função, antes de escrever o comando de saída (i.e., decisao}) é obrigatório mudar de linha.
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77
Funções
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78
Funções
A função consiste em
1º objecto que a vai conter,
2º o sinal de atribuição
3º o comando function
4º nome das variáveis dentro de parênteses rectos.
5ºAbrem-se chavetas que apenas se fecham quando escrevermos o comando a dar o resultado (que tem que ser na última linha).
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79
Funções
A execução condicionada usa o comando
if(condição) Caso sim else Caso não.
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80
Funções
Ex.3.11. i) Escreva uma função que tem como variáveis o capital inicial, a taxa de juro e o prazo e retorna o capital final (capitalização composta).
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81
Funções
cc <-function(cap.ini, t.juro, prazo){
resultado<-cap.ini*(1+t.juro)^prazo
resultado}
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82
Funções
ii) Determine o capital final se aplicados 1000€ à taxa de juro anual de 5% durante 30 anos.
cc(1000, 0.05, 30)
[1] 4321.942
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83
Funções
iii) Experimente usar a função para determinar qual o capital final para três situações diferentes (a taxa de juro ser 4%, 5% ou 6%).
cc(1000, c(0.04,0.05,0.06) ,30)
[1] 3243.398 4321.942 5743.491
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84
Funções
iv) acrescente uma condição de forma que, se o capital for maior que 50000€, a taxa de juro é maior em 0.5pp e acrescente na saída a taxa de juro. Experimente a função.
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85
Funções
cc <-function(cap.ini, t.jr, prazo){
if(cap.ini < 50000) tx<- t.jr else tx<-t.jr+0.005
cap.final<-cap.ini*(1+tx)^prazo
resultado<-c(cap.ini, tx, prazo, cap.final)
names(resultado)<-c("Cap.ini", "Tx.juro", "Prazo", "Cap.final")
resultado}
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Execução repetida
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87
Execução repetida
Existe recorrentemente necessidade de repetir uma série de operações
Por exemplo, no Método de Monte Carlos1. Eu sei como resolver um modelo mas
uma variável segue uma variável aleatória
2. Experimento vários valores da variável3. Calculo o valor médio e o desvio padrão
e faço um histograma
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88
Execução repetida
E.x. Do 2ºteste
Invisto 1 milhão de euros por ano e dentro de N anos faço uma descoberta
N é desconhecido mas tem distribuição normal com média 10 anos e desvio padrão 5 anos.
Taxa de juro de 3% ao ano
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89
Execução repetida
#determino 1000 casos possíveis
N <- rnorm(1000,mean=10,sd=5)
#determino 1000 valores actuais
Tx.j<-0.03
VA<- 1/Tx.j*(1-(1+Tx.j)^-N)
mean(VA)
sd(VA)
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90
Execução repetida
Mas se eu repetir esta série de comandos, resultam outros valores
Essas diferenças traduzem “erros de calculo” que serão tanto menos quanto mais replicas usarmos
Posso fazer um ciclo para avaliar esse erro
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Execução repetida
M=0 #crio o vector M senão não posso usar M[i]
Dp=0 #crio o vector Dp
for (i in 1:100) #Faço 100 replicações do cálculo
{
N <- rnorm(1000,mean=10,sd=5)
Tx.j<-0.03
VA<- 1/Tx.j*(1-(1+Tx.j)^-N)
M[i] =mean(VA)
Dp[i]=sd(VA)
}