1 introduÇÃo 1 introduÇÃo - ufsj.edu.br · 1 introduÇÃo • a lógica booleana é aplicada na...
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Parte 1
ÁLGEBRA BOOLEANA
109/08/2017
1. INTRODUÇÃO
2. NEGAÇÃO LÓGICA
3. MULTIPLICAÇÃO LÓGICA
4. ADIÇÃO LÓGICA
5. OU EXCLUSIVO
6. NAND
7. NOR
8. TEOREMAS
9. CASOS GERAIS
209/08/2017
INTRODUÇÃO1
INTRODUÇÃO
309/08/2017
INTRODUÇÃO1
• A lógica booleana é aplicada na comunicação entre
as pessoas, qualquer que seja o idioma.
• Toda frase compreensível e que comunique alguma
informação pode ser representada por meio de
uma expressão algébrica booleana.
• A compreensão da lógica booleana aplicada à
formulação de ideias e pensamentos facilita a
capacidade de comunicação.
• O uso de transformações lógicas corretas permite
que se coloque as palavras de modo a se obter a
reação desejada em quem recebe a informação.
Comunicação
409/08/2017
INTRODUÇÃO1
• A habilidade no uso da lógica booleana aplicada à comunicação
interpessoal é, particularmente, útil, necessária e largamente
empregada em certas profissões, como, por exemplo:
• Professores
• Pedagogos
• Psicólogos
• Políticos
• Advogados
• Vendedores
• Oradores
• Porta-vozes
• Jornalistas
• Escritores
• Homens de negócios
Comunicação
509/08/2017
INTRODUÇÃO1
• A introdução à lógica booleana é feita é
feita na criança assim que ela inicia seu
aprendizado na capacidade de
comunicar-se.
• As frases usadas como exemplo são
meramente ilustrativas, não consistem de
divulgação de mensagem (explícita nem
subliminar) nem da opinião do autor
sobre os diversos assuntos abordados.
• Exemplos são usados para que se
evidencie a aplicação da lógica booleana
na comunicação do dia-a-dia.
Comunicação
609/08/2017
2
INTRODUÇÃO1
Variável lógica: Letra ou palavra para a
qual se associa uma sentença.
Sentença ou proposição: Frase que
expõe um determinado acontecimento.
Exemplos:.
A: Fazer sol
B: Chover
C: Ir trabalhar
Entidades da lógica
709/08/2017
INTRODUÇÃO1
Variável verdadeira: Sua afirmação é satisfeita.
Variável falsa: Sua afirmação não é satisfeita.
Não existe um terceiro valor.
Uma variável somente pode ser verdadeira ou falsa.
Valor verdadeiro: 1
Valor falso: 0
Entidades da lógica
809/08/2017
INTRODUÇÃO1Unicidade da verdade
• Não existem duas verdades.
• A verdade é uma só.
• Se duas proposições são mutuamente
excludentes, uma delas é falsa e a outra
é verdadeira, ou são ambas falsas.
909/08/2017
INTRODUÇÃO1Falácia das duas verdades
• Você já deve ter lido a respeito do caso onde uma pessoa lê o
número 6 e a outra pessoa lê o número 9.
• Nesta estória, o leitor é induzido a acreditar que existem duas
verdades, a depender do ponto de vista do analista.
• Isso é mentira.
• Um dos dois observadores está lendo o número de cabeça para
baixo, está fazendo uma interpretação errada.
• A pessoa que desenhou o número quis expressar 6 ou 9, mas
não ambos.1009/08/2017
INTRODUÇÃO1Falácia das duas verdades
• Você já deve ter lido a respeito do caso onde uma pessoa
enxerga um quadrado, e outra pessoa enxerga um círculo.
• Os dois observadores estão fazendo uma leitura errada,
pois o cilindro não é nem um quadrado, nem um círculo.
• Os dois estão fazendo uma interpretação bidimensional
de uma figura tridimensional. 1109/08/2017
NEGAÇÃO LÓGICA2
NEGAÇÃO LÓGICA
1209/08/2017
3
NEGAÇÃO LÓGICA2
Uma dupla negação não tem efeito.
//A = A
--A=A
Símbolo da negação: Barra ou hífen.
Exemplos: /A, -A
Transforma o verdadeiro em falso e vice-versa.
Negação
1309/08/2017
NEGAÇÃO LÓGICA2
Afirmação: A = ir trabalhar
Negação: /A = não ir trabalhar
Afirmação: A = dia
Negação: /A = noite
Afirmação: A = bom
Negação: /A = ruim
Afirmação: A = aprovado
Negação: /A = reprovado
Exemplos
1409/08/2017
NEGAÇÃO LÓGICA2
B = /A
Se A é verdadeiro, então B é falso.
Se A é falso, então B é verdadeiro.
Se A=1, então B=0.
Se A=0, então B=1.
Variáveis opostas
1509/08/2017
NEGAÇÃO LÓGICA2
/A = B
Se você não trabalhar, passará fome.
A = Trabalhar
B = Passar fome
A = /B
Se você trabalhar, não passará fome.
/B = A
Você não passará fome se trabalhar.
B = /A
Você passará fome se não trabalhar.
Equivâlências de negação
1609/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA
1709/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
Principais conectivos lógicos:
E AND
OU OR
• Operação que une duas ou mais
sentenças.
• Para os matemáticos, os conectivos
(lógicos e aritméticos) unem, apenas,
duas variáveis ou constantes (entradas).
• Para os engenheiros, o conceito de
conectivo é expandido para mais de
duas entradas.
Conectivo
1809/08/2017
4
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
C = A * B
AND de duas variáveis
• Multiplicação lógica *
• Conjunção Λ
• Intersecção
• E lógico
• AND
1909/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
• A sentença é verdadeira se, e somente
se, as duas variáveis forem verdadeiras.
• No contrário, a sentença é falsa.
• Se uma das variáveis de entrada for
falsa, a variável de saída é falsa.
AND de duas variáveis
2009/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
B A A*B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
AND de duas variáveis
2109/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3AND de duas variáveis
C = 0
C = 0C = 0 C = 1
2209/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
C = A * B
C = Ir ao cinema
A = Ter dinheiro
B = Ter bom filme em cartaz
Eu vou ao cinema se, e
somente se, eu tiver dinheiro e
tiver um bom filme em cartaz.
AND de duas variáveis – Exemplo 1
2309/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
C = A * B
C = Implantar o projeto
A = Ter tempo
B = Ter dinheiro
A implantação deste projeto
requer tempo e dinheiro.
AND de duas variáveis – Exemplo 2
2409/08/2017
5
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
C = A * B
C = Ser aprovado
A = Ter média superior a 6,0
B = Ter freqüência superior a 75%
O aluno é aprovado se
tiver média superior a 6,0 e
freqüência superior a 75%.
AND de duas variáveis – Exemplo 3
2509/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
• A sentença é verdadeira se, e somente
se, as três variáveis forem verdadeiras.
• No contrário, a sentensa é falsa.
• Se uma das variáveis de entrada for
falsa, a variável de saída é falsa.
D = A * B * C
AND de três variáveis
2609/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
C B A A*B*C
0 0 0 0
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 0
1 0 1 0
1 1 0 0
1 1 1 1
AND de três variáveis
2709/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3AND de três variáveis
D = 0
D = 0D = 0D = 1
D = 0
D = 0D = 0
D = 0
2809/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
D = Ir passear
A = Ter boa companhia
B = Houver um local legal
C = O tempo estiver bom
Eu vou passear se tiver companhia,
se tiver um local legal para ir e se o
tempo estiver bom, senão não.
D = A * B * C
AND de três variáveis – Exemplo 1
2909/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
D = Namorar este alguém
A = Este alguém ter erudição
B = Este alguém ter boa moral
C = Este alguém ter boa aparência
Eu vou namorar alguém que
tenha erudição, boa moral e
boa aparência.
D = A * B * C
AND de três variáveis – Exemplo 2
3009/08/2017
6
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
Utopia capitalista: Bom, bonito e barato.
Utopia socialista: Público, gratuito e de qualidade.
AND de três variáveis – Exemplo 3
3109/08/2017
MULTIPLICAÇÃO LÓGICA3
E = Contratação
A = Prova escrita
B = Prova didática
C = Prova de títulos
D = Exame médico
Para ser contratado, o
professor precisa ser
aprovado na prova escrita, na
prova didática, na prova de
títulos e no exame médico.
E = A * B * C * D
AND de quatro variáveis – Exemplo
3209/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
ADIÇÃO LÓGICA
3309/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
C = A + B
OR de duas variáveis
• Adição lógica +
• Disjunção V• União
• OU lógico
• OR
• OU inclusivo
• Inclusive OR - IOR
3409/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
• A sentença é falsa se, e somente se,
as duas variáveis forem falsas.
• No contrário, a sentença é verdadeira.
• Se uma das variáveis de
entrada for verdadeira, a
variável de saída é verdadeira.
OR de duas variáveis
3509/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
B A A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1
OR de duas variáveis
3609/08/2017
7
ADIÇÃO LÓGICA4OR de duas variáveis
C = 0
C = 1C = 1 C = 1
3709/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
C = A + B
C = Sair de casa
A = Ir trabalhar
B = Ir passear
Eu vou sair de casa se tiver que
trabalhar ou se quiser passear.
Exemplo 1
3809/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
C = A + B
C = Empresa competitiva
A = Produto de qualidade
B = Concorrência deficiente
A competitividade da empresa
depende da qualidade de seu produto
ou da deficiência da concorrência.
Exemplo 2
3909/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
• A sentença é falsa se, e somente se,
as três variáveis forem falsas.
• No contrário, a sentença é verdadeira.
• Se uma das variáveis de entrada for
verdadeira, a variável de saída é verdadeira.
D = A + B + C
OR de três variáveis
4009/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
C B A A+B+C
0 0 0 0
0 0 1 1
0 1 0 1
0 1 1 1
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 1
OR de três variáveis
4109/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4OR de três variáveis
D = 0
D = 1D = 1D = 1
D = 1
D = 1D = 1
D = 1
4209/08/2017
8
ADIÇÃO LÓGICA4
D = Querer o emprego
A = Ser tranqüilo
B = Oferecer bom pagamento
C = Ser prazeroso
Eu quero um emprego que seja
tranqüilo, ou que pague bastante,
ou que seja algo de que eu goste.
D = A + B + C
OR de três variáveis – Exemplo 1
4309/08/2017
ADIÇÃO LÓGICA4
D = Ajudar você
A = Ter tempo
B = Ser pago
C = Ter interesse
Eu vou te ajudar se eu tiver
tempo, ou se você pagar, ou
se eu tiver interesse nisso.
D = A + B + C
OR de três variáveis – Exemplo 2
4409/08/2017
OU EXCLUSIVO5
OU EXCLUSIVO
4509/08/2017
OU EXCLUSIVO5XOR de duas variáveis
C = A B
• OU exclusivo
• Exclusive OR - XOR
4609/08/2017
OU EXCLUSIVO5
• As sentenças requerem exclusividade.
• Um ou outro, mas não ambos.
• A sentença é verdadeira se uma e apenas uma das
variáveis for verdadeira.
• A sentença é verdadeira se as duas variáveis forem
diferentes.
• A sentença é falsa se as duas variáveis forem iguais.
XOR de duas variáveis
4709/08/2017
OU EXCLUSIVO5
B A AB
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 0
XOR de duas variáveis
4809/08/2017
9
OU EXCLUSIVO5XOR de duas variáveis
C = 0
C = 1C = 1 C = 0
4909/08/2017
OU EXCLUSIVO5
C = Querer o trabalho
A = Em Piracicaba
B = Em Capivari
Eu só quero trabalhar em Piracicaba ou em Capivari.
C = A B
XOR de duas variáveis – Exemplo 1
5009/08/2017
OU EXCLUSIVO5
C = Comer o bolo
A = Bolo de chocolate
B = Bolo de nozes
Vou comer o bolo de chocolate ou o de
nozes, mas não agüento comer os dois.
C = A B
XOR de duas variáveis – Exemplo 2
5109/08/2017
OU EXCLUSIVO5
C = Sair
A = Escolher a jaqueta de couro
B = Escolher a moleton
Hoje vou sair com a jaqueta
de couro ou com a moleton.
C = A B
XOR de duas variáveis – Exemplo 3
5209/08/2017
OU EXCLUSIVO5
C = Comer o sorvete
A = Estar com fome
B = Estar triste
Vou comer o sorvete de chocolate se estiver
com fome ou se estiver em depressão. Se
estiver triste, eu perco o apetite.
C = A B
XOR de duas variáveis – Exemplo 4
5309/08/2017
OU EXCLUSIVO5
C = Ingerir
A = Bebida fermentada
B = Bebida destilada
Vou ingerir uma bebida fermentada
ou uma bebida destilada.
C = A B
XOR de duas variáveis – Exemplo 5
5409/08/2017
10
OU EXCLUSIVO5
C = Escrever
A = Ter uma caneta
B = Ter um lápis
Para escrever, preciso de uma caneta ou um lápis.
C = A + B
Para escrever, uso uma caneta ou um lápis.
C = Escrever
A = Usar uma caneta
B = Usar um lápis
C = A B
XOR de duas entradas – Exemplo 6
5509/08/2017
OU EXCLUSIVO5Exemplo 6 – continuação
• É possível, para uma pessoa, precisar de
uma caneta e de um lápis ao mesmo
tempo, caracterizando, assim, um “OU
inclusivo”.
• Não é possível, para uma pessoa, usar
uma caneta e um lápis ao mesmo tempo,
caracterizando, assim, um “OU” exclusivo.
• A determinação se o “OU” é inclusivo ou
exclusivo depende da interpretação do
texto. Nem sempre isso é fácil.
5609/08/2017
NAND6
NAND
5709/08/2017
NAND6
• A sentença é falsa se, e somente se,
as duas variáveis forem verdadeiras.
• No contrário, a sentença é verdadeira
• Se uma das variáveis de entrada for
falsa, a variável de saída é verdadeira.
C = /(A * B)
NAND de duas variáveis
5809/08/2017
NAND6
B A /(A*B)
0 0 1
0 1 1
1 0 1
1 1 0
NAND de duas variáveis
5909/08/2017
NAND6NAND de duas variáveis
C = 1
C = 1C = 1 C = 0
6009/08/2017
11
NAND6
/C = A * B
C = /(A * B)
C = Ser aprovado
A = Perder a matéria
B = Ser displicente nos estudos em casa
O aluno não é aprovado se o aluno perder a
matéria e se for displicente nos estudos em casa.
NAND de duas entradas – Exemplo 1
6109/08/2017
NAND6
/C = A * B
C = /(A * B)
C = Eu perdoar você
A = Você fazer mal a mim
B = Você pedir perdão a mim
Eu não vou perdoar você se você
fizer mal a mim e não pedir perdão.
NAND de duas variáveis – Exemplo 2
6209/08/2017
NOR7
NOR
6309/08/2017
NOR7
• Se uma das variáveis de entrada for
verdadeira, a variável de saída é falsa.
C = /(A + B)
• A sentença é verdadeira se, e somente
se, as duas variáveis forem falsas.
• No contrário, a sentença é falsa.
NOR de duas variáveis
6409/08/2017
NOR7
B A /(A+B)
0 0 1
0 1 0
1 0 0
1 1 0
NOR de duas variáveis
6509/08/2017
NOR7NOR de duas variáveis
C = 0
C = 0C = 0 C = 1
6609/08/2017
12
NOR7
C = O café estar bom
A = O café estar frio
B = O café estar amargo
O café não fica bom se estiver frio ou amargo.
NOR de duas variáveis – Exemplo 1
/C = A + B
C = /(A + B)
6709/08/2017
NOR7
/C = A + B
C = /(A + B)
C = Seu cônjuge amar você
A = Você desrespeitá-lo
B = Você desprezá-la
Seu cônjuge não mais te amará se você
desrespeitá-lo ou se você desprezá-lo.
NOR de duas variáveis – Exemplo 2
6809/08/2017
NOR7
/C = A + B
C = /(A + B)
C = Ir ao cinema
A = Fazer bagunça
B = Bater na irmãzinha
Mãe para o filho: Você não vai ao cinema
se continuar fazendo bagunça ou se
continuar batendo na sua irmãzinha.
NOR de duas variáveis – Exemplo 3
6909/08/2017
NOR7
/C = A + B
C = /(A + B)
C = Entrar na escola
A = Estar embriagado
B = Portar arma
O aluno não entra na escola se estiver
embriagado ou portando arma.
NOR de duas variáveis – Exemplo 4
7009/08/2017
NOR7
/C = A + B
C = /(A + B)
C = A economia funcionar
A = O governo imprimir dinheiro
B = O governo oferecer crédito subsidiado
A economia de um país não funciona
se o governo imprime dinheiro e se
oferece crédito subsidiado.
NOR de duas variáveis – Exemplo 5
7109/08/2017
NOR7
/C = A * B
C = /(A * B)
C = O homem sentir-se realizado
A = Trabalhar em um serviço imoral
B = Trabalhar em um serviço ilegal
O homem não se sente realizado se for
trabalhar em um serviço imoral ou ilegal.
NOR de duas variáveis – Exemplo 6
7209/08/2017
13
8 TEOREMAS
TEOREMAS
7309/08/2017
8 TEOREMAS
• Excluded Middle
• Princípio do meio excluído: Não há um
terceiro valor para a lógica booleana.
• Uma dupla negação não tem efeito.
• Uma quantidade par de negações não
tem efeito.
• Uma quantidade ímpar de negações pode
ser representado por uma única negação.
Dois valoers
7409/08/2017
8 TEOREMAS
A * B = /(/A + /B)
B A A*B
0 0 0
0 1 0
1 0 0
1 1 1
A ou B ou ambos são
falsos, a sentença é falsa.
A e B são verdadeiros, a
sentença é verdadeira.
Teorema de De Morgan – modo 1
7509/08/2017
8 TEOREMAS
C = A * B
C = Implantar o projeto
A = Ter tempo
B = Ter dinheiro
A implantação deste projeto
requer tempo e dinheiro.
Este projeto não pode ser implantado se não houver
tempo ou se não houver dinheiro, ou ambos.
/C = (/A + /B)
Teorema de De Morgan – modo 1 – Exemplo
7609/08/2017
8 TEOREMAS
A + B = /(/A * /B)
B A A+B
0 0 0
0 1 1
1 0 1
1 1 1A ou B ou ambos são
verdadeiros, a sentença
é verdadeira.
A e B são falsos, a
sentença é falsa.
Teorema de De Morgan – modo 2
7709/08/2017
8 TEOREMAS
C = A + B
C = Sair de casa
A = Ir trabalhar
B = Ir passear
Eu vou sair de casa se tiver que
trabalhar ou se quiser passear.
Eu não vou sair de casa se não tiver
que trabalhar e se eu não for passear.
/C = (/A * /B)
Teorema de De Morgan – modo 2 – Exemplo
7809/08/2017
14
8 TEOREMAS
A + A = A
0 + 0 = 0
1 + 1 = 1
Elemento idêntico da adição lógica
7909/08/2017
8 TEOREMAS
Para se formar, o aluno deve estudar.
B = O aluno formar-se
A = O aluno estuda
Para se formar, ou o aluno estuda, ou ele estuda.
B = A + A
B = A
Elemento idêntico da adição lógica – Exemplo 1
8009/08/2017
8 TEOREMAS
O escravo obedece.
B: A sentença
A = O escravo obedecer
O escravo, ou obedece, ou obedece.
B = A + A
B = A
Elemento idêntico da adição lógica – Exemplo 2
8109/08/2017
8 TEOREMAS
A * A = A
0 * 0 = 0
1 * 1 = 1
Elemento idêntico da multiplicação lógica
8209/08/2017
8 TEOREMAS
A criança chorava...
B: A sentença
A = A criança chorar
A criança chorava e chorava...
B = A * A
B = A
Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 1
8309/08/2017
8 TEOREMAS
Eu esperei você.
B = A sentença
A = Eu esperar você
Eu esperei você por horas e horas.
B = A * A
B = A
Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 2
8409/08/2017
15
8 TEOREMAS
Eu somente escolheria você.
B = Eu precisar escolher duas pessoas neste mundo
A = Eu escolher você
Meu amor, se eu precisasse escolher duas
pessoas neste mundo, eu escolheria você e você.
B = A * A
B = A
Elemento idênt. da multiplic. lógica – Exemplo 3
8509/08/2017
8 TEOREMAS
A + /A = 1
0 + 1 = 1
1 + 0 = 1
Elemento inverso da adição lógica
8609/08/2017
8 TEOREMAS
O ladrão será procurado.
B = O ladrão ser procurado
A = O ladrão estar vivo
/A = O ladrão estar morto
O ladrão está sendo procurado vivo ou morto.
B = 1
B = A + /A
Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 1
8709/08/2017
8 TEOREMAS
Você vai fazer o serviço.
B = Você fazer o serviço
A = Você querer
/A = Você não querer
Você vai fazer o serviço, quer você queira, quer não.
Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 2
B = 1
B = A + /A
8809/08/2017
8 TEOREMAS
Você vai sair dessa cama.
B = Você sair dessa cama
A = Você sair por bem
/A = Você sair por mal
Você vai sair dessa cama por bem ou por mal.
Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 2
B = 1
B = A + /A
8909/08/2017
8 TEOREMAS
A sentença é verdadeira.
B = A sentença
A = Você tem
/A = Você não tem
Fiat Stilo, ou você tem, ou você não tem.
Elemento inverso da adição lógica – Exemplo 3
B = 1
B = A + /A
9009/08/2017
16
8 TEOREMAS
A * /A = 0
0 * 1 = 0
1 * 0 = 0
Elemento inverso da multiplicação lógica
9109/08/2017
8 TEOREMAS
Nunca haverá paz na selva.
B = Haver paz na selva
A = Satisfazer a caças
/A = Satisfazer a caçadores
Para que haja paz na selva, é preciso
satisfazer a caças e a caçadores.
Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 1
B = A * /A
B = 0
9209/08/2017
8 TEOREMAS
Não dá para agradar a ambos.
B = Agradar
A = A Deus
/A = Ao diabo
Quero agradar a Deus e ao diabo.
Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 2
B = A * /A
B = 0
9309/08/2017
8 TEOREMAS
B = A sentença
A = Eu te amo
/A = Eu te odeio
Eu te amo, mas, ao mesmo
tempo, eu te odeio.
B = A * /A
B = 0
A sentença é falsa.
Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 3
9409/08/2017
8 TEOREMAS
B = A sentença
A = Querer ser rico
/A = Querer um mundo igualitário
Quero ser rico, mas luto
por um mundo igualitário.
B = A * /A
B = 0
Trata-se de uma utopia.
Elemento inv. da multipl. lógica – Exemplo 4
9509/08/2017
8 TEOREMAS
A + 0 = A
0 + 0 = 0
1 + 0 = 1
Elemento indiferente da adição lógica
9609/08/2017
17
8 TEOREMAS
O projeto vai fracassar
somente se o mercado
financeiro entrar em crise.
B = O projeto fracassar
A = O mercado financeiro entrar em crise
0 = A Terra ser invadida por alienígenas
Para que este projeto fracasse, só mesmo se o mercado financei-
ro entrar em crise ou se a Terra for invadida por alienígenas.
B = A
B = A + 0
Elemento indif. da adição lógica – Exemplo 1
9709/08/2017
8 TEOREMAS
Eu vou pedir demissão
somente se conseguir
outro emprego melhor.
B = Eu pedir demissão
A = Eu conseguir outro emprego melhor
0 = Eu ganhar na loteria
Eu vou pedir demissão somente se conseguir
outro emprego melhor ou se ganhar na loteria.
B = A
B = A + 0
Elemento indif. da adição lógica – Exemplo 2
9809/08/2017
8 TEOREMAS
A * 1 = A
0 * 1 = 0
1 * 1 = 1
Elemento indiferente da multiplicação lógica
9909/08/2017
8 TEOREMAS
Basta que o mercado financeiro se recomponha.
B = O projeto funcionar
A = O mercado financeiro se recompuser
1 = O tempo passar
Para que este projeto funcione,
basta que o mercado financeiro se
recomponha e que o tempo passe.
B = A
B = A * 1
Elemento indif. da multiplic. lógica – Exemplo 1
10009/08/2017
8 TEOREMAS
Basta estudar.
B = Passar na prova
A = Estudar
1 = Ter um cérebro
Para você passar na prova,
basta estudar e ter um cérebro.
B = A
B = A * 1
Elemento indif. da multiplic. lógica – Exemplo 2
10109/08/2017
8 TEOREMAS
A + 1 = 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 1
Elemento nulo da adição lógica
10209/08/2017
18
8 TEOREMAS
O momento desejado vai chegar.
B = O momento desejado chegar
A = Distrair-se com outra coisa
1 = Deixar o tempo passar
Para o momento desejado chegar, basta deixar o
tempo passar, ou, então, distrair-se com outra coisa.
B = 1
B = A + 1
Elemento nulo da adição lógica – Exemplo
10309/08/2017
8 TEOREMAS
A * 0 = 0
0 * 0 = 0
1 * 0 = 0
Elemento nulo da multiplicação lógica
10409/08/2017
8 TEOREMAS
Você não permanecerá jovem.
B = Permanecer jovem
A = Cuidar da saúde
0 = Retardar o avanço do tempo
Para permanecer jovem, basta cuidar da
saúde e retardar o avanço do tempo.
B = 0
B = A * 0
Elemento nulo da multiplic. lógica – Exemplo
10509/08/2017
8 TEOREMAS
(A * B) + (A * C) = A * (B + C)
Distributiva da multiplicação sobre a adição
10609/08/2017
8 TEOREMAS
D = Almoço
A = Arroz
B = Feijão
C = Lentilha
Para o almoço, quero arroz com feijão ou arroz com lentilha.
Para o almoço, quero arroz com feijão ou com lentilha.
Distrib. da multipl. sobre a adição – Exemplo 1
D = (A * B) + (A * C)
D = A * (B + C)
10709/08/2017
8 TEOREMAS
D = Dança
A = João
B = Sua mãe
C = Sua esposa
A dança de formatura pode ser
representada pelo João com a sua mãe
ou com a sua esposa.
D = (A * B) + (A * C)
D = A * (B + C)
A dança pode ser interpretada pelo João
com a sua mãe ou com a sua esposa.
Distrib. da multipl. sobre a adição – Exemplo 2
10809/08/2017
19
8 TEOREMAS
(A + B) * (A + C) = A + (B * C)
Distributiva da adição sobre a multiplicação
10909/08/2017
8 TEOREMAS
• Nem todas as combinações das variáveis
de entrada precisam ser usadas.
• A decisão a ser tomada nas
possibilidades que jamais acontecerão
são irrelevantes.
Irrelevância
11009/08/2017
8 TEOREMAS
C = Comprar uma casa
A = Conseguir o emprego
B = Começar a trabalhar
Se eu conseguir aquele emprego e
começar a trabalhar, comprarei uma casa.
Irrelevância – Exemplo 1
11109/08/2017
8 TEOREMASIrrelevância – Exemplo 1
B A A+B
0 0 0
0 1 0
1 0 X
1 1 1C = 0
C = 0 C = 1
B
A
C = Comprar uma casa
A = Conseguir o emprego
B = Começar a trabalhar
11209/08/2017
9 CASOS GERAIS
CASOS GERAIS
11309/08/2017
9 CASOS GERAIS
E = A escolha
A = Carne
B = Massa
C = Gelatina
D = Pudim
Para o almoço, você escolhe carne ou massa, e,
para sobremesa, você escolhe gelatina ou pudim.
E = (A + B) * (C + D)
Exemplo 1
11409/08/2017
20
9 CASOS GERAIS
A = /A
0 = 1
Redução ao absurdo
Serve para encontrar:
• Absurdo
• Mentira
• Contradição
• Incoerência
• Inconsistência
• Conflito
Reductio ad absurdum
11509/08/2017
9 CASOS GERAIS
Usado em situações como:
• Pais diante dos filhos
• Patrão diante do empregado
• Delegado diante do suspeito
• Etc
Reductio ad absurdum
11609/08/2017
9 CASOS GERAIS
• Queijo suíço: Este queijo tem o maior número de buracos.
1. Quanto mais queijo, mais buracos.
2. Se levarmos em consideração que os buracos ocupam o
lugar onde deveria ter queijo, quanto mais buracos, menos
queijo.
3. Se quanto mais queijo mais buracos e quanto mais buracos
menos queijo, logo quanto mais queijo, menos queijo.
1. A = B
2. B = /A
3. A = /A
A = Mais queijo
/A = Menos queijo
B = Mais buracos
O sistema é contraditório.
Exemplo 2
11709/08/2017
9 CASOS GERAISExemplo 2
• A frase 1, ao afirmar que, quanto mais queijo, mais
buracos, usa a palavra “queijo” para representar um
todo que inclui os buracos.
• A fase dois, ao afirmar que os buracos ocupam o lugar
onde deveria ter queijo, usa a palavra “queijo” para
representar o não-buraco, e, neste caso, não seria o
todo da frase um, mas, sim, a exclusão dos buracos.
• As frases 1 e 2 empregam um significado diferente
para a mesma palavra, queijo, e, por isso, não podem
ser usadas no mesmo argumento.
11809/08/2017
9 CASOS GERAIS
Indiana Jones, numa expedição na selva africana, foi
capturado por índios hostis. Horas depois, amarrado,
recebe a notícia de que seria morto, e que teria direito a
dizer uma última frase. Se a frase fosse verdadeira, ele
morreria de forma rápida e indolor. Se a frase fosse falsa,
ele morreria de forma lenta e dolorosa. Após muito pensar,
Indiana Jones decidiu qual seria sua frase. Após dizê-la, os
índios não souberam o que fazer e decidiram libertá-lo.
O que Indiana Jones disse?
Exemplo 3
11909/08/2017
9 CASOS GERAIS
Resposta: Indiana Jones disse:
Eu vou morrer de forma lenta e dolorosa.
A = Dizer verdade
B = Morrer de forma rápida e indolor
/A = Dizer mentira
/B = Morrer de forma lenta e dolorosa
A = B
/A = /B
Exemplo 3
12009/08/2017
21
9 CASOS GERAIS
Indiana Jones disse: Eu vou morrer de forma lenta
e dolorosa, e morre de forma lenta e dolorosa.
A = Dizer verdade
/B = Morrer de forma lenta e dolorosa
A = /B
/A = /B
Então A = /A
Exemplo 3 – Hipótese 1
12109/08/2017
9 CASOS GERAIS
Indiana Jones disse: Eu vou morrer de forma lenta
e dolorosa, e morre de forma rápida e indolor.
/A = Dizer mentira
B = Morrer de forma rápida e indolor
/A = B
A = B
Então /A = A
Exemplo 3 – Hipótese 2
12209/08/2017
9 CASOS GERAIS
O sistema não tem solução válida.
Indiana Jones usou a redução ao
absurdo para deixar os índios sem
alternativa, senão por libertá-lo.
Exemplo 3
12309/08/2017
9 CASOS GERAIS
• Um caminho leva à cidade.
• Uma pessoa diz a verdade, outra diz mentira.
• Eles sabem quem é quem, e qual o caminho certo.
• Você não sabe nem qual o caminho nem quem diz a verdade.
• Como descobrir qual caminho leva à cidade?
E D
Exemplo 4
12409/08/2017
9 CASOS GERAIS
Perguntar para uma das pessoas,
apontando para um dos caminhos:
Aquele caminho leva à cidade?
E D
Exemplo 4 – Opção 1
12509/08/2017
9 CASOS GERAIS
A opção 1 leva a uma resposta cuja veracidade
é indeterminada, ou seja, não tem valor.
“Aquele caminho leva à cidade?”
Exemplo 5 – Opção 1
12609/08/2017
22
9 CASOS GERAIS
E D
Exemplo 5 – Opção 2
Opção 2: Perguntar para uma das pessoas, apontando para um
dos caminhos, sobre qual seria a resposta da outra pessoa sobre
se aquele caminho leva à cidade.
12709/08/2017
9 CASOS GERAIS
V*F = F
1*0 = 0
A opção 2 sempre fornece uma resposta falsa, o
que, invertendo, vira uma resposta verdadeira.
“Se eu perguntar para aquela pessoa se aquele
caminho leva à cidade, o que ele vai responder?”
Exemplo 5 – Opção 2
12809/08/2017
9 CASOS GERAIS
E D
Perguntar para uma das pessoas, apontando para
um dos caminhos, sobre qual seria sua resposta.
Exemplo 5 – Opção 3
12909/08/2017
9 CASOS GERAIS
A = A
//A = A
A opção 3 sempre fornece uma resposta verdadeira.
“Se eu perguntar para você se aquele caminho
leva à cidade, qual será a sua resposta?”
Exemplo 5 – Opção 3
13009/08/2017
9 CASOS GERAIS
OpçãoCaminho
apontado
Caminho vai
pra cidade
Pessoa
indagada
0 Esquerdo Não Mentiroso
1 Esquerdo Não Honesto
2 Esquerdo Sim Mentiroso
3 Esquerdo Sim Honesto
4 Direito Não Mentiroso
5 Direito Não Honesto
6 Direito Sim Mentiroso
7 Direito Sim Honesto
Exemplo 5 – Hipóteses para testar em cada opção
13109/08/2017