1 graphentheorie prof. dr. dörte haftendorn, leuphana universität lüneburg, 2015 gibt es in...

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Graphentheorie

Prof. Dr. Dörte Haftendorn, Leuphana Universität Lüneburg, 2015 http://www.leuphana.de/matheomnibus

Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

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Königsberger Brückenproblem


Gibt es in Königsberg einen Spaziergang, bei dem man jede der sieben Pregelbrücken genau einmal überquert?

Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemein

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Was ist ein Graph?


Im Jahre 1736 Leonhard Euler löste das Problem allgemeinund begründete damit die Graphentheorie

Ein Graph besteht aus einer Eckenmengeund einerKantenmenge

( , )G E K

Jede Kante verläuft von Ecke zu Ecke.

Ecken=verticesKanten=edges

V

E Mindestens eine Ecke

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Gundbegriffe


Die Adjazenz-Matrix gibt an,durch wie viele Kanten die Ecken verbunden sind.

Der Grad einer Ecke ist die Anzahl der abgehenden Kanten.

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Eulersche Begriffe



In einem Eulerschen Weg kommt jede Kante genau einmal vor.

Ein geschlossener Eulerscher Weg heißtEulerscher Kreis.

Kanten, die zu ihrer Startecke zurückkehren, heißen Schlingen.

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Eulersche Begriffe




Ein geschlossener Eulerscher Weg heißtEulerscher Kreis.

In welchen Graphengibt es einenEulerschen Kreis?

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Eulers Lösung:



Eulerscher Satz:

Einen Eulerschen Kreis gibt es genau dann, wenn alle Ecken einen geraden Grad haben.

Beweis: ???

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Eulers Lösung:



Eulerscher Satz:


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Eulers Lösung:



Eulerscher Satz:


Im Königs-berg-Graphen gibt es keinen Eulerschen Kreis.

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Das Haus des Nikolaus



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Das Haus des Nikolaus


Eulerscher Satz:

Einen offenen Eulerschen Weg gibt es genau dann, wenn genau zwei Ecken einen ungeraden Grad haben.


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Graphen in unserer Welt


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Mit Graphen schafft man sichein Modell der Wirklichkeit,

das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet.

Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen eigentlich gar keine Rolle.

Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.

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Mit Graphen schafft man sichein Modell der Wirklichkeit,

das einen bestimmten Zusammenhang deutlich macht und andere Aspekte der Wirklichkeit ausblendet.

Die geometrische Lage und Form spielt bei Graphen

eigentlich gar keine Rolle.

Bei Streckenplänen wird allerdings ganz grob die gegenseitige Lage wiedergegeben.

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Routenplaner und Graphen


Die Routenplanerarbeiten mit

bewertetenGraphen

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Routenplaner und Graphen


Die Routenplanerarbeiten mit bewertetenGraphenDie Bewertung kann Entfernung,Zeit, Kosten ....bedeuten.

Erstmal leichtereProbleme:

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Stadtplanung und Graphen


die Bewertung Baukostenbedeuten.

Für das Stadt-bauamt kann

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Optimierung und Graphen


Bewertung BaukostenRadwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.

Greedy-AlgorithmusProtokoll

greedy=gierig

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Bewertung Baukosten

Eine Kante davon

wählen.

Nicht nehmen,

sonst wirdes ein Kreis. Radwegbelag

möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.

Greedy-AlgorithmusProtokoll

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Bewertung BaukostenRadwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.

ProtokollGreedy-Algorithmus

Entstanden ist ein

„minimaler Spannbaum“

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Bewertung Baukosten

Ein Baum ist ein zusammenhängender Graph ohne Kreise.

Radwegbelag möglichst billig so erneuern, dass jede Kreuzung auf neuem Belag erreichbar ist.

Entstanden ist ein

„minimaler Spannbaum“

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Bewertung BaukostenLeitungsnetz verlegen, so dass jeder Knoten erreicht wird. Minimiere die Baukosten.

Greedy-Algorithmus

Übrigens: gibt es hier einen Eulerschen Weg?

Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teureren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.ProtokollSelber

machen

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Greedy-Algorithmus

Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad.

Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.Protokoll

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Greedy-Algorithmus

Eulerschen Weg? Ja, denn genau zwei Ecken haben ungeraden Grad.

Markiere solange die billigstenKanten, solange kein Kreisentsteht. Mache dann mit einer nächst teuren Kante weiter, bis ein Spannbaum entsteht.Protokoll

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Graphen-Theorie


ist eins der spannendstenund dynamischsten mathematischen Themen zur Zeit.

Zwei Mathematikergreifen die Idee von „Sofies Welt“ auf…….

http://www-m9.ma.tum.de/Ruth/WebHome

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Kürzeste-Wege-Bäume


Das ist das Routenplaner-Problem.

Dijkstra-Algorithmus.Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen EckenDer „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.

Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960

Sprich ij wie ei

Erstmal so wie Sie es in der Klausur machen sollten!

Es ist schwieriger zu lösen.

An der gefordertenEcke anfangen

Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“

Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandswert beschriftenweiter so

Weg anmalen, Ecken mit Ihrem Abstandwert beschriften27




Dijkstra-Algorithmus.Wir suchen die kürzesten Wege von A aus zu allen anderen EckenDer „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.

Niederländischer Mathematiker Edsger Dijkstra, 1960

Sprich ij wie ei

Lassen Sie sich im Folgenden lediglich auf den Grundgedanken ein.

Es ist schwieriger zu lösen.

An der gefordertenEcke anfangen

Zu den Nachbarecken auf billigste Art mit „Grips“weiter so

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Dijkstra-Algorithmus.Wir notieren an jeder Ecke Wert und Vorgänger.

Fertige Ecken: AUnfertige Ecken: B1A, E9A, D2A,

Unbetretene Ecken: C F G H I

Der „Wert“ einer Ecke ist seine Entfernung von A.

Aktive Ecke wird: B1A

Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.

Die Nachbarn der aktiven Ecke kommen zu den unfertigen Ecken.

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Fertige Ecken: A, B1A, Unfertige Ecken: E9A, E8B, D2A, C7B,

Unbetretene Ecken: F G H I


Aktive Ecke wird: D2A


Die aktive Ecke ist fertig.


Dabei werden ggf. Ecken neu bewertet.

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Fertige Ecken: A0, B1A, D2A,Unfertige Ecken: E8B, C7B, E7D, H5D,

Unbetretene Ecken: F G I


Aktive Ecke wird: H5D





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Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D

Unfertige Ecken: C7B, E7D, E6H, I9H

Unbetretene Ecken: F G


Aktive Ecke wird: E6H, Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.




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Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H

Unfertige Ecken: C7B, I9H, I8E, F11E

Unbetretene Ecken: G


Aktive Ecke wird: C7BEine Ecke mit minimalem

Wert wird neue aktive Ecke.




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Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B

Unfertige Ecken: I8E, F11E, F9C, G13 C,

Unbetretene Ecken:


Aktive Ecke wird: I8EEine Ecke mit minimalem

Wert wird neue aktive Ecke.



ggf. Ecken neu bewertet.

Unfertige Ecken: F9C, G13 C, G12I,

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Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E

Unbetretene Ecken:


Aktive Ecke wird: F9C Eine Ecke mit minimalem Wert wird neue aktive Ecke.




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Dijkstra-Algorithmus.Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.

Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F

Unfertige Ecken: G12I, G10F

Unbetretene Ecken:


Aktive Ecke wird: G10F


Die letzte aktive Ecke ist fertig.


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Dijkstra-Algorithmus.

Fertige Ecken: A0, B1A, D2A, H5D, E6H, C7B, I8E, F9C, G10F


Das ist nun ein kürzeste-Wege-Baum.

Mit Wert und Vorgänger für jede Ecke haben wir den gesuchten Baum.

http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/DijkstraApplet

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Das ist das Routenplaner-Problem. Es wird gelöst vom Dijkstra-Algorithmus.

http://www-m9.ma.tum.de/Allgemeines/DijkstraApplet

InteraktiveVersion an der TU München

Dies ist Aufgabenblatt 6 bei der TUM

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Logistik


1.Modellierung des Problems mit Graphen2.Bewertung des Graphen mit

1.Fahrzeiten oder2.Fahrkosten3.Streckenlänge….

Lösung des Kürzeste-Wege-Problems

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Landkarten färben


Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Länder verschieden gefärbt sein sollen?

Modellierung desProblems mit Graphen:

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Landkarten färben mit Graphentheorie


Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Hauptstädteverschieden gefärbt sein sollen?

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Landkarten färben mit Graphentheorie


Wie viele Farben brauchtman, wenn benachbarte Hauptstädteverschieden gefärbt sein sollen?Vier-Farben-SatzEs reichen immer vier Farben

Erst 1976 mit Computereinsatzbewiesen (Appel, Haken)

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Eckenfärbung von Graphen


Die Ecken sollen so gefärbt werden, dassbenachbarte Ecken verschiedene Farbenhaben

Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.

Gibt es einen hierEulerschen Weg?

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Eckenfärbung von Graphen


Die Ecken sollen so gefärbt werden, dassbenachbarte Ecken verschiedene Farbenhaben

Achtung: Der 4-Farbensatz gilt nur für Graphen ohne Kantenkreuzungen.

Eulerschen Weg?Nein, 3 Ecken mit ungeradem Grad, durften höchstens 2 sein.

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Mobilfunk-Konfliktgraphen


Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt-graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

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Mobilfunk-Konfliktgraphen


Überlappende Handybereiche brauchen verschiedene Sendefrequenzen. Eine Eckenfärbung des Konflikt-graphen zeigt, wie man Frequenzen zuordnen kann.

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Konflikt-Graphen


Die Verkehrsströme werden Ecken.Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

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Konflikt-Graphen


Die Verkehrsströme werden Ecken.Wenn zwei in Konflikt geraten, werden sie durch eine Kante verbunden.

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Konflikt-Graphen


Die Verkehrsströme werden Ecken. Wenn zwei in Konflikt geraten,werden sie durch eine Kante verbunden.Eine zulässige Eckenfärbung des Graphen zeigt: Verkehrsströme mit der gleichen Farbe dürfen gleichzeitig „Grün“ an ihrer Ampel haben.

Adjazenzmatrix dazu

Mehr dazu im Buch Nitzsche: Graphentheorie, tw.moodle Kap 11

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Graphentheorie in Büchern


Kombinatorische Optimierung erleben: Im Studium und Unterricht Stephan Hußmann (Autor), Brigitte Lutz-Westphal (Autor)

Manfred Nitzsche

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Fuzzy-Logik


„weiche Logik“

www.mathematik-verstehen.de Bereich Algebra, Logik

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Knotentheorie


www.mathematik-verstehen.de Bereich Knotentheorie, moodle Kap. 11

Zöpfe

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Fraktale, Chaostheorie


www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale

53



www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale

54



www.mathematik-verstehen.de Bereich Fraktale, moodle Kap.10

1 graphentheorie prof. dr. dörte haftendorn, leuphana universität lüneburg, 2015 gibt es in...

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