1

Fisica Nucleare

Testi utilizzati in varie parti del corso:

• Introductory nuclear physics – Krane

• Physics of atomic nucleus – K.N. Mukhin

• Nuclei e particelle – Segrè

• Introduzione alla fisica nucleare – W. Alberico

• Teoria elementare del nucleo – H.A. Bethe, P.Morrison

Testi di meccanica quantistica utili:

• Modern quantum mechanics – J.J. Sakurai

• Quantum physics – Gasiorowicz

• Quantum field theory – Mandl, Shaw

Tutte le trasparenze sono in rete nel sito:

http://gruppo3.ca.infn.it/usai

2

Riveste un ruolo importante nella nostra vita

Fissione nucleare : generazione di energia centrali/armi

Fusione nucleare : Sostiene (quasi) tutta la vita

Creazione di tutti gli elementi pesanti – Nucleo-sintesi

Possibile sorgente futura di energia non inquinante

Decadimento radioattivo: usato per la datazione, . allarmi antifumo !

Applicazioni mediche: test diagnostici basati su imaging

trattamenti terapeutici del cancro

Perchè studiare la fisica nucleare ?

3

Fisica Nucleare - Cronologia

Probabilmente nessun argomento crea così tanta aspettativa, paura e confusione

1895 Scoperta dei raggi X - Röntgen

1896 Scoperta della radioattività dell’uranio - Becquerel

1897 Studi sulla radioattivita – Marie & Pierre Curie

1905 Einstein – teoria speciale della relatività

1911 Scoperta del nucleo atomico - Rutherford

1919 / 1920 Rutherford postula protoni e neutroni nel nucleo

1926 La meccanica quantistica decolla – equazione di Schrödinger

1929 Primi acceleratori di particelle, ciclotrone di Lawrence

1931 Teoria di Pauli del neutrino nel decadimento beta

1932 Osservazione del neutrone – Chadwick

1934 Osservazione della fissione - Fermi / Hahn

1941 Avvio del Progetto Manhattan

1942 Primo reattore – Fermi

1945 La bomba atomica - Oppenheimer

1948 Nucleo-sintesi – Bethe, Gamow

1952 Bomba all’idrogeno

1956 Violazione della parità nel decadimento beta

Sviluppo di applicazioni tecnologiche

ad es. imaging medico

2006

4

Costituenti fondamentali

Elettrone me=0.511 MeV/c2 carica = - e (1.6x10-19 C) dimensione 10-18 m

Nucleo Z protoni, N neutroni protoni e neutroni sono 2 stati carichi del nucleone Un nuclide è un nucleo specificato da Z, N A (numero di massa) = Z (numero atomico) + N mp mn = 939.57 MeV/c2; carica: p = +e, n = 0 dimensioni p, n 1 fm; raggio del nucleo (A medio) 5 fm

Atomo Lo stato normale è neutro, Z elettroni dimensioni 10-10 m La massa mp, mn 1836 me dell’atomo è quasi tutta nel nucleo Le proprietà chimiche dipendono da Z

5

6

La tavola periodica degli elementi

Solo tre elementi si sono formati nel Big Bang. Tutti gli altri elementi vengono formati nelle stelle

Elementi naturali: da H(Z=1) a U(Z=92)

7

8

Masse e abbondanze nucleari

La misura della massa nucleare viene eseguita per mezzo di uno spettrometro di massa

Fascio di ioni

Lastra fotografica

Selettore di velocità

E

BB

misura della massa

q, B, v sono noti. Misurando r si ha

E

qrBm

2

Selettore di velocità

B

Ev

qvBqE

Selettore di momento

qB

mvr

qBrmv

9

Abbondanze nucleari

Spettro di massa degli isotopi del xenon trovati in un campione di gneiss avente 2.7 miliardi di anni estratto dalla penisola di Kola

Spettro degli isotopi dello xenon presenti in atmosfera

Lo Xe nello gneiss è stato prodotto dalla fissione spontanea dell’uranio (K.Schafer, MPI Heidelberg)

Possiamo fare una scansione in massa variando E o B e misurando la corrente possiamo determinare le abbondanze relative di diversi isotopi

Numero di massa

Con

tegg

i

10

Abbondanze nucleari nel sistema solare

Abbondanze relative nel sistema solare (normalizzate a Si).

Generalmente le stesse in tutto il sistema solare

Deuterio ed elio: fusione nei primi minuti dopo il big bang

Nuclei fino 56Fe: stelle

Nuclei più pesanti: supernovae

Abbondanze nel Sole

104 H 103 He 8 O 4 C 1 N 1 Ne

11

Masse nucleari: unità di misuraLa massa di riferimento non è il protone o l’atomo di idrogeno, bensì l’isotopo 12C. Il carbonio e molti dei suoi composti sono sempre presenti in uno spettrometro e sono particolarmente adatti per la calibrazione.

Una unità di massa atomica u è definita come 1/12 della massa del nuclide 12C

kg 1066043.1/MeV 481.93112

1 1 272

12 cMu

C

Esempio: Misura della massa dell’idrogeno

u 00000012.009390032.0810209 HCmHCm

D’altra parte

CmHmHCmHCm 12810209 12

Quindi la massa dell’idrogeno è data da

u 0000001.000782503.112

1 12 CmHm

massa di un protone = 938.272 MeV/c2

12

Energia di legame nucleare

L’energia di legame B di un nucleo è la differenza di energia di massa fra i suoi Z protoni e N neutroni liberi e un nucleo A

ZXN

222 cZmmNmZmcmcNmZmB eAnpNnp

L’energia di legame è determinata dalle masse atomiche, poichè esse possono essere misurate molto più precisamente delle masse nucleari.

Raggruppando le masse dei Z protoni ed elettroni in Z atomi di idrogeno neutri, possiamo anche riscrivere

21 )()( cXmNmHZmB An

L’energia di massa di un nucleo è

22

1

222 cZmcmBcZmcmcm eA

Z

iieAN

Massa atomica Massa degli Z elettroni

Energie di legame degli Z elettroni (trascurabile)

13

Le energie di separazione di protoni e neutroni sono l’equivalente delle energie di ionizzazione in fisica atomica.

L’energia di separazione dei neutroni Sn è la quantità di energia necessaria per

rimuovere un neutrone da un nucleo AZXN, uguale alla differenza fra le energie di legame

di AZXN e A-1

ZXN-1

Energie di separazione

2

11

11

cXmmXm

XBXBS

NAZnN

AZ

NA

ZNAZn

L’energia di separazione di un protone è definita, in modo simile, come l’energia necessaria per rimuovere un protone

21

1

11

cXmmXm

XBXBS

NAZpN

AZ

NAZN

AZp

14Linea rossa misure sperimentalilinea nera formula semi-empirica

ener

gia

di

leg

ame

per

par

tice

lla

nu

clea

re (

nu

cleo

ne

) in

MeV

Numero di Massa A

La massa media dei frammenti di fissione è circa 118

Elementi più pesanti del ferro possono fornire energia tramite fissione

Fe

Gli isotopi del gruppo del ferro sono i più legati

Ni6228

Fe5826

Fe5626

hanno energia di legame 8.8 MeV/nucleone

energia dalla fissione nucleare

energia dalla fusione nucleare

235U

Energia di legame per nucleone

B/A costante 8 MeV per nucleone, A20

Largo massimo per A 60 (Fe, Co, Ni)

A60 fusione A 60 fissione

I nuclei leggeri con A=4n, n=intero presentano picchi (stabilità )

B/A costante in un nucleo i nucleoni sono attratti solo dai nucleoni vicini. La forza nucleare è a corto range e saturata

15

Consideriamo la reazione

Conservazione dell’energia e del momento

L’energia di una particella di massa m è data in generale da

HeHeHLi 42

42

11

73

In un processo come questo l’energia è sempre conservata. L’energia dello stato finale deve essere uguale a quella dello stato iniziale

HeHeHLi 42

42

11

73 EEEE

22

2

/1

1)( ,)(

cvvcvmE

Possiamo anche scriverla nella forma

TmcE 2

Energia a riposo associata alla massa

Energia cinetica

16

Immaginiamo che nello stato iniziale il litio e l’idrogeno abbiano velocità trascurabili. Allora

In questo modo troviamo l’energia prodotta

Per lo stato finale possiamo scrivere

211

273

11

73 H LiHLi cmcmEE

T2

8 unità di massa + 24.55 MeV

242

242 He He cmcm 8 unità di massa + 2x3.61 MeV

TcmTcmEE 242

242

42

42 He HeHeHe

(8 unità di massa + 24.55 MeV) –

(8 unità di massa + 2x3.61 MeV) = 17.33 MeV

17

Vale anche la conservazione del momento

HeHeHLi 42

42

11

73 pppp

Nell’ipotesi di velocità trascurabili nello stato iniziale

0HLi 11

73 pp

Quindi anche nello stato finale

0HeHe 42

42 pp

Le due particelle si allontanano in direzioni opposte ciascuna con energia cinetica

MeV67.8T

18

Nuclidi

Un nuclide è un particolare nucleo ed è designato con la seguente notazione:

Z = Numero Atomico (Numero di Protoni)

A = Massa Atomica (Numero di Nucleoni)

A = Z+N (Nucleoni = Protoni + Neutroni)

N = Numero di Neutroni (talvolta omesso)

Nuclidi con lo stesso Z ma diverso N sono detti ISOTOPI

Nuclidi con lo stesso A sono noti come ISOBARI

Nuclidi con lo stesso N sono noti come ISOTONI

Stati eccitati aventi vita media lunga (meta-stabili) sono noti come ISOMERI

Esistono migliaia nuclidi!

19

Carta dei nuclidi

I nuclidi possono essere sistemati su una carta, una specie di tavola periodica della fisica nucleare

Tipicamente la carta grafica Z vs N

I diversi decadimenti radioattivi possono essere facilmente collegati con un movimento nella carta – ad es. il decadimento corrisponde a 2 passi a sinistra, 2 in basso

Questo permette di visualizzare intere catene di decadimento in modo efficace

Permette di visualizzare anche altre proprietà come la vita media o la data di scoperta

20

Carta dei nuclidi – cronologia

Evoluzione della Tavola degli Isotopi

Anno di pubblicazione

21

I nuclei stabili si trovano solo in una banda molto stretta nel piano Z-N. Tutti gli altri nuclei sono instabili e decadono spontaneamente in vari modi

Stabilità nucleare

Isobari con un grande surplus di neutroni guadagnano energia convertendo un neutrone in un protone (più un elettrone) mentre nel caso di un surplus di protoni si può verificare la reazione inversa: la conversione di un protone in un neutrone (e un positrone).

Per conservare il numero leptonico vengono prodotti anche neutrini

Si possono avere inoltre decadimenti e fissione spontanea

Fissione spontanea

Linea della stabilità

Nuclei noti

Numero di neutroni N

Nu

mer

o d

i p

roto

ni

Z

22

Carta dei nuclidi – vita media

Experimental Chart of Nuclides 2000 2975 isotopi

Vita media

23

Nucleo stabile: la sua massa deve essere minore della somma delle masse dei nuclei prodotti nel decadimento.

Es. Questo decadimento non può aver luogo

HHeLi 31

42

73

01822.7Li73 m

Li02087.7HHe 73

31

42 mmm

Infatti

Invece

n HeHe 45

È energeticamente possibile poichè

345 109.0)(HeHe nmmm

24

Regolarità

Regolarità della tavola dei nuclidi stabili:

• Numero di nuclei con Z pari >> numero di nuclei con Z dispari

• Numero di nuclei con A pari >> numero di nuclei con A dispari

• Quasi tutti i nuclei con A pari hanno anche Z pari - uniche eccezioni

NB,Li,H, 147

105

63

21

25

Dimensioni dei nuclei

Livello fondamentale

Stati eccitati ( eV)

Stati eccitati ( MeV)

Livello fondamentale

Livello fondamentale

Stati eccitati ( GeV)

26

Misura delle densità e dei raggi nucleari

La “dimensione” dei nuclei può essere determinata utilizzando due tipi di interazione:

L’interazione elettromagnetica dà la distribuzione di carica dei protoni dentro il nucleo. Ad esempio

Scattering elettronico

Atomi muonici

Nuclei speculari

L’interazione nucleare forte fornisce la distribuzione di materia dei protoni e neutroni nel nucleo. N.B. si hanno interazioni nucleari e e.m. allo stesso tempo studio più complesso. Ad esempio

Scattering (Rutherford)

Scattering di protoni

Scattering e assorbimento di neutroni

Vita media di emettitori

Raggi X di atomi pionici

27

Numero di particelle che attraversano una sezione di area unitaria per unità di tempo

va = velocità delle particelle

na = densità numero

aaa

a vntS

N

abNdt

dN

Il numero di interazioni per unità di tempo fra le particelle del fascio e quelle del bersaglio è

Nb = numero di centri diffusori nel bersaglio

= sezione d’urto di reazione

Sezione d’urto

Consideriamo una rezione della forma

Xba

Trattiamo b come il bersaglio e a come il proiettile – di solito un fascio ben collimato.

Il flusso di particelle a è definito come

28

Ninc = numero di particelle del fascio incidenti in un tempo t

In un tipico esperimento viene integrato un certo numero di eventi in un tempo t (secondi, giorni o anche anni). Il numero totale di eventi osservati in un tempo t può essere riscritto come

incb NS

NN

Nb / S è il numero di centri diffusori per unità d’area. Ora

L = lunghezza del bersaglio

A

LN

S

N Ab

LSnN bb

D’altra parte

Avb

b

bb N

Am

mn ,

29

Se il rivelatore può determinare l’energia E’ delle particelle scatterate, si può misurare la doppia sezione d’urto differenziale

Sezione d’urto differenzialeLa distribuzione angolare delle particelle scatterate non è necessariamente omogenea

ba Nd

d

ddt

dN

Numero di particelle scatterate in d è dN/d

fascio

bersaglio

angolo solido d=AD/r2

area AD

r

dN

dtdN

d

d

ba

/Unità area/steraradiante

'/),',(2 dEdEEd

30

In un processo elastico a+ba’+b’ le particelle dello stato finale sono le stesse dello stato iniziale. Il bersaglio b resta nel suo stato fondamentale, assorbendo soltanto momento di rinculo e quindi variando la sua energia cinetica.

L’angolo di scattering e l’energia di a’ e l’angolo di produzione e l’energia di b’ sono correlati in modo non ambiguo

Conclusioni sulla forma del bersaglio possono essere dedotte dalla dipendenza del rate di scattering dall’energia del fascio e dall’angolo di scattering

La più grande lunghezza d’onda che può risolvere strutture di dimensione lineare x è data dalla lunghezza d’onda di de Broglie ridotta ’ x

Scattering elastico

xx

cpc

xp

MeVfm200

Quindi per studiare i nuclei aventi raggi di qualche fermi, i momenti del fascio devono essere dell’ordine di 10-100 MeV/c

I singoli nucleoni hanno raggi di circa 0.8 fm. Essi possono essere risolti se il momento del fascio è qualche centinaio di MeV

Il corrispondente momento della particella segue dal principio di indeterminazione di Heisemberg

31

Utilizziamo gli elettroni come sonda per studiare le deviazioni rispetto a un nucleo puntiforme

interazione elettromagnetica

Per misurare una distanza fino a 1 fm abbiamo bisogno di un’energia

Scattering elettronico

nucleo A

fotone

e-

MeV 200fm 11 1-

E

Misuriamo E, degli elettroni scatterati d/d

sottile foglio di materiale scatteratore

monitor di fascio

Fascio elettronico di energia nota

Rivelatore

Regione di campo magneticoApparato

sperimentale

32

Ricavabile sia classicamente che con la meccanica quantistica con le ipotesi:

• il rinculo del nucleo trascurato

• gli effetti di spin trascurati

• centro di scattering puntiforme

Sezione d’urto Rutherford

)2/(sin4 42

22

E

Ze

d

d

Rutherford

angolo di scattering

dN/d

)2/(sin

14

Scattering di un elettrone di energia E su un nucleo di carica Ze

33

Calcoliamo d/d usando l’approssimazione di Born in cui lo stato iniziale e finale sono considerati onde piane e si trascura il rinculo nucleare.

Derivazione quanto-meccanica

incidente Flusso

d in /secscatterate particelle di n.

d

d

Il rate di transizione è dato dalla regola d’oro di Fermi

1 - 22 EMfi

dove

int

densità di stati finali

f iM H

E

34

Racchiudiamo il nostro sistema in una scatola di lato L. La funzione d’onda di un elettrone è un’onda piana

Lo stato di onda piana è soluzione dell’equazione di Schrodinger. Dobbiamo imporre delle condizioni di frontiera sui bordi della scatola. Poniamo

Questo implica

Quantizzazione in una scatola

rkiNer )(

Normalizzazione: probabilità di trovare l’elettrone nel volume V = L3 deve essere 1:

VNrd

1 132

1

)()(

LikLikLik zyx eee

Lrr

2

,2

,2

interi ,, ,2

,2

,2

L

n

L

n

L

np

nnnL

nk

L

nk

L

nk

zyx

zyxz

zy

yx

x

35

Uso pratico della condizione di quantizzazione: Densità di stati

numero di valori consentiti di k (o p) in una regione dello spazio del momento d3k:

Ciascuno stato occupa un volume (2/L)3 nello spazio k. Il numero di stati in k,k+d3k

3

2

3

2

3

3

/2

,/2/2

L

dp

dp

dNp

L

dpdp

L

pddN

Nel caso di scattering relativistico Ep,

33

2

2Ld

E

dE

dp

dp

dNE

punto singolo unda occupato volume

3kddN

xk

yk

L

2

ddd sinelemento di angolo solido

36

Flusso: numero di particelle incidenti che attraversano un’area unitaria per secondo.

Consideriamo un bersaglio di area A e un fascio incidente di velocità v=c in moto verso il bersaglio. Il flusso è

dove ni è la densità numero di particelle incidenti = 1/L3

Mettendo tutto assieme

) (cLL

c1

133

cndt

dN

Adx

dx

dt

dN

A iii

a 1

2

2 33 3 2

3

12 ( )

12 ( )

2

f

iq r

d M E

LL e V r d r E d

L

2 23

2( )

(2 )iq rd E

e V r d rd

Flusso di elettroni incidenti

37

dove è il momento trasferito

Nel caso di scattering elastico

* 3int int

3

33

( )

1( )

f i

f i f i

ip r ip r

iq r

M H H d x

Ne V r Ne d x

e V r d xL

i fq p p

i fp p

22

2 2

2

2 2

2 cos

2 (1 cos )

4 sin / 2

i f

i f i f

q p p

p p p p

p

E

momento trasferito

Elemento di matrice

38

Omettendo il fattore di normalizzazione L3

L’integrale è mal definito (oscilla) per cui usiamo

Abbiamo

222

0

/2

4

/1

4

2

q

Z

aq

Z

driqr

eee

r

ZrM

a

iqriqrar

( )Z

V rr

3

2

0

( )

2sin 2 ( )

iq rM e V r d r

qrr V r dr

qr

/( ) ( 0 per )r aZV r e V r

r

Scattering Rutherford: scattering su nucleo puntiforme

39

La sezione d’urto è quindi data da

Questa non è ancora esattamente la formula che abbiamo quotato all’inizio ma ci siamo quasi. Poichè trascuriamo il rinculo, l’energia e il modulo del momento dell’elettrone non cambiano: E=E’, |p|=|p’|, da cui

Se ora ricordiamo che E=p, arriviamo alla formula di scattering di Rutherford

4

2

2

2 )4(

)2( q

ZE

d

d

Rutherford

2/sin4 42

22

E

Z

d

d

Rutherford

2 sin / 2q p

40

Finora abbiamo trascurato lo spin dell’elettrone e del bersaglio. A energie relativistiche tuttavia gli effetti di spin modificano la sezione d’urto. La risultante sezione d’urto Mott può essere scritta come

Sezione d’urto Mott

c

v -

2sin1 22

RutherfordMott d

d

d

d

Nel caso limite di 1 la sezione d’urto Mott si semplifica in

2

cos2

RutherfordMott d

d

d

d

L’espressione mostra che a energie relativistiche la sezione d’urto Mott diminuisce più rapidamente a grandi angoli di scattering della sezione d’urto Rutherford

41

dN/d

cos

(un

ità a

rbitr

arie

)

cos

0.50.0 1.0-0.5-1.010-1

1

101

102

103

104

105

Sezione d’urto Mott

Sezione d’urto Rutherford

I dati dello scattering elettronico di Hofstadter erano sotto quelli attesi per un nucleo puntiforme, indicando una struttura del nucleo

Scattering elettronico su nuclei: risultati sperimentali

42

Supponiamo che V(r) dipenda dalla distribuzione di carica nel nucleo

Scattering da un nucleo esteso

Energia potenziale dell’elettrone dovuta alla carica dQ

Abbiamo da cui

L’ampiezza di transizione si modifica in

-4 '

edQdV

r r

3( ') 'dQ Ze r d r

23 3( ') ( ')

- ' -Z '4 ' '

e Z r rV d r d r

r r r r

3 3

( ')' 3 3

( ')'

'

( ') '

'

iq r

iq r riq r

rM Z e d r d r

r r

r eZ e d r d r

r r

43

Possiamo quindi scrivere

Poniamo e consideriamo costante (vale a dire integriamo su )

dove è il fattore di forma ed è la trasformata di Fourier della distribuzione di carica

Sperimentalmente il fattore di forma è ottenuto dividendo la sezione d’urto misurata per la sezione d’urto Mott. Si misura perciò la sezione d’urto per un’energia fissata del fascio e per vari angoli (e quindi diversi |q|) e si divide per la sezione d’urto Mott calcolata

scattering Rutherford (o Mott)

F(q2)

22 )(qFd

d

d

d

Mott

- 'R r r 'r

r

3 ' 3( ') 'iq R

iq reM Z d R r e d r

R

2 ' 3( ) ( ') 'iq rF q r e d r

44

in linea di principio la distribuzione di carica radiale potrebbe essere determinata dalla trasformata di Fourier inversa, utilizzando la dipendenza da q2 del fattore di forma sperimentale

Nel caso di nuclei sfericamente simmetrici, dipende soltanto da L’integrazione sull’angolo solido dà

dqqqr

qrqFr

drrqr

qrrqF

222

22

sin)(

2

1)(

sin)(4)(

L’energia del fascio e la rapida diminuzione della sezione d’urto limitano il range di |q|. Percio’ tipicamente vengono scelte delle parametrizzazioni di , si calcola il risultante fattore di forma e i parametri vengono determinati tramite un fit ai dati sperimentali

2 33

1( ) ( )

(2 )iq rr F q e d q

r r

45

Fattori di forma nucleari – esempi

puntiforme

4

)(rcostante

esponenzialearea 3

gauss

2/2

32

22

2rae

a

sfera omogenea

Rr

RrR

0

4

3 3

dipolo2

2

2

1

a

q

gauss

22 2/ aqe

oscillante

qRqrqRqR

cossin)(

33

sfera con superficie diffusa

oscillante

elettrone

protone

6Li

40Ca

r |q|

(r) F(q2) esempio

46

Fattori di forma nucleari – prime misure

Misura del fattore di forma di 12C con lo scattering elettronico (Hofstadter, Stanford 1957). Una delle prime misure di un fattore di forma nucleare

Sezione d’urto per 7 angoli a un’energia del fascio di 450 MeV

Linea tratteggiata: scattering di onda piana da parte di una sfera omogenea con superficie diffusa

Linea continua: analisi degli spostamenti di fase fittati ai dati

47

Lo scattering da parte di un oggetto con una superficie ben definita generalmente produce ben definiti massimi e minimi di diffrazione

Nel caso di una sfera omogenea di raggio R, si trova un minimo a

5.4

qR

La posizione di questi minimi ci dà quindi informazioni sulla dimensione del nucleo scatteratore.

Esempio: il minimo nella misura di 12C di Hofstadter è a q/ħ1.8 fm-1. Il nucleo di carbonio ha perciò un raggio (di carica) R=4.5/1.8 2.5 fm

48

Scattering elettronico su 40Ca e 48Ca

La sezione d’urto cambia di sette ordini di grandezza

Tre minimi visibili, quindi buona precisione nella misura del fattore di forma

Minimi di 48Ca a minore |q| implicano che 48Ca è più grande

d/d

[cm

2 /sr

]

49

Distribuzione di carica dei nuclei

I Nucleoni non si addensano vicino al centro del nucleo

Piuttosto, hanno una distribuzione costante fino in superficie

costante

34 3

R

A

La densità è descritta dalla funzione di Fermi con due parametri

fmRARR 2.1 03/1

0

sRrer

/)(1

)0()(

R è il raggio a cui (r) è diminuita di 1/2

s è la larghezza di superficie o “spessore di pelle”, dove (r) scende dal 90% al 10%. Per tutti i nuclei si ha s 2.5 fm

50Distanza radiale (fm)

Den

sità

di c

aric

a [x

109

coul

omb/

cm3 ]

Dati di scattering elettronico

51

Raggio quadratico medioIl fattore di forma può essere espanso in potenze di q

drrrqdrrr

drrddrqr

rdiqrn

rqF n

4

0

22

0

0

1

1

2

0

2222

32

)(46

1 )(4

)(cos cos2

11)(

)cos(!

1)()(

Definendo il raggio quadratico medio come

0

222 )(4 drrrrr

222

6

11)( rqqF

La misura sperimentale di <r2> richiede la misura di F(q2) a valori molto piccoli di q2

0

2

22

2

)(6

q

dq

qdFr

52

Raggi X atomiciAssumiamo che il nucleo sia una sfera uniformemente carica. Il potenziale è ottenuto in due regioni:

dentro la sfera

RrR

r

R

ZerV

o

2

1

2

3

4

22

V r Ze2

4or r R

All’esterno della sfera

L’energia di un elettrone in un dato stato con un nucleo puntiforme dipende da

rdVV nn

3*

Con un nucleo non puntiforme, assumendo che non cambi apprezzabilmente quando Vpuntiforme Vsfera

Rr

nn

Rr

nn rdVrdVV 3*3*' Energia potenziale 1/r

53

Il nucleo sferico non puntiforme cambia i livelli di <V’> - <V>

La variazione di energia fra un nucleo sferico ed uno puntiforme per la funzione d’onda elettronica del livello 1s è

3

224

1 45

2

oos a

ReZE

1,1(1s)

E1s

E1s(pt)

E1s(sphere)

In linea di principio misurando possiamo estrarre R. Il problema tuttavia è che non esiste un nucleo puntiforme!

Consideriamo una transizione 2p 1s per due atomi (A,Z) e (A1,Z). Avremo

AEAEAEAE

AEAEAEAEAEAE

sspp

spspKK

1122

1212

'

Possiamo assumere che E2p(A)=E2p(A’) e riscrivere

3/23/223

24

11

1

45

2

AARa

eZ

AEAEAEAE

ooo

ssKK

Shift isotopico

54

Graficando EK(A) – EK(A’) in funzione di A2/3 la pendenza della retta permette di ricavare R0.

3/23/223

24

11

1

45

2

AARa

eZ

AEAEAEAE

ooo

ssKK

55

Atomi muoniciMuoni arrestati nella materia vengono intrappolati in orbite atomiche e hanno una probabilità maggiore degli elettroni di passare del tempo dentro il nucleo.

Raggio di Bohr 1/Zm Energia Z2m . massa 207 me

vita media 2 s

i muoni eseguono transizioni verso livelli di energia bassi, emettendo raggi X prima di decadere

ee

fm 320782

105 4

r

Energia transizione 2P3/21S1/2: 16.41 MeV (Bohr), 6.02 MeV (misurata) Misura dei raggi X raggio

Raggi X di - anche i - possono occupare orbite attorno al nucleo. I raggi X sono emessi quando il - scende fra due orbite. Lo shift dell’energia dei raggi X dipende dal raggio

Nel caso dell’idrogeno e degli elettroni r = a0 = 5x104 fm (raggio di Bohr) Nel caso del piombo e dei muoni

56

Fattori di forma nucleari – apparato sperimentale

Apparato sperimentale A1 all’acceleratore elettronico MAMI-B (Mainzer Microtron). Tre spettrometri magnetici che possono essere usati singolarmente per lo scattering elastico o assieme per reazioni inelastiche. Diametro della rotaia circolare 12 m.