1 fachwissenschaftliches seminar unter der leitung von herrn prof. dr. w. bley ws 2008/09...
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Fachwissenschaftliches Seminar unter der Leitung von Herrn Prof. Dr. W. Bley WS 2008/09
SummenformelTeil 1
Referentin: Pelin Özgün Kanat
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Summenformeln
Summenformel für n aufeinanderfolgende natürliche Zahlen (d=1)
Bsp.: a) 1,2,3,4 (n=4)b) 6,7,8,9 (n=4)c) 6,7,8,9,10 (n=5)
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n kann entweder gerade oder ungerade sein
Entwickeln einer Summenformel n-
gerade
ungerade
Ziel:
Durch reines umordnen
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Für n= gerade
Bsp.:
S4=(a1+ a4)*n/2
6 7 8 9 (6+ 9)*4/2=30
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6 7 8 109 8∙5=40
Diese Operation (Ausgleich um die Mittelzahl) kann auch durch Treppen veranschaulicht werden:
Für n = ungerade
S5=a3*n
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Allgemein
n= k n= k n= k
n= 2k, k ∈ N (a1+an)* (n/2)
Für n= gerade (n= 2k)
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ak+1
n= (2k+1)
(ak+1)* nn= (2k+1)
Für n= ungerade (n= 2k+1)
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Ohne „reines umordnen“
n= 4 n=3
(gerade) (ungerade)
Idee: Verdoppeln des Zahlenturms
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a1+ a4
n= 4 n= 3
Gleiches Prinzip keine Unterteilung in gerade/ ungerade n nötig
a1+ a3
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Allgemein
a1+ an
n
(a1+ an)* n/2
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Verallgemeinerung von “aufeinanderfolgend“ (d=1)zu „gleichen Abstand“ (d ∈ N)
Bsp.: a) 1,5,9,13 n=4; d=4 b) 5,8,11,14 n=4; d=3c) 11,13,14 n=3; d=2d) 2,4,6,8 n=4; d=2
d)
d= 2
d= 2
d=2
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1 4 7 10 13 16 19
19 16 13 10 7 4 1+2020 20 20 20 20 20 summiert
7 20=140∙
140:2=70Summe der Reihe: 70,
da
Bsp.: Startzahl 1 und Additionszahl 3
Wir addieren geschickt beide Reihen durch die zweifache Summierung
(Da wir vorher verdoppelt haben wird es wieder am Ende halbiert)
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Summe der ersten n-Folgeglieder
Allgemein:
a= Startzahl d= Abstand n= Glieder
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Summe der ersten n-FolgegliederAllgemein: a= Startzahl d= Abstand n= Glieder
Durch die zweifache Summierung erhalten wir:
2a+(n-1)*dmal n/2
(a+ (n-1)/2*d))*n
a a+ d a+2d … a+(n-3)d a+(n-2)d a+(n-1)d a+(n-1)d a+(n-2)d a+(n-3)d … a+2d a+ d a+
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Veranschaulicht
2a+(n-1)d
n
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Formeln:
1) Erste Glied (a) und das letzte Glied z=a+(n-1) sind bekannt:
Sn (a, z)= n * (a+ z)/2
2) Erste Glied (a) und der Abstand (d) mit n- Glieder sind bekannt:
Sn (a, d)= n* a + (n-1)*n/2*d
Dn-1
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(n-1)*n/2*d Dn-1 (Dreieckszahl)
Def.:
Dn:= ∑ k= (n+1)*n/2 (Für n-te Dreieckszahl)n
k=1
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1
3
6
10
15
21
28
36
45
Summe der ersten n natürlichen Zahlen
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1
4
9
16
25
36
49
64
81
Summe der ersten n ungeraden Zahlen
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Die Summe der ersten n ungeraden Zahlen ist die n- te Quadratzahl.
Die Summe der ersten n geraden Zahlen ist das doppelte der n- ten Dreieckzahlen.
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Müller, Gerhard N.,Steinbring, Heinz,Wittmann Erich Ch. (Hg.):
Arithmetik als Prozess, Kallmeyersche Verlagsbuchhandlung GmbH, Seelze, 2004
Literaturangabe: