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La experimentación es útil porque si se supone que
llevamos a cabo ciertos experimentos bajo condiciones
esencialmente idénticas se llegará a los mismos
resultados. En estas circunstancias, se tiene la
capacidad de controlar el valor de las variables que
afectan el resultado del experimento
Sin embargo, en algunos experimentos, no somos
capaces de indagar o controlar el valor de determinadas
variables, de manera que el resultado cambiará de un
experimento a otro, a pesar de que a mayoría de las
condiciones son las mismas. Estos experimentos se
describen como aleatorios.
1. Experimentos aleatorios
Experimentos aleatorios
Ejemplos
1. Lanzar una moneda
Resultado: sello (S) o cara (C), es decir elementos de
conjunto {S,C}
2. Lanzar un dado
Resultado: {1,2,3,4,5,6}
3. Lanzar dos veces una moneda
Resultado: {CC,CS,SC,SS }
4. Si un experimento consiste en medir la vida útil de focos
producidos por una compañía, entonces el resultado del
experimento es el tiempo t que se encuentre en algún
intervalo, por ejemplo
Donde suponemos que ningún foco dura más de 4000 horas.
40000 t
2. Espacio de la muestra
Espacio muestra:
Un conjunto S que consta de todos los resultados
posibles de un experimento aleatorio se llama
espacio muestral.
Punto muestral:
Cada resultado de un experimento aleatorio se
conoce como punto muestral.
Espacio de la muestra
Con frecuencia habrá más de un espacio muestral
que puede describir los resultados de
experimento, pero generalmente habrá o que
provee la mayor información
Experimento: Lanzar un dado
1. Espacio muestral 1: {1,2,3,4,5,6}
2. Espacio muestral 2: {par, impar}
Finito:
Si tiene un número finito de puntos
Un espacio muestral puede ser
Infinito contable:
Si tiene tantos puntos como los
números naturales 1,2,3,...,
Infinito no contable:
Si tiene tantos puntos como los
números en el intervalo
10 x
Espacio muestral
discreto
Espacio muestral
no discreto
Espacio de la muestra
3. Eventos
Un evento es un subconjunto A del espacio
muestral S, es decir un subconjunto de resultados
posibles.
Si el resultado de un experimento es un elemento
de A, entonces se dice que el evento A ocurrió.
Un evento que consta de un punto sencillo de S
se denomina con frecuencia un evento simple o
elemental.
Eventos
Ejemplo:
Experimento: Lanzar una moneda 2 veces
El evento de que sólo resulte una cara es el
subconjunto del espacio muestral que consta de
los puntos (0,1) y (1,0)
(0,0) (1,0)
(1,1) (0,1)
S el cual es el evento cierto o seguro, dado que
un elemento de S debe ocurrir.
El conunto vacío , que se denomina el evento
imposible, porque un elemento de nunca
puede ocurrir.
Eventos
Como eventos particulares tenemos:
Usando operaciones de conjunto sobre eventos en
S, podemos obtener otros eventos en S.
Si A y B son eventos, entonces
4. es el evento “A pero no B”.
En particular
2. es el evento “A y B” .
1. es el evento “A o B o ambos”. BA
BA se denomina la intersección de A y B.
´BABA
ASA
3. es el evento “no A”. A’ se denomina complemento de A
Eventos
´A
B A
Si los conjuntos que corresponden a los eventos
A y B son disjuntos, es decir, , decimos
que los eventos son mutuamente excluyentes.
Eventos
BA
Decimos que una colección de eventos A1, A2, . . .A3
es mutuamente excluyente si cada par en la
colección es mutuamente excluyente.
Eventos
Experimento: Lanzar dos veces una moneda
A es el evento “al menos ocurre una cara” y
B el evento “el segundo lanzamiento es un sello”.
A={CS, SC, CC} B={CS, SS}
SSSCCSCCSAUB },,,{ }{CSBA
}{' SSA },{ CCCSBA
Ejemplo
4. Concepto de Probabilidad
En cualquier experimento aleatorio hay siempre
incertidumbre sobre si ocurrirá un evento en
particular.
Como medida de la oportunidad o probabilidad,
con que esperamos que ocurra cierto evento, es
conveniente asignar un número entre 0 y 1.
Si estamos seguros que tal evento ocurrirá
decimos que tiene 100% de probabilidad o 1, pero
si estamos seguros que el evento no ocurrirá
decimos que su probabilidad es cero.
Concepto de Probabilidad
Cálculo de la probabilidad de un evento.
1. Enfoque clásico
Si un evento puede ocurrir en h maneras
diferentes de un número total de n maneras
posibles, todos ellos son igualmente posibles.
La probabilidad de un evento es h/n
2. Enfoque frecuentista
Si después de n repeticiones de un experimento,
donde n es muy grande, se observa que un evento
ocurre h veces entonces.
La probabilidad de un evento es h/n
Tanto el enfoque clásico como el enfoque
frecuentista presentan serios inconvenientes.
Las frases
Igualmente posibles
Número grande
son vagas.
Debido a estos los matemáticos se han regido
por el enfoque axiomático de la probabilidad
Concepto de Probabilidad
Supongamos que se tiene un espacio muestral S.
Para cada evento A en la clase C de eventos,
asociamos un número real P(A).
P se denomina la función de probabilidad
P(A) se denomina la probabilidad del evento A, si
se cumplen los siguientes axiomas:
Concepto de Probabilidad
Axiomas de probabilidad
Concepto de Probabilidad
Axiomas de probabilidad
Axioma 1. Para cada evento A en la clase C,
0)(AP
Axioma 2. Para el evento cierto o seguro S en la
clase C,
1)(SP
Axioma 3. Para cualquier número de eventos
mutuamente excluyentes A1, A2, ... en la
clase C,
)()()( 2121 APAPAAP
5. Asignación de Probabilidades
Si un espacio muestral S consta de un número
finito de resultados a1, a2,...,an, entonces
(1)
1)()()( 21 nAPAPAP
Si se supone que existen probabilidades iguales
para todos los eventos sencillos, entonces
y si A es un evento cualquiera compuesto de h
eventos sencillos, tenemos
Asignación de probabilidades
nkn
hAP k ,,2,1 )(
)(n
hAP
6. Teoremas de Probabilidad
Teorema 1: Si es el conjunto vacío, entonces
0)(P
Teorema 2: )(1)'( APAP
Teorema 3: )()()()( BAPBPAPBAP
Teorema 6: Si entonces
Teoremas de probabilidad
Teorema 5: Si , donde
son eventos mutuamente excluyentes, entonces
)()(
)()()()()()(
CBAPCBP
CAPBAPCPBPAPCBAP
nAAAA 21 nAAA ,,, 21
)()()()( 21 nAPAPAPAP
BA )()( BPAP
Teorema 4:
Sean A y B dos eventos tal que
Probabilidad condicional
Es la probabilidad de que ocurra B dado que ocurrió A.
Puesto que se sabe que A ocurrió, éste se convierte en
el nuevo espacio muestral reemplazando al original S.
7. Probabilidad condicional
0)(AP
)( ABP
)(
)()(
AP
BAPABP
8. Teoremas de probabilidad
condicional
)()()( 2121 BAPBAPBAAP
1)( BSP
1)(0 BAP1.
2.
3.
La probabilidad condicional satisface las
propiedades correspondientes a probabilidades
Si , es decir que la probabilidad de
que ocurra B no está afectada por la ocurrencia o no
de A, entonces se dice que A y B son eventos
independientes. Esto equivale a
(2)
Inversamente si se cumple (2), entonces A y B son
eventos independientes.
9. Eventos independientes
)()( BPABP
)()()( BPAPBAP
10. Análisis combinatorio
Cuando no es posible realizar el conteo directo para
obtener las probabilidades, el uso del análisis
combinatorio puede ser útil.
Si los conjuntos tienen respectivamente,
n1,n2,...,nk elementos, entonces existen
formas de seleccionar primero un elemento de A1,
seleccionar después un elemento de A2 ... y
finalmente seleccionar un elemento de Ak.
kAAA ,, 21
knnn 21
Análisis combinatorio
En experimentos simples, puede resultar útil un
diagrama de árbol en la enumeración de un espacio
de muestreo.
Ejemplo:
Exp: Lanzar tres veces una
moneda.
El conjunto de posibles
resultados pudo haberse
obtenido siguiendo todos los
recorridos en el siguiente
diagrama de árbol.
C
S C
S
S
S
C
C
C
C
S
S
C
S
Diagramas de árbol
Principio de multiplicación
Análisis combinatorio
Si los conjuntos tienen respectivamente,
elementos, entonces existen
formas de seleccionar primero un elemento de A1,
seleccionar después un elemento de A2 ... y
finalmente seleccionar un elemento de Ak.
kAAA ,, 21
knnn 21
knnn ,,, 21
Análisis combinatorio
Permutaciones
Suponga que existen n objetos diferentes y se quieren
ordenar r de estos objetos en línea.
Puesto que existen n maneras de escoger el primer
objetos, n-1 maneras de escoger el segundo
objetos,..., y finalmente n-r+1 maneras de escoger el
r-ésimo elemento, a partir del principio multiplicativo,
se deduce que el número de arreglos diferentes o
permutaciones, está dado por
Donde se observa que el producto tiene r factores.
)1()2()1( rnnnnPrn 11.1
Análisis combinatorio
Permutaciones
En el caso particular donde r=n, se obtiene:
el cual se llama n factorial.
La ecuación 11.1 se puede escribir en términos de
factorial como
Por la ecuación 11.2, si r=n entonces 0!=1, lo cual se
tomará como definición.
!1)2()1( nnnnPrn
)!(
!
rn
nPrn
Análisis combinatorio
Permutaciones
Suponga que un conjunto consta de n objetos de los
cuales n1 son de un tipo (es decir que no se pueden
distinguir entre si), n2 son de otro tipo,…, nk son de un
k-ésimo tipo, tal que n=n1+n2+…+nk.
Entonces el número de permutaciones diferentes del
objeto es
!!!
!
21 k
rnnnn
nP
Ejemplo:
El número de permutaciones de 11 letras de la
palabra MISSISSIPPI, las cuales constan de 1 M, 4 I,
4 S y 2 P, es
34650!2!4!4!1
!11
Análisis combinatorio
Permutaciones
Análisis combinatorio
Combinaciones
En una permutación nos interesa el orden de los
objetos. Por ejemplo abc es una permutación
diferente de bca.
Sin embargo en muchos problemas sólo es de interés
la selección de los objetos sin tener en cuenta el
orden
Este tipo de selecciones reciben el nombre de
combinaciones.
Por ejemplo abc y bca son la misma combinación.
Análisis combinatorio
Combinaciones
El número total de combinaciones de r objetos
seleccionados entre n se denota por
La cual también puede escribirse como
Es fácil mostrar que
)!rn(!r
!nCrn
!r
PC rn
rn
rnnrn CC
n
r ( )
Análisis combinatorio
Coeficientes binomiales
Los números con frecuencia se llaman
coeficientes binomiales porque provienen de la
expansión binomial
n
r ( )
(x+y)n = xn + xn-1y + xn-2y2 +…+ yn
( ) n
1 ( ) n
2 ( ) n
n
Ejemplo:
(x+y)4 = x4 + x3y + x2y2 + xy3 + y4
( ) 4
1 ( ) 4
2 ( ) 4
3 ( ) 4
4
4322344 464 yxyyxyxx)yx(
Suponga que son eventos mutuamente
excluyentes cuya unión es el espacio muestral S, es
decir que debe de ocurrir uno de los eventos.
Si A es un evento cualquiera entonces
11. Teorema de Bayes
nAAA ,, 21
n
j
jj
kk
k
AAPAP
AAPAPAAP
1
)()(
)()()(
Teorema
1. Variables aleatorias
Supongamos que a cada punto
del espacio muestral le
asignamos un número real.
Entonces se tiene definida una
función en este espacio
muestral.
S X
Variable
Aleatoria o
Estocástica
O más precisamente
Función
Aleatoria o
Estocástica
Esta función recibe el nombre de
Y usualmente se denota con
una letra mayúscula como X o
Y
R x
Variables aleatorias
Ejemplo:
Exp. Lanzar una moneda dos veces al aire.
Espacio muestral S={CC, SS,SC,SS}
Definir la variable aleatoria X que describa el número
de caras que pueden salir
Punto muestral CC CS SC SS
X 2 1 1 0
Se debe observar que muchas otras variables aleatorias pueden definirse en este mismo espacio muestral.
Una variable aleatoria que toma un número
finito o contable infinito de valores se llama
variable aleatoria discreta
Una variable aleatoria que toma un número
de valores infinito no contable se llama
variable aleatoria no discreta
Variables aleatorias
,,x,x,x 321
2. Distribuciones de
probabilidad discreta
Sea X una variable aleatoria
discreta, y supongamos que
los posibles valores que ésta
puede asumir están dados por
,,k
)x(f)xX(P k
21
S X
x1
x2 x3
Supongamos también que
estos valores se asumen con
probabilidades dadas por
f(x) se denomina
Función de probabilidad o
Distribución de probabilidad
Donde
kxx)x(f 0Rx
Distribuciones de probabilidad discreta
En general f(x) es una función de probabilidad o
distribución de probabilidad si
0)x(f
1x
)x(f
Donde la suma en 2 toma todos los valores posibles
de x.
1.
2.
Función (o distribución) de probabilidad
Distribuciones de probabilidad discreta
Ejemplo:
Encuentre la función de probabilidad correspondiente a
la variable aleatoria X definida como sigue:
Punto muestral CC CS SC SS
X 2 1 1 0
P(CC) = P(CS) = P(SC) = P(SS) =
1
4
4
10 )SS(P)X(P
2
1
4
1
4
11 )SC(P)CS(P)SCCS(P)X(P
4
12 )CC(P)X(P
Entonces
Tenemos que
x 0 1 2
f(x) ¼ ½ ¼
3. Funciones de distribución
para variables aleatorias
)xX(P)x(F
La función de distribución acumulada o de manera
breve la función de distribución, para una variable
aleatoria X está definida por
donde x es un número real cualquiera, es decir,
x
Funciones de distribución para variables
aleatorias
Propiedades de F(x)
F(x) es una función no decreciente, es decir
si yx)y(F)x(F
;)x(Flim;)x(Flimxx
1 0
1.
2.
3. F(x) es continua por la derecha, es decir
x)x(F)hx(Flimh
0
4. F(x) para variables
aleatorias discretas
),(x)u(f)xX(P)x(Fxu
La función de distribución para una variable aleatoria
discreta X puede obtenerse a partir de su función de
probabilidad notando que,
donde la suma sustituye todos los valores u tomados
por X para la cual xu
F(x) para variables aleatorias discretas
Si X toma solamente un número finito de valores x1,
x2,…,xn, entonces la función de distribución está dada
por
xx)x(f)x(f
xxx)x(f)x(f
xxx)x(f
xx
)x(F
nn
0
1
3221
211
1
F(x) para variables aleatorias discretas
Ejemplo
a) Encuentre la función de distribución de la variable
aleatoria del ejemplo anterior
b) Elabore su gráfica
F(x) para variables aleatorias discretas
Observaciones:
1. Las magnitudes de los saltos en 0, 1,2, son ¼, ½, ¼ que son
precisamente las probabilidades de f(x). Este hecho permite
obtener la función de probabilidad a partir de la función de
distribución.
2. Debido a la apariencia de la gráfica calculada, ésta se
denomina con frecuencia función escalonada o función paso.
El valor de la función en un entero se obtiene a partir del paso
más grande
3. A medida que avanzamos de izquierda a derecha, la función
de distribución permanece igual o aumenta tomando valores
entre 0 y 1. Debido a esto se dice que F(x) es una función
monótonamente creciente.
A partir de la observación anterior y de las
propiedades de la función de distribución, es claro
que la función de probabilidad de una variable
aleatoria discreta puede obtenerse a partir de la
función de distribución, notando que
)u(Flim)x(F)x(fxu
F(x) para variables aleatorias discretas
5. Variable aleatorias
continuas
)x(-du)u(f)xX(P)x(Fx
Se dice que una variable aleatoria no discreta X es
continua, si su función de distribución se puede
representar como
donde la función f(x) tiene las siguientes propiedades
0)x(f
1dx)x(f
1.
2.
Variable aleatorias continuas
A partir de lo anterior se deduce que si X es una
variable aleatoria continua, entonces la probabilidad
de que X tome cualquier valor particular es cero,
mientras que la probabilidad de intervalo de que X se
encuentre entre dos valores diferentes por ejemplo a y
b, está dada por
b
adx)x(f)bxa(P
Cualquier función f(x) que satisfaga las propiedades anteriores 1 y 2 se denominará función de densidad.
Las probabilidades requeridas se obtendrán a partir de la ecuación previa
Variable aleatorias continuas
La probabilidad de que X esté entre está
dada por:
xxx y
xx
xduufxxXxP )()(
xxfxxXxP )()(
Si es pequeño, tenemos aproximadamente que: x
6. Interpretaciones gráficas
Función de densidad f(x)
a b x
f(x)
Si f(x) es la función de densidad de la variable
aleatoria X, entonces:
1. y=f(x) se puede representar por
medio de una curva
2. Dado que , la curva no
puede caer por debajo del eje x
3. El área completa limitada por la
curva y el eje x bebe ser igual a 1
4. Geométricamente la probabilidad
de que X se encuentre entre a y b,
se representa por el área
sombreada
0)(xf
F(x)
Interpretaciones gráficas
1. F(x)= puede
ser representada por
una curva como se
muestra en la figura.
2. F(x) es una función
monótona decreciente
que se incrementa de
0 a 1.
)( xXP
Función de distribución F(x)
x