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Présentation de la méthode des Eléments
Finis
Dr. BELAKROUM RASSIM
Université Kasdi Merbah, OuarglaFaculté des sciences, de technologie et des sciences de la matièreDépartement de Génie Mécanique
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1. IntroductionEn analyse numérique, la méthode des éléments finis est utilisée
pour résoudre numériquement des équations aux dérivées
partielles. Celles-ci peuvent par exemple représenter le
comportement dynamique de certains systèmes physiques
(mécaniques, thermodynamiques, acoustiques, etc.).
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2. Concepts de base de la méthode des éléments finis
Figure1. Concepts de base de la méthode des éléments finis
Un domaine 2D
Un élément fini à trois nœuds
Représentation d’une partie du maillage
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est le champ de variable qu’on doit calculer à chaque point
P(x,y) du domaine de façon à ce qu’une équation gouvernant le
problème soit satisfaite de façon exacte.
En pratique, les équations différentielles ainsi que la géométrie du
domaine de calcul peuvent être complexes et dire même impossibles
à résoudre de façon exacte par les moyens mathématiques actuels.
En conséquence, les méthodes d’approximation des solutions se
basant sur des techniques numériques sont souvent utilisées en
engineering. La méthode des éléments finis est une approche très
robuste pour obtenir des solutions approximatives avec un degré de
précision acceptable.
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Figure 2. Modélisation en éléments finis
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Figure 3. Model en éléments finis d’une paroi mince cylindrique
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3. La méthode des résidus pondérés
La méthode des résidus pondérés est une technique d’approximation
de la solution de problèmes aux frontières utilisant des fonctions test
satisfaisant les conditions aux limites imposées et une formulation
intégrale pour minimiser l’erreur dans un sens moyen sur le
domaine de définition du problème.
Nous allons décrire en premier lieu le concept de base pour le cas
unidimensionnel (1D). Pour une équation différentielle de forme
générale:
Cas 1D
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La méthode des résidus pondérés recherche une approximation de
la solution de forme:
Fonctions tests
Approximation de la solution
Paramètres inconnus
Et comme conditions aux limites:
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Après substitution de la solution proposée dans l’équation
différentielle, parait une erreur résiduelle.
Résidu
Notons que le résidu R(x) et aussi fonction des paramètre
inconnus Ci de telle sorte que:
: Représente « n » fonctions poids arbitraires.
« n » équations
algébriques
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Plusieurs variantes de la méthode des résidus pondérés existent
et les techniques varient principalement dans la manière dont
les fonctions poids -ou de pondération- sont déterminées ou
sélectionnées. Les techniques les plus courantes sont:
colocation par point, colocation par sous-domaine, moindres
carrés, et de Galerkin.
Dans la méthode de Galerkin, les fonctions de pondération sont
choisis pour être identique aux fonctions d'essai –ou test-.
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Par conséquent, les paramètres inconnus sont déterminés par:
Nous obtenons « n » équations algébriques pour l'évaluation des paramètres inconnus.
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Exemple 1:
Utilisez la méthode de Galerkin pour obtenir une solution
approchée de l'équation différentielle suivante:
Avec les conditions aux limites:
Solution:En utilisant une seule fonction d’essai, la forme la plus simple
satisfaisant les conditions aux limites est:
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On peut écrire donc que:
Ce qui conduit après intégration à:
Pour ce problème relativement simple, on pourrait obtenir la
solution exacte suivante:
Figure 4. Comparaison des deux solutions exacte et approchée
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On utilisant les deux fonctions d’essai suivantes:
On trouve comme solution approchée:
Figure 5. Comparaison des solutions exacte, approchée à une fonction d’essai et à deux fonctions d’essai
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Cas 2DLa forme générale d’une équation différentielle en 2D peut s’écrire
sous la forme:
Où -f - c’est un opérateur différentiel
Par exemple:
La solution approchée est celle satisfaisant l’intégrale suivante:
: Fonctions de pondération
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Afin assurer une bonne approximation, le domaine du problème est
divisé en sous-domaines plus petits dit aussi éléments.
Figure 6. Division du domaine du problème étudié en éléments.
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Dans chaque élément la solution est supposée:
Fonctions de forme ou d’approximation
En utilisant la méthode de Galerkin, le résidu est calculé à chaque
élément par:
Finalement pour résoudre le problème, on force le résidu ainsi calculé
à s’annuler. =0
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4.La méthode de Galerkin au niveau des élémentsle concept de minimisation de l'erreur résiduelle (résidus pondérés)
est facilement adapté au contexte des éléments finis en utilisant
l'approche de Galerkin. A des fins d'illustration, nous considérons
l'équation différentielle suivante:
Comme condition aux limites nous avons:
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Le domaine du problème est divisé en M "éléments" (figure 6)
délimité par M + 1 valeurs xi de la variable indépendante. de sorte
que x1 = XA et XM +1= XB afin d'assurer l'inclusion des limites
globales.
Figure 6. domaine discrétisé en M éléments
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Une solution approximative est supposé de forme:
où yi est la valeur de la fonction solution à x = xi et ni (x) est
une fonction d'essai correspondante.
Notez que, dans cette approche, les paramètres inconnus constanteCI de la méthode des résidus pondérés deviennent inconnus des valeurs discrètes de la fonction solution évaluée à des points spécifiques du domaine. Il existe également une différence majeure dans les fonctions d'essai (ou test). Tel qu'utilisé dans les exemples précédant, les fonctions d'essai Ni (x) sont non nuls que sur une petite portion du domaine du problème. Plus précisément, une fonction d'essai ni (x) est non nul seulement dans l'intervalle xi-1 <x <xi +1
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Figure 7. les quartes premières fonctions de test.
par souci d'illustration, nous
utilisons des fonctions linéaires
définies comme suit:
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Dans l'intervalle x2 ≤ x ≤ x3, par exemple, la solution approchée est
donnée par:
En remplaçant de la solution supposée dans l'équation différentielle,
on trouve:
En utilisant la méthode de Galerkin:
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L’équation précédente peut être exprimé comme:
Matrice de rigidité Vecteur des
déplacements nodales
Vecteur des chargements
Système d’équation
s algébrique
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4.1. Formulation au niveau élémentaire
Nous proposons une solution approximative de la forme:
Où l’exposant (e) indique que la solution est pour l'élément.La méthode de Galerkin donne:
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Après intégration par partie, on trouve:
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L’intégration par partie présente trois avantages:
Le plus grand ordre des dérivés paraissant dans les équations
de l'élément a été réduit de un.
Si nous n'avions pas effectué une intégration par partie, dans
chaque équation l'unes des fonctions d'essai serait dérivées
deux fois alors que d’autres ne le seront pas du tout.
l’intégration par parties introduit les conditions aux limites de
gradient au niveau des nœuds de l’élément. La signification
physique des conditions aux limites de gradient devient
apparente dans les applications physiques ultérieures.
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Posons j = 1 pour simplifier la notation:
Qui est de la forme:
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Il est important d'observer que, durant le processus d'assemblage,
lorsque deux éléments sont liés à un nœud commun comme dans la
figure 8, par exemple, l'équation du système assemblé pour ce nœud
contient un terme sur le côté droit de la forme:
Figure 8. Deux éléments raccordés au même nœud
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Néanmoins, dans la procédure d'assemblage, il est supposé que, à
tous les nœuds intérieurs, les termes de gradient sont égaux et
opposés à partir des éléments adjacents et ainsi annuler à moins
qu'une influence extérieure agit au niveau du nœud. Toutefois, aux
nœuds des frontaliers globales, les termes de gradient peuvent
spécifier les conditions aux limites ou représenter les réactions
obtenus à la phase de résolution.
Si la solution d’éléments finis donnait une solution exacte, les
dérivées premières de chaque élément indiqué dans l'expression
serait égales et la valeur de l'expression serait nulle. Toutefois, les
solutions par éléments finis sont rarement exactes de sorte que ces
termes ne sont pas, en général, zéro.
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Exemple 2:
Utiliser la méthode de Galerkin afin de résoudre l’équation
différentielle suivante:
Sachant que:
Solution:Mathématiquement l’équation diff peut se mettre sous la forme:
Solution exacte
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En éléments finis, on peut écrire:
Valeurs nodales
L’équation des résidus pondérés s’écrit:
Après intégration du premier terme:
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L’intégration des termes sur la gauche de l’équation précédente
révèle la matrice de rigidité élémentaire.
Pour illustration, une solution à deux éléments est formulée en
prenant des nœuds régulièrement espacés à x = 1; 1,5 ; 2.
Elément 1
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Elément 2
Les équations de chaque élément
sont alors
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Le système assemblé s’écrit:
En appliquant les conditions aux limites
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De nouveau pour le même exemple utilisant un maillage de 5
nœuds également espacées:
Le système d’équation résultant est:
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Figure 9. Solution avec deux éléments, solution
avec quatre éléments et la solution exacte.
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4.2. ApplicationsTransferts thermiques
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Conduction unidimensionnelle
Figure 10. Cas de conduction 1D
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Le principe de conservation d’énergie est appliqué pour obtenir
l’équation gouvernant le phénomène de conduction.
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Pour le cas d’une conduction stationnaire, on trouve:
La méthode de Galerkin est appliquée à cette dernière équation. Un élément à deux nœuds avec une interpolation linéaire est utilisé. Par conséquent la distribution de la température dans l’élément est exprimée par:
T1 et T2 sont les températures aux nœudsN1 et N2 sont les fonctions d’interpolation
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En intégrant le premier terme par partie, on trouve:
Donc:
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On peut mettre les deux dernières équations sous forme matricielle comme suit:
[k] est la matrice de conductivité (rigidité) définie par:
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Exemple 3:
Figure 11. tige de section circulaire
Une barre de section circulaire (Figure 11), d’un diamètre de 60mm, d’une longueur de 1m et parfaitement isolée sur sa circonférence. La moitié gauche est en Aluminium (kx=200W/m c°) et la moitié droite en Cuivre (ky=389W/m c°). Le bout droit du cylindre est maintenu à température constante t=80c°, alors que le bout gauche est sous l’effet d’un flux constant de 4000W/m2. En utilisant quatre éléments à longueur égale, déterminer la distribution de température stationnaire le long de la barre.
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47
Pour les éléments en Aluminium 1 et 2, la matrice de conductivité s’écrit:
Pour les éléments en cuivre 3 et 4:
En appliquant les conditions aux limites T5=80°c et q1=4000w/m2 le système assemblé s’écrit:
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48
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49
En appliquant la température connue au nœud 5, les quatre première équations peuvent s’écrire sous la forme:
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50
La cinquième équation est
En remplaçant par T4, on trouve:
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51
Problème de transfert thermique en deux dimensions
Conduction bidimensionnelle avec convections sur faces et les cotés
Conduction bidimensionnelle avec convection surfacique
• Modèle mathématique
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52
Si le problème est transitoire, on peut écrire:
C’est l'équation qui régit la conduction de la chaleur en deux dimensions avec source (où puits) et convection des deux surfaces du corps.
![Page 53: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/53.jpg)
53
La distribution de température au niveau de chaque élément est
décrite par:
Fonctions d’interpolation
Par la méthode de Galerkin, on peut écrire:
• Discrétisation
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54
Les deux premiers termes on peut les mettre comme suit:
Pour illustration, on considère un élément de forme
rectangulaire comme le montre la figure
Figure 12. Illustration de la chaleur aux frontières suivant la direction
ox.
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55
Nous allons analyser le terme suivant:
Par intégration par partie suivant ox, nous obtenons:
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56
Nous allons examiner le terme suivant:
Suivant la direction oy, nous avons:
![Page 57: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/57.jpg)
57
Ces derniers résultats, basés sur le cas spécifique d'un élément
rectangulaire, sont destinés à montrer l’application d'une relation
générale connue comme le théorème de Green-Gauss qui
s’énonce comme suit:
Pour l’élément rectangulaire:
etNous obtenons:
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58
Revenons à l’équation du résidu qui s’écrit dans ce cas:
À ce stade, nous allons passer à la notation matricielle.
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59
Cette expression est de forme:
Avec
![Page 60: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/60.jpg)
60
• Conditions aux limites
Figure 13. Les types de conditions aux limites pour une conduction bidimensionnelle avec convection
Température imposée constate
Flux de chaleur imposé constant
Convection
![Page 61: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/61.jpg)
61
Sur la partie S1 de la frontière, la température est imposée
constante. Dans un modèle d’éléments finis, chaque nœud de
l’élément situé sur S1 a une température constante et les équations
d’équilibre correspondantes deviennent des équations de réaction.
La réaction dans ce cas est le flux de chaleur sur S1.
Un flux de chaleur constant est imposé sur la portion de la
frontière S2 (donc qs2=q*). Par conséquent, pour tous les nœuds sur
S2 nous avons:
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62
Finalement sur la portion S3 de la frontière, une convection au bord.
Dans cette situation, la condition est exprimée par:
Notant que le côté droit de l'équation ci-dessus implique les
températures nodales, nous réécrivons l'équation:
Pour généralisation, on peut écrire:
Où:
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63
Le système d’équation résultant est:
Où les éléments de la matrice de conductance (rigidité) sont données par:
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64
Exemple 4:
Figure 14. Élément rectangulaire
Foncions d’interpolation en terme des coordonnées normalisées
r et s
Nous avons:
Déterminer la matrice de conductance pour un élément de forme rectangulaire à quatre nœuds. L’épaisseur est de 1in, la conductivité du matériau est et le coefficient d’échange convectif est
![Page 65: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/65.jpg)
65
Solution
Les dérivées partielles en termes des coordonnées
normalisées , sont:
![Page 66: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/66.jpg)
66
En notation indicielle:
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67
En supposant que kx et ky sont des constantes, nous avons:
Les dérivés partielles nécessaires sont :
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68
Noter que a = b, Nous obtenons par exemple:
La procédure d'intégration analytique utilisée pour déterminer K11 n'est pas la méthode utilisée par les solveurs basés sur les éléments finis. C’est plutôt une méthode numérique qui est utilisée (principalement la procédure de quadrature de Gauss).
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69
5. Intégration numérique
(quadrature de Gauss)Les racines du polynôme de Legendre et les facteurs poids pour la quadrature de Gauss-
Legendre
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70
Exemple 5
Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à deux points
afin d’évaluer l’intégrale suivante :
Solution
La formule à deux points donne:
Nous avons
![Page 71: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/71.jpg)
71
On trouve donc:
La solution exacte est comme suit:
Exemple 6
Utiliser la méthode de quadrature Gauss-Legendre à cinq points
afin d’approximer « ln 2 »:
![Page 72: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/72.jpg)
72
Solution
Transformant la variable
Donc
![Page 73: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/73.jpg)
73
La méthode de quadrature de Gauss donne:
Les calculs sont résumés ci-dessous:
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74
Exemple 7
Nous allons reprendre l’exemple 4 en évaluant les intégrales
par la méthode de quadrature de Gauss.
![Page 75: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/75.jpg)
75
6. Principe des coordonnées intrinsèques
Figure 15. Système de coordonnées locales pour un élément quadrilatère.
6.1. cas d’élément quadrilatère
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76
Pour un élément quadrilatère avec des nœuds aux quatre
coins, les fonctions d’interpolation sont:
La transformation de coordonnées est réalisée comme suit :
Élément isoparamétrique
![Page 77: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/77.jpg)
77
Les dérivés sont facilement convertis d'un système de coordonnées à l'autre par:
où [J] est la matrice Jacobienne.
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78
Le déterminant de cette matrice, det |J| connu comme "Le
Jacobien", doit aussi être évalué, car il est utilisé dans les
intégrales transformées comme suit:
L'intégration numérique pour les quadrilatèresLes règles de quadrature en deux dimensions sont toutes de la
forme:
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79
6.1. Cas d’élément triangulaire
Figure 16. (a) Elément triangulaire générale (b) Coordonnées intrinsèques pour élément triangulaire.
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80
Les fonctions de forme pour un élément triangulaire à trois
nœuds prennent la forme:
et comme avant? la propriété isoparamétriques donne:
![Page 81: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/81.jpg)
81
La règle pour évaluer les intégrales en coordonnées globales est:
L'intégration numérique pour les quadrilatères
L’intégration numérique sur un domaine triangulaire est:
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82
7. Assemblage de plusieurs élémentsAu niveau élémentaire on suppose qu’on a le système qui
suivant:
Le système d’équation globale peut être écrite comme
![Page 83: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/83.jpg)
83
Figure 17. Maillage en éléments quadrilatères
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84
La matrice globale assemblée pour le maillage de la figure 8.
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85
8. Introduction des conditions aux limites Le type le plus simple des conditions aux limites se produit
lorsque la variable dépendante s’annule à divers points du
domaine de calcul et donc à certains nœuds du maillage. Lorsque
cela se produit, les composantes de l’équation associée à ces
degrés de libertés ne sont pas nécessaires pour la solution et
l'information est donnée à la routine d'assemblage qui va
empêcher ces composantes d'être pris en considération dans le
système global. Une variante de ce premier cas se produit lorsque la variable
dépendante est connue, mais non nulle, à divers endroits (par
exemple φ = constante).
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86
Même si une procédure d'élimination peut être imaginé, la façon
dont cette condition est assurée dans la pratique, est en ajoutant
un grand nombre « disons 1020 » à la diagonale principale de la
matrice de rigidité dans la ligne à laquelle la valeur est connue. Le
terme à la même ligne du vecteur de coté droit (vecteur de
chargement) est ensuite fixé à la valeur prescrite multiplié par le
coefficient augmenté.
Par exemple la variable dépendante est connue et égale
Il est clair que cette procédure n’est réussie que si effectivement
«petits termes» sont faibles par rapport à 1020.
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87
Les conditions aux limites peuvent également impliquer des
gradients de l'inconnu suivant les formes:
où n est la normale à la frontière et C1, C2 sont des constantes.
Pour être plus spécifique, considérons le cas de l’équation de transportdiffusion – convection sous l’effet de ces trois dernières conditionsaux limites.
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88
Après intégration par partie des termes de transport diffusif, on aura
les termes de forme:
Cosinus directeur à la frontière
La diffusivité thermique
Il est claire que le cas , ne présente aucune difficulté car
l'intégrale de contour s'annule et c'est la condition à la limite par
défaut obtenue à n'importe quel surface libre d'un maillage
d'éléments finis.
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89
Figure 18. Les conditions aux limites impliquant des gradients non-nulles de l'inconnu
![Page 90: 1. Dr. BELAKROUM RASSIM Université Kasdi Merbah, Ouargla Faculté des sciences, de technologie et des sciences de la matière Département de Génie Mécanique](https://reader038.vdocuments.mx/reader038/viewer/2022102500/551d9dc5497959293b8e26ba/html5/thumbnails/90.jpg)
90
La condition donne lieu à une intégrale supplémentaire qui est:
Où est développée comme [N] {φ} nous obtenons une matrice
supplémentaire:
qui doit être ajouté à partie gauche des équations.
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91
Pour la condition le terme additionnel est:
Qui doit être ajouté à la partie droite de l’équation.
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92
9. Méthode de résolution des systèmes d’équations linéaires
92
Matrice [K] symétrique et
définie positive
Matrice [K] non symétrique
Matrice [K] symétrique et non
définie positive
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10. Algorithme de calcul en éléments finis
Exemple d’organigramme pour l'assemblage de la matrice de rigidité élément en utilisant l'intégration numérique
Pour tous les éléments Lire les coordonnées nodales de l’élément
Affecter la valeur zéro à la matrice de rigiditéo Pour tous les points d’intégration
Trouver les points d’intégration de Gauss, ainsi que les coefficients de pondération correspondants. Former les fonctions de forme et leurs dérivées par rapport au système de coordonnées locales Transformer les dérivées au système global Former le produit Pondérer cette contribution et ajouter là à la matrice de rigidité élémentaire
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94
MERCI POUR VOTRE ATTENTION