Estado de deformacin

Mecnica de Materiales

Mg. Ing. Norberto D. ique G.

Ingenieria de Materiales

Introduccin:Cuando se aplica una fuerza externa a un cuerpo slido deformable, esta tiende acambiar el volumen (tamao) y la forma del cuerpo.A estos cambios se les denomina deformacin.Esta deformacin puede ser visible o prcticamente inadvertida si no se empleanequipos apropiados.

Si un cuerpo esta sometido afuerzas exteriores alterar su estadode movimiento o se deformar, paraprecisar estas condiciones, seconsideran en el cuerpo de la figurados puntos A y B, separados poruna distancia lo , por efecto de lasfuerzas aplicadas, los puntospasaran a ocupar posiciones talescomo A y B, siendo ahora sudistancia l. El segmento AA es eldesplazamiento del punto A y BB,el de B.

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En este caso el cuerpo solo se ha movido, pero no se ha deformado. Si AB esparalelo a AB, solo se produjo un movimiento traslatorio. En caso contrario, elmovimiento habr sido roto-traslatorio, o de rotacin.

Puede ocurrir que : l = lo

Puede ocurrir que : l lo Se ha producido un desplazamiento relativo de B respecto de A. Por lo tanto se diceque el cuerpo se encuentra sometido a un estado general de deformacin.

Si la deformacin es igual en todos los puntos del material, se le denominadeformacin homognea. En lo que subsiguiente solo se analizar deformacioneshomogneas, dado que las otras conducen a expresiones analticas muy complejaspara ser prcticas.

Las deformaciones pueden se elsticas en cuyo caso el cuerpo vuelve a su estadoinicial cuando se retiran las fuerzas que actuaban sobre el mismo. Pueden tambinser plsticas, cuando al retirar las fuerzas quedan deformaciones permanentes en elcuerpo.

Interesa tambin distinguir entre aquellas deformaciones que provocan cambios devolumen y las responsables del cambio de forma. Las primeras producen dilatacino contraccin. Las segundas distorsin.

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Es una magnitud vectorial que se usa paramedir el movimiento de una partcula o puntode una posicin a otra, por tanto en un slidodeformable sus partculas adyacentes puedendesplazarse entre si cuando se aplican fuerzasexternas al cuerpo.

Cuando una carga externa ocasiona queel cuerpo se deforme y se muevaentonces a su posicin final, laspartculas se desplazarn a lasposiciones correspondientes a laspartculas A, B y C.El desplazamiento del punto A estaindicado por el vector (A).

Las lneas rectas AB y AC, seconvierten en las curvas ABy AC, enconsecuencia, la longitud de AB y ACas como el ngulo , sern diferentesde las longitudes curvas AB y AC ydel ngulo .

La diferencia entre las longitudes y lasorientaciones relativas de las dos lneas en elcuerpo son una consecuencia de losdesplazamientos causados por la deformacin.

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Deformacin:El concepto de deformacin unitaria se desarrolla con el objeto de describir ladeformacin por cambios en la longitud de segmentos de lneas y los cambiosen los ngulos entre ellos.

Es el alargamiento contraccin de un segmento de lnea por unidad de longitud.Sea la lnea AB que estacontenida dentro del cuerpo nodeformado.

La lnea esta situada a lo largodel eje n y tiene una longitud s,durante la deformacin, lospuntos A y B se desplazarn alos puntos A y B y la lnea rectase convierte en curva conlongitud s el cambio enlongitud de la lnea ser:

s - s

sss

prom

=

Se define a deformacinunitaria normal promedio a:

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A medida que el punto B se escoge cada vez mas cercano a punto A, la longitud de la lnea se vuelve cadavez mas corta, de tal modo que s0 , de la misma manera, esto causa que B se aproxime a A, de modoque s0, por consiguiente:La deformacin unitaria normal en el punto A y en la direccin de n en el limite es:

sss

nABprom

=

lim

Conocida la deformacin unitaria normal, podemos usar esta ecuacin para obtener la longitud finalaproximada de un segmento corto de lnea en la direccin de n, deformado.

Solido sin deformar

Solido deformado

ss + )( 1 ss += )( 1Por lo tanto si es positiva, la lnea inicial s se alargar, si no se contraer

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Unidades:La deformacin unitaria normal es adimensional, que es una relacin entre dos longitudes.En el SI : (m/m), (m/m).En el Sistema Ingles: (in/in), (pulg/pulg).

En trabajos experimentales: 0.001mm/mm = 0.1%

480(10-6) = 480(10-6) pulg/pulg = 480 m/m = 0.0480%=480.

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Es el cambio en el ngulo que ocurre entre dos segmentos de lnea que originalmenteeran perpendiculares entre si.Este ngulo se denota por (gamma) y se mide en radianes.

lim2

tAC

ABnt n

=La definicin de deformacinunitaria cortante en el punto Aasociadas con los ejes n y testa dada por:

)( es ,2

+

)(- es ,2

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Se puede advertir que las deformaciones unitarias normales causan un cambio en elvolumen del elemento rectangular, mientras que las deformaciones unitariascortantes causan el cambio en su forma.

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La transformacin de las deformaciones unitarias normales y cortantes de un conjunto de ejes giradosa otro es completamente anloga a la transformacin de los esfuerzos normales y cortantes.El estado de deformacin unitaria plana esta dada por:

Las alteraciones de un elemento causadas por cada una de estas deformaciones se muestran enla figura, en la que se nota que las deformaciones normales son el producto de los cambios delongitud del elemento en las direcciones x e y . Por otro lado la deformacin cortante es elproducto de la rotacin relativa de dos lados adyacentes del elemento.

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Por ejemplo, si el elemento que se muestraen la figura se somete a esfuerzo biaxial nosolo se producen deformaciones normales,sino que tambin se tendr una deformacinnormal asociada al eje z .

Esto es un caso de esfuerzo plano, perono uno de deformacin plana.

En general, a menos que =0, el efectoPoisson evitara la ocurrencia simultanea dedeformacin plana y esfuerzo plano.

Asimismo hay que sealar que como elesfuerzo cortante y la deformacin cortanteno son afectados por la razn de Poisson ,una:

condicin de : xz=yz= 0

requiere que : xz=yz=0.

Si bien la deformacin plana y el esfuerzo plano tienen cada una tres componentes en el mismoplano, tngase en cuenta que el esfuerzo plano no necesariamente genera deformacin plano oviceversa. Esto se debe al efecto de la razn de Poisson.

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Las deformaciones normales son positivas si generan alargamientos a lo largo de los ejescorrespondientes y la deformacion cortante es positiva si el angulo interno AOB resulta menor de 90 ,esta convencion de signos es consistente con lo establecido en el estado de esfuerzo plano, es decirque los esfuerzos positivos del esfuerzo plano ocasionan que el elemento se deforme en lasdirecciones de las deformaciones cortantes positivas, respectivamente-

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Para deducir las ecuaciones de transformacin de la deformacin unitaria, el elemento distorsionadopor una deformacin de unitaria cortante positiva se tomar como el mostrado en la figura (a).

Si se conocen las deformaciones unitarias x, y y xy asociadas a los ejes xy, y qu, se requiere ladeformacin unitaria extensional a lo largo de algn nuevo eje x.

El nuevo sistema de ejes xy, esta relacionado con los ejes xy, como se muestra en la figura (b).

En estas nuevas coordenadas, una longitud OA que tiene dx de largo, puede imaginarse como unadiagonal de un elemento diferencial rectangular dx por dy en las coordenadas inciales.

Considerando el punto O fijo, se pueden calcular los desplazamientos del punto A causados por lasdeformaciones unitarias impuestas, sobre una base diferente en los dos sistemas coordenados.

El desplazamiento en la direccin x es: A A = x dxEl desplazamiento en la direccin y es: AA = y dy

Para la deformacin unitaria cortante, suponiendo que ella causa:El desplazamiento horizontal mostrado en la figura (a), AA = xy dy.

Considerando que el orden en que esos desplazamientos ocurren es arbitrario, en la figura (b),se muestran primero el desplazamiento AA, luego el AA y finalmente el AA.Proyectando esos desplazamientos sobre el eje x, se encuentra el desplazamiento del puntoA , a lo largo del eje x.

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Luego, por definicin, x dx en el sistema coordenado xy es tambin alargamiento de OA, se obtienela siguiente relacin

coscos AAsenAAAAdxx ++=Sustituyendo las expresiones apropiadas para los desplazamientos y dividiendo entre dx , se tiene:

cos

cos dx

dysendxdy

dxdx

xyyxx ++= cos =dxdx

sendxdy

= coscos 22 sensen xyyxx ++=

Esta ecuacin es la expresin bsica para la transformacin de la deformacin unitaria normal enun plano en una direccin arbitraria definida por el eje x. Usando identidades trigonomtricas

22cos12 +=sen

221cos2 sen=

22

2cos22

senxyyxyxx +

++

=

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Con el fin de completar el estudio de la transformaron de la deformacin unitaria en un punto, debetambin establecerse la transformacin de la deformacin unitaria cortante.

El elemento OACB con lados OA y OB dirigidos a lo largo de los ejes x y y, como se muestra en (b).Por definicin, la deformacin unitaria cortante para este elemento es el cambio en el ngulo AOB.De la figura, el cambio en este ngulo es: + .

Para deformaciones pequeas, el pequeo ngulo puede determinarse proyectando losdesplazamientos AA,AA y AA sobre una normal a OA y dividiendo esta cantidad entre dx. Al aplicareste enfoque, la tangente del ngulo se supone igual al ngulo mismo. Esto es aceptable ya que lasdeformaciones son pequeas.

costan

dxsenAAAAsenAA +=

sendxdy

dxdysen

dxdx

xyyx cos

+=

( ) 2cos sensen xyyx +=Por un razonamiento anlogo:

2coscos)( xyyx sen +

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Como la deformacin unitaria cortante xy de un ngulo incluido entre los ejes xy es + se tiene:

)(coscos)(2 22 sensen xyyxx +=

2cos2)(2 xyyxx sen +=

2cos2

222

xyyxx sen +

=

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Las deformaciones unitarias principales existen sobre planos perpendiculares con las direccionesprincipales p los cules son determinados por la siguiente ecuacin:

yx

xyp

=2tan

Las deformaciones principales pueden calcularse con la ecuacin:

222,1 )2

()2

(2

xyyxyx +

+

=

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Las deformaciones unitarias cortantes mximas en el plano xy se asocian con ejes a 45 respecto de lasdirecciones de las deformaciones unitarias principales. La deformacin unitaria cortante algebraicamentemxima (en el plano xy) esta dada por la siguiente ecuacin:

22max )2

()2

(2

xyyxima +

=

La deformaron unitaria cortante algebraicamente mnima tiene la misma magnitud pero es negativa. Enlas direcciones de la deformacin unitaria cortante mxima, las deformaciones unitarias normalespromedio son:

2yx

promedio

+=

Nota: Las deformaciones unitarias principales y los esfuerzos principales se presentan en las mismasdirecciones.

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2''yx

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PROBLEMA N 1El material se distorsiona y toma la forma punteada mostrada.Determinar: Las deformaciones unitarias normales y la deformacin unitaria

cortante La deformacin unitaria normal a lo largo de la lnea BE.

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PROBLEMA N 2La pieza de caucho es inicialmente rectangular. Determine la deformacinunitaria cortante promedio si las esquinas B y D estn sometidas a losdesplazamientos que ocasionen que el caucho se deforme como se muestraen la figura con las lneas punteadas.

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PROBLEMA N 3Un elemento de un material en deformacin plana experimenta las siguientes deformaciones, lascuales son ilustradas en la figura como deformaciones de un elemento en deformacionesunitarias.

Determinar:(a). Las deformaciones unitarias para un elemento orientado segn un ngulo = 30.(b). Deformaciones unitarias principales y las direcciones principales.(c). Las deformaciones unitarias cortantes mximas y sus direcciones.(d). Considerando solo las deformaciones unitarias en el plano muestre todos los resultados obtenidos sobre un croquis de un elemento adecuadamente orientado de manera apropiada.(e). Confirme sus resultado de la parte (a) con el circulo de Mohr.

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BIBLIOGRAFIA

(1) Mecnica de slidos. E. P. Popov. 498-502 pag.(2) Mecnica de materiales. R. C. Hibbeler. 69-84 pag.

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Nmero de diapositiva 1Nmero de diapositiva 2Nmero de diapositiva 3Nmero de diapositiva 4Nmero de diapositiva 5Nmero de diapositiva 6Nmero de diapositiva 7Nmero de diapositiva 8Nmero de diapositiva 9Nmero de diapositiva 10Nmero de diapositiva 11Nmero de diapositiva 12Nmero de diapositiva 13Nmero de diapositiva 14Nmero de diapositiva 15Nmero de diapositiva 16Nmero de diapositiva 17Nmero de diapositiva 18Nmero de diapositiva 19Nmero de diapositiva 20Nmero de diapositiva 21Nmero de diapositiva 22Nmero de diapositiva 23Nmero de diapositiva 24