1 definizioni fondamentali argomenti concetti di interesse, montante, valore attuale e sconto
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DEFINIZIONI FONDAMENTALI
ArgomentiConcetti di interesse, montante, valore attuale e
sconto.
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Cenni introduttivi
Necessaria quando un operatore si trova in una situazione in cui deve tener conto di:
Fattore Tempo Il valore di una determinata somma disponibile immediatamente è diverso da quello di una somma identica nell’importo, ma disponibile in un periodo successivo.
Fattore IncertezzaIl futuro è, in misura minore o maggiore a seconda dei casi, indeterminato. Una determinata somma spettante ad un operatore in un momento futuro stabilito può essere corrisposta in parte o affatto, ovvero essere liquidata in un momento diverso da quello pattuito.
MATEMATICA FINANZIARIA Matematica “ad hoc” per calcoli finanziari
Prendiamo in considerazione solo l’aspetto temporale, tralasciando l’aleatorietà dell’operazione finanziaria. Ci si riferisce esclusivamente a somme CERTE, ma disponibili in istanti diversi.
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Operazione di investimento
Un operatore rinuncia alla disponibilità immediata di un capitale C a patto di ricevere una somma M in un istante successivo t.
M = Montante della somma C
M-C=I Interesse1
M C I M IM C I
C C C C
Si ottiene la prima relazione fondamentale
( )
( )
Mr t
CI
i tC
Fattore di capitalizzazione Tasso di interesse
( ) 1 ( )r t i t
Definendo:
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Sconto e valore attuale
Un operatore rinuncia ad una parte del capitale (M) che gli è dovuto in futuro, ad un istante t, pur di entrare immediatamente in possesso di una somma C<M.
1C M D D
C M DM M M
Situazione speculare all’investimentoSCONTO o ANTICIPAZIONE
C = Valore attuale del capitale M
M-C=D Sconto
Definendo:
( )
( )
Cv t
MD
d tM
Fattore di attualizzazione Tasso di sconto
Si ottiene la seconda relazione fondamentale
( ) 1 ( )v t d t
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Grandezze equivalenti
Se un investimento permette di trasformare, in certo lasso temporale, un capitale C in un montante M (con M>C), questo significa che avere la disponibilità immediata del capitale C equivale ad avere M tra t anni.
Si tratta di un’equivalenza convenzionale attinente al fatto che esiste un mezzo per generare una qualsiasi delle due somme partendo dall’altra.
Ogni operatore può, per esigenze personali, non essere affatto indifferente nella scelta, preferendo indiscutibilmente una delle due soluzioni.
Un’operazione finanziaria elementare determina una relazione di equivalenza tra due somme relative ad istanti differenti
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Grandezze equivalenti
Nel caso particolare t = 1 si avrà:
Dove r, i, v, d sono simboli standardizzati.
(1)
(1)
(1)
(1)
r r
v v
i i
d d
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Grandezze equivalenti
Dalle relazioni precedenti ricordiamo:
; M C
r vC M
1 1; r v
v r
Inoltre essendo:
1 ; 1 r i v d
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Esercizi
ESERCIZIO 1Un capitale di € 290 matura un interesse annuo del 2,5%. Calcolare montante prodotto dopo un anno e l’interesse prodotto.
(1 ) 290 (1,025) 297,25
7,25
M C i
I M C
ESERCIZIO 2Un montante pari ad € 300 si è maturato in un anno ad un interesse del 3,5% annuo. Calcolare il capitale che ha generato il montante.
300289,86
(1 ) (1,035)
MC M v
i
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Esercizi
ESERCIZIO 3Un capitale di € 290 genera in un anno un montante pari a € 305. Calcolare il tasso d’interesse (i) e il fattore di capitalizzazione (r).
1,0517
1 0,0517
Mr
Ci r
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Esercizi
ESERCIZIO 4Su un credito esigibile fra un anno pari a € 415, viene praticato uno sconto del 3,00% annuo. Calcolare il valore attuale del credito e l’ammontare dello sconto.
(1 ) 415 (1 0,03) 402,55
415 402,55 12,45
C M d
D M C
ESERCIZIO 5Il valore attuale di un credito esigibile fra un anno è pari a € 400, essendo praticato un tasso di sconto dell’1,80% calcolare il valore del credito.
400407,33
(1 ) 0,018
CM C r
d
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Esercizi
ESERCIZIO 6Un credito esigibile tra un anno di € 415 ha un valore attuale pari a € 304. Calcolare il tasso di sconto (d) e il fattore di attualizzazione.
0,7325
1 0,2675
Cv
Md v
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Esercizi
ESERCIZIO 7Dato un tasso di sconto annuo pari al 15,50%, calcolare: il tasso di interesse il fattore di capitalizzazione il fattore di attualizzazione
0,15500,1834
(1 ) (1 0,1550)
1 1 0,1834 1,1834
1 1 0,1550 0,8450
di
d
r i
v d
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I PRINCIPALI REGIMI FINANZIARI
ArgomentiRegime finanziario dell’interesse semplice e
dell’interesse composto
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Regime finanziario dell’interesse semplice
Interesse semplice.Regime nel quale l’interesse prodotto da un’operazione di investimento è direttamente proporzionale al capitale investito (C) e alla durata dell’operazione (t)
1. Legge di formazione dell’interesse semplice
Dove:i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo)
( )I t C i t
( )i t i t Interesse unitario per operazione di durata t
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Regime finanziario dell’interesse semplice
2. Legge di formazione del montante
Ponendo C=1 si ottiene il montante unitario che rappresenta il fattore di capitalizzazione.
( ) ( ) (1 )M t C I t C Cit C it
( ) 1r t it Legge di capitalizzazione
semplice
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Regime finanziario dell’interesse semplice
t
M,I
C
( )M M t
( )I I t
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)
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Osservazioni sul grafico
Montante ed interesse hanno andamento lineare rispetto al tempo (t)
Per t=0 l’interesse è nullo e il montante è pari al capitale inizialmente investito
Le semirette derivanti dall’andamento nel tempo di interesse e montante sono parallele e in ogni istante t la loro differenza è pari al capitale investito
Il coefficiente angolare delle semirette (iC) cresce al crescere di i e/o C
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Relazioni di base
Riassumiamo le relazioni fondamentali del regime dell’interesse semplice
( )
( ) (1 )
( ) 1
( )
I t C i t
M t C i t
r t i t
i t i t
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Esercizi
ESERCIZIO 1Dato un capitale di € 3.000 impiegato per 3 anni nel regime dell’interesse semplice ad un tasso di interesse annuo del 13%. Calcolare l’interesse generato e il montante.
0,13 3.000 3 1.170
(1 ) 3.000 (1 0,13 3) 3.170
I C i t
M C i t
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Esercizi
ESERCIZIO 2Un capitale di € 1.250 produce dopo un anno un interesse di € 87,375. Calcolare il tasso di interesse annuo.
( )
( ) 87,3750,0675
1.250 1
I t C i t
I ti
C t
ESERCIZIO 3Un capitale di € 800 produce dopo tre anni un montante di € 900. Calcolare il tasso di interesse annuo.
1(1 ) 1 1
1 9001 0,0416
3 800
M MM C i t i t i
C t C
i
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Esercizi
ESERCIZIO 4Dato un capitale iniziale di € 3.500 calcolare il tempo che è necessario per maturare un interesse di € 350 ad un tasso annuo del 7,5%.
( )( )
3501,3
3.500 0.075
0,3 12 4
I tI t C i t t
C i
t
1 Anno e 4 mesi
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Esercizi
ESERCIZIO 5Dato un capitale iniziale di € 2.500 calcolare il tempo che è necessario per maturare un montante di € 3.000 ad un tasso annuo del 7,5%.
11 ) 1
1 3.0001 2,6
0.075 2.500
0,6 12 8
MM C i t t
i C
t
2 Anni e 8 mesi
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Tasso di sconto e fattore di attualizzazione nel regime dell’interesse semplice
Ricordiamo che:
( )( )
1 ( ) 1
1 1( )
( ) 1
i t i td t
i t i t
v tr t i t
( ) ( )1
1( )
1
i tD t M d t M
i t
C M v t Mi t
Sconto
Valore Attuale
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Sconto e Valore Attuale nel regime dell’interesse semplice
,C D
t
( )D D t
C
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dell’interesse semplice (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)
M
25
Esercizi
ESERCIZIO 1Calcolare il capitale da investire oggi ad un tasso annuo del 9,50% per ottenere tra 14 mesi un montante di 1.000
( ) (1 )
1.000900,225
14(1 ) 1 0,09512
M C r t C i t
MC
i t
26
Esercizi
ESERCIZIO 2Un capitale disponibile tra sei mesi ammonta ad € 3.000. Calcolare il suo valore attuale considerando un tasso di interesse annuo del 14%.
3.000( ) 2.803,74
611 0,14
12
MC M v t
i t
27
Esercizi
ESERCIZIO 3Calcolare il valore attuale di un capitale disponibile tra nove mesi pari a € 1.750 sapendo che il tasso di sconto annuo (d) è del 9%.
0,090,0989
1 1 0,09
1.7501.629,16
911 0,0989
12
di
d
MC
i t
28
Esercizi
ESERCIZIO 4Se ad un capitale disponibile tra 18 mesi, pari a € 7.000, è applicato un tasso di sconto annuo del 7% annuo qual è l’entità dello sconto? A quanto ammonta il valore attuale?
0,070,0753
1 1 0,07
0,0753 1,5( ) 0,1014
1 1 0,0753 1,5
( ) 7.000 0,1014 710,14
7.000 710,14 6.289,86
7.000( ) 6.289,86
1 1 0,0753 1,5
di
d
i td t
i t
D M d t
C M D
MC M v t
i t
29
Esercizi
ESERCIZIO 5Viene stipulato un prestito per € 5.000 da restituire dopo 9 mesi con l’interesse annuo del 12%. Calcolare il valore attuale dopo 6 mesi della somma dovuta usando un tasso di interesse annuo del 10%.
12%i
10%i
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Esercizi
12%i
10%i
( ) (1 ) 5.000 (1 0,12 9 12) 5.450M C r t C i t
6
5.450( ) 5.317,07
1 1 0,10 3 12mesi
MC M v t
i t
5.000 5.4505.317,07
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Regime dell’interesse composto
Ragionando in termini di capitale investito unitario l’interesse generato nell’unità di tempo sarà pari ad i, mentre il montante unitario sarà pari ad (1+i).
MONTANTE UNITARIO = FATTORE DI CAPITALIZZAZIONE (r(t))
Il fattore di capitalizzazione dopo una unità di tempo sarà:
(1) 1r i
Se l’investimento prosegue alle stesse condizioni per un altro periodo il fattore di capitalizzazione al termine di questa seconda unità temporale sarà:
2(2) (1) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )r r i i i i
Al termine del terzo:
2 3(3) (2) (1 ) (1 ) (1 ) (1 )r r i i i i
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Regime dell’interesse composto
Generalizzando, se l’investimento prosegue per un numero di periodi “t” il fattore di capitalizzazione sarà pari a:
( ) ( 1) (1 ) (1 )tr t r t i i
Partendo dal fattore di capitalizzazione (montante unitario) possiamo definire, tramite le relazioni tra le grandezze equivalenti (v. slide 7), l’interesse unitario generato da un’operazione di investimento di durata t.
( ) ( ) 1 (1 ) 1ti t r t i
Dove:i: tasso d’interesse periodale (riferito all’unità di misura scelta per il tempo)
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Montante e Interesse
Avendo ottenuto il montante unitario e l’interesse unitario è semplice definire le leggi di formazione del montante e dell’interesse.
( ) (1 ) ; ( ) ((1 ) 1)t tM t C i I t C i ,M I
C
t
( )M M t
( )I I t
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del Montante e dell’interesse nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)
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Sconto e Valore Attuale
In base alle relazioni intercorrenti tra le grandezze equivalenti (v. slide 7) si possono ricavare:
1 1( ) (1 )
( ) (1 )t
tv t i
r t i
( ) 1 ( ) 1 (1 ) td t v t i
Fattore di attualizzazione(o valore attuale unitario)
Sconto unitario
Inoltre possiamo ottenere:
( ) (1 ) tC M v t M i
( ) ( ) (1 (1 ) )tD t M d t M i
Valore attuale
Sconto
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Sconto e Valore Attuale
,C D
M
t
C
( )D t
Nel grafico è rappresentato l’andamento nel tempo del valore attuale e dello sconto nel regime dell’interesse composto (linea continua: i=0,12 ; linea tratteggiata: i=0,18)
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Il montante: confronto tra i due regimi
Ricordiamo le leggi di formazione del montante nei due regimi finanziari esaminati
( ) (1 )M t C it ( ) (1 )tM t C i Interesse semplice
Interesse composto
Focalizziamo l’attenzione sul valore di un montante generato dall’investimento di un capitale iniziale di € 100 per valori di t compresi tra 0 e 1
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Il montante: confronto tra i due regimi
0,0 1,0 2,0
t
1 i
1
M Per durate inferiori all’anno gli interessi prodotti dall’investimento nel regime dell’interesse semplice sono maggiori di quelli prodotti nel regime dell’interesse composto.
Per durate superiori all’anno gli interessi prodotti nel regime dell’interesse semplice sono minori di quelli prodotti nel regime dell’interesse composto
Per durate pari ad 1 anno i due regimi finanziari producono lo stesso ammontare di interesse unitario (1+i)
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Confronto RFIS e RFIC
Regime dell’interesse semplice
Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse semplice
Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo.
100
La redditività (ovvero la produzione di interessi) dell’investimento rimane commisurata al versamento di capitale iniziale
100
100
100100
0 21 3 4
50 55 5
Capitale fruttifero
Interessi
Tempo (in anni)
Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli interessi maturati in 4 anni (€ 20).
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Confronto RFIS e RFIC
Interesse composto.Regime nel quale gli interessi prodotti vengono automaticamente resi fruttiferi. L’interesse viene capitalizzato a mano a mano che si genera.
Schematizziamo operazione di investimento nel regime dell’interesse composto
Investimento di € 100 per 4 anni ad un tasso del 5% annuo.
110,25
115,76
105
100100
0 21 3 4
50 5,795,25 5,51
Capitale fruttifero
Interessi
Tempo (in anni)
Il quarto anno l’operatore incasserà il capitale iniziale investito (€ 100) più gli interessi maturati in 4 anni (€ 21,55).
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Regime dell’interesse semplice
INVESTIMENTO
ATTUALIZZAZIONE
( )
( ) (1 )
i t i t
r t i t
( )
( ) (1 )
I t C i t
M t C i t
( )1
1( )
1
i td t
i t
v ti t
( )11
1
i tD t M
i t
C Mi t
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Regime dell’interesse composto
INVESTIMENTO
ATTUALIZZAZIONE
( ) (1 )
( ) (1 ) 1
t
t
r t i
i t i
( ) (1 )
( ) ((1 ) 1)
t
t
M t C i
I t C i
( ) (1 )
( ) 1 (1 )
t
t
v t i
d t i
(1 )
( ) (1 (1 ) )
t
t
C M i
D t M i
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Esercizi
ESERCIZIO 1Dato un capitale iniziale di € 1.750 investito nel regime dell’interesse composto per tre anni al tasso di interesse annuo del 3,25%, determinare il montante finale dell’operazione e l’interesse generato.
3
3
(1 ) 1.750 (1 0,0325) 1.926,23
((1 ) 1) 1.750 ((1 0,0325) 1) 176,23
1.926,23 1.750 176,23
t
t
M C i
I C i
I M C
43
Esercizi
ESERCIZIO 2Dato un tasso di interesse annuo del 4,75% e sapendo che tra un anno e quattro mesi sarà disponibile un capitale di € 3.550, calcolare nel regime dell’interesse composto il valore attuale del capitale suddetto e la corrispondente misura dello sconto.
1,33
1,33
(1 ) 3.550 (1 0,0475) 3.337,52
((1 (1 ) ) 3.550 (1 (1 0,0475) ) 212,48
3.550 3.337,52 212,48
t
t
C M i
D M i
D M C