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1.- Definiciones. 2.- Frmulas. 3.- Esquema. 4.- Ejercicios.

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3.1.DETERMINANTES DE ORDEN DOS El determinante de una matriz de orden dos es un nmero que se obtiene del siguiente modo: Seaentonces su determinante se denota: Y se calcula: Ejemplos:

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El determinante de una matriz de orden tres es un nmero que se obtiene del siguiente modo: Sea entonces su determinante se denota: Y se calcula: 3.2 DETERMINANTES DE ORDEN TRES

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Propiedades de los determinantes: 1. El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: 2. Si un determinante tiene una lnea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: 3. Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo. 4. Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante es cero. 5. Si multiplicamos por el mismo nmero todos los elementos de una lnea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese nmero. 6. Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero. 7. < 8. Si a una lnea de una matriz le sumamos una combinacin lineal de las dems paralelas, su determinante no vara. 9. Si una matriz tiene una lnea que es combinacin lineal de las dems paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinacin lineal de las dems. 10. El determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes:

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1 El determinante de una matriz coincide con el de su traspuesta: Veamos dos ejemplos: En general:

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2 Si un determinante tiene una lnea (fila o columna) de ceros, entonces su determinante es cero: Veamos tres ejemplos: En general:

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3 Si permutamos dos filas (o dos columnas) de una matriz, su determinante cambia de signo: Veamos dos ejemplos: En general:

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4 Si una matriz cuadrada tiene dos lneas paralelas iguales, su determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En general:

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5 Si multiplicamos por el mismo nmero todos los elementos de una lnea (fila o columna) de una matriz cuadrada, su determinante queda multiplicado por ese nmero : Veamos dos ejemplos: En general:

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6 Si una matriz cuadrada tiene dos filas (o columnas) proporcionales, su determinante es cero: Veamos dos ejemplos: En general:

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7 Veamos ejemplos:

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8 Si a una lnea de una matriz le sumamos una combinacin lineal de las dems paralelas, su determinante no vara: Veamos dos ejemplos: En general:

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9 Si una matriz tiene una lnea que es combinacin lineal de las dems paralelas, entonces su determinante es cero. Y, recprocamente: si un determinante es cero, tiene una fila (o columna) combinacin lineal de las dems: Veamos dos ejemplos: En general:

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10 E l determinante del producto de dos matrices es igual al producto de sus determinantes : Veamos un ejemplo:

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3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO Menor de una matriz: Si en una matriz seleccionamos r filas y r columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden r. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden r de la matriz inicial. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 2: Menor de orden 2 de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 2 filas y 2 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 2. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 2 de la matriz inicial. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 4 y un menor de orden 3: Menor de orden 3 de una matriz: Si en una matriz seleccionamos 3 filas y 3 columnas, los elementos en los que se cruzan forman una submatriz cuadrada de orden 3. El determinante de esa submatriz se llama menor de orden 3 de la matriz inicial. Menor complementario de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada n n destacamos un elemento a ij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz (n1) (n1). Su determinante es un menor de orden n1 que se llama menor complementario del elemento a ij y se designa por ij. Menor complementario de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 3 destacamos un elemento a ij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento a ij y se designa por ij. Particularicemos para una matriz cuadrada de orden 3 : Menor complementario de un elemento en una matriz cuadrada: Si en una matriz cuadrada 3 3 destacamos un elemento a ij, al suprimir su fila y su columna se obtiene una submatriz 2 2. Su determinante es un menor de orden 2 que se llama menor complementario del elemento a ij y se designa por ij.

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3.4 MENOR COMPLEMENTARIO Y ADJUNTO Adjunto de un elemento en una matriz cuadrada: Se llama adjunto de a ij, al nmero A ij = (1) i+j ij es decir al menor complementario con su signo o con el signo cambiado, segn que i+j sea par o impar. Para simplificar el clculo tambin se puede utilizar las matrices de signos: Ejemplos:

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4.6 MATRIZ INVERSA. Matriz inversa: Para que una matriz A cuadrada posea matriz inversa tiene que cumplirse la siguiente condicin: El determinante de la matriz tiene que ser distinto de cero. |A| 0 En dicho caso, para calcular la matriz inversa se utiliza la siguiente formula para calcularla: Ejemplos:

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Propiedades del producto de matrices: I. ASOCIATIVA: Esta propiedad nos permite prescindir de los parntesis cuando multipliquemos matrices siempre y cuando las matrices sean multiplicables. II. El producto de matrices NO ES CONMUTATIVO en general: Como consecuencia, hemos de mantener el orden en que aparezcan las matrices que han de multiplicarse, utilizamos expresiones del tipo La matriz M est multiplicando por la izquierda (o por la derecha)

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Las matrices cuadradas de orden m, adems de sumarse y multiplicarse por un nmero, pueden multiplicarse entre s. Veamos algunas definiciones y propiedades: Matriz Unidad: Matriz cuya diagonal principal son todos unos y el resto de trminos son ceros. Matriz Inversa de otra: Algunas matrices cuadradas tienen matriz inversa, pero otras no. La notacin si existe de la matriz inversa es A -1 Cumple la siguiente propiedad: El procedimiento para calcularla lo veremos en la unidad 4. 2.4 MATRICES CUADRADAS

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2.5 n-UPLAS DE NMEROS REALES n-Uplas de nmeros reales: Una coleccin de n nmeros reales dados en un cierto orden se llama n-upla. Tanto las filas como las columnas de las matrices son n- uplas de nmeros reales. Combinacin lineal de vectores: Dados El vector formado por Se llama combinacin lineal de los vectores Una combinacin lineal de varias n-uplas es el resultado de multiplicar cada una de ellas por un nmero y sumarlas.

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Dependencia e independencia lineal: Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente dependientes (L.D.) si alguno de ellos se puede poner como combinacin lineal de los dems. Un conjunto de elementos de V se dice que son linealmente independientes (L.I.) si ninguno de ellos se puede poner como combinacin lineal de los dems. El mximo nmero posible de n-uplas linealmente independientes es n.

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2.6 RANGO DE UNA MATRIZ Llamamos rango de una matriz al nmero de filas (o columnas) que son linealmente independientes. Teorema: En una matriz, el nmero de filas L.I. coincide con el nmero de columnas L.I. Segn esto, el rango de una matriz es el nmero de filas o de columnas L.I. Ejemplos: el mximo rango posible es 2 porque

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2.7 FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMAS DE ECUACIONES Si tenemos un sistemas de ecuaciones lineales, podemos escribir dicho sistema de una forma matricial de forma que: Si nos fijamos en los coeficientes: Escribimos la matriz de coeficiente: Y la matriz incgnita:y la matriz de los trminos independientes: Por tanto tenemos que el sistema se puede escribir as

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LGEBRA DE MATRICES 2.1. NOMENCLATURA Y DEFINICIONES Que es una Matriz Dimensin de una Matriz Matriz Cuadrada.Matrices Iguales.Matriz TraspuestaMatriz Simtrica. 2.2 OPERACIONES CON MATRICES Suma de Matrices Producto de un nmero por una matriz Producto de una matriz fila por una matriz columna Producto de Matrices. 2.3 PROPIEDADES DE LAS OPERACIONES CON MATRICES Propiedades de la Suma. Asociativa. Conmutativa. Elemento Neutro Opuesta. Propiedades del producto de nmeros por matrices Asociativa. Distributiva I Distributiva II Producto por el nmero 1 Propiedades del Producto Asociativa. NO Conmutativa. Distributivas. 2.4. MATRICES CUADRADAS Matriz Unidad. Matriz Inversa. 2.5. n-UPLAS DE NMEROS REALES - Combinacin Lineal de vectores. - Dependencia e independencia Lineal. 2.6. RANGO DE UNA MATRIZ 2.7.FORMA MATRICIAL DE UN SISTEMA DE ECUACIONES.