1

Contribution à l'étude de Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à systèmes mécaniques à

structure auto – similaire structure auto – similaire

Etienne Bertaud du ChazaudLundi 20 décembre 2004

PHASE

2

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Position du problèmePosition du problème

Les aérogels

Guide d’onde 1D

Corde vibrante auto-similaire

3

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Les structures auto-similaires…Les structures auto-similaires…

• Objets Mathématiques • Objets Physiques

4

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Les fractales de masseLes fractales de masse

Tapis de Sierpinski

Aérogel de silice

Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4

×1/3

D = Log(8)/Log(3) ≈ 1,89

D ≈ 2,4

Ordre 0

5

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Les fractales de surfaceLes fractales de surface

Île de von Koch 

Côte bretonne

Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4

×1/3

D = Log(4)/Log(3) ≈ 1,26

D ≈ 1,22

6

E. B

. d

u C

haza

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– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Vibrations of Fractal Drums

Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21, 1991

• Milieu de propagation homogène• Les limites correspondent à une fractale de surface

Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina

7

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Density of state on fractals : fractons

Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982

• Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle• Des modes phonons et fractons sont observés

Modes étendus Modes localisés1

~

)( dfr 1)( d

ph

dd~

() est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande d à la fréquence

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

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mes

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au

to-s

imilair

es

Céramiquepiézo-électrique

Résine époxy

Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor compositeAlippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992

• Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique• Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4

Modes localisés dans la structure

Modes étendus dans la structure

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E. B

. d

u C

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– S

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mes

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au

to-s

imilair

es

Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales

de masse ?de masse ?

1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

PLAN

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es

Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales

de masse ?de masse ?

1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

PLAN

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Etude numérique de la corde Etude numérique de la corde

chargéechargée

NN y

y

D

y

y

11

2

Système continu

Modèle mécanique discret de N masses

Solution du problème aux valeurs propres

Modèle mécanique discret

y cordelademasse

surchargesdesmasse

Cantor ordre 3 (D ≈ 0,63)

p diffuseurs ;

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E. B

. d

u C

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au

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imilair

es

mode 5 – /0 = 2,46

Représentation de quelques modes Représentation de quelques modes propres propres étendusétendus d’une structure d’une structure

d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45

mode 27 – /0 = 24,30

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

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mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es

mode 23 – /0 = 16,90

Représentation de quelques modes Représentation de quelques modes propres propres localiséslocalisés d’une structure d’une structure

d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45

mode 21 – /0 = 13,41

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es A propos de la localisation…A propos de la localisation…

y(x) Log(|y(x)|)

Localisation forte (décroissance exponentielle)

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es

Représentation de l’ensemble des Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure modes propres d’une structure

d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45

/0

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E. B

. d

u C

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mes

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niq

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au

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imilair

es

DOS intégrée d’unestructure non chargéede masse identique

Densité d’état intégréeDensité d’état intégréeStructure d’ordre 3 – = 2,45

Ordre 3 – mode 5 – /0=2,46

Ordre 3 – mode 21 – /0=13,41

Ordre 3 – mode 23 – /0=16,90

Ordre 3 – mode 27 – /0=24,30

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E. B

. d

u C

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ud

– S

ystè

mes

méca

niq

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au

to-s

imilair

es Ratio de participationRatio de participation

Structure d’ordre 3 – = 2,45

Mode 21

Vibration d’un tiers de corde (2/9)

Vibration de deux neuvième de corde (4/27)

Vibration d’une corde entière (2/3)

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E. B

. d

u C

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ud

– S

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mes

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au

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imilair

es Caractère auto-similaire de la densité Caractère auto-similaire de la densité

d’état intégréed’état intégréeStructure d’ordre 5 – = 1,86

×3

×3

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

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au

to-s

imilair

es Evolution de la densité d’état intégrée Evolution de la densité d’état intégrée

avec le rapport de chargement avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3

= 1,09= 0,52= 0,06= 0

→ +∞= 1,09= 0,52= 0,06= 0

→ +∞

20

E. B

. d

u C

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ud

– S

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mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Evolution du ratio de participation Evolution du ratio de participation

avec le rapport de chargement avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3

Rôle de la masse des diffuseurs

Rapportde chargement

21

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es

Dans la corde vibrante auto-similaire :Dans la corde vibrante auto-similaire :

• La localisation est observée.• Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation.• Le rôle du rapport de chargement est connu.

• Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.• On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de ), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes.

[Synthèse du problème 1D]

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E. B

. d

u C

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– S

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au

to-s

imilair

es

Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales

de masse ?de masse ?

1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

PLAN

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E. B

. d

u C

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– S

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au

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imilair

es Etude numérique de la structure Etude numérique de la structure

2D 2D Principe de construction du système auto-similaire

Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3 Surcharges ordre 3(p diffuseurs)

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

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niq

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au

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imilair

es Modèle mécanique discretModèle mécanique discret

(détermination des modes propres)(détermination des modes propres)

NN y

y

D

y

y

11

2

Modèle mécanique discret

Solution du problème aux valeurs propres

(yij→yn et n=f(i,j))

2l

pM

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

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au

to-s

imilair

es Modes propres et Densité d’état Modes propres et Densité d’état

intégréeintégréeStructure d’ordre 3 – = 8,9

Ordre 0Ordre 3

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es A propos de la localisation…A propos de la localisation…

Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane

Localisation forte (décroissance exponentielle)

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Ratio de participationRatio de participation

Structure d’ordre 3 – = 8,9

Vibration d’une

membrane

de côté l (4/9)

Vibration d’une

membrane

de côté l/3 (2/27)

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

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niq

ues

au

to-s

imilair

es Evolution de la densité d’état intégrée Evolution de la densité d’état intégrée

avec le rapport de chargementavec le rapport de chargementStructure d’ordre 3

p représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée

t représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Evolution du ratio de participation Evolution du ratio de participation

avec le rapport de chargementavec le rapport de chargementStructure d’ordre 3

30

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Carte de la localisationCarte de la localisation

Structure d’ordre 3

max,++

min,- -

min,max,

31

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure

2D d’ordre 22D d’ordre 2 = 0,27

32

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure

2D d’ordre 22D d’ordre 2

33

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure

2D d’ordre 22D d’ordre 2 = 0,27

34

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Etude expérimentale d’une membrane Etude expérimentale d’une membrane

d’ordre 2d’ordre 2 = 0,27

35

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Dans la membrane vibrante auto-Dans la membrane vibrante auto-

similaire :similaire :

• La localisation est observée.• Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation.• Le rôle du rapport de chargement est connu.

• Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.

[Synthèse du problème 2D]

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E. B

. d

u C

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ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es

Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales

de masse ?de masse ?

1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?

PLAN

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E. B

. d

u C

haza

ud

– S

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mes

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au

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imilair

es Fractales déterministes ou Fractales déterministes ou

permutées :permutées :Influence de l’arrangement des sous-parties

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E. B

. d

u C

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– S

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es

Densité d’état intégrée et ratio de Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents participation pour différents

arrangementsarrangementsCas de la corde d’ordre 3 – = 2,45

Localisation principale Localisation secondaire

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E. B

. d

u C

haza

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– S

ystè

mes

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niq

ues

au

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imilair

es Quelques modes localisés pour Quelques modes localisés pour

différents arrangementsdifférents arrangementsCas de la corde d’ordre 3 – = 2,45

Localisation principale

Localisation secondaire/0=13,41

/0=16,90

40

E. B

. d

u C

haza

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mes

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niq

ues

au

to-s

imilair

es Densité d’état intégrée pour différents Densité d’état intégrée pour différents

arrangementsarrangementsCas de la membrane – = 8,9

A 2D

41

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Ratio de participation pour différents Ratio de participation pour différents

arrangementsarrangementsCas de la membrane – = 8,9

42

E. B

. d

u C

haza

ud

– S

ystè

mes

méca

niq

ues

au

to-s

imilair

es Quelques modes localisés pour Quelques modes localisés pour

différents arrangementsdifférents arrangementsCas de la membrane – = 8,9

43

E. B

. d

u C

haza

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– S

ystè

mes

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ues

au

to-s

imilair

es

Les Les fractales de massefractales de masse présentent- présentent-elles un comportement vibratoire elles un comportement vibratoire

particulier ?particulier ?Conclusions et perspectives

• Localisation à 2D comme à 1D.• « Cross-over » dans la densité d’état intégrée.• Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats.• L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue.• Le système n’est pas trop sensible aux permutations

• Design de filtre. • Etude d’une structure 2D rigide.• Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ?

Conclusions

Perspectives