1 contribution à l'étude de systèmes mécaniques à structure auto – similaire etienne...
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Contribution à l'étude de Contribution à l'étude de systèmes mécaniques à systèmes mécaniques à
structure auto – similaire structure auto – similaire
Etienne Bertaud du ChazaudLundi 20 décembre 2004
PHASE
2
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Position du problèmePosition du problème
Les aérogels
Guide d’onde 1D
Corde vibrante auto-similaire
3
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Les structures auto-similaires…Les structures auto-similaires…
• Objets Mathématiques • Objets Physiques
4
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Les fractales de masseLes fractales de masse
Tapis de Sierpinski
Aérogel de silice
Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4
×1/3
D = Log(8)/Log(3) ≈ 1,89
D ≈ 2,4
Ordre 0
5
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Les fractales de surfaceLes fractales de surface
Île de von Koch
Côte bretonne
Ordre 1 Ordre 2 Ordre 4
×1/3
D = Log(4)/Log(3) ≈ 1,26
D ≈ 1,22
6
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Vibrations of Fractal Drums
Sapoval et al., Physical Review Letters 67-21, 1991
• Milieu de propagation homogène• Les limites correspondent à une fractale de surface
Pose photographique (1s) sur un mode localisé, Sapoval, Gobron et Margolina
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Density of state on fractals : fractons
Alexander et Orbach, Journal de Physique-Lettres 43, 1982
• Milieu de propagation correspondant à une fractale de masse sur une certaine échelle• Des modes phonons et fractons sont observés
Modes étendus Modes localisés1
~
)( dfr 1)( d
ph
dd~
() est la densité d’état, c’est à dire le nombre de modes propres compris dans la bande d à la fréquence
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Céramiquepiézo-électrique
Résine époxy
Direct experimental observation of fracton mode patterns in one-dimentional Cantor compositeAlippi et al., Physical Review Letters 68-10,1992
• Alternance de résine époxy et de céramique piezo-électrique• Le schéma de construction est une pré-fractale de Cantor d’ordre 4
Modes localisés dans la structure
Modes étendus dans la structure
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales
de masse ?de masse ?
1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?
PLAN
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales
de masse ?de masse ?
1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?
PLAN
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Etude numérique de la corde Etude numérique de la corde
chargéechargée
NN y
y
D
y
y
11
2
Système continu
Modèle mécanique discret de N masses
Solution du problème aux valeurs propres
Modèle mécanique discret
y cordelademasse
surchargesdesmasse
Cantor ordre 3 (D ≈ 0,63)
p diffuseurs ;
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E. B
. d
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haza
ud
– S
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mes
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niq
ues
au
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es
mode 5 – /0 = 2,46
Représentation de quelques modes Représentation de quelques modes propres propres étendusétendus d’une structure d’une structure
d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45
mode 27 – /0 = 24,30
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
mode 23 – /0 = 16,90
Représentation de quelques modes Représentation de quelques modes propres propres localiséslocalisés d’une structure d’une structure
d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45
mode 21 – /0 = 13,41
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es A propos de la localisation…A propos de la localisation…
y(x) Log(|y(x)|)
Localisation forte (décroissance exponentielle)
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Représentation de l’ensemble des Représentation de l’ensemble des modes propres d’une structure modes propres d’une structure
d’ordre 3d’ordre 3N=108 ; = 2,45
/0
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
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mes
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niq
ues
au
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es
DOS intégrée d’unestructure non chargéede masse identique
Densité d’état intégréeDensité d’état intégréeStructure d’ordre 3 – = 2,45
Ordre 3 – mode 5 – /0=2,46
Ordre 3 – mode 21 – /0=13,41
Ordre 3 – mode 23 – /0=16,90
Ordre 3 – mode 27 – /0=24,30
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Ratio de participationRatio de participation
Structure d’ordre 3 – = 2,45
Mode 21
Vibration d’un tiers de corde (2/9)
Vibration de deux neuvième de corde (4/27)
Vibration d’une corde entière (2/3)
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
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mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Caractère auto-similaire de la densité Caractère auto-similaire de la densité
d’état intégréed’état intégréeStructure d’ordre 5 – = 1,86
×3
×3
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Evolution de la densité d’état intégrée Evolution de la densité d’état intégrée
avec le rapport de chargement avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3
= 1,09= 0,52= 0,06= 0
→ +∞= 1,09= 0,52= 0,06= 0
→ +∞
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Evolution du ratio de participation Evolution du ratio de participation
avec le rapport de chargement avec le rapport de chargement Structure d’ordre 3
Rôle de la masse des diffuseurs
Rapportde chargement
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Dans la corde vibrante auto-similaire :Dans la corde vibrante auto-similaire :
• La localisation est observée.• Elle correspond à une zone de valeurs particulieres de la densité d’état intégrée et du ratio de participation.• Le rôle du rapport de chargement est connu.
• Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.• On peut déterminer les zones de localisation et les adapter (rôle de ), déterminer la dimension fractale D du modèle, l’ordre de pré-fractalité n à partir des courbes.
[Synthèse du problème 1D]
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
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au
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imilair
es
Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales
de masse ?de masse ?
1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?
PLAN
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E. B
. d
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haza
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– S
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es Etude numérique de la structure Etude numérique de la structure
2D 2D Principe de construction du système auto-similaire
Pré-fractale de Sierpinski, ordre 3 Surcharges ordre 3(p diffuseurs)
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
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ues
au
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imilair
es Modèle mécanique discretModèle mécanique discret
(détermination des modes propres)(détermination des modes propres)
NN y
y
D
y
y
11
2
Modèle mécanique discret
Solution du problème aux valeurs propres
(yij→yn et n=f(i,j))
2l
pM
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E. B
. d
u C
haza
ud
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es Modes propres et Densité d’état Modes propres et Densité d’état
intégréeintégréeStructure d’ordre 3 – = 8,9
Ordre 0Ordre 3
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es A propos de la localisation…A propos de la localisation…
Tracé de Log(|z(x,y)|) le long de la médiane
Localisation forte (décroissance exponentielle)
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Ratio de participationRatio de participation
Structure d’ordre 3 – = 8,9
Vibration d’une
membrane
de côté l (4/9)
Vibration d’une
membrane
de côté l/3 (2/27)
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Evolution de la densité d’état intégrée Evolution de la densité d’état intégrée
avec le rapport de chargementavec le rapport de chargementStructure d’ordre 3
p représente la fréquence au-delà de laquelle la localisation est observée
t représente la fréquence au-delà de laquelle l’onde n’est plus bloquée
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Evolution du ratio de participation Evolution du ratio de participation
avec le rapport de chargementavec le rapport de chargementStructure d’ordre 3
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Carte de la localisationCarte de la localisation
Structure d’ordre 3
max,++
min,- -
min,max,
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure
2D d’ordre 22D d’ordre 2 = 0,27
32
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure
2D d’ordre 22D d’ordre 2
33
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Etude expérimentale d’une structure Etude expérimentale d’une structure
2D d’ordre 22D d’ordre 2 = 0,27
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Etude expérimentale d’une membrane Etude expérimentale d’une membrane
d’ordre 2d’ordre 2 = 0,27
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Dans la membrane vibrante auto-Dans la membrane vibrante auto-
similaire :similaire :
• La localisation est observée.• Elle correspond encore à une zone de valeurs particulières de la densité d’état intégrée et du ratio de participation.• Le rôle du rapport de chargement est connu.
• Ces structures ont des caractéristiques de filtre particulières.
[Synthèse du problème 2D]
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Comment vibrent des systèmes mécaniques et Comment vibrent des systèmes mécaniques et acoustiques construits sur des modèles de fractales acoustiques construits sur des modèles de fractales
de masse ?de masse ?
1. Création et étude d’une structure mécanique à 1D2. Création et étude d’une structure mécanique à 2D3. L’arrangement est-il un paramètre déterminant ?
PLAN
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
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au
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imilair
es Fractales déterministes ou Fractales déterministes ou
permutées :permutées :Influence de l’arrangement des sous-parties
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Densité d’état intégrée et ratio de Densité d’état intégrée et ratio de participation pour différents participation pour différents
arrangementsarrangementsCas de la corde d’ordre 3 – = 2,45
Localisation principale Localisation secondaire
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Quelques modes localisés pour Quelques modes localisés pour
différents arrangementsdifférents arrangementsCas de la corde d’ordre 3 – = 2,45
Localisation principale
Localisation secondaire/0=13,41
/0=16,90
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E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Densité d’état intégrée pour différents Densité d’état intégrée pour différents
arrangementsarrangementsCas de la membrane – = 8,9
A 2D
41
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Ratio de participation pour différents Ratio de participation pour différents
arrangementsarrangementsCas de la membrane – = 8,9
42
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es Quelques modes localisés pour Quelques modes localisés pour
différents arrangementsdifférents arrangementsCas de la membrane – = 8,9
43
E. B
. d
u C
haza
ud
– S
ystè
mes
méca
niq
ues
au
to-s
imilair
es
Les Les fractales de massefractales de masse présentent- présentent-elles un comportement vibratoire elles un comportement vibratoire
particulier ?particulier ?Conclusions et perspectives
• Localisation à 2D comme à 1D.• « Cross-over » dans la densité d’état intégrée.• Le ratio de participation permet de confirmer ces résultats.• L’évolution de la zone de localisation avec la masse est connue.• Le système n’est pas trop sensible aux permutations
• Design de filtre. • Etude d’une structure 2D rigide.• Peut-on imaginer des résultats comparables sur des objets 3D ?
Conclusions
Perspectives