aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

青子守歌

粒子法の復習（陽解法と陰解法の比較から）

- 2 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

はじめに

- 3 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

おことわり

時間の都合等により不正確な表現を

多数含んでいます

＜はじめに＞

- 4 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

自己紹介

- 5 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

名前とアバター

青子守歌 / aokomoriuta

※call me “あお”

＜自己紹介＞

- 6 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

いろんなとこのアカウント

twitter: @aokomoritagithub: aokomoriutaweb: j.mp/ao_komoriuta

＜自己紹介＞

- 7 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

専門分野

分類：土木工学＞水理学＞計算力学

粒子法（MPS法）を用いた計算力学＠土木工学（主に水工学分野）

＜自己紹介＞

- 8 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

計算力学とは

実験空間 計算空間

File:Coastal defences, Beesands - geograph.org.uk - 69707.jpgby Nigel Chadwick : CC-BY-SA 2.0 Generic

File:Gileston20.jpgby Mick Lobbi : CC-BY-SA 2.0 Generic

File:Dolos.jpgby Adam Brinki : CC-BY-SA 3.0 Unported

現実空間

海岸工学・水工学分野において

代替となりうるか？

＜自己紹介＞

- 9 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

なので

精度がとても大事！

＜自己紹介＞

（超重要）

- 10 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽解法vs陰解法の結果

- 11 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

いきなり比較1＜結果＞

陰解法陽解法

→resultExplicit1.mp4 →resultStandard1.mp4

- 12 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

いきなり比較2＜結果＞

陰解法陽解法

→resultExplicit2.mp4 →resultStandard2.mp4

- 13 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

いきなり比較3＜結果＞

陰解法陽解法

→resultExplicit3.mp4 →resultStandard3.mp4

- 14 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽解法？陰解法？

- 15 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽関数と陰関数＜陽解法？陰解法？＞

陰関数

陽関数：

：

y= f (x)

f (x , y)=0

- 16 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽関数と陰関数の例＜陽解法？陰解法？＞

陰関数

陽関数：

：

y=√1−x2

x2+ y2=1

- 17 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽解法と陰解法＜陽解法？陰解法？＞

陰解法

陽解法：

：

x= f ( x )

f ( x , t )=0xt

：未知：既知

- 18 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

　　　　　　　　　　に対して

陽解法と陰解法の例＜陽解法？陰解法？＞

陰解法

陽解法：

：

dxdt

=sin ( y ) ,dydt

=cos(x)

xk , yk：k番目の値

xk+1=xk+sin ( yk )Δ t

xk+1=xk+sin ( yk+1)Δ t

- 19 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

？？？

つまり

＜陽解法？陰解法？＞

- 20 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽解法と陰解法とは＜陽解法？陰解法？＞

陽解法：既知の値だけでどうにか解こう

陰解法：未知の値は未知の値のまま解こう

- 21 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

粒子法における陽解法と陰解法

- 22 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

粒子法とは（狭義）＜粒子法における陽と陰＞

例えば：非圧縮性ニュートン流体のナビエ・ストークス方程式：

∂u i∂ t

+u j∂ui∂ x j

= f i−1ρ

∂ p∂ xi

+ν∂

2u i∂ x j∂ x j

∂ui∂ xi

=0と

連続体を計算点（粒子）に離散化して

ラグランジュ的に解く方法

のような

主にSPH法とMPS法

- 23 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

弱圧縮SPH法＜粒子法における陽と陰＞

1. 重力・粘性項を計算する2.弱圧縮で圧力を計算

Smoothed Particle Hydraulics (Lucy, 1977)

弱圧縮SPH (Monagahan, 1994)非圧縮性流れ用

- 24 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

（通常の）MPS法＜粒子法における陽と陰＞

1. 重力・粘性項を計算する2.非圧縮で圧力を計算

Moving Particle Semi-implicit (Koshizuka&Oka,1996)

- 25 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

粒子法の詳細＜粒子法における陽と陰＞

また機会があればそのうち末尾の参考文献もどうぞ

- 26 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

第一段階＜粒子法における陽と陰＞

1. 重力・粘性項によって、粒子を移動させる

圧縮！？

- 27 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

第ニ段階＜粒子法における陽と陰＞

圧力

弱圧縮

非圧縮

2. 圧力を計算

少しなら

絶対に×

- 28 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

弱圧縮の場合＜粒子法における陽と陰＞

pi=B[( ρ iρ 0)

γ

−1]

ρ i=∑j≠i

m jW (r ij )

(1)密度

(2)圧力

圧力が陽的に解ける！

- 29 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合＜粒子法における陽と陰＞

pi=??????

ρ i=∑j≠i

m jW (r ij )

(1)密度

(2)圧力

圧力が陽的に解けない！

※非圧縮＝密度が変化しない

- 30 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合どうする？(1)＜粒子法における陽と陰＞

密度の修正量←速度の修正量

(1)密度を戻す

Δ ρΔ t

+ρ ∇ Δu=0

D ρD t

+ρ ∇ u=0連続式　　　　　　　より

- 31 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合どうする？(2)＜粒子法における陽と陰＞

速度の修正量←圧力勾配(2)圧力勾配で戻す

Δ uΔ t

=−1ρ ∇ p

DuDt

= f −1ρ ∇ p+ν ∇

2uNS式　　　　　　　　より

- 32 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合どうする？(3)＜粒子法における陽と陰＞

(1)に代入←(2)の発散(3) 1と2を混ぜる

∇ Δ uΔ t

=−1ρ ∇

2 pΔ ρΔ t

+ρ ∇ Δu=0

∇ 2 p=−ρΔ t

Δ ρΔ t

- 33 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合どうする？(4)＜粒子法における陽と陰＞

(4)ラプラシアンモデル

∇ pi=2dλ n0

∑j≠i

( p j− pi)W (r ij )

標準MPS法の例

∇2 p=−

ρ

Δ tΔ ρ

Δ t

- 34 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

非圧縮の場合どうする？(5)＜粒子法における陽と陰＞

(4)圧力のポアソン方程式

2dλ n0

∑j≠i

( p jk+1− pi

k+1)W (r ij )=−ρ

Δ t2n'−n0

n0

標準MPS法の例

陰解法なら解ける！（ただの連立一次方程式）

- 35 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

粒子法における陽と陰は＜粒子法における陽と陰＞

弱圧縮

非圧縮

陽解法

陰解法

- 36 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

SPHとMPS＜粒子法における陽と陰＞

陽解法（弱圧縮）

陰解法（非圧縮）

SPH WCSPH ISPH

MPS E-MPS （オリジナル）MPSMonagahan, 1994

Koshizuka&Oka, 1996

Shao&Lo, 2003

Oochi&Koshizuka, 2010

- 37 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

陽解法と陰解法の比較

- 38 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較1＜陽と陰の比較＞

陰解法陽解法

→resultExplicit1.mp4 →resultStandard1.mp4

- 39 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較1から＜陽と陰の比較＞

陽解法

陰解法

ふつう

ふつう

- 40 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較2＜陽と陰の比較＞

陰解法陽解法

→resultExplicit2.mp4 →resultStandard2.mp4

- 41 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較2から＜陽と陰の比較＞

陽解法

陰解法

ぽよぽよ

ふつう

弱圧縮のせい？

- 42 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較3＜陽と陰の比較＞

陰解法陽解法

→resultExplicit3.mp4 →resultStandard3.mp4

- 43 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

比較3から＜陽と陰の比較＞

陽解法

陰解法

沈んだ！

ふつう

弱圧縮のせい！

- 44 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

1ステップの計算時間＜陽と陰の比較＞

陽解法

陰解法

超速い

遅い連立一次方程式の解法があるから

- 45 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

1[s]の計算時間＜陽と陰の比較＞

陽解法

陰解法

速い？

遅い？

時間刻み小さい

時間刻み大きい

- 46 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

まとめ

- 47 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

粒子法の陽解法・陰解法＜まとめ＞

[陰解法]

[陽解法] ・弱圧縮性　→精度が落ちる・1ステップの計算時間は速い・時間刻み小さい　→トータルで速い・・・？

・非圧縮性　→精度はそれなり・1ステップの計算時間は遅い・時間刻みは大きい　→トータルで・・・？

- 48 -

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

参考文献＜まとめ＞

・越塚誠一(2006)：『計算力学レクチャーシリーズ5 粒子法』、丸善。　→粒子法/MPS法をやるならまずコレ

・後藤仁志(2004)：『数値流砂水理学 -粒子法による混相流と粒状体の計算力学-』、森北出版。

→格子法・粒子法の分類などに詳しい、DEMについての情報もあり

・土木学会編(2012)：『数値波動水槽 -砕波波浪計算の深化と耐波設計の革新を目指して-』、「8.粒子法による数値波動水槽」、丸善。

→高精度化などの最新情報はココにまとまっている

・W.G.Hoover(2006)：『粒子法による力学 -連続体シミュレーションへの展開-』、志田晃一郎 訳、森北出版。

→SPH法についての本、やや難読感あり

aokomoriuta (2013-10-12): 計算シミュレーション勉強会#1

一部で特別な指定があるものを除き、全ての文章と画像はクリエイティブ・コモンズ 表示-継承または表示-非営利 3.0 非移植で利用可能です。

Otherwise noted, all text and images are availableunder the Creative Commons Attribution-Share Alike or Attribution-Noncommercial 3.0 Unported.

CC-BY-SA: http://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0 CC-BY-NC: http://creativecommons.org/licenses/by-nc/3.0

return 0;