1 3. processi stocastici un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni...

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1 3. Processi Stocastici Un processo stocastico è una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a. Notazione: X : insieme di possibili valori tT : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo, o asse temporale) (t) : funzione di probabilità (o di densità di probabilità nel caso continuo) all’istante di tempo t (X, (t)) tT

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  • 1 3. Processi Stocastici Un processo stocastico una funzione del tempo i cui valori x(t) ad ogni istante di tempo t sono v.a. Notazione: X : insieme di possibili valori t T : generico istante di tempo (T: insieme dei possibili istanti di tempo, o asse temporale) (t) : funzione di probabilit (o di densit di probabilit nel caso continuo) allistante di tempo t (X, (t)) t T
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  • 2 Una realizzazione di un processo stocastico (X, (t)) t T una particolare evoluzione x(t) per t T. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t = 0,1,2, X={0,1} dove x 0 =0 : esce testa e x 1 =1 : esce croce. tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 (X, (0)) (X, (1)) t x i 0 0 1 0 2 1 3 0 : : possibile realizzazione
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  • 3 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. La tabella (tempo, x i, (x i )) uguale alla precedente ma vi sono solo 2 possibili realizzazioni tempo x i (x i ) 0 1/2 1 1/2 0 1/2 1 1/2 : : : 0 1 t x 1 x 2 0 0 1 1 0 1 2 0 1 3 0 1 : : : La tabella (tempo, x i, (x i )) non sufficiente per descrivere completamente un processo stocastico.
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  • 4 I processi stocastici vengono classificati come segue: a stati continui (X un insieme continuo, ad es. X R) a stati discreti (X un insieme discreto, ad es. X={x 1,x 2,,x n }) a stati finiti se n < + a stati infiniti se n = + sono anche detti catene
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  • 5 Esiste anche unaltra classificazione dei processi stocastici a tempo continuo (T un insieme continuo, ad es. T R + {0}) a tempo discreto (T un insieme discreto, ad es. T=N)
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  • 6 Esempi 1) x pari al numero di persone in una coda X={0,1, } spazio di stato discreto T= R + {0} tempo continuo 2) x pari allaltezza di una persona il giorno del suo compleanno X= R + {0} spazio di stato continuo T = {0,1,,n} tempo discreto
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  • 7 Ad un processo stocastico a stati discreti possiamo associare un numero infinito di funzioni di probabilit congiunta: x1,x2,,xn (t 1,t 2,,t n ) = Pr(x(t 1 )=x 1, x(t 2 )=x 2, , x(t n )=x n ) n 1 t 1 < t 2 < < t n x 1, x 2, , x n X Una definizione analoga vale per le densit di probabilit nel caso dei sistemi a stati continui.
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  • 8 Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2, X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. 0 (0) = Pr(x(0)=0) = 1/2 0,0 (0,1) = Pr(x(0)=0, x(1)=0) = 1/4 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. 0 (0) = Pr(x(0)=0) = 1/2 0,0 (0,1) = Pr(x(0)=0, x(1)=0) = 1/2
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  • 9 Processi stocastici stazionari Un p.s. detto stazionario se tutte le sue funzioni di probabilit (o densit di probabilit) sono stazionarie ossia invarianti per traslazioni nel tempo. x1,x2,,xn (t 1,t 2,,t n ) = x1,x2,,xn (t 1 +,t 2 +,,t n + ) n 1 t 1 < t 2 < < t n x 1, x 2, , x n X T N.B. Se un p.s. stazionario allora t T x (t) =
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  • 10 Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2, X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 : Sono p.s. stazionari. Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. x (0) = x (1) = = 1/2
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  • 11 Esempio: Una macchina pu essere guasta x 0 =0 o funzionante x 1 =1 ( X={0,1} ). Vogliamo studiare la probabilit che la macchina sia guasta in un certo anno T={0, 1, , } (anni di funzionamento). Ovviamente la probabilit di guasto aumenta con gli anni. 0 (t)=1-(0.9) t 1 (t)=(0.9) t Non stazionario. 0 1 2 3 : 1 0.9 0.81 0.73
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  • 12 Processi stocastici ergodici Un processo stazionario si dice ergodico se tutte le propriet statistiche possono essere determinate da ununica realizzazione del processo. Il valore atteso della v.a. in un qualunque istante coincide con la media temporale di una qualunque realizzazione. Definizione formale:
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  • 13 processi a tempo discreto processi a tempo continuo Il p.s. ergodico se: 1) il limite esiste 2) tale limite non dipende dalla particolare realizzazione 3) Si consideri un p.s. stazionario e sia la media di ogni v.a. (X, (t)), al tempo t T. Per ogni possibile realizzazione posso calcolare la media temporale:
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  • 14 Lo studio di un p.s. ergodico pu pertanto essere effettuato sulla base di una sola realizzazione. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2, X={0,1} dove x 0 =0 : testa e x 1 =1 : croce. x (0) = 1/2 x (1) = 1/2 Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. Ho solo 2 possibili realizzazioni. Il limite esiste ma dipende dalla realizzazione. ergodico non ergodico
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  • 15 Processi stocastici indipendenti Un p.s. indipendente se i valori assunti dal processo in istanti di tempo diversi sono v.a. indipendenti. Esempio: si lancia una moneta per un numero infinito di volte agli istanti t=0,1,2, Pr(x(2)=0 | x(1)=0) = 1/2 = Pr(x(2)=0) p.s. indipendente Esempio: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0. Pr(x(2)=0 | x(1)=0) = 1 Pr(x(2)=0) p.s. non indipendente
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  • 16 Processi stocastici markoviani Un p.s. markoviano (o di Markov) se la legge di probabilit che governa i cambiamenti di stato in un dato istante di tempo dipende solo dal valore assunto dallo stato nellistante di tempo precedente e non da tutti i precedenti valori assunti dallo stato Pr(x(t n )=x n | x(t n-1 )=x n-1 ) = Pr(x(t n )=x n | x(t n-1 )=x n-1, x(t n-2 )=x n-2, x(t 1 )=x 1 ) Il processo non ha memoria di quanto accaduto prima di raggiungere lo stato attuale.
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  • 17 Esempio di processo non markoviano: Ho un urna con 2 palline, una bianca e una nera. Effettuo delle estrazioni e ogni volta rimetto 2 palline dello stesso colore di quelle che ho tolto. Esempio di Processo markoviano: si lancia una moneta allistante t=0 e la si lascia nella stessa posizione per ogni t > 0.
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  • 18 Processi stocastici semi-markoviani generalizzati Un p.s. semi-markoviano generalizzato una estensione di un p.s. markoviano. In particolare in questo caso la legge di probabilit che governa i cambiamenti di stato in un dato istante di tempo dipende sia dal valore assunto dallo stato nellistante di tempo precedente sia dal tempo di permanenza in tale stato.
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  • 19 Processi di conteggio Un p.s. X(t) detto processo di conteggio se conta il numero totale di eventi accaduti fino al tempo t, ossia nellintervallo (0,t]. I processi di conteggio sono una speciale classe di p.s.: a tempo continuo a stati discreti istanti di tempo in cui si verificano gli eventi numero di eventi
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  • 20 Per definizione un processo di conteggio verifica le seguenti condizioni: (i) X(t) 0 (ii) X(t) N (iii) se t t X(t) X(t) (iv) se t < t la v.a. X(t) - X(t) conta il numero di eventi accaduti in (t,t].
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  • 21 Definizione Un processo di conteggio ammette incrementi indipendenti se t 0, h > 0, le v.a. X(t+ h) - X(t) e X(t) sono tra loro indipendenti. Il numero di eventi in (t,t+ h] indipendente dal numero di eventi in (0,t].
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  • 22 Definizione Un processo di conteggio ammette incrementi stazionari se t, t 0, h > 0, le v.a. X(t+ h) - X(t) e X(t+ h) - X(t) hanno la stessa distribuzione di probabilit. La probabilit di avere un certo numero di eventi in un dato intervallo di tempo dipende solo dallampiezza dellintervallo stesso.
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  • 23 Processo di Poisson Un processo di Poisson un caso particolare di processo di conteggio. particolarmente importante perch un gran numero di fenomeni fisici possono essere descritti (almeno in prima approssimazione) da tale processo: ossia conta gli eventi che si verificano in modo molto casuale ma indipendente dal tempo. N.B. Nel seguito si far sempre lipotesi che due eventi non possano verificarsi mai contemporaneamente.
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  • 24 Definizione Un p.s. X(t), t 0, detto Processo di Poisson con parametro (o intensit, o tasso) se: (i) X(0) = 0 (ii) il processo ha incrementi indipendenti (iii) t 0, h > 0, la v.a. X(t+ h) - X(t) ha distribuzione di Poisson di parametro h. R +
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  • 25 Propriet: Come conseguenza della (iii) t 0, h > 0, la v.a. X(t+ h) - X(t) ha distribuzione di Poisson di parametro h E[X(t)] = t e il processo ha incrementi stazionari. Possiamo pertanto dare la seguente altra definizione di processo di Poisson.
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  • 26 Definizione Un processo di Poisson X(t) un processo di conteggio con incrementi indipendenti e stazionari e tale per cui la v.a. X(t+ h) - X(t) ha distribuzione di Poisson di parametro h, t 0, h > 0. N.B. Il parametro ha le dimensioni dellinverso del tempo e rappresenta il numero di eventi nellunit di tempo. Il rapporto 1/ rappresenta pertanto il tempo medio tra due eventi successivi.
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  • 27 Propriet (la diamo senza dimostrazione): I tempi di inter-evento (ossia i tempi tra due eventi successivi) di un processo di Poisson sono una sequenza di v.a. indipendenti aventi distribuzione esponenziale. In particolare, la corrispondente funzione di densit di probabilit dove il parametro caratteristico del processo di Poisson. Infatti: il tempo medio di inter-evento.
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  • 28 Ricordiamo preliminarmente che nel caso di densit di probabilit esponenziale con parametro, la funzione di distribuzione cumulativa di probabilit vale: F(t) = 1 - e - t Memoryless property Ora, supponiamo che un evento si verifichi al tempo T. Sia T + V il tempo in cui si verifica levento successivo. Supponiamo che al tempo T+z > T levento successivo NON si sia verificato. Si verificato levento [V>z].
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  • 29 TT+zT+z + t V et dellevento Calcoliamo la probabilit che si verifichi levento [V z + t ] per un generico t> 0, dato che si verificato levento [V > z]. Probabilit condizionata
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  • 30 Poich i tempi di inter-evento sono caratterizzati da una distribuzione esponenziale
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  • 31 Tale probabilit condizionata verifica allora le seguenti propriet: (1) non dipende da z (2) identica a F(t) = Pr[V t] Questa la propriet memoryless (priva di memoria) della distribuzione esponenziale.
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  • 32 Teorema (la diamo senza dimostrazione): La memoryless property vale per qualunque distribuzione esponenziale e se una distribuzione gode della memoryless property deve necessariamente essere esponenziale. Riassumendo: Processo di Poisson Tempi di inter- evento esponenziali Memoryless property
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  • 33 Propriet: Il p.s. risultante dalla sovrapposizione di m processi di Poisson mutuamente indipendenti, caratterizzati dai parametri i, i=1, , m, ancora un processo di Poisson caratterizzato dal parametro = 1 + + m.
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  • 34 Esempio: Il processo degli arrivi in coda ad un semaforo Poissoniano? Se il precedente semaforo molto lontano potrebbe esserlo poich gli arrivi sarebbero indipendenti. Se invece il precedente semaforo vicino, allora le macchine arrivano generalmente a piccoli gruppi e non sono indipendenti. Questo naturalmente nellipotesi che il flusso delle macchine sia indipendente dal tempo.