1. 2 o problema do corte unidimensional indústrias de papel, tecido, vidro, barras de aço, entre...
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O Problema do Corte Unidimensional
Indústrias de papel, tecido, vidro, barras de aço , entre outras,fabricam seus produtos em peças de tamanho fixo (tamanhopadrão). Estas peças são depois divididas em tamanhosmenores a serem definidos de acordo com a necessidade docliente. O problema do corte consiste em determinar comocortar o menor número de peças de tamanho padrão L,atendendo a uma demanda , bi, por itens de tamanho li,
i=1,...,m.
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O Problema do Corte Unidimensional
Peça Padrão de tamanho L:
L
l1 l2 l3
Itens pedidos:
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O Problema do Corte Unidimensional
Esquemas de corte:Esquema 1:5 peças l1 l1 l1 l1 l1
L
l1
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O Problema do Corte Unidimensional
Esquemas de corte:Esquema 1:5 peças l1
Esquema 2:2 peças l2
l1 l1 l1 l1
L
l1
l2
L
l2
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O Problema do Corte Unidimensional
Esquemas de corte:Esquema 1:5 peças l1
Esquema 2:2 peças l2
Esquema 3:1 peça l2
2 peças l3
l1l1 l1 l1
L
l1
l2
L
l2
L
l2 l3 l3
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O Problema do Corte Unidimensional
Como Definir um Esquema de corte?Encontrar as soluções da seguinte equação:
Lylylyl mm ...2211
m1,...,j inteiro, e 0 jy
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O Problema da Mochila Inteiro
Cxpxpxp nn ...2211
nnxvxvxv ...zmax 2211
m1,...,j inteiro, e 0 jx
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O Problema do Corte Unidimensional
Vamos considerar um problema onde:L = 170 cml1= 30 cm, l2=50cm, l3=55cm
e a demanda para os itens menores é:d1= 80, d2=120, d3=110
Quantos esquemas de corte são possíveis?
170555030 321 yyy1,2,3j inteiro, e 0 jy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1
l1 0l2 0l3 1perda 115
170555030 321 yyy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1 19
l1 0 2l2 0 0l3 1 2perda 115 0
170555030 321 yyy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1 19 22
l1 0 2 3l2 0 0 1l3 1 2 0perda 115 0 30
170555030 321 yyy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1 19 22 23
l1 0 2 3 4l2 0 0 1 1l3 1 2 0 0perda 115 0 30 0
170555030 321 yyy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1 19 22 23 24
l1 0 2 3 4 1l2 0 0 1 1 2l3 1 2 0 0 0perda 115 0 30 0 5
170555030 321 yyy
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O Problema do Corte Unidimensional
Existem 27 esquemas de corte possíveis. Entre estes temos:
1 19 22 23 24 27
l1 0 2 3 4 1 2l2 0 0 1 1 2 1l3 1 2 0 0 0 1perda 115 0 30 0 5 40
170555030 321 yyy
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos:
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos:
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema
de corte será usado
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema
de corte será usado
objetivo a ser alcançado:
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21
Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema
de corte será usado
objetivo a ser alcançado: usar o menor número possível de
esquemas de corte
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema
de corte será usado
objetivo a ser alcançado: usar o menor número possível de
esquemas de corte
restrições:
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Neste problema temos:
elementos conhecidos: esquema de corte, demanda de cada ítem
elementos desconhecidos: quantas vezes um determinado esquema
de corte será usado
objetivo a ser alcançado: usar o menor número possível de
esquemas de corte
restrições: o número de itens obtidos com os esquemas de corte
usados de ser maior ou igual a demanda
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
jx
VARIÁVEIS DE DECISÃO
Quantas vezes usar um determinado esquema de corte
Faça j = 1,2,3,...n representar os diversos esquemas de corte
Defina então: = número de vezes que o esquema de corte j será usado.
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
Objetivo aObjetivo aUsar o menor número possível de esquemas de corte:
Objetivo bObjetivo bSeja rj a perda associada ao esquema de corte jMinimizar a perda total:
nxxxz ...min 21
nnxrxrxrz ...min 2211
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Construindo um modelo para o Problema do Corte Unidimensional
RestriçõesO número de itens obtidos de cada tipo deve ser maior ou
igual a demanda.
Seja aij o número de peças do tipo i obtidas usando o esquema de corte j. Para atender a demanda do item 1 temos que:
11212111 ... bxaxaxa nn
ininii bxaxaxa ...2211
De uma maneira geral, a restrição relativa ao item i é dada por:
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Modelo de Otimização Para o Problema do Corte Unidimensional
(Objetivo a)(Objetivo a)
inteiras e ,0,...,...
.........
a sujeito...max)min(
21
2211
22222122
11212111
21
n
mnmnmm
nn
nn
n
xxxbxaxaxa
bxaxaxabxaxaxa
xxxzou
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Modelo de Otimização Para o Problema do Corte Unidimensional
Podemos escrever as restrições do problema na forma matricial:
mnmnmm
n
n
b
bb
x
xx
aaa
aaaaaa
2
1
2
1
21
22221
11211
*...
.........
Observe que cada coluna da matriz esta associada aum esquema de corte.
Em geral n ==>
Impossível de ser gerado ou mesmo armazenado:Geração de colunas - Problema da Mochila
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Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1a
• Considerando apenas 6 padrões de corte:
inteiro,0,,,,,
11012080
112
021
014
013
202
100
a sujeito min
27242322191
27242322191
27242322191
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxz
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30
Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1a - Solução
Considerando apenas 6 padrões de corte:LP OPTIMUM FOUND AT STEP 3 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 115.0000
Usar:Usar:o o esquema de corte 19esquema de corte 19 55 vezes 55 vezes AAtt
19 19 = (2, 0, 2)= (2, 0, 2)o o esquema de corte 24esquema de corte 24 60 vezes 60 vezes AAtt
24 24 = (1,2, 0)= (1,2, 0) com sobra de 90 itens do tipo 1com sobra de 90 itens do tipo 1
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Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1b
• Considerando apenas 6 padrões de corte:
inteiro,0,,,,,
11012080
112
021
014
013
202
100
a sujeito 5400300115min
27242322191
27242322191
27242322191
xxxxxx
xxxxxx
xxxxxxz
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Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1b - Solução
Considerando apenas 6 padrões de corte:
LP OPTIMUM FOUND AT STEP 2 OBJECTIVE FUNCTION VALUE 1) 0.0000000E+00
Usar:Usar: o o esquema de corte 19esquema de corte 19 55 vezes 55 vezes AAtt
19 19 = (2, 0, 2)= (2, 0, 2) o o esquema de corte 23esquema de corte 23 120 vezes 120 vezesAAtt
23 23 = (4, 0, 1)= (4, 0, 1)teremos sobra de 510 itens do tipo 1teremos sobra de 510 itens do tipo 1
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33
Esquemas de corte para o Problema do Corte Unidimensional - Exemplo 1
0 0 0 0 0 0 1 2 3 4 5 0 0 0 1 2 3 1 2 1 2 3 4 1 2 1 2
0 0 0 1 2 3 0 0 0 0 0 1 2 1 0 0 0 0 0 1 1 1 1 2 2 1 1
1 2 3 0 0 0 0 0 0 0 0 1 1 2 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 0 1 1
Existem 27 esquemas de corte
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34
Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1a - Solução
Considerando todos os esquemas de corte possíveis (27):
Usar:Usar: o o esquema de corte 3esquema de corte 3 30 vezes: 30 vezes:AAtt
3 3 = (0, 0, 3)= (0, 0, 3) o o esquema de corte 13esquema de corte 13 20 vezes 20 vezes AAtt
1313= (0, 2, 1)= (0, 2, 1)o o esquema de corte 25esquema de corte 25 40 vezes 40 vezesAAtt
2525= (2, 2,0)= (2, 2,0)
Não há sobra de itensNão há sobra de itens
Custo total = 90Custo total = 90
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Problema do Corte Unidimensional Exemplo 1b - Solução
Considerando todos os esquemas de corte possíveis (27):
Usar:Usar:
o o esquema de corte 19esquema de corte 19 55 vezes: 55 vezes:
AAtt19 19 = (2, 0, 2)= (2, 0, 2)
o o esquema de corte 23esquema de corte 23 120 vezes 120 vezes AAtt
2323= (4, 1, 0)= (4, 1, 0)
Sobram 510 itens do tipo 1Sobram 510 itens do tipo 1
Custo total = 0Custo total = 0