1 2. funciones de variable compleja gary larson. 2 conjuntos de puntos en el plano complejo un...
TRANSCRIPT
1
2. Funciones de variable compleja
Gary Larson
2
Conjuntos de puntos en el plano complejo
Un conjunto S de puntos en el plano complejo es cualquier colección finita o infinita de puntos en el plano complejo. Por ejemplo las soluciones de una ecuación cuadrática, los puntos de una línea, los puntos del interior de un círculo, etc.
¿Qué lugares geométricos describen las siguientes ecuaciones?
zArg
La ecuación Arg z= define una semirecta infinita de pendiente . Entonces la desigualdad anterior define un sector infinito comprendido entre las semirectas infinitas Arg z= y Arg z= .
)Arg( ozz (...)
3
4
5
Un conjunto de puntos S se llama abierto si cada punto de S tiene un vecindad constituida enteramente por puntos que pertenecen a S. Por ejemplo los puntos del interior de un círculo o un cuadrado.
El complementario de un conjunto de puntos S es el conjunto de todos los puntos que no pertenecen a S.
Un conjunto de puntos S se llama cerrado si su complementario es abierto. Ej.: los puntos sobre y dentro de una circunferencia o un cuadrado, puesto que sus complementarios (los puntos exteriores a la circunferencia
o al cuadrado) son abiertos.
6
La distancia entre dos puntos z y a es |z-a|. De modo que un círculo C de radio y centrado en a, puede expresarse como:
|z-a| =
a
x
y z
En particular, el círculo de radio unidad centrado en el origen puede escribirse
como: |z| = 1x
y
1
i
¿C es abierto o cerrado?
7
Los puntos dentro del círculo C vienen representados por:
|z-a| < (un entorno abierto centrado en a).
define un entorno circular cerrado centrado en a.
a
x
y z
a
x
y z
0 < |z-a| < define un entorno punteado o reducido.
|z-a|
}||/{),( azCzaB
8
El anillo abierto de radios 1 y 2, viene
dado por: 1 < |z-a| < 2
a1
x
y
2
9
(1) Determina la región en el plano complejo dada por:
|z-3-i| ≤ 4Es la región circular cerrada de radio 4con centro en 3+i.
(2) Determina las regiones: (a) |z|<1; (b) |z| ≤ 1; (c) |z| >1
4
x
y
3+i
(a) Círculo unidad abierto (b) Círculo unidad cerrado (c) Exterior del círculo unidad.
10
Re(z) 1 (No es un conjunto abierto).
11
12
¿Qué lugar geométrico describe la siguiente ecuación?
5|2||2| zzUna elipse de focos en -2 y 2 (suma de distancias a los focos igual a 5) con semieje mayor igual a 5/2).
2-2
Ejercicio: ¿Qué representan las siguientes ecuaciones?
cbzazc
cbzazb
cbzaza
||||)(
||||)(
||||)(
13
¿Qué lugar geométrico describen las siguientes ecuaciones:
1Im||)(
3)Re(|2|)(
||||)(
zizf
zze
cbzazd
Nota: Busca las definiciones de parábola e hipérbola.
14
• Un punto interior de un conjunto S es un punto para el que podemos encontrar un entorno o vecindad cuyos puntos pertenecen todos a S. Por ejemplo, el centro de un círculo. • Un punto frontera de un conjunto S es un punto tal que todo entorno alrededor de él contiene puntos que pertenecen a S y que no pertenecen a S. Por ejemplo los puntos que forman la frontera de un círculo.• Si un punto no es interior ni frontera de un conjunto de puntos S, entonces es un punto exterior a S.• Entonces, si S es abierto no posee puntos frontera, solo puntos interiores. Si S es cerrado posee también a sus puntos frontera.• Algunos conjuntos no son ni abiertos ni cerrados. Contienen algunos puntos frontera. Por ejemplo un entorno punteado.• El plano complejo C es abierto y cerrado a la vez. No posee puntos
frontera.
15
• Una región es un conjunto formado por un dominio, más, quizás, algunos o todos sus puntos frontera (Cuidado: algunos autores usan región para indicar dominio).• Un conjunto es acotado si todo punto de S está dentro de algún círculo |z| = R. En caso contrario es no acotado.• Un punto de S se dice que es de acumulación si cada entorno punteado del mismo contiene al menos un punto de S.Entonces, si S es cerrado contiene a todos sus puntos de acumulación.• Un punto no es de acumulación si existe un entorno punteado del mismo que no contenga puntos de S. P.ej.: Todos los puntos del conjunto S = {i/n} (n = 1,2,...) no son de acumulación a excepción del cero.
16
Semiplanos infinitos
x
y
Inferior: z = x+iy tales que y < 0 o Im(z) < 0.
Semiplano superior: el conjunto de todos los puntos z = x+iy tales que y > 0 o Im(z) > 0.
Derecho: z = x+iy tales que x > 0 o Re(z) > 0.
Izquierdo: z = x+iy tales que x < 0 o Re(z) < 0
x
y
x
y
x
y
¿Qué regiones describen?(a) Im(z) = 0, (b) Im(z) = a, (c) Re(z) = 0, (d) Re(z) = a
17
18
Conjuntos de Julia
Iteración:2
1 nn zz Condición inicial y órbita:
,...,,,...)(,)(, 210
220
200 zzzzzz
Utilizando la identidad de Moivre:
),...4sin4(cos),2sin2(cos),sin(cos
,...))sin(cos(,))sin(cos(),sin(cos
)sin(cos
42
222
0
iririr
iririr
irz
Gaston Maurice Julia1893 - 1978
Cuando decía en 1980 a mis amigos que estaba trabajando con H. Hubbard en el estudio de polinomios de grado 2 en variable compleja (y más específicamente en z z2 + c ), me preguntaban: ¿Esperas encontrar alguna cosa nueva? Adrien Douady
19
)]2sin()2[cos(2 ninrzn
n
En el paso enésimo tendremos:
Si comenzamos con un número complejo de módulo r < 1, sucesivamente el módulo irá disminuyendo hasta tomar valor r = 0 para n infinito.
Al contrario, si r > 1 el módulo aumentará exponencialmente, tendiendo a infinito.
El caso frontera, r = 1, mantendrá los valores de la iteración en un círculo de radio unidad sobre el plano complejo.
20
De modo que todos los puntos del plano complejo pertenecen a uno de estos dos conjuntos:
(a) Si escapan al infinito (r > 1): conjunto de escape E.En este caso los puntos exteriores del círculo unidad.
La frontera de P (r = 1) es el conjunto de Julia de esta iteración: la circunferencia unidad.
(b) Si permanecen recluidos en una región finita (r 1): conjunto prisionero P. En este caso el círculo unidad cerrado.
21
Julia centró sus estudios en el conjunto de iteraciones cuadráticas:
Fijado el parámetro complejo c establecemos una iteración cuadrática en concreto.
czz nn 2
1
Al potenciar el módulo, la iteración nos manda al origen o al infinito, excepto para el módulo de valor 1 (con c = 0).
Elevar al cuadrado implica multiplicar el ángulo por dos.
Sumar c = a + ib, consiste en una traslación.
22
c = 0.275
c = 1/4
c = 0
c = -3/4
c = -1.312
c = -1.375
c = -2
c = i
c=(+0.285,+0.535)
c=(-0.125,+0.750)
c=(-0.500,+0.563)
c=(-0.687,+0.312)
23
¿Cómo discriminar si un punto del plano complejo pertenece o no al conjunto de escape Ec?
Existe un sencillo criterio:
Si |z| |c| y |z| > 2, entonces z es un punto de escape de la iteración zn+1 = zn
2 + c.
Supongamos que definimos r(c) = max (|c|, 2), y que se cumplen las condiciones del criterio. Entonces, existe un > 0 tal que r(c) = 2 + y |z| r(c).
24
Observemos que:
|z2 + c| |z2| - |c| = |z|2 - |c| |z|2 - |z| = (|z| - 1)·|z|
Recordemos que |z| r(c) = 2 + . Entonces:
(|z| - 1)·|z| (1 + )·|z|.
En conclusión, si z cumple las condiciones previas, entonces: |z2 + c| (1 + )·|z|.
De modo que en cada iteración el módulo del nuevo valor crece.
25
•Fractint/Winfract•Ultrafractal (UF) probablemente es el programa de generación de fractales más usado por la comunidad de ciberartistas que experimentan con fractales.
•Puedes bajarte una versión de evaluación en http://www.ultrafractal.com/, la página oficial del programa.
•No te pierdas la galería de imágenes en: http://www.ultrafractal.com/showcase.html. Te harás una idea de las posibilidades de UF.
Ejecutar Ultrafractal localmente.
Curso de fractales en nuestra página del departamento:http://matap.dmae.upm.es/cursofractales/index.html
26
Conjuntos conexos
¿Son los siguientes conjuntos de puntos dominios?
No existe camino entre el triángulo inferior y el triángulo superior.
a
x
yUn disco abierto
a
1
x
y
2
Un anilloabierto
x
y
Un cuadrado abierto sin diagonal.
Un conjunto S se llama conexo si cualquier par de sus puntos pueden conectarse mediante un camino formado por puntos que pertenecen a S. Un abierto conexo se denomina dominio (en algunos textos se denomina región). P.ej.: todo entorno es un dominio.
27
Teorema:
Cualesquiera dos puntos de un dominio pueden unirse por medio de una línea poligonal contenida en el dominio.
28
El conjunto de Mandelbrot
Benoit Mandelbrot(1924 -)
29
czz nn 2
1
30
El valor de c determina si un conjunto de Julia es conexo o no.Para determinar qué valores de c producen conjuntos de Julia conexos parece que no quede más remedio que determinar cada conjunto iterando todos los puntos del plano complejo para cada función z2 + c.
Afortunadamente, se puede demostrar que basta con iterar z0 = (0, 0) para cada c.
czz nn 2
1
31
Si la órbita con semilla z0 = (0, 0) no escapa al infinito, entonces el conjunto de Julia es conexo.
El conjunto de todos los valores c tales que sus correspondientes conjuntos de Julia son conexos forman en el plano complejo el famoso conjunto de Mandelbrot.
Este es el dibujo original que Mandelbrot descubrió a la comunidad científica a finales de los 70 cuando trabajaba en el centro de investigación Thomas J. Watson.
32
En la figura de la izquierda están representados algunos conjuntos de Julia con distintos valores de c (indicados en el plano complejo por las líneas de color azul). Para valores de c dentro del conjunto de Mandelbrot la forma de los conjuntos de Julia es semejante a círculos. Fuera del conjunto tenemos nubes de puntos desconectados (conjuntos de Julia no conexos). Los conjuntos de Julia más interesantes estéticamente se observan en la frontera. Las formas dendríticas de los conjuntos de Julia corresponden a las fronteras filamentosas del conjunto de Mandelbrot. En la imagen inferior puedes observar un gif animado del efecto de la variación continua del parámetro c en las formas de los conjuntos J a lo largo de una línea que va desde la frontera de M (forma dendrítica) hasta su interior (forma circular).
33
34
35
36
37
38
Funciones complejasSea S un conjunto de números complejos z = x+iy.Una función f definida sobre S es una regla que asigna acada z en S un número complejo w llamado valor de f en z.
w = f(z)– z es una variable compleja.– S es el dominio de definición de f.– El conjunto de valores de la función f se llama rango de f.
Como w es complejo (w = u+i v; con u y v reales) podemos escribir:
w = f(z) = u(x,y) + i v(x,y)– Una función compleja f(z) es equivalente a un par de funciones reales
u(x,y) y v(x,y), cada una dependiente de dos variables reales x e y.
39
),( yxu
),( yxv
Ejemplos:)(zfw
)2()(
)(
)(
22
2
2
xyiyx
iyx
zzf
),(),( yxviyxuw
Función de variable compleja
),( yxu ),( yxv
)62()26(
)(6)(2
62)(
yxiyx
yixyixi
zizzf
)(zf
iz 23
i
i
yxiyxzf
614
)2632()2236(
)62()26()(
¿Cuál es el valor de en ?
Parte real Parte imaginaria
¿Cuáles son los dominios de definición de estasfunciones?
40
Ejemplos: • Polinomios de grado n:
donde c0, c1...cn son constantes complejas y cn es distinto de cero.• Funciones racionales (cocientes de polinomios):
• Si en f(z) = u+iv, v = v(x,y) = 0, entonces f es una función de variable compleja con valores reales. P.ej.: f(z)= |z|2 = x2 + y2 .
nn zczczczczcczP 4
43
32
210)(
)(
)(
zQ
zP
41
42
x
Funciones de variable real
)(xfy
2)( xxf
Representación geométrica cartesiana
Variable real
y
Asignación
43
x
)(zfw2)( zzf
y
i1
i2
1
Funciones de variable compleja
¿Cómo representarlas geométricamente?
Parte imaginaria
1
Asignación Parte real
Imagen
Preimagen. ¿Cuál es la otra?
1)1()1( 2 f
iiif 2)1()1( 2
44
Representación mediante dos planos: z y w
yixz
iz 13
iz 212 iz 21
viuw
iw 431
iw 432
14 z
14 w
iw 23
x
yPlano z
2)( zzf
u
vPlano w
¿Cómo transforman ?zf(z)(c) iz, f(z)(b) c, zf(z)(a)
45
46
Transformaciones mediante funciones lineales
Existen muchas situaciones prácticas donde podemos simplificar un problema mediante una transformación en el plano complejo.
),(),(
),(con)(
21
21
cycxwyxz
cccczzfw
Translación:
)|,|(),(
)]sin()[cos(||)sin(cos
)sin(cos||con)(
brr
ibrirz
ibbbzzfw
Rotación alrededor del origen y alargamiento/contracción:
47
Funciones lineales
cbzzfw )( Translación
Rotación y alargamiento/contracción
Ejemplo: )1()( iizzfwEsta función transforma el cuadrado A en el cuadrado B.
48
2)( zzf
x
y
u
v
)]2sin()2[cos(22 irzwz La función/transformación
¿Es biyectiva la transformación?
Plano z Plano w
49
2)( zzf
x
y
u
v
)]2sin()2[cos(22 irzwz
¿Cómo puede ser? Si a cada punto de la semicircunferencia del plano z le corresponde un solo punto del plano w, ¿cómo media circunferencia se transforma en una entera? ¿No hay el doble de puntos en una circunferencia que en media?
Plano z Plano w
50
]1,0[;)1()( 2 zzzf
51
]1,0[;)1()( 2 zzzf
52
0),( yxF
)()()( tiytxtzz
),(),()( yxivyxuzfw
0),( vu
Curva en el plano z
Transformación f(z)
Curva en el plano w
Parametrizamos la curva:
)](),([)(
)](),([)(
tytxvtv
tytxutu
Obtenemos la transformación de la parametrización:
Y de aquí la curva transformada:
En general
53
¿En qué curva se transforma una circunferencia de radio unidad centrado en el origen a través de la función f(z)=z2?
)2()(
)()(22
22
xyiyx
iyxzzf
01),( 22 yxyxF
ttyttxiyxz
ttittzz
sin)(,cos)(;
)2,0[,sincos)(
)2sin(sincos2)(
)2cos()(sin)(cos)( 22
ttttv
ttttu
01),( 22 vuvuLa imagen traza una circunferencia de radio unidad centrada en el origen dando dos vueltas.
Circunferencia de radio unidad centrada en el origen:
Parametrizamos. Todos los puntos de la cincurferencia pueden expresarse como:
La transformación es:
xyyxv
yxyxu
2),(
),( 22
En componentes:
Usando la parametrización:
Que nos proporciona la curva:
54
]1,0[;)1()( 2 zzzf
55
Encuentra la imagen de la línea Re(z) = 1 bajo la transformación f(z) = z2.
Re(z) = x = 1, yxyyxv
yyxyxu
iyxzzf
22) ,(
1) ,(
)()(222
22
4/1 entonces ,2/ 2vuvy
56
¿En qué curvas se transforman rectas verticales en el plano z a través de la función f(z)=z2 en el plano w?
kx
kyxyyxv
ykyxyxu
22),(
),( 2222
iykz
La ecuación de un parábola abierta hacia la izquierda: con vértice en (k2, 0) y foco en el origen.
Idem para rectas horizontales (pero serán parábolas hacia la derecha):
)(4
2
222
2
kukv
k
vy
uky
ikxz
ky
kxxyyxv
kxyxyxu
22),(
),( 2222
)(4
2
222
2
kukv
k
vx
kux
57
Tomemos como dominio un rectángulo con esquinas en ±3/2±3/2i. Observacomo las líneas verticales, formadas por complejos de parte real constante, seconvierten en parábolas abiertas hacia la izquierda. Y las líneas horizontales,formadas por números complejos de parte imaginaria constante, en parábolasabiertas a la derecha. Observa también como los ángulos entre rectas amarillas y
rosas siguen siendo rectos: la transformación es conforme..
http://www.ima.umn.edu/~arnold/complex.html Douglas N. Arnold
58
]1,0[;)1()( 2 zzzf
59
60
61
)2,(),(
2),(),(22
22
xyyxyx
xyyxvyxyxu
Observa que puestoque la transformación w = f(z) = z2 es:
Los puntos z sobre la hipérbola x2 – y2 = k se transforman en lineas u = k.Los puntos z sobre la hipérbola 2xy = k’ se transforman en lineas v = k’.
62
f(z) = z2
Esquema de color dependiente del valor real
Dominio Rango
http://winnie.fit.edu/~gabdo/function.html
63
f(z) = z3
Esquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
64
65
Límite de una función compleja
Una función f(z) se dice que tiene límite w0 cuando z tiende a z0, y se escribe:
u
si f está definida en un entorno de z0 (a excepción tal vez de z0 mismo) y si: real > 0, un real > 0: z z0 , y |z - z0| < , entonces |f(z) - w0| < .
0)(lim0
wzfzz
x
z0
y
z
w0
v
f(z)
En general =(, z0) Si el límite existe, es único.
Es decir: si dado un entorno de radio alrededor del límite, podemos determinar un entorno de radio (, z0) alrededor de z0.
66
Observemos que como en el caso de variable real, la definición de límite no nos dice cómo encontrarlo. Demostremos que: iiz
iz2)(lim
|||2)(||)(|
||||
)(
0
0
iziizwzf
izzz
izzf
Utilizando la notación anterior, tenemos en este caso:
||0 iz
||0 iz
Tomando = , por ejemplo, siempre se cumple.
Ejercicio: Demostrar que si el límite existe,es único. (Nota: Suponer dos valores distintos para el límite, aplicar definiciones y demostrar entonces que ambos valores han de ser, a la fuerza, el mismo).
67
¿Cuál es el equivalente a límite por la derecha y por la izquierda de variable real en el caso de variable compleja?En el plano complejo podemos acercarnos al límite a través de una infinidad de trayectorias. Por ejemplo:
zzf Arg)(
x
y
0z1C
2CToda vecindad de z0 contienevalores de Arg z en el segundocuadrante arbitrariamente cerca de , pero también del tercer cuadrante arbitrariamente cerca de . Acercándonos por C1 y porC2 obtenemos dos valores distintos del límite.
zArg
68
Ejemplo
yx
yyi
yx
xxzf
)(
)(22
Esta función no está definida para z = x+iy = 0, (x = 0, y = 0).Veamos que no existe el límite de la función cuando z tiende a 0.
(1) Nos aproximamos al origen a lo largo del eje y. Tomandox=0 en f(z), tenemos:
)1()(
)(2
0
yiy
yyizf x
Que se aproxima a i, a medida que nos acercamos al origen.
(2) Tomando y=0 nos aproximamos a lo largo del eje x:
1)(2
0
x
x
xxzf
y
Que tiende a 1.Como el límite por ambos caminos no coincide, el límite no existe.
69
70
Ejercicios:
(1) Sean: 000000 y),,(),()( ivuwiyxzyxviyxuzf Entonces:
0),(),(
0),(),(
0
),(limy),(lim
sii)(lim
0000
0
vyxvuyxu
wzf
yxyxyxyx
zz
Nota: Utilizar la definición de límite y la desigualdad:
(2) Demostrar que si
|||)(|lim)(lim 0000
wzfwzfzzzz
|)(||||)(| 00 wzfwzf
71
Propiedades de los límites Sean w0 y w'0 los límites, cuando z
tiende a z0, de f(z) y g(z) respectivamente. Entonces:
En particular si f(z) = g(z) = z :
y por inducción: Como además:
Entonces, para un polinomio P(z) = a0+a1z+...+anzn,
tendremos:
0si)(
)(lim
)]()([lim)]()([lim
'0'
0
0
'00
'00
0
00
ww
w
zg
zf
wwzgzfwwzgzf
zz
zzzz
20
2
0
lim wzzz
nn
zzwz 0
0
lim
cczz
0
lim
)()(lim 00
zPzPzz
Nota: Es fácil demostrar estas propiedades a partir de u(x,y) y v(x,y).
72
)(lim)(lim00
zfzfzzzz
Ejercicio: Demostrar que
73
Punto del infinito
74
Punto del infinito•El número complejo infinito o punto del infinito, denotado por , no posee signo ni argumento.
•Su módulo es mayor que |z| para todo z complejo.
•¿Es un punto del plano complejo? No es localizable, pero sí “alcanzable” a través de cualquier trayectoria en la que |z| sea creciente.
•Se “opera” como en los reales. Por ejemlo:z / = 0, z/0 = , etc.
•Cuando el plano complejo incluye al punto del infinito , hablamos de plano complejo extendido.
75
Ejemplo: Sea2
1)(
z
zzf
Determina la imagen para z = ∞.
11
12
1
11
lim2
1lim)(lim
z
zz
zzf
zzz
Cuando z tiende a infinito obtenemos f(z) = 1.
Nota. Una forma alternativa de encontrar el valor en el infinito es encontrar la imagen de 1/z para z =0.
121
1lim
21
11
lim1
lim000
z
z
z
zz
fzzz
76
01
1lim)(lim
1lim)(lim
0)(
1lim)(lim
0
00
0
00
zf
zf
wz
fwzf
zfzf
zz
zz
zzzz
Algunas relaciones útiles:
77
78
79
Sol.: a) 4, b) ∞, c) ∞, d) 0, e) No existe, f) 6i.
Sol.: No existe.
80
Bernhard Riemann(1826 - 1866)
Esfera de radio unidad centrada en el cero del plano complejo.Proyección estereográfica: hacemos corresponder cada punto del plano con un punto de la esfera como muestra la gráfica. El polo norte N de la esfera corresponde al punto del infinito.
La esfera de Riemann
81
Otra forma de la esfera de Riemann
Ahora ya podemos definir límites al infinito. Si
para todo real > 0, un real > 0: |f(z) - w0| < para todo z: |z|> 1/.
0)(lim wzfz
O: si para todo real > 0, un real > 0:
|f(z)| < 1/ siempre que |z - z0| < .
)(lim0
zfzz
82
)Arg(|| zrz Espiral de Arquímedes. Dado que , la ecuación anterior solo representa una espira de la espiral.
Espirales esféricas de M.C. Escher
La proyección estereográfica tiene dos propiedades importantes: las circunferencias siempre se transforman en circunferencias y la transformación conserva ángulos.
zArg
83
84
85
Funciones complejas continuas
Decimos que f(z) es continua
en una región si es continua
en todo punto de la región.
Una función f(z) se dice que es continua en z = z0 si f(z0)
está definida en z0 y )()(lim 00
zfzfzz
Ejercicio:Las sumas, diferencias y productos de funciones continuas son continuas. El cociente de dos funciones continuas es continuo salvo en los puntos en que se anula el denominador. La composición de funciones continuas es continua. Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea. Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.
(Nota: si en el límite = (, z0) no depende de z0, la continuidad es uniforme).
86
Ejemplo:Sea:
izi
iziz
zzf
,3
,1
)(
2
¿Es continua f(z) en z = i? (1) f(i) = 3i está definido. (2) Calculemos el límite de la función cuando z tiende a i:
iiziz
iziz
iz
ziziziz
2)(lim))((
lim1
lim2
El límite existe pero no coincide con el valor de la función: la función no es continua.
87
Funciones continuas
Ejercicios:
(1) Sea f(z) = u(x,y) + iv(x,y), entonces u y v serán continuas en todo punto en el que f(z) lo sea.
(2) Y a la inversa: f(z) será continua en todo punto en que u(x,y) y v(x,y) lo sean.
Nota: Recuerda que, u(x,y) será continua en (a,b) sii lim(x,y)→(a,b) u(x,y) = u(a,b).
88
Transformación w = f(z) = 1/z
En este caso la transformación sí es biyectiva, excluyendo al origen. En coordenadas polares la transformación es:
),/1(),( rrUna inversión en el círculo unidad (lo de fuera pasa adentro y al contrario) seguida de una reflexión respecto al eje x.
Las circunferencias de radio r se convierten en circunferencias de radio 1/r. En particular, una circunferencia de radio unidad permanece invariante.
89
f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
),/1(),( rr
Biyección
"We may thus think of the interior of the unit circle as a condensed image, a microcosmos, of its exterior". To infinity and beyond, Eli Maor
90
f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del módulo
Dominio Rango
),/1(),( rr
?
¿Qué figura permanece invariante?
91http://mathworld.wolfram.com/Inversion.html
Gardner, M. The Sixth Book of Mathematical Games from Scientific American. Chicago, IL: University of Chicago Press, 1984.
92
Una línea que pase por el centro O, permanece invariante...
Una línea que no pase por el centro O se transforma en un círculo k que pasa por O (y al revés) y está completamente dentro del círculo unitario de inversión c.
Si la línea es tangente al círculo unitario de inversión c, el círculo k toca en el mismo punto a la línea y al centro O.
...
Planos z y w superpuestos
Vamos a describirlo con algo de mates...
93
2222
2222
2222
;
:entesimétricamy
;
;1
);,(),(11
)(
yx
yv
yx
xu
vu
vy
vu
ux
vu
vi
vu
u
ivuiyx
yxivyxuiyxz
zf
Veamos con más detalle la transformación f(z) = 1/z.
94
Ejemplo: ¿Cuál es la imagen de la recta x = c bajo la transformación f(z) = 1/z?
Es decir, un círculo de centro (1/(2c), 0) que pasa por el origen.El semiplano x > c se transforma en el interior del círculo.
22
222
2222
2222
2
1
2
1;0
;;
)valorcualquier(:esrtransformaarectaLa
;1
;11
)(
cv
cu
c
uvu
vu
vyc
vu
ux
ycx
vu
vi
vu
u
ivuiyxivu
iyxzzf
95
recta una deecuación 0círculoun deecuación 0
),,,(0)( 22
aa
dcbadcybxyxa
Podemos escribir la ecuación general de un círculo y una recta en el plano z en la forma:
0)(
0
0
;
0)(
22
22
2222
2
22
2
22
2222
22
acvbuvud
dvu
cvbua
dvu
vc
vu
ub
vu
v
vu
ua
vu
vy
vu
ux
dcybxyxa
Bajo la transformación 1/z, la ecuación general se convertirá en:
96
recta una deecuación 0círculoun deecuación 0
),,,(0)( 22
aa
dcbadcybxyxa
(1)a y d distintos de 0: círculos que no pasan por el centro se transforman en círculos que no pasan por el centro.
(2) a distinto de 0 y d = 0: círculos que pasan por el centro se transforman en rectas que no pasan por el centro.
(3) a = 0 y d distinto de 0: rectas que no pasan por el centro se transforman en círculos que pasan por el centro.
(4) a = d = 0: rectas que pasan por el centro se transforman en rectas que pasan por el centro.
0)( 22 acvbuvudSe transforma bajo 1/z en:
De hecho, si pensamos en rectas como círculos de radio infinito, 1/z transforma círculos en círculos.
recta una deecuación 0círculoun deecuación 0 dd
97
f(z) = 1/zEsquema de color dependiente del argumento
Dominio Rango
98
u = 1/a
u = -1/b
b = 0; u = -vb distinto de 0; en circunferencias.
v = -ku
circunf.
u2 = -v3 /(1+v)
99
Transformaciones bilineales o de Möbius
),,,,0()( Cdcbabcaddcz
bazwzM
La transformación inversa estambién bilineal:
acw
bdwzwM
)(1
Observemos que la transformación no está definida para z = -d/c. Y lo mismo ocurre con w = a/c en el caso de la inversa.El conjunto de posibles transformaciones bilineales forman un grupo.
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
100
),,,,0()( Cdcbabcaddcz
bazwzM
101
Cuando c 0, T(z) tiene un cero simple en z0 = −d/c, y entonces:
./)( osescribiremy
,/
/lim)(lim
entonces,0 además, Si, .)( osEscribirem
,)(lim
0
0
caTc
a
zdc
zbazT
czT
zT
zz
zz
Ejemplo: Si T(z) = (2z + 1)/(z – i), calcula T(0), T(), T(i).
)( ,)(lim)(
,2)(lim)( ,)/(1)0(
iTzTiT
zTTiiT
iz
z
102
Las transformaciones de Möbius son biyecciones
103
''
'
1''
''
)(
zc
adbc
c
a
zz
zc
adb
c
adczz
dczc
adb
c
a
cd
zc
cad
bcd
za
dcz
bazwzf
¿Cómo transforma la bilineal?
De modo que cualquier transformación bilineal puede obtenerse como una composición de una transformación lineal y una transformación 1/z.
Así que para las transformaciones bilineales transforman el conjunto de círculos y líneas en sí mismo.
104
22:4
2
2
1
82)(
zC
zz
zzf
Re(z)2 4
)(4' traslaciónzz
Re(z')2 4 6 8
26' z
22 z
82)(
z
zzf
b) Determinar la imagen de la región , al considerar la transformación:
ExamenJUNIO 04/05: P-1
105
16
1
16
3''
16
1
16
30112)(32
03212)(2)6(26'
0)(0)(
'
1''
22
222
22222
2222
z
vuuvu
xyxyxz
acvbuvuddcybxyxa
zz
Re(z'')3/16 1/4
16
1
16
3'' z
26':'
2
2
1
22:4
2
2
1
82)(
zCz
zCzz
zzf
Recordemos cómo actúa la inversión:
...exterior del círculo...
106
8
1
8
3'''
)homotecia(''2'''
z
zz
Re(z''')3/8 1/2
16
1
16
3''''2
2
1
26':'
2
2
1
22:4
2
2
1
82)(
zz
zCz
zCzz
zzf
...seguimos en el exterior del círculo...
107
8
1
8
3
)claro módulo, el omanteniend
,180º afijos los todosde giro(''''''
Z
zezZ i
Re(Z)-3/8-1/2
8
1
8
1
)(2
1
w
traslaciónZw
Re(Z)1/41/8
108
Ejemplo: Sea a una constante compleja tal que Im(a) > 0. Encontrar la imagen del semiplano infinito superior bajo la transformación bilineal:
az
azw
Consideremos primero el borde. Para los puntos z sobre el eje x, tenemos:
1||
||||||||
az
azwazaz
De modo que el eje x se transforma en el círculo unidad con centro en el origen.z = a se transforma en w = 0 (un punto interior del círculo).
La transformación es continua, y de aquí podemos deducir que la imagen del semiplano superior es el interior del círculo.
109
110
111
112
113
114
115
116
Möbius Transformations Revealed is a short video by Douglas Arnold and Jonathan Rogness which depicts the beauty of Möbius transformations and shows how moving to a higher dimension reveals their essential unity. It was one of the winners in the 2007 Science and Visualization Challenge and was featured along with the other winning entries in the September 28, 2007 issue of journal Science. The video, which was first released on YouTube in June 2007, has been watched there by more than a million viewers and classified as a "Top Favorite of All Time" first in the Film & Animation category and later in the Education category. It has been selected for inclusion in MathFilm Festival 2008.
117
Tripletes a TripletesObserva que podemos crear una transformación de Moebius
a partir de tres puntos:
esta transformación tendrá un cero en z = z1 (T(z1) = 0 ,
T(z2) = 1 y tiene un polo en z = z3 (T(z3) = ). De modo
que T(z) transforma los complejos z1, z2, z3 en 0, 1, e , respectivamente.
.
;
;;
)(
212
232
31
312
132
12
32
3
1
bzzzc
dzzza
zdzb
dcz
baz
zzzz
zzzz
zz
zz
zz
zzzM
118
De la misma manera, la transformación de Moebius:
transforma w1, w2, w3 en 0, 1 e , y S-1 transforma 0, 1 e en w1, w2, w3.
De modo que w = S-1(T(z)) transforma el triplete z1, z2, z3 en el triplete w1, w2, w3. Observa que como w = S-1(T(z)), tenemos que S(w) = T(z) y
12
32
3
1)(wwww
wwww
wS
12
32
3
1
12
32
3
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
119
Ejemplo:
Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos 1, i, −1 sobre el círculo unidad |z| = 1 a los puntos −1, 0 y 1 sobre el eje real.
Despejando w, tenemos w = −i(z – i)/(z + i).
1
1
1
1 o
1
1
1
1
)1(0
10
1
1
z
zi
w
w
i
i
z
z
w
w
12
32
3
1
12
32
3
1
zz
zz
zz
zz
ww
ww
ww
ww
120
121
122
123
Ejemplo: Construye una transformación de Moebius que transforma los puntos , 0, 1 sobre el eje real en los puntos 1, i, −1 sobre el círculo |w| = 1.
Puesto que z1 = , los términos z − z1 y z2 − z1 en:
son 1. Y entonces:
)(1
1
1
1)( o
1
10
1
1
1
1
1
1zT
zw
wiwS
zi
i
w
w
12
32
3
1)(zzzz
zzzz
zT
124
Versión matricial
Podemos asociar la transformación bilineal a una matriz:
11
11
22
22
12
22
222
11
111
)(por dada viene))(( entonces
,)( ,)( Si
)( ació transformla representa dc
ba matriz La
dc
ba
dc
ba
dc
badcz
bazzTzTT
dzc
bzazT
dzc
bzazT
dcz
bazzTA
125
adj :es asociada matriz La
.)( :escribir podemosy
entonces,)( Si
1
ac
bdacw
bdwwT
acw
bdwz
dcz
bazzTw
A
)).((encontrar ,1
)(y 2
12)( Si :Ejemplo 1- zTS
iz
izzS
z
zzT
21
12
1
1 adj
donde ,))(( Sea 1-
i
i
dc
badcz
bazzTS
izi
izizTS
ii
ii
i
i
2)21(
21)2())((:entonces
,221
212
21
12
1
1
1
126
Jos Leys http://www.josleys.com/
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
August Ferdinand Möbius (1790-1868)
Max Bill, “Endless surface”. From 1953 to 1956. Size125 x 125 x 80 cm. Open air Sculpture
Middlelheim Museum, Antverpen, Belgium.
La banda de Moebius(Möbius strip)
140
141Moebius Strip II, M. C. Escher (1963)
142