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09 – Losas gruesasTeoría de Reissner-Mindlin
Diego Andrés Alvarez MarínProfesor Asociado
Universidad Nacional de ColombiaSede Manizales
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Tabla de Contenido
● Hipótesis fundamentales● Formulación de elementos finitos● Bloqueo por cortante● Técnicas de integración reducida● Técnicas de imposición del campo de
deformación
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Introducción
● Elementos laminares delgados– Losas o placas (son elementos planos)
– Láminas de superficie curva
● Losas:– Losas delgadas: teoría de Kirchhoff t/L < 0.1
– Losas gruesas (y delgadas): teoría de Reissner-Mindlin t/L < 0.25
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Algunas definiciones
● Placa: sólido paralelepípedo en el que una de sus dimensiones (espesor t) es mucho más pequeña que las otras dos.
● Plano medio de la placa: superficie plana equidistante de las caras mayores de la placa
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Teoría de Kirchhoff vs Teoría de Reissner-Mindlin
La teoría de Kirchhoff asume que las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales después de la deformación de la placa. La teoría de RM asume que se mantienen planas pero NO ortogonales después de la deformación.
Kirchhoff: Reissner-Mindlin:
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Hipótesis fundamentales de la teoría de Kirchhoff
● Los puntos del plano medio solo se desplazan verticalmente u = v = 0
● Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical
● El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo con respecto a σx y σy)
● Las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas y ortogonales después de la deformación de la placa.
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Hipótesis fundamentales de la teoría de Reissner-Mindlin
● Los puntos del plano medio solo se desplazan verticalmente u = v = 0
● Todos los puntos contenidos en una normal al plano medio tienen el mismo desplazamiento vertical
● El esfuerzo normal σz es despreciable (al compararlo con respecto a σx y σy)
● Las secciones ortogonales y planas al plano medio de la placa se mantienen planas pero no necesariamente ortogonales a esta después de la deformación de la placa. Esta hipótesis hace posible
el cálculo de deformaciones angulares de una forma más natural que la empleada por la teoría de Kirchhoff.
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Campos vectoriales de desplazamiento y movimientos
Vector de movimientos (contiene los des-plazamientos de un punto del plano medio dela placa y los y giros “promedios” de la placa).
Convención de signos, ejes de coordenadas y desplazamientos
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Campo vectorial de movimientos
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Campo vectorial de desplazamientos
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Campo vectorial de deformaciones
Observe que el valor de estas deformaciones angulares es constante en el espesor e independiente de z
vector de deformaciones debidas a efectos de flexión
vector de deformacionesdebidas a efectos de cortantetransversal
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vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de flexión
vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de cortante transversal
Campos de deformaciones
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Campo de esfuerzos
Observe que aquí no se está teniendo en cuenta σ
z ya que
según la tercera hipótesis su valor es despreciable.
vector de esfuerzos debidos a efectos de flexión
vector de esfuerzos debidos a efectos de cortantetransversal
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Ley de Hooke(relación esfuerzos-deformaciones)
Esta es la misma matriz constitutiva utilizada en tensión plana y en la teoría de Kirchhoff
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Recuerde queson momentos y fuerzas por unidad de longitud
Vector de momentos(vector de esfuerzos generalizados)
Vector de momentos flectores y momentos torsores
Vector de fuerzas cortantes
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matriz constitutivageneralizada de flexión
matriz constitutivageneralizada de cortante
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vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de flexión
vector de deformaciones generalizadas debidas aefectos de cortante transversal
La relación entre esfuerzos y deformaciones generalizadas es entonces:
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Principio de los trabajos virtuales
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Principio de los trabajos virtuales
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Formulación de elementos finitos
● Dificultades encontradas con los EFs de Kirchhoff (requieren elementos con continuidad C1):
– Formas rectangulares: no isoparamétrico, elementos no conformes
– Formas triangulares: elementos no conformes
● Veremos que los EFs de RM, al utilizar elementos con continuidad C0 solucionan los problemas anteriores de no conformidad de los EFs de Kirchhoff; sin embargo, se debe solucionar el problema de “bloqueo por cortante” para losas muy delgadas.
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Formulación de elementos finitosConsiderando un elemento isoparamétrico de n nodos declase C
0 se tiene que el campo vectorial de movimientos se
interpola como:
matriz de funciones de forma
vector de movimientos del elemento
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Ejemplo del elemento finito rectangular bilineal de 4 nodos
Tenemos por lo tanto tres grados de libertad por nodo
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Discretización del campo de deformaciones generalizadas
Matriz de deformación generalizada del elemento
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Formulación para el elemento
Aquí se meterían los momentos concentrados
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Formulación general del elemento
PREGUNTA: como se tendrían en cuenta los momentos distribuidos de borde?RESPUESTA: usando una integral de contorno (recuerde que se expresan por unidad de longitud)
Se tiene entonces que:
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Obtención de la matriz de rigidez del elemento
Matriz de rigidez por flexión
Matriz de rigidez por cortante
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Condiciones de contorno
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Bloqueo de la solución
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Métodos para evitar el bloqueo de la solución
1.Métodos de integración reducida y selectiva: son métodos que subintegran la matriz Kc.
2.Métodos que utilizan campos de deformación por cortante impuestos.
3.Métodos basados en “linked extrapolations”.
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Integración con cuadraturas de Gauss-Legendre y singularidad de la matriz K
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Singularidad de la matriz de rigidez
Cuando K es singular se tiene que j-kp>0. Esta es una condición necesaria pero no suficiente.
Si j-kp>0, muy probablemente K es singularSi j-kp≤0, K es invertible
El criterio j-kp>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad. Es aplicable individualmente a la matriz K, a la matriz K
f o a la
matriz Kc.
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Ejemplo:subintegrando K
f
Numnodos
#gld/nodo #gdlrestringidos
Puntos de integración de Gauss-Legendre
En este caso en particular se debe usar la estrategia de integración c, para subintegrar la matriz Kf
El criterio j-pk>0 es aplicable a cualquier tipo de elemento finito y también es aplicable a la estructura en su totalidad.
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29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 6 (puntos de integración)
j – kp = 55 – 3x6 = 27 > 0 (Kdd
es singular)
29 nodos
j = 29x2 – 3 = 55 gdl libres
k = 3 componentes deformación (ex, ey, gxy)
p = 24 (puntos de integración)
j – kp = 55 – 3x24 = -17 > 0 (Kdd
es invertible)
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plate
Reissner-Mindlin plate elements
Kirchhoff
plate
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La técnica de integración reducida
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Definición de términos
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Mecanismos introducidos por la integración reducida
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Mecanismos introducidos por la integración selectiva/reducida
● Introducen modos de energía nula diferentes a los de sólido rígido
● Algunos de dichos modos mecanismos son propagables.
● El que un mecanismo sea propagable o no depende de la compatibilidad entre elementos y de las condiciones de apoyo.
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Elementos de placa de RM cuadriláteros basados en técnicas de integración selectiva/reducida
● Bilineal de 4 nodos CL4● Cuadrático serendípito de 8 nodos CS8● Cuadrático lagrangiano (bicuadrático) de 9
nodos CL9● Elemento de 9 nodos jerárquico 9J● Elemento de 9 nodos jerárquico 9JG● Elemento de 9 nodos heterosis 9H
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49
Elemento bilineal de 4 nodos CL4
IC -5 1 1
2x2 2x2 1x1
2x2 1x1 1x1
3 5 7
Integración Completa Selectiva Reducida
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● Utiliza las funciones de forma del elemento 2D rectangular isoparamétrico de cuatro nodos. Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 1x1.
● Tiene cuatro mecanismos internos propagables que pueden afectar la solución (se muestran en la siguiente diapositiva):
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50Elemento CL4. Mecanismos inducidos por la integración reducida (1, 2, 3 y 4) y selectiva (sólo 1 y 2).
por lo que es no propagable
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51
Elem. serendípito de 8 nodos CS8
IC -9 1 1
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 3 4
Integración Completa Selectiva Reducida
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● Con integración selectiva, el elemento carece de mecanismos internos propagables, pero a pesar de la integración reducida el elemento se bloquea. Con integración reducida, el elemento tiene un mecanismo no propagable.
● Funciona bien para placas gruesas pero no para placas delgadas, ya que a pesar de la integración reducida, el elemento sigue bloqueándose.
● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.
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52
Elemento lagrangiano (o bicuadrático) de 9 nodos CL9
Integración Completa Selectiva ReducidaIC -6 4 4
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 4 7
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● Se comporta bien con placas moderadamente delgadas. Sin embargo, tanto con integración selectiva/reducida se presentan mecanismos internos propagables.
● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.
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53
Elem. de 9 nodos jerárquico 9J Integración Completa Selectiva ReducidaIC -8 2 2
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 3 4
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.
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54
Elem. de 9 nodos jerárquico 9JG Integración Completa Selectiva ReducidaIC -6 4 4
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 3 4
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.
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55
Elem. de 9 nodos heterosis 9HIntegración Completa Selectiva ReducidaIC -7 3 3
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 3 6
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
● En genética se conoce como heterosis el proceso por el cual se obtienen "mejores" individuos por la combinación de las virtudes de sus padres.
● Los momentos/cortantes en este elemento se calculan en los puntos de integración de GL 2x2.
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Elem. de 9 nodos heterosis 9HIntegración Completa Selectiva ReducidaIC -7 3 3
3x3 3x3 2x2
3x3 2x2 2x2
3 3 6
Cuadratura Kf
Cuadratura Kc
Modos deenergía nula
Con integración selectiva no se tienen mecanismos internos, y funciona muy bien para el análisis de placas gruesas y delgadas.
Sin embargo, solo satisface el criterio de parcela en formas rectangulares y paralelográmicas.
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Técnicas de deformación de cortante impuesta