06_preliminarno dimenzioniranje kupole 14_15

Zavod za konstrukcije Katedra za metalne konstrukcije

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3 Kolegij: Metalne konstrukcije 3 (diplomski studij)

Nositelj kolegija: prof.dr.sc. Darko Dujmović Separat 6: Preliminarno dimenzioniranje kupole

1

PRELIMINARNO DIMENZIONIRANJE

KUPOLE

Sadržaj

1 KUPOLE ............................................................................................................................. 2

1.1 Vrste kupola ................................................................................................................. 2 1.2 Konstrukcija kupola ..................................................................................................... 4 1.3 Opterećenje .................................................................................................................. 4 1.4 Analiza ......................................................................................................................... 5 1.5 Stabilnost ..................................................................................................................... 5

2 SCWEDLEROVA KUPOLA ............................................................................................. 6

2.1 Opis .............................................................................................................................. 6 2.2 Opterećenje za statičku analizu ................................................................................... 9 2.3 Statička analiza ............................................................................................................ 9 2.4 Dimenzioniranje nosača ............................................................................................ 13

2.5 Membranska analiza .................................................................................................. 14

http://www.grad.unizg.hr/predmet/metkon3




2

1 KUPOLE

1.1 Vrste kupola

Kupole se najčešće dobivaju rotacijom ravninske krivulje, često kružnog isječka, oko

vertikalne osi. Mogu se koristiti i ostale krivulje, kao što su parabola ili elipsa, ili se kupola

može formirati od stožaca koji se sijeku. Kupole se najčešće konstruiraju na kružnim ili

pravilnim poligonalnim osnovicama dok vrhovi diraju opisanu kružnicu. Mogu se koristiti i

drugačiji oblici osnovica.

U povijesti su se gradile zidane kupole. Drugi primjer je eskimski iglu. Skeletne ili

rešetkaste kupole velikih raspona datiraju iz prošlog stoljeća. Elementi mogu biti zakrivljeni

ili ravni i spajaju se u čvorovima ljuskaste površine. Kupole su dvostruko zakrivljene

sinklastične površine, jednake zakrivljenosti u svakom smjeru.

Rešetkaste kupole klasificiraju se prema načinu na koji je površina uokvirena.

Osmišljeno je mnogo različitih uzoraka. Osnovni tipovi sfernih kupola (slika 1) su:

(a) Rebrasta kupola

Ova kupola sastoji se od jednoliko raspoređenih radijalnih rebara na lukovima oslonjenima na

tlačni prsten u vrhu i vlačni prsten ili odvojene osnovice na razini tla. Rebra nose trokutasto

opterećenje i kupola se može proračunati kao niz dvozglobnih ili trozglobnih lukova.

(b) Scwedlerova kupola

Sastoje se od rebara ili meridijalnih nosača i paralelnih prstena ili obruča koji pridržavaju luk.

Sustavi s dva elementa dijele plohu na trapeziodalne panele, koji imaju dijagonalne vezove

kako bi se mogli oduprijeti posmiku uslijed asimetričnog opterećenja. Kao alternativa za

preuzimanje posmika, mogu se predvidjeti nepopustljivi priključci između rebara i prstenova.

Ukoliko je kupola opterećena simetrično i predviđeni su zglobni priključci konstrukcija je

statički određena. Analiza se također može provoditi na temelju teorije tankih sfernih ljusaka.

(c) Rešetkasta ili mrežasta kupola

Kod ovih kupola imamo ekvidistantno raspoređene paralelne prstene. Prstenasti razmaci se

onda dijele trokutastom mrežom štapova. Štapovi između bilo koja dva susjedna prstena su

jednake dužine.

(d) Lamelna kupola

Postoje dva tipa, zakrivljena i paralelna lamela. Kod zakrivljenog tipa ploha je podijeljena na

površine u obliku dijamanta, dok se tip paralelnih lamela sastoji od stabilnih trokutastih

dijelova. Dvije najveće kupole u svijetu su tipa paralelnih lamela. Tip zakrivljenih lamela

razvijen je za drvene kupole gdje je drvena obloga osiguravala stabilnost. Napomenimo da se

kod mrežastih kupola to osiguravaju horizontalni prsteni





3

(e) Rasterna kupola

Ovaj tip kupole formira se pomoću rastera lukova koji se sijeku u dva ili tri smjera. Specifičan

slučaj rasterne kupole je geodetska kupola, kada je luk cijela kružnica.

Slika 1 Tipovi kupola

Rebrasta Schwedlerova

Rešetkasta ili mrežasta Paralelna lamelna

Rasterna u 2 smjera Rasterna u 3 smjera Rasterna u 3 smijera – veliki krugovi





4

(f) Geodetska kupola

Ovaj sustav razvio je Buckminister Fuller. Većina konstrukcija geodetskih kupola temelji se

na icosahedronu, poliedru s dvadeset ravnina lica čiji vrhovi diraju površinu opisane sfere.

Kupola je formirana od dijela sfere. Svaki primarni sferni trokut može se dalje podijeliti kako

bi se omogućilo uokvirenje velikih kupola. Glavna prednost ovog tipa kupola je da su svi

elementi približno jednake duljine i površina kupole je razdijeljena na približno jednake

površine.

1.2 Konstrukcija kupola

(a) Uobličavanje

Uobličavanje može biti jednoslojno ili dvoslojno. Velike kupole moraju biti dvoslojne

kako bi se spriječilo izvijanje. Koriste se svi tipovi elemenata. Šuplji profili sa zavarenim

priključcima su atraktivni ukoliko je čelična konstrukcija vidljiva. Nosači su najčešće ravni

između čvorova. Kupola se mora razdijeliti u pogodne sklopove za radioničku izradu.

Rešetkaste dvoslojne kupole, mogu se okrupniti na gradilištu pomoću vijčanih priključaka.

(b) Sustav priključaka

Dostupni su sustavi kupola sa Mero i Nippon NS prostornim štapnim priključcima.

Kupole mogu biti jednoslojne ili dvoslojne. Dostupni su mrežni ili geodetski sustavi.

(c)Obloga

Obloga uzrokuje probleme zbog toga što dimenzije panela variraju kod većine kupola i

potrebi su izlomljeni površinski elementi. Sustavi koji se koriste su:

Krovne jedinice, trokutastog ili trapeznog oblika, oslonjene na okvir kupole – mogu

biti prozirni ili djelomično prozirni plastični ili metalni sendvič elementi.

Drveni pokrov s metalnim oblogama

Čelični pokrov na podrožnicama i elementi kupole sa termoizolacijskom pločom i

hidrizolacijom (ter papirom). Ovo se može korisiti samo za ravne površine

1.3 Opterećenje

(a) Stalno opterećenje





5

Stalno opterećenje varira od oko 0,5 do 1,2 kN/m2 po površini kupole ovisno o vrsti krovne

konstrukcije i obloge i da li je obloga s unutarnje strane. Opterećenje djeluje jednoliko po

površini krova.

(b) Korisno opterećenje

Opterećenje djeluje na tlocrtnu površinu kupole. Potrebno je razmotriti slučajeve gdje

opterećenje pokriva smo dio površine krova.

(c) Opterećenje vjetrom

Raspodjela pritiska vjetra na kupole određena ispitivanjem može se odrediti prema EN 1991-

1-4

Raspodjela vanjskog pritiska i sisanja ovisi o omjeru visine kupole i promjera iznad zemlje.

Ako kupola leži na cilindričnoj osnovici, na vrijednosti opterećenja utječu i visina cilindra kao

i visina kupole. Općenito, samo je mala površina u tlaku, dok je veći dio kupole izložen

vlačnom tlaku vjetra. Raspodjela tlaka vjetra za dva slučaja prikazana je na slici 2. U svrhu

projektiranja raspodjele se pojednostavljuju.

1.4 Analiza

Rebrasta kupola sa rebrima sa zglobnim osloncima u odnovici i kruni (vrhu) i zglobno

priključena Shwedlerova kupola izložena jednolikom opterećenju statički su određene.

Schwedlerova kupola izložena nejednolikom opterećenju kao i ostali tipovi kupola su

višestruko neodređene.

U analizi Schwedlerove kupole izložene jednolikom opterećenju, može se koristiti

teorija ljuskastih membrana. U analizi krutih dvoslojnih kupola mogu se koristiti standardni

prostorni okvirni sustavi na temelju MKE. Ponašanje fleksibičnih kupola ponašanje može biti

izrazito nelinearno i učinci progibanja moraju se uzeti u obzir. Stabilnost kupola mora se

istražiti nelinearnom analizom. U mnogim slučajevima dovoljno je točna linearna analiza.

1.5 Stabilnost

Fleksibilne kupole, odnosno plitke i jednoslojne kupole velikih raspona imaju problem sa

stabilnošću. Tri odvojena tipa izvijanja obrađena su u Galambos (1988). To su sljedeći:

(a) Globalno izvijanje – veći dio plohe postaje nestabilan i izvija se. Ovakav tip otkazivanja

dogodio se u slučajevima kada je opterećenje snijegom djelovalo samo na dio površine

kupole. Teorija ljusaka je proširena kako bi se predvidio kritični tlak koji uzrokuje izvijanje.

Kritični tlak na tankostjene ljuske iznosi:

2/ RtCEpcr

Gdje je R radius, E modul elastičnosti, t debljina ljuske i C koeficijent ljuske. Kako bi se

uzela u obzir rebra i membranski učinci u kupoli s veznim sustavom, modificira se debljina t.





6

(b) Proboj ili lokalno izvijanje – jedan opterećeni čvor se izvija ili se događa proboj, što

suprotno mijenja zakrivljenost između susjednih čvorova u tom području. Dani su izrazi za

provjeru tih uvjeta.

(c) Izvijanje elemenata – pojedinačni element se izvija kao tlačni štap. Ova pojava se uzima u

obzir proračunom prema pojedinačnih elemenata.

Stabilnost kupole može se razmatrati nelinearnim proračunom na temelju MKE.

2 SCWEDLEROVA KUPOLA

Slika 2 Raspodjela tlakova – vrijednosti Cpe za: (a) kupolu na tlu (b) kupolu s cilindričnom

osnovicom

2.1 Opis

Kružni umjetnički paviljon predviđen je za razvoj kulture gradskog centra. Građevina je

promjera 50 m sa 4 m visokim rubnim zidovima. Predlaže se konstrukcija Scwedlerove

kupole, promjera 59.82 m, sfernog oblika polumjera 43.06 m i visine 12 m u kruni kako bi se

Vjetar Vjetar





7

ispunili svi zahtjevi. Kupola ima 20 radijalnih rebara čime dobiva 20-strani poligonalni

tlocrtni oblik. Prikaz kupole dan je na slici 3

Pokrov je drveni, oslonjen na podrožnice razmaka ok o 1.5 m u središnjem dijelu te je

prekriven sa tri sloja hidroizolacije (ter papira). Strop iznutra je predviđen od gipsanih ploča

na podkonstrukciji. Stalno opterećenje krova je 1,0 kN/m2, a korisno opterećenje je 0,75

kN/m2.

Provest će se preliminarno dimenzioniranje kako bi se odredili presjeci rebara i

prstenova za stalno i korisno opterećenje po cijelom krovu. Dobiveni presjeci će se koristiti u

detaljnoj kompjuterskoj analizi.





8

Slika 3 Schwedlerova kupola

Pokrov

Vrata

Vrata

Zid od

opeke

Računsko korisno

opterećenje q=1,2 kN/m2

Zid od opeke vrata

50 m - unutrašnji korisni prostor

Skelet kupole

Omotač kupole

59,82 m - vanjski promjer građevine

Računsko korisno

opterećenje q=1,4 kN/m2





9

2.2 Opterećenje za statičku analizu

Računsko opterećenje:

Vlastita težina na kosini: 21,35 1,0 1,4 /kN m

Korisno opterećenje – tlocrtno:21,5 0,75 1,2 /kN m

Vlastita težina čelika na kosini:21,35 0,25 0,35 /kN m

Dimenzije su prikazane na slici 8.14

Opterećenja u razini prstena su:

kNF 3,92/58,818,635,01

kNF 4,53)06,25,74,1()44,25,74,1(3,92

kNF 9,77)27,451,62,1()88,451,64,1(3

kNF 6,62)5,412,52,1()88,412,54,1(4

kNF 6,45)68,466,32,1()88,466,34,1(5

kNF 27)8,416,22,1()88,416,24,1(6

kNF 0,11)41,324,12,1()41,324,14,1(7

kNF 4,02/132,06,28

Opterećenja rebara su prikazana na slici

2.3 Statička analiza

Uzdužne sile u rebrima i prstenima određene su statičkim proračunom. Za izračun momenata

savijanja, rebra su razmatrana kao kontinuirani nosači, a prsteni kao proste grede.

(a) Rebra – uzdužne sile [slika 8.15 (a)]

Za čvor 2, ukupna uzdužno opterećenje iznad čvora je 277,9 kN

Za rebro 1-2:

277,9 6,26 / 4 434,9F kN (tlak)

Za čvor 3, rebro 2-3, kNF 7,421 (tlak)

Za čvor 4, rebro 3-4, kNF 4,338 (tlak)





10

Slika 4 Opterećenja na rebra kupole (dimenzije u metrima): (a) presjek; (b) tlocrt

Pripadna

površina

4 podrožnice na razmaku

cca 1,5 m

Centar

sfere

Tlocrtne

duljine

Duljine u nagibu

Zid od opeke





11

Slika 5 Statička analiza: (a) uzdužne sile u rebrima; (b) momenti u rebrima

Zglob Opterećenja (kN)

Korisno

Stalno

Opterećenje (kN/m) Opterećenja koja uzrokuju

momente

Čvor 2 Čvor 3

Tlocrt

Presjek

Čvor

Faktor raspodijele

Uk. moment

Moment na upetom kraju

Raspodjela momenata





12

(b) Rebra – momenti

Bočna opterećenja na rebra između prstenova 2-4 i 3-4 sa 4 podrožnice prikazana su na slici

8.15 (b)

Distribuirana opterećenja u čvorovima su:

Korisno – čvor 2, mkN /88.15/82.72.1 ; čvor 3, mkN /56.1 ; čvor 4, mkN/23.1 ;

Stalno – čvor 2, mkN /19,25/82.74.1 ; čvor 3, mkN /82.1 ; čvor 4, mkN/43.1 ;

Zatim se računaju opterećenja elemenata. Za rebro 2-3, jednoliko opterećenje je

kN51,1594,482,118,456,1

Trokutasto opterećenje iznosi:

kN58,12/94,437,02/18,432,0

Za rebro 3-4 jednoliko opterećenje je 12,53 kN, a trokutasto je 1,69 kN.

Vlastita težina elementa 1-2 se zanemaruje.

Momenti na krajevima su:

kNmM 06,610/18,458,112/18,451,1532

kNmM 06,615/18,458,14,523

;4,543 kNmM ;15,534 kNmM

Faktori distribucije su:

Čvor 2

62,0:38,0/94,4/1:25,6/75,0: 3212 DFDF

Čvor 3

5,0:5,0: 4323 DFDF

Raspodjela momenata prikazana je na slici 8.15 (b). Za čvor 3, kNmM 56,6

(c) Prsteni – uzdužne sile

Za čvor 2, 0H i

94,4/18,44,42126,6/82,49,4342 h

Za prsten 2-10:

)(709sin2/9,21 vlakkNT

Za čvor 3

kNH 523

Za prsten 3-11

)(2,166 tlakkNF





13

(d) Prsteni –momenti

Za čvor 2, prsten 2-10:

kNmM 2,528/82,74,53

Za čvor 3, prsten 3-11

kNmM 4,63

2.4 Dimenzioniranje nosača

(a) Rebra

Za rebro 1-2:

)(9,434 tlakkNF , kNmM 34,2 , mL 26,6

Za rebro 2-3:

)(7,421 tlakkNF , kNmM 56,6 , mL 94,4

Pretpostavlja se 150 1506,3 SHS

Za rebro 1-2

Duljina izvijanja 626 cm

kNN Rdb 9,434,

kNmM Rdc 9,68,

Interakcija

82,0)9,68/34,2()8,550/9,434(

Zadovoljava. Rebro 2-3 također zadovoljava.

(b) Prsteni

Za prsten 2-10:

)(70 vlakkNF , kNmM 2,52

Za prsten 3-11:

)(2,166 tlakkNF , kNmM 4,63 , mL 1,65

Pretpostavlja se 150 15010 SHS s

Za prsten 3-11:

Duljina izvijanja 651 cm

kNN Rdt 200,

kNmM Rdc 9,102,

Interakcija 84,0

Zadovoljava. Presjeci prstena bliže kruni mogu se reducirati





14

2.5 Membranska analiza

Sile u elementima Schwedlerove kupole mogu se odrediti aproksimativno pomoću

membranske teorije za sferne ljuske (Makowski 1984., Schueller, 1987).

Membranska teorija daje sljedeće izraze za sile u mjestu P

Meridijalna ili sila u rebru (kN/m) iznosi:

2/)cos1/( qRRN

Sila u prstenima

2cos2

1)cos1/(1cos qRRN

Gdje je:

stalno opterećenje 2/4,1 mkN ;

q korisno opterećenje 2/2,1 mkN ;

R radijus ljuske m43

kut na mjestu djelovanja sile P.

Te su sile izračunate u čvoru 3 na, gdje je 92,28 .

Razmak rebara je 6,51 m i prstenova 4,91 m.

mkNN /9,572/06,432,188,1/06,434,1

Za rebro 2-3:

kNF 9,37651,69,57

Usporedimo to sa prosječnom silom u rebrima 2-3, 3-4 od 380,1 kN

1

1,4 43,06 0,88 1/1,88 1,2 43,06 0,53 34,7 /2

N kN m

Za prsten 3-11

kNF 4,17194,47,34

Usporedimo to sa 166,2 kN.

Slika 6 Membranska analiza – Schwedlerova kupola

Korisno opterećenje q kN/m2

Stalno opterećenje w

kN/m2

Plošni element


06_preliminarno dimenzioniranje kupole 14_15

Documents