06 factorización - copia discupen
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Factorización
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La factorización oescríbelo como una
multiplicaciónFactor común,
factorización por agrupación y
por fórmula.
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Las ocho factorizaciones
básicas.
Se inventaron como unprocedimiento para convertir lassumas y restas de polinomios en
productos o multiplicaciones.
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Las ochofactorizaciones.
Factor común.
or
fórmula
or agrupación.
!iferencia de cuadrados "# $ y# % &"' y(&" $ y(!iferencia de cubos ") $ y) % &" $ y(&"' "y ' y#(Suma de cubos ") ' y) % &" ' y(&"# $
"y ' y#( *rinomio cuadrado perfecto.
*rinomio de la forma "# ' b"' c. *rinomio de la forma a"# ' b" '
c.
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FACTOR COMÚN
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Factorizaci n port+rmino o factor
común.Las reglas para encontrar el factor común son:
1)Se toma del polinomio la literal o letra que se repita en
todos los términos pero que sea la de menor exponente.
2)Se toma, si existe, el divisor mayor diferente de 1 que
divida a todos los coeficientes o números del polinomio.
)!on los elementos tomados en el paso 1 y 2 formamos el
que llamaremos el término o factor común, luegodividiremos al polinomio entre el factor común y el resultado
de la divisi"n ser# el otro factor.
i i
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Factorizaci n port+rmino o factor
común.1) a2 $ a% &2) % $ %2 &
) x2 $ x &
') a ( a2 &) x ( 'x' &
*) m2 $ 1m &
+) a% ( %c &
) x2y $ x2- &
) 2a2x $ *ax2 &
1/)ax2 ( 1ax &
a0a $ %)%01 $ %)x
a2 0a ( 1)x 01 ( 'x)
m201 $ m)
%0a ( c)
x2 0y $ -)
2ax 0a $ x)ax2 0a2 ( 2x)
0x $ 1)
i i
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Factorizaci n port+rmino o factor
común.1) 1cd2 $ */c2d &2) m2n ( +/m &
) a%c ( a%c2 &
') 2'a2xy2 ( *x2y' &) 1'x2y2 ( 2x $ *x' &
*) m2nx$11/m2nx2(22/m2y&
+) x ( x2 $ x ( x' &
) 12m2n$2'mn2(*m'n$'mn' &
) 1*xy2(x2y(2'x'y2('/x2y&
1/)a2
%$*a%(a
%2
$a2
%x &
1c2d2 0c $ 'd)m20n ( 2m)
a%c
12xy202a2 ( xy2)1'x20y2 ( 2x $ 'x2)
m20nx$2nx2('y)
x 01 ( x $ x2 ( x)
12m2n01 $ 2mn ( m2n2 $ 'mn)
x2y 02xy(1(x2y(y2)
a%0a $ * ( a2
% $ ax)
01 ( c)
- l d d l
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-emplos donde elfactor común es un
polinomio.a0x$1) $ %0x$1) & 0x$1)0a$%)x0a$1) ( 0a$1) & 0a$1)0x()
20x(1) $ y0x(1) & 0x(1)02$y)
m0a(%) $ 0a(%)n & 0a(%)0m$n)
2x0n(1) ( y0n(1) & 0n(1)02x(y)a0n$2) $ n$2 & 0n$2)0a$1)a0n$2) $ 10n$2) &
a2$1 ( %0a2$1) & 0a2$1)01(%)10a2$1) ( %0a2$1) &
- l d d l
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-emplos donde elfactor común es un
polinomio.1(x $ 2a01(x) & 101(x) $ 2a01(x) & 01(x)01$2a)(m(n$x0m$n) & (10m$n)$x0m$n) &0m$n)0x(1)
a0a(%$1)(%20a(%$1) & 0a(%$1)
'm0a2$x(1)$n0x(1$a2) & 0a2$x(1)
0a(%2)
0'm$n)
x02a$%$c)(2a(%(c & 02a$%$c)0x(1)
0x$y)0n$1)(0n$1) & 0n$1)0x$y()
0x$1)0x(2)$y0x(2) & 0x(2)0x$1$y)
0a$)0a$1)('0a$1) & 0a$1)0a$(') & 0a$1)0a(1)
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FACTORIZACIÓN PORAGRUPACIÓN
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Factorización poragrupación.
Factorizar
a2 $ a% $ ax $ %x
a0a $ %) $ x0a $ %) & 0a $ %)0a $ x)
Factorizar
am ( %m $ an ( %n
m0a ( %) $ n0a ( %) &0a ( %)0m $ n)
Factorizar
ax ( 2%x ( 2ay $ '%y
x0a ( 2%) ( 2y0a ( 2%) & 0a ( 2%)0x ( 2y)
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Factorización poragrupación.
Factorizar
m ( 2n ( 2nx' $ mx'
m $ mx' ( 2n ( 2nx' & m01 $ x') ( 2n01 $ x') &
& 01 $ x')0m ( 2n)
Factorizar
'a ( 1 ( a2 $ 'a
'a $ 'a ( 1 ( a2 & 'a01 $ a2) ( 01 $ a2) &
& 01 $ a2)0'a ( 1)
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Factorización poragrupación.
Factorizar
x $ x2 ( xy2 ( y2
x2 $ x ( xy2 ( y2 & x0x $ 1) ( y20x $ 1) &
& 0x $ 1)0x ( y2)
Factorizar
a2x2 ( %x2 $ a2y2 ( %y2
a2x2 $ a2y2 ( %x2 ( %y2 & a20x2 $ y2) ( %0x2 $ y2) &
& 0x2 $ y2)0a2 ( %)
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Factorización poragrupación.
Factorizar
2a2x ( a2y $ 1%y ( *%x
2a2x ( *%x ( a2y $ 1%y & 2x0a2 ( %) ( y0a2 ( %) &
& 0a2 ( %)02x ( y)
Factorizar
*m ( n $ 21nx ( 1'mx
*m ( n ( 1'mx $ 21nx & 02m ( n) ( +x02m ( n) &
& 02m ( n)0 ( +x)
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULADIFERENCIA DE
CUADRADOS.
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!iferencia decuadrados.
actori-ar.x2 ( y2 & 0x $ y)0x ( y)
*x' ( 'x1/ & 0*x2 $ +x)0*x2 ( +x)
1*a2 ( 2%* & 0'a $ %)0'a ( %)
1 ( 'm2 & 01 $ 2m)01 ( 2m)
a2% ( c2 & 0a%' $ c)0a%' ( c)
'a2 ( & 02a $ )02a ( )
1// ( x2y* & 01/ $ xy)01/ ( xy)
2x
2
y
'
( 121 &0xy2 $ 11)0xy2 ( 11)
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!iferencia decuadrados.
2 ( *x' & 0 $ *x2)0 ( *x2)
1//m2n' ( 1*y* & 01/mn2 $ 1y)01/mn2 ( 1y)
1*x2y' ( 22-12 & 01'xy2 $ 1-*)01'xy2 ( 1-*)
2*a12 ( 2%'m1/ & 01*a* $ 1+%2m)01*a* ( 1+%2m)
1 ( a2%'c*d & 01 $ a%2cd')01 ( a%2cd')
11*
( 'x2
'
& 0 1' $ 2x+ )0 1' ( 2x+ )a2
*
(x*
2
& 0a
*
$x
)0a
*
(x
)
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!iferencia decuadrados.
!aso especial.
0a $ %)2 ( c2 & 0a $ %) $ c30a $ %) ( c3 &
& 0a $ % $ c)0a $ % ( c)
a* ( 0a $ 1)2 & a $ 0a $ 1)3a ( 0a $ 1)3 &
& 0a $ a $ 1)0a ( a ( 1)
0x $ y)2 ( a2 & 0x $ y) $ a30x $ y) ( a3 &
& 0x $ y $ a)0x $ y ( a)
' ( 0a $ 1)2 & 2 $ 0a $ 1)32 ( 0a $ 1)3 &
& 02 $ a $ 1)02 ( a ( 1)
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULADIFERENCIA DE CUBOS.
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!iferencia de cubos.
actori-ar.x ( y & 0x ( y)0x2 $ xy $ y2)
a ( & 0a ( 2)0a2 $ 2a $ ')
2+a ( %* & 0a ( %2)0a2 $ a%2 $ %')
*'a ( +2 & 0'a ( )01*a2 $ *a $ 1)
x
y*
( 21*y
& 0xy2
( *y
)0x2
y'
$ *xy
$ *y*
)
a%x ( 1 & 0a%x ( 1)0a2%2x2 $ a%x $ 1)
a ( 2+%* & 02a ( %2)0'a2 $ *a%2 $ %')
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULASUMA DE CUBOS.
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Suma de cubos.
actori-ar.x $ y & 0x $ y)0x2 ( xy $ y2)
a $ & 0a $ 2)0a2 ( 2a $ ')
2+a $ %* & 0a $ %2)0a2 ( a%2 $ %')
*'a $ +2 & 0'a $ )01*a2 ( *a $ 1)
x
y*
$ 21*y
& 0xy2
$ *y
)0x2
y'
( *xy
$ *y*
)
a%x $ 1 & 0a%x $ 1)0a2%2x2 ( a%x $ 1)
a $ 2+%* & 02a $ %2)0'a2 ( *a%2 $ %')
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*rinomio uadradoerfecto
Regla para conocer si un trinomio es cuadradoperfecto.
4n trinomio ordenado en relaci"n con una letra es
cuadrado perfecto cuando el primero y el tercer
términos son cuadrados perfectos o tienen ra5-
cuadrada exacta positiva y el segundo término es
el do%le producto de sus ra5ces cuadradas.
6or e7emplo: el trinomio a2 ( 1/a $ 2 sus ra5cesson a y 5, su do%le producto es 20a)0) & 10a que
es el segundo término, luego es trinomio cuadrado
perfecto.
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO CUADRADO
PERFECTO.
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*rinomio uadradoerfecto
Regla para conocer si un trinomio es cuadradoperfecto.
6or e7emplo: el trinomio 'm* ( +/amn2 $ 2a2n'
sus ra5ces son 7m3 y 5an2, su do%le producto es20+m)0a2n') & 70am3n2 que es el segundo
término, luego es trinomio cuadrado perfecto.
6or e7emplo: el trinomio %2 ( a2% $ 2a' susra5ces son 3b y 5a2, su do%le producto es 20%)
0a2) & 30a2b que no es el segundo término, luego
no es trinomio cuadrado perfecto.
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*rinomio uadradoerfecto
actori-aci"n de un trinomio cuadrado perfecto.x2 8 2xy $ y2 & 0x 8 y)2
9stando ordenado se toma la ra5- del primero el
signo del segundo y la ra5- del tercero.
actori-ar
%2 ( /a2% $ 2a' & 0% ( a2)2
'a2 ( 1'a $ 1 & 0+a ( 1)2
* $ 12m2 $ m' & 0* $ m2)2
y' $ 1 $ 2y2 & y' $ 2y2$ 1 & 0y2 $ 1)2
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*rinomio uadradoerfecto
actori-ar
( *x $ x2 & 0 ( x)2
1 ( 2a $ a* & 01 ( a)2
'x2 ( 12xy $ y2 & 02x ( y)2
1 $ 1'x2y $ 'x'y2 & 01 $ +x2y)2
1 $ a1/ ( 2a & 1 ( 2a $ a1/ & 01 ( a)2
a2' ( a% $ %2 & 0a2 ( %)2
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA
X2+BX+C.
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*rinomio de la forma"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c.
Se ordena en forma descendente se saca ra5- al
primer término y se coloca la misma como el
primer término en un par de paréntesis, luego se
%uscan dos números que sumados o restados den
el coeficiente del segundo término, pero que
multiplicados los mismos números den elcoeficiente del tercer término con todo y signo.
9sos números son respectivamente los segundos
términos del par de paréntesis.
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*rinomio de la forma"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c.
actori-ar
x2
$ +x $ 1/ & 0x $ 2)0x $ )
Se o%serva que:
2 $ & 7 y 2 x & 10
actori-ar
x2 $ x $ * & 0x $ 2)0x $ )Se o%serva que:
2 $ & 5 y 2 x & 6
actori-ar
x2 ( +x $ 12 & 0x ( )0x ( ')Se o%serva que:
( (' & 7 y
0()x0(') & 12
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*rinomio de la forma"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c.
actori-ar
x2
$ 2x ( 1 & 0x ( )0x $ )
Se o%serva que:
( $ & 2 y
0()x0) & 15
actori-ar
x2 ( x ( 1' & 0x ( +)0x $ 2)Se o%serva que:
(+ $ 2 & 5 y
0(+)x02) & 1!actori-ar
a2 ( 1a $ '/ & 0a ( )0a ( )Se o%serva que:
( ( & 13 y
0()x0() & !0
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*rinomio de la forma"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c.
actori-ar
m2
( 11m ( 12 & 0m ( 12)0m $ 1)
Se o%serva que:
(12 $ 1 & 11 y
0(12)x01) & 12
actori-ar
n2 $ 2n ( 2 & 0n ( 1)0n $ 2)Se o%serva que:
(1 $ 2 & 2" y
0(1)x02) & 2#actori-ar
x2 $ *x ( 21* & 0x ( 12)0x $ 1)Se o%serva que:
(12 $1 & 6 y
0(12)x01) & 216
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*rinomio de la forma"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formax2+bx+c en casos especiales.
actori-ar
x'
( x2
( / & 0x
2
( 1/)0x
2
$ )
Se o%serva que:
(1/ $ & 5 y
0(1/)x0) & 50
actori-ar
x* $ +x ( '' & 0x ( ')0x $ 11)Se o%serva que:
(' $ 11 & 7 y
0(')x011) & !!actori-ar
a2%2 ( a% ( '2 & 0a% ( +)0a% $ *)Se o%serva que:
(+ $ * & 1 y
0(+)x0*) & !2
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULATRINOMIO DE LA FORMA
AX2+BX+C.
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
Regla para factorizar un trinomio de la formaax2+bx+c.
$%todo de las ti&eras.;rdenado el polinomio se descompone el primer y tercer
términos, en cuatro términos que se colocan en lasesquinas de un rect#ngulo, los primeros del lado i-quierdo
y los segundos del lado derec
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
*x2
( +x ( &2x
x
(
1
( x
2x
( +xSegundo!"#$no
02x ( )0x $ 1)
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
2/x2
$ +x ( * &'x
x
( 2
1x
( x
+xSegundo!"#$no
0'x $ )0x ( 2)
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
1a
2
( 1a ( &a
1a
( 1
( 1a
a
( 1aSegundo!"#$no
0a ( 1)01a $ )
-
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
1x
'
( 11x
2
( 12 &x2
x2
( '
( 2/x2
x2
( 11 x2Segundo!"#$no
0x2 ( ')0x2 $ )
-
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
12x
2
y
2
$ xy ( 2/ &xy
'xy
'
(
1*xy
( 1xy
xySegundo!"#$no
0xy $ ')0'xy ( )
i i d l f
-
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*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
*x
2
( 11ax ( 1/a
2
&2x
x
( a
2a
( 1ax
'ax
( 11axSegundo!"#$no
02x ( a)0x $ 2a)
i i d l f
-
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43/51
*rinomio de la formaa"#'b"'c
actori-ar
2/ ( x ( x
2
&x
( x
' ( 1x
12x
( xSegundo!"#$no
0 $ x)0' ( x)
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FACTORIZACIÓN PORFÓRMULACOMBINADAS.
l trinomio cuadrado
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l trinomio cuadradoperfecto y la diferencia
de cuadradosactori-ar a2 ( *ay $ y2 ( 'x2 &
6rimero se factori-a el trinomio cuadrado perfecto.
a2 ( *ay $y2 ( 'x2 & 0a ( y)2 ( 'x2
Segundo se factori-a la diferencia de cuadrados.
0a ( y)2 ( 'x2 & 0a ( y) $ 2x30a ( y) ( 2x3 &
Finalmente
a2 6a' +#'2 !x2 ( )a 3' + 2x*)a 3' 2x*
-
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l trinomio cuadrado
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l trinomio cuadradoperfecto por suma o
restaactori-ar x' $ x2y2 $ y' &
=o es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y
restamos x2
y2
.x' $ x2y2 $ y' & x' $ x2y2 $ y' $ x2y2 ( x2y2 &
inalmente se resuelve como los anteriores:
x' $ 2x2y2 $ y' ( x2y2 & 0x2 $ y2)2 ( x2y2 &
x' $ 2x2y2 $ y' ( x2y2 &
0x2 $ y2) $ xy 30x2 $ y2) ( xy 3 &
x! + x2'2 + '! ( )x2 + '2 + x'*)x2 + '2 x'*
l trinomio cuadrado
-
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l trinomio cuadradoperfecto por suma o
restaactori-ar 'a' $ a2%2 $ %' &
=o es trinomio cuadrado perfecto, sumamos y
restamos 'a2
%2
. Se o%tiene de 202)0) ( & '.'a' $ a2%2 $ %' & 'a' $ a2%2 $ %' $ 'a2%2 ( 'a2%2 &
inalmente se resuelve como los anteriores:
'a' $ 12a2%2 $ %' ( 'a2%2 & 02a2 $ %2)2 ( 'a2%2 &
'a' $ 12a2%2 $ %' ( 'a2%2 &
02a2 $ %2) $ 2a%302a2 $ %2) ( 2a%3 &
!a! + "a2b2 + #b! ( )2a2 + 3b2 + 2ab*)2a2 + 3b2 2ab*
i d
-
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Factorizar una suma dedos cuadrados.
actori-ar
a' $ %' &
9n general una suma de cuadrados no tienefactori-aci"n, pero
-
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Factorizar una suma dedos cuadrados.
actori-ar
'm' $ 1n' &
6ara formar un trinomio cuadrado perfecto le falta202m2)0n2) & *m2n2
'm' $ *m2n2 $ 1n' ( *m2n2 & 02m2$ n2)2 ( *m2n2 &
Finalmente
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8/18/2019 06 Factorización - Copia DISCUPEN...
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