4. Rad i energija

4.1. Rad

Rad u svakodnevnom životu predstavlja bilo koji oblik aktivnosti koji zahtjeva miši ćni napor ili djelovanje strojeva .

Rad u fizici se općenito definira kao - svladavanje sile na danom putu- djelovanje sile na odre ñenom putu

4.1. Rad

Što je potrebno da bismo izvršili odreñeni rad?

Sila odreñenog iznosa i smjera .

F

s

Primjer 1 : Djelovanje stalne sileu smjeru gibanja tijela.

W = F·s

Primjer 2 : Djelovanje stalne sile pod kutom θ prema smjeru gibanja tijela.

F

s

θ

W = F·s· cos θ

F

s

W = 0

F

s

θ

W = - F·s· cos θ

a)

b) c)

F· cos θ

4.1. Rad

Rad je skalarna veličina i može biti:

a) pozitivan 0 < θ < π/2 F ║ s

b) nula θ = π/2 F ┴ s

c) negativan π/2 < θ < π F ↑↓ s

a) b) c)

→ centriptralna sila

→ sila trenja

Primjer za F:

→ sila (komp.) u smjeru gibanja

W F s= ⋅�� �

4.1. Rad stalne sile

W F l= ⋅�� �

“guranje”

“nošenje”

“spuštanje”

F/N

s/m

W F s= ⋅

F-s dijagram

rad = površina ispod krivulje F(s)

4.1. Rad promjenjive sile

Čestica se giba duž krivocrtne putanje od točke A do točke B pod utjecajem promjenljive sile:

Putanju od A do B rastavimo na Nmalih odsječaka (∆si) tako da je u svakom od njih sila gotovo nepromjenljiva:

F-s dijagram

i iTiW F s∆ ≈ ⋅∆

Element rada:

A

B

∆s∆s

01

limi

BN

Ti i Ts

i A

W F s F ds∆ → =

= ∆ =∑ ∫

4.1. Rad

Rad sile F na elementarnom pomaku dr:

dW F d r= ⋅�� �

B B

A A

W F dr F d s= ⋅ = ⋅∫ ∫�� � �� �

Rad sile F na putanji čestice od točke A do točke B:

dr d s=� �

elementarnipomak

elementarniput

Rad je linijski integral sile duž putanje čestice od po četne do krajnje to čke.2 2J = N m = kg m /s Mjerna jedinica = džul (joule), J

- elektronvolt (eV) = energija elektrona ubrzanog razlikom potencijala 1 V

- vatsat (W h) – rad električne struje

(1 eV = 1.6·10-19 J)

(1 Wh = 3600 J)

4.1. RadPrimjer: Rad pri podizanju tijela :

rad podizanja = mghrad sile teže = -mgh

rad sile teže = mgh rad nošenja = 0

Automobil mase 1000 kg giba se uz brijegnagiba 10°stalnom brzinom 36 km/h. Rad silemotora za vrijeme 1 min je:

6sin sin 1,02 10 J

sin

W F s mg s mg vt

W mg h mg vt

θ θθ

= ⋅ = ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ = ⋅

�� �

G

G sin θ F

sθ

h

4.1. Rad

Rad po zatvorenoj krivulji (A-B-C-D-A) je nula.

Primjer: Rad pri podizanju tijela :

4.1. Rad

F/N

x/m

W

Primjer: Rad pri rastezanju opruge :

Oprugu rastežemo silom koja je jednaka po iznosu, a suprotna po smjeru, elastičnoj sili opruge:

F = k x = -Fo-sila opruge:

Fo = -kx - Hookeov zakon: sila je proporcionalna deformaciji i suprotnog smjera

Rad koji izvršimo pri rastezanju (stezanju) opruge za elongaciju x jednak je:

2

0 0

1

2

x x

W Fdx kxdx kx= = =∫ ∫

4.1. RadPrimjer: Rad pri svladavanju sile trenja :

Ftr

F

s

Rad sile F:

0

s

trW Fds F s mg sµ= = = ⋅ ⋅∫

Tijelo se giba jednoliko → F = Ftr

Rad sile Ftr:

W mg sµ= − ⋅ ⋅

Rad sile trenja je uvijek negativan!

4.2. Snaga

1W JP Js W

t s− = = =

Srednja snaga :

2 1

2 1

W W WP P

t t t

− ∆≡ = =− ∆

Trenutna ili prava snaga:

0lim

t

W dW F d s F v dtP

t dt dt dt∆ →

∆ ⋅ ⋅= = = =∆

�� � �� �

( )cos , ,P F v F v F vα α= ⋅ = ⋅ ⋅ =� �� �

∢

Definicijom rada se ne uzima u obzir vrijeme u kojem sila djeluje – razumno je definirati neku fizikalnu veličinu koja opisuje brzinu izvršavanja rada.

Snaga = koli čina izvršenog rada u jedinici vremena

Mjerna jedinica je vat.

4.3. Energija

= sposobnost tijela ili sustava da djeluje ili obavl ja rad

više energije → veći rad

- ako tijelo obavlja rad → energija mu se smanjuje

- ako okolina obavlja rad na tijelu → energija tijela raste

- rad i energija imaju istu mjernu jedinicu → čemu potreba za dvije različite fizikalne veličine?

Energija

stanje sustava:- t1, r1→ E1

- t2, r2→ E2

Rad

promjena stanja sustava:W12

t1, r1 → E1 îî t2,r1 → E2

Pojavni oblici energije

MEHANIČKA NEMEHANIČKI oblici

- električna,- kemijska- sunčeva- toplinska- nuklearna, …

= zbroj kinetičke i potencijalne energije tijela

4.3. Energija

Energija može prelaziti iz jednog oblika u drugi, a li se ne može ni stvoriti ni uništiti.

4.4. Kineti čka energija

= energija koju tijelo posjeduje kao posljedicu svog a gibanjanekom brzinom

Kolika je kinetička energija tijela mase m koje se giba brzinom v?

→ izračunajmo rad potreban da sila F ubrza to tijelo iz mirovanja

2

0

1

2

vdv dvW F ds ma ds m ds m vdt m vdv mv

dt dt= ⋅ = ⋅ = = = =∫ ∫ ∫ ∫ ∫

2 2

2 2k

mv pE

m= =

Ek = kinetička energija tijela mase m i brzine v (impulsa p).

4.4. Kineti čka energija

- rad sile F da bi ubrzala tijelo od početne brzine v1 do konačne brzine v2 je:

2 2

1 1

2 22 1

2 1

2 2

s v

s v

k k k

mv mvW Fds m vdv

W E E E

= = = −

= − = ∆

∫ ∫

Izvršeni rad jednak je promjeni kineti čke energije,

i obratno

promjena kineti čke energije jednaka je izvršenom radu.

Poučak o radu i kineti čkoj energiji

Ako tijelo vrši rad (W < 0), kinetička energija mu se smanjuje (∆Ek < 0).

Ako se nad tijelom vrši rad (W > 0), kinetička energija mu se povećava (∆Ek > 0).

Ako je rad jednak nuli, energija tijela ostaje konstantna.

4.5. Potencijalna energija

= energija koju tijelo posjeduje zbog svoga položaja prema drugim tijelima

Primjeri potencijalne energije (ovisno o sili koja djeluje na tijelo): - gravitacijska- elasti čna- elektrostatska- magnetska

- može se pretvoriti u kinetičku energiju i obratno, a isto tako i u rad

4.5. Gravitacijska potencijalna energijaIzračunajmo potencijalnu energiju tijela u gravitacijskom polju na Zemljinoj površini.

Rad sile teže na putu od A do B je:

( )B B

B Ag

A A

W F d r mg d r mg r r= ⋅ = = −∫ ∫��� � �� � �� � �

Budući je

( )( )

g

B A B A

B A

F mg mg j

j r r y y

W mgy mgy

= = −

⋅ − = −

⇒ = − −

�� �� �

� � �

Rad sile teže jednak je razlici dvaju funkcija položaja.

pE mgy= Gravitacijska potencijalna energija

Razlika potencijalne energije početne i konačne točke jednaka je radu sile teže.

1 2p p pW E E E= − = −∆

4.5. Gravitacijska potencijalna energija

Referentni nivo (Ep=0) može se odabati proizvoljno te je potencijalna energija odreñene do na konstantu.

Potencijalna energija može biti i pozitivna i negativna, dok je Ek uvijek pozitivna veličina.

Ep = 0 (y=0)

( )i fW mg y y mgd= − =

4.5. Elasti čna potencijalna energija

Rad vanjske sile pri rastezanju opruge:

21

2W kx=

Rad sile opruge :

( ) ( )

2

2

1

1

2

21

2

2

1

2

1 1

2 2

op

x

op

p p

x

op

W kx

W Fdx kx k

W E x E

x

x

= −

= =

= −

−∫

Potencijalna energija elastične opruge :

( ) 21

2pE x kx=

4.6. Konzervativne i nekonzervativne sile

Konzervativne sile su one sile kod kojih je rad po svakoj zatvorenoj putanji jednak nuli, ma kakav oblik ta putanja imala.

→ rad konzervativnih sila ovisi samo o početnoj i konačnoj točki, a ne o putanji izmeñu tih dviju točaka.

zxzy

yxWW

WW

WW=

=+=+

0

0

0k

F ds⋅ =∫� �

�→ Rad po zatvorenoj putanji=0.

Konzervativne sile su :-Elastična sila-Gravitacijska sila-Elektrostatska sila

4.6. Konzervativne i nekonzervativne sile

Nekonzervativne (disipativne) sile su one sile kod kojih rad ovisi o obliku putanje kojom je tijelo došlo iz početne u konačnu točku.

0NKF ds ≠∫� �

�

Rad sile trenja ovisi o putu:što je put duži, rad je veći!

4.6. Veza izmeñu rada vanjske sile i energije sustava

Primjer: gibanje tijela uz kosinu djelovanjem vanjske sile F’ (bez trenja).

II Newtonov zakon: ' sinma F mg α= −

Rad sile F’:

( )

( ) ( )

2 2

1 1

2 22 1

2 1

2 1 2 1

' ' sin

' sin

'2 2

'

s v

s v

p p k k

dvW F ds mg m ds

dt

dvW mg ds m vdt

dt

mv mvW mg y y

W E r E r E E

α

α

= = + =

= + =

= − + − =

= − + −

∫ ∫

∫ ∫

� �

' p kW E E= ∆ + ∆Kada vanjska sila djeluje na tijelo koje se nalazi u polju konzervativnih sila (gravitacija), tijelu se mijenja Ep i Ek.

4.6. Veza izmeñu rada vanjske sile i energije sustava

Rad vanjske sile W’ i rad konzervativne sile W mijenjaju Ek:

2 1' k kE EW W = −+

Rad konzervativne sile W:

( ) ( )1 2k p pW E rd s E rF= ⋅ = −∫�� �

Rad ostalih sila F’:

2 1 2 12 1' p p k kW E E E EE E= − = −+ −

- mijenja ukupnu mehaničku energiju sustava

4.7. Zakon o čuvanja energije

U zatvorenom sustavu ukupna energija ostaje sačuvana.

iE const=∑Primjer: slobodni pad.

p kE E const+ =

4.7. Zakon o čuvanja energije

21

2mgh mv=

4.8. Sudari

Zakoni očuvanja impulsa i energije!

Savršeno elastičan sudar- tijela se nakon sudara vraćaju u prvobitni oblik → Ep (deformacije) = Ek

vrijedi ZOE

-centralni sudar: čestice se prije i poslije sudara gibaju po pravcu

- izoliran sustav (nema vanjskih sila)

- III Newtonov zakon: F12 = -F21 → ZOP: p1+p2= p’1+p’2

1 2 1 2

2 21 1

' '

1 2 1 2

2 '22 '2

1 11 1

2 2 2 2

m v m v m v m v

m v m vm v m v

+ = +

+ = +

� � � �

� �� �

ZOP:

ZOE:

4.8. Sudari

Savršeno elastičan sudar

( )

( )

' 1 21 2 21

1 2

' 2 12 1 12

1 2

2

2

m m v m vv

m m

m m v m vv

m m

− +=

+

− +=

+

� ��

� ��

Posebni slučajevi:1. m1=m2=m → čestice zamijene brzine2. m1<<m2; v2=0 → udar u zid; zid prima impuls 2m1v1

3. m1>>m2; v2=0 → v’1≈v1, v’2≈2v1

' '1 2 2 1v v v v= =� � � �

'1 1v v= −� �

4.8. Sudari

Savršeno neelastičan sudar

- tijela se nakon sudara deformiraju, slijepe i gibaju zajedno istom brzinom (miruju)

- Ek nije očuvana → dio prijeñe na promjenu unutrašnje energije (toplinu)

- ukupna energija ostaje sačuvana

- impuls je očuvan

( )

( )

1 2

1 2

21

'

1 2 1 2

1 2

1 2

2 2'21 1

1 2

'

1

2 2 2

m v m v m m v

m v m vv

m m

m v m vm m v Q

+ = +

+=+

+ = + +

� � �

� ��

� ��

ZOP:

ZOE:

Ek = Ek’ + Q

4.8. Sudari

Savršeno elastičan sudar

Primjer: Balističko njihalo.Odredi brzinu metka v.

( ) 'mv m M v= +ZOP:

ZOE:

2m M

v ghm

+=

( ) ( )21'

2m M v m M gh+ = +

' 2v gh⇒ =

Domaća zadaća1. Je li lakše gurati tijelo ili ga vući? Zašto? Obrazložite odgovor bez trenja i uzimanjem trenja u obzir. Koliki je rad sile na putu s?

F FF

θ θ

a) b) c)

Domaća zadaća2. Tri identične kugle bačene su s vrha zgrade istom početnom brzinom: prva je bačena horizontalno, druga pod nekim kutom prema gore, a treća pod nekim kutom prema dolje. Zanemarujući otpor zraka, poredajte kugle: a) po redosljedu pada na tlo,b) po iznosu brzine pri padu na tlo.Obrazložite odgovore!