Gerak dalam Dua atau Tiga DimensiBagian II

Gerak MelingkarAdalah gerak benda dalam lintasan berbentuk lingkaran

Kecepatan Sudut Kecepatan Sudut Rata-rataDefinisiSatuan SI untuk kecepatan sudut adalah radian per detik (rad/s)Arah kecepatan sudut sama dengan arah pergeseran sudut.

Kecepatan SudutKecepatan sudut sesaatApabila interval waktu t 0, maka kecepatan sudut rata-rata menjadi kecepatan sudut sesaat, yaitu:Jika benda berrotasi dengan kecepatan sudut konstan, maka nilai sesaat dan nilai rata-rata adalah sama.

Percepatan Sudut Rata-rataDefinisiSatuan SI untuk percepatan sudut adalah radian per detik kuadarat (rad/s2)Arah percepatan sudut sama dengan arah kecepatan sudut.

Percepatan sudut sesaatDalam pembahasan ini dibahas percepatan sudut yang konstan, sehingga nilai percepatan sudut sesaat sama dengan nilai percepatan sudut rata-rata.

Gerak Melingkar Beraturan DEFINISI Gerak melingkar beraturan adalah gerak suatu benda dengan laju yang konstan (beraturan) menempuh lintasan berbentuk lingkaran.Definisi gerak melingkar beraturan menekankan bahwa besar vektor kecepatan konstan. Penting untuk diperhatikan bahwa arah vektor tidak konstan.

Setiap perubahan yang terjadi pada vektor kecepatan, walaupun hanya arahnya, hal ini menunjukkan adanya percepatan. Percepatan khusus ini dinamakan percepatan sentripetal, karena arahnya yang selalu menuju pusat, sebagaimana akan dijelaskan pada slide selanjutnya.Gerak Melingkar Beraturan

Percepatan Sentripetal Besar: Percepatan sentripetal sebuah obyek yang bergerak dengan laju v dalam lintasan melingkar dengan jejari r memiliki besar as yang diberikan oleh

Arah: Vektor percepatan sentripetal selalu mengarah ke pusat lintasan yang berbentuk lingkaran dan selalu berubah selaras dengan bergeraknya obyek.

Gaya SentripetalBesar: Gaya sentripetal merupakan nama yang diberikan untuk jumlah gaya-gaya yang diperlukan agar benda dengan massa m, bergerak dengan laju v , dalam lintasan melingkar dengan jejari r, besar gaya tersebut adalah

Arah: Gaya sentripetal selalu mengarah pada pusat lingkaran dan secara malar berubah arahnya selaras dengan bergeraknya benda.

Contoh: Efek Laju Pada Gaya SentripetalPesawat terbang mainan dalam gambar memiliki massa of 0.90 kg dan bergerak dengan laju konstan dalam lintasan lingkaran yang sejajar dengan tanah. Tentukan tegangan T dalam lintasan (panjang = 17 m) untuk laju 19 dan 38 m/s.

SolusiKarena gravitasi menarik pesawat ke bawah, kemiringan lintasan akan berarah ke bawah. Dengan demikian maka jejari lingkarang akan sedikit lebih kecil dari 17 m, dan hanya komponent horisontal tegangan yang mengarah ke pusat lingkaran untuk memberikan gaya sentripetal. Agar lebih sederhana, diasumsikan bahwa lintasan sejajar dengan permukaan tanah. Berdasar asusmsi ini, jejari lingkaran menjadi 17 m, dan seluruh tegangan, bukan hanya komponen horisontalnya, menjadi gaya sentripetal.

Dari persamaan , diperoleh:SolutionUntuk laju 19 m/sUntuk laju 38 m/s

Contoh: Gaya Sentripetal Dan Keamanan BerkendaraBandingkan laju maksimum sehingga dapat berbelok dengan aman pada suatu belokan datar (jejari = 50.0 m) saat udara kering (koefisien gesek statis= 0.900) dan cuaca ber-es (koefisien gesek statis = 0.100).

SolusiSaat laju maksimum, gaya sentripetal maksimum bekerja pada ban-ban mobil, dan gesekan statis harus mencukupi agar hal ini dapat terjadi. Besar gaya gesek statis maksimum diberikan oleh fsMAKS = msFN, di mana ms adalah koefisien gesek statis dan FN besar gaya normal. Langkahnya adalah, mencari gaya normal, substitusikan dalam ungkapan gaya gesek statis maksimum, samakan dengan mv2/r. Pengalaman mengatakan bahwa laju saat cuaca kering akan lebih besar dibandingkan dengan saat cuaca beres.

Karena mobil tidak dipercepat dalam arah vertikal, berat mg mobil akan diimbangi oleh gaya normal, sehingga FN = mg.

Akibatnya,

Solusi

Massa m yang dimiliki mobil akan tereliminasi secara aljabar. Semua jenis mobil, berat atau ringan, memiliki laju: Solusi

Belokan dengan KemiringanSaat suatu mobil berbelok pada tikungan datar, gaya gesek statis antara ban dan jalan memberikan gaya sentripetal. Kebergantungan pada gesekan dapat dihilangkan untuk suatu laju tertentu, jika tikungan dimiringkan dengan sudut tertentu terhadap arah horisontal, seperti halnya jalan dimiringkan dibuat agar mobil dapat berbelok.

Belokan dengan Kemiringan (Banked Curves)

Gambar a menampilkan mobil pada tikungan miring yang bebas gesekan. Jejari belokan r, di mana r diukur pada arah horisontal bukan pada arah permukaan yang miring. Gambar b menampilkan gaya normal FN yang diberikan jalan pada mobil, gaya ini berarah tegak lurus dengan permukaan jalan. Karena permukaan jalan membentuk sudut q dengan arah horisontal, gaya normal memiliki komponent FN sinq yang mengarah ke pusat lingkaran C dan memberikan gaya sentripetal: Belokan dengan Kemiringan

Komponen vertikal gaya normal adalah FN cosq dan, karena mobil tidak dipercepat pada arah vertikal, gaya ini harus diimbangi oleh berat mobil mg. Dengan demikian, FN cosq = mg. Dengan membagi persamaan sebelumnya dengan persamaan ini, diperoleh Belokan dengan Kemiringan

Persamaan ini menyatakan bahwa untuk suatu laju v, gaya sentripetal yang diperlukan untuk membelok dengan jejari r can dapat diperoleh dari gaya normal dengan memiringkan belokan sebesar sudut q, dan hal ini tidak bergantung massa kendaraan. Laju yang lebih besar dan jejari lebih kecil memerlukan kemiringan yang lebih curam, yaitu nilai q yang lebih besar. Pada laju yang terlalu kecil, mobil akan tergelincir turun; pada laju yang terlalu besar mobil akan tergelincir naik.Belokan dengan Kemiringan

Satelit dalam Orbit Melingkar Today there are many satellites in orbit about the earth. The ones in circular orbits are examples of uniform circular motion. Like a model airplane on a guideline, each satellite is kept on its circular path by a centripetal force. The gravitational pull of the earth provides the centripetal force and acts like an invisible guideline for the satellite.

Hanya ada satu laju yang dapat dimiliki sebuat satelit agar dapat mengorbit pada suatu jarak tetap. Untuk melihat bagaimana karakteristik fundamental ini muncul, misalkan gaya gravitasi bekerja pada satelit dengan massa m seperti dalam Gambar. Karena hanya gaya gravitasi yang bekerja pada satelit dalam arah radial, maka hanya gaya ini yang memberikan gaya sentripetal. Satelit dalam Orbit Melingkar

Dengan demikian, menggunkan hukum Newton untuk gravitasi, yaitu

G adalah konstanta gravitasi universal, ME adalah massa bumi, dam r jarak dari pusat bumi ke satelit. Pecahkan solusi untuk v bagi satelit, memberikan Satelit dalam Orbit Melingkar

Massa m satelit tidak terlihat dalam persamaan karena tereliminasi secara aljabar.Sebagai akibatnya, untuk suatu orbit tertentu, sebuah satelit dengan massa yang besar memiliki laju yang persis sama dengan satelit yang memiliki massa yang kecil Satelit dalam Orbit Melingkar

Contoh: Kelajuan Orbit Teleskop Ruang Angkasa HubbleTentukan kelajuan orbit Teleskop Ruang Angkasa Hubble (lihat Gambar) yang mengorbit pada ketingian 598 km di atas permukaan bumi.

SolusiRadius orbital r harus ditentukan secara relatif terhadap pusat bumi. Dengan menggunakan radius bumi yang berkisar 6.38106 m, dan ketinggian teleskop di atas permukaan bumi yaitu 0.598106 m, radus orbital r = 6.98106 m.Laju orbital

Contoh: Lubang Hitam Yang Super-padatTeleskop Hubble telah mendeteksi cahaya yang dipancarkan oleh beberapa daerah berbeda pada galaksi M87, seperti terlihat pada Gambar di samping. Lingkaran hitam menunjukkan pusat galaksi. Berdasar karakteristik cahaya yang dipancarkan, para ahli astronomi teleh menentukan laju mengorbit yaitu 7.5105 m/s untuk benda-benda yang berjarak 5.71017 m dari pusat galaksi. Tentukan massa M pusat galaksi.

SolusiGanti ME dengan M memberikan, yang dapat diselesaikan sehinggadiperoleh

Perbandingan massa tersebut dengan massa matahari adalah (4.81039 kg)/(2.01030 kg) = 2.4109. Artinya, materi yang terdapat di pusat galaksi M87 memiliki massa yang setara degan 2.4 milyar matahari

Perioda SatelitPerioda satelit, T, adalah waktu yang dibutuhkan untuk melakukan satu kali putaran (revolusi). Seperti pada gerak melingkar beraturan, hubungan antara perioda dan laju adalah v = 2pr/T. Maka akan diperoleh

Contoh: Laboratorium Ruang Angkasa Yang BerputarSuatu laboratorium ruang angkasa berputar untuk menimbulkan gravitasi buatan, seperti ditunjukkan dalam Gambar. Perioda rotasinya dipilih sedemikian sehingga pada cincin luar (rO = 2150 m) dapat dirasakan percepatan gravitasi seperti di bumi (9.80 m/s2). Berapa seharusnya jari-jari cincin bagian dalam rI, agar pada daerah ini dirasakan percepatan gravitasi seperti di planet Mars (3.72 m/s2)?

SolusiPerlu disadari bahwa nilai percepatan pada masing-masing cincin berkaitan dengan percepatan sentripetal as = v2/r cincin tersebut. Sedangkan hubungan antara laju v dan jari-jari r adalah v = 2pr/T, dengan Tadalah perioda gerak. Subsitusi hubungan ini ke dalam persamaan percepatan sentripetal memberikan

Terapkan persamaan tersebut bagi cincin bagian luar dan dalam. Kedua cincin memiliki perioda T yang sama, karena laboratorium dapat dianggap sebagai benda tegar. Setiap titik pada benda tegar memerlukan waktu yang sama untuk menempuh satu putaran.Solusi

Cincin luarSolusiCincin dalamBagi persamaan kedua dengan persamaan persamaan pertama sehingga dapat diperoleh

Gerak Melingkar VertikalBadut sirkus sering memperlihatkan kemampuan mereka dalam mengendarai motor menempuh lintasan lingkaran vertikal, seperti pada Gambar a. Secara umum, laju motor berubah-ubah dalam pertunjukan ini. Saat laju benda yang bergerak dalam lintasan lingkaran berubah-ubah, gerak ini disebut tidak beraturan. Walaupun demikian, tetap dapat digunakan konsep yang berlaku bagi gerak melingkar beraturan untuk memperoleh gambaran gerak yang terjadi pada lingkaran vertikal.

Gerak Melingkar Vertikal

Terdapat empat titik pada sebuah lingkaran vertical di mana gaya sentripetal dapat diidentifikasikan dengan mudan, seperti ditunjukkan dalam Gambar b. Gambar hanya menunjukkan berat motor ditambah dengan pengendaranya (besar = mg) dan gaya normal yang menekan motor (besar = FN ). Gaya dorong motor dan gaya rem diabaikan agar persoalan menjadi lebih sederhana, karena gaya-gaya tersebut tidak bekerja pada arah radial.Gerak Melingkar Vertikal

Besar gaya sentripetal pada tiap empat titik tersebut diberikan sebagai berikut dalam mg dan FN:Gerak Melingkar Vertikal

Saat motor berputar, besarnya gaya normal berubah. Gaya ini berubah karena laju berubah dan karena berat tidak memiliki efek yang sama pada tiap titik tersebut. Pada bagian bawah, gaya normal dan gaya berat berlawanan satu sama lain, memberikan gaya sentripetal dengan besar FN1 - mg. Pada bagian atas, gaya normal dan gaya berat saling menguatkan sehingga memberikan gaya sentripetal sebesar FN3 + mg.Gerak Melingkar Vertikal

Pada titik 2 dan 4 pada tiap sisi, hanya gaya FN2 dan FN4 yang memberikan gaya sentripetal. Gaya berat berarah tegak lurus sehingga tidak ada komponen mengarah ke pusat lingkaran. Jika laju pada keempat titik tersebut diketahu, bersama-sama dengan massa dan jari-jari, gaya normal dapat ditetukan.Gerak Melingkar Vertikal