IMPULSNI I ODSKO^NI ODZIVI

LINEARNIH SISTEMA

М.Божић, САУ, октобар 2013.

СадржајParametri odsko~nog odziva

Polovi, nule i vremenski odzivi:

Утицај реалних полова;

Утицај коњуговано комплексних полова;

Zakqu~ci o uticaju polov;

Утицај нула функције преноса;

Прескок/подбачај у одскочном одзиву.

Трансмисионе нуле

IMPULSNI ODZIV• Odziv na ulaz oblika Dirakove (delta)

funkcije vremena. • Laplasova transformacija Dirakovog

impulsa je jednaka jedinici, pa je otuda odzivelementa/sistema sa funkcijom prenosa G(s) i pri nultim po~etnim uslovima jednostavno

• Dakle, funkcija prenosa kontinualnogelementa/sistema je jednaka Laplasovojtransformaciji wegovog impulsnog odzivapri nultim po~etnim uslovima.

)()()()( sGsUsGsY ==

ODSKO^NI ODZIV

• ^e{}e se posmatra odziv za odsko~nufunkcije vremena na ulazu. Laplasovatransformacija jedini~ne odsko~nefunkcije vremena je U(s)=1/s.

• Otuda je kompleksni lik odsko~nogodziva dat sa

ssGsY 1)()( =

Tipi~an oblik odsko~nog odziva

y∞ Mp

Mu ts

tr 2δ

Parametri odsko~nog odziva

o Vrijednost odsko~nog odziva u stacionarnom stawu (steady-state value) (ako postoji) pri jedini~nom odsko~nom ulazudobijamo kao

o Vrijeme porasta (rise time) tr je ono vrijemekoje protekne dok odsko~ni odziv prvi put dostigne vrijednost

gdje kr varira izme|u 0 i 1.

)0(1)(lim)(lim0

Gs

ssGytyst

===→∞∞→

∞ykr

Parametri odsko~nog odziva(1)o Preskok (overshoot) Mp je maksimalna

trenutna vrijedost za koju odsko~ni odzivprelazi svoju kona~nu vrijednost.

o Podba~aj (undershoot) Mu je maksimalna (apsolutna) vrijednost za koju odsko~ni odziv ide u suprotnu stranu od kona~ne vrijednosti.

o Vrijeme smirewa (settling time) ts je vrijeme potrebno da odsko~ni odziv u|e i ostane u granicama oko svoje kona~ne vrijednosti. Ova devijacija se ~esto izra`ava u postotcima od kona~ne vrijednosti (naprimjer, 2% do 5%).

δ±

Polovi, nule i vremenski odzivi

• Efekat jednostrukog realnog pola

• gdje su K, T realne i pozitivnekonstante.

Odziv na ulaz oblika jedini~neodsko~ne funkcije vremena je

1)(1 +=

TsKsG

0),1(1)1(

)( 11 ≥−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+−=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

+=

−−− teKTsKT

sK

TssKty T

t

ll

Polovi, nule i vremenski odzivi(1)

• Odскочни оdziv за G1(s) je aperiodi~ani prikazan je na slici.

0 T t

y K

0.632K

Polovi, nule i vremenski odzivi(2)

• Vrijednost odsko~nog odziva u stacionarnom stawu je

• K - odnos ulaza i izlaza u stacionarnom stawu.

• T- vremenska konstanta elementa

• Svi elementi prvog reda imaju jedan realan pol i aperiodski odsko~ni odziv, pa se obi~no nazivajuaperiodskim. Elementi sa ve}om vremenskomkonstantom T imaju sporiju reakciju, {to odgovarapomjerawu realnog pola (s=-1/T) prema imaginarnoj

osi.

KTs

KGys

=+

==→∞ 1

lim)0(0

Uticaj kowugovano kompleksnih polova

• Нека је систем дат функцијом преноса

• gdje se naziva faktorom prigu{ewa, a prirodnom neprigu{enom kru`nom frekvencijom.

Tako|e,

• se naziva prigu{enom kru`nom frekvencijom.

• Ako vrijedi , tada funkcija ima dva kowugovano

kompleksna pola, koji su dati sa

22

2

2 2)(

nn

n

sssG

ωςωω

++=

ς nω

21 ςωω −= nd

10 << ς

dn js ωςω ±−=2,1

Uticaj kowugovano kompleksnih polova (1)

• Primjewuju}i inverznu Laplasovu transformacijukona~no dobijamo

• gdje je

ssssssY

dn

n

nn

n

))(()2()( 22

2

22

2

ωςωω

ωςωω

++=

++=

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++

+++

+−

−−=

++−

+++

−=

22222

2

2222

)()(1

111

)()(1)(

dn

d

dn

n

dn

n

dn

n

sss

s

sss

ssY

ωςωως

ωςωςως

ς

ωςωςω

ωςωςω

)sin(1

1)(2

βως

ςω

+−

−=−

tety d

tn

ςβ =cos

Oblici odsko~nog odziva za razli~itevrijednosti faktora prigu{ewa ( )dpTy ωπ2,1 ==∞

ζ= 0

S l .3 .8

ζ=0.1

Sl.3.9

ζ=0.3

ζ=1

Parametri odsko~nog odziva• Eksponencijalno prigu{ewe amplitude oscilacija je prema ,

pa je prirodno usvojiti dominantnu vremensku konstantu

• Parametri odziva za G2(s) se mogu odrediti prema

o Vrijeme porasta za kr=1, se dobija na osnovu

o Preskok u odsko~nom odzivu Mp i trenutak wegovog nastupawa tpse dobija iz uslova

tne ςω−

ndT

ςω1

=

0)sin(1 2

=+−

−

βως

ςω

rd

t

te rn

drt ω

βπ −=

−=dt

tdy )(0))cos()sin((

1 2=+++−

−

−

βωωβωςως

ςω

ttedddn

tn

dpt

ωπ

= 211)( ς

πς

−

−

=−= etyM pp

Parametri odsko~nog odziva(1)o Za male vrijednosti imamo

o Vrijeme smirewa: (za 2% odstupawa

od vrijednosti stacionarnog stawa)

(za 1% odstupawe od vrijednosti

stacionarnog stawa)

ς 601

.ς

−≅pM

dn

s Tt 44==

ςω

dn

s Tt 6464 ..==

ςω

Zakqu~ci o uticaju polovao Svaki pol u odzivu na impuls generi{e prelaznu

komponentu koja se naziva prirodnim modom(komponenta odziva). Modovi }e imati aperiodskikarakter ako su generisani realnim polovima, a modovi koji odgovaraju kompleksnim polovima }e imati oscilatoran karakter.

o Polovi koji su mnogo bli`e imaginarnoj osi s- ravninego ostali se nazivaju dominantnim ili sporimpolovima, zato {to prelazne komponente kojeodgovaraju ovim polovima iz~ezavaju mnogo sporijenego za ostale.

o Polovi odre|uju pojedine modove nezavisno jednih od

drugih.

Nule• Nule predstavqaju neku interakciju vi{e polova

(wihov kombinovani uticaj) na odziv sistema.

• Dakle, polovi odre|uju modove sistema, a lokacijanula odre|uje proporciju s kojom se taj mod kombinuje

u formirawu izlaza. • Sli~no kao i za polove razlikova}emo “”brze””” i

”spore”” nule. Termin spore se odnosi na sve nulekoje su bli`e imaginarnoj osi s- ravni od

dominantnih polova.

• Primjer 1

• Сistem drugog reda sa jednom kona~nom nulom u s=ci polovima u -1 i -2, tj.

)2)(1()(2)(++

+−=

ssccssG

Nule(1)• Kada je nula bliska nekom od polova oni ~ine dipol i

wihov uticaj na dinamiku elementa se mo`e

zanemariti. Preciznije, ako se radi o “brzoj” nuli

|c|>>1 tada je uticaj ove nule na odsko~ni odzivzanemarqiv. Kada se radi o “sporoj” nuli u lijevojpolovini s- ravni dobija se preskok u odsko~nomodzivu.

• c=-1 c=-0.5

Nule(2)o Za slu~aj kada je nula male pozitivne vrijednosti

dobija se podba~aj u odsko~nom odziv koji mo`e postati dramati~no velik kada se lokacija nule pribli`ava imaginarnoj osi. Ovo se mo`e boqe sagledati koriste}i osobine Laplasove transformacije.

o Lema 1. Neka je H(s) strogo prava funkcija kompleksne promjenqive s sa obla{}u konvergencije Re (s)>- α . Ozna~imo inverznu Laplasovu transformaciju ove funkcije sa h(t). Tada

za neko z0 koje zadovoqava Re (s)> - α , imamo

Dokaz ove tvrdwe proizilazi iz definicije Laplasovetransformacije po{to se z0 nalazi u oblasti konvergencije.

)(lim)(0 0

0 sHdtethzs

tz∫∞

→

− =

Подбачај у одскочном одзиву• Ovaj rezultat se mo`e koristiti za procjenu uticaja nula

funkcije prenosa i parametara odsko~nog odziva. Tako, naprimjer, imamo sqede}u relaciju izme|u neminimalno fazne

nule s=c>0 funkcije prenosa G(s) i vrijednosti podba~aja u

odsko~nom odzivu Mu,

• gdje odre|uje vrijeme smirewa odsko~nog odziva ts

( ). Dokaz za ovu procjenu se mo`e dobiti pomo}u uvo|ewa gre{ke v(t)=1-y(t) pa je tada

Oblast konvergencije za V(s) je data sa Re(s)>0. Dakle nula c jeunutar ove oblasti pa imamo

Poslije rastavqawa podru~ja integracije

11

−−

≥ − sctu eM δ

δsttty ≥∀<<+≤≤− ),1(,1)(1 δδδ

ssGsV 1))(1()( −=

∫∞

−==−

=0

)(1)(1)( dtetvcc

cGcV ct

cdtetvdtetv ct

t

tct

s

s 1)()(0

≥+ −∞

− ∫∫{ } 01)(max max0

>+==> ut

MVtvc

eceVdtedteV

c

SS

S

S ctct

t

ctctt −−∞

−− +−

=+≤ ∫∫ δδ 11max

0max

Подбачај у одскочном одзиву(1)

• Treba tako|e primijetiti da u slu~aju kada je ctS<<1 imamo

• {to ukazuje na potrebu za pravqewe kompromisa u sintezi.

• Odsko~ni odziv sistema 2.reda sa kona~nom nulom, za c=0.1• Sli~ni rezultati se mogu dobiti za slu~aj kada je sistem minimalno fazni ali

su wegove nule bli`e imaginarnoj osi nego {to su dominantni polovi sistema. Tada je vrijednost preskoka u odsko~nom odzivu obrnuto srazmjerna sa

udaqenosti nule od imaginarne ose.

Su ct

M 1>

Подбачај у одскочном одзиву(2)

>> g=zpk([.5],[-2 -4],-8/0.5);>> t=0:0.01:4;>> y1=step(g,t);>> plot(t,y1)>> g1=zpk([1],[-2 -4],-8)

Zero/pole/gain:-8 (s-1)-----------(s+2) (s+4)

>> y2=step(g1,t);>> plot(t,y1,t,y2)>> xlabel('t[s]'),ylabel('y1,y2')>> title('Odskocni odzivi sistema')

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-2

-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1

t[s]

y1,y

2

Odskocni odzivi sistema

Трансмисионе нуле

• Додатни увид у ефекат нула се може добити посматрајућипосебан улаз за систем са функцијом преноса G(s) дат са

Треба примијетити да улаз садржи једини екситујући мод . Излаз система је тада

гдје је компонента слободног одзива система.Ако се сада примијени резултатG(c)=0видимо да се мод блокира и не појављује на излазусистема. Ова особина је повод да се нула у s=c некада назива«трансмисионом».

csvsU

−=

1)(cte

)(1)()( sYcs

vcGsY s+−

=

cte

)(sYs

Трансмисионе нуле(1)

• Примјер 2Нека функција преноса система има коњуговано комплексненуле на имагинарној оси у s1,2 =±i2.

>> gz=tf([1 0 4],[1 5 25])

Transfer function:s^2 + 4

--------------s^2 + 5 s + 25>> t=0:0.01:10;>> U=sin(2*t);>> lsim(gz,U,t)