Jesús Moisés Castro Iglesias

CALCULO DE ESTRUCTURAS y

CONSTRUCCIÓN

E.U.E.T.E.F – Pontevedra 2011

CAPITULO I :

• Tensiones Principales

Lección 2 :

• 2.1 Componentes de un Vector. Cosenos directores.

• 2.2 Componentes del Vector Tensión

• 2.3 Expresión matricial le las componentes del Vector

• 2.4 Estado tensional de un punto

• 2.5 Teorema de Reciprocidad de las tensiones tangenciales.

• 2.6 Definición de las Tensiones Principales. Direcciones

Principales.

• 2.7 Cálculo Matricial. Ecuación característica.

• 2.8 Ejemplos

Componentes de un vectorComponentes de un vector

X

Y

Z

VVz

Vx

Vy

V = Vx + Vy + Vz

Vx = V· cos V·

Vy = V· cos V ·

Vz = V· cos V ·

Componentes del vector tensiónComponentes del vector tensión

i

j

k

z

x

y

x = ·

y = ·

z =

u = i + j + k

= 2 + 2 + 2

= x + y + z

dx dy

dz

Componentes de un vector en expresión matricialComponentes de un vector en expresión matricial

u

i

j k

*

x

y

z

i

j k

*

Estado tensional de un punto

x

y

z

nxnx

xy

xz

xz

xy

yxny

yz

nz

zyzx

dxdy

dz

Estado tensional de un punto: Fuerzas

x

y

z

nxnx xy

xz

xz

xy

yxny

yz

nz

zy zx

dy·dz· nx +dx·dz· yx +dy·dx· zx = dy·dz· nx +dx·dz· yx +dy·dx· zx

dy·dz· xy +dx·dz· ny +dy·dx· zy = dy·dz· xy +dx·dz· ny +dy·dx· zy

dy·dz· xz +dx·dz· yz + dy·dx· nz= dy·dz· xz +dx·dz· yz + dy·dx· nz

dy·dx· nz

Fx = 0

Fy = 0

Fz = 0

dy·dz· xz

dx·dz· yz

Cálculo de esfuerzos en “Z”:

x

y

z

nxnx xy

xz

xz

xy

yxny

yz

nz

zy zx

Mxz =(dy·dx· nz )·dy·1/2 - (dy·dx· nz )·dy·1/2

Myz =(dy·dx· nz )·dx·1/2 - (dy·dx· nz )·dx·1/2

(dx·dz· yz )·dy – (dy·dx· zy)·dz = 0 Mx = 0 =>

(dy·dx· zx )·dz – (dy·dz· xz )·dz = 0 My = 0 =>

(dx·dz· xx )·dy – (dy·dz· xy)·dx = 0 Mz = 0 =>

Teorema de la reciprocidad de las Tensiones Tangenciales

Los términos se anulan dos a dos:

Salvo

Estado tensional de un punto: Momentos

dx dy

dz

nz

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

zy = yz

zx = xz

xy = yx

yz

zy

Vectores tensión en un punto

Fx = 0 => nx dy dz + zx dx dy + yx dx dz = XFy = 0 => ny dx dz + zy dy dx + xy dy dz = YFz = 0 => nz dx dy + xz dy dz + yz dx dz = Z

Tomamos momentos respecto al eje Z, Y, X

Mx = 0 => ( zy dx dy ) dz - ( yz dx dz ) dy = 0My = 0 => ( zx dy dx ) dz - ( xz dy dz ) dx = 0Mz = 0 => ( xy dy dz ) dx - ( yx dx dz ) dy = 0

Teorema de reciprocidad de las tensiones tangenciales

Como resumen Esfuerzos en X, Y,Z:

Tensiones principales de un punto

nx

xz

xy x

y

z N

d

dSx = d·

dSy = d· dSz = d·

Tensiones principales de un punto

nx

xz

xy x

y

z N

2

3

1

= 1+ 2 + 3

1 2 3

Condiciones de equilibrio

x d = nx d + yx d + zx d

y d = xy d + ny d + zy d

z d = xz d + yz d+ nz d

x

y

z

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz

cosenos directores[ [ [ u

Matriz de tensionesMatriz de tensiones

T nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz

x

y

z

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz

= T * u

cosenos directores

Tensiones y direcciones principales

0 = (nx - )* + yx * + zx * 0 = xy * + (ny - )* + zy * 0 = xz * + yz * + (nz -)*

[ [ [ uExiste un plano cuya tensión es perpendicular a él:

Su determinante es :

(nx - ) yx zx

xy (ny - ) zy

xz yz (nz -)

= 0 que desarrollado es

- + I1 - I2+ I3 = 0

Calculo matricial

[ T ] =Matriz de tensionesEcuación de equilibrio

x = nx + yx + zx x nx yx zx

y = xy + ny + zy y = xy ny zy * z = xz + yz + nz z xz yz nz

= [ T ] * [u]

=nx + yx + zx

= xy + ny + zy => = 0 = xz + tyz + nz -

Invariante lineal = nx + ny + nz

Invariante cuadrático = nx ny ny nz + nx nz - 2

yx - zx -

yz

= T

> >

- 3 + I1 2 - I2 + I 3

Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales

Calculo matricial

Cambio de ejes coordenados

u1* = u2

* = u3* =

r = xu1 + yu2 + zu3 REFERENCIA: Elasticidad, L. Ortiz Berrocal

r = x*u*1 + y*u*2 + z*u*3

x x*x = x* + y* + z* y = * y*y = x* + y* + z* z z*z = x* + y* + z*

r = [R ] * [r*]

=nx + yx + zx

= xy + ny + zy => = 0 = xz + tyz + nz -

-3 + I1 2 - I2 + I 3

Cambio de ejes

Ecuación característica : Direcciones Principales y Tensiones Principales

Tensiones y direcciones principales[ [ [ u

Tensiones principales : son las raíces de la ecuación

Ecuación característica o secular

- + I1 - I2+ I3 = 0

donde :

I1 = nx + ny+ nz

I2 = nxny+nynz+nznx-yz-

zx-xy

I3 = |

Tensiones PrincipalesTensiones Principales

T 1

2

3

= 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k

n = . u = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 n = dFN

dS

=dFt

dS 2 = 2 - n

2

Tensiones y direcciones principales

1

2

3

1 2 32

3

1

Direcciones principales

1

2

3

x y z

=

=>x = 1

y = 2

z = 3 =>

12 2

2 32

x2 y2 z2+ + = 1Elipsoide de Lamé

Unidades utilizadas en Tensiones.

• Sistema C.G.S. => dynas/cm2 = 0,1 Pa• Sistema Internacional => Newton/m2 = 1 Pa• Sistema Técnico => 1 Kp/m2 = 9,8 Pa

• Utilizamos => 1 Kg/cm2 = 9,8 . 10 4 Pa = 10 4 Kp/m2

Conclusiones

Solicitaciones sobre un prisma mecánico.

=dF

dS n =

dFN

dS =

dFt

dS

Componentes Intrínsecas de la Tensión

Matriz de tensionesMatriz de tensiones

Tensiones principales 1 2 3

Cosenos directores = 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k

Problema Nº 1En un punto P de un sólido elástico la matriz de tensiones referida al triedro OXYZ es:

T

Calcular en el punto P el vector correspondiente a un plano cuya normal exterior está definida por un vector que forma ángulos iguales de 45º con los ejes X e Y y siendo positivas sus componentes.

Indicar si las tensiones principales son de tracción o de compresión.

Problema Nº 1

T

u = \ i + \ j + k

nx

ny

nz

xy

yx

zx zy

yz

xz x

y

z

\\

3·\0

2·\

= 3·\ i + 0 j + \ k

Problema Nº 1

0

0 = 3 - 4 2 - 4 +17

Representación Fórmula

-120

-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

-4,1

-3,6

-3,1

-2,6

-2,1

-1,6

-1,1

-0,6

-0,1 0,4

0,9

1,4

1,9

2,4

2,9

3,4

3,9

4,4

4,9

Tensión

Serie1

= f =-4,1 -102,761

-4 -95-3,9 -87,559-3,8 -80,432-3,7 -73,613-3,6 -67,096-3,5 -60,875-3,4 -54,944-3,3 -49,297-3,2 -43,928-3,1 -38,831

-3 -34-2,9 -29,429-2,8 -25,112-2,7 -21,043-2,6 -17,216-2,5 -13,625-2,4 -10,264-2,3 -7,127-2,2 -4,208-2,1 -1,501

-2 1-1,9 3,301-1,8 5,408-1,7 7,327-1,6 9,064-1,5 10,625-1,4 12,016-1,3 13,243-1,2 14,312-1,1 15,229

-1 16-0,9 16,631-0,8 17,128-0,7 17,497-0,6 17,744-0,5 17,875-0,4 17,896-0,3 17,813-0,2 17,632-0,1 17,359

-9,77E-15 170,1 16,5610,2 16,0480,3 15,4670,4 14,8240,5 14,1250,6 13,3760,7 12,5830,8 11,7520,9 10,889

1 101,1 9,0911,2 8,1681,3 7,2371,4 6,3041,5 5,3751,6 4,4561,7 3,5531,8 2,6721,9 1,819

2 12,1 0,2212,2 -0,5122,3 -1,1932,4 -1,8162,5 -2,3752,6 -2,8642,7 -3,2772,8 -3,608

1 2 3

Problema Nº 1

[T]

1 2 3

= 1 . .i + 2 . .j + 3 . .k

n = . u = 1 . 2 + 2 . 2 + 3 . 2 = 4·(2/4) +2,1·0 –2,1·(1/2) = 1,95

2 = 2 - n2 = 9·(1/4) + (1/2) – (1,95) 2

= 3·\ i + 0 j + \ k

Problema Nº 2Las tensiones principales en un punto P de un sólido elástico, referidas a un sistema cartesiano ortogonal OXYZ y expresadas en MPa son:

Calcular la tensión correspondiente a un plano cuya normal exterior forma ángulos agudos iguales con los semiejes positivos del triedro OXYZ.

1 = 50/3.(2 .i + .j + k)

2 = .i - .j - .k

3 = .(i - .j + .k)

1 2 3

u1 = 1/3.(2 .i + .j + k)

u2 = 1/3·( .i - .j - .k)

u3 = .(-i + .j - .k)

(u1 )2= (4 + + )

(u2 )2 = ( + + )

(u3 )2 = (1 + + )

(u1 )2 +(u2 )2 +(u3 )2 = 1

Problema Nº 2

1 = 50/3.(2 .i + .j + k)

2 = .i - .j - .k

3 = .(i - .j + .k)

1 2 3

u1 = 1/3.(2 .i + .j + k)

u2 = 1/3·( .i - .j - .k)

u3 = .(-i + .j - .k)

= = = 3-1/2

2 + 2 + 2 = 1

u = i + j + k = 3-1/2· ( i + j + k)

x = x*+ y*+ z*

y = x*+ y*+ z*

z = x*+ y*+ z*

’ = u1·u = 3-1/2 ·1/3·(2 + 2 + 1) = 5· 3-3/2

’ = u2·u = 3-1/2 ·1/3·(2 - 1 - 2) = - 3-3/2

’ = u3·u = 3-1/2 ·1/3·(-1 + 2 - 2) = - 3-3/2

1

2

3

’

’

’

*

5· 3-3/2

- 3-3/2

- 3-3/2* = 250· (3-3/2 )·i - 30·3-3/2 ·j- 20·3-3/2 ·k

= 48,61 MPa