Euler - Lagrange

Euler - LagrangeModelos Elctricos y ElectromecnicosModelado y simulacin de sistemas mecatrnicos

M. en C. Juan Carlos Guzmn SalgadoUPIITA - IPN

IntroduccinLos sistemas mecnicos guardan muchas similitudes con los sistemas elctricos; esta circunstancia permite que las ecuaciones de Lagrange, obtenidas considerando sistemas del primer tipo, puedan ser aplicables a sistemas de la segunda clase. Para ver esto, se hace enseguida una compilacin de algunas de las principales relaciones de la electricidad, el electromagnetismo y los circuitoselctricos.

1. El flujo electromagntico y la corriente i que lo produce guardan la relacin = Li (1)

donde L es una constante que depende de factores geomtricos y de entorno llamada inductancia. Un componente elctrico que se comporta segn (1) tambin recibe el nombre de inductancia.2. Los cambios de flujo electromagntico originan potenciales elctricos, ambos estn relacionados por la Ley de FaradayuL = d/dt

donde uL denota el voltaje en los terminales de la inductancia a raz del cambio de flujo. Considerando (1), la ley de Faraday puede expresarse en la forma

uL = L di/dt (2)

3. En elementos resistivos el voltaje uR entre los bornes del componente y la corriente i que circula por l obedecen la Ley de Ohm, que se enuncia comouR = Ri (3)donde R es una constante que depende del componente denominadoresistencia.

4. El voltaje uC entre los terminales de una capacitancia y la carga q que se encuentra en sus placas siguen la relacin

(4)

donde C es una constante que depende de la geometra y el entorno denominada capacitancia. Si se considera que la corriente se define como la variacin temporal de carga, es decir

(5)

entonces, de forma alterna, (4) se expresa en los trminos

(6)

5. Las leyes de Kirchhoff establecen dos relaciones matemticas fundamentales en el anlisis de circuitos elctricos.Ley de la Malla: la suma de los voltajes en todo lazo cerrado de un circuito elctrico es nula.Ley del Nodo: la suma de las corrientes en todo punto de un circuito elctrico es nula.

Para los sistemas elctricos la energa cintica, energa potencial y la resistencia se definen como sigue en funcin de la carga elctrica:

L

C

R

F

Energa potencial, representa las fuerzas potenciales de interaccin, como las fuerzas de los resortes, voltajes en capacitores y la gravedad.

Energa cintica debida a las masa, inercias e inductancias

representa los voltajes y fuerzas externas aplicadas al sistema que actan a lo largo de la isima coordenada.

representa las fuerzas de friccin en el sistema, como friccin y resistencias elctricas.

Se obtiene

(1)

que es conocida como la Ecuacin de Movimiento de Lagrange.

DondeLagrangiano

Mtodo de Lagrange.

F=.

.

.