0.1 Einleitung, Grundbegriffe

• Nichtlineare Physik (nichtlineare Dynamik) befasst sich nicht mit bestimmtenPhanomenen (wie Optik, Elektrodynamik,..), sondern mit Methoden und all-gemeinen Eigenschaften der Dynamik. Ahnlich wie statistische Physik, dassist ehe eine Sprache.

• Interdisziplinare Anwendungen: Schaltkreis, Josephson-Kontakte, Laser-Modell,Okologische Systeme, Neuronen-Modelle,. . .

• Historisch gesehen: Entwicklung der Mechanik, Hydrodynamik,Ingenieur-Wissenschaften (Funk), etc. Deswegen sieht man manchmal unter-schiedliche Terminologie.

0.1.1 Dynamische Systeme

Gesetze der Entwicklung sind vorgegeben. Die werden entweder durch DFGl oderdurch Abbildungen beschrieben.

Beispiel 0.1 DFGl, Oszillator mit Reibung

md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = 0

oder, mit x1 = x und x2 = x:

x1 = x2

x2 = − b

mx2 −

k

mx1

Dieses System ist linear.

Beispiel 0.2 Pendel ohne Reibung

x+ g/l sinx = 0

oder

x1 = x2

x2 = −glsinx1

Nichtlinear, viel schwieriger zu losen.

1

Geometrische Darstellung, Phasenraum: Losung ist eine Kurve x1(t), x2(t)im Phasenraum (hier Ebene). Heufig konnen wir die Trajektorien in Phasenraumskizzieren, ohne das Gleichungssystem zu losen. Allgemein: System n-ter Ordnung:

x1 = f1(x1, . . . , xn)

x2 = f2(x1, . . . , xn)

. . .

xn = fn(x1, . . . , xn)

Beispiel 0.3 Abbildung: Diskrete ZeitOszillator, periodisch getrieben. Stroboskopische Abbildund der Phase.

0.1.2 Transiente und stationare Losungen

Pendel mit Reibung, van der Pol Gl. Stationare Zustande und Schwingungen. Irre-gulare Schwingungen.

0.1.3 Determinismus und Vorhersagbarkeit

Pierre-Simon, marquis de Laplace: “ Wir mussen also den gegenwartigen Zustanddes Universums als Folge eines fruheren Zustandes ansehen und als Ursache desZustandes, der danach kommt. Eine Intelligenz, die in einem gegebenen Augenblickalle Krafte kennte, mit denen die Welt begabt ist, und die gegenwartige Lage derGebilde, die sie zusammensetzen, und die uberdies umfassend genug ware, dieseKenntnisse der Analyse zu unterwerfen, wurde in der gleichen Formel die Bewegun-gen der großten Himmelskorper und die des leichtesten Atoms einbegreifen. Nichtsware fur sie ungewiss, Zukunft und Vergangenheit lagen klar vor ihren Augen.”

Anfangswertproblem. Genauigkeit der Anfangsbedingung.

2

Beispiel 0.4 Bernoulli-AbbildungVariable x, 0 ≤ x ≤ 1.

xn+1 = 2xn mod 1

Hier y mod 1 Operation bedeutet: y > 1 → y − 1, y ≤ 1 → y.Das System ist deterministisch: x0 bestimmt eindeutig die Zukunft. Die Frage:

Sei x0 < 0.5; ist nach 200 Schritte x > 0.5 oder x < 0.5? Schreiben wir x imDualsystem (Binarsystem):

x =∞∑

i=1

ai2−i = 0.a1a2a3 . . .

mit ai = 0, 1. Dann2x = a1.a2a3 . . .

Z.Bx = 0.001100 . . . 2x = 0.01100 . . .

Hier 2x mod 1 bedeutet: a1 = 1 → a1 = 0 und a1 = 0 → a1 = 0. Eine Iteration derAbbildung = Verschiebung nach links:

0.a1a2a3 . . . → 0.a2a3a4 . . .

Nach 200 Schritte: 0.a201a202 . . .. Moderne Rechner sind nicht so prazis.

Beispiel 0.5 Chaos: Doppelpendel

0.1.4 Autonome und nichtautonome Systeme

Beispiel 0.6 Erzwungene Schwingung

md2x

dt2+ b

dx

dt+ kx = F cos t

Um eine eindeutige Losung zu bekommen, brauchen wir 3 Werte: x, x, und t =⇒Der Phasenraum ist 3-dim. Mit x1 = x, x2 = x und x3 = t

x1 = x2

x2 = − b

mx2 −

k

mx1 + F/m cos x3

x3 = 1

Das System mit der explizite Zeitabhangigkeit ist 3-dim.

3

Beispiel 0.7 Van der Pol, extern getrieben. Synchronisation.

0.1.5 Bifurkationen

Abhangigkeit von einem Parameter, qualitative Anderung des Verhaltens. Beispiele:Balken - Masse, Wasserhahn...

4

Kapitel 1

Phasenraum: Linie

In Mechanik: verallgemeinerte Koordinaten qi, Lagrangesche Gl

d

dt

∂L

∂qi=∂L

∂qi.

Anfangswerte: qi(0), qi(0).Allgemeines dynamisches System

x1 = f1(x1, . . . , xn)

x2 = f2(x1, . . . , xn)

. . .

xn = fn(x1, . . . , xn)

Anfangswerte: xi(0). Dis Losung kann man durch Trajektorien, die durch den n-dim.Phasenraum mit Koordinaten x1, x2 . . . , xn fliessen, darstellen.

Wir fangen mit einem 1-D System oder System der ersten Ordnung an:

x = f(x) .

x(t) ist reell, f(x) ist reell und glatt. Keine explizite Zeitabhangigkeit: das Systemf = f(x, t) ist schon ein System zweiter Ornung und wird spater behandelt.

1.1 Geometrische Darstellung

Interpretation der DfGl als Vektorfluss. Die nichtlineare Gl

x = sinx

5

ist eine der wenigen, die losbar sind.

dt =dx

sinx=⇒ t = − ln

∣

∣

∣

∣

1 + cos x

sinx

∣

∣

∣

∣

+C

Anfangsbedingung: x(0) = x0

=⇒ C = ln

∣

∣

∣

∣

1 + cos x0sinx0

∣

∣

∣

∣

=⇒ t = ln

∣

∣

∣

∣

(1 + cos x0) sinx

sinx0(1 + cos x)

∣

∣

∣

∣

Exact, aber schwer zu interpretieren. ZB Frage: qualitatives Verhalten fur x0 = π/4?Was passiert wenn t → ∞? Formel hilft nicht viel, geometrisch aber sehr einfach.x > 0 =⇒ Fluss nach rechts, x < 0 =⇒ Fluss nach links. Gleichgewichte(Fixpunkte), stabile (attractors, Senken) und instabile (repellers, Quellen).

6

1.2 Fixpunkte und deren Stabilitat

Allgemein, Fixpunkte werden durch f(x∗) = 0 bestimmt. Phasenportrait. Fixpunktist unstabil wenn kleine Storungen wachsen und stabil, wenn die abfallen.

Beispiel 1.1 Fixpunkte von x = x2 − 1.Lsg: x∗ = 1 instabil, x∗ = −1 stabil. Bemerkung: lokale vs. globale Stabilitat. Hier:x∗ = −1 ist nur lokal stabil.

Beispiel 1.2 Schaltkreis.

Kirchhoff’sches Gesetz:

V0 = RI +Q

CV0 = RQ+

Q

C=⇒ Q = f(Q) =

V0R

− Q

RC

Fixpunkt f(Q∗) = 0, Q∗ = CV0 ist (global) stabil.

7

Beispiel 1.3 Phasenportrait fur x = x− cosx. Ein Fixpunkt, instabil.

Beispiel 1.4 Populationsdynamik

Einfachstes Model: N = rN mit r > 0, exponentiales Wachstum. So kann es nichtgehen =⇒ r soll von N abhangig sein, und zwar mit N abfallen. Logistische Gl:

N = rN(1−N/K)

mit K = const (Kapazitat der Population) (Verhulst, 1838). Die Gl. ist losbar, aberwir machen es geometrisch. Fixpunkte 0 (instabil) und K (stabil). Mit x = N/K,0 ≤ x ≤ 1 schreiben wir die Gl. um:

x = rx(1− x)

8

1.3 Lineare Stabilitatsanalyze

Quantifizierung der Stabilitat. Linearisierung. Sei x∗ ein Fixpunkt und η(t) = x(t)−x∗ eine kleine Storung.

η =d

dt(x− x∗) = x = f(x) = f(x∗ + η)

Taylor-Reihe:f(x∗ + η) = f(x∗) + ηf ′(x∗) +O(η2)

Fur Fixpunkt f(x∗) = 0 =⇒

η = ηf ′(x∗) +O(η2)

Wenn f ′(x∗) 6= 0 dann η wachst (fallt ab) fur positive (negative) f ′(x∗). 1/f ′(x∗) istdie charakteristische Zeit.

Beispiel 1.5 x = sinxFixpunkte x∗ = kπ. f ′(x∗) = cos kπ, gerade k: instabil, ungerade k: stabil. Stimmtmit der geometrischen Uberlegung uberein.

Beispiel 1.6 Logistische Gl.Hier f(N) = rN(1−N/K) mit Fixpunkten N∗ = 0 und N∗ = K.

f ′(N) = r − 2rN/K f ′(0) = r f ′(K) = −r =⇒

N∗ = 0 ist instabil, N∗(K) ist stabil. Charakteristische Zeit 1/|f ′(N∗)| = 1/r.

9

Beispiel 1.7 Fall f ′(x∗) = 0Was kann man uber Stabilitat eines Punktes sagen, falls f ′(x∗) = 0 ist? Allgemeinnichts. Beispiele:

(a) x = −x3 (b) x = x3 (c) x = x2 (d) x = 0

1.4 Existenz und Eindeutigkeit

Anfangswertproblem:x = f(x) x(0) = x0

Theorem: Sei f(x) und f ′(x) stetig im Intervall und sei x0 ein Punkt im offenenIntervall. Dann Anfangswertproblem hat eine Losung im Intervall (−τ, τ) um t = 0,und diese Lsg ist eindeutig.

10

Beispiel 1.8 2 Losungen

x = x1/3 x0 = 0

f ′(0) → ∞ =⇒ keine Eindeutigkeit. x(t) = 0 und (2t/3)3/2 sind Lsg.

Beispiel 1.9 Blow-upTheorem besagt nicht, dass die Lsg immer existiert.

x = 1 + x2 x0 = 0∫

dx

1 + x2=

∫

dt =⇒ arctan x = t+ C

Mit x0 = 0 =⇒ C = 0 =⇒ x(t) = tan(t).Die Lsg existiert nur fur −π/2 < t < π/2, weil x → ±∞ fur t → ±π/2. Blow-upEffekt.

1.5 Keine Schwingung in einer Dimension

Nur Fixpunkte, monotone Bewegung zum Fixpunkt. Keine gedampfte oder un-gedampfte Schwingung.

1.6 Potential

Andere Darstellung: Teilchen im Potential; starke Dampfung. Potential

f(x) = −dVdx

dV

dt=dV

dx

dx

dt

dx

dt= f(x) = −dV

dx=⇒ dV

dt= −

(

dV

dx

)2

≤ 0

Das Teilchen bewegt sich immer zum Minimum des Potentials.

Beispiel 1.10 Doppelmuldepotential

x = x− x3 =⇒ V = −1

2x2 +

1

4x4 +C

C ist unbedeutend, also C = 0. x = ±1: stabile Gleichgewichtlage; x = 0: instabileGleichgewichtlage. Das System ist bistabil.

11

Kapitel 2

Bifurkationen

Abhangigkeit der Dynamik vom Parameter. Bifurkation: qualitative Anderung derDynamik. Entsprechende Parameterwerte: Bifurkationspunkte.

Beispiel 2.1 Beugung eines Balken.

2.1 Sattel-Knoten Bifurkation

Erzeugung und Vernichtung von Fixpunkten. Sei r ein Parameter und

x = r + x2

Fixpunkte x = ±√−r fur r < 0. Bifurkationsdiagramm.

12

Beispiel 2.2 x = r − x2

Fixpunkte x∗ = ±√r. Lineare Stabilitat: f ′(x∗) = −2x∗ =⇒ x∗ =

√r ist stabil

und x∗ = −√r ist instabil.

Beispiel 2.3 x = r − x− e−x

Geometrische Betrachtung. Bifurkationspunkt aus der Bedingung:

e−x = r − x undd

dxe−x =

d

dx(r − x) =⇒

=⇒ −e−x = −1 =⇒ x = 0 =⇒ r = 1

13

2.1.1 Normalform

Die Bespiele x = r±x2 sind typisch. Nah zur Bifurkation ist die Kurve≈ parabolisch:

x = f(x, r) = f(x∗, rc)+(x−x∗) ∂f∂x

∣

∣

∣

∣

(x∗,rc)+(r−rc)

∂f

∂r

∣

∣

∣

∣

(x∗,rc)+1

2(x−x∗)2 ∂

2f

∂x2

∣

∣

∣

∣

∣

(x∗,rc)

+. . .

Erste zwei Terme verschwinden (Fixpoint, Minimum):

x = a(r − rc) + b(x− x∗)2 + . . .

mit a =∂f

∂r

∣

∣

∣

∣

(x∗,rc)und b = 1

2

∂2f

∂x2

∣

∣

∣

∣

∣

(x∗,rc)

. Wir nehmen an, dass a, b 6= 0 (das wahre

ein Sonderfall).

2.2 Transkritische Bifurkation

Fixpunkt existiert immer, aber deren Stabilitat kann geandert werden. Z.B., in derlogistischen Gl. x = rx(1−x) ist x = 0 immer die Lsg, kann aber stabil oder instabilsein. Normalform

x = rx− x2 , Fixpunkte x∗ = 0 x∗ = r .

Beispiel 2.4 Gl. x = x(1− x2)− a(1− e−bx)Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 0 hat, wenn a, b bestimm-te Bedingung erfullen. Diese Bedingung bestimmt die Bifurkationskurve in der a, bEbene.

14

x = 0 ist ein Fixpunkt fur alle a, b. Fur kleine x

1− e−bx = 1− [1− bx+1

2b2x2 +O(x3)] = bx− 1

2b2x2 +O(x3)

x = x− a(bx− 1

2b2x2) +O(x3) = (1− ab)x+

ab2

2x2 +O(x3)

Trkr. Bif. findet bei ab = 1 statt. Zweiter Fixpunkt ist die Lsg der Gl

1− ab+ab2

2x ≈ 0 =⇒ x∗ ≈ 2(ab− 1)

ab2

Das stimmt nur fur kleine x∗, also when ab nah zu 1 ist.

Beispiel 2.5 Gl. x = r lnx+ x− 1Zu zeigen ist, dass die Gl. eine transkritische Bif. um x = 1 hat.

15

x = 1 ist Fixpunkt fur alle r. Neue (kleine) Variable: u = x− 1

u = x = r ln(1 + u) + u = r[u− 1

2u2 +O(u3)] + u ≈ (r + 1)u− 1

2ru2 +O(u3)

Trkr. Bif. findet bei rc = −1 statt.Wir bringen die Gl. zur Normalform. Sei u = aν (a noch unbekannt).

ν = (r + 1)ν − ra

2ν2 +O(ν3)

Wir wahlen: a = 2/r, dann:

ν = (r + 1)ν − ν2 +O(ν3)

Mit R = r + 1 und X = ν = u/a = 12r(x − 1) wir bekommen X ≈ RX − X2.

Bemerkung: man kann auch die Transformation zur Normalform exakt finden.

2.2.1 Schwelle der Lasergeneration

Einfaches Modell von H. Haken (1983). Optisches Pumpen (optische Anregung).Ubergang: Lampe → Laser.

Sei n(t) Anzahl von Photonen im Laserfeld und sei N(t) Anzahl von angeregtenAtomen. Stimulierte Emission ∼ nN .

n = gain − loss = GnN − kn

Hier G, k sind positive Konstanten. Annahme: Ohne Laserstrahlung wahre N = N0

wegen Pumpen. Wegen Radiation wird N kleiner:

N(t) = N0 − αn

16

wobei α > 0 die Rate der Emission bestimmt. Dann

n = Gn(N0 − αn)− kn = (GN0 − k)n− (αG)n2

Die ubliche 1D Gl, aber nur n > 0 eine physikalische Bedeutung hat.Fur N0 < k/G Fixpunkt n∗ = 0 ist stabil, d.h. keine stimulierte Emission.

Trnskr. Bif. findet um N0 = k/G statt. Fur N0 > k/G gibt es ein stabiler Fixpunktn∗ = (GN0 − k)/αG > 0.

17

2.3 Pitchfork-Bifurkation (Gabelbifurkation)

Typisch in physikalischen Systemen mit Symmetrie. Zwei Typen. Bsp: Balken-Masse.

2.3.1 Superkritische Bifurkation

Normalform:x = rx− x3

Wichtig: diese Gl. ist invariant bezuglich Reflektion x→ −x.

Ursprung ist stabil fur r < 0. Fur r = 0 immer noch stabil, aber die Storungenfallen langsam ab (nicht exponentiell). Fur r > 0 zwei stabile Fixpunkte x∗ = ±√

r.Bif. diagramm.

18

Beispiel 2.6 Gl. x = −x+ β tanhxDiese Gl. findet man in der stat. Mech. (Modellen von Magnetismus) und in derTheorie der neuronalen Netzen

tanhx =ex − e−x

ex + e−x= 1− 2

e2x + 1=⇒ → ±1 fur x→ ±∞

Ableitung im Nullpunkt:

tanhx =sinhx

cosh x=⇒ d(tanh x)

dx=

1

cosh2 x

Steigung im Nullpinkt ist 1 =⇒ Bifurkation fur β = 1. Um Fixpunkte zu finden,

betrachten wir x∗ als unabh. Variable, dann β = x∗/ tanh x∗. Bif.diagramm:

19

2.3.2 Subkritische Bifurkation

x = rx+ x3

Bif.diagramm: Nicht-triviale Fixpunkte x∗ = ±√−r existieren nur fur r < 0 und

sind instabil. Fur r > 0 die Lsg → ±∞. In Realitat wirken dann die hohere Terme.Unter Bedingung der Symmetrie x→ −x, schreiben wir:

x = rx+ x3 − x5

Bemerkungen:

1. Im Intervall rs < r < 0 gibt es 3 Lsg. =⇒ Multistabilitat. Fixpunkte sindnur lokal stabil.

2. Hysteresis. Sprunge.

3. Sattel-Knoten Bif. um rs.

20

2.4 Uberdampfte Masse auf dem rotierenden Kreis

Sehr starke Reibung. Rotation um die vertikale Achse, Rotationsgeschw. ω.

mrφ = −bφ−mg sinφ+mrω2 sinφ cos φ

Das ist die Gl. zweiter Ordnung, aber wenn die Reibung stark ist, dann wird dieseGl. vereinfacht.

2.4.1 Dimensionslose Formulierung

Wenn alle Terme dimensionslos sind, dann ist es klar, welche klein sind (≪ 1). Wirwollen auch die Anzahl von Parameters reduzieren. Man kann es unterschiedlichmachen, es ist nicht immer sofort klar, wie man das am besten macht. Neue Zeit:

τ =t

T

wobei T eine frei wahlbare Zeitskala ist. Dann

φ =dφ

dτ

dτ

dt=

1

T

dφ

dτund φ =

1

T 2

d2φ

dτ2

Die Gl. wird jetzt:

mr

T 2

d2φ

dτ2= − b

T

dφ

dτ−mg sinφ+mrω2 sinφ cosφ

21

Dividieren durch mg

(

r

gT 2

)

d2φ

dτ2= −

(

b

mgT

)

dφ

dτ− sinφ+

(

rω2

g

)

sinφ cosφ

Alle Koeff. sind jetzt dimensionslos. Wir wahlen

T =b

mg=⇒ b

mgT= 1

Dann:r

gT 2=r

g

(

mg

b

)2

= ε b2 ≫ m2gr =⇒ ε≪ 1

εd2φ

dτ2= −dφ

dτ− sinφ+ γ sinφ cosφ

mit γ = rω2/g. Grenzfall ε→ 0: wir bekommen 1D-system

dφ

dτ= f(φ) = sinφ(γ cosφ− 1)

2.4.2 Analyze des 1D-Systems

φ∗ = 0 und φ∗ = π sind immer Fixpunkte. Nichttriviale Fixpunkte:

φ∗ = ± arccos(g/rω2) = ± arccos(1/γ)

existieren wenn γ > 1. Graphische Losung der Gl.:

Superkritische Pitchfork-Bifurkation um γ = 1. Symmetrie-Brechung.

22

2.4.3 Diskussion: Schnelle und langsame Bewegung

Volles 2D System braucht 2 Anfangsbediengungen; reduziertes System aber nur eine.Ist es ein Widerspruch?

Betrachten wir das volle 2D System εφ′′ = −φ′ + f(φ). Sei φ′ = dφ/dτ = Ω.Dann die Gl ist εΩ′ = f(φ)− Ω, wir schreiben die als 2D System

φ′ = Ω

Ω′ = (f(φ)− Ω)/ε

Losung:

Schnelle und langsame Bewegung. Kurve C : f(φ)− Ω = 0, oder φ′ = f(φ) (1DDynamik). Sei f(φ)− Ω ≈ O(1), dann Ω′ = O(1)/ε ≫ 1.

23

2.5 Imperfekte Bifurkationen und Katastrophen

Pitchfork-Bifurkation findet in Systemen mit Symmetrie statt. Was passiert wenndie Symmetrie nicht perfekt ist?

x = h+ rx− x3

Hier h charakterisiert wie perfekt das System ist. Wir analysieren die Gl. graphisch.Sattel-Knoten Bif. auftritt, wenn die Linie y = −h tangential zu y = rx − x3 ist.

Stelle des Maximums:

d

dx(rx− x3) = r − 3x2 = 0 =⇒ xmax =

√

r/3

Funktion an dieser Stelle:

rxmax − (xmax)3 =

2r

3

√

r/3

Fur Minimum das gleiche mit Minus.Also, die Sattel-Knoten Bif findet statt wenn h = ±hc(r) mit

hc =2r

3

√

r/3

D.h., die Gl hat 3 Fixpunkte fur |h| < hc und 1 Punkt fur |h| > hc.Bifurkationslinien in r, h-Ebene, Stabilitatsdiagramm. Cusp-Point. Kodimension-

2 Bif.Bif.diag. x∗ vs. r fur h = const.Bif.diag. x∗ vs. h fur r = const.Katastrophen.

24

25

26

Beispiel 2.7 Masse auf der schragen StangeSei L0 die entspannte Lange der Feder.

Sei zuerst θ = 0 (perfekte Symmetrie), dann x = 0 ist immer ein Fixpunkt.Wenn L0 < a ist, dann ist der Punkt stabil, sonst instabil. Dann gibt es auch zweisymmetrische stabile FP. Wir erhohen langsam θ. Sei die Masse ursprunglich links,dann wenn θ gross genug ist, springt die runter.

2.6 Insekten-Population. Insektenpest

Ludwig et al 1978, 79 (J. Anim. Ecoll, J. Math. Biol.) East Kanada. Spruce budworm,balsam fir tree. Pest: fast alle Baume sterben in ca. 4 Jahren. Das Modell:

N = RN(1−N/K)− p(N)

p(n) beschreibt wie viele Insekten von Vogel gefressen werden. Ludwig et al. habenangenommen:

p(N) =BN2

A2 +N2

Insekten: schnelle Anderung; Wald: langsame Anderung. Wir zeigen, dass bei lang-samer Variation eines Parameters die Anzahl von Insekten sprunghaft grosser wird.

2.6.1 Einheitsfreie Formulierung

Wir dividieren durch B und setzen x = N/A. Dann

A

B

dx

dt=R

BAx(1−Ax/K)− x2

1 + x2

27

Wir nehmen zuerst K = const (langsame Zeitskala). Umskalieren der Zeit: τ = BA t

(τ ist einheitsfrei). Einheitsfreie Konstanten

r =RA

Bk =

K

A

Danndx

dτ= rx(1− x/k) − x2

1 + x2

Hier r und k sind einheitsfreie Wachstumrate und Kapazitat.

2.6.2 Fixpointsanalyse

Einfach zu zeigen: x∗ = 0 ist immer instabil. Andere Fixpunkte:

r(1− x/k) =x

1 + x2

Rechte Seite ist parameterfrei - das war die Idee der Umschreibung der Gleichung.Fur kleine k gibt es nur eine Lsg. Fur grossere k kann 1,2, oder 3 Lsg geben.

Sattel-Knotten Bif. Falls die Parameter sich andern und Fixpunkt a verschwindet,dann springt x zu c (Katastrophe). Hysteresis: sogar wenn die Parameter werdenruckwerts variiert, bleibt das System im Zustand c.

2.6.3 Bifurkationskurven

Parametrische Darstellung k(x), r(x), wobei x alle positive Werte annehmen kann.Bedingung der Sat-Kn-Bif:

r(1− x/k) =x

1 + x2

28

undd

dx[r(1− x/k)] =

d

dx

x

1 + x2

Das gibt:

− rk=

1− x2

(1 + x2)2

Wir setzen r/k in die erste Gl ein:

r =2x3

(1 + x2)2

Jetzt ersetzen wir r in der Gl fur r/k:

k =2x3

x2 − 1

29

k soll > 0 sein, =⇒ x > 1. Wir plotten jetzt k(x), r(x) fur x > 1 in der (k, r)Ebene.

30

Kapitel 3

Phasenraum: Kreis

Vorher: x = f(x), Phasenraum war eine Gerade. Jetzt sei θ = f(θ), mit 0 ≤ θ ≤ 2π.Phasenraum: Kreis. Einfachstes Modell eines Oszillators.

Beispiel 3.1 θ = sin(θ)

Fixpunkte θ∗ = 0 (instabil) und θ∗ = π (stabil). Wir haben fruher x = sinx, das

ist gleich, aber einfacher zu interpretieren.

Beispiel 3.2 θ = θWarum kann man die Gl

θ = θ

nicht als Vektorfluss langs einen Kreis betrachetn? Geschw. θ nicht eindeutig defi-niert.

Vektorfluss langs einen Kreis soll eindeutig die Geschw. zu jedem Punkt desKreises zuordnen. Das bedeutet: f(θ + 2π) = f(θ).

31

Beispiel 3.3 Schwingung

Sei θ = ω. Man kann θ als Phase interpretieren.

Beispiel 3.4 SchwebungZwei Joggers, A und B, Kreisstaduim. Umlaufperioden T1 < T2. Starten gleichzeitig,wann treffen sie wieder? Phasendifferenz φ = θ1 − θ2, φ = ω1 − ω2.

TS =2π

ω1 − ω2=

(

1

T1− 1

T2

)−1

Modell der Schwebung.

Beispiel 3.5 θ = ω − a sin θ mit ω > 0, a > 0Sattel-Kn-Bif um a = ω. Fixpunkte:

32

sin θ∗ = ω/a =⇒ f ′(θ∗) = −a cos θ∗ = ∓√

1− (ω/a)2

Fixpunkt mit cos θ∗ > 0 ist stabil.

Beispiel 3.6 Periode der Schwingung fur a < ω.

T =

∫

dt =

∫ 2π

0

dt

dθdθ =

∫ 2π

0

dθ

ω − a sin θ

Mit der Substitution u = tan θ/2, sin θ = 2 tan(θ/2)/(1 + tan2(θ/2))

T =2π√

ω2 − a2

Fur a = 0, T = 2π/ω und T → ∞ wenn a→ ω. Fur a ≈ ω

√

ω2 − a2 ≈√2ω

√ω − a =⇒ T ≈

(

π√2√ω

)

1√ω − a

∼ (ac − a)−1/2

mit ac = ω.

3.0.3.1 Allg. Skalierunggesetz

θ ist parabolisch in der Nahe des Minimums. Dann haben wir Normalform der Sat-Kn-Bif:

x = r + x2

mit 0 < r ≪ 1.

Tbottleneck ≈∫ ∞

−∞

dx

r + x2=

π√r

(mit x =√r tan θ und 1 + tan2 θ = 1/ cos2 θ).

33

Beispiel 3.7 Periode fur θ = ω − a sin θ im Grenzfall a→ ωWir schatzen Periode fur θ = ω − a sin θ im Grenzfall a → ω mit der Hilfe vonNormalform. Engpass (Bottleneck) um θ = π/2. Sei φ = θ − π/2. Taylor-Reihe:

φ = ω − a sin(φ+ π/2) = ω − a cosφ = ω − a+1

2aφ2 + . . .

Mitx = (a/2)1/2φ, r = ω − a

wir bekommen(2/a)1/2x ≈ r + x2

Dann

T ≈ (2/a)1/2∫ ∞

−∞

dx

r + x2= (2/a)1/2

π√r

Mit r = ω − a und 2/a = 2/ω (weil a→ ω)

T ≈(

π√2√ω

)

1√ω − a

Beispiel 3.8 Theta-NeuronErregbare Systeme, Aktionspotential.

θ = 1− cos θ + (1 + cos θ)I(t)

Sei I = const. Dann fur I < 0, |I| < 1 gibt es zwei Fixpunkte. Fur |θ| ≪ 1 und|I| ≪ 1 wir bekommen

θ ≈ 2I +θ2

2

34

Sat.-Kn. Bif.

Beispiel 3.9 Uberdampftes PendelKonstantes Drehmoment Γ. Winkel θ zwischen vertikale Linie und Pendel. Newt.

35

Gesetz:mL2θ + bθ +mgL sin θ = Γ

Grenzfall: sehr starke Dampfung: wir vernachlassigen den Tragheitsterm.

bθ +mgL sin θ = Γ

Wir entdimensionalisieren die Gl:

b

mgLθ =

Γ

mgL− sin θ

Sei

τ =mgL

bt γ =

Γ

mgL

dannθ′ = γ − sin θ

mit θ′ = dθ/dτ .γ > 1 bedeutet, dass Drehmoment Γ > als Drehmoment der Schwerekraft: das

Pendel rotiert. Mit γ = 1 wir haben θ∗ = π/2, und dann 2 Fixpunkte, wenn γ < 1.

3.1 Synchronisation

Z.B. Gluhwurme, . . . . Periodische Stimulation (Kraft) Θ = Ω. Einfachstes Modell:

θ = ω +A sin(Θ− θ)

36

mit < θ >= ν. Phasendifferenz:

φ = Θ− θ φ = Θ− θ = Ω− ω −A sinφ

Mit

τ = At µ =Ω− ω

Aφ′ = dφ/dτ

wir bekommen die Adler-Gl.:φ′ = µ− sinφ

Phase locking. Intervall der Synchronisation: |µ| < 1, ω − A ≤ Ω ≤ ω + A. Skizze

ν − Ω vs. ω. Phasendifferenz:

sinφ∗ =Ω− ω

A− π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2

Fur µ > 1:

TS =

∫

dt =

∫ 2π

0

dt

dφdφ =

∣

∣

∣

∣

∫ 2π

0

dφ

Ω− ω −A sinφ

∣

∣

∣

∣

=2π

√

(Ω − ω)2 −A2

Fur Ω− (ω +A) = r ≪ 1 wir haben Ωs =√

(Ω− ω)2 −A2 ≈√2Ar.

37

3.2 Josephson-Kontakte

Elektronische Elemente, Supraleitung, Hochfrequenz-Schwingungen ca. 1010 Hz. Die-nen als Verstarker, Sensoren, etc.

Zwei Supraleiter und schwache Verbindung (Isolator oder Halbleiter oder Metal).Supraleiter: Elektronen bilden Cooper-Paaren, die sind Bosonen. Niedrige Tempe-raturen: Grundzustand, nur eine Wellenfunktion reicht fur die Beschreibung. Wel-lenfunktionen ψ1e

iφ1 und ψ2eiφ2 .

Josephson-Effekt: Strom ohne angelegte Spannung wegen Tunneling von Cooper-Paaren. Wenn Gleichstrom 0 < I < Ic ist angelegt, dann gibt es keine Spannung(Widerstand Null). Josephson Strom-Phase-Relation fur φ = φ2 − φ1:

I = Ic sinφ

Also, φ = const.Fur I > Ic stimmt Josephson Voltage-Phase-Relation

V =h

2eφ

Also Strom hat jetzt zwei Komponenten: Suprastrom und Normalstrom. Idee derHerleitung: Wellenfkt kann man als koordinatenunabh betrachten. Dann

ih∂Ψ1

∂t= U1Ψ1 ih

∂Ψ2

∂t= U2Ψ2

(hier U1,2 = 2eV1,2 ist pot. Energie pro Cooper-Paar). Mit Ψ1,2 ∼ eiφ1,2

−φ1 = U1/h − φ2 = U2/h

Dannφ = φ2 − φ1 = (U1 − U2)/h = 2eV/h

38

mit V = V1 − V2.Equivalente Schema: noch Kapazitat und Widerstand. Kirchhoff-Gl:

CV +V

R+ Ic sinφ = I

Mit Voltage-Phase-Relation:

hC

2eφ+

h

2eRφ+ Ic sinφ = I

zu vergleichen mitml2θ + bθ +mgL sin θ = Γ

Analogie:Pendulum Josephson-KontaktWinkel θ Phasendifferenz φWinkelgeschw. θ Spannung h

2e φMasse m Kapazitat CDrehmoment Γ Stromstarke IDamphung b Leitfahigkeit 1/RMax. Drehmoment mgL Kritische Stromstarke Ic

Wir dividieren mit Ic:

hC

2eIcφ+

h

2eRIcφ+ sinφ = I/Ic

Dimesionslose Zeit:

τ =2eIcR

ht

hC

2eIc

(

2eIcR

h

)2

φ′′ + φ′ + sinφ = I/Ic

39

McCumber-Parameter β = (2eIcR2C)/h

βφ′′ + φ′ + sinφ = I/Ic

Praktisch 10−6 < β < 106. Grenzfall β ≪ 1:

φ′ = I/Ic − sinφ

Wenn I < Ic, dann stabiler Fixpunkt. Wenn I > Ic, dann ist φ periodisch.

3.2.1 Strom-Spannung-Kennlinie

Wir suchen 〈V 〉 als Funktion von I. Spannung 〈V 〉 = (h/2e)〈φ〉.

〈φ〉 = 〈dφdt

〉 = 〈dτdt

dφ

dτ〉 = 2eIcR

h〈φ′〉

〈V 〉 = IcR〈φ′〉Zwei Falle:

1. I ≤ Ic: Fixpunkt φ∗ = arcsin(I/Ic), −π/2 ≤ φ∗ ≤ π/2. Dann φ′ = 0 und

〈V 〉 = 0.

2. I > Ic: periodische Losung mit

T =2π

√

(I/Ic)2 − 1

(Zeit ist in Einheiten von τ .)

〈φ′〉 = 1

T

∫ T

0

dφ

dτdτ =

1

T

∫ 2π

0dφ =

2π

T

Dann〈V 〉 = IcR

√

(I/Ic)2 − 1

Zusammenfassung:

〈V 〉 = 0 I ≤ Ic

〈V 〉 = IcR√

(I/Ic)2 − 1 I > Ic

Ohmisches Verhalten V = IR fur I ≫ Ic.Dynamik ist viel mehr kompliziert wenn β nicht Null ist. Hysterese wegen Tragheit.

Mathematisch: Fixpunkt ko-existiert mit der periodischen Losung (weiter).

40

41

Kapitel 4

Dynamik in zwei Dimensionen.Lineare Systeme

4.1 Grundbegriffe und Beispiele

2D lineares System:

x = ax+ by

y = cx+ dy

mit Parameter a, b, c, d. Matrizen-Form x = Ax mit

A =

(

a bc d

)

x =

(

xy

)

Beispiel 4.1 Harmonischer Oszillator

x+ ω2x = 0

oder

x = y

y = −ω2x

Phasenportraits: Ellipsen ω2x2 + y2 = C.

42

Beispiel 4.2 System mit

A =

(

a 00 −1

)

x = ax

y = −y

Losung

x(t) = x0eat

y(t) = y0e−t

Knoten, Stern, Linie of Fixpunkten, Sattel. Stabile und instabile Mannigfaltig-keit.

43

4.2 Stabilitat: Definitionen

x∗ ist anziehend (= ist ein Attractor) wenn ∃ δ > 0 sodass fur

|x(0) − x∗| < δ =⇒ limt→∞

x(t) = x∗

Falls das fur ∀ δ > 0 stimmt, dann auch global anziehend.x∗ ist Lyapunov stabil wenn fur ∀ ε > 0 ∃ δ > 0 sodass fur |x(0) − x∗| < δ und∀ t > 0 |x(t)− x∗| < ε.Wenn Fixpunkt ist anziehend und Lyapunov-stabil, dann nennen wir den asym-

ptotisch stabil.

Fig. 5.1.5d: Lyapunov-stabil aber nicht anziehend: Neutrale Stabilitat. Kannauch umgekehr sein: Fixpunkt anziehend, aber nicht Lyapunov-stabil. Bsp.: θ =1− cos θ (Fig. 5.1.6) Fig. 5.1.5e: Fixpunkt ist instabil.

4.3 Lineare Systeme: Klassifizierung

Lsg in der Formx(t) = eλtv

44

Einsetzen in x = Ax:Av = λv

Eigenwertproblem. Charakteristische Gl

λ2 − τλ+∆ = 0

mit τ = a+ d (Spur) und ∆ = ad− bc (Determinante). Vieta Theorem: τ = λ1+λ2,∆ = λ1λ2.

λ1,2 =τ ±

√τ2 − 4∆

2Typisch λ1 6= λ2, dann Eigenvektoren v1,2 sind linear unabh. und die allg Lsg ist

x(t) = c1eλ1tv1 + c2e

λ2tv2

Beispiel 4.3 System x = x+ y, y = 4x− 2y, Anfangsbed. x0 = 2, y0 = −3Eigenwerte: λ1 = 2, λ2 = −3. Eigenvektoren: v1 = (1, 1) und v2 = (1,−4).

x(t) = c1

(

11

)

e2t + c2

(

1−4

)

e−3t

Anfangsbed.:

2 = c1 + c2

−3 = c1 − 4c2

Die Lsg ist c1 = 1, c2 = 1. Also,

x(t) = e2t + e−3t

y(t) = e2t − 4e−3t

Phasenportrait: Sattel (Fig. 5.2.2)

Beispiel 4.4 Phasenportrait fur λ2 < λ1 < 0Kurven kommen zum Fixpunkt tangential zur langsamen Eigenrichtung. (Fig. 5.2.3)

Beispiel 4.5 Komplexe EigenwerteFalls τ2 − 4∆ < 0, dann

λ1,2 = α± iω

mit α = τ/2 und ω = 0.5√4∆− τ2. Dann

x(t) = c1eαteiωtv1 + c2e

αte−iωtv2

Falls α = 0: Zentrum (entspricht harm. Osz), neutrale Stabilitat. Falls α < 0:gedampfte Schwingung, stabile Spirale. Falls α > 0: instabile Spirale.

45

4.3.1 Gleiche Eigenwerte

Sei λ1 = λ2 = λ. Zwei Falle.

Unabh. Eigenvektoren. Dann jeder Vektor x0 ist Eigenvektor mit Eigenwert λ.Wir schreiben x0 = c1v1 + c2v2. Dann

Ax0 = A(c1v1 + c2v2) = c1λv1 + c2λv2 = λx0

Dann

A =

(

λ 00 λ

)

Lsg sind gerade Linien, Stern.

Ein Eigenvektor. Knoten ist entartet.

46

4.3.2 Klassifizierung

Charakteristische Gl in der Form

(λ− λ1)(λ− λ2) = λ2 − τλ+∆ = 0

Dann τ = λ1 + λ2, ∆ = λ1λ2. Falle:

47

1. ∆ < 0: Eigenwerte reell, untersch. Vorzeichen =⇒ Sattel.

2. ∆ > 0:

(a) Eigenwerte reell, gleiche Vorzeichen =⇒ Knoten.

(b) Eigenwerte complex =⇒ Spiralen, Zentren

48

Kapitel 5

Phasen Ebene

5.1 Phasenportraits

Allgemeine Form:x = f(x)

2D-Systeme. Phasenebene. Jeder Punkt kann als Anfangsbedingung ausgewalt wer-den =⇒ Ebene ist dicht mit Trajektorien. Analytische Lsg. ist fast immer nichtmoglich. Wir versuchen eine qualitative Beschreibung zu finden. Oder kann man dasnumerisch machen.

Beispiel 5.1 2D System: Sehr viele Varianten.

1. Unterschiedl. Fixpunkte f(x∗) = 0.

49

2. Geschlossene Trajektorien, periodische Bewegung

3. Fixpunkte und geschl. Orbiten konnen stabil oder instabil sein.

5.1.1 Isoklinen (Nullklinen)

Isoklinen helfen Phasenportraits zu skizzieren. Definition (Steigung Null): Kurven,wo x = 0 oder y = 0, also Fluss vertikal oder horizontal ist.

Beispiel 5.2 x = x+ e−y , y = −yFixpunkt:

x+ e−y = 0 , −y = 0 =⇒ x∗ = −1, y∗ = 0

Stabilitat: aus der zweiten Gl y = y0e−t. Also, y → 0 und e−y → 1 mit t → ∞.

Dann fur x haben wirx ≈ x+ 1

Oder: Anfangsbedingung y = 0, dann x = x + 1. Also, diese Richtung ist instabil.Isokline y = 0 =⇒ y = 0. Fluss nach rechts, wo x = x + 1 > 0, also furx > −1, und umgekehr. Zweite Isokline: Fluss nach unten, wo y > 0, und umgekehr.

5.2 Linearisierung

5.2.1 Linearisiertes System

Wir betrachtenx = f(x, y) y = g(x, y)

50

Sei (x∗, y∗) Fixpunkt, d.h.

f(x∗, y∗) = 0 g(x∗, y∗) = 0

Kleine Abweichung:u = x− x∗ v = y − y∗

u = x = f(x∗ + u, y∗ + v) = f(x∗, y∗) + u∂f

∂x+ v

∂f

∂y+O(u2, v2, uv)

Die Ableitungen werden um (x∗, y∗) berechnet! Also,

u = u∂f

∂x+ v

∂f

∂y+O(u2, v2, uv)

v = u∂g

∂x+ v

∂g

∂y+O(u2, v2, uv)

Jacobi-Matrix

A =

∂f

∂x

∂f

∂y∂g

∂x

∂g

∂y

(x∗,y∗)

Linearisiertes System(

uv

)

= A

(

uv

)

5.2.2 Einfluss von nichtlinearen Glieder. Hyperbolische Fixpunkte

Gibt die Linearisierung die richtige Antwort? Ja, fur Sattel, Knoten und Fokus(Strudel). Nein, fur Grenzfalle (Zentren, Sterne, entartete Knoten, nicht-isolierteFixpunkte).

Falls Re(λ1,2) 6= 0, dann Stabilitatseigenschaften werden bei Nichtlinearitat nichtbeeinflusst. Die FP heissen hyperbolische FP.Hartman-Grobman-Theorem: Pha-senportait des Systems und des linearisierten Systems sind lokal topologisch equiva-lent (Homomorphismus).

Grenzfalle (mindestens fur ein Eigenwert Re(λ) = 0) verlangen weitere Analyse.Strukturelle Stabilitat: kleine Storung andert Phasenportrait nicht.

51

Beispiel 5.3 Beispiel eines Grenzfalles

x = −y + ax(x2 + y2)

y = x+ ay(x2 + y2)

a ist Parameter.Lineare Analyse: Fixpunkt ist (0, 0) =⇒ u = x , v = y. Lineari-

siertes System x = −y , y = x. Jacobian:

A =

0 −1

1 0

Spur τ = 0, Determinante ∆ = 1 > 0, also Zentrum.Nichtlineare Analyse: Polarkoordinaten x = r cos θ, y = r sin θ.

x2 + y2 = r2 =⇒ rr = xx+ yy

rr = x(−y + axr2) + y(x+ ayr2) = ar4

r = ar3

θ = arctan(y/x) =⇒ θ =xy − yx

r2

Einsetzen x, y:θ = 1

Gl. sind losbar: a = 0, Zentrum, a 6= 0, Spiralen.

52

5.3 Lotka-Volterra Modell

Anzahl von Kaninchen x, von Schafen y. Wenn es keine Wechselwirkung zwischenPopulationen gabe:

x = rxx(1− ax) y = ryy(1− by)

Wegen Konkurrenz: Terme ∼ −xy. Wir nehmen an: Reproduktionsrate von Kannist hoher, Konkurrenz beeinflusst die starker.

x = x(3− x− 2y)

y = y(2− x− y)

Fixpunkte aus der Bedingung x = y = 0 =⇒ (0, 0), (0, 2), (3, 0), (1, 1).Jacobian:

A =

∂x

∂x

∂x

∂y∂y

∂x

∂y

∂y

=

3− 2x− 2y −2x

−y 2− x− 2y

Wir klassifizieren FP:

1. (0, 0)

A =

3 0

0 2

Eigenwerte: λ1,2 = 3, 2: Knoten, instabil. Trajektorien um 0 tangential zum Ei-genvektor fur λ = 2, v = (0, 1) (allg: tangential zum langsamen Eigenvektor),Fig. 6.4.1.

2. (0, 2)

A =

−1 0

−2 −2

Eigenwerte: λ1,2 = −1,−2: Knoten, stabil. Trajektorien tangential zum lang-samen Eigenvektor fur λ = −1, v = (1,−2), Fig. 6.4.2

3. (3, 0)

A =

−3 −6

0 −1

53

Eigenwerte: λ1,2 = −3,−1: Knoten, stabil.Trajektorien tangential zum Eigen-vektor fur λ = −1, v = (3,−1), Fig. 6.4.3

4. (1, 1)

A =

−1 −2

−1 −1

Eigenwerte: λ1,2 = −1±√2, τ = −2, ∆ = −1: Sattel, Fig. 6.4.4

Wir kombinieren letzte vier Bilder und berucksichtigen, dass Axen sind geradli-nige Bahnen (weil x = 0 wenn x = 0 und y = 0 wenn y = 0). Wir bekommen Fig.6.4.5. Es ist vernuftig zu annehmen, dass Phasenportrait so aussieht (Fig. 6.4.8).Bestatigung durch die Komputersimulation: Wir sehen, dass entweder gibt es Scha-fe, oder Kann., aber nicht gleichzeitig.

Das Konkurrenzausschlussprinzip (Gause-Gesetz) ist ein Begriff der Theoreti-schen Biologie der in der Okologie und Evolutionsbiologie Anwendung findet. Der

54

Begriff besagt, dass zwei Arten nicht gleichzeitig die identische okologische Nischebesetzen konnen, ohne in eine Konkurrenz einzutreten, durch welche sich schliesslichnur die konkurrenzstarkere behaupten kann.

Einzugsgebiete, Separatrissen.

5.4 Konservative Systeme

mx = −dVdx

Totale Energie ist erhalten. Allg: das System ist konservativ wenn es eine reelle FktE(x) gibt, die langs jede Trajektorie konstant ist und nicht konstant in jeder offenenMenge ist (sonst kann man eine triviale Fkt E(x) = 0 nehmen, dann ist aber jedesSystem konservativ).

5.4.1 Eigenschaft

Konservatives System hat keine anziehende FP. Beweis: sei x∗ ein attraktiver FP.Dann alle Punkte im Einzugsbereich sollen die gleiche Energie haben: Widerspruch.Es kann nur Sattelpunkten und Zentren geben.

Beispiel 5.4 DoppelmuldepotenzialTeilchen Masse m = 1 im Doppelmuldepotenzial V (x) = −x2/2 + x4/4, x = x− x3

x = y

55

y = x− x3

Gleichgewichte: (0, 0), (±1, 0). Jacobian:

A =

0 1

1− 3x2 0

FP (0, 0): ∆ = −1, Sattelpunkt.FP (±1, 0): τ = 0, ∆ = 2, Zentren.

Warnung: wir haben schon gesehen, dass Nichtlinearitat kann Zentrum in Fokusumwandeln. Aber nicht im konservatives System! Hier sind die Bahnen geschlosseneKurven (wegen Energieerhaltung):

E = T + V = y2/2− x2/2 + x4/4

2 FP, periodische Bahnen und 2 besondere homoklinische Trajektorien. Hom. Tr.

ist nicht periodisch: die Zeit → ∞.Das kann man auch als Theorem beweisen: sei x∗ ein isolierter FP eines konser-

vativen Systems. Falls x∗ ein Extremum (lokal) der Energie-Fkt ist, dann sind alleTrajektorien in der kleinen Umgebung geschlossene Kurven.

5.4.2 Reversibilitat

Symmetrie t→ −t, z.B. Film eines Pendels.

56

Beispiel 5.5 Reversibles System: mx = F (x)ist unverandert unter Transformation t→ −t.

x = y

y = F (x)/m

Die Gl bleiben unverandert unter Transformation t → −t, y → −y. =⇒ JedeTrajektorie hat einen “Zwilling”.

5.5 Pendel

θ + g/l sin θ = 0

Frequenz ω =√

g/L. Neue Zeit τ = ωt. Wir notieren dθ/dτ auch mit θ

θ + sin θ = 0

θ = ν

ν = − sin θ

Hier ν ist dimensionslose Winkelgeschw.FP: (0, 0) und (π, 0) (θ und θ + 2π sind equivalent). Jacobian:

A =

0 1

− cos θ 0

FP (0, 0):

A =

0 1

−1 0

57

τ = 0, ∆ = 1: Lineares Zentrum. Das System ist aber konservativ:

θ(θ + sin θ) = 0 =⇒ θ2/2− cos θ = const

E(ν, θ) = ν2/2− cos θ

Fur kleine ν, θ

E ≈ 1/2(ν2 + θ2)− 1 =⇒ ν2 + θ2 ≈ 2(E + 1)

E hat lokales Minimum um 0, 0, deswegen auch nichtlineares Zentrum. Trajektorienum Zentrum sind ≈ Kreise.

FP (π, 0):

A =

0 1

1 0

λ2−1 = 0, λ1,2 = ±1. Sattel. Eigenvektoren v1 = (1,−1) und v2 = (1, 1). Libration

und Rotation. Sattel: umgekipptes Pendel.

58

5.5.1 Zylindrischer Phasenraum

Jetzt Rotation entspricht einer geschlossenen Trajektorie. U -Zylinder.

5.5.2 Dampfung

θ + bθ + sin θ = 0

Zentrum wird Fokus. Mit Bilder kann man die Dynamik vollig verstehen, analytischaber sehr schwer. Auf U-Zylinder geht die Trajektorie runter:

dE

dτ=

d

dτ(1/2θ2 − cos θ) = θ(θ + sin θ) = −bθ2 ≤ 0

59

60

61

5.6 Index-Theorie

Linearisierung gibt nur lokale Information. Globale liefert die Index-Theorie. Ideeist anlich zur Elektrostatik (Gaussian Oberflache). Da untersuchen wir das Feld aufder Oberflache und bekommen den Wert der Ladung ihnen.

5.6.1 Index einer geschlossenen Kurve

Sei x = f(x) Vektorfluss in der Ebene (glatt). Wir betrachten eine geschlossene ori-entierte Kurve C (nicht unbedingt eine Trajektorie!!). C geht nicht durch FP; isteinfache Kurve (ohne Schneidung mit sich selbst). Wir definieren Winkel an jedemPunkt der Kurve

φ = arctan(y/x)

Wir gehen links herum. φ andert sich kontinuierlich, weil das Feld glatt ist. Anderungvon φ nach eine Rundgang [φ]C = 2πn. Index:

IC = [φ]C/2π

Beispiel 5.6 Bsp: Hier IC = +1.

Beispiel 5.7 Bsp: Hier IC = −1.

Beispiel 5.8 Bsp: Hier IC = 0

x = x2y

y = x2 − y2

C ist Einheitskreis x2 + y2 = 1.

[φ]C = −π + 2π − π = 0

62

5.6.2 Eigenschaften

1. C → C ′ so, dass wir gehen nicht durch ein FP. Dann Ic = IC′ . Beweis: StetigeFkt die nur ganzzahlig ist, muss konstant sein.

2. Keine FP drinnen: IC = 0. Beweis: wir machen C kleiner und kleiner, dannsind alle Vektoren fast gleich.

3. Sei C eine Trajektorie des Systems, dann IC = 1, weil Vektors immer tangentialsind.

63

5.6.3 Index eines FP

Index eines FP ist gleich Index einer Kurve um den FP.Bsp: Index stabilen Knoten, instabilen Knoten, und Sattelpunktes. Fur Knoten I = 1(hat mit der Stabilitat nichts zu tun). Fur Sattelpunkt, I = −1 (cf. Abb 6.8.4).

Theorem: C hat n isolierte FP drinnen. Dann

IC =∑

Ik

Beweis (Idee):

Theorem: Sei C eine geschlossene Trajektorie, die hat Index +1. Dann drinnenFP mit

∑

Ik = 1Schlussfolgerung: jede geschlossene Trajektorie geht um mindestens ein FP her-

um. (Wenn es nur ein FP gibt, dann kann der nicht Sattelpunkt sein!).

Beispiel 5.9 Kanninchen-Schafen Modell

x = x(3− x− 2y)

y = y(2− x− y)

64

Wir zeigen, dass periodische Lsg nicht moglich sind. Wir wissen, dass hier 4 FP

gibt (2 mal stab Knoten, instab Knoten und SP). C1 und C2 sind nicht moglich,weil I 6= +1. C3 ist nicht moglich, weil (i) physikalisch x > 0 und (ii) C3 y-Achseschneidet (es gibt Trajektorie langs diese Achse).

65

Kapitel 6

Grenzzyklen

Grenzzyklus ist eine isolierte geschlossene Trajektorie. Isolierte bedeutet, dass be-nahbarte Trajektorien nicht geschlossen sind; die sind spiralformig. Zyklen sind

1. stabil (attraktive)

2. instabil (repeller)

3. halb-stabil

Selbst-erregte Systeme, Beispiele.Gibt nicht in linearen Systemen, falls x(t) eine Lsg ist, dann cx(t) ist es auch.

Beispiel 6.1 Stuart-Landau SystemPolarkoordinaten.

r = r(1− r2) θ = 1

mit r ≥ 0. Fur r haben wir 1D Gl, FP r∗ = 0 (instabil) und r∗ = 1 (stabil).θ = t+ θ0 =⇒ x(t) = r(t) cos(t+ θ0) → x(t) = cos(t+ θ0)

6.0.4 Van der Pol Gl

x− µ(1− x2)x+ x = 0

Kirchhoff Gl:

LdI

dt+RI + u =M

di(u)

dtu =

1

C

∫

Idt

66

Kennlinie des Verstarkers:

i(u) = g0u− g1u3 g0,1 > 0

Cu = I einsetzen:

LCu+RCu+ u =Md(g0u− g1u

3)

dt=Mg0u− 3Mg1u

2u

67

LCu+ (RC −Mg0 + 3Mg1u2)u+ u = 0

Mit ω20 = 1/(LC)

u− ω20(Mg0 −RC − 3Mg1u

2)u+ ω20u = 0

Mit

ω20(Mg0 −RC) = β

3Mg1u2

Mg0 −RC= α

u− β(1− αu2)u+ ω20u = 0

Sei x = u√α, τ = ω0t, dann

u =1√α

dx

dτ

dτ

dt=

ω0√αx′ u =

ω20√αx′′

ω20√αx′′ − βω0√

α(1− x2)x′ +

ω20√αx = 0

Mit µ = β/ω0

x− µ(1− x2)x+ x = 0

Wann gibt es die selbst-erregte Schw? Wit linearisieren die Gl: Ursprung ist instabilfalls µ > 0.

Subkrit. Bif:x− (µ + λx2 − x4)x+ x = 0

6.1 Wenn es keine Grenzzyklen gibt

Wie kann man sagen, das es keine GZ gibt? Eine Mogligkeit: Index-Theorie.

6.1.1 Gradient-Systeme

Angenommen wir konnen das System als

x = −∇V

schreiben. Hier Potentialfkt V (x) ist stetige eindeutige Fkt.Theorem: Gradient-Systeme haben keine periodische Lsg.

Beweis: Wur nehmen an, dass eine geschlossene Tr. gibt. Dann nach eine Rotationsoll ∆V = 0 sein. Aber:

∆V =

∫ T

0

dV

dtdt =

∫ T

0(∂V

∂xx+

∂V

∂yy)dt =

∫ T

0(∇V · x)dt = −

∫ T

0|x|2dt < 0

68

(oder = 0 wenn x ≡ 0 (d.h. FP)). Widerspruch beweist das Theorem. Das Problemist dass 2D Systeme sind selten Gradient-Sys. (1D Systeme sind immer so, deswegengibt da keine Schwingungen!)

Beispiel 6.2 x = sin y , y = x cos y

V = −x sin y =⇒ x = −∂V∂x

y = −∂V∂y

=⇒

Keine Zyklen.

Beispiel 6.3 Nichtlineare Dampfung

x+ x3 + x = 0

Zu beweisen: keine periodische Lsg. Annahme: es gibt periodische Lsg x(t+T ) = x(t).Energie-Fkt

E = 1/2(x2 + x2) E(t) = E(t+ T ) =⇒ ∆E = 0

Aber

∆E =

∫ T

0Edt

E = x(x+ x) = x(−x3) = −x4 ≤ 0 =⇒ ∆E = −∫ T

0x4dt ≤ 0

Widerspruch =⇒ keine periodische Lsg.

6.1.2 Lyapunov-Fkt

Sogar fur nicht-mechanische Systeme kann man manchmal eine Energie-artige Fktfinden, die entlang Tr abfallt.

Seix = f(x)

mit FP x∗. Angenommen, wir finden Lyapunov-Fkt: stetige reelle Fkt V (x) mitEigenschaften:

1. V (x) > 0 fur alle x 6= x∗ und V (x∗) = 0 (eine positiv definite Fkt)

2. V < 0 fur alle x 6= x∗

69

Dann x → x∗ mit t → ∞ (asympt. stabil), keine geschlossenen Tr. Leider, gibt eskeine systematischen Methoden, wie man diese Fkt findet. Heufig hilft xn + axm.

Lokale Minima der Lyapunov-Fkt.

Beispiel 6.4 x = −x+ 4y , y = −x− y3

Wir nehmenV (x, y) = x2 + ay2

mit Parameter a.

V = 2xx+ 2ayy = 2x(−x+ 4y) + 2ay(−x− y3) = −2x2 + (8− 2a)xy − 2ay4

Sei a = 4, dann

V = x2 + 4y2 > 0 V = −2x2 − 8y4 < 0

fur alle (x, y) 6= (0, 0) =⇒ V ist Lyap-Fkt, keine geschl Tr.

6.1.3 Dulac’sches Kriterium

Seix = f(x)

stetiges differenzierbares Feld im einfach zusammenhangenden Bereich R. Wenn eseine reelle stetige differenzierbare Fkt g(x) gibt, sodass ∇(gx) hat ein Vorzeichen(Plus oder Minus) im R, dann gibt es keine geschlossene Trajektorie im R.

Beweis: wir nehmen an, dass so eine Trajektorie C gibt. Green’sches Theorembesagt:

∫ ∫

A∇(gx)dA =

∮

Cgx · ndl

70

Zirkulation ist Null, weil Normal senkrecht zur Trajektorie ist. Aber linke Seiteist nicht Null, weil ∇(gx) entweder positiv oder negativ ist, also Widerspruch.

Genauso wie mit der Lyapunov-Fkt, gibt es keine Methoden die g-Fkt zu finden.Heufig hilft g = 1, 1

xayb, eax, eay.

Beispiel 6.5 x = y, y = −x− y + x2 + y2

Wir zeigen, dass das System keine geschl. Tr hat. Sei g = e−2x. Dann ∇(gx) =−2e−2xy + e−2x(−1 + 2y) = −e−2x < 0.

6.2 Poincare-Bendixson-Theorem

Jetzt wollen wir finden, wenn periodische Lsg gibt.Angenommen:

1. R ist geschlossene beschrankte Untermenge der Ebene

2. x = f(x) ist stetig differenzierbar auf einer offenen Menge, die R einhalt

3. keine FP in R.

4. Es gibt eine Trajektorie C die bleibt in R fur t → ∞. Dann entweder ist Ceine geschl Tr, oder sie bewegt sich spiralformig zur einen geschl Tr. Also, esexistiert eine geschl. Tr. in R.

“Trapping region”In 3D stimmt das Theorem nicht: die Trajektorie kann unendlich lang im be-

grenzten Bereich wandern, ohne zu FP oder zu GZ zu kommen: Chaos.

71

Beispiel 6.6 r = r(1− r2) + µr cos θ θ = 1Wir wissen schon, dass fur µ = 0 gibt es GZ mit r = 1. Wir zeigen jetzt, dass GZauch gibt, wenn µ klein genug ist.

Wir suchen nach einen ringformigen Bereich 0 < rmin ≤ r ≤ rmax mit r < 0 furr = rmax und r > 0 fur r = rmin. Weil θ > 0 =⇒ keine FP =⇒“trapping region”.

Wir suchen rmin: dann soll

r = r(1− r2) + µr cos θ > 0

sein. Mit cos θ ≥ −1

1− r2 − µ > 0 =⇒ rmin <√

1− µ

mit µ < 1. Genausormax >

√

1 + µ

Also, GZ existiert und ist√1− µ < r <

√1 + µ. Eigentlich, existiert auch fur µ > 1.

72

6.2.1 Bsp.: Glykolyse

Die Glykolyse (aus dem Griechischen glykys = suß und lysis = auflosen) ist derschrittweise Abbau von Monosacchariden (Einfachzuckern) wie der D-Glucose (Trau-benzucker), von der sich auch ihr Name ableitet. Sie ist ein zentraler Prozess zurEnergiegewinnung in den Zellen.

Sel’kov-Modell (1968)

x = −x+ ay + x2y

y = b− ay − x2y

Hier x und y sind Konzentrationen und a, b > 0 sind Parameter. (x: adenosinediphosphate, ADP; y: fructose-phosphate).

Nullklinen: x = 0 =⇒ y = x/(a+x2), y = 0 =⇒ y = b/(a+x2).Uber Nullklinen x > 0 und y < 0.

“Trapping region”: auf vertikalen Linien ist es klar. Linie mit der Steigung −1:wir betrachten x, y fur grosse x. Dann

x ≈ x2y y ≈ −x2y =⇒ y/x = dy/dx ≈ −1

Wir zeigen, dass dy/dx < −1. Wir berechnen

x+ y = b− x = x− (−y)

73

Also, −y > x, wenn x > b =⇒ dy/dx < −1.Aber es gibt ein FP. Wir sollen jetzt zeigen, dass unter bestimmten Bedingungen,

FP ein repeller ist. FP:x∗ = b y∗ = b/(a+ b2)

Jacobian:

A =

(

−1 + 2xy a+ x2

−2xy −(a+ x2)

)

Um FP:∆ = a+ b2 > 0

τ = −b4 + (2a − 1)b2 + (a+ a2)

a+ b2

FP ist instabil fur τ > 0. Bedingung τ = 0:

b2 = 1/2(1 − 2a±√1− 8a)

6.3 Lienard Systeme

Lienard Gl:x+ f(x)x+ g(x) = 0

74

Lienard Theorem: angenommen, f(x) und g(x) erfullen die volgenden Bedingun-gen:

1. f(x) und g(x) stetige differinzierbare Fkt.

2. g(x) ist ungerade Fkt, g(−x) = −g(x).

3. g(x) > 0 fur x > 0

75

4. f(x) ist gerade Fkt, f(−x) = f(x).

5. Ungerade Fkt F (x) =∫ x0 f(u)du hat die Nullstelle um x = a > 0, ist negativ

fur 0 < x < a, positiv und wachsend, F ′(x) ≥ 0, fur x > a, und F (x) → ∞ furx→ ∞.

Dann hat das System einen stabilen GZ.Qualitative ist das einfach zu verstehen: Kraft g(x) wirkt gegen Auslenkung.

Bedingungen fur f(x): Dampfung ist negativ fur kleine |x| und positiv fur grosse |x|.

Beispiel 6.7 Van der Pol Gl.f(x) = µ(x2 − 1) und g(x) = x erfullen 1-4.

F (x) = µ(x3/3− x) =µx

3(x2 − 3)

5 ist erullt mit a =√3.

6.4 Relaxationschwingung (Kippschwingung)

Bsp: stick-slip, Neuronen, etc. Die Fragestellung ist jetzt: falls GZ gibt, was kannman uber Periode und Form der Schwingung sagen? Wir betrachten van der Pol Gl.fur µ >> 1 und schreiben die um:

x+ µ(x2 − 1)x+ x = 0

d

dt(x+ µ(x3/3− x)) + x =

d

dt(x+ µF (x)) + x = w + x = 0

mit w = x+ µF (x). Wir haben

x = w − µF (x) w = −x

Mit y = w/µx = µ(y − F (x)) y = −x/µ

Schnelle und langsame Bewegungen.Angenommen y − F (x) ∼ O(1), dann |x| ∼ O(µ) ≫ 1 und |y| ∼ O(µ−1) ≪ 1.Uber Nullkline: y−F (x) > 0, dann x > 0. Wenn Trajektorie kommt nah zur Nullkliney − F (x) ∼ O(µ−2), dann x ∼ O(µ−1), y ∼ O(µ−1). Dann kreuzt die Trajektoriedie Nullkline von oben nach unten, geht langsam langs Nullkline und springt nachlinks.

76

Zwei Zeitskalen: langsame Bewegung ∆t ∼ O(µ), Sprunge ∆t ∼ O(µ−1).Wir schatzen die Periode fur µ≫ 1. Wir vernachlassigen die Zeit der Sprung.

T ≈ 2

∫ tB

tA

dt

Fur langsame Bewegung y ≈ F (x) und

dy

dt≈ F ′(x)

dx

dt= (x2 − 1)

dx

dt

Aus der Gl: y = −x/µ, alsodx

dt= − x

µ(x2 − 1)

dt ≈ −µ(x2 − 1)

xdx

Man kann aus der Nullkline-Gl finden, dass xA = 2, xB = 1.

T ≈ 2

∫ 1

2

−µx

(x2 − 1)dx = 2µ

[

x2

2− lnx

]2

1

= µ[3− 2 ln 2]

77

Kapitel 7

Schwache Nichtlinearitat.Mittelungsmethode

Unseres Ziel ist die Gl in der Form

x+ ω20x = f(x, x) + F (t) = G(x, x, t)

annahernd zu losen, fur kleine Kraft und Nichtlinearitat.

7.1 Variablensubstitution

Allgemeine Gl.:x+ ω2

0x = G(x, x, t)

Substitution:

x(t) = Re[A(t)eiω0t] =A

2eiω0t +

A∗

2e−iω0t

Es ist noch nicht eindeutig, weil Im(A(t)) beliebig ist. Wir berechnen:

x =A

2eiω0t +

iω0A

2eiω0t +

A∗

2e−iω0t − iω0A

∗

2e−iω0t

und setzenA

2eiω0t +

A∗

2e−iω0t = 0

Dann

x =iω0A

2eiω0t − iω0A

∗

2e−iω0t

78

Jetzt haben wir eine eindeutige Substitution (x, x) ↔ (A,A∗)Wir berechnen

x =iω0A

2eiω0t − ω2

0A

2eiω0t − iω0A

∗

2e−iω0t − ω2

0A∗

2e−iω0t

Wir bekommen 2 Gl

x+ ω20x =

iω0A

2eiω0t − iω0A

∗

2e−iω0t = G(x, x, t)

A

2eiω0t +

A∗

2e−iω0t = 0

Auflosen nach A:

A =G(x, x, t)e−iω0t

iω0

7.2 Resonanz

Linearer Osz mit ausserer Kraft:

x+ ω20x = F (t)

A =F (t)e−iω0t

iω0=⇒ A =

∫ t

0

F (τ)e−iω0τ

iω0dτ

Mit x(t) = Re[A(t)eiω0t]

x(t) =

∫ t

0

F (τ)

ω0sin(ω0(t− τ))dτ

7.3 Resonanz im System mit Reibung

x+ 2γx+ ω20x = ε cosωt

Hier ω0 ≈ ω, γ ≪ ω0, ε klein. Wir suchen die Lsg., die Frequenz der Kraft hat,deswegen schreiben wir die Gl um:

x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ ε cosωt

79

Substitution x(t) = Re[A(t)eiωt]:

x(t) =A

2eiωt +

A∗

2e−iωt x =

iωA

2eiωt − iωA∗

2e−iωt

Die Lsg.:

A =e−iωt

iω[(ω2 − ω2

0)x− 2γx+ ε cos ωt]

A =e−iωt

iω

[

(ω2 − ω20)(

A

2eiωt +

A∗

2e−iωt)− 2γ(

iωA

2eiωt − iωA∗

2e−iωt) +

ε

2(eiωt + e−iωt)

]

Bis jetzt ist alles exakt. Jetzt machen wir eine Annaherung. Die Glieder auf derrechten Seite sind alle klein (s. Bedingungen oben)⇒ A ist langsam. Es gibt Glieder

∼ e−2iωt ,

die beschreiben kleine Schw mit der Frequenz 2ω. Es gibt auch langsame Glider

∼ e0

Wir lassen nur langsame Glieder., d.h. wir mitteln die Gl. Dann fur alle Glieder wirrechnen

〈f(t)〉 = 1

T

∫ T

0f(t)dt

A ist langsam, wird bei Integration als Konstante betrachtet. Wir bekommen:

A =ω2 − ω2

0

iω

A

2− γA+

ε

2iω

Mit ω2 − ω20 = (ω − ω0)(ω + ω0) ≈ 2ω∆ω

A = −i∆ωA− γA+ε

2iω

Wir betrachten die Terme separat.

1. −γA gibt Dampfung, A = A0e−γt. Langsame Anderung: A0 −A0e

−γT ≪ A0,1− e−γT ≪ 1, γ ≪ ω

2. i∆ωA gibt die Eigenlsg., A = A0e−i∆ωt. Unsere Lsg ist

x = Re(Aeiωt) = Re(A0e−i∆ωteiωt) = Re(A0e

iω0t)

80

3. ε2iω gibt lin. Wachstum

A = A0 +ε

2iωt

Soll langsam sein: |∆A|Periode ≪ |A0|, εω2 ≪ |A0|

Stationare Lsg der Gl. A = −i∆ωA− γA+ ε2iω (wir setzen A = 0):

A =ε

2iω(γ + i∆ω)|A| = ε

2ω√

γ2 +∆ω2

Resonanzkurve: Maximum ε2ωγ bei ∆ω = 0. Breite 2γ: Maximum/

√2.

Hauptidee: immer die Gl in der Form

A =e−iωt

iωG(t)

zu schreiben, wo G(t) klein ist, und dann mitteln.

7.4 Bsp: Pendel, nichtlineare Schwingung

x+ ω20 sinx = 0

Kleine Schwingung. Mit sinx ≈ x− x3/6

x+ ω20x =

ω20

6x3

Komplexe Gl:

A =e−iω0t

iω0

ω20

6x3 = −ie−iω0t · ω0

6x3

Wir setzen ein:

x3 =

[

A

2eiω0t +

A∗

2e−iω0t

]3

x3 =1

8

[

A3ei3ω0t + 3A2A∗eiω0t + 3AA∗2e−iω0t +A∗3e−i3ω0t]

Nur langsame Terme:

A = −iω0

6

3

8A2A∗ = −iω0

16|A|2A

81

Sei A = Reiφ, A = Reiφ + iφReiφ, dann

Reiφ + iφReiφ = −iω0

16R3eiφ

Stationare Lsg.: R = 0 =⇒ R = R0.

φ = −ω0

16R2

0 =⇒ φ = φ0 −ω0

16R2

0t

x = Re(Aeiω0t) = Re(R0eiφeiω0t) = R0 cos(ω0(1−R2

0/16)t + φ0)

Neue Frequenz ω = ω0(1−R20/16).

7.5 Resonanz im Duffing-Oszillator

x+ 2γx+ ω20x− αx3 = ε cosωt

x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ αx3 + ε cos ωt

Wir haben schon alle Terme. Bei x3:

αx3 =α

8

[

A3ei3ωt + 3A2A∗eiωt + 3AA∗2e−iωt +A∗3e−i3ωt]

〈e−iωt

iωα(·)〉 = 3α

8iω|A|2A = −i3α

8ω|A|2A

Also,

A = −i∆ωA− γA− i3α

8ω|A|2A− i

ε

2ω

Mit neuer NotationA = −i∆ωA− γA− ia|A|2A− ie

Mit A = Reiφ

R+ iφR = −i∆ωR− γR− iaR3 − e sinφ− ie cosφ

R = −γR− e sinφ

Rφ = −∆ωR− aR3 − e cosφ

Stat. Lsg:e2 = γ2R2 + (∆ω + aR2)2R2

82

Verknupfung zwischen ∆ω und R:

e2

R2− γ2 = (∆ω + aR2)2

∆ω = −aR2 ±√

e2

R2− γ2

Also, R2 ≤ e2/γ2. Skelettkurve (Maximum der Res. Kurve):

R2 = −∆ω/a

Hohe des Maximums e2/γ2. Hysterese, Katastrophen.

AllgemeinR = −γnl(R)R − e sinφ

Rφ = ∆ωnl(R)R− e cosφ

Resonanzkurve:e2

R2= γ2nl(R) + ∆ω2

nl(R)

R2 =e2

γ2nl(R) + ∆ω2nl(R)

=ε2

4ω2[γ2nl(R) + ∆ω2nl(R))]

Entspricht genau den linearen Fall.

83

Multistabilitat fur e > ec.

d(∆ω)

d(R2)= 0

d2(∆ω)

d(R2)2= 0

Stabilitat der Resonanzkurve. Wir setzen R→ R+ δR, φ→ φ+ δφ in

R = −γR− e sinφ

φ = −∆ω − aR2 − e cos φ/R

und ueberprufen Stabilitat des Punktes δR = 0, δφ = 0. Charakt. Gl.:

∣

∣

∣

∣

∣

−γ − λ −e cosφ−2aR + e cosφ

R2

e sinφR − λ

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

λ2 + λ(γ − e sin φ

R)− γ

e sin φ

R− 2aRe cosφ+

e2 cos2 φ

R2= 0

Stationare Lsg:−e sinφ = γR − e cos φ = ∆ωR+ aR3

λ2 + 2λγ + γ2 + 2aR(∆ωR+ aR3) + (∆ω + aR2)2 = 0

Aber, wir haben obene2 = γ2R2 + (∆ω + aR2)2R2

λ2 + 2λγ +e2

R2+ 2aR2(∆ω + aR2) = 0

λ1,2 = −γ ±√

γ2 − e2

R2− 2aR2(∆ω + aR2)

λ1,2 = −γ ±√

−(∆ω + aR2)2 − 2aR2(∆ω + aR2)

λ1,2 = −γ ±√

−(∆ω + aR2)(∆ω + 3aR2)

∆ω > −aR2 oder ∆ω < −3aR2: komplexe λ, stabiler Fokus.−3aR2 < ∆ω < −aR2: λ2 < 0 =⇒ entweder stabiler Knoten, oder Sattel.Anderung der Stabilitat wenn λ1 = 0 =⇒

(∆ω + aR2)(∆ω + 3aR2) = −γ2

84

Das ist genau die Bedingungd(∆ω)

d(R2)= 0

Zeigen wir das. Sei R2 = X. Dann

∆ω = −aX ±√

e2

X− γ2

d(∆ω)

dX= −a± −e2/X2

2√

e2/X − γ2= 0

e2

2X2√

e2/X − γ2= a =⇒ 2aR2

√

e2/R2 − γ2 =e2

R2

2aR2(∆ω + aR2) =e2

R2

Einsetzen in

λ = −γ ±√

γ2 − e2

R2− 2aR2(∆ω + aR2)

dann haben wir λ1 = 0

7.6 Van der Pol - Oszillator

x+ ω2x = µ(1− x2)x = µx− µx2x

Substitution:

x(t) =A

2eiωt +

A∗

2e−iωt x =

iωA

2eiωt − iωA∗

2e−iωt

A =e−iωt

iωµ(1− x2)x = µ

e−iωt

iωx− µ

e−iωt

iωx2x

Wir berechnen die Terme separat. Term µx: wir vergleichen mit 2γx. Dann bekom-men wir µ

2A. Weiter:

x2x =1

8[A2e2iωt + 2AA∗ +A∗2e−2iωt](iωAeiωt − iωA∗e−iωt)

85

Uns interessieren nur die Terme ∼ eiωt. Das sind

iω

4A2A∗eiωt

und

− iω8A2A∗eiωt

Dann bleibt nur:

A =µ

2A+ µ

e−iωt

iω(− iω

4A2A∗eiωt +

iω

8A2A∗eiωt)

A =µ

2A− µ|A|2A

8

R =µ

2R− µ

8R3

φ = 0

St. Lsg: R = 2, φ = φ0. Radiale Richtung Stabil, andere neutral Stabil.

|A| = 2 x = 2cos(ωt+ φ0)

7.6.1 Getriebener van der Pol Oszillator

x+ ω2x = µ(1− x2)x+ ε cos νt

x+ ν2x = (ν2 − ω2)x+ µx− µx2x+ ε cos νt

Sei ∆ω = ν − ω. Wir haben alle Terme schon:

A = −i∆ωA+µ

2A− µ|A|2A

8− i

ε

2ω

Mit e = ε2ω , A = Reiφ:

Reiφ + iφReiφ = −i∆ωReiφ +µ

2Reiφ − µR3

8eiφ − ie

R =µ

2R(1− R2

4)− e sinφ

Rφ = −∆ωR− e cos φ

86

Sei ε≪ 1, dann R ≈ 2 und wir bekommen

φ = −∆ω − e

2cosφ

Falls | e2 | > |∆ω|, FP: φ = const. Dann

x = Re(Aeiνt) = Re(Rei(νt+const))

Schwingung mit der Frequenz der Kraft, Synchronisation. Diskussion: Resonanz vs.Synchronization.

7.7 Parametrische Resonanz

Externe Kraft ∼ x, z.B.:x+ ω2

0x = ε cosωt · xDas ist periodische Variation der Frequenz. Mathieu Gl.

Mittelungsmethode: x = Re(Aeiω0t)

A =e−iω0t

iω0

ε

4(eiωt + e−iωt)(Aeiω0t +A∗e−iω0t)

A =ε

4iω0(eiωt + e−iωt)(A+A∗e−2iω0t)

A =ε

4iω0(Aeiωt +Ae−iωt +A∗ei(ω−2ω0)t +A∗e−i(2ω0+ω)t)

Bei Mittelung ist nur ein Term nichttrivial. Sei ω = 2ω0, dann

A =ε

4iω0A∗

Sei A = X + iY , dann A = ε4iω0

(X − iY ), oder

X = − ε

4ω0Y Y = − ε

4ω0X

Gl. fur die Eigenwerte:∣

∣

∣

∣

∣

−λ − ε4ω0

− ε4ω0

−λ

∣

∣

∣

∣

∣

=⇒ λ = ± ε

4ω0

Sattel: A ∼ eλ+t. x = Re(Aeiω0t) ∼ eλ+t cosω0t, Fokus. Parametrische Instabilitat.

87

7.7.1 Quantitative Beschreibung

Harmonischer Osz:x+ ω2x = 0 =⇒ xmax = ωxmax

Mit x multiplizieren, integrieren, Phasenportrait:

x2

2+ ω2x

2

2= const

Ellipse, Halbachsen:a

b=xmax

xmax=

1

ω

Parametrische Anregung (ω = 1)

x+ x = f(t)x

Statt Sinus-Fkt nehmen wir Rechteck-Fkt f(t)

x+ (1 + f(t))x = 0

Frequenz: 1±∆, umschaltung 4 mal pro Periode.Frequenz 1 +∆ =⇒ a < b und umgekehr.

Vergleich mit Resonanz. Sei es keine reibung, erzwungene Schwingung: Amplitu-de wird unendlich gross nur wenn genau ν = ω. Hier: gibt es eine “Zunge”, lineareReibung macht die Amplitude nicht begrenzt. Erzw. Schw.: lineares Wachstum, hierexplonenziell.

88

7.7.2 Parametrische Resonanz im Duffing-Oszillator

x+ 2γx+ ω20x− αx3 = ε cos 2ωt · x

mit ω ≈ ω0

x+ ω2x = (ω2 − ω20)x− 2γx+ αx3 + ε cos 2ωt · x

A =e−iωt

iω[ε cos 2ωt · x+ . . .]

Also, mit ∆ω = ω − ω0:

A =ε

4iωA∗ − i∆ωA− γA− i

3α

8ω|A|2A

A = −ieA∗ − i∆ωA− γA− ia|A|2AMit A = X + iY , X2 + Y 2 = R2:

X = [−e+∆ω + aR2]Y − γX

Y = [−e−∆ω − aR2]X − γY

Gleichgewicht:

γX = [−e+∆ω + aR2]Y

γY = [−e−∆ω − aR2]X

γ2 = [−e+∆ω + aR2][−e− (∆ω + aR2)]

γ2 = e2 − (∆ω + aR2)2

∆ω + aR2 = ±√

e2 − γ2

aR2 = −∆ω ±√

e2 − γ2

Schwelle: Anregung soll starker als Dampfung sein.Gleichgewicht (0, 0), Stabilitat:

X = [−e+∆ω]Y − γX

Y = [−e−∆ω]X − γY

A =

∣

∣

∣

∣

∣

λ+ γ e−∆ωe+∆ω λ+ γ

∣

∣

∣

∣

∣

= 0

89

(λ+ γ)2 = e2 −∆ω2 =⇒ λ = −γ ±√

e2 −∆ω2

Falls |∆ω| > e: Fokus, stabilSonst, falls e2 −∆ω2 < γ2: Knoten, stabil., sonst Sattel. Stab. Grenze: e2 −∆ω2 =γ2 =⇒ λ+ = 0. γ = 0 =⇒ e = ±∆ωBif: 2 Pitchfork-Bifs.

90

Kapitel 8

Bifurkationen in 2D

8.1 Sattel-Knoten-Bif.

Ahnlich 1D + eine Dimension mit Attraktion.

x = µ− x2 y = −y

Fur µ > 0: zwei FP (Knoten√µ, 0, Sattel −√

µ, 0). Bif fur µ = 0. Bottleneck,

t ∼ 1/√µ− µc.

Allgemein: zwei Nullklinen, tangential um µ = µc

Beispiel 8.1 Genetisches Steuerungs-System.x und y sind Konzentrationen von ein Protein und mRNA. Genaktivitat ist induziertbei two Kopien des Proteins, dass der Gen kodiert. D.h. es gibt Ruckkopplung.

x = −ax+ y y =x2

1 + x2− by

91

a, b positiv, a 6= b. Nullklinen:

y = ax y =x2

b(1 + x2)

Nullklinen kreuzen sich in 3 Punkten wenn a klein ist. FP:

ax =x2

b(1 + x2)

FP: (0, 0). Noch zwei erfullen

ab(1 + x2) = x =⇒ x∗ =1±

√1− 4a2b2

2ab

falls 1− 4a2b2 > 0 ist. Bif. Wert: 2ab = 1, ac = 1/2b. Dann x∗ = 1.

92

Jacobian:

A =

(

−a 12x

(1+x2)2 −b

)

Spur τ = −(a+ b) < 0.FP: (0, 0): ∆ = ab > 0 und τ2 − 4∆ = (a− b)2 > 0, also Knoten, stabil. Andere FP:

∆ = ab− 2x∗

(1 + x2∗)2

Mit

ax =x2

b(1 + x2)

∆ = ab

[

1− 2

1 + x2∗

]

= ab

[

x2∗ − 1

1 + x2∗

]

FP 0 < x∗ < 1: ∆ < 0, Sattel.FP x∗ > 1: ∆ < ab, τ2 − 4∆ > (a − b)2 > 0, Knoten, stabil. Biologisch: falls

ab < 1/2, wir haben eine biochem Schaltung: Gen ist entweder aktiv oder nicht.

8.2 Transkr und Pitchfork Bif.

Prototypische Beispiele. Transk:

x = µx− x2 y = −y

93

Pitchfork, superkr:x = µx− x3 y = −y

Pitchfork, subkr:x = µx+ x3 y = −y

Phasenportr fur superkr Pitchfork: Fur µ = 0, Abfall von x ist langsam (alge-

braisch).Allgemein: centre manifold theory.

Beispiel 8.2 x = µx+ y + sinx y = x− ySymmetrie (x, y) → (−x,−y), dann Phasenport symmetrisch bez. Ursprung.Ursprung ist immer FP, Jacobian:

A =

(

µ+ 1 11 −1

)

mit τ = µ und ∆ = −(µ + 2). Dann Ursprung ist ein Sattelpunkt fur −2 < µ < 0und bekommt stabil fur µ < −2. Wir vermuten Pitchfork mit µc = −2. Wir suchennach symmetrische FP:

y = x (µ+ 1)x+ sinx = 0

Kleine x:

(µ+ 1)x+ x− x3

3!+O(x5) = 0 =⇒ µ+ 2− x2/6 ≈ 0

Also, fur µ = −2+ ε wir haben x∗ ≈ ±√

6(µ + 2), also superkrit. Bif. Um Bif Punkt

A =

(

−1 11 −1)

)

94

Eigenvektoren (1, 1) und (1,−1), mit λ = 0 und λ = −2. Nach Bif λ = 0 bekommtpositive. Dann

Alle Bsp: Null-Eigenwert Bifurkationen, die treten ein, wenn ∆ = 0, also einEigenwert ist Null. Immer Kollision von 2 oder mehr FP.

8.2.1 Hopf-Bifurkation

Wir haben diskutiert, was passiert, wenn reeller Eigenwert positiv wird. Jetzt be-trachten wir komplexe Eigenwerte.

Hopf-Bif: stabile Spirale → instabile Spirale. Bsp:

r = µr − r3 θ = ω + br2

95

Hier µ bestimmt Stab des Ursprungs, ω bestimmt Frequenz der kleinen Schw., bbestimmt Abh der Frequenz von der Amplitude.

µ < 0: Fokus stabil; µ = 0: Fokus stabil, aber nur algebraisch; µ > 0: Fokusinstabil. Grenzzyklus mit r =

√µ, θ = ω + bµ. Jacobian, in Kart Koordinaten:

x = r cos θ y = r sin θ

Dannx = r cos θ − rθ sin θ = (µr − r3) cos θ − r(ω + br2) sin θ

x = (µ− [x2 + y2])x− (ω + b[x2 + y2])y = µx− ωy + kubische Terme

Genausoy = ωx+ µy + kubische Terme

Jacobian am Ursprung

A =

(

µ −ωω µ

)

Eigenwerte λ = µ± iω.Es ist auch allgemein ungefahr so: Grenzzyklus ∼ √

µ− µc, Frequenz ω = Im(λ).Das stimmt fur µ nah zu µc.

8.2.2 Subkritische Hopf-Bifurkation

r = µr + r3 − r5 θ = ω + br2

µ < 0: stabile Fokus und GZ, instab GZ. Mit µ → 0 instab GZ wird kleiner undletzendlich bekommt instab Fokus.

Hysterese. Grose Amplitude bleibt bis µ = −1/4, wenn zwei GZ kollidieren(andere Bif., wird spater behandelt).

96

8.2.3 Entartete Hopf-Bifurkation

Z.B.x+ µx+ sinx = 0

Wenn µ bekommt negativ, stabiler Fokus wird instabil, aber um µ = 0 gibt es keinZyklus, weil das System konservativ wird (es gibt Zentrum).

Beispiel 8.3 Hopf-Bifurkation

x = µx− y + xy2 y = x+ µy + y3

Wir zeigen, dass Hopf-Bif bei Ursprung auftritt, mit Variation von µ. Jacobian amUrsprung

A =

(

µ −11 µ

)

τ = 2µ, ∆ = µ2 + 1 > 0, Eigenwerte λ = µ± i. Hopf-Bif um µ = 0. Welche genau?In Polarkoordinaten

r = µr + ry2

Also, r ≥ µr, dann fur µ > 0 r(t) wachst schneller als eµt. Also, r → ∞, kein GZ,keine superkrit. Bif.

Ist die entartet? Nein, fur µ = 0, r > 0, kein Zentrum. Also, dann ist die Bifsubkritisch. Das Bild fur µ = −0.2:

8.2.4 Belousov-Zhabotinsky-Reaktion

Einfachstes Model:

x = a− x− 4xy

1 + x2y = bx

(

1− y

1 + x2

)

97

a, b > 0, x, y > 0 (Konzentrationen). Wir benutzen Poncare-Bendixson-Theorem umExistenz eines GZ zu zeigen, dann zeigen wir, dass Hopf-Bif superkr ist.

Nullklinen:

x = 0 =⇒ y =(a− x)(1 + x2)

4x

y = 0 =⇒ y = 1 + x2 , x = 0

FP:

98

(a− x)(1 + x2)

4x= 1 + x2 =⇒ x∗ = a/5 , y∗ = 1 + (a/5)2

Wann ist FP ein Repeller? Wir berechnen Jacobian um FP:

A =

−1− 4y(1 + x2)− x · 2x

(1 + x2)2− 4x

1 + x2

b

(

1− y1− x2

(1 + x2)2

)

−b x

1 + x2

Mit y∗ = 1 + (x∗)2

A =

−1− 41− x∗2

1 + x∗2− 4x∗

1 + x∗2

b

(

1− 1− x∗2

1 + x∗2

)

−b x∗

1 + x∗2

A =1

1 + (x∗)2

3x∗2 − 5 −4x∗

2bx∗2 −bx∗

τ =3x∗2 − 5− bx∗

1 + (x∗)2∆ =

−3bx∗3 + 5bx∗ + 8bx∗3

[1 + (x∗)2]2=

5bx∗

1 + (x∗)2> 0

Dann, Repeller wenn τ > 0, d.h.

3a2

25− 5− ab

5> 0 b < bc = 3a/5− 25/a

99

Dann gibt es GZ.Numerische Ergebnisse: superkritische Bif

Finden wir Frequenz nah zur Bifurkation, d.h. ω = Im(λ).

λ2 − τλ+∆ = 0

Bif. Punkt: τ = 0, ∆ > 0, also λ = ±i√∆, T = 2π√

∆.

∆ =5bx∗

1 + (x∗)2=

5(3a5 − 25a )(

a5 )

1 + (a/5)2=

15a2 − 625

a2 + 25

100

lima→∞

∆ = 15 , lima→∞

T = 2π/√15 ≈ 1.63

101

8.3 Globale Bifurkationen von Zyklen

Fur die Analyse sollen wir grosse Bereiche des Phasenraums betrachten, nicht nurdie Umgebung des FPs, deswegen nennt man diese Bif globale.

8.3.1 Sattel-Knoten-Bifurcation von Zyklen (fold bifurcation)

Beispiel 8.4 Die Gleichungen sind

r = µr + r3 − r5 θ = ω + br2

Wir haben schon gezeigt, dass um µ = 0 hier eine subkrit Hopf-Bif gibt. Jetzt be-trachten wir µ < 0. Erste Gl. Es gibt FP 0, 0. Stelle des Maximums: wenn die Gl

r4 − r2 − µ = 0

nur eine Lsg hat:

r21,2 =−1±√

1 + 4µ

2=⇒ µc = −1/4

FP in der Gl fur r =⇒ kreisformige Zyklen. Bemerkung: bei Hopf-Bif Radius

ist (µ − µc)1/2, hier ist Radius gleich O(1).

102

8.3.2 Infinite-Period-Bifurkation

r = r(1− r2) θ = µ− sin θ µ ≥ 0

Zyklus fur µ > 1. Bottleneck, limµ→1+ T = ∞

Amplitude bleibt O(1), Periode (µ − µc)−1/2

8.3.3 Homoklinische Bif.

Auch saddle-loop. Hier auch T → ∞

x = y y = µy + x− x2 + xy

Numerische Lsg, nur wesentliche Trajektorien. (a,b) ist fur µ < µc ≈ −0.8645

103

104

8.3.4 Skalierungsgesetze

Sei µ≪ 1 Abstand zum Bif-Punkt.

Beispiel 8.5 Van der Pol Gleichung

x+ µx(x2 − 1) + x = 0

entspricht nicht die Tabelle. Bei µ = 0 die Eigenwerte des Ursprungs sind imaginar,λ = ±i, was die Hopf-Bif hindeutet. Wir wissen aber, dass fur µ≪ 1 Amplitude derSchwingung ist ≈ 2, nicht O(µ1/2).

Erklarung: Bif ist entartet. Um µ = 0 wird das System konservativ.Wir schreibendie Gl um:

x+ x+ µx2x− µx = 0

Sei u =õx.

u+ u+ u2u− µu = 0

Jetzt ist die Bif nicht entartet. Fur 0 < µ ≪ 1 ist x(t, µ) ≈ 2 cos t. Dann u =2√µ cos t, also Skalierung ∼ √

µ.

105

8.4 Josephson-Kontakte, Hysterese

Wir haben 1D-Grenzfall besprochen, jetzt betrachten wir das 2D-Problem.

hC

2eφ+

h

2eRφ+ Ic sinφ = IB

IB ist dc bias current, φ(t) ist Phase uber Kontakt. Entdimensionalisierung (andersals before):

τ =

(

2eIchC

)1/2

t I =IBIc

α =

(

h

2eIcR2C

)1/2

t

φ′′ + αφ′ + sinφ = I

Hier α > 0, wir wahlen auch I ≥ 0. (Sonst kann man auch I < 0, φ→ −φ).Mit y = φ′.

φ′ = y y′ = I − sinφ− αy

Zylindrischer Phasenraum. Analogie mit dem Pendel:

mL2θ + bθ +mgL sin θ = Γ

8.4.1 FP

FP: y∗ = 0, sin φ∗ = I. Zwei FP, falls I < 1, und keine FP, falls I > 1. Jacobian:

A =

0 1

− cosφ∗ −α

τ = −α < 0 und ∆ = cosφ∗ = ±√1− I2. Wenn ∆ > 0, dann: wenn τ2 − 4∆ =

α2 − 4√1− I2 > 0, dann stabiler Knoten, sonst stab. Fokus. Um I = 1 gibt es

Sattel-Knoten-Bif.

8.4.2 GZ. Poincare-Abbildung

Was passiert fur I > 1?Nullkline y = (I − sinφ)/α > 0. Uber Nullkline Fluss ist runter gerichtet. Dann,Fluss kommt immer in Bereich y1 < y < y2, mit

0 < y1 < (I − 1)/α y2 > (I + 1)/α

106

107

Fluss ist nach rechts (y > 0). Rechteck (0, 2π, φ1, φ2) weil 0 und 2π equivalent sind.Abbildung y → P (y), oder first-return map. Wir konnen die Abbildung explizitnicht berechnen, aber wir zeigen gleich, das die ein FP hat, P (y∗) = y∗. Das warebedeuten, dass es eine geschlossene Trajektorie gibt.

Wir starten bei y = y1, φ = 0. Dann P (y1) > y1, weil Fluss um y1 ist immer nachoben. Genauso, P (y2) < y2. Weiter, P (y) ist stetig (Lsg der DfGl ist eine stetigeFkt der Anfangsbediengung, falls Vektorfluss glatt ist.). Weiter, P (y) ist monoton,sonst kreuzen die Trajektorien. Dann, gibt es FP.

Wir sollen noch zeigen, dass es nur ein FP gibt. Wir sollen ausschliessen, dasses ein Intervall gibt, wo P (y) = y. Also, wir wollen zeigen, das es nur ein GZ gibt.Erstens, es gibt Librationen und Rotationen, aber Libration verlangt ein FP, unddie gibt es fur I > 1 nicht.

Wir nehmen an, es gibt 2 Rotationen. Energie

E = y2/2 − cosφ

Fur jede Rotation

0 = ∆E =

∫ 2π

0

dE

dφdφ

dE

dφ= y

dy

dφ+ sinφ

dy

dφ=y′

φ′=I − sinφ− αy

y

Dann

0 =

∫ 2π

0(I − αy)dφ

108

Oder∫ 2π

0y(φ)dφ =

2πI

α

Aber yU(φ) > yL(φ), dann

∫ 2π

0yU (φ)dφ >

∫ 2π

0yL(φ)dφ

Also, Widerspruch =⇒ es gibt nur ein GZ.

8.4.3 Homoklinische Bif

Wir nehmen I > 1 und machen es kleiner. Um I = Ic homoklinische Bif. FurIc < I < 1 zwei Lsg: Bistabilitat. Wir wissen auch, dass wenn α sehr gross ist, dannSattel und Knoten erscheinen, das ist Inf-Per-Bif fur GZ. Numerische Untersuchungzeigt, dass fur finite α es auch so ist.

8.4.4 Hysterese

Sei α klein und das System ist unter der Homokl. Bif-Kurve. Das entspricht FP,Spannung Null. Wir machen I groesser.Um 1 Sattel-Kn Bif, das System springt zumGZ. Jetzt wird I kleiner: GZ existiert auch fur Ic < I < 1. Frequenz ∼ [ln(I−Ic)]−1.dc-Strom ist zur Frequenz proportional, also Spannung geht zu Null stetig, aber sehrschnell, kann vom Sprung nicht unterscheiden.

109

110

111

8.5 Gekoppelte Oszillatoren

Zwei Variablen auf dem Kreis: Torus.

θ1 = f1(θ1, θ2) θ2 = f2(θ1, θ2)

Hier f1,2 sind periodisch. Zwei gekoppelten Osz:

θ1 = ω1 +K1 sin(θ2 − θ1) θ2 = ω2 +K2 sin(θ1 − θ2)

Torus oder Rechteck mit periodischen Randbedingungen.

112

113

8.5.1 Ungekoppelte Systeme

ω1/ω2 entweder rational, ω1/ω2 = p/q, dann geschl. Trajekt auf dem Torus, sonstquasiperiodosche Bew. Trajekt sind dicht, kommen unendlich nah zu jedem Punkt.Bsp: p = 3, q = 2.

8.5.2 Gekoppelte Systeme

K1,2 > 0. Phasendifferenz φ = θ1 − θ2

φ = ω1 − ω2 − (K1 +K2) sinφ

Synchronisation, falls |ω1 − ω2| < K1 +K2

sinφ∗ =ω1 − ω2

K1 +K2

Gemeinsame Frequenz ω∗ = θ1,2 = ω1 −K1 sinφ∗ = ω2 +K2 sinφ

∗.

ω∗ = ω1 −K1ω1 − ω2

K1 +K2=K1ω2 +K2ω1

K1 +K2

∣

∣

∣

∣

ω1 − ω∗

ω2 − ω∗

∣

∣

∣

∣

=

∣

∣

∣

∣

K1

K2

∣

∣

∣

∣

8.5.3 n : m Synchronisation

Allgemeinθ1 = ω1 +KQ1(θ1, θ2) θ2 = ω2 +KQ2(θ2, θ1)

114

Beide Fkt sind 2π periodisch. Wir stellen sie durch Fourier-Series dar:

Q1(θ1, θ2) =∑

k,l

a(k,l)1 ei(kθ1+lθ2)

Q2(θ2, θ1) =∑

k,l

a(l,k)2 ei(kθ1+lθ2)

Langsame Termekω1 + lω2 ≈ 0

Nehmen wir an:ω1

ω2≈ m

n

Dann alle Terme mit k = nj, l = −mj sind langsam. Gemittelte Gl:

θ1 = ω1 +K∑

j

a(nj,−mj)1 eij(nθ1−mθ2) = ω1 +Kq1(nθ1 −mθ2)

θ2 = ω2 +Kq2(mθ2 − nθ1)

115

Mit ν = mω2 − nω1, ψ = nθ1 −mθ2, und q(ψ) = nq1(ψ)−mq2(−ψ)

ψ = −ν +Kq(ψ)

FP: nθ1 −mθ2 = const,

Ω1,2 = 〈θ1,2〉 = ω1,2 +Kq(±ψ∗)

Ω1

Ω2=m

n

8.6 Poincare-Abbildung

Wir definieren die Abbildung gleich fur n-dimensionales System. Sei S eine n−1-dimOberflache, transversal zum Fluss.

Poincare-Abbildung ist eine Abbildung S → S, xk+1 = P (xk). Sei x∗ ein FP,

dann P (x∗) = x∗ und es gibt geschlossene Trajektorie in x = f(x).

Beispiel 8.6

r = r(1− r2) θ = 1

Als S wir nehmen x-Achse fur x > 0. Anfangsbed r0. Ruckkehr nach t = 2π, dannr1 = P (r0), mit

∫ r1

r0

dr

r(1− r2)=

∫ 2π

0dt = 2π

Gl ist losbar,

r1 =[

1 + e−4π(r−20 − 1)

]−1/2

116

Dann

P (r) =[

1 + e−4π(r−2 − 1)]−1/2

FP P (r) = r, Stabilitat.

Beispiel 8.7 RC-Schaltkreis, harmonische Spannung

x+ x = A sinωt

Wir zeigen, dass es eine geschl stabile Trajektorie gibt.Zylindrischer Phasenraum. Als S nehmen wir Linie θ mod 2π = 0. Also, wir

nehmen die Punkte um tk = k 2πω . Lsg der Gl:

x(t) = c1e−t + c2 sinωt+ c3 cosωt

Konstanten c2, c3 sind von A, ω abh, c1 ist von x0 abh. Um t = 0

x(0) = x0 = c1 + c3

Dannx(t) = (x0 − c3)e

−t + c2 sinωt+ c3 cosωt

x1 = P (x0) = x(t =2π

ω) = (x0 − c3)e

−2π/ω + c3 = x0e−2π/ω + c4

Abbildung ist eine Gerade mit der Steigung < 1 =⇒ FP ist stabil.

117

8.6.1 Lineare Stabilitat von Zyklen

Angenommen, x = f(x) hat ein Zyklus, dann gibt es FP x∗. Stabilitat? Sei v0 infi-nitesimal kleine Storung. Also, x∗ + v0. Dann, nach einer Revolution

x∗ + v1 = P (x∗ + v0) = P (x∗) + [DP (x∗)]v0 +O(|v0|2)

Hier DP (x∗) ist eine (n−1)×(n−1) Matrix, Linearisierung der Poincare-Abbildungum x∗. Mit x∗ = P (x∗)

v1 = [DP (x∗)]v0

(Wir vernachlassigen nichtlineare Glieder.)Stabilitatskriterium: sei λj die Eigenwerte von DP (x∗). Falls |λj | < 1 fur alle

j = 1, . . . , n−1, dann GZ ist stabil. Erklarung: sei alle λj unterschiedlich. Dann gibtes Basis von Eigenvektoren ej. Dann

v0 =n−1∑

j=1

vjej

v1 = [DP (x∗)]n−1∑

j=1

vjej =n−1∑

j=1

vjλjej

vk =n−1∑

j=1

vjλkj ej

Falls |λj | < 1, dann |vk| → 0, und x∗ ist linear stabil. λj sind Floquet-Multiplikatoren.Normalerweise, findet man die nur numerisch. Es gibt noch ein Multiplikator, derder Storung langs die Trajektorie entspricht.

118

Beispiel 8.8

r = r(1− r2) θ = 1

Wir finden Multiplikator des Zyklus. FP r∗ = 1. Sei r = 1 + η. Dann

r = η = (1 + η)(1− (1 + η)2)

η = −2η =⇒ η(t) = η0e−2t

Zeit der Revolution 2π, dann ist die neue Storung η1 = e−4πη0.Also, λ1 = e−4π < 1 =⇒ stabil.

Beispiel 8.9 Josephson-KontakteN -dim System. N -Kontakten mit Widerstand. Modell:

φi = ω + a sinφi +1

N

N∑

j=1

sinφj

Wir betrachten die Lsg φj(t) = φ∗(t) (synchrone Lsg, nicht FP). Wann ist diese Lsgperiodisch? Ist die stabil?

dφ∗

dt= ω + (a+ 1) sin φ∗

Periodisch Lsg (Rotation) falls |ω| > |a+ 1|. Kleine Storung φi(t) = φ∗(t) + ηi(t).

dφ∗

dt+ ηi = ω + a sin(φ∗ + ηi) +

1

N

N∑

j=1

sin(φ∗ + ηj)

dφ∗

dt+ ηi = ω + a(sinφ∗ + cosφ∗ · ηi) +

1

N

N∑

j=1

sinφ∗ +1

N

N∑

j=1

cosφ∗ · ηj

ηi = (a cos φ∗)ηi + cosφ∗1

N

N∑

j=1

ηj

Wir wissen φ∗ nicht, aber das Problem ist trotzdem losbar. Neue Variablen:

µ =1

N

N∑

j=1

ηj , ξi = ηi+1 − ηi , i = 1, . . . , N − 1 .

119

Dannξi = (a cosφ∗)ξi

dξiξi

= (a cosφ∗)dt =(a cosφ∗)dφ∗

ω + (a+ 1) sin φ∗

∫ T

0

dξiξi

=

∫ 2π

0

(a cosφ∗)dφ∗

ω + (a+ 1) sin φ∗

lnξi(T )

ξi(0)=

a

a+ 1ln(ω + (a+ 1) sinφ∗)|2π0 = 0 =⇒ ξi(T ) = ξi(0)

Also, alle Multiplikatoren sind 1. Wir summieren alle Gl fur ηi =⇒

µ = (a cos φ∗)µ + (cosφ∗)µ

Genauso, Multiplikator ist auch 1. Neutrale Stab.

120

Kapitel 9

Lorenz-Gleichungen

9.1 Modell und die einfachen Eigenschaften

Edward Lorenz, 1963. Modell der Konvektion. Variablen:

x ∼ T3 − T1 y ∼ V z ∼ T4 − T2

Lorenz-Gleichungen:

x = σ(y − x) y = rx− y − xz z = xy − bz

Zwei nichtlin Terme, drei Parameter > 0.Symmetrie: (x, y) → (−x,−y), d.h. wenn x(t), y(t), z(t) ist eine Losung, dann

−x(t),−y(t), z(t) ist es auch.

121

3

VT1

T2

T

T4

−20 0 20x

−20

0

20

y

0

20

40

z

0 10 20 30 40 50time

−15

0

15

x

−20

0

20

y

0

20

40

z

(a) (b)

122

9.1.1 Volumenkontraktion

Das System ist dissipativ. Allg: x = f(x); wir nehmen ein Volumen V von Anfangs-bedingungen, eingeschlossen bei der Oberflache S.

V (t+ dt) = V (t) +

∫

S(f · ndt)dA

V =

∫

S(f · n)dA =

∫

V∇fdV

Fur das Lorenz-System

∇f =∂

∂x[σ(y − x)] +

∂

∂y[rx− y − xz] +

∂

∂z[xy − bz] = −σ − 1− b = const < 0

V (t) = V (0)e−(σ+1+b)t)

9.1.2 Mogliche Losungen

Quasiperiodische Lsg? Das wahre ein Torus, Volumen konstant. Widerspruch.Repelling FP oder Zyklen. Widerspricht Volumenkontraktion.FP.

y = x

rx− y = xz

xy = bz

123

Erstens, FP (0, 0, 0). Weiter:

(r − 1)x = xz =⇒ (r − 1) = x2/b =⇒ x∗ = y∗ = ±√

b(r − 1)

mit r > 1.z∗ = r − 1

Nach Lorenz: C+ und C−. FP entsprechen Links- bzw Rechtsrotation. Pitchfork umr = 1

9.1.3 Lineare Stabiltat des Urprungs

Linearizierung:x = σ(y − x) y = rx− y z = −bz

z-Richtung ist entkoppelt, z(t) → 0. Fur x, y:

A =

−σ σ

r −1

mit τ = −σ − 1 und ∆ = σ(1 − r).Fur r > 1 wir haben ∆ < 0 =⇒ Sattel. (In 3D: zwei stabile und eine instabileRichtung.)Fur r < 1 ist Ursprung stabil. τ2 − 4∆ = (σ + 1)2 − 4σ(1 − r) = (σ − 1)2 + 4σr >0 =⇒ Knoten.

9.1.4 Globale Stabiltat des Urprungs (r < 1)

Lyapunov-Funktion:

V (x, y, z) =1

σx2 + y2 + z2

Wir zeigen, dass V < 0 fur (x, y, z) 6= (0, 0, 0).

V /2 =1

σxx+ yy + zz = (yx− x2) + (ryx− y2 − xyz) + (zxy − bz2)

V /2 = (r + 1)xy − x2 − y2 − bz2 = −[x− r + 1

2y]2 − [1− (

r + 1

2)2]y2 − bz2

Positiv kann nicht sein, weil r < 1. V = 0 =⇒ (x, y, z) = (0, 0, 0).

124

9.1.5 Trapping region (r > 1)

Kugeloberflachex2 + y2 + (z − r − σ)2 = C

mit C gross genug.

1/2C = xx+ yy + (z − r− σ)z = σx(y − x) + y(rx− y − xz) + (z − r− σ)(xy − bz)

1/2C = −σx2 − y2 − bz2 + brz + σbz = −[σx2 + y2 + b(z − r + σ

2)2 − b(r + σ)2/4]

Man kann so ein Ellipsoid wahlen, dass C < 0 ist. Dann kann man auch C so wahlen,dass die Kugeloberflache das Ellipsoid enthalt. Dann bestimmt diese Kugeloberflachetrapping region.

9.1.6 FP: Stabilitat

Sei jetzt r > 1. C+ und C− sind stabil fur

1 < r < rH =σ(σ + b+ 3)

σ − b− 1

und σ > b+ 1. Subkritische Hopf-Bif um rH .Also, fur r > rH gibt es keine FP, aber Trajektorien gehen nicht unendlich weit.

Wir zeigen bald (aber nicht strikt), dass alle GZ instabil sind.

125

9.2 Chaos

Chaotische Bewegung.Exponenzielle Divergenz von Trajektorien. Keine Vorhersagbarkeit.

|δ(t)| ∼ |δ0|eλt

Attractor A:

1. Invariante Menge: wenn x(t) startet im A, dann bleibt auch im A.

2. Zieht eine offene Menge von Anfangsbedingungen an: ∃ U sodass wenn x(0) ∈U , dann x → A mit t→ ∞. Maximales U heisst Einzugsbereich.

126

3. A ist minimal.

Fraktale Struktur.

9.3 Lorenz-Abbildung

1D Approximation: zn+1 = f(zn) mit |f ′(z)| > 1. Angenommen, gibt es ein GZ, dasentspricht f(z∗) = z∗. Storung ηn.

zn+1 = f(z∗ + ηn) = z∗ + f ′(z∗)ηn = z∗ + ηn+1 =⇒ |ηn+1| > |ηn|

Zyklus instabil. Allgemein, Zyklus Periode p: zn+p = zn. Dann

ηn+p =

p−1∏

k=0

f ′(zn+k)

ηn

Aber |f ′(z)| > 1 fur alle z, deswegen p-Zyklus ist auch instabil.

127

128