0 1．分布定数回路morisita/lecture/electronic_measure02.pdf0 national defense academy...

0

National Defense Academy

１．分布定数回路１．分布定数回路１．分布定数回路

•集中定数回路

•分布定数回路

RIVdtdVCI

dtdILV

=

=

=

RIVCVLI

===Φ

Q⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ Φ=

dtdI

dtdV

QQ

Q

時間で微分

⇒

ωjなぜか？

0=Tt

0≠Tt回路の寸法が取り扱う

信号の波長と同じか

またはそれより大きい。

伝送時間

1


R

I

VL C

( ) (2)cos

(1) cos

0

0

　　

　　

αωω

+=

=

tII

tVV

キルヒホッフ第2法則

3角関数の関係

が未知数　と　

　が既知数と　

　

　

0

0

αω

I

V

( ) ( ) ( )∫ +++++= (3) coscoscoscos 0000 dtt

cIt

dtdLItRItV αωαωαωω 　　

(4) cos2 tjtj eet ωωω −+=

(3)式をこのまま解くのは簡単ではない。

2


(6) 1

(5)

tjtj

tjtj

ej

dte

ejedtd

ωω

ωω

ω

ω

=

=

∫積分：

微分：

従って（3）式は

( ) ( ) ( ) (7) 11000

αωαωωω

ωω

ωω +−+−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=+ tjtjtjtj eI

cjLjReI

cjLjReeV

任意の時間に対して成立するには

(8) 100

α

ωω jeI

cjLjRV ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=

左辺の第1項と第2項

右辺の第1項と第2項共役 jj −↔ 　　

jjnumberimaginaryj

電気工学： 1, : 2 −=

3


(9) 1

00

Cj

j

LjRVeI

ω

α

ω ++=

式になる左辺が求める。をかけてその実数部を式の両辺に (2)(9) ⇒tje ω

問題 I 0 とαを求めよ。

⇒− をかける式の両辺に例えば tje ω(7)

に置き換えた式をの時間を含む項 jj −(8)

両辺で時間を含まない項 (8)式

4


オイラーの公式オイラーの公式オイラーの公式 tjte tj ωωω sincos +=

RIV

ICj

V

LIjV

=

=

=

ω

ω1

コイルとコンデンサを含む交流回路=抵抗だけの直流回路

全く同じに解析

を使えば極めて簡単かつ機械的に答えを求めることができる

ωj

5


２．分布定数回路の基礎２．分布定数回路の基礎２．分布定数回路の基礎

[ ][ ]mSGcjY

mRLjZYZ

d

d

d

d

/ /

+=Ω+=

ωω

　並列アドミタンス　　

　直列インピーダンス　単位長さあたりの分布

I

I

V

z 等価

6


部分的に見ると集中定数回路部分的に見ると集中定数回路部分的に見ると集中定数回路

( ) ( ) ( )

( ) ( ){ } ( )

( )

( )

( ) ( )

( ) ( ) 0

0

z

z

2

2

2

2

0

0

lim

lim

=−

=−

⇓

−==ΔΔ

−==ΔΔ

⇓

Δ++Δ+Δ=

Δ++Δ=

→Δ

→Δ

zIYZdzzId

zVYZdzzVd

zVYdzdII

zIZdzdVV

IzIVzVzYzI

VzVzzIZzV

dd

dd

dz

dz

d

d

( )zI

キルヒホッフの第２の法則

キルヒホッフの第１の法則

( )zV( ) IzI Δ+

( ) VzV Δ+zLΔ zRΔ

zCΔ zGΔ

zΔ

7


これらの公式を解くとこれらの公式を解くとこれらの公式を解くと

( )

CLZ

LCLCj

GR

c =

===

==

,0

( 0,0

ωβαωγ　　　　

損失がない場合）

( ) ( ){ }( )

Aj

Az

tjzj

z

eVV

zteV

eeVtve

θ

α

ωβα

γ

θβω

−

−

+−

−

=

+−=

=

11

1

cos

Real 11

　　　　　　　　　　　　　

ただし

を考えるここで

( ) ( )( )

　　　　　　　

ただし

　

1I(z) 21

21

d

dc

dd

zz

c

zz

YZZ

jYZ

eVeVZ

zIeVeVzV

=

+==

−=

+=

−

−

βαγ

γγ

γγ

:伝搬定数

:特性インピーダンス

8


ptt

A

A

vttzz

ztzzttztzztt

==−−

=+−===+−==

→ βω

θβωθβω

01

01

1111

0000

lim01

0,0,

両式から

で　　　　　で　　　　　

0z1z

0tt =1tt =

0z

pv

( ) ( ){ }( )A

z

tjzj

zteV

eeVtv

θβωα

ωβα

+−=

=−

+−

cos

Real

1

11

9


位相速度: βω==

dtdzvp

0=α

λπβπβλ

βω

γ

2 2

=∴=

−==

　　　　　　

についてはまた

dtdzv

e

p

z

を考える② ze α−

⇒ + Z 方向に進む

⇒ - Z 方向に進む

1

α 小中大

10


問題問題問題

( )( ) 　　　　を求めよ。

　　として

? ?

===+

yIyV

lyz

座標軸の変更 ze γ−

ze γ

ye γ

ye γ−

zy

Lz

11


( ) ( )( )

( )

過程を示せ。

　になるまでの

　　から

yZZyZZZyZ

ySySZyZ

Lc

cLc

c

γγ tanh tanh

11

++=

−+=

yyy

eey

eey

yy

yy

γγγ

γ

γ

γγ

γγ

cosh sinhtanh

2sinh

2cosh

=

−=

+=

−

−双曲線関数

（練習問題） 10分（練習問題） 10分

12


定在波分布定在波分布定在波分布

調べる。に対する変化の様子をの電流の電圧任意の点 yyIyVy )(,)(

)(1

)(

)(

yr

yi

c

yr

yi

yr

yi

eVeVZ

eIeIyI

eVeVyV

γγ

γγ

γγ

−

−

−

−=

+=

+=

βγ jRcZc

==

変形

⇒

( ){ }( ){ }

( ){ }yjyj

c

i

yjyji

yjyji

eSeRV

eSeIyI

eSeVyV

ββ

ββ

ββ

2

2

2

01

01)(

01)(

−

−

−

−=

−=

+=

{ }{ })(argcos)(),(

)(argcos)(),(),(),,(

yItyItyi

yVtyVtyvtyityv

+=

+=

ωω電流実際の電圧

13


{ }{ } )()()()(Re),(

)()()()(Re),(

yaryIyIyIeyIaltyi

yaryVyVyVeyValtyvtj

tj

∠=←=

∠=←=ω

ωQ

がわかればよい。とと従って　　 )(arg)(),(arg)( yIyIyVyV

)(arg)(arg yIyV −

化するか。に対してどのように変がyeSeS yjyj ββ 22 )0(1,)0(1 −− −+

14


図式的に図式的に図式的に

V)0(S

)0(S−

U U

V)0(S

)0(S−

yβ2

yβ2

V

U

A

B

θ

yjeS β2)0( −−

yjeS β2)0( −

)0,1(−

15


yj

yj

eSeS

β

β

2

2

)0(1)0(1

−

−

−=+=

BA

（１） Aの大きさ ⇒ 電流の大きさに比例

Bの大きさ ⇒ 電流の大きさに比例

A とBのなす角 ⇒ 電圧が電流に対して進んでいる位相

πβ 22 =y 222 λ

βπ ==y

（１周）

16


の時cL RZ 2=

31)0( =

+−=

cL

cL

RZRZS

（2）例

cL RZ 2=

)(yVA ∝

)(yIB ∝

λ23 λ

2λ

y

3132134

B

A

17


（数式的）（数式的）（数式的）

ySSVyV i β2cos)0(2)0(1)( 2 ++=

ySSIyI i β2cos)0(2)0(1)( 2 −+=

Aの変わる様子

Bの変わる様子で繰り返す。極小値をは極大値

で繰り返す。極小値をは極大値

4,)(I

4,)(

λ

λ

y

yV

18


(3)(3)(3)

)()(yIyV

)(

)(

yI

yV

入射波と反射波の和

定在波

定在波分布

min

max

min

max

)()(

)()(

yIyI

yVyV

==ρ定在波比

)0(1)0(1

SS

−+

=ρ

19


20


21


課題課題課題

0=LZ ∞

22


課題２の解答課題２の解答課題２の解答

　（短絡）の場合0=LZ 　（開放）の場合∞=LZ

BA

B A

)0(S)0(S )0(S− )0(S−

)0,1(−)0,1(−

23


)(yI)(yI )(yV )(yV

λ43 λ

43

4λ

4λ

2λ

2λ

y y

24


1.4 入力インピーダンス1.41.4 入力インピーダンス入力インピーダンス

としてβγ jRZ cc == ,

ljzljzlz

L

L

ββ

tan1tan)(

++=

規格化インピーダンス

l

)( lzLZ

25


のとき　　 1)( =Lza1)( =lz

00)0( =⇒= rVS

無反射負荷:1=Lz

無反射負荷＝無限長回路

l

0

V

I

Z

0

)(tE )(ZV

)(ZI

26


のとき（短絡）　 0)( =Lzb

→)(lZ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⇒=+=

λπββγ llxljjxlz 2tantantan)(

jxlz =)(

l

β,cR 0=LZ0=Lz

27


インダクティブ　　 :4

00 λ<<> lx

l

開放　　 :4λ=∞= lx

キャパシティブ　　 :24

0 λλ <<< lx

0)( ≈>>lzlλ

高い周波数になると回路素子のLやCは得にくい。

終端短絡の分布定数回路を用いる。

が先に決まっている場合、周波数でインダクティブ、開放、キャパシティブが変化する。

x

41

21

43

λl

28


のとき（開放）　 ∞=Lzc)(

→)(lZ

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=−=⇒−=

λπββ llxljlz 2cotcotcot)(

:24

0 λλ <<> lx 　　

jxlz =)(∞=LZ

∞=Lzβ,cR

41

21

43

λl

l

短絡　　 :4

0 λ== lx

29


（リアクタンス負荷）　 LL jxzd =)(

llllj

lxlxjjxlz

c

L

L

L

ββββ

ββ

tantan1tantan

tan1tan)(

−+=

+−+==

)(tan Lllj += β

)tan( LL lx β=Q

)(tan Lllx += β

30


ーダンスと同じ短絡した回路のインピ

端を回路を伸ばしてその終

だけ分布定数回路は、

のを負荷とする長さ

L

L

lljx

即ち、

l

l

Ll

jx

31


1.5 4分の1波長線路と整合回路1.51.5 44分の分の11波長線路と整合回路波長線路と整合回路

lljz

ljzlz

ljzljzlz

L

L

LL

LL

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

++=

4tan1

4tan

4,

tan1tan)(

λβ

λβλ

ββ

Lj LZ

β,cR

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

4λlz ( )lz

4λ l

32


（問題）（問題）（問題）

の関係を求めよ。と

係を用いてを求めよ。またその関

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅

2)(

4)(

λ

λ

lzlz

lzlz

33


（応用例）4分の1波長回路の整合回路（応用例）（応用例）44分の分の11波長回路の整合回路波長回路の整合回路

の負荷を考え)( cL RR ≠

cL

cL

RRRRS

+−=)0(

反射が生じる。

反射をなくす回路

整合回路

入射電力をすべて負荷に消費させる。

A

'A

'A

A B

B

'B

'B

β,cR

β,cR LR

LR', βRx

4'λ

34


'' AAZAA ピーダンス　　から右を見た入力イン

)(' ' LBB RZBB =ピーダンス　　から右を見た入力イン

離れている。がと点4λBA

2'' RxZZ BBAA =•

ならcAA RZ ='

右側の回路で消費

から即ち入射電力はすべて

では反射が生じない。

''

AAAA

また

35


だけ。を消費するのはから右側の回路で電力 LRAA'

としてcAA RZ ='

cLRRRx =

では反射は生じない。　を上のように選べば　 'AARx

整合回路

ただし、周波数が変われば、反射が生ずる。

36


1.6スミスチャート1.61.6スミスチャートスミスチャート

yZZyZZZyZ

Lc

cLc γ

γtantan)(

++=

cL

cL

ZZZZS

+−=)0(

yeSyS γ2)0()( −=

)(1)(1)(ySySZyZ c −

+=

)(yZLZ

)0(S )(yS

γ,cZ

y図．入力インピーダンスと反射係数の関係

↓これらの関係を図式化した図表

スミスチャート（スミス図表）

37


(1)反射係数と規格化インピーダンス(1)(1)反射係数と規格化インピーダンス反射係数と規格化インピーダンス

z

規格化入力インピーダンス

とその点における反射係数 S

11

+−=zzS

または

SSz

−+=

11

jxz += γ

jVUS +=

スミスチャート

jVUjVU

SSjxz

−−++=

−+=+=

11

11γ

を消去するとを可変は一定 xx ,,γ

22

2

11

1 ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−γγ

γ VU

38


( )を通る。の円半径中心 0,1,1

1,0,1 +⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+ γγγ

V

U

0=γ2.0=γ

5.0=γ1=γ

2=γ

1 1−

39


を可変は一定次に γ,x

( )22

2 111 ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−

xxVU

( )の点を通る。の円群の一部。半径中心 0,11,1,1xx

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

40


V

2=x

1=x5.0=x

31−=x

5.0−=x

1−=x

2−=x

組み合わせると

U

31=x

スミスチャート

jxz += γ

jVUS +=

決定

41


(2)分度器(2)(2)分度器分度器

無損失

βγ j=

yjeSyS β2)0()( −=

)()( oSyS =

の円周上にある。は半径 )()( oSyS•

計回転方向に回転　原点を中心にして時

だけ度)(720.)(42λλ

πβ ==• radyy

42


課題３課題３課題３

[ ] [ ] [ ]cmlcmRc 8,20,50 ==Ω= λ上図に示す入力インピーダンスを求めよ。

ただし、

また、スミスチャートを使って同様に求めよ。

[ ]とする。 5050 Ω+= jZ L

LZZin

β,cR

43


3.1 回路表現3.13.1 回路表現回路表現

[ ] [ ][ ]IZV =

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

1

1

IV

CDAB

IV

４端子回路

[ ] [ ][ ]VYI =

Z行列

Y行列

F行列

マイクロ波、ミリ波

散乱行列

2i1i

44


3.1.1 考え方3.1.13.1.1 考え方考え方

LZ

y),(yz規格化入力インピーダンス反射係数 )(yS

cZyZyz

yzyzyS )()(,

1)(1)()( =

+−=

)()( yzyS ⇔

yy

i

ry

i

yr eSe

VV

eVeVyS γγ

γ

γ22 )0()( −−

−

===

45


（別の考え）（別の考え）（別の考え）

yr

yi eVeVyV γγ −+=)(

yr

yi eIeIyI γγ −+=)(

( )yry

ic

eVeVZ

γγ −−= 1

cc RZj == ,βγ （無損失）として変形する。

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+= − yj

c

ryj

c

ic e

RVe

RVRyV ββ)(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= − yj

c

ryj

c

i

c

eRVe

RV

RyI ββ1)(

46


①とするとbRVa

RV

c

r

c

i == ,

( )yjyjc beaeRyV ββ −+=)(

( )yjyj

c

beaeR

yI ββ −−= 1)(

a,bはyに関係のない一定値

･･･負荷に向かう入射波, ･･･負荷での反射波yjae β yjbe β−

②

③

47


aとbは何を表すか？aaととbbは何を表すか？は何を表すか？

22

aPRV

ic

i ⇒⇒

22

bPRV

rc

r ⇒⇒

････入射電力

････反射電力

入射電力=a

反射電力=b

波入射電力:yjea β

波反射電力:yjeb β−

②,③式を用いて,変形すると

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ +=

c

cyj

RyIRyVae )()(

21β

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧ −=−

c

cyj

RyIRyVbe )()(

21β

④

⑤

48


反射係数 )(yS

yj

yj

yjci

yjcr

yji

yjr

aebe

eRVeRV

eVeVyS β

β

β

β

β

β −−−

===)/()/(

)(

ab

RVRV

VVS

ci

cr

i

r ===)/()/(

)0(

⑥

⑦

反射係数波入射電力波反射電力=)(yS

yjyj beae ββ −, の波を主役として回路表現

散乱行列

49


3.1.2 散乱行列の定義3.1.23.1.2 散乱行列の定義散乱行列の定義

)( yaae yj ⇒β

)( ybbe yj ⇒− β

1a2a

2b1b四端子回路

0=y 0=x

0=y 0=x

y x

)(2 xa)(2 xb

)(1 ya

)(1 yb 2cR1cR 四端子回路

50


)(),( 21 xVyV

座標軸：端子から外側に向かって正

伝送線路上の電圧

電流 )(),( 21 xIyI

1

1111 2

)()()(c

c

RyIRyVya +=

1

1111 2

)()()(c

c

RyIRyVyb −=

2

2222 2

)()()(c

c

RxIRxVxa +=

2

2222 2

)()()(c

c

RxIRxVxb −=

：入射波

：入射波

：反射波

：反射波

51


における入射と反射の関係0,0 == yx

??, yx

)0(),0( 22 ba

考慮の対象の位置

参照面

0,0 == yx を参照面

線形回路においては

)0(),0()0(),0( 2121 aabb は

比例した量の和で表される。

＊（0）は省略

)0(),0( 11 ba

の関係がわかればよい。

と

のそれぞれに

52


2221212

2121111

aSaSbaSaSb

+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

1

2221

1211

2

1

aa

SSSS

bb

=b S a反射波ベクトル入射波ベクトル散乱行列

入射波がどのように散乱されるか

（ここでは反射であるが）をが教えてくれる。

aS

53


また

2222211

2122111

atbtbatbta

+=+=

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

2

2

2221

1211

1

1

ab

tttt

ba

( ) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2221

1211

tttt

T ：伝達散乱行列

二つの回路を縦続接続

した時便利

54


3.1.3 散乱行列の求め方3.1.33.1.3 散乱行列の求め方散乱行列の求め方

とおくとθβ =l

（例１）

211 0 aeab jθ−+×=212 0 aaeb j ×+= − θ

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=∴

−

−

00

)(　　

　　θ

θ

j

j

ee

S

2a

1b 2b

1a

β,cR

l

β,cR β,cR

1a

2a 1b2bl

lが右にだけ伝搬して

が左にだけ伝搬して

55


（例２）（例２）（例２）

−= 0y

1a

+= 0y1,1 IV

2,2 IV

でと +− == 00 yy

21 VV =

21 II =

1b2a2b

2cR1cR

0=y

（伝送路Ⅰ）

（伝送路Ⅱ）

成立

56


2

2222

2

2222

1

1111

1

1111

2)()()(

2)()()(

2)()()(

2)()()(

c

c

c

c

c

c

c

c

RxIRxVxb

RxIRxVxa

RyIRyVyb

RyIRyVya

−=

+=

−=

+= ：入射波

：反射波

：入射波

：反射波

上式を用いて

)()( 222111 baRbaR cc +=+

)(1)(122

211

1

baR

baR cc

−−=−

57


この2つの式を変形してこのこの22つの式を変形してつの式を変形して

212

211

12

121

2a

RRRR

aRRRRb

cc

cc

cc

cc

++

+−=

221

211

12

212

2a

RRRRa

RRRR

bcc

cc

cc

cc

+−+

+=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−

+

++−

=∴

　　　２

２　　

　

21

21

12

21

12

21

12

12

)(

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

cc

RRRR

RRRR

RRRR

RRRR

S

58


（課題４）（課題４）（課題４）

次の回路の散乱行列Sを求めよ。

1a1b

2a2b

1cR 2cR

1l 2l

111 lβθ = 222 lβθ =

0 1．分布定数回路morisita/lecture/electronic_measure02.pdf0 national defense academy...

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