1

BAB I

PENDAHULIAN

1.1 Latar Belakang

Dalam mekanika kuantum semua sifat yang ada didalam mekanika kuantum

dapat di representasikan dengan fungsi gelombang. Dimana fungsi gelombang

terdiri dari fungsi radial dan fungsi angular. Melalui fungsi angular akan dapat

diperoleh bilangan kuantum azimut dan bilangan kuantum magnetik.

Sedangkan dari fungsi radial akan didapatkan bilangan kuantum utama,

dengan menggunakan penurunan persamaan Schrodinger pada postulat tiga

tentang fungsi eigen.

Dalam penyelesaian persamaan Schrodinger ini, hanya untuk atom hidrogen

dan atom mirip hidrogen, karena atom hidrogen merupakan atom paling

sederhana yang terdiri dari satu proton sebagai nukleus dan satu elektron yang

mengitarinya. Pada pembahasanini akan diuraikan penyelesaian persamaan

Schrodinger untuk atom hidrogen dan visualisasinya. Persamaan Schrodinger

untuk mendiskripsikan gerak elektron relatif terhadap proton sehingga energi

potensial sistem adalah energi potensial elektron terhadap inti. Karena

elektron mengorbit inti pada lintasan stasioner yang berbentuk bola maka

fungsi gelombang ditentukan berdasarkan penyelesaian persamaan

Schrodinger dengan koordinat polar sferis yang nantinya fungsi gelombang

tersebut akan dapat dipisahkan antara variabel radial dan variabel angularnya.

Sehingga akan didapatkan bentuk persamaan radial dan dapat dihubungkan

dengan persamaan Laguerre dan dari persamaan yang diperoleh didapatkan

visualisasi fungsi gelombang radial. Agar lebih jelas mengenai bentuk

persamaan radial dan persamaan laguerre sehingga diperoleh bilangan

2

kuantum utama dan bagaimana visualisasi ukuran orbital maka penulis

menjelaskannya dalam makalah ini.

1.2 Tujuan

Adapun tujuan dari penulisan makalah ini adalah sebagai berikut:

1. Untuk mengetahui bentuk persamaan radial.

2. Untuk mengetahui bentuk persamaan Laguerre.

3. Untuk mengetahui fungsi gelombang radial

4. Untuk mengetahui visualisasi ukuran orbital.

5. Untuk mengetahui visualisasi fungsi gelombang radial.

3

BAB IIISI

2.1 Persamaan Radial dan Persamaan Lagguerre

Atom seperti hidrogen adalah atom dengan nomor Z dan hanya satu elektron seperti He+, Li2+, Be+, .... dalam atom tersebut hanya memiliki satu elektron dan satu proton. Adapun persamaan Schrodinger tiga dimensi yang tidak bergantung waktu adalah

Penyelesaian persamaan ini menggunakan koordinat polar speris

Yang apabila Pada persamaan ini adalah persamaan radial disubtitusikan ke dalam persamaan Schrodinger

Dalam persamaan ini variabelnya harus dipisahkan dengan menuliskan

=

Sehingga diperoleh

Karena yang dicari adalah fungsi gelombang radial maka dikalikan dengan

4

1Y (θ ,∅ )

Tampak pada persamaan radial ini terdapat nilai atau energi eigen E. Pada pembahasan di sini dibatasi pada keadaan terikat yaitu keadaan dengan energi negatif E=-|E|.

Perubahan variabel

ρ= (8 mₑ∨E∨ ¿ħ ²

¿1/2 r

membuat persamaan (4.8c) tereduksi menjadi

1ρ

ddρ (ρ²

dRdρ

¿− l (l+1 )ρ2 R + (

λρ−1

4¿R=0

Dengan

λ= e ²2 πε ħ2 (

mₑ8|E|

)1/2

Untuk menentukan solusi persamaan (4.23) kita selidiki terlebih dahulu (perilaku) persamaan tersebut pada dua daerah ekstrim yaitu daerah jauh sekali dan daerah pusat koordinat. Sebelumnya tuliskan terlebih dahulu persamaan (4.23) dalam bentuk

d ² Rd ρ2 + 2

ρ ²dRdρ

−l (l+1 )

ρ2 R+( λρ−1

4 )R=0 (4.23*)

Untuk daerah jauh sekali ρ∞, persamaan (4.23*) secara efektif menjadi

d ² Rdρ ²

−14

R=0

Solusi persamaan ini adalah

R∝ e-ρ/2

Sedangkan pada daerah titik asal, R ditulis sebagai

5

R(ρ)= U (ρ)

ρ

Dan substitusikan ke dalam suku pertama persamaan (4.23*) diperoleh

1ρ ²

ddρ {ρ

2 ddρ ( U

ρ )}=d ² Uρdρ ²

Karena itu persamaan (4.23) tereduksi menjadi persamaan diferensial untuk U

d ²Udρ

−l ( l+1 )

ρ2 U +( λρ−1

4 )U=0

Selanjutnya kalikan dengan ρ² dan ambil limit mendekati pusat koordinat

limρ →0 {ρ2 d 2U

dρ −l ( l+1 ) U +λρU−14

ρ2 U }=( ρ2 d2Udρ )−l ( l+1 )U =0

Tampak bahwa suku dominannya adalah

d2Udρ

−l (l+1 )

ρ2 U=0

Solusi yang memenuhi persamaan suku dominan ini dan kondisi fisis keberhinggaan ρ0 adalah

U≈ ρl+1

Karena itu solusi untuk daerah asal (koordinat), menggunakan hasil (4.29) dan hubungan (4.26) diberikan oleh:

R≈ ρl

Mempertimbangkan solusi-solusi untuk daerah ekstrim di depan, solusi umumnya diusulkan berbentuk perkalian antara solusi titik asal, posisi jauh sekali dan fungsi umum terhadap jarak

R(ρ)=ρl e-ρ/2 L(ρ)

Substitusi ungkapan (4.31) ke dalam persamaan (4.23) didapatkan persamaan untuk L, yaitu

Ρd2 Ld ρ2 + {2 (l+1 )−ρ } dL

dρ+{λ−( l+1 ) } L=0

Solusi deret

6

L=∑s=0

∞

asρs

Akan memberi rumus rekursi

as+1 =s+l+1+ λ

(s+1)(s+2 l+2)as

tampak bahwa deret akan berhingga jika λ adalah bilangan bulat, misalkan λ=n

maka as+1 dan seterusnya akan menjadi nol jika

s=n−l−1

sehingga L(ρ) merupakan polinomial

L= ∑s=0

n−l−1

asρs

Menggunakan pemilihan λ=n, persamaan (4.17) menjadi

Ρd2 Ld ρ2 + {2 (l+1 )−ρ } dL

dρ+{l+1¿ }L=0

Persamaan (4.38) ini tidak lain adalah persamaan diferensial Laguerre terasosiasi, yang mempunyai bentuk umum

Ρd2 Ld ρ2 + { p+1−ρ }

d Lqp

dρ+ {q−p } Lq

p=0

Solusinya disebut polinim Laguerre terasosiasi Lqpdapat diperoleh dari rumus

Rodrigues

Lqp ( ρ )= q !

(q−p )!e ρ dq

d ρq (e−ρ ρq−p )

Untuk kasus kita koefisien p dan q dihubungkan dengan bilangan kuantum orbital l dan bilangan bulat n yang nantinya disebut bilangan kuantum utama menurut

p= 2l+1

q= n+l

karena itu solusi persamaan (4.38) diberikan oleh

7

L≡ Lqp=Ln+l

2l +1 ( ρ )

Dengan demikian, solusi radial R diberikan oleh

R≡ Rnl=Nnl ρle− ρ

2 Ln+l2 l+1( ρ)

dengan N nladalah konstanta normalisasi

(Rnl ,Rn ' l ' ¿=∫0

∞

R+nlRn ' l ' r

2 dr=δn n' δl l '

Dan diberikan oleh

N nl=√( 12 πεₒnaₒ

) ³ n−l−12n (n+l )!

Dengan aₒ= ħ² / (mₑ e²) adalah radius Bohr.

Dengan demikian, solusi lengkap persamaan (4.8c) terbentuk

Rnl (r )={ (2 πεₒnaₒ )-³ n−l−1

2n (n+l )!}1/2 (

r2 πεₒnaₒ

¿le−r

4 πεₒnaₒ Ln+l2 l+1( r

2 πεₒna )Dari hubungan p,q,n dan l serta penyebut pada ungkapan (4.41) didapatkan bahwa q-p harus lebih besar atau sama dengan nol, atau

P≤ q

Atau (2 l+1 )≤ n+l , tepatnya l ≤n−1

Jadi untuk n tertentu makal=0,1,2,3 ,…. ,n−1

Bilangan bulat n ini disebut bilangan kuantum utama.

2.2 Fungsi Gelombang Radial

Fungsi gelombang untuk system satu elektrondisebut orbital. Untuk system atom H disebut orbital atom. Visualisasi fungsi-fungsi ini sangat menolong bila fungsi radial dan rapat kebolehjadian terpisah.

Fungsi radial Rne ( r ) untuk atom seperti hydrogen bergantung pada bilangan kuantum utama, n, bilangan kuantum azimuth, l, dan nomor atom Z.

8

Fungsi radial selalu mengandung factor e-zr/nao , dimana n adalah bilangan kuantum utama. Bila Z bertambah, amplitude fungsi gelombang turun lebih cepat dengan bertambahnya r, menyatakan bahwa electron tertarik lebihdekat ke inti yang bermuatan positif.

Untuk mengetahui kebolehjadian menemukan elektronorbital sejarak tertentu dari inti,maka [Pnl ( r )]2harus dikalikan dengsnvolum kulit sferik4πr2 dr, sehingga rapat kebolehjadian radial Pn e ( r ) dinyatakan sebahai :

Pne ( r ) = 4 π r2 R2ne ( r )

Fungsi radial dan rapat kebolehjadian radial tertera pada gambar berikut :

9

BAB III

PENUTUPAN

3.1 Kesimpulan

Adapun Kesimpulan dari makalah ini adalah :

1. Persamaan radial yaitu

2. Berdasarkan makna fisik dari persamaan Laguerre diperoleh nilai n=1.2.3.. dimana n adalah bilangan kuantum utama.

3. Dari penyelesaian persamaan Laguerre dapat diperoleh persamaan radial polinomial yang dipengaruhi oleh nilai n dan l nya.

4. Probabilitas ditemukannya elektron dalam suatu orbital dapat diperoleh menggunakan persamaan radial.

5. Berdasarkan visualisasi orbital atom, diketahui bahwa dalam orbital atom terdapat daerah yang memiliki probabilitas ditemukannya elektron yang

10

besar, daerah yang memiliki probabilitas ditemukan elektron yang kecil dan terdapat daerah yang tidak memiliki probabilitas ditemukannya elektron.

11

DAFTAR PUSTAKA

Atkins,PW. 1996.Ikimia Fisik Jilid 1 Edisi Ke Empat. Jakarta : Erlangga.

Hanna,Melvin,W. 1969. Quantum Mechanic In Chemistry Second Edition. USA :

W.A.Benjamin,INC.

Purwanto, Agus. 2005.Fisika Kuantum. Yogyakarta : PT. Gaya Media.

Surdiya,Noer Mansdsjoeriah. 1993. Ikatan Dan Struktur Molekul. Bandung : ITB.