Θεωρία Γραημάων - university of...
TRANSCRIPT
![Page 1: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/1.jpg)
Θεωρία Γραφημάτων Θεμελιώσεις-Αλγόριθμοι-Εφαρμογές
Ενότητα 1
ΕΙΣΑΓΩΓΗ ΣΤΗ ΘΕΩΡΙΑ
ΓΡΑΦΗΜΑΤΩΝ
Σταύρος Δ. Νικολόπουλος 2017-18 www.cs.uoi.gr/~stavros
![Page 2: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/2.jpg)
Ώρες γραφείου: Δευτέρα – Παρασκευή (9:00–5:00)
Ώρες επικοινωνίας: Οποιαδήποτε ώρα
Ώρες Μαθήματος:
Δευτέρα 3:00-6:00 (Αίθουσα I2)
Τρίτη 3:00-4:00 (Αίθουσα Ι2)
Email - Δικτυακός Τόπος: [email protected]
http://cs.uoi.gr/~stavros
Τρόπος Εξέτασης: Περίοδος Φεβρουαρίου
Σχετικά με το Μάθημα
2
![Page 3: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/3.jpg)
1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg
Ιστορικά
3
Leonhard Euler (1707-1783)
o Μεγάλος μαθηματικός
o 73 τόμοι δημοσιεύσεων
![Page 4: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/4.jpg)
1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg
1847 Kirchoff, δένδρα, ηλεκτρικά δίκτυα
1847 Cayley, δένδρα, ισομερή
υδρογονανθράκων CnH2n+2
1850 Cayley - De Morgan - Moebius,
χρωματισμός με 4 χρώματα
1859 Hamilton, δωδεκάεδρο
1936 Tο πρώτο βιβλίο
Ιστορικά
4
![Page 5: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/5.jpg)
Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg
Σημερινό Ρωσικό Kaliningrad (στη Βαλτική μεταξύ Λιθουανίας και Πολωνίας)
5
Χάρτης των επτά γεφυρών του Konigsberg (χρονολογείται τον 17ο αιώνα)
1736 Euler, γέφυρες Koenigsburg
![Page 6: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/6.jpg)
Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg
Μπορούμε να ξεκινήσουμε από ένα σημείο Α και να επιστρέψουμε στο Α, έχοντας περάσει από κάθε γέφυρα μία και μόνο-μία φορά?
6
![Page 7: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/7.jpg)
Ιστορικά – Γέφυρες Konigsberg
→
7
7 Γέφυρες
![Page 8: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/8.jpg)
Μοντελοποίηση Προβλήματος
→
8
→
![Page 9: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/9.jpg)
→
Μοντελοποίηση Προβλήματος
Το γράφημα έχει τρεις (3) κόμβους περιττού βαθμού !!!
Παρατήρηση !!!
9
→
![Page 10: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/10.jpg)
Γραφήματα Euler
10
![Page 11: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/11.jpg)
Γραφήματα Euler
11
![Page 12: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/12.jpg)
Χωρίς να το υπολογίσεις, βρες αν το παρακάτω γράφημα έχει διαδρομή Euler
Γραφήματα Euler
12
![Page 13: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/13.jpg)
Γράφημα έχει μόνο δύο (2) κόμβους περιττού βαθμού, επομένως… ΝΑΙ έχει διαδρομή Euler
Γραφήματα Euler
13
2 κόμβοι περιττού βαθμού
![Page 14: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/14.jpg)
Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα
2
4
3 1
G = (V, E)
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4)}
14
![Page 15: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/15.jpg)
Μη κατευθυνόμενα Γραφήματα
4 3
1
G = (V, E)
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1,2), (1,4), (2,3), (2,4)}
15
2
![Page 16: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/16.jpg)
2
4
3 1
Κατευθυνόμενα Γραφήματα
G = (V, E)
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)}
16
![Page 17: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/17.jpg)
Κατευθυνόμενα Γραφήματα
G = (V, E)
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)}
17
2
4
3 1
![Page 18: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/18.jpg)
Κατευθυνόμενα Γραφήματα
G = (V, E)
V = {1, 2, 3, 4}
E = {(1,2), (2,3), (2,4), (4,1), (4,2)}
18
2
4
3 1
![Page 19: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/19.jpg)
Έμβαρα Γραφήματα (weighted)
2
4
3 1
1.2
2.1
0.2
0.5
2
4
3 1
4
8
6
2
9
19
![Page 20: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/20.jpg)
Γραφήματα Τομής
20
Έστω μια οικογένεια F μη-κενών συνόλων S1, S2, …, Sn
Το γράφημα τομής V της οικογένειας F (intersection graph) είναι ένα γράφημα τάξης
n με σύνολο κόμβων V(G) = {v1, v2, …, vn},
και σύνολο ακμών E(G), το οποίο δημιουργείται:
αντιστοιχώντας κάθε κόμβο του G σε ένα σύνολο της οικογένειας
και ενώνοντας δύο κόμβους και με ακμή εάν και μόνο εάν η τομή των
αντίστοιχων συνόλων και είναι μη-κενή, δηλαδή,
(vi, vj) Ε(G) Si ∩ Sj ≠
![Page 21: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/21.jpg)
Γραφήματα Τομής
21
Γραφήματα διαστημάτων
![Page 22: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/22.jpg)
Γραφήματα Τομής
22
Γραφήματα κυκλικών-τόξων
![Page 23: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/23.jpg)
Γραφήματα Τομής
23
Τριγωνικά γραφήματα
![Page 24: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/24.jpg)
Γραφήματα Τομής
24
Μεταθετικά γραφήματα
![Page 25: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/25.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
• Μπορώ να πετάξω από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία X;
• Υπάρχει μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β στο δίκτυο της;
1
Συνδεσμικότητα
A
B
25
![Page 26: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/26.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
2
Λειτουργία δικτύων
A B
C D
Μπορώ να πάω από κάθε κόμβο σε κάθε άλλον;
Βλάβη
26
A B
C D
![Page 27: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/27.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
• Ποια είναι η συντομότερη διαδρομή από την πόλη Α στην πόλη Β με την εταιρεία;
• Ποιο μονοπάτι από την πόλη Α στην πόλη Β έχει το μικρότερο βάρος;
3
Συντομότερη διαδρομή
27
B
A
![Page 28: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/28.jpg)
Εύρεση Ελαχίστων Διαδρομών …
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
4
GPS – Navigation
28
![Page 29: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/29.jpg)
ΔΕΗ ΟΤΕ ΔΕΥΑΙ
Σύνδεσε όλα τα σπίτια με τις παροχές χωρίς να
διασταυρωθούν οι συνδέσεις
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
5
Επιπεδικότητα
29
![Page 30: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/30.jpg)
Σπίτι 2 με ΟΤΕ;
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
5
Επιπεδικότητα
30
![Page 31: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/31.jpg)
Σπίτι 2 με ΟΤΕ;
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
5
Επιπεδικότητα
31
![Page 32: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/32.jpg)
Μπορεί ένα γράφημα να σχεδιασθεί ώστε να μην υπάρχουν τεμνόμενες ακμές;
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
5
Επιπεδικότητα
32
![Page 33: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/33.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
6
Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα
Ποιο δίκτυο διαδρομών είναι το ασφαλέστερο; (κίνδυνος από μεγάλες διαδρομές στη θάλασσα)
33
![Page 34: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/34.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
6
1 2
2 2
3
4
4
5
3
3
2
1
A
B
C
D
E
F
G 10
6 3
7
6
12
6
9
10
34
Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα
![Page 35: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/35.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
6
35
Ελάχιστα Γενετικά Δένδρα
1 2
2 2
2
1
A
B
C
D
E
F
G
![Page 36: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/36.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
7
Περίπατος του Ιππότη/Αλόγου (διαδρομή Hamilton)
36
![Page 37: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/37.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
8
Χάρτες (χρωματισμός)
Πως μπορώ να χρωματίσω κάθε χώρα (νομό) ώστε γειτονικοί νομοί να μην έχουν ίδιο χρώμα;
Πόσα χρώματα χρειάζονται στο ελάχιστο;
37
![Page 38: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/38.jpg)
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
9
Κοινωνικά δίκτυα (small-world Phenomena)
38
![Page 39: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/39.jpg)
Έστω ότι έχουμε C1, C2, …, Cn φάρμακα, και έστω [xi, xi΄] είναι η
θερμοκρασία συντήρησης του φαρμάκου Ci, 1 ≤ i ≤ n;
Θέλουμε η θερμοκρασία Τ του ψυγείου για την συντήρηση max πλήθος
φαρμάκων
Έστω ότι στο πλανήτη Γη έχουν εμφανιστεί έως σήμερα Π1, Π2,
…, Πn πολιτισμοί, και έστω [ti, ti΄] είναι η χρονική περίοδος
εμφάνισης του πολιτισμού Πi, 1 ≤ i ≤ n;
Θέλουμε το έτος Χ στο οποίο εμφανίστηκε max πλήθος
πολιτισμών πάνω στη Γη
Εφαρμογές – Θεωρία Γραφημάτων
10
39
![Page 40: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/40.jpg)
Αλγόριθμοι Θεωρίας Γραφημάτων
Πολυωνυμικοί Αλγόριθμοι… (Γραμμικοί)
Προβλήματα: NP-Πλήρη
Επιλογές Προσέγγιση Λύσης
Περιορισμοί Ιδιοτήτων
Τέλεια Γραφήματα, …
40
![Page 41: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/41.jpg)
41
Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων
41
![Page 42: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/42.jpg)
Κλάσεις Τέλειων Γραφημάτων
42
![Page 43: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/43.jpg)
Αλγόριθμοι και Γραφήματα
Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων
Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου
Συμβολισμός Ο
Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης
43
![Page 44: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/44.jpg)
Αλγόριθμοι και Γραφήματα
Αλγοριθμική θεωρία γραφημάτων
Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου
Συμβολισμός Ο
Ανάλυση μέσης και χειρότερης περίπτωσης
44
![Page 45: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/45.jpg)
Βασικοί Αλγόριθμοι Γραφημάτων
Πολυπλοκότητα χώρου και χρόνου: Ο και Ω
Τέλεια Γραφήματα
Κλάσεις
Ιδιότητες
Προβλήματα
Τεχνικές Διάσπασης (modular decomposition, …)
Αλγόριθμοι Προβλημάτων Αναγνώρισης και Βελτιστοποίησης
Coloring
Max Clique
Max Stable Set
Clique Cover
Matching
Hamiltonian Path
Hamiltonian Cycle
…
Triangulated
Comparability
Interval
Permutation
Split
Cographs
Threshold graphs
QT graphs
…
Αλγοριθμική Θεωρία Γραφημάτων
45
![Page 46: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/46.jpg)
Μοντελοποίηση
46
![Page 47: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/47.jpg)
→
→
Πρόβλημα - Γράφημα
47
![Page 48: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/48.jpg)
→
→
Πρόβλημα - Γράφημα
48
![Page 49: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/49.jpg)
→
→
Γράφημα - Αλγόριθμος
![Page 50: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/50.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
2SAT
MST
EΛΑΧΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕ ΔΕΝΔΡΑ
LP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ EULER
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!!
Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα
? ?
? ? ?
?
50
![Page 51: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/51.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους:
Δυναμικού προγραμματισμού
Αναζήτησης σε γραφήματα
Άπληστων τεχνικών
Ροών
Γραμμικού προγραμματισμού
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!! ? ?
? ? ?
?
51
![Page 52: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/52.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Δύσκολα Προβλήματα
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!! ? ?
? ? ?
?
52
3SAT
Μας δίδεται ένας λογικός τύπος (Boolean formula) σε συζευκτική μορφή:
και μας ζητείται είτε να βρούμε μια ικανοποιούσα ανάθεση τιμών αληθείας (satisfying truth assignment) ή να αναφέρουμε ότι δεν υπάρχει καμία !!!
(x y z) (w y) (y z) (x y z)
![Page 53: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/53.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Δύσκολα Προβλήματα ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!! ? ?
? ? ?
?
53
![Page 54: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/54.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Δύσκολα Προβλήματα ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!! ? ?
? ? ?
?
54
![Page 55: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/55.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Θλιβερή Αντίθεση !!!
Τα προβλήματα εδώ είναι όλα δύσκολα, όλα για τον ίδιο λόγο !!!
Στη βάση τους είναι όλα το ίδιο πρόβλημα !!!
Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους:
Δυναμικού προγραμματισμού
Αναζήτησης σε γραφήματα
Άπληστων τεχνικών
Ροών
Γραμμικού προγραμματισμού
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!!
Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα
με διαφορετικές μεταμφιέσεις !!!
? ?
? ? ?
?
55
![Page 56: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/56.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Θλιβερή Αντίθεση !!!
Τα προβλήματα εδώ είναι όλα δύσκολα, όλα για τον ίδιο λόγο !!!
Στη βάση τους είναι όλα το ίδιο πρόβλημα !!!
Όλα τα προβλήματα εδώ λύνονται αποδοτικά με αλγορίθμους:
Δυναμικού προγραμματισμού
Αναζήτησης σε γραφήματα
Άπληστων τεχνικών
Ροών
Γραμμικού προγραμματισμού
Δύσκολα & Εύκολα Προβλήματα !!!
Δύσκολα Προβλήματα Εύκολα Προβλήματα
NP-πλήρη !!!
? ?
? ? ?
?
56
![Page 57: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/57.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
Χαρακτηριστικό:
Γνωρίζουμε τι είναι ένα Πρόβλημα Αναζήτησης !!!
57
! !
! ! !
!
Οποιαδήποτε προτεινόμενη λύση μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα για την ορθότητά της !!!
![Page 58: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/58.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
Χαρακτηριστικό: Οποιαδήποτε προτεινόμενη λύση μπορεί να ελεγχθεί γρήγορα για την ορθότητά της !!!
Συμβολίζουμε την κλάση ΌΛΩΝ των ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ που μια
Λύση τους Ελέγχεται σε ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΧΡΟΝΟ με NP !!!
! !
! ! !
!
Γνωρίζουμε τι είναι ένα Πρόβλημα Αναζήτησης !!!
NP
58
![Page 59: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/59.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
! !
! ! !
! NP
59
ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο !!!
![Page 60: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/60.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
! !
! ! !
! NP
60
ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο !!!
Συμβολίζουμε την κλάση ΌΛΩΝ των ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΩΝ ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ που
Μπορούν να Λυθούν σε ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΟ ΧΡΟΝΟ με P !!!
P
![Page 61: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/61.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
ΕΡΩΤΗΜΑ !!! Πόσα ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP υπάρχουν που μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο ?
61
? ?
! ? ?
!
NP
NP
NP
NP
NP NP
![Page 62: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/62.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
ΕΡΩΤΗΜΑ !!! Πόσα ΠΟΛΛΑ πρόβλημα αναζήτησης NP υπάρχουν που μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο ?
62
? ?
! ? ?
! NP P
![Page 63: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/63.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
63
ΕΡΩΤΗΜΑ !!! Μήπως ΟΛΑ τα πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο ?
NP P ? ?
! ? ?
!
![Page 64: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/64.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P και NP
64
ΕΡΩΤΗΜΑ !!! Μήπως ΟΛΑ τα πρόβλημα αναζήτησης NP μπορούν να λυθούν σε πολυωνυμικό χρόνο ?
P = NP
Το Μεγάλο Ερώτημα της Επιστήμης μας !!!
? ? ?
! ? ?
!
![Page 65: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/65.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Το Μεγάλο Ερώτημα !!!
Οι περισσότεροι ερευνητές αλγορίθμων πιστεύουν πως Ναι !!!
Ισχύει P NP ?
? ?
? ? ?
?
P
NP
65
Ωστόσο !... δεν υπάρχει απόδειξή !... και η απόδειξη φαίνεται εξαιρετικά δύσκολη !!!
![Page 66: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/66.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
P και NP !!! ? ?
? ? ?
?
66
Εάν δεχθούμε ότι ισχύει : P NP
![Page 67: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/67.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Εάν δεχθούμε ότι ισχύει :
Τι ισχύει για τα προβλήματα αναζήτησης του αριστερού πίνακα ?
3SAT
TSP
ΜΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ
ILP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ HAMILTON
2SAT
MST
EΛΑΧΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ
ΜΟΝΑΔΙΑΙΟ ΣΑΚΙΔΙΟ
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ ΣΥΝΟΛΟ ΣΕ ΔΕΝΔΡΑ
LP
ΔΙΑΔΡΟΜΗ EULER
Υπάρχουν ενδείξεις ότι αυτά είναι ιδιαίτερα προβλήματα και ότι δεν έχουν αποδοτικούς αλγορίθμους επίλυσης !!!
Τέτοιες ενδείξεις παρέχουν οι Αναγωγές
67
P NP
P και NP !!!
![Page 68: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/68.jpg)
Αναγωγές !!!
προεπεξεργασία μετεπεξεργασία Αλγόριθμος
για το Β x Α(x)
Β(y) y
Αλγόριθμος για το Α
ΤΕΛΕΙΑ-ΑΝΤΙΣΤΟΙΧΙΣΗ ΜΕΓΙΣΤΗ-ΡΟΗ
ΤΙΜΗ-ΚΥΚΛΩΜΑΤΟΣ LP
NP-πλήρη Προβλήματα
Α Β Α Β
![Page 69: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/69.jpg)
Ένα πρόβλημα αναζήτησης είναι NP-πλήρες (NP-complete) εάν ΌΛΑ ΤΑ ΆΛΛΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤA ΑΝΑΖΗΤΗΣΗΣ ΑΝΑΓΟΝΤΑΙ σε αυτό !!!
NP-πλήρη Προβλήματα
NP και NP-πλήρη !!!
P
Αύξουσα Δυσκολία
69
Εάν δεχθούμε ότι ισχύει : P NP,… τότε ορίζουμε την κλάση
NP ΝP-πλήρη
? ?
? ? ?
?
των δυσκολότερων προβλημάτων αναζήτησης !
![Page 70: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/70.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Αυτή… είναι μια πολύ ισχυρή απαίτηση !!!
NP και NP-πλήρη !!!
Είναι εντυπωσιακό, αλλά !!!...
Για να είναι ένα πρόβλημα NP-πλήρες πρέπει να είναι
Χρήσιμο για την επίλυση κάθε προβλήματος στον Κόσμο !!!
Υπάρχουν τέτοια προβλήματα (3SAT, TSP, MΕΓΙΣΤΗ ΔΙΑΔΡΟΜΗ, …)
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
? ?
? ? ?
?
70
![Page 71: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/71.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
Ισχύει :
NP και NP-πλήρη !!!
SAT Q R
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT
Όλα τα NP-πλήρη πρόβλημα ανάγονται το ένα στο άλλο !!!
Και, όλα τα NP προβλήματα ανάγονται στα NP-πλήρη !!!
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
? ?
? ? ?
?
71
![Page 72: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/72.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P, NP και NP-πλήρη !!!
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
! !
! ! !
! Εάν P NP
Μια Σχηματική Παρουσίαση !!!
72
![Page 73: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/73.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P, NP και NP-πλήρη !!!
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
! !
! ! !
! Εάν P NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R
73
![Page 74: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/74.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P, NP και NP-πλήρη !!!
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
! !
! ! !
! Εάν P NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R
74
![Page 75: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/75.jpg)
NP-πλήρη Προβλήματα
P, NP και NP-πλήρη !!!
P
NP
Αύξουσα Δυσκολία
ΝP-πλήρη
! !
! ! !
! Εάν P NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP SAT Q R
75
![Page 76: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/76.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
76
Α Β Α Β
![Page 77: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/77.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
77
Α Β Α Β
![Page 78: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/78.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
78
Α Β Α Β
![Page 79: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/79.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
79
Α Β Α Β
![Page 80: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/80.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
80
Α Β Α Β
![Page 81: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/81.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
81
Α Β Α Β
![Page 82: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/82.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
82
Α Β Α Β
![Page 83: Θεωρία Γραημάων - University of Ioanninastavros/BSc-Graph-Theory/GT-01...Εαρμογές – Θεωρία Γραημά Rων 10 39 Αλγόριθμοι Θεωρίας](https://reader034.vdocuments.mx/reader034/viewer/2022051804/5fefecf428960b079550e471/html5/thumbnails/83.jpg)
Αναγωγές Προβλημάτων NP
ΟΠΟΙΟΔΗΠΟΤΕ-ΠΡΟΒΛΗΜΑ-ΣΤΟ-NP
SAT
3 SAT
ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΟ-ΣΥΝΟΛΟ
ΚΟΜΒΙΚΗ-ΚΑΛΥΨΗ ΚΛΙΚΑ
ΖΟΕ
ILP
TSP
ΚΥΚΛΟΣ-HAMILTON AΘΡΟΙΣΜΑ-ΥΠΟΣΙΝΟΛΟΥ
! !
! ! !
!
Θα Δείξουμε μέσω Αναγωγών !!!
Α Β Α Β