1

ΤΜΗΜΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΦΕΒΡΟΥΑΡΙΟΣ 2009 ΤΟΜΕΑΣ ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗΣ, ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΩΝ & ΕΠΙΧΕΙΡΗΣΙΑΚΗΣ ΕΡΕΥΝΑΣ

ΕΠ ΙΧΕ Ι ΡΗΣ ΙΑΚΗ ΕΡΕΥΝΑ

ΘΕΜΑ 1ο Η Περιφέρεια Κεντρικής Μακεδονίας σχεδιάζει την ανάπτυξη ενός συστήματος αυτοκινητοδρόμων για τη σύνδεση των πόλεων που βλέπετε στο ακόλουθο δίκτυο (οι αριθμοί στις ακμές είναι αποστάσεις σε μίλια). Υπάρχουν δύο προτάσεις υπό μελέτη οι οποίες στηρίζονται στο σχέδιο του κατωτέρω σχήματος στο οποίο φαίνονται όλες οι δυνατές χαράξεις: a. Να κατασκευαστούν αυτοκινητόδρομοι ταχείας κυκλοφορίας που να διασύνδεουνε με βέλτιστο τρόπο όλες τις πόλεις

της περιοχής (κόμβοι 1 – 10), και b. Να κατασκευαστεί κλειστός αυτοκινητόδρομος υπερταχείας κυκλοφορίας που να συνδέει με βέλτιστο τρόπο την πόλη

1 με την πόλη 10 (χωρίς απαραίτητα να περνάει απ’ όλες τις άλλες πόλεις).

Σημειώστε, ότι κάθε μίλι αυτοκινητόδρομου ταχείας κυκλοφορίας κοστίζει 5 (εκατομμύρια ευρώ), ενώ κάθε μίλι κλειστού αυτοκινητόδρομου υπερταχείας κυκλοφορίας κοστίζει 7 (εκατομμύρια ευρώ). Αν και πρέπει να ληφθούν υπόψη και άλλοι παράγοντες, ας υποθέσουμε ότι το κόστος είναι το σημαντικότερο στοιχείο για τη λήψη της τελικής απόφασης, ποια πρόταση θα υιοθετούσατε από τις δύο προτεινόμενες; ΘΕΜΑ 2ο Μια βιομηχανία χημικών προϊόντων παράγει, στα δύο εργοστάσιά της, ένα εξειδικευμένο διάλυμα το οποίο χρησιμοποιείται για την εμφάνιση φωτογραφιών. Λόγω όμως εσφαλμένου προγραμματισμού, η επιχείρηση αναμένεται να αντιμετωπίσει ένα αρκετά σοβαρό πρόβλημα έλλειψης προϊόντος κατά το τρέχον τρίμηνο, επειδή έχει ήδη δεχτεί, από τέσσερις βασικούς της πελάτες, παραγγελίες που ξεπερνούν τη συνολική παραγωγική της δυναμικότητα. Έτσι, θέλει κατ' αρχή να αντιμετωπίσει το πρόβλημα «πόση ποσότητα θα αποστείλει σε κάθε πελάτη» και ταυτόχρονα να αποφασίσει «ποιον ή ποιους θα αφήσει ανικανοποίητους και σε πιο βαθμό». Στον πίνακα που ακολουθεί, βλέπετε το μοναδιαίο κόστος παραγωγής-συσκευασίας-μεταφοράς (συνολικά), ανά τόνο προϊόντος που παράγεται κι αποστέλλεται από κάθε εργοστάσιο σε κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες). Βλέπετε επίσης τις μέγιστες παραγόμενες ποσότητες που μπορεί να διαθέσει μέσα στο τρίμηνο κάθε εργοστάσιο, καθώς και τις απαιτήσεις των πελατών, σύμφωνα με τις παραγγελίες.

Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4 Προσφορά

Εργοστάσιο 1 32 34 32 40 5000 Εργοστάσιο 2 34 30 28 38 3000

Ζήτηση 2000 5000 3000 2000 Για κάθε τόνο που δεν αποστέλλεται λόγω αδυναμίας ικανοποίησης της ζήτησης, η επιχείρηση καταβάλλει ένα πρόστιμο σύμφωνα με κάποια ρήτρα που έχει διακανονιστεί με τον πελάτη. Τα πρόστιμα αυτά για κάθε πελάτη (σε χρηματικές μονάδες ανά τόνο ζήτησης που δεν ικανοποιείται) τα βλέπετε στον ακόλουθο πίνακα.

Πελάτης 1 Πελάτης 2 Πελάτης 3 Πελάτης 4

Πρόστιμο ανικανοποίητης ζήτησης ανά τόνο 2 3 3 2

2

1. Να διαμορφωθεί ο κατάλληλος πίνακας μεταφοράς του προβλήματος και να βρεθεί μια αρχική βασική εφικτή λύση. 2. Συνεχίζοντας από το προηγούμενο ερώτημα, βρείτε το άριστο σχέδιο ικανοποίησης των παραγγελιών με τη χρήση της

μεθόδου μεταφοράς. Όταν ολοκληρώσετε την επίλυση, να διατυπώσετε με ακρίβεια το τελικό άριστο σχέδιο που βρήκατε καθώς επίσης και το συνολικό του κόστος.

3. Αν υπάρχει εναλλακτική άριστη λύση εντοπίστε την.

ΘΕΜΑ 3ο Πριν την κυκλοφορία ενός νέου προϊόντος στην αγορά, πρέπει να υλοποιηθούν οι δραστηριότητες του κατωτέρω πίνακα (όλοι οι χρόνοι είναι σε εβδομάδες).

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΑΜΕΣΩΣ ΠΡΟΗΓ. ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ

ΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΠΙΘΑΝΟΤΕΡΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΑΠΑΙΣΙΟΔΟΞΟΣΧΡΟΝΟΣ

ΑΝΑΜΕΝΟΜΕΝΗ ΔΙΑΡΚΕΙΑ

ΔΙΑΚΥΜΑΝΣΗ

A -- 2 6 10 6 1.78 B -- 4 5 6 5 0.11 C A 2 3 4 3 0.11 D C 1 2 3 2 0.11 E A, D 1 3 5 3 0.44 F B 3 4 5 4 0.11 G E 2 4 6 4 0.44 H G, F 0 2 4 2 0.44

1. Να διαμορφωθεί το δίκτυο του έργου. 2. Να βρεθούν οι ενωρίτεροι και βραδύτεροι χρόνοι των δραστηριοτήτων και τα αντίστοιχα χρονικά τους περιθώρια. 3. Να υπολογιστεί ο αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσής του έργου και να καταγραφούν όλες οι κρίσιμες διαδρομές. 4. Υποθέστε ότι βρισκόμαστε 12 εβδομάδες πριν τα Χριστούγεννα. Ποια είναι η πιθανότητα το προϊόν να βρίσκεται στα

καταστήματα τα Χριστούγεννα;

ΘΕΜΑ 4ο

Δύο επιχειρήσεις A και B που δραστηριοποιούνται στην αγορά της ψηφιακής και καλωδιακής τηλεόρασης μοιράζονται τον τζίρο ο οποίος ανέρχεται σε 440 (εκατομμύρια ευρώ). Οι δύο επιχειρήσεις σχεδιάζουν την στρατηγική τους για την νέα περίοδο προκειμένου να αποσπάσουν μεγαλύτερο μερίδιο της αγοράς. Οι πιθανές στρατηγικές είναι οι ακόλουθες: (1) αύξηση διαφημιστικής δαπάνης σε τηλεοπτικά μέσα, (2) πακέτα προσφορών και μείωση τιμής, (3) ενσωμάτωση της προσφοράς ψηφιακής πλατφόρμας σε πακέτα τηλεφωνίας και Internet και (4) ανάπτυξη εναλλακτικών ηλεκτρονικών καναλιών προώθησης του προϊόντος (η τέταρτη στρατηγική μπορεί να εφαρμοστεί µόνο στην επιχείρηση Β). Ο ετήσιος τζίρος που αναμένεται να προκύψει για την επιχείρηση Α, για κάθε συνδυασμό στρατηγικών, δίνεται στον πίνακα που ακολουθεί.

Επιχείρηση Β Β1 Β2 Β3 Β4

Α1 200 250 300 300 Α2 250 400 200 100

Επιχείρηση Α

Α3 225 300 150 150

1. Χωρίς να διαγράψετε τις υποδεέστερες στρατηγικές, εφαρμόστε το κριτήριο minimax στον πίνακα πληρωμών, για να διαπιστώσετε την ύπαρξη ή όχι σημείου ισορροπίας.

2. Να εφαρμόσετε την κατάλληλη μεθοδολογία προκειμένου να προσδιορίσετε την άριστη στρατηγική για κάθε επιχείρηση καθώς και τον ετήσιο τζίρο της επιχείρησης Α.

3. Μακροπρόθεσμα ποια επιχείρηση φαίνεται να ευνοείται από το αποτέλεσμα, αν ο συνολικός ετήσιος τζίρος παραμείνει σταθερός;

3

ΘΕΜΑ 1ο

1η Πρόταση

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης του ελάχιστου ζευγνύοντος δέντρου. Ξεκινάμε αυθαίρετα από οποιοδήποτε κόμβο, έστω τον κόμβο 1. Συνδέουμε τον πλέον κοντινό του, που είναι ο κόμβος 2, μέσω της ακμής 1-2 με μήκος 8. Οι κόμβοι 1, 2 είναι συνδεδεμένοι. Ο πλησιέστερος μη συνδεδεμένος κόμβος στους 1, 2 είναι ο κόμβος 4 με την ακμή 2-4 μήκους 2. Έτσι, συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 2, 4. Ο επόμενος πλησιέστερος κόμβος είναι ο κόμβος 3 με την ακμή 4-3 μήκους 1, οπότε συνδεδεμένοι είναι τώρα οι κόμβοι 1, 2, 4, 3. Ο πλησιέστερος στους συνδεδεμένους είναι ο κόμβος 6 με την ακμή 3-6 μήκους 3. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι τώρα 1, 2, 4, 3, 6. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 7 με τον κόμβο 6 μέσω της ακμής 6-7 μήκους 2, οπότε το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων είναι το 1, 2, 4, 3, 6, 7. Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 8 με τον κόμβο 7 μέσω της ακμής 7-8 με μήκος 4. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8. Επόμενος συνδέεται ο κόμβος 5 με τον κόμβο 2 με την ακμή 2-5 μήκους 5, οπότε το σύνολο γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 5. Ο επόμενος κόμβος που συνδέεται είναι ο κόμβος 9 με τον κόμβο 8 μέσω της ακμής 8-9 με μήκος 6. Το σύνολο των συνδεδεμένων κόμβων γίνεται 1, 2, 4, 3, 6, 7, 8, 5, 9. Τελευταίος συνδέεται ο κόμβος 10 με την ακμή 9-10 μήκους 9. Το άθροισμα των ακμών που χρησιμοποιήθηκαν είναι 40 και είναι το ελάχιστο συνολικό.

2η Πρόταση

Πρόκειται για πρόβλημα εύρεσης της συντομότερης διαδρομής. Πρώτος λυμένος κόμβος καθίσταται η αφετηρία με απόσταση 0 (από τον εαυτό της). Κόμβοι με προσωρινές διαδρομές:

• κόμβος 2, με απόσταση 8 μίλια από την αφετηρία και • κόμβος 3, με απόσταση 12 μίλια ομοίως.

Στο σύνολο των μονίμων κόμβων εισέρχεται ο κόμβος 2 με ελάχιστη απόσταση 8 μονάδες οπότε το σύνολο των μονίμων κόμβων γίνεται 1, 2. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 2 στους μόνιμους.

• κόμβος 3, με απόσταση 12 μίλια, απευθείας από την αφετηρία • κόμβος 4, με απόσταση 10 μίλια, μέσω του 2,

4

• κόμβος 5, με απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2.

Μόνιμος καθίσταται ο κόμβος 4 που έχει προσωρινή απόσταση από την αφετηρία τη μικρότερη μεταξύ αυτών με προσωρινή απόσταση, δηλαδή 10 μίλια μέσω του κόμβου 2, οπότε το σύνολο των μονίμων είναι τώρα το 1, 2, 4. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 4 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 3, με απόσταση 11 μίλια, μέσω του κόμβου 4, • κόμβος 5, με απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, • κόμβος 6, με απόσταση 15 μίλια, μέσω του 4, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4).

Από τους κόμβους με προσωρινό μήκος διαδρομής μόνιμος γίνεται ο κόμβος 3 με ελάχιστη απόσταση 11 μίλια μέσω του κόμβου 4, οπότε το σύνολο μονίμων είναι τώρα 1, 2, 4, 3. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 3 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 5, απόσταση 13 μίλια, μέσω του 2, • κόμβος 6, με απόσταση 14 μίλια, μέσω του 3, και • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4).

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 5 με απόσταση από την αφετηρία 13 μίλια μέσω του κόμβου 2 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 5 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 6, με απόσταση 14 μίλια, μέσω του 3, • κόμβος 7, με απόσταση 17 μίλια, μέσω του 2 (ή μέσω του κόμβου 4), και • κόμβος 8, με απόσταση 13+8 = 21 μίλια, μέσω του κόμβου 5.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 6 με απόσταση από την αφετηρία 14 μίλια μέσω του 3 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 6 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 7, με απόσταση 14+2 = 16 μίλια, μέσω του 6, • κόμβος 8, με απόσταση 14+5 = 19 μίλια, μέσω του κόμβου 6, και • κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 7 με απόσταση από την αφετηρία 16 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 7 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 8, με απόσταση 19 μίλια, μέσω του κόμβου 6, και • κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 8 με απόσταση από την αφετηρία 19 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8. Αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 8 στο σύνολο των μονίμων.

• κόμβος 9, με απόσταση 22 μίλια μέσω του 6, και • κόμβος 10, με απόσταση 30 μίλια μέσω του 8.

Μόνιμος γίνεται ο κόμβος 9 με απόσταση από την αφετηρία 22 μίλια μέσω του 6 και το σύνολο μονίμων γίνεται 1, 2, 4, 3, 5, 6, 7, 8, 9. Τέλος, αναπροσαρμόζουμε τις μεταβάσεις λόγω της εισαγωγής του κόμβου 9 στο σύνολο των μονίμων. Ο κόμβος 10 εισέρχεται στους μονίμους με ελάχιστη απόσταση 30 χιλιόμετρα, μέσω του κόμβου 8.

5

Επομένως το ελάχιστο μήκος διαδρομής είναι 30 μίλια. Για να βρούμε το βέλτιστο μονοπάτι ελέγχουμε οπισθοδρομικά την επίλυση, ξεκινώντας από τον κόμβο 10 ο οποίος μας παραπέμπει στον κόμβο 8 και αυτός στη συνέχεια στον κόμβο 6. Στον κόμβο 6 ερχόμαστε μέσω του κόμβου 3, όπου φτάνουμε μέσω του κόμβου 4. Ο κόμβος 4 μας παραπέμπει στον κόμβο 2 και από εκεί στην αφετηρία. Κατά συνέπεια άριστη διαδρομή, με μήκος 30 μίλια, είναι το μονοπάτι 1 2 4 3 6 8 10.

Συνοψίζοντας για την πρώτη περίπτωση έχουμε έναν αυτοκινητόδρομο μήκους 40 μιλίων και κόστους 40x5 = 200 εκατομμυρίων ευρώ, ενώ στη δεύτερη έναν αυτοκινητόδρομο μήκους 30 μιλίων και κόστους 30x7 = 210 εκατομμυρίων ευρώ. Συνεπώς, εάν το κόστος είναι το σημαντικότερο στοιχείο για τη λήψη της τελικής απόφασης, πρέπει να υιοθετηθεί η 1η πρόταση.

6

ΘΕΜΑ 2ο

1.

4 4 30 27 25 30 27 25 36 Προσφορά

2

0

0 32

0*

34

2,000

32

3,000

40

5,000

5,000

5,000

5,000

2

2

2

34

30

3,000

28

38

3,000

3,000

3,000

0

1

0

2

2,000

3

3

2

2,000

4,000

2,000

0

Ζήτηση 2,000 2,000

0 0

5,000 5,000 5,000 2,000

3,000 3,000 3,000 3,000

2,000 0

Ορίζουμε να είναι xij, οι τόνοι του διαλύματος που θα αποσταλούν από το i-εργοστάσιο στον j-πελάτη (i = 1, 2 και j = 1, 2, 3, 4). Επιπλέον, επειδή ∑∑ =<=

jj

ii ds 120008000 θα πρέπει να προστεθεί ένας

υποθετικός σταθμός προέλευσης (Εργοστάσιο 3) με προσφορά ίση με 12,000 − 8,000 = 4,000 τόνους. Το κόστος μεταφοράς c3j (j = 1, 2, 3, 4) προσδιορίζεται από τον πίνακα με τα πρόστιμα. Η εφαρμογή της μεθόδου Vogel για τον εντοπισμό μιας αρχικής βασικής εφικτής λύσης του προβλήματος οδηγεί διαδοχικά: στην εκχώρηση 2,000 μονάδων στο κελί (3, 4) με παράλληλη διαγραφή της 4ης στήλης, στην εκχώρηση 2,000 μονάδων στο κελί (3, 1) με διαγραφή μόνον της 3ης γραμμής, στην εκχώρηση 3,000 μονάδων στο κελί (2, 2) με διαγραφή της 2ης γραμμής και τέλος, στη εκχώρηση 2,000 και 3,000 μονάδων στα κελιά (1, 2), (1, 3) αντίστοιχα. Το κελί (1, 1) αν και με μηδενική εκχώρηση, θεωρείται ως βασικό κελί. Το κόστος μεταφοράς ανέρχεται στις 262,000 χρηματικές μονάδες.

2. Βρίσκοντας τα δυναμικά ui και vj και σχηματίζοντας τις διαφορές δij = ui + vj – cij που αντιστοιχούν στις μη

βασικές μεταβλητές βλέπουμε ότι υπάρχουν θετικές τιμές μεταξύ τους και συνεπώς η λύση που περιλαμβάνεται στο tableau δεν είναι η βέλτιστη.

v u

32 34 32 32

0

32

0*

34

2,000

32

3,000

-8 40

5,000

-4

-6 34

30

3,000

0 28

-10 38

3,000

-30

2

2,000

1 3

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

7

Στη συνέχεια με εισερχόμενο κελί το (3, 2), κατασκευάζουμε το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων :

32 ⊕

0*

34

2,000

32

3,000

-8 40

5,000

-6 34

30

3,000

0 28

-10 38

3,000

2

2,000

1 3 ⊕

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

Επειδή υπάρχουν ισοβαθμήσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού, διαλέγουμε αυθαίρετα το (3, 1).

Η νέα λύση, στην οποία το κελί (3, 2) είναι βασικό και το (3, 1) μη βασικό, δίνεται στο tableau που ακολουθεί. Λόγω των ισοβαθμήσεων που παρατηρήθηκαν είναι εκφυλισμένη και για τη συνέχεια της διαδικασίας MODI, το κελί (1, 2) θεωρείται βασικό. Το νέο συνολικό κόστος ανέρχεται σε 260,000 χρηματικές μονάδες. Ο έλεγχος αριστότητας αποδεικνύει ότι αυτή η λύση είναι η ζητούμενη βέλτιστη λύση του προβλήματος: δij ≤ 0 ∀ (i, j).

vu

32 34 32 33

0

32

2,000

-1 34

0*

32

3,000

-7 40

5,000

-4

-6 34

30

3,000

0 28

-9 38

3,000

-31

-1 2

3

2,000

-2 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

8

3. Επειδή στο βέλτιστο tableau του προβλήματος μεταφοράς είναι δ23 = 0, το πρόβλημα έχει εναλλακτική βέλτιστη λύση. Για να τον εντοπισμό της αρκεί να γίνει βασικό το κελί (2, 3).

32

2,000

34 ⊕

0*

32

3,000

5,000

-6 34

30

3,000

0 28 ⊕

-10 38

3,000

2

1 3

2,000

-1 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

Το μονοπάτι ανακατανομής των εκχωρήσεων υποδεικνύει ισοβαθμίσεις στο κριτήριο για την επιλογή του εξερχόμενου κελιού. Επιλέγοντας -αυθαίρετα- το (1, 3), καταλήγουμε στην κατωτέρω (εναλλακτική) βέλτιστη λύση :

vu

32 34 32 33

0

32

2,000

-1 34

3,000

32

-7 40

5,000

-4

-6 34

30

0*

0 28

3,000

-9 38

3,000

-31

-1 2

3

2,000

-2 3

2

2,000

4,000

2,000 5,000 3,000 2,000

9

ΘΕΜΑ 3ο

A 0 6 C 6 9 D 9 11 6 0 6 3 6 9 2 9 11

E 11 14 G 14 18 START

3 11 14 4 14 18 FINISH

B 0 5 F 5 9 H 18 20 5 9 14 4 14 18 2 18 20

ΔΡΑΣΤΗΡΙΟΤΗΤΑ ΧΡΟΝΙΚΟ ΠΕΡΙΘΩΡΙΟ A 0 B 9 C 0 D 0 E 0 F 9 G 0 H 0

Κρίσιμη διαδρομή: A – C – D – E – G – H και A – E – G – H Αναμενόμενος χρόνος ολοκλήρωσης του έργου: 20 εβδομάδες. Η πρώτη κρίσιμη διαδρομή έχει μέση τιμή μ = 20 και διασπορά σ2 = (1.822)2 ενώ η δεύτερη μ = 20 και διασπορά σ2 = (1.761)2. Συνεπώς δεν υπάρχει καμία πιθανότητα να είναι έτοιμο το προϊόν πριν τα Χριστούγεννα.

10

ΘΕΜΑ 4ο

Ερώτημα 1 Πρόκειται για ένα παίγνιο δύο παικτών σταθερού αθροίσματος (ίσου με 440 εκατομμύρια ευρώ). Η εφαρμογή του κριτηρίου minimax απευθείας στον πίνακα πληρωμών του παίκτη Α χωρίς διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών, όπως βλέπουμε στoν παρακάτω πίνακα, δεν μπορεί να δώσει αμιγείς στρατηγικές και υποδεικνύει την ανυπαρξία σημείου ισορροπίας. Πράγματι, η Maximin τιμή του παίκτη Α (επιχείρηση Α) είναι ίση με 200 (τομή των στρατηγικών Α1 – Β1) και η Minimax τιμή του παίκτη Β (επιχείρηση Β) είναι ίση με 250 (τομή των στρατηγικών Α2 – Β1).

Β1 Β2 Β3 Β4 Row Min Maximin Α1 200 250 300 300 200 200 Α2 250 400 200 100 100 Α3 225 300 150 150 150

Col Max 250 400 300 300 Minimax 250 250≠200

Ερώτημα 2 Επομένως, αφού δεν υπάρχει κοινό σημείο ισορροπίας (δηλαδή δεν υπάρχουν αντίστοιχες αμιγείς στρατηγικές που θα μπορούσαν να ισορροπήσουν οι δύο παίκτες) θα προχωρήσουμε στον εντοπισμό μεικτών στρατηγικών. Συνεχίζουμε με τη διαγραφή των υποδεέστερων στρατηγικών. Δεν υπάρχει υποδεέστερη στρατηγική από την πλευρά του παίκτη Α. Βλέπουμε όμως ότι από την πλευρά του παίκτη Β η στρατηγική Β2 είναι υποδεέστερη της Β1 και η στρατηγική Β3 είναι υποδεέστερη της Β4. Οπότε, ο πίνακας πληρωμών μειώνεται στον ακόλουθο πίνακα διάστασης 3×2, όπου δεν υπάρχουν άλλες υποδεέστερες στρατηγικές.

Β1 y1

Β4 Y4

Α1 200 300 Α2 250 100 Α3 225 150

Στη συνέχεια εφαρμόζουμε τη γραφική διαδικασία επίλυσης. Ονομάζουμε y1 την πιθανότητα ο παίκτης Β να ακολουθήσει τη στρατηγική Β1 και y4 την πιθανότητα να εφαρμόσει τη στρατηγική Β4. Προφανώς y1 + y4 = 1. Για τον παίκτη Β με τις δύο στρατηγικές έχουμε τις παρακάτω σχέσεις:

V(B, A1) = 200y1 + 300y4 V(B, A2) = 250y1 + 100y4 V(B, A3) = 225y1 + 150y4

Σύρουμε δύο κατακόρυφους (παράλληλους) άξονες με ίδια κλίμακα μέτρησης που απέχουν μεταξύ τους μία μονάδα και οι οποίοι αντιπροσωπεύουν τις δύο στρατηγικές του παίκτη B. Ο οριζόντιος άξονας παριστάνει τις τιμές της πιθανότητας y. Μετά φέρουμε τα ευθύγραμμα τμήματα που παριστάνουν τις πληρωμές στον παίκτη Α (δηλαδή τα V(B, Ai), i=1,2,3)) ανάλογα με τη στρατηγική που εφαρμόζει ο A και την πιθανότητα εφαρμογής από τον παίκτη B είτε της B1 είτε της B4. Για να χαράξουμε τα τρία αυτά ευθύγραμμα τμήματα αρκεί να συνδέσουμε τις αντίστοιχες τιμές των δύο αξόνων από τον πίνακα πληρωμών δηλαδή για να χαράξουμε την ευθεία που αντιστοιχεί στο V(B, A1) συνδέουμε το 200 με το 300, για το V(B, A2) συνδέουμε το 250 με το 100 και για την ευθεία V(B, A3)

11

συνδέουμε το 225 με το 150. Δεν έχει σημασία αν χρησιμοποιήσουμε πρώτα τον αριστερό ή το δεξιό κατακόρυφο άξονα για τη διαδικασία της χάραξης. Στο σχήμα μας, οι τιμές της στήλης της Β4 είναι στον αριστερό κατακόρυφο άξονα και της Β1 στον δεξιό αλλά αυτό δεν έχει καμία σημασία, θα μπορούσε να ήταν και αντίστροφα. Απλώς το σχήμα θα έβγαινε συμμετρικό.

Επειδή ο παίκτης Β επιλέγει minimax στρατηγική, αυτό σημαίνει ότι επιλέγει το ελάχιστο από τα μέγιστα. Άρα θα ακολουθήσει την τεθλασμένη γραμμή που βρίσκεται στην ανώτερη περιοχή του σχήματος και η οποία παρουσιάζεται με έντονες κόκκινες γραμμές. Επάνω σ’ αυτήν, θα επιλέξει το χαμηλότερο (minimax) σημείο, δηλαδή όπως σημειώνεται, το σημείο Κ. Συνεπώς, η στρατηγική A3 του παίκτη A απορρίπτεται αφού δεν συμμετέχει στον καθορισμό του minimax σημείου (Κ) και η διάσταση του προβλήματος γίνεται 2x2 με τον ακόλουθο πίνακα πληρωμών:

Β1 y1

Β4 Y4

Α1 x1 200 300 Α2 x2 250 100

Στο σχήμα, με τα πράσινα βέλη σημειώνεται το σημείο στο οποίο βρίσκεται τόσο η βέλτιστη τιμή της πιθανότητας y1 (0,8), όσο και η αντίστοιχη τιμή του παιγνίου στον κάθετο άξονα (V=220). Για να εντοπίσουμε όμως με ακρίβεια τις τιμές συνεχίζουμε αλγεβρικά. Επιλύουμε λοιπόν το παίγνιο ως πρόβλημα διάστασης 2×2. Για τον παίκτη B έχουμε ότι V(B, A1)=V(B,A2) από όπου προκύπτει ότι: 200y1 + 300y4 = 250y1 +100y4 που δίνει 50y1 = 200y4

12

Επειδή y1 + y4 =1 έχουμε ότι 50y1 = 200(1-y1), δηλαδή 250y1 = 200. Άρα y1 = 4/5 και y4 = 1/5 (στο σχήμα υποδεικνύεται με βέλος το στο οποίο η πιθανότητα y1 = 0,8 και η y4 είναι φυσικά 0,2). Για τον παίκτη Α, ονομάζοντας x1 την πιθανότητα ο παίκτης Α να ακολουθήσει τη στρατηγική Α1 και x2 την πιθανότητα να ακολουθήσει την Α2 έχουμε ότι: V(A, B1) = 200x1 + 250x2 V(A, B4) = 300x1 + 100x2 Θέτοντας V(A, B1) = V(A, B4) έχουμε ότι: 200x1 + 250x2 = 300x1 + 100x2 που δίνει 100x1 = 150x2 Επειδή x1 + x2 = 1 έχουμε ότι 100x1 = 150(1-x1), δηλαδή 250x1=150, άρα x1 = 3/5 και x2 = 2/5. Η τιμή του παιγνίου βρίσκεται με αντικατάσταση των πιθανοτήτων αυτών σε οποιοδήποτε από τα V(A, B1) ή V(A, B4) δηλαδή είναι V = 200⋅(3/5) + 250⋅(2/5) = 220 (όπως φαίνεται και στο σχήμα). Συνοψίζοντας, το αποτέλεσμα είναι το εξής : Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Α: (0.6, 0.4, 0) Μεικτή στρατηγική για τον παίκτη Β: (0.8, 0, 0, 0.2) Τιμή του παιγνίου V = 220. Επομένως, ο ετήσιος τζίρος της επιχείρησης Α είναι 220 εκατομμύρια ευρώ. Ερώτημα 3 Το φυσικό νόημα της τιμής του παιγνίου είναι ότι, εφόσον επαναληφθεί πολλές φορές το παίγνιο με τους ίδιους όρους ο αναμενόμενος τζίρος της επιχείρησης Α είναι 220 εκατομμύρια ευρώ και της επιχείρησης Β θα είναι 440 – 220 = 220 εκατομμύρια ευρώ επίσης. Πρακτικά αυτό σημαίνει ότι μακροπρόθεσμα το παιγνίδι είναι δίκαιο και καμία επιχείρηση δεν είναι ευνοημένη. Βέβαια, το αποτέλεσμα που δίνει η τιμή του παιγνίου είναι η μέση τιμή.