© roland angst, 2010institute of visual computing determinanten roland angst, 30.11.2010

© Roland Angst, 2010 Institute of Visual Computing

Determinanten

Roland Angst, 30.11.2010


Organisatorisches

Ersatz für Prof. PollefeysRoland Angst ([email protected])

CAB G 89

Website: http://www.inf.ethz.ch/personal/rangst/

Sprache: Deutsch? Englisch?

Bei UnklarheitenBitte meldet euch!

Ich versuche mich an Skript zu halten (auch mit Notation)


Themen

QR-Zerlegung

DeterminantenMotivation

Transpositionen, Permutationen

Definition der Determinante

Eigenschaften der Determinante

Berechnungsmöglichkeiten

Rechenregeln

Anwendungen


QR Zerlegung

Final Call!Unklarheiten, Fragen?

Testfrage: welche zwei Möglichkeiten kennt ihr, um Least Squares Probleme zu lösen?Normalengleichungen

QR-Zerlegung


Determinanten: Motivation

Cramer Regel Tool zur analytischen Untersuchung von Lösungen

eines linearen Gleichungssystems

Transformation von Integrationsgrenzen: Determinante der Jacobimatrix

Siehe später in Analysisvorlesung (hoffentlich!)

Rank-Constraint für Matrizen Z.B. Multiple View Geometry für 3D

Rekonstruktionen

Grassmann Koordinaten Rechnen mit Unterräumen (Subspaces)


Determinanten: Motivation

Charakteristisches Polynom Determinante der Matrix

Polynom in einer Unbekannten

Nullstellen entsprechen den Eigenwerten einer Matrix

Siehe nächstes Kapitel...

Merke: Determinante stellt ein nützliches

analytisches Werkzeug dar

Aber für numerische Berechnungen eher ungeeignet


Determinanten: benötigte Vorkenntnisse

Permutation von n Elementen Eineindeutige Abbildung (eine Bijektion)

der Menge auf sich selbst:

Menge der Permutationen von n Elementen wird mit bezeichnet


Symmetrische Gruppe

Permutationen sind Funktionen und können daher zusammengesetzt werden:Zusammensetzung zweier Bijektionen ist

wiederum eine Bijektion p ist auch eine Permutation

Symmetrische Gruppe Menge aller Permutationen von n Elementen

Funktionszusammensetzung ist Gruppenoperation

Neutralelement ist Identität:


Symmetrische Gruppe

Wieviele Elemente besitzt die symmetrische Gruppe (Satz 8.1)?

Beweis mittels Induktion Induktionsverankerung:

n = 1: Menge enthält lediglich Identität e:

Induktionsschritt: Zusätzliches n-tes Element kann auf n Arten

zwischen n-1 gegebene Elemente eingefügt werden

Induktionsvoraussetzung besagt, dass n-1 Elemente auf Arten angeordnet werden können


Transpositionen

Transposition Eine Permutation, bei der nur zwei Elemente

vertauscht werden

Satz 8.2: Für n>1: Jede Permutation kann als Produkt von Transpositionen benachbarter Elemente dargestellt werden: Darstellung ist i.A. nicht eindeutig

Aber Anzahl Transpositionen ist entweder für alle möglichen Darstellungen immer gerade oder immer ungerade Das Signum ist eindeutig für eine

Permutation p


Transpositionen

Beweis von Satz 8.2 1. Teil: Darstellung als Produkt von Transpositionen benachbarter

Elemente

Mittels Induktion

Induktionsverankerung für n=2 ist trivial

Induktionsschritt: ähnliche Argumentation wie in Beweis von Satz 8.1

2. Teil: Eindeutigkeit von

Für beliebiges sei:

Gemäss Darstellung der Permutation als Zusammensetzung von Transpositionen benachbarter Elemente gilt: Das Vorzeichen hängt nur von Anzahl Transpositionen benachbarter Elemente ab!

Zwei Darstellungen derselben Permutation seien:

Also gilt:


Determinante

Die Determinante einer n-by-n Matrix ist definiert als die Summe über die n! Permutationen

Jeder Summand enthält genau ein Element aus jeder Zeile und jeder Kolonne

Liefert einfache Formeln für n < 4 Beispiele: siehe Tafel...

Für n = 3: Formel bekannt unter Namen Regel von Sarrus

Selbst für moderate n ist diese Formel für numerische Zwecke unbrauchbar da Aufwand O(n!)


Determinanten von Dreiecksmatrizen

Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0 Beispiel: p: (1,2,3,4) = (2,3,1,4)

p(1) = 2 Elemente der ersten Zeile und der zweiten Spalte sind „gestrichen“

Wir sehen bereits: Irgendwann müssen wir ein verbleibendes Element der ersten Spalte wählen!

p(2) = 3 Elemente der zweiten Zeile und der dritten Spalte werden gestrichen

p(3) = 1 Hier wählen wir ein Element das gleich Null istX X XX XXX

X X

XX X XX XX XX

X X

X

X

X X XX XX XX

X X

X

X

X X XXXX


Determinanten von Dreiecksmatrizen

Alle Summanden ausser einem reduzieren sich auf 0

Welche Permutation liefert nicht-Null Summand?

Also: Determinante von Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente ( )

XaX X

XXX

XaX XX XX

X XX X

XaX XX XX

XX XX X X

XaX XX XX

XX XX X X


Eigenschaften der Determinanten

Satz 8.6: Die folgenden 3 Eigenschaften sind charakteristisch für die Determinante D.h. die Determinante ist das einzige auf

definierte Funktional mit folgenden 3 Eigenschaften (Satz 8.3)

i) Linear in jeder Zeile

ii) Alternierend: werden zwei Zeilen in vertauscht, so wechselt das Vorzeichen von

iii) Skalierung:


Beweis Satz 8.3

Erfüllt unsere Definition diese 3 Eigenschaften (Beweis von Satz 8.3)?

i) Einsetzen in Definition liefert Linearitätseigenschaft:


Beweis Satz 8.3


ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente:

i-te Zeile

j-te Zeile


Beweis Satz 8.3


ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente:

i-te Zeile

j-te Zeile

Anzahl benötigter Transpositionen benachbarter Elemente:

Ungerade Anzahl!


Beweis Satz 8.3


ii) Vertauschen zweier Zeilen entspricht einem Produkt einer ungeraden Anzahl an Transpositionen benachbarter Elemente: Zeilenvertauschung kann durch Kombination jeder

Permutation mit dieser Transposition kompensiert werden:

Vorzeichenwechsel, da jeder Term der Summe das Vorzeichen wechselt:


Beweis Satz 8.3


iii) Identität ist Spezialfall einer Dreiecksmatrix Determinante ist gleich dem Produkt der

Diagonalelemente

Satz 8.3 ist somit bewiesen Beweis von Satz 8.6 folgt später


Folgerungen aus den 3 charakteristischen Eigenschaften Aus den 3 charakteristischen Eigenschaften (Satz 8.3)

folgen 6 weitere wichtige Eigenschaften (Satz 8.4): Hat eine Zeile aus lauter Nullen, so ist

Hat zwei gleiche Zeilen, so ist

Wird zu einer Zeile von ein Vielfaches einer anderen Zeile von addiert, so ändert sich der Wert von nicht.

Die Determinante einer Diagonalmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente

Die Determinante einer Dreiecksmatrix ist gleich dem Produkt ihrer Diagonalelemente

Beweis siehe Tafel Erfolgt lediglich unter Verwendung der charakteristischen

Eigenschaften i),ii),iii)


Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten

Eigenschaft vii) bedeutet, dass Gauss-Algorithmus die Determinante nicht verändert! Gauss-Algorithmus addiert Vielfaches der Pivotzeile zu

den anderen Zeilen!

Daraus folgt Satz 8.5: Für jede Matrix gilt:

Sei . Dann ist gleich dem Produkt der Pivotelemente des Gauss-Algorithmus multipliziert mit , wobei die Anzahl der ausgeführten Zeilenvertauschungen bezeichnet:

Andernfalls und


Gauss-Algorithmus zur Berechnung der Determinanten

Algorithmus 8.1: Wende Gauss Algorithmus auf Matrix

an

Falls , dann liefert Gauss-Algorithmus obere Dreiecksmatrix und benötigte Anzahl an Zeilenvertauschungen. Dann ist:

Schnellste Methode zur Berechnung der Determinante Aber: an Prüfung könnte Anwendung der

Eigenschaften i) bis ix) schneller ans Ziel führen


Beweis von Satz 8.6

Siehe Tafel


Determinantenrechenregeln

Matrizenprodukt (Satz 8.7): SeienDann gilt:Beweisskizze:

Definiere Funktional und zeige, dass alle Eigenschaften i), ii), und iii) erfüllt

Matrixinverse (Satz 8.8):Beweis:

Beispiel: LR-Zerlegung


Determinantenrechenregeln

Matrixtransposition (Satz 8.9):

Beweisidee: Wende auf Produktregel 8.7 an.

Somit kann überall zuvor „Zeile“ durch „Kolonne“ ersetzt werden, die daraus resultierenden Eigenschaften gelten auch dann!

Beispiel: Determinante einer unitären Matrix.


Kofaktoren einer Matrix

Sei die Untermatrix von , welche durch Streichen der k-ten Zeile und l-ten Kolonne resultiert.

Der Kofaktor von ist definiert als:


Determinantenberechnung

Der Kofaktor von ist definiert als

Lemma 8.12: Es sein eine Matrix, in deren l-ter Kolonne lediglich das Element ist. Dann gilt:

Beweis: Bringe Element durch Kolonnen- und

Zeilenvertauschungen an Indexposition (1,1).

Determinante ändert sich dabei um , da Transpositionen benachbarter Zeilen und Spalten nötig sind.

Resultierende Matrix erfüllt bereits erster Eliminationsschritt des Gauss-Algorithmus mit Pivot , d.h.


Entwicklung nach Zeile oder Kolonne

Alternative rekursive Methode zur Determinantenberechnung Meist ineffizient

In Spezialfällen interessant (und effizient) kann für Prüfung wichtig sein!

Entwicklung nach k-ter Zeile:

Entwicklung nach l-ter Kolonne:

Beweis: siehe Tafel.


Determinanten von Blocksmatrizen

Achtung:

Aber für Blocksdreiecksmatrizen gilt (Korollar 8.14): Die Determinante von

Blocksdreiecksmatrizen ist gleich dem Produkt der Determinanten der diagonalen Blöcke.Beweis siehe Skript

Beispiel:


Anwendungen

Die folgenden Anwendungen stellen keinen prüfungsrelevanten Stoff dar Sie sollen zeigen, wie die Theorie der

Determinante an realen Beispielen zur Anwendung kommt

Falls eine Anwendung nicht komplett verstanden wird, so ist das kein Problem!


Anwendungen: Cramer Regel

Analytische Lösung eines linearen Gleichungssystems

Für numerische Berechnung ungeeignet, da Rechenaufwand zu hoch

Beweisidee: Definiere:

Dann:


Anwendungen: Rang-Bedingung für Multiple View Geometry

Für virtuelle 3D Rekonstruktionen basierend auf Bildern muss Folgendes berechnet werden: Positionen der Kameras

Positionen von 3D Punkten

Bekannte Daten 2D Punkte in den Bildern der 3D Punktes (die Projektionen der 3D

Punkte in die Kameraebenen)

http://www.youtube.com/watch?v=p16frKJLVi0



Projektion eines 3D Punktes in eine Kameraebene Koordinatentransformation der globalen Punktkoordinaten

in lokale Kamerakoordinaten:

Projektion der lokalen Punktkoordinaten in Kamerebene Strahlensatz:



Bekannt seien Projektionen desselben 3D Punktes in zwei verschiedenen Kameras und

Gegeben mehrere Punktkorrespondenzen (die Beobachtungen) , Determinantenbedingung erlaubt Berechnung von Kameramatrizen und

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determinante einer n

dass n

darstellung ist

n matrix ist definiert

determinanten satz

gleich null ist

ist trivial induktionsschritt