© per wallander · 2018. 5. 2. · per wallander 17 lektioner i telekommunikation första upplagan...

1

© Per Wallander

Per Wallander

2

17 lektioner iTELEKOMMUNIKATION

Per Wallander17 lektioner i TELEKOMMUNIKATIONFörsta upplaganISBN 91-86296-10-8

Innehållet i denna bok är skyddat enligt Lagen om upphovsrätt, 1960:729, och får intereproduceras eller spridas i någon form utan skriftligt medgivande av Per Wallander, somär copyrightinnehavare. Förbudet gäller hela verket såväl som delar av verket och inklu-derar tryckning, kopiering, överföring till annat medium etc.

Copyright © Per Wallander 2001

Tryckt i Sverige / Printed in Sweden 2001Fälth & Hässler, Smedjebacken

Förlag

Per Wallander Antenn ABStrandängsstigen 2, S-125 52 ÄLVSJÖ, SWEDENe-mail: [email protected]://www.perant.se

3

© Per Wallander

INNEHÅLL

1 — Sinusspänning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.1 Sinusformade spänningar och strömmar. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101.2 Fasvinkel är alltid en tidsförskjutning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111.3 Lägga ihop, dra ifrån och multiplicera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.4 Derivera och integrera . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161.5 jω-metoden . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 181.6 Vad innebär ”stationär” växelström? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191.7 Om man ändå vill lösa differentialekvationen . . . . . . . . . . . . . . . 201.8 Decibel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 — Fourierserier och spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 252.1 Fourierserier . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 262.2 Signalens spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 282.3 Medeleffekt under en period . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.4 Effektspektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 302.5 Två sätt att alstra fyrkantvågen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.6 Hur fungerar Fourierserieutvecklingen? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.7 Ett matematiskt ”filter” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 342.8 När u(t) är periodisk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 352.9 Jämn eller udda funktion? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 362.10 Fourierserieutveckling i praktiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 372.11 Korta pulser . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 382.12 Komplexa Fourier-serier, Fourier-transformen . . . . . . . . . . . . . . . 412.13 Några vanliga funktioner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 422.14 Vad är egentligen ett spektrum? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3 — Brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.1 Termiskt brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2 Många generatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3 Motstånd brusar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 483.4 Gaussiskt brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 503.5 Brus i förstärkare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 523.6 Brusförhållandet NR och brusfaktorn NF (F) . . . . . . . . . . . . . . . . 543.7 Bestämning av förstärkarens brusfaktor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 553.8 Flera förstärkare . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 563.9 Signal/brus-förhållandet före detektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 583.10 Brusfri resistans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

4

17 lektioner iTELEKOMMUNIKATIONInnehåll

4 — Amplitudmodulering – AM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 634.1 Basband och linjekodning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 644.2 Modulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 654.3 Amplitudmodulering i tidsplanet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.4 Amplitudmodulerade signalens spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . . 704.5 Verkliga informationssignaler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 724.6 AM-signalens demodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 744.7 Verklig AM-modulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8 Effekt i AM-signalen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77

5 — Amplitudmodulering – VSB, DSB, SSB, QAM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 795.1 Stympat sidband, VSB (Vestigial Sideband) . . . . . . . . . . . . . . . . 805.2 Dubbla sidband, DSB (Double Sideband) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.3 DSB-signalens demodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 865.4 Enkelt sidband, SSB (Single Sideband) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 885.5 QAM (Quad Amplitude Modulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 905.6 Signal/brusförhållandet efter detektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.7 FM-stereo — exempel på DSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 935.8 Analog FDM-telefoni — exempel på SSB . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96

6 — Superheterodynmottagaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.1 AM-mottagaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 986.2 Decibel och förstärkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1046.3 Signal/brusförhållandet före detektorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

7 — Frekvensmodulering och fasmodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1097.1 Argumentmodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1107.2 Frekvensmodulering i tidsplanet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.3 Frekvensmodulering och matematiken . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.4 Frekvensmodulerade signalens spektrum . . . . . . . . . . . . . . . . . 1167.5 Frekvensmodulerade signalens bandbredd. . . . . . . . . . . . . . . . 1187.6 Varför så många spektralkomponenter? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1207.7 FM-signalens visardiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1227.8 Om FM-signalen matas genom ett BP-filter? . . . . . . . . . . . . . . 123

8 — FM-demodulering och faslåst loop . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1258.1 FM-signalens demodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1268.2 FM-signalen och brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1288.3 Bruströskel vid FM-demodulering . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1308.4 Preemphasis och deemphasis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1318.5 Faslåst slinga (loop) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1328.6 Faslåst loop som FM-demodulator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1348.7 Faslåst loop som lokaloscillator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135

9 — Datakommunikation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1399.1 Protokoll, gränssnitt (Interface) och OSI . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1409.2 A/D-omvandling och samplingsteoremet . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1429.3 PCM-kodning (Puls Code Modulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1449.4 PCM-kodning i verkligheten. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1469.5 Symbolhastighet och bandbredd (Hartley) . . . . . . . . . . . . . . . . 1489.6 Antalet olika symboler ger bithastigheten . . . . . . . . . . . . . . . . . 1519.7 Bithastighet och brus (Shannon) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

5

© Per Wallander Innehåll

10 — Fysiska lagret . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15310.1 Fasta telenätet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15410.2 Linjekodning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15810.3 Nyckling (Keying) och signalvektorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15910.4 ASK (Amplitude Skift Keying) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16010.5 Hur hög mottagen effekt Pm behövs? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16210.6 Antipodal 2ASK och BPSK . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16310.7 Icke-koherent 2FSK (Frequency Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . . 16510.8 Koherent 2FSK, MSK (Minimum Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . 16610.9 QAM (Quad Amplitude Modulation) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16810.10 PSK (Phase Shift Keying) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 169

11 — Länklagret. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17111.1 Kontrollsumma, CRC-beräkning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17211.2 Felrättning, Hammingkodning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17611.3 V.24, hårdvaruhandskakning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17811.4 SDLC/HDLC, mjukvaruhandskakning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18011.5 Kretskopplat nät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18511.6 Paketförmedlande nät . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18611.7 Cellförmedlande nät, ATM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188

12 — Ledningar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18912.1 Radiostrålning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19012.2 Vad händer när det ”flyter” ström? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19112.3 Signalens hastighet på ledningen . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19212.4 Ledningens karakteristiska impedans Z0 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19312.5 Framåtgående effekt och anpassning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19512.6 Reflekterad effekt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19612.7 Reflexionskoefficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19712.8 ”Masken” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19812.9 Går det ström? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202

13 — Smithdiagrammet, anpassning. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20313.1 Våglängd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20413.2 Stående vågor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20513.3 Ståendevågförhållande . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20613.4 Att mäta ståendevågförhållandet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20813.5 Smithdiagrammet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21213.6 Impedansbestämning med slitsad ledning . . . . . . . . . . . . . . . . 21613.7 Anpassning med kvartsvågstransformator . . . . . . . . . . . . . . . . 21813.8 Vad händer vid anpassning? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22113.9 Anpassning med kortsluten stubbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22213.10 Öppen stubbe eller kondensator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22413.11 Anpassning i verkligheten . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 226

14 — Antenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22714.1 Radiostrålning från en elektron (laddning) . . . . . . . . . . . . . . . . 22814.2 Hertz experiment och resonans . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23014.3 Dipolantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23414.4 Polarisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23614.5 Olika dipolantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23714.6 Mätning av strålningsdiagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239

6


14.7 Riktantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24014.8 Direktivitet D . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24214.9 Antennvinst (gain) G . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24414.10 Effektiv mottagningsarea Ae . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24514.11 Mottagarantenner . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246

15 — Radiokommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24715.1 Radiosändaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24815.2 Radiomottagaren . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24915.3 EIRP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25015.4 ERP och V/m . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25115.5 Länkbudget . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25215.6 Brus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 256

16 — Optokommunikation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25916.1 Tre typer av optofibrer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26016.2 Våglängd eller frekvens? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26216.3 Optofiberns dämpning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26316.4 Kromatisk dispersion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26416.5 Optoförbindelsens bandbredd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26616.6 Våglängdsmultiplexering, WDM

(Wavelength Division Multiplexing) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 268

17 — En lek med bilder . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26917.1 Kondensatorn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27017.2 Kondensatorn som transmissionsledning . . . . . . . . . . . . . . . . . 27117.3 Plattledningens ”uppladdning” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27217.4 Kondensatorns uppladdning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27317.5 Att parallellkoppla två kondensatorer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27417.6 Spolen som ledning . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27517.7 Koppling mellan lindningsvarven . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27617.8 E och D, H och B . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27717.9 Maxwells ekvationer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27817.10 Varifrån kommer magnetiska fältstyrkan? . . . . . . . . . . . . . . . . . 28317.11 Varifrån kommer elektriska fältstyrkan? . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28417.12 Vad är en elektriskt laddad partikel? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28517.13 Vad händer när det åskar? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28617.14 Vad är en magnet för något? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28717.15 Varför attraheras partiklar med olika laddning? . . . . . . . . . . . . . 28817.16 Varför attraheras neutrala partiklar (tyngdkraft)? . . . . . . . . . . . . 28917.17 Hur snabbt är ljushastigheten? . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29017.18 Laddning i rörelse, magnetfält och massa . . . . . . . . . . . . . . . . . 29117.19 Radiostrålning och gravitationsstrålning . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29417.20 Batteriet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295

BILAGA — Formelsamling . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 297

INDEX . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 309

Innehåll

7

© Per Wallander

FÖRORDFör många år sedan, i tv-programmet tekniskt magasin, intervjuadeErik Bergsten den gamle Chalmersprofessorn Olof Rydbeck, grunda-ren av Råö rymdobservatorium, som sade så här:— ”Jag har arbetat hela livet med elektriska fält och magnetfält. Menvad är egentligen ett elektriskt fält? Vad är ett magnetfält?”

Den starkaste drivfjädern att bli lärare i telekommunikation kan knap-past vara att man tycker att det är roligt att undervisa. Jag tror snarareatt man blir lärare i telekommunikation därför att man själv inte begri-per. Finns det någon effektivare metod att själv komma underfund medett ämne, än att stå inför åhörare och berätta?

17 lektioner i TELEKOMMUNIKATION innehåller 16 avsnitt som ingår i”telekommunikation grundkurs” vid KTH:s högskoleingenjörsutbildningi Haninge. Kapitel 17 innehåller det som jag lärt mig genom att ståframför er studenter och prata.

Om jag inleder en lektion med att ställa upp matematiska uttryck, dåfår jag genast frågan ”vad håller vi egentligen på med?” Dessa studen-ter behöver bilden.

Om jag börjar med bilderna så tycker andra studenter att jag ärvirrig och ostrukturerad.

Det är min förhoppning att kapitel 17 kan tjäna som inledning till enmatematisk behandling av elektrodynamiken. För min egen del så tyckerjag i alla fall att jag vet vad ett magnetfält är. Och ett elektriskt fält medför den delen. Det som syns när vi har framåtgående och reflekteradesignaler.

Älvsjö i augusti 2001

PS.: Vad är en signal för något?

Förord

8


1 — Sinusspänning

9

© Per Wallander


Det viktiga i detta kapitel är att förstå vad ensinusformad växelspänning πˆ cos2u ft är förnågot.

När den sinusformade spänningen får enfasvinkel π ϕ−ˆ cos(2 )u ft så innebär detta attspänningen förskjuts på tidsaxeln. Positivfasvinkel innebär att den sinusformadespänningen kommer lite tidigare, negativfasvinkel att spänningen kommer lite senare.

Sinus och cosinus är samma sak, bara °90fasskillnad (tidsförskjutning). Ofta utgår vifrån cosinus eftersom multiplikation av tvåcosinusspänningar ger cosinusspänningarsom svar. Vid sinus får man blandat d.v.s.spänningar som ligger förskjutna i förhål-lande till varandra, något som komplicerarberäkningarna.

Kapitlet avslutas med decibel, viktigt, efter-som vi räknar på effektförstärkning ocheffektdämpning, inte spänningsförstärkning.


10


1.1 Sinusformade spänningar och strömmar

ϕ⋅ cosr

rϕ

ϕ⋅ sinry

x

P

ϕ π= ⋅ ⋅2 f t π⋅ ⋅ ⋅sin(2 )r f t

π⋅ ⋅ ⋅cos(2 )r f t

π π⋅ ⋅ = ⇒ =0 0

12 2f T T

f

0T

ϕ

ϕϕ⋅ cosr

ϕ⋅ sinr

Vinkel

Vinkel

π2°360

Sinus och cosinus uppfanns för att de be-hövdes vid navigering efter stjärnorna. Vianvänder sinusoch cosinusfunktionerna föratt t.ex. beskriva läget för punkten P i etträtvinkligt koordinatsystem. Cosinus för vin-keln ger x-koordinaten, sinus för vinkeln gery-koordinaten.

SinusformenOm vi ritar upp y-koordinaten som funktionav vinkeln i ett rätvinkligt koordinatsystem,vinkeln längs x-axeln, så får vi ”sinuskurvan”.Om vi gör på samma sätt med x-koordinatenså får vi cosinuskurvan. Kurvorna är iden-tiska till formen. Enda skillnaden består i attsinuskurvan är förskjuten 90 grader längsvinkelaxeln.

Sinusformad spänningVäxelspänningsgeneratorn har en spolesom roterar i ett magnetfält, eller en mag-net, ett magnetfält, som roterar i en spole.Då induceras en växelspänning i spolen. Ommagnetfältet är utformat på lämpligt sätt såkommer spänningen att ändra sig i tiden en-ligt sinuskurvan.

Sinusfunktionens argument växer medtiden t, och efter tiden T0 har växelspän-ningen genomlöpt en period. Om vi kännerväxelspänningens periodtid T0 så kan viberäkna frekvensen, d.v.s. antalet perioderper sekund.

Enheten för frekvens var tidigare p/s(perioder per sekund, eng. c/s, cycles persecond), men ändrades 1958 i sambandmed det geofysiska året till Hz för att hedraHeinrich Hertz, den förste som konstrueradeen sändare och mottagare för radiovågor.

Sinusspänning eller cosinusspänning?Lämnar generatorn en sinusspänning elleren cosinusspänning? Det beror på vid vil-ken tidpunkt vi sätter t = 0. Om vi utgår fråntidpunkten när växelspänningen är noll, medpositiv derivata, så får vi en sinusspänning.Om vi utgår från tidpunkten när växel-spänningen är maximalt positiv så får vi encosinusspänning.

tid

tid


11

© Per Wallander

1.2 Fasvinkel är alltid en tidsförskjutning

π= ⋅sin(2 )RU U ft

tid

vinkel

ϕ+π ϕ= +(2 )ft

Bilden till höger visar ett motstånd somanslutits till en växelspänningsgenerator.Spänningen över motståndet blir identiskmed generatorspänningen.

Vad blir spänningen över motståndet om vihar en förlustfri ledning mellan generatornoch motståndet?

längd = l

signalens hastighet = v

∆t

∆ = lt

v

tid

Signalen går längs ledningen med ljus-hastigheten, som ju är väldigt snabbt, meninte oändligt snabbt. Växelspänningen kom-mer fram lite senare, tiden ∆t senare.

Utgå från det matematiska uttrycket förspänningen över motståndet. Fysikalisktkommer signalen fram lite senare.

Nu kan vi multiplicera ihop och få den ur-sprungliga sinusspänningen, men förskju-ten en negativ fasvinkel, som egentligenskall uttryckas i radianer, men som lättarekan förstås om den uttrycks i grader.

Att signalen kommer fram lite senareinnebär att växelspänningen har fått en fas-vinkel, en negativ fasvinkel.

Denna växelspänning som fördröjts och fåtten negativ fasvinkel kommer, om den ritas iett diagram där x-axeln graderats i vinkel,att gå genom noll vid motsvarande positivafasvinkel. En förskjutning av sinusspän-

ningen i positiv riktning ger alltså motsva-rande fasvinkel i det matematiska uttrycket,men med minustecken.

Positiv – tidigare, negativ – senareEn positiv fasvinkel i det matematiska ut-trycket innebär alltså att signalen kommertidigare (hur nu detta skall gå till), och ennegativ fasvinkel att signalen kommer se-nare, är fördröjd.

π= ⋅ − ∆ˆ sin[2 ( )]RU u f t t

π π π π ϕ= ⋅ − ∆ = ⋅ − ∆ = ⋅ −ˆ ˆ ˆsin[2 ( )] sin(2 2 ) sin(2 )RU u f t t u ft f t u ft

π π π⋅ ⋅= ⋅ − = ⋅ − °ˆ ˆsin(2 2 ) sin(2 360 )R

f l f lU u ft u ft

v v

π ϕ⋅ −ˆ sin[(2 ) ]u ft


12


tidπ= ⋅230 2 sin(2 50 )U t

π ϕ= ⋅ −230 2 sin[(2 50 ) ]U t

ϕ ⋅ ⋅ ⋅− = − ° = − ° ≈ − °⋅ ⋅

6

8

50 2 10360 360 133

0,9 3 10f lv

Kraftverk i Norrland, lampa i SkåneVi tänker oss att nätspänningen alstras iNorrland och att lampan ansluts i Skåne,ett avstånd på 200 mil.

Effekten färdas på kraftledningarnamed ljushastigheten på ledningen, som äraningen långsammare än ljushastigheten ivakum, vi antar 90 % av 300 000 km/s. Idetta fall motsvarar fördröjningen en fas-vinkel på ungefär –133°.

GSM 1800Men om generatorn är sändaren i ficktele-fonen med en frekvens av ungefär 1800MHz, och ledningen fram till antennen är 5cm lång och effekten går med 80 % av ljus-hastigheten i vakuum, vilken fasvinkel gerdetta?

Även i detta fall får vi en fasvinkel på–135°. Vid hög frekvens behövs inte så långaledningar innan fasvridningen blir bety-dande. Det är bland annat detta vi sysslarmed i ämnet telekommunikation.

ϕ ⋅− = − ° =

⋅ ⋅= − ° = − °⋅ ⋅

6

8

360

1800 10 0,05360 135

0,8 3 10

f lv

VisardiagramI bilden ovan finns även spänningen inritadsom en spänningsvisare i visardiagrammet.Detta är den riktning som spänningsvisarenfår när man sätter t = 0.

Spänningens momentana amplitud vidt = 0 får man genom att ta visarens projek-tion på y-axeln (sinus-axeln), eftersom ge-neratorn lämnade sinusspänning, d.v.s.generatorns momentana spänning är nollvid t = 0.


13

© Per Wallander

tidπ= 230 2 cos(2 50 )U t

Vad händer om generatorn lämnar cosinus-spänning?• De matematiska uttrycken innehåller

cosinusuttryck.

• Bilden på spänningen blir cosinus somförskjuts –133°.

• Visardiagrammen är oförändrade, men idetta fall avläses den momentana spän-ningen vid t = 0 på x-axeln (cosinus-axeln).

Var försiktig med att blanda sinus ochcosinus i dina beräkningarOm generatorn lämnar cosinusspänning ochvi vill ha spänningen över motståndet somsinusuttryck så måste fasvinkeln korrigerasför omvandlingen från cosinus till sinus.

För den som använder trigonometrint.ex. för navigering så är det praktiskt medbåde sinus och cosinus, eftersom sinus fören vinkel är y-riktningen, medan cosinus förvinkeln är x-riktningen. Men i elläran använ-der vi inte sinus och cosinus för tvådimen-sionella problem, utan bara för att beskrivahur sinusspänningen ändras i tiden, huramplituden ändras, i en dimension.

I avsnitten om modulering så användervi cosinus, helt enkelt därför att om manmultiplicerar två cosinustermer så blir ävenresultatet cosinustermer. Om vi multiplice-rar sinustermer så blir resultatet cosinus-termer och det blir genast mycket besvärli-gare.

π= − °230 2 cos[(2 50 ) 133 ]RU t

π

π

π

= − ° =

= − ° + ° =

= − °

230 2 cos[(2 50 ) 133 ]

230 2 sin[(2 50 ) 133 90 ]

230 2 sin[(2 50 ) 43 ]

RU t

t

t

α β α β α β⋅ = − + +1 1cos cos cos( ) cos( )

2 2

α β α β α β⋅ = − − +1 1sin sin cos( ) cos( )

2 2


14


1.3 Lägga ihop, dra ifrån och multiplicera

π= 230 2 sin(2 50 )U t

Kraftverk i Norrland och kraftverk iSkåne skall samkörasDe svenska kraftverken är kopplade till ettgemensamt elnät. Samtliga kraftverk matarut effekt på ett sammanhängande lednings-nät.

Vad händer om både kraftverket i Norr-land och kraftverket i Skåne lämnar sinus-spänning med fasvinkeln noll? Vi tänker ossatt kraftverket i Skåne just startat och skallkopplas in på ledningsnätet.

Från Norrland kommer sinusspänningmed fasvinkeln –133°. Från kraftverket iSkåne kommer sinusspänning med fasvinkel0°. Mellan de två ledarna som skall sam-mankopplas finns en sinusspänning medeffektivvärdet 421 volt och fasvinkeln +23,5°.Detta resultat kan vi räkna ut med hjälp avden trigonometriska formelsamlingen, ellerlösa grafiskt med visardiagram.

Vad händer om vi kopplar ihop? Detsäger PANG!

π=1 230 2 sin(2 50 )U t

1U 2U3 ?U

π= − °2 230 2 sin[(2 50 ) 133 ]U t

π π

π

π

π

− = = − − ° =

° ° = ⋅ − =

° ° = − + ° =

= + °

1 2 3 230 2 sin[(2 50 ) sin[(2 50 ) 133 ]

133 133230 2 2sin cos[(2 50 ) ]

2 2

133 133230 2 2sin sin[(2 50 ) 90 ]

2 2

230 2 1,83 sin[(2 50 ) 23,5 ]

U U U t t

t

t

t

Trigonometriska formelsamlingen ärviktigI exemplet ovan tar vi skillnaden mellan tvåsinusspänningar med samma frekvens. Dåär det lätt att lösa uppgiften med visar-diagram. Men om sinusspänningarna harolika frekvens, och vi inte bara lägger ihopeller drar ifrån utan multiplicerar spänning-arna med varandra, så är det inte lika lättatt se resultatet i bilder. Därför är dentrigonometriska formelsamlingen viktig.


15

© Per Wallander

Trigonometriska formler

α αα β α β α βα β α β α βα β α β α βα β α β α β

α βα βα β

α β

+ =+ = +− = −+ = −− = +

++ =−

− =

2 2(1) sin cos 1

(2) sin( ) sin cos cos sin


(4) cos( ) cos cos sin sin


tan tan(6) tan( )

1 tan tan

tan(7) tan( )

α βα β

β αα ββ αβ αα ββ α

α α αα α α α α

α αα α

−+

−+ =+

+− =−

=

= − = − = −− += =

2 2 2 2

2 2

tan1 tan tan

cot cot 1(8) cot( )

cot cot

cot cot 1(9) cot( )

cot cot

(10) sin2 2sin cos

(11) cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

1 cos2 1 cos2(12) sin ; (13) cos

2 2

(α β α β

α β

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

α β α β α β

α β α β α β

α

+ −+ =

− +− =

+ −+ =

+ −− = −

= − + +

= − + +

14) sin sin 2sin cos2 2

(15) sin sin 2sin cos2 2

(16) cos cos 2cos cos2 2

(17) cos cos 2sin sin2 2

1 1(18) sin cos sin( ) sin( )

2 21 1

(19) cos cos cos( ) cos( )2 2

(20) sin s

α α α α

β α β α β

α α− −

= − − +

+ −= =

1 1in cos( ) cos( )

2 2

(21) cos ; (22) sin2 2

j j j je e e e

j


16


1.4 Derivera och integrera

Sinusspänningen är den enda växelspän-ning där man kan lägga ihop spänningarmed samma frekvens men olika amplitudoch fasvinkel, olika fördröjning, och där sum-man fortfarande är sinusformad. Ingen an-nan form på växelspänningen har dessaegenskaper.

När man adderar två sinusvågor medsamma amplitud och periodtid där den enasinusvågen är fördröjd en halv period, såblir summan noll. Detta är vårt främsta prob-lem vid radiokommunikation (flervägs-utbredning), men utnyttjas även när vi med-vetet vill stoppa vissa frekvenser, t.ex. i fil-ter.

DerivatanYtterligare en egenskap hos sinusvågen äratt även derivatan är sinusformad, och dåär naturligtvis även alla högre ordningarsderivator också sinusformade.

IntegralenÄven integralen är sinusformad.

Dennaplus

dennablirdetta

Dennaplus

dennablirdetta

Dennaplus

dennablirdetta

Derivatan av denna

blirdetta

Integralen av denna

blirdetta

Summan av två sinusvågorblir en ny sinusvåg

Summan av två sinusvågorkan bli noll

sin cosd

t tdt

ω ω ω=

cos sind

t tdt

ω ω ω= −

cossin

tt dt

ωωω

= −∫sin

cost

t dtωω

ω=∫


17

© Per Wallander

( )u t

−∞

⋅ + + ⋅ =∫( ) 1( ) ( ) ( )

tdi tR i t L i t dt u t

dt C

ω⋅sinu t

En spänningskälla u(t) matar ett nät bestå-ende av motstånd, spole och kondensator.Beräkna strömmen i kretsen.

Ett problem av denna typ leder till enekvation som innehåller både derivator ochintegraler. För att beräkna strömmen i(t) såderiverar vi en gång och får en inhomogenlinjär differentialekvation av andra ordningenmed konstanta koefficienter.

Om u(t) är sinusformadMen om u(t) är sinusformad så måste ävenströmmen vara sinusformad.

Då kan vi gissa, d.v.s. ansätta en sinus-formad ström med okänd amplitud och fas-vinkel men med samma frekvens som u(t).

Nu kan vi beräkna derivatan av dennaokända ström ...

... och vi kan beräkna integralen.

Genom att stoppa in dessa uträknade vär-den på strömmens derivata och integral såfår vi en vanlig trigonometrisk ekvation medenbart sinustermer.

Detta fungerar eftersom även derivatanoch integralen har samma sinusform somden ursprungliga strömmen. Det är baraamplituden och fasvinkeln som är annor-lunda.

Du vet väl att: 2 fω π=

ω−∞

⋅ + + ⋅ = ⋅∫( ) 1 ˆ( ) ( ) sintdi t

R i t L i t dt u tdt C

ω ϕ= ⋅ +ˆ( ) sin( )i t i t

π

ω ω ϕ

ω ω ϕ

= + =

= + + 2

( ) ˆ cos( )

ˆ sin( )

di ti t

dt

i t

π

ω ϕω

ω ϕω

− ⋅ +⋅ =

⋅ + +=

∫0

2

ˆ cos( )( )

ˆ sin( )

t i ti t dt

i t


18


På samma sätt blir spänningen över spolen:

och spänningen över kondensatorn:

Nu skall vi utnyttja ett matematiskt knep:

Med hjälp av detta kan vi skriva generator-spänningen som:

och vi kan ansätta strömmen:

1.5 jωωωωω-metoden

ω ω ω= +cos sinj te t j t

R ωj L

ω1

j CU

ωω

=+ + 1

UI

R j Lj C

ω ω

ωω

⋅ = ⋅ =

= ⋅ ⋅

( ) ( )j t j t

j t

d I e d eL L I

dt dtj L I e

ω ω

ω

ω

⋅ = ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

∫ ∫0 0

1 1

1

t tj t j t

j t

I e dt I e dtC C

I ej C

ω ω ω ωωω

⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =1j t j t j t j tR I e j L I e I e Uej C

ωω

⋅ + ⋅ + ⋅ =1R I j L I I U

j C

ω−∞

⋅ + + ⋅ = ⋅∫( ) 1 ˆ( ) ( ) sintdi t

R i t L i t dt u tdt C

Genom att i den ursprungliga ekvationeninföra de komplexa uttrycken för spän-ning och ström, ...

... komplettera induktansen med det somblir resultatet när strömmen deriveras,och komplettera kondensatorn med detsom blir resultatet när strömmen integre-ras, ...

... förkorta bort e-funktionen, ...

... så kan vi räkna som om det vore lik-ström.

När vi beräknat den komplexa strömmenså multiplicerar vi med e-funktionen, ...

... varefter vi tar imaginärdelen av ut-trycket om u(t) var en sinusgenerator, ...

... eller tar realdelen av uttrycket, om u(t)var en cosinusgenerator.

Vi har fått en symbolisk lösningsmetodför differentialekvationen.

[ ]ω

ω ω ω⋅ = ⋅ + ⋅ ⋅ =

=

ˆ ˆ ˆsin Im cos sin

Im j t

u t u t j u t

Ue

ωω ϕ = + = ⋅ ˆ( ) sin( ) Im j ti t i t I e

ω ω ϕω

ω

= ⋅ = + + +

ˆ( ) Im sin( )1

j tUi t e i t

R j Lj C


19

© Per Wallander

1.6 Vad innebär ”stationär” växelström?

Den symboliska lösningsmetoden för diffe-rentialekvationen som vi utnyttjar i jω-meto-den fungerar bara vid stationär växelström.Vad innebär stationär?

Det stationära falletInnebörden av det stationära fallet är attväxelspänningsgeneratorn aldrig får ändras.Visst ändras spänningen sinusformat, mensinusspänningens toppvärde, frekvens ochfasvinkel får aldrig ändras. Det är detta somär det stationära fallet.

Men vi måste ju starta generatorn?Om växelspänningsgeneratorn aldrig fårändra sin amplitud så måste den ha varitpåslagen ända sedan tidernas begynnelse.I verkligheten räcker det att vänta en kortstund, tills insvängningsförloppet avklingat,innan vi har förhållanden som kan liknas viddet stationära fallet.

SuperpositionSå länge som den elektriska kretsen bestårav linjära komponenter som motstånd, spo-lar, kondensatorer, transistorer m.m. somarbetar i det linjära området, så gäller super-position. Detta innebär att vi kan ha flerageneratorer med var sin stationära växel-spänning. Vi kan även ha likspänning ochlikström t.ex. för de transistorer som finns ikretsen.

För att beräkna totala strömmen såkortsluter vi alla generatorer och tar bort allaströmkällor utom en och beräknar ström-bidraget från den källan. Sedan fortsätter vimed nästa. Börja med likströmmen. Fortsättmed växelspänningarna. Använd jω-meto-den på varje växelspänning för sig, och to-tala strömmen blir summan av alla del-strömmar.

Laplace-transformenI nästa avsnitt skall vi se att vilken kompli-cerad kurvform som helst kan åstadkommasgenom att summera ett antal, kanske oänd-ligt antal stationära växelspänningar, ettspektrum. Men vi behöver inte använda jω-metoden på varje växelspänning för sig, utan

det har utvecklats symboliska metoder attutföra beräkningarna på alla spektralkompo-nenter samtidigt. En sådan symbolisk me-tod är Laplace-transformen.

Genom att beskriva kompliceradekurvformer som ett spektrum av stationärasinusspänningar, t.ex. spänningsändringennär generatorn startas, så klarar vi att be-räkna strömmen i kretsen även under självainsvängningsförloppet, utan att behöva geoss på själva differentialekvationen. Vi löserdifferentialekvationen med en symboliskmetod.


20


1.7 Om man ändå vill lösa differentialekvationen

Att lösa differentialekvationenBestäm strömmen i(t), när vi lägger spän-ningen u(t) över kretsen.

Eftersom vi inte vill ha både derivator ochintegraler i samma ekvation deriverar vi ochstuvar om:

Detta blir en inhomogen linjär differential-ekvation av andra ordningen med konstantakoefficienter. Den klassiska lösningsme-toden är att söka dels efter en partikulär-lösning ip(t) (en godtycklig speciell lösning)till den inhomogena differentialekvationen,...

... dels efter en allmän lösning ih(t) (innehål-lande ett antal integrationskonstanter, varsvärden bestäms av begynnelsevillkoren) tillden homogena differentialekvationen.

Den fullständiga lösningen är summan avde båda lösningarna.

Homogena differentialekvationen

Inhomogena differentialekvationen

1( )

tdiR i L i dt u t

dt C −∞

⋅ + + =∫

( )u t

2

2

1 ( )di d i du tR L i

dt dt C dt+ + =

2

2

1 1 ( )d i R di du ti

dt L dt LC L dt+ ⋅ + =

2

2

10

d i R dii

dt L dt LC+ ⋅ + =

( ) ( ) ( )p hi t i t i t= +


21

© Per Wallander

Vad innebär partikulärlösning ochallmän lösning i verkligheten?

PartikulärlösningenOm vi förändrar spänningen över kretsen,en likspänning eller en växelspänning, hän-der två saker:• Vi kommer att gå från ett stationärt till-

stånd vid den ena spänningsnivån till ettannat stationärt tillstånd vid den andraspänningsnivån. Strömmens värde vidde stationära tillstånden kan beräknas såsom du lärt dig vid stationär likspänning,eller med jω-metoden vid stationär växel-spänning.

Den ström is(t) som vi får vid beräkning avstationära tillståndet är en partikulär-lösning till den inhomogena differential-ekvationen.

Allmänna lösningen• Övergången från det ena stationära till-

ståndet till det nya stationära tillståndetger under kort tid upphov till ett över-gångsförlopp (transient förlopp, in- ellerutsvängningsförlopp). Tiden kan vara såkort att övergångsförloppet försummas.Det är vad du hittills har gjort. Eller ocksåär övergångsförloppet mycket viktigt, t.ex.i reglertekniken.

En allmän lösning till den homogena diffe-rentialekvationen utgöres av övergångs-förloppet. De i lösningen ingående integra-tionskonstanterna bestäms av att strömmengenom en induktans och spänningen överen kondensator ej kan ändra sig språngvis.Såväl det induktiva spänningsfallet Ldi/dtsom kondensatorströmmen Cdu/dt måsteha ändligt värde.

Vi väljer alltså den partikulärlösning ip(t) somär lika med stationära tillståndet is(t). Dåkommer den allmänna lösningen ih(t), närvi tar hänsyn till begynnelsevillkoren, att bliidentisk med övergångsförloppet iö(t).

Beräkna strömmen när spänningenstiger vid t = 0

Randvillkor:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )p h s öi t i t i t i t i t= + = +

20 s

Et i

R>> ⇒ =

2E

0t =

2E

1E

Strömmen vid t >> 0

/

0

Rt Lö

diL Ri

dti A e−

+ =

= ⋅

Partikulärlösning

Allmän lösning

/2( ) Rt Ls ö

Ei t i i A e

R−= + = + ⋅

Detta ger:

( )( )/2 1 2

1( ) Rt Li t E E E e

R−= + − ⋅

1

2

( ) 0

( ) 0

Ei t t

RE

i t tR

= = = >>


22


1.8 Decibel

Elektroingenjören räknar med dB av två or-saker:• Hur mycket svagare blir signalen när den

passerat kabeln? Är det spänningen somblivit svagare eller menar vi effekten?Genom att uttrycka kabeldämpningen idB så behöver vi inte bekymra oss. Dettahanteras automatiskt vid omvandlingentill dB.

• När en signal passerar genom förstär-kare och över ledningar så förstärks ochdämpas signalen. Vi måste multipliceramed förstärkningen och dividera meddämpningen. Om förstärkningar ochdämpningar räknas om till motsvarandevärden i dB så övergår multiplikation ochdivision till addition och subtraktion, nå-got som lättare kan åskådliggöras gra-fiskt i ett länkbudgetdiagram.

Vilken slags dämpning avses?Vi matar in 8 volt på kabeln och får ut 4 volt.Spänningen dämpas 0,5 ggr.

Vad händer med effekten? In i kabelnmatas 8 volt och kabeln har karakteristiskaimpedansen 50 Ω. Vi matar in 1,28 W.

Hur mycket får vi ut? 4 volt över 50 Ω är0,32 W. Effekten har dämpats 0,25 ggr. Vimåste alltså hålla reda på om vi menarspänningsdämpning eller effektdämpning(eller strömdämpning)!

Vad blir dämpningen i dB?När dämpningen d omräknas till dB så blirsiffervärdet i dB detsamma i båda fallen.Kabeldämpningen är helt enkelt 6 dB, eller–6 dB.

En förstärkare förstärker +6 dB om denförstärker, och förstärker –6 dB om den däm-par. I analogi med detta förstärker en kabel–6 dB, men eftersom kabeln aldrig förstär-ker, så säger man aldrig att kabelförstärk-ningen är –6 dB, utan att kabeldämpningenär 6 dB, eller –6 dB, vilket skall uppfattassom samma sak.

50 Ω 4 effV8 effV

ut inP P d= ⋅

dämpning = d

ut

in

Pd

P=

[ ]2

2

2

2

10 log 10 log

10 log

10 log 10 log

20 log 10 log

ut

in

ut in

ut in

ut in

in ut

ut in

in ut

Pd dB d

P

U RR U

U RU R

U RU R

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅

[ ] 0,3210 log 10 log 6

1,28ut

in

Pd dB dB

P= ⋅ = ⋅ = −

[ ] 20 log 10 log

4 5020 log 10 log 6

8 50

ut in

in ut

U Rd dB

U R

dB

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ = −


23

© Per Wallander

4 effV8 effV 5 kΩ 5 Ω

[ ] 20 log 10 log

4 500020 log 10 log

8 56 30 24

ut in

in ut

U Rg dB

U R

dB dB dB

= ⋅ + ⋅ =

= ⋅ + ⋅ =

= − + = +

Bilden visar en förstärkare. In matas 8 voltoch ut kommer 4 volt. Har vi någon förstärk-ning eller fungerar ”förstärkaren” som dämp-sats?

Inspänningen ser en resistans på 5 kΩ,vilket betyder att den inmatade effekten ärlåg. På utgången levererar förstärkaren 4volt till resistansen 5 Ω, vilket ger hög effekt.Denna förstärkare har en förstärkning på+24 dB.

Det förekommer i datablad över förstär-kare att dB-värdet för spänningsförhållandetredovisas. Den här förstärkaren har en spän-ningsförstärkning som är –6 dB. Men för attfå förstärkarens verkliga förstärkning såmåste man alltså även ta hänsyn tillresistansförhållandet.

Om vi tar en längre kabel?I det tidigare exemplet beräknade vi kabel-dämpningen till –6 dB. Vad händer meddämpningen om vi gör kabeln tre gånger sålång?

Den inmatade spänningen sjunker försttill hälften och sedan till hälften av hälften,och sedan till ytterligare hälften av dettad.v.s. dämpningarna skall multipliceras.

Om kabeldämpningen för 1 m kabel är–6 dB, så blir dämpningen om kabeln är 3m lika med –18 dB. Det är bara att multipli-cera kabeldämpningen i dB/m med kabel-längden så får man totala kabeldämpningeni dB.

Vad blir uteffekten?Nu skall vi göra tvärt om. Vi känner den in-matade effekten och kabeldämpningen. Vadblir uteffekten?

[ ] [ ]1 1

2 2

10 logP P

dB ggrP P

= ⋅

[ ][ ]1

21 10

2

10

PdB

PPggr

P=

Det är detta som gäller:

50 Ω2 effV4 effV8 effV 1 effV

ut inP P d d d= ⋅ ⋅ ⋅

[ ]

[ ]3

3

10 log 10 log( )

10 log( ) 3 10 log

3 ( 6 ) 18

ut

in

Pd dB d d d

P

d d

dB dB

= ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ − = −

[ ]

[ ]

[ ]

[ ]

log10

10

10 log

log10

10 10

10

ut

in

ut

in

ut

in

Pd dBP ut

in

d dB

ut in

Pd dB

P

d dB PP

PP

P P

= ⋅

=

= =

= ⋅


24


Nu skall vi se på ett annat sätt att användadB. Vi utgår från uttrycket för kabeldämp-ningen:

Detta uttryck kan stuvas om med logaritm-räkning så att vi får:

Men så kan man väl inte göra? Decibel skallju vara ett effektförhållande?

Vi har ett effektförhållande. Förhållan-det till referenseffekten 1 W.

dBWFör att markera att referenseffekten är 1 Wså anger vi enheten till dBW.

dBmEtt äldre sätt är att använda 1 mW somreferenseffekt. Detta visar vi genom att angeenheten till dBm.

Inom radioindustrin är det i dag vanligt attsändarens uteffekt anges i dBW. Däremothåller man oftast fast vid den äldre benäm-ningen dBm när man skall ange mottagar-känslighet, d.v.s. den minsta effekt som skallmatas in på mottagarens antenningång föratt få fullgod mottagning.

Eftersom 1 W är 1000 ggr starkare än 1 mWså är enda skillnaden mellan dBm och dBWatt man skall lägga till eller dra ifrån 30 dBnär man går från det ena till det andra.

[ ] [ ][ ]

1

2

10 logP W

d dBP W

= ⋅

[ ] [ ][ ][ ] [ ]

1

2

1 2

10 log

10 log 10 log

P Wd dB

P W

P W P W

= ⋅ =

= ⋅ − ⋅

[ ] [ ] [ ]2 110 log 10 logP W P W d dB⋅ = ⋅ −

6 dB = 3 dB + 3 dB 2 2 4 ggr⇒ ⋅ =7 dB = 10 dB – 3 dB4 dB = 10 dB – 6 dB9 dB = 6 dB + 3 dB8 dB = 4 dB + 4 dB 2,5 2,5 6,3 ggr⇒ ⋅ =5 dB = 8 dB – 3 dB 6,3 / 2 3,2 ggr⇒ =2 dB = 5 dB – 3 dB 3,2 / 2 1,6 ggr⇒ =1 dB = 4 dB – 3 dB 2,5 / 2 1,25 ggr⇒ =

0 dB 1ggr⇒3 dB 2 ggr⇒10 dB 10 ggr⇒

Utgå från värdet för 3 dB och 10 dB:

Då kan resten beräknas medhuvudräkning.

[ ] [ ] [ ]2 110 log 10 log1 1

P mW P mWd dB

mW mW⋅ = ⋅ −

[ ] [ ] [ ]2 1P dBm P dBm d dB= −

[ ] [ ] [ ]2 110 log 10 log1 1

P W P Wd dB

W W⋅ = ⋅ −

[ ] [ ] [ ]2 1P dBW P dBW d dB= −

[ ] [ ] 30P dBW P dBm dB= −

[ ] [ ] 30P dBm P dBW dB= +

Exempel: GSM ficktelefonensmottagarkänslighet är –104 dBm,vilket är detsamma som –134 dBW.

Lite huvudräkning

2 — Fourierserier och spektrum

25

© Per Wallander


Kapitlet börjar med att beskriva hur man görFourierserieutvecklingen:• hur vi beräknar likspänningsdelen,

• hur vi beräknar cosinustermerna,

• hur vi beräknar sinustermerna,för att därefter slå ihop cosinus och sinusoch få en enda frekvenskomponent medamplitud och fasvinkel på respektive frek-vens — signalens spektrum.

Därefter jämför vi signalen som tidsfunktionmed signalen som spektrum, frekvens-funktion.

Vi räknar på fyrkantspänningen därför attden är enkel att räkna på. Vi räknar även påkorta spänningspulser som är intressantareeftersom spektrat liknar det vi får vid digitalmodulering med ”ettor” och ”nollor”.


26


2.1 Fourier-serier

Den franske matematikern Jean BaptisteJoseph Fourier (1768 – 1830) visade att vil-ken periodisk signal u(t) som helst kan sessom summan av likspänning och ett antalcosinus- och sinussignaler, alla med olikamen konstanta amplituder an och bn, ochfrekvens fn, på följande sätt:

0 0 01

( ) ( cos2 sin2 )n nn

u t a a nf t b nf tπ π∞

== + ⋅ + ⋅∑

0

0

0

00

00

00

00

1

1( )

2( ) cos(2 )

2( ) sin(2 )

t T

t

t T

nt

t T

nt

fT

a u t dtT

a u t nf t dtT

b u t nf t dtT

π

π

+

+

+

=

= ⋅

= ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅

∫

∫

∫

Integrering skall ske över en helperiod T0 som kan väljas hur somhelst. Integreringen skall starta vidnågon tidpunkt (t) och pågå till(t+T0).

T0

T

A

0 / 2( )

0 / 2

A t Tu t

T t T

≤ ≤= ≤ ≤

3 / 4 / 2

0/ 4 0

1 1( ) 0

2 2

T T

T

A T Aa u t dt A dt

T T T

+ +

−

= ⋅ = ⋅ = − = ∫ ∫

0

1f

T=

Exempel: FyrkantvågenFyrkantvågen beskriver vi matematiskt påföljande sätt:

Grundfrekvensen blir 1/T:

Beräkna likspänningskomponenten.Integrationsgränser kan väljas hursom helst så länge som vi integreraröver en period T:

Så här gör vi Fourierserieuppdelningen:

forts!


27

© Per Wallander

Beräkna bn-värdena:

Frekvens

an

f0 2f0 3f0

0,5 A

Frekvens

bn

f0 2f0 3f0

0,5 A

Samtliga an-värden (utom lik-spänningskomponenten) blirnoll. Denna signal innehålleralltså inga cosinustermer.

Samtliga an-värden (utom lik-spänningskomponenten) blirnoll. Signalen innehåller alltsåinga cosinustermer.

Signalen innehåller endastlikspänningskomponenten ochsinustermer, bn-värden.

Nu kan vi skriva signalen som en oändlig serie.

Vi ser att om n = udda blir (1 cos ) 2nπ− =medan om n = jämn blir (1 cos ) 0nπ− =Vi får en oändlig serie som bara innehåller udda deltoner:

0 01

(1 cos ) 2( ) sin2 sin2

2 2n n udda

A A n A Au t nf t nf t

n nπ π π

π π

∞ ∞

= =

−= + = +∑ ∑

forts!

OBS: Likspänningen ligger i a0.Det finns aldrig någon b0

0 0 01

0 01

01

( ) ( cos2 sin2 )

[0 cos2 (1 cos )sin2 ]2

(1 cos )sin2

2

n nn

n

n

u t a a nf t b nf t

A Anf t n nf t

n

A A nnf t

n

π π

π π ππ

π ππ

∞

=

∞

=

∞

=

= + ⋅ + ⋅ =

= + ⋅ + − =

−= +

∑

∑

∑

/ 2

0 00 0

0

2 2( ) cos2 cos2

2 1sin 2 0 0

2 2

T T

na u t nf t dt A nf t dtT T

A Tn

nf T T

π π

ππ

+

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= − = ⋅

∫ ∫

[ ]

/ 2

0 00 0

0

2 2( ) sin2 sin2

2 1cos 2 1 1 cos

2 2

T T

nb u t nf t dt A nf t dtT T

A T An n

nf T T n

π π

π ππ π

+

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= − + = − ⋅

∫ ∫


28


Frekvens+180

-180

f0 2f0 3f0

När vi räknat ut alla an- och bn-vär-den:

Utnyttja följande:

och skriv Fourier-serien för u(t) påpolär form:

2.2 Signalens spektrum

Signalens amplitudspektrum.An kan ej bli negativ. Tecknetligger i fasvinkeln som i så fall är+180° eller –180°.

0 0

2 2

arctan

n n n

nn

n

A a

A a b

ba

ϕ

=

= +−=

Observera att vinkeln ligger inom helaintervallet 0 – 360°. Håll reda på teck-nen hos an och bn eftersom arctg baraär definierad inom ± 90°. Rita enhets-cirkel!

AmplitudspektrumGenom att rita ett amplitud/frekvensdiagramöver An-komponenterna så får vi signalenstotala amplitud vid varje frekvens. Ett sådantdiagram kallas signalens amplitudspektrum.

FasspektrumMen amplitudspektrat är inte en fullständigbeskrivning av signalen. Vi måste även vetahur respektive frekvenskomponent liggerförskjuten i tiden, d.v.s. vi behöver varjefrekvenskomponents fasvinkel, signalensfasspektrum.

Signalens spektrumSignalens spektrum är alltså amplitud-spektrat och fasspektrat. Men ofta är manbara intresserad av amplitudspektrat för attt.ex. få reda på vilken bandbredd en signalhar. Därför menar man många gånger baraamplitudspektrat när man säger ”signalensspektrum”.

Signalens fasspektrum

nϕ

0 0 01

0

( ) ( cos2 sin2 )

2sin2

2

n nn

n udda

u t a a nf t b nf t

A Anf t

n

π π

ππ

∞

=

∞

=

= + + =

= +

∑

∑

0 1 0 1 2 0 2

0 0 01

( ) cos(2 ) cos(2 2 )

2cos(2 ) cos(2 90 )

2n nn n udda

u t A A f t A f t

A AA A nf t nf t

n

π ϕ π ϕ

π ϕ ππ

∞ ∞

= =

= + + + + + ⋅ ⋅ ⋅ =

= + + = + − °∑ ∑

Frekvens

An

f0 2f0 3f0

0,5 A

Positiv bn ritas här:

bn

Positiv nϕ

an

Denna nϕ ärnegativ


29

© Per Wallander

2.3 Medeleffekt under en period

0 1 0 2 0( ) sin2 sin2 2u t u u f t u f tπ π= + + ⋅Vad blir medeleffekten under en period omspänningen ses som summan av flera sinus-spänningar?

220 0 1 0 0 2 0

2 20 1 0 1 0 1 2 0 0

2 20 2 0 1 2 0 0 2 0

( ) sin2 sin2 2

sin2 sin 2 sin2 sin2 2

sin2 2 sin2 sin2 2 sin 2 2

u t u u u f t u u f t

u u f t u f t u u f t f t

u u f t u u f t f t u f t

π π

π π π π

π π π π

= + + +

+ + + ⋅ +

+ + ⋅ +

Integrering (summering)av sinus eller cosinusöver en eller flera helaperioder är alltid noll.Dessa termer stryker vi.

0 0

1 12 2

1 10 02 2

sin sin sin2 sin2 2

cos( ) cos( )

cos( 2 ) cos(2 3 )

A B f t f t

A B A B

f t f t

π π

π π

⋅ = ⋅ == − − + == − −

Utnyttja att

Då kan vi även stryka dessatermer eftersom de ger sinus-formade signaler med frekvenssom är multipel av grund-frekvensen.

2 22 20 1 0 1 2 0 0

2 21 2 0 0 2 0

( ) sin 2 sin2 sin2 2

sin2 sin2 2 sin 2 2

u t u u f t u u f t f t

u u f t f t u f t

π π π

π π π

= + + ⋅ +

+ ⋅ +

Det som återstår är effektutvecklingen ilikspänningskomponenten, samt effekt-utvecklingen i varje deltonskomponentför sig.

Varje delton, frekvens i amplitudspektrat, harsitt eget energiinnehåll. Effektutvecklingenunder en period blir summan av den effektsom varje delton kan leverera.

0

0 0 0

0 0

2

0

2 2 22 20 1 2

0 00 0 0

2 2 20 1 2

0 00 0

2 2 20 1 2

2 2

1 22

0

1( )

sin 2 sin 2 2

1 1(1 sin2 2 ) (1 sin2 4 )

2 2

2 2

2 2

T

medel

T T T

T T

P u t dtR T

u u udt f t dt f t dt

R T R T R T

u u uf t dt f t dt

R R T R T

u u uR R R

u uuR R R

π π

π π

= =⋅

= + + =⋅ ⋅ ⋅

= + + + + =⋅ ⋅

= + + =⋅ ⋅

= + +

∫

∫ ∫ ∫

∫ ∫

Vi har beräknat medeleffekten under en helperiod. Den verkliga effektutvecklingen föl-jer naturligtvis variationerna hos u(t) i kvad-rat, d.v.s. det blir varmt ”stötvis”.

0

2

0

1( )

T

medelP u t dtR T

=⋅ ∫


30


Effektspektrum (anges vanligtvis överett tänkt motstånd där R = 1 Ω).

Signalens effektspektrum visar hur stor ef-fekt som varje delton producerar i ett mot-stånd med värdet 1 Ω.

Effektspektrum beräknas på följande sätt:

1. Gör Fourierserieutvecklingen, d.v.s. be-räkna an- och bn-komponenterna.

2. Omvandla till amplitudspektrum och fas-spektrum. Fasspektrum behöver inteberäknas eftersom vi bara behöveramplitudspektrum för att ta fram effekt-spektrum.

3. Beräkna effektspektrum genom att kvad-rera likspänningsvärdet, medan frek-venskomponenterna kvadreras och divi-deras med två (omvandling från topp-värde till effektivvärde).

Vi kan rita ett effektspektrum över signalenu(t) i motståndet R. Vi kvadrerar varje del-tons effektivvärde och dividerar medresistansen. Ofta sätter man resistansen tilldet normerade värdet 1 Ω.

På detta sätt kan vi enkelt se hur stordel av effekten i den totala signalen somfinns vid olika frekvenser, och beräkna hurstor del av effekten som kommer fram omsignalen passerar ett filter som inte släpperigenom alla deltoner.

SpektrumanalysatorEn spektrumanalysator är en ”mottagare”med oscilloskopskärm där effektspektrumritas ut för inställt frekvensområde.

Spektrumanalysatorn har R = 50 Ω ocheffektaxeln är graderad i dBm.

2.4 Effektspektrum

0 0 01

0

( ) ( cos2 sin2 )

2sin2

2

n nn

n udda

u t a a nf t b nf t

A Anf t

n

π π

ππ

∞

=

∞

=

= + + =

= +

∑

∑

0 01

0

( ) cos(2 )

2cos(2 90 )

2

n nn

n udda

u t A A nf t

A Anf t

n

π ϕ

ππ

∞

=

∞

=

= + + =

= + − °

∑

∑

2 2 2 20

21

4( )

2 4 2( )n

n n udda

A A A AP f

R R nπ

∞ ∞

= =

= + = +∑ ∑

Frekvens

an

f0 2f0 3f0

0,5 A

Frekvens

bn

f0 2f0 3f0

0,5 A

Frekvens

An

f0 2f0 3f0

0,5 A

Frekvens+180

-180

f0 2f0 3f0

nϕ

Frekvens

Pn

f0 3f0

0,25 A20,203 A2

0,023 A2

0,008 A2


31

© Per Wallander

2.5 Två sätt att alstra fyrkantvågen

Fyrkantvågen kan alstras av en om-kopplare som växlar i takt medfyrkantvågens periodtid.

Man kan summera en likspänning och ettantal sinusvågor som är i gång hela tiden.

2. Signalen kan alstras i frekvensdomänen

1. Signalen kan alstras i tidsdomänen

Syns ingen skillnadOm vi tittar med ett oscilloskop på signalenså kan vi inte avgöra vilken av metodernasom använts för att skapa fyrkantvågen. Re-sultaten är identiska.

Skapa i tidsdomänen, men räkna ifrekvensdomänenDetta dubbla sätt att skapa en och sammasignal kan vi utnyttja. Det är inget som hin-drar att vi skapar signalen enligt metod 1, itidsplanet, men räknar på signalen som omden skapats enligt metod 2, i frekvensplanet.

Antag att vi har en förstärkare som klip-per signalen vid viss nivå och har begrän-sad bandbredd. För att avgöra om signalenkan förstärkas utan att klippas så måste vi

beskriva signalen i tidsplanet. För att avgöraom bandbredden räcker så måste vi få framsignalens amplitudspektrum.


32


På detta sätt kan man åstadkomma vilkenperiodisk vågform som helst bara genom attvariera amplitud och fasläge hos de sinus-spänningar som läggs ihop.

10 03sin2 sin2 3f t f tπ π+

Lägg ihop två sinustoner där den andrahar tre gånger så hög frekvens och entredjedel av amplituden. Man börjar kunnaurskilja fyrkantvågen.

1 10 0 03 5sin2 sin2 3 sin2 5f t f t f tπ π π+ +

Med tre sinustoner där den tredje har femgånger så hög frekvens blir resultatetgenast bättre.

10 03sin2 sin(2 3 36 )f t f tπ π+ + °

Sinustonerna måste ha inte bara rättamplitud och frekvens, utan även rättfasläge, komma i rätt tidsögonblick. Ibilden kommer den tredje övertonen förtidigt, den som har tre gånger så högfrekvens. Trots att fasförskjutningen ärminimal så blir vågformen hos summa-spänningen kraftigt förändrad.

1 10 0 03 5sin2 sin(2 3 36 ) sin2 5f t f t f tπ π π+ + ° +

Samma sak ser vi med tre sinus-spänningar.


33

© Per Wallander

2.6 Hur fungerar Fourierserieutvecklingen?

... om inte fyrkantspänningen varierar iexakt samma takt som u(t). Då får vi ettöverskott på någon sida av x-axeln.

Om vi väljer integrationsintervallet T∞mycket långt, så kommer integralen att blinoll för alla periodtider hos fyrkantvågenutom de periodtider där fyrkantvågenvarierar i takt med u(t), har samma frek-vens.

Multiplicera u(t) med en fyrkant-spänning ...

... lägg ihop ytorna ovanför x-axeln och dra ifrån ytorna underx-axeln samt dividera med tiden.Summan blir noll ...

Vi har en periodisk växelspänning u(t), sefiguren.

Likspänningskomponenten 0A är enkelt, detär bara signalens medelvärde.

Men vilka frekvenser innehåller u(t)?Tänk dig att du multiplicerar u(t) med enfyrkantvåg som växlar mellan amplituderna+1 och –1. Då kommer u(t) att ”byta sida” påde ställen där fyrkantvågen har amplituden–1. Nu multiplicerar vi och integrerar, d.v.s.lägger ihop ytorna över x-axeln och drar ifrånytorna under x-axeln. Dividera därefter medtiden, integrationsintervallet.

+ + +

+ + ++

[ ]0

1( ) fyrkant ?

T

u t dtT

∞ →∞

∞

⋅ =∫

T∞

T∞

0A


34


Inte fyrkantvåg, men sinussignalDet jag beskrev på föregående sida, attmultiplicera med fyrkantvåg, fungerar inte iverkligheten. Men om vi byter fyrkantvågenmot en sinusformad signal så fungerar det.Orsaken till att det inte fungerar att multipli-cera med fyrkantvåg är att fyrkantvågen självär summan av flera sinusvågor.

Nu antar vi att u(t) består av likspänning ocholika sinusformade signaler. Vi multiplicerarmed en sinusvåg med den frekvens vi villundersöka. Vad händer när man multiplice-rar ihop? Titta i trigonometriska formel-samlingen.

Alla termer blir nya sinussignaler som blirnoll när man integrerar, UTOM när sinus-signalen multipliceras med sig själv, formel(12) och (13). Där får vi en konstant som blirkvar efter integreringen.

Eftersom konstanten är 0,5 så måste inte-gralen multipliceras med 2 för att vi skall fåden sökta sinussignalens amplitud Ux.

Rätt frekvens, men fasvinkel?Om den sökta signalen har en av oss okändfasvinkel så börjar vi med att undersöka hurmycket av signalen som är cosinussignaloch hur mycket som är sinussignal. Däref-ter kan fasvinkeln beräknas. OBS att manfår in ett minustecken framför sinusamplitu-den. Därför har vi minustecknet vid beräk-ning av fasvinkeln vid övergång till polärFourierserie.

2.7 Ett matematiskt ”filter”

0

0 0

( )

sin(2 ) sin(2 )x x

u t U

U f t U f tπ π=

⇒ ⋅ =

1 1

1 1

1 11 1

( ) sin(2 )

sin(2 ) sin(2 )

cos2 ( ) cos2 ( )2 2

x

x x

u t U f t

U f t f t

U Uf f t f f t

ππ π

π π

=⇒ ⋅ =

= − − +

( ) cos(2 )

cos cos(2 ) sin sin(2 )x x x

x x x x x x

u t U f t

U f t U f t

π ϕϕ π ϕ π

= + == ⋅ − ⋅

π ππ

π

⇒ ⋅ == =

= −

2

sin(2 ) sin(2 )

sin (2 )

cos2 (2 )2 2

x x x

x x

x xx

U f t f t

U f t

U Uf t

π ϕϕ πϕ π

= + == ⋅ −− ⋅

( ) cos(2 )

cos cos(2 )

sin sin(2 )

x x x

x x x

x x x

u t U f t

U f t

U f t


35

© Per Wallander

Det finns bara en uppsättning sinusformadesignaler som kan bilda u(t). Signalen u(t) harbara ett spektrum.

FrekvenserOm u(t) är periodisk med periodtiden T0,d.v.s. varje period är verkligen lik de övriga,då måste den uppsättning sinusformade sig-naler som bildar u(t), dessa sinusformadesignaler måste ha sina nollgenomgångar påexakt samma ställe inom varje period. Dettaär bara möjligt om dessa sinusformade sig-naler har frekvenser som är multiplar avgrundfrekvensen.

Vi behöver alltså bara beräkna Fourier-integralerna för frekvenser som är ”grund-ton och övertoner” till periodtiden för u(t).

IntegrationstidNär u(t) är periodisk, d.v.s. upprepar sig medperiodtiden T0, så räcker det att integreraöver en period. Ytterligare perioder innebär”mer yta”, men integralen skall divideras medlängre integrationstid. Resultatet blir det-samma.

Deltoner eller övertoner?Frekvenskomponenten som vi får om t.ex.n = 3, är detta tredje tonen, tredje deltonen,andra övertonen eller tredje övertonen?

HarmonicsDen engelska benämningen är ”harmonic”.När n = 2 har vi ”2:nd harmonic”. Att kalladetta andra deltonen är logiskt. Detta språk-bruk försöker man använda i undervisningenför att slippa missförstånd.

Men när du kommer ut bland radio-ingenjörer, då kallar alla den delton du fårnär n = 2 för andra övertonen.

Gammalt svenskt språkbruk är att allting ärövertoner utom grundtonen som kallasgrundton. När n = 1 har vi grundtonen, n = 2är andra övertonen, n = 3 är tredje överto-nen o.s.v.

Om du störs av att övertonerna tycksha fel nummer, kalla dem då för deltoner.

2.8 När u(t) är periodisk

T0

00

00

00

00

1

22

33

44

o.s.v.

fT

fT

fT

fT

=

=

=

=

o.s.v.

Grundtonen2:a övertonen

Gör vad du vill, bara du inte kallar tredje över-tonen för andra övertonen. Då kommer allaatt missförstå dig. Deltonsnumret eller över-tonsnumret skall vara lika med n.

Frekvens

f0 2f0 3f0

Amplitud, eller fasvinkel, eller effekt

Frekvens

f0 2f0 3f0


36


Vid beräkning av spektrat för fyrkantvågenblev samtliga cosinustermer noll. Om mankan se på funktionen i förväg att cosinus-termerna eller sinustermerna blir noll, dåslipper man lösa denna integral. Detta harlett fram till begreppen jämn respektive uddafunktion.

Jämn funktionEn funktion f(t) kallas jämn om f(t) har per-fekt symmetri runt y-axeln.

( ) ( )f t f t+ = −

Tag ett värde på x-axeln, avläs y-värdet. Gålika långt på negativa x-axeln. Du skall hasamma y-värde, med samma tecken.

Jämn funktion innehåller bara an-termer, cosinustermer och likspänningSpektrat för den jämna funktionen innehål-ler bara an-termer, d.v.s. eventuell likspän-ning och cosinustermer. Om funktionen ärjämn slipper du beräkna integralen för bn-termerna.

Udda funktionEn funktion f(t) kallas udda om f(t) har per-fekt symmetri runt både y-axeln och x-ax-eln.

( ) ( )f t f t+ = − −

Tag ett värde på x-axeln, avläs y-värdet. Gålika långt på negativa x-axeln. Du skall ha y-värdet, med motsatt tecken.

Udda funktion innehåller bara bn-termer, sinustermerSpektrat för den jämna funktionen innehål-ler bara bn-termer, endast sinustermer. Omfunktionen är jämn slipper du beräkna an-integralerna.

”Jämn funktion”, ”udda funktion”, eller”varken eller”Det finns inte bara udda eller jämna funktio-ner. Den största gruppen är varken jämn el-ler udda, den innehåller såväl an- som bn-

T0

T0

Jämn funktion (bara cosinus)

Udda funktion (bara sinus)

T0

Jämn funktion (bara cosinusoch likspänning)

2.9 Jämn eller udda funktion?

( ) ( )f t f t+ = −

( ) ( )f t f t+ = −

( ) ( )f t f t+ = − −

termer, och då måste man lösa alla treintegralerna.


37

© Per Wallander

1 10 0 03 5

1 10 0 03 5

( ) sin2 sin2 3 sin2 5

cos(2 90 ) cos(2 3 90 ) cos(2 5 90 )

u t f t f t f t

f t f t f t

π π ππ π π

= + + == − ° + − ° + − °

1 10 0 03 5( ) cos(2 ) cos(2 3 ) cos(2 5 )u t f t f t f tπ π π= − +

0

1 10 03 5

( ) cos(2 90 )

cos(2 3 90 ) cos(2 5 90 )

u t f t

f t f t

ππ π

= + ° ++ + ° + + °

2.10 Fourierserieutveckling i praktiken

Amplitudspektrat påverkas inte om viförskjuter signalen i ”sidled”Bilden nedan visar hur fyrkantvågens sinus-toner matematiskt beskrivs på olika sättberoende på var vi placerar t = 0.

Inget annat än fasvinklarna förändrasnär vi flyttar tidpunkten som vi kallar t = 0.Det är alltså bara fasspektrat som påverkas,inte amplitudspektrat.

Bara likspänningen påverkas om viförskjuter signalen i ”höjdled”På motsvarande sätt förändras intecosinustonernas amplitud eller fasvinkel omsignalen förskjuts i ”höjdled” genom attöverlagras på en likspänning. Det enda som

1 10 0 03 5( ) cos(2 30 ) cos(2 3 90 ) cos(2 5 150 )u t f t f t f tπ π π= − ° + + ° + − °

förändras är likspänningskomponenten A0 ispektrat.


38


T0

T

A

Den pulsformade signalens spektrum fårföljande utseende:

Amplitudspektrat kommer att följa funktio-nen sin(πx)/πx som förekommer så ofta viddigital kommunikation att den fått ett egetnamn.

τ

2.11 Korta pulser

/ 2 / 2( )

0 / 2 / 2

A tu t

t T

τ ττ τ

− ≤ ≤= < < −

0

1f

T=

/ 2 / 2

0

/ 2 / 2

1 1( )

2 2

T

T

A Aa u t dt A dt

T T T T

τ

τ

τ τ τ

− −

− = ⋅ = ⋅ = − = ∫ ∫

τ

En signal som består av korta pulser är spe-ciellt viktig vid telekommunikation eftersomdigitala signaler ofta kan ses som summanav sådana signaler. Pulserna kan beskrivasså som i bilden.

Vi lägger t = 0 så att signalen blir jämn. Dåslipper vi lösa integralen för bn-termerna.

( )0

1

sin /( ) 2 cos2

/n

n Tu t A A nf t

T T n T

πττ τ ππτ

∞

=

= + ⋅ ⋅∑

( )sin /sinc( / )

/

n Tn T

n T

πττ

πτ=

sinsinc( )

xx

xπ

π=

/ 2 / 2

0 0/ 2 / 2

0

2 2( ) cos2 cos2

sin2 1 1 2

sin 2 sin 2 sin 22 2 2

T

nT

a u t nf t dt A nf t dtT T

nA A Tn n n A

nf T T T n T T nT

τ

τ

π π

τπτ τ τ τπ π π τπ π π

− −

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

− = − = = ⋅ ⋅

∫ ∫


39

© Per Wallander

Frekvensf0 2f0

An

Frekvensf0

An

tid

T

tid

Tτ

τHär ser du amplitudspektrat om periodtidenär fyra gånger pulsbredden. Då blir fjärdedeltonen noll.

Om periodtiden är åtta gånger pulsbreddenkommer åttonde deltonen att bli noll.

I detta fall har jag behållit pulsbredden ochpulshöjden. Pulserna kommer mer sällan.Detta ger hälften så hög höjd på spektral-komponenterna. Hälften så hög höjd ger enfjärdedel av effekten. Men spektralkom-ponenterna kommer dubbelt så tätt. Tvågånger en fjärdedel ger halva effekten. Dettastämmer. Om pulserna kommer hälften såtätt skall man få halva effektutvecklingen.

Vid datakommunikation kommer pulsernaolika tätt beroende på datainnehållet. Dettager varierande periodtid. Men så länge puls-bredden är densamma får spektrat noll videxakt samma frekvens hela tiden oavsettdatainnehåll. Vid digital rundradio, t.ex. DABoch DTV, så lägger man en annan signalvid denna frekvens och slipper att signalernastör varandra.

Den pulsformade signalen ocheffektutvecklingDen pulsformade signalen u(t) som vi räk-nat på består av korta likspänningspulsermed amplituden A. Mellan pulserna äramplituden noll, d.v.s. där finns ingen sig-nal.

Om u(t) matas in i ett motstånd så kommervärme att produceras under själva spän-ningspulsen. Däremellan sker ingen värme-utveckling.

När vi beräknar effektutvecklingen ge-nom att se på signalens spektrum U(f), dåsummerar vi effektutvecklingen som åstad-kommes av likspänningskomponenten ochsamtliga deltoner. Dessa signaler finns helatiden och producerar värme även mellanpulserna där amplituden för u(t) är noll. Kandetta verkligen stämma?

Ja, det stämmer. Den medeleffekt vi fårunder en period genom att räkna på självapulsen, u(t), blir samma effekt som vi får ge-nom att summera alla bidrag i signalensspektrum U(f). Spektrat innehåller nämligen

ingen information om när saker och tinghänder. Det finns inget i spektrat som talarom när pulsen har amplituden A respektivenär pulsen har amplituden noll. För att fåfram denna information, tidsinformationen,så måste vi summera samtliga spektral-komponenter i U(f), för att få tidsfunktionenu(t).

Det är detta som gör det så svårtVår hjärna tänker sekventiellt, först händerdetta, sedan det där. Vi har lättast att hängamed när signalen beskrivs som funktion avtiden u(t).

Vi kan beräkna spektrat. Vi kan ritaspektrat. Vi kan med viss approximation seeller mäta spektrat med en spektrum-analysator. Men förstår vi? Och framför allt,förstår vi att vi måste lämna tidstänkesättethelt när vi ger oss in i frekvensplanet?

0

4

1

T

fT

τ=

=

8T τ=

1τ

1τ

0

1f

T=

0

1f

T=


40


Frekvens

An

tid

Ytan = 1

tid

Tτ8T τ=

Frekvensf0

An

Pulsrepetitionstiden T bestämmer f0 och därigenom hur tätt frekvens-komponenterna hamnar.Pulsbredden τ bestämmer var nollställena hamnar.

Frekvensf0 2f0

An

tid

T

τ

Öka T så hamnar frekvenskomponenterna tätare.

Minska pulsbredden τ så förskjuts nollställena högre i frekvens.

En kort puls får ett oändligt frekvensspektrum. Mata in en kort puls på en förstär-kare, beräkna utsignalens tidsfunktion, omvandla utsignalen till amplitudoch fas-spektrum, så har vi förstärkarens frekvenskarakteristik. Vi har mätt förstärkaren ”påalla frekvenser samtidigt”.

Frekvensf0

An

tid

T

τ

Frekvensf0

An

tid

Tτ

Låt T gå mot oändligheten och minska pulsbredden τ mot noll samtidigt som pul-sens yta får förbli densamma, så hamnar spektralkomponenterna oändligt tätt ochförsta nollstället oändligt högt i frekvens.

( )tδ

4T τ=

1τ

1τ

0

1f

T=

0

1f

T=

0

1f

T=

0

1f

T=


41

© Per Wallander

som gäller även för ickeperiodiska signaler:

NärT0 går mot oändligheten så får man prob-lem vid beräkning av cn-värdena, de går motnoll. Därför multiplicerar man cn med T0 var-efter T0 får gå mot oändligheten. Detta gerett ändligt värde ...

... om u(t) är en funktion som är begränsadi tiden. Det finns därför signaler för vilka maninte kan skapa Fouriertransformen.

LaplacetransformenOm signalen inte är begränsad i tiden såkan vi dämpa signalen så att den avtar motnoll. En sådan dämpningsfunktion är e-funk-tionen. Vid beräkning av Laplacetransformenså dämpas signalen, vid omvandling frånLaplacetransform till tidsfunktion förstärkssignalen med motsvarande e-funktion.

Komplex FourierserieOvan har jag visat hur u(t) skrivs som kom-plex Fourierserie.

Övergången från cosinus till komplex e-funktion ger oss två e-funktioner, två oänd-liga serier, den ena med positiv e-funktion,den andra med negativ e-funktion.

Dessa båda serier sammanförs i enserie genom att införa negativ frekvens. Viser också att cn-värdet bara har halvaamplituden jämfört med trigonometriskaserieutvecklingen. Den andra halvan avamplituden finns på negativa frekvensaxeln.

Den komplexa Fourierserien ger alltsåett spektrum som sträcker sig över såvälpositiva som negativa frekvenser. Detta ärmatematik och har ingen koppling till verk-ligheten.

Om vi väljer 02j nf te π− eller 02j nf te π vid be-

räkning av cn, d.v.s. plus- eller minustecken,spelar egentligen ingen roll fysikaliskt. Plus-tecken ger annat tecken på imaginärdelenhos cn, det påverkar inte amplituden. Dess-utom påverkas såväl positiv som negativfrekvens. När man går tillbaka från komplexFourier-serie till tidsfunktion så får vi sammau(t) oavsett hur vi definierar vårt ”komplexaFourier-rum”.

FouriertransformenOm signalen u(t) inte är periodisk, d.v.s. omT0 går mot oändligheten, övergår de kom-plexa Fourier-serierna i Fouriers integralsats

cos2

j je eα α

α−+=

2.12 Komplexa Fourier-serier, Fourier-transformen

Från matematiken vet du att

Använd detta så får vi: 0 0

0 0

(2 ) (2 )0

1

2 20

1 1

( ) ( )2

2 2

n n

n n

j nf t j nf tn

n

j nf t j nf tj jn n

n n

Au t A e e

A AA e e e e

π ϕ π ϕ

π πϕ ϕ

∞+ − +

=

∞ ∞−−

= =

= + + =

= + +

∑

∑ ∑Inför: så får vi:

0 0

2

2

n

n

jnn

jnn

c A

Ac e

Ac e

ϕ

ϕ−−

= = =

0 0 02 2 20

1 1

( ) j nf t j nf t j nf tn n n

n n n

u t c c e c e c eπ π π∞ ∞ ∞

−−

= = =−∞= + + =∑ ∑ ∑

0

02

0

1( )

Tj nf t

nc u t e dtT

π−= ⋅ ⋅∫där

02 2( ) ( )j nf t j ftnu t c e U f e dfπ π

∞∞

−∞ −∞

= ⇒∑ ∫

0

20( ) lim ( ) j ft

nTU f c T u t e dtπ

∞−

→∞−∞

= ⋅ = ⋅∫

2

0

( 2 )

0 0

( ) ( )

( ) ( )

t j ft

j f t st

U s u t e e dt

u t e dt u t e dt

σ π

σ π

∞− −

∞ ∞− + −

= =

= =

∫

∫ ∫


42


A

-A

T0

T

A

0

T

A

T0

T

A

T0

A

2T

T0

T

A

Detta är den vanliga cosinussignalendär frekvensen är ett dividerat medperiodtiden.

Om signalen ligger likspännings-förskjuten börjar man med att subtra-hera likspänningen och beräknaspektrat för själva växelspänningen:

Därefter lägger man tillbaka lik-spänningen:

Detta är halvvågslikriktning där man behållerena halvperioden av sinusspänningen. Vi haregentligen ”en halv sinusspänning” plus ”enhalv helvågslikriktning” av sinusspänningen, sehelvågslikriktning nedan.

Detta är helvågslikriktning av cosinusspänningen.Observera att frekvensen plötsligt blivit en annan.Den helvågsliktiktade spänningen upprepar sigmed halva den periodtid som cosinusspänningenhade. Helvågslikriktning av 50 Hz ger f0 = 100 Hz.

d.

a.

b.

c.

0( ) cos2u t A f tπ=

0

1f

T=

0 0( ) cos2u t V A f tπ= +

0 0( ) cos2u t V A f tπ− =0V

0 0 0 0( ) cos2u t V V A f t Vπ− + = +

0sin2A f tπ

0 0 0

0 022

2 2( ) sin2 cos2 (2 ) cos2 (4 )

2 3 15

1 ( 1)sin2 cos2 ( )

2 (1 )

n

n

A A A Au t f t f t f t

AA Af t nf t

n

π π ππ π π

π ππ π

∞

=

= + − − − ⋅ ⋅ ⋅

+ − = + +−∑

0 0

021

2 4 4( ) cos2 cos2 (2 )

3 152 4 ( 1)

cos2 ( )1 (2 )

n

n

A A Au t f t f t

A Anf t

n

π ππ π π

ππ π

∞

=

= + − + ⋅ ⋅ ⋅

−= + −

∑

2.13 Några vanliga funktioner


43

© Per Wallander

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

τ

T0

T

A 4T

g.

h.

i.

j.

f.

e.

Observera att uttrycket bara gäller när ”puls-bredden” är periodtiden dividerat med fyra.

0 0

0

2 2( ) sin2 sin2 (3 )

32

sin2 ( )n udda

A Au t f t f t

Anf t

n

π ππ π

ππ

∞

=

= + + ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

0 0 0

01

2 2 2( ) cos2 cos2 (3 ) cos2 (5 )

3 5sin / 2

cos2 ( )/ 2n

A A Au t f t f t f t

nA nf t

n

π π ππ π π

π ππ

∞

=

= − + − ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

01

sin2 /( ) 2 cos2 ( )

/n

Tu t A A nf t

T T n Tτ τ πτ π

πτ

∞

=

= + ∑

0

sin / 4( ) cos2 ( )

/ 4n udda

nu t A nf t

nπ π

π

∞

=

= ∑

0 0 02 2 2

02

8 8 8( ) cos2 cos2 (3 ) cos2 (5 )

9 258

cos2 ( )( )n udda


Anf t

n

π π ππ π π

ππ

∞

=

= + + + ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

( )1 10 0 02 3

10

1

2( ) sin2 sin2 (2 ) sin2 (3 )

2( 1) sin2 ( )n

n

Au t f t f t f t

Anf t

n

π π ππ

ππ

∞−

=

= − + − ⋅ ⋅ ⋅

= − ∑


44


2.14 Vad är egentligen ett spektrum?Du har fått se att en signal som ändrar sig itiden, så som vi är vana att tänka oss signa-ler, att en sådan signal kan åstadkommasgenom att man summerar en eller flerasinusformade signaler som är stationära,inte ändrar sig.

Vi började med fyrkantvågen som alstrasmed ett batteri och en strömbrytare. Iblandfinns signalen, ibland finns den inte.

Men spektrat av denna signal finnsHELA TIDEN, även i mellanrummen då vårsignal inte finns!

Jag kan filtrera ut en av spektral-komponenterna och se att spektralkompo-nenterna finns hela tiden.

Men vad händer efteråt, när jag kopp-lat bort batteriet? Fortsätter spektralkompo-nenterna? Stationär växelspänning skall jualdrig ändras.

När signalen ej längre är periodisk blirperioden lång. Spektralkomponenternahamnar så tätt, att jag inte kan mäta på en-dast en. Hur smalt filter jag än skaffar såsläpper det igenom flera frekvenskompo-nenter som släcker ut varandra.

Men om signalen på detta sätt finnsefteråt, då måste den även ha funnits före.Spektralkomponenterna måste ha funnitsfrån början. Batteriet åstadkommer en för-ändring som vi uppfattar som fyrkantvågen.

I spektrat finns ingen tid. Där råder evighe-ten. När skapades universum? Big Bang? Itidsplanet finns en början när allt small till,men spektrat d.v.s. energin måste ha fun-nits. I tidsplanet finns en början, i spektratråder evigheten.

Fourier-serierUppdelning av en signal i Fourierkompo-nenter går att begripa. Fysikaliskt kan vitänka oss signalens spektrum.

Komplexa FourierserierNär man omvandlar den trigonometriskaFourierserien till komplex Fourierserie så fårvi både ett positivt (positiva frekvenser) ochett negativt (negativa frekvenser) spektrum.Vi lämnar verkligheten, men summan av

amplituderna vid negativ och positiv frek-vens ger oss fortfarande ”rätt” amplitud.

Införandet av de komplexa talen under-lättar vissa matematiska beräkningar.

FouriertransformenKomplex Fourierserie kan bara tillämpas påperiodiska signaler, signaler som uppreparsig (i oändligheten). I Fouriertransformenlåter man ”periodtiden” gå mot oändlighe-ten, man kan räkna på enstaka pulser.

Det spektrum som man nu får har ingenlikhet med spektrat för komplex Fourierserie.Vid Fouriertransformen multiplicerar vi avmatematiska skäl båda leden med ”period-tiden”, d.v.s. oändligheten vid beräkning avspektralkomponenterna, som nu liggeroändligt tätt.

Signalens energiinnehåll måste varaändligt, annars fungerar inte Fourierintegra-len.

LaplacetransformenVid Laplacetransformen multiplicerar vi sig-nalen med en dämpningsfunktion je σ− vidberäkning av ”spektralkomponenterna”, ochförstärker signalen med je σ när vi går till-baka från spektrum till tidsfunktion. På såvis klarar vi att även behandla signaler sominte är begränsade.

Varför?När man skall addera två signaler så kandet vara lättare att först beräkna signalernasspektrum och lägga ihop spektralkompo-nenterna och sedan gå tillbaka till tids-funktion, än att direkt addera tidsfunk-tionerna. Så här gör man i signalprocessorervid DAB (digital ljudradio) och DTV (digitalamarknätet för tv).

3 — Brus

45

© Per Wallander

3 — Brus

Ställ in tv:n på en tom kanal, en kanal därdet inte pågår någon sändning. Vad ser du?”Myrkrig”! Detta är brus. Så ser brus ut. Tro-ligtvis hör du inte bruset därför att tv:n auto-matiskt stänger av högtalaren så att du slip-per bruset.

Brus är en signal där vi inte känner signal-ens tidsfunktion, utan bara dess amplitud-spektrum.

Eftersom brus alstras av många oberoendegeneratorer så vet vi att tidsfunktionensamplitud ibland kan bli mycket hög, och attamplitudtäthetsfunktionen följer normal-fördelningskurvan, Gausskurvan.

Vid telekommunikation, vid mottagaren, såhar vi brus från källan. På ledningen kom-mer den önskade signalen men även brus,t.ex. en antennbrustemperatur antennT .

Vi har även brus som bildas i mottagarensolika förstärkarsteg. Mottagarbruset summe-ras och räknas om till en ekvivalentmottagarbrustemperatur eqT på mottaga-rens ingång.

3 — Brus

46


3.1 Termiskt brus

Vår föreställning om elektrisk ledningsför-måga är att atomerna hos elektriskt ledandematerial har löst bundna elektroner som kanhoppa från elektron till elektron och på detsättet transportera laddning.

Det flyter ström om man lägger på enspänning. Om det inte finns någon spänningså borde dessa fria elektroner stå still, ochdet gör de om ledaren kyls ner till absolutanollpunkten, –273° C (0 Kelvin).

Om ledaren är varm så tillförs termiskenergi till elektronerna som gör att de spo-radiskt hoppar till en annan atom trots att viinte lagt på någon spänning. Detta spora-diska hoppande sker i vilken riktning somhelst och oftare ju varmare det är, propor-tionellt mot den termiska energin, tempera-turen i Kelvin.

Elektroner som rör sig är elektrisk ström.Elektroner som hoppar ger upphov till ström-pulser. Man har uppskattat pulsbredden till

1210τ −= och av detta fått fram att spektratbör ha i stort sett konstant amplitud upp till10 – 100 GHz för att sedan avta upp mot1000 GHz.

När elektronen hoppar så uppstår en lokalströmpuls där elektronen befinner sig. Den-na strömpuls kan inte förorsaka något så-vida inte elektronen hoppar i ett motstånd,för då får vi spänningsfall, en spänningspuls,och denna spänningspuls kan driva ivägström på ledningen. Då avger motståndetbruseffekt.

frekvens

Effekt

1210f Hz≈1210 sτ −≈

3 — Brus

47

© Per Wallander

300 ficktelefoner som sänder med2 W kan störa lika kraftigt som enenda sändare som sänder med

d.v.s. totala effekten multipliceratmed antalet sändare i kvadrat.

På samma sätt kan bruset frånelektronerna ge upphov tilltoppspänningar som motsvararsummabrusets effektivvärdemultiplicerat med roten ur antaletelektroner som brusar!

3.2 Många generatorer

• Antag att vi har EN generator som läm-nar 100 W i ett motstånd på 1 Ω. Spän-ningen över motståndet är en sinus-spänning med 10 volt effektivvärde, ochhögsta positiva eller negativa spännings-toppen är 14,14 volt.

• Vi byter ut generatorn mot 100 genera-torer på olika frekvenser som var ochen lämnar 1 W i motståndet på 1 Ω. Varjegenerator ger en sinusspänning med 1volt effektivvärde och 1,414 volt topp-värde över motståndet.

• Alla generatorerna tillsammans kommeratt lämna 100 W till motståndet. Men vadblir toppspänningen?

Summaspänningen består av 100 spän-ningsvektorer som alla snurrar med olikahastighet (olika frekvenser) i visardiagram-met. Därför finns möjligheten att alla 100spänningsvektorerna någon gång pekar åtsamma håll, och toppspänningen blir 100gånger 1,414 volt, d.v.s. 141,4 volt. Dettahänder inte ofta, men det skulle kunnahända.• Med hjälp av statistik kan man beräkna

sannolikheten för att summaspänningenskall uppnå ett visst spänningsvärde.

Hur beskriver vi signalen från alla dessa 100generatorer?• Generatorerna lämnar 100 W effekt. På

samma sätt med bruset. Vi beräknar ef-fekten inom viss bandbredd.

• Spänningens amplitud kan beskrivasmed statistik. På samma sätt med bruset.

• Men vi kan också säga att spänningenvars amplitud vi inte känner har effektiv-värdet 10 volt eftersom denna spänningutvecklar 100 W i motståndet.

Mer om många generatorerDet är inte bara brus som kan ge upphov tillmycket höga toppspänningar trots att effek-ten är låg. Samma fenomen har man vidmobiltelefoni. Den ökande användningen avradiosändare, där effekten från varje enskild

radiosändare visserligen är låg, innebärsamtidigt ökad risk för att det då och då kanuppträda mycket höga topp-fältstyrkor.

Elektronikutrustning som blir störd avradiosändare påverkas oftast inte av sän-darnas effekt utan av fältstyrkans toppvärde.Elektronikutrustning som inte är en radio-mottagare innehåller inget filter för mottag-ning av viss frekvens, utan reagerar förradiosignaler inom ett brett frekvensområde,d.v.s. det är summafältstyrkan från mångaradiosändare på olika frekvenser som åstad-kommer störningen.

Vid EMC-provning (elektromagnetiskkompatibilitet, förmågan att inte störas avelektromagnetiska fält) testas elektronikut-rustning med en enda störsändare. Ett flyg-plan kan mycket väl testas med en eller tvåstörsändare. Men vad händer om 300 fick-telefoner tappat kontakten med GSM-nätetoch allihop upptäcker en ny basstation ochbörjar sända, anropa basstationen, när flyg-planet håller på att landa? Sådana anroputför ficktelefonen automatiskt för att tala omför GSM-nätet var den befinner sig. Endamöjligheten att förhindra detta är att ha fick-telefonerna avstängda.

( ) ⋅ =2300 2 180 000W W

3 — Brus

48


3.3 Motstånd brusar

Hur mycket bruseffekt kan ett motståndlämna?

Brusets spektraltäthetMotståndet kan maximalt lämna den effektsom frigörs när elektronerna hoppar, ochden effekten kan inte vara större än tillfördtermisk effekt.

Bruseffekten får ett effektspektrum somsträcker sig, med konstant amplitud (vittbrus), från låg frekvens, nästan 0 Hz, upptill nästan 100 GHz.

Men vi är inte intresserade av totalabruseffekten. Vi vill beräkna hur stor brus-effekt som tar sig igenom en förstärkare somhar viss bandbredd B Hz. Därför har manberäknat summan av de spektralkompo-nenter i effektspektrat som ryms inom enbandbredd av 1 Hz. Denna summa är obe-roende av var vi placerar bandbredden 1 Hzinom frekvensområdet 0 Hz upp till 100 GHz(vitt brus).

Maximal bruseffekt lämnas vidanpassningMotståndet lämnar ifrån sig maximal effekttill en lastresistans som har sammaresistansvärde som det brusande motstån-det.

Brusspänningens effektivvärde EnDet enda vi vet om brusspänningen är attden skall producera viss bruseffekt i last-resistansen. Vi kan därför räkna fram enekvivalent spänning med konstant amplitudsom ger samma effektutveckling. Detta ärbrusspänningens effektivvärde.

Nu beskriver vi det brusande motstån-det som ett brusfritt motstånd i serie meden spänningskälla med en brusspänningvars effektivvärde är En.

Brusets spektraltäthetBruseffekt (termiskt brus) inombandbredden 1 Hz:

[ ]0

23

/

1,38 10 Boltzmanns konstant

temperaturen uttryckt i Kelvin (K)

= 273 temperatur i grader Celcius

N k T W Hz

k

T

−

= ⋅

= ⋅=

+

R R N kTB=

1R2R

14nE kTBR=N

Motståndsom brusar

1 2om R R=

2

21 2

nEN R

R R

= ⋅ +

2

44kTBR

N R kTBR

= =

Brusfritt motstånd medbrusspänningskälla

3 — Brus

49

© Per Wallander

Bruseffekterna adderas(inte spänningarna)

Bilden visar att även om vi kopplar ihop fleramotstånd som brusar så kommer dessamotstånd att leverera bruseffekten kTB tillen lastresistans, så länge som lastresi-stansen har samma värde som summan avbrusmotstånden.

Observera att vi inte kan addera spän-ningarna. Vi måste beräkna effekt-utvecklingen från varje spänningskälla försig.

Koppla ihop två motståndVi kopplar ihop motståndet R1 med ett an-nat motstånd R2. Då avger R1 viss brus-effekt till R2.

Men självklart avger motståndet R2 brus-effekt tillbaka till R1.

Det lustiga är att om motstånden har sammatemperatur, T1 = T2, så avger det andra mot-ståndet lika stor bruseffekt tillbaka till detförsta motståndet. Oavsett vilka resistans-värden motstånden har. Det råder jämvikt.

Om ett av motstånden är kallare?Kyl ner motståndet R2. Gör T2 lägre än T1.Då brusar R2 mindre. Då går mer effekt frånR1 till R2. Ända tills effekten värmt upp detkallare motståndet till samma temperatur såatt det blir jämvikt. Naturen strävar efter attutjämna olikheter, uppnå jämvikt.

Spole? Kondensator?Men en spole? Eller kondensator? Vi får juspänning om vi matar växelström genom enspole eller kondensator. Nej. Spolen ochkondensatorn avger inget termiskt brus. Detär möjligt att spolen och kondensatorn bru-sar på annat sätt, se kapitel 17, men någontermisk bruseffekt kan de inte alstra.

Termiskt brus får vi bara från kompo-nenter som själva kan omvandla ström tillvärme. De resistiva förlusterna i spolen ochkondensatorn avger termiskt brus. Menförlustfria spolar och kondensatorer avgeringen termisk bruseffekt.

Motståndet tar alltså värme från omgiv-ningen, eller producerar sin egen värme frånström som flyter igenom, och en del avdenna värmeenergi omvandlas till växel-spänning, brusspänning.

1R2R

1R2R

[ ]

( )

⇒ = ⋅ = +

⋅=+

2

21 2 1 1

1 2

2 2 12

1 2

4 ( )

nEP R R R

R R

kT B R R

R R

1R

2R

1 2R R+

14kTBR

24kTBR

Från R1:

Från R2:

11 1 22

1 2

22 1 22

1 2

4( )

4( )

4( )

4( )

kTBRN R R

R R

kTBRN R R

R R

= ++

= ++

1 2N N kTB+ =

=1 1 14nE kTBR

[ ]

( )

⇒ = ⋅ = +

⋅=+

2

12 1 2 2

1 2

1 1 22

1 2

4 ( )

nEP R R R

R R

kTB R R

R R

=2 2 24nE kT BR

3 — Brus

50


( ) ( )2

211| 0 0 |1

2n

x

U nE

UP P e dx Q

Eπ

∞ − = = =

∫

Utsänd signal

Mottagensignal

+U = ”etta”

–U = ”nolla”

Brusets effektivvärde = En Svarta ytan representerarbitfel, feltolkning

Beslutsgräns

3.4 Gaussiskt brus

Det termiska brusets spänning är summanav en stor mängd delspänningar alstrade avelektronernas värmerörelser. Dessa värme-rörelser sker för oss helt oförutsägbart. Varjeledningselektron samlar på sig termiskenergi tills det räcker för att hoppa. Då hop-par elektronen.

När elektronen hoppar längs ledaren såblir spänningsbidraget maximalt positivt, ochnär elektronen hoppar i andra riktningen såblir spänningsbidraget maximalt negativt.När elektronen hoppar ”på tvären” i ledarenså får vi ett mindre spänningsbidrag. Brus-spänningen är i varje ögonblick summan avalla dessa delspänningar. När vi summerarså kan vi råka ha extremt många elektronersom just då hoppar åt samma håll längs le-daren. Då blir spänningen hög. Eller ocksåkan elektronerna hoppa kors och tvärs såatt summaspänningen blir nästan noll.

Gaussiskt brusDet enda vi kan säga om en spänning somvarierar på detta sätt är att amplitudtäthetenföljer normalfördelningskurvan, Gauss-kur-van. Normalfördelat brus kallas ofta förGaussiskt brus.

Bilden nedan visar utsänd signal, där ettoroch nollor representeras av spänningarna± U. På överföringssträckan har brus adde-rats till signalen. När man skall avgöra omden mottagna symbolen motsvarar en ettaeller en nolla, så gäller att positivt värde tol-kas som etta, medan negativt värde tolkassom nolla.

När brusspänningen är så kraftig attamplituden överstiger beslutsgränsen (i rikt-ning mot andra symbolen), då tolkar vi feloch får bitfel. Hur ofta detta sker represen-teras av den svarta ytan under Gauss-kur-van.

”Normalfördelningskurvan”

3 — Brus

51

© Per Wallander

n

UQ

E

n

UE

0,0 5,00⋅10-1 1,7 4,46⋅10-2 3,4 3,37⋅10-4

0,1 4,60⋅10-1 1,8 3,59⋅10-2 3,5 2,33⋅10-4

0,2 4,21⋅10-1 1,9 2,87⋅10-2 3,6 1,59⋅10-4

0,3 3,82⋅10-1 2,0 2,28⋅10-2 3,7 1,08⋅10-4

0,4 3,45⋅10-1 2,1 1,79⋅10-2 3,8 7,23⋅10-5

0,5 3,09⋅10-1 2,2 1,39⋅10-2 3,9 4,81⋅10-5

0,6 2,74⋅10-1 2,3 1,07⋅10-2 4,0 3,17⋅10-5

0,7 2,42⋅10-1 2,4 8,20⋅10-3 4,1 2,07⋅10-5

0,8 2,12⋅10-1 2,5 6,21⋅10-3 4,2 1,33⋅10-5

0,9 1,84⋅10-1 2,6 4,66⋅10-3 4,3 8,54⋅10-6

1,0 1,59⋅10-1 2,7 3,47⋅10-3 4,4 5,41⋅10-6

1,1 1,36⋅10-1 2,8 2,56⋅10-3 4,5 3,40⋅10-6

1,2 1,15⋅10-1 2,9 1,87⋅10-3 4,6 2,11⋅10-6

1,3 9,68⋅10-2 3,0 1,35⋅10-3 4,7 1,30⋅10-6

1,4 8,08⋅10-2 3,1 9,68⋅10-4 4,8 7,93⋅10-7

1,5 6,68⋅10-2 3,2 6,8710-4 4,9 4,79⋅10-7

1,6 5,48⋅10-2 3,3 4,8310-4 5,0 2,87⋅10-7

n

UQ

E

n

UE n

UQ

E n

UE

Den svarta ytan representerar bitfel när vihar ettor, men det har vi bara under halvatiden. Men vi får även bitfel när vi har nollor,och den ytan som inte är markerad i bilden,är lika stor som den svarta ytan.

Brusspänningen har effektivvärdet En, somsvarar mot fördelningens standardavvikelse.När vi vet standardavvikelsen och ampli-tuden så är det bara att lösa amplitud-sannolikhetsfunktionen, eller gå in i tabell-verk och avläsa bitfelshalten.

Exempel:• Om vi bara har brus, U/En = 0, så är det

50 % chans att avläsa rätt. Bitfelshaltenblir 50 %.

• Om U/En = 2,3 så blir bitfelshalten unge-fär 1 %.

• Om U/En = 3,7 så blir bitfelshalten unge-fär 10-4.

• Om U/En = 5,0 så blir bitfelshalten unge-fär 2,87⋅10-7.

20 log2,3 7,2n

UdB

E= ⋅ =

20 log3,7 11,4n

UdB

E= ⋅ =

Vi ser att även om signaleffekten är 25 ggrstarkare än bruseffekten, så får vi fortfarandebitfel, även om bitfelen inte uppträder likaofta.

20 log5,0 14n

UdB

E= ⋅ =

Detta är inte S/N, signal/brus-förhållandet, men någonting ditåt.

3 — Brus

52


En förstärkare med effektförstärkningen Gggr och bandbredden B Hz matas av ensignalkälla. Signalkällan levererar den öns-kade signalen med effekten Ps, och vi kanberäkna signaleffekten på förstärkarens ut-gång.

Signalkällan är inte brusfri. Den levereraräven brus. Bruset har troligtvis ett bretteffektspektrum. Eftersom vi inte vet någotom bandbredden före förstärkaren nöjer vioss med att ange att bruset från signalkällanhar brustemperaturen Tkälla. Detta brus gårgenom förstärkaren som har bandbreddenB Hz och förstärkningen G ggr. Vi kan alltsåberäkna bruseffekten på förstärkarens ut-gång.

Brus som bildas i förstärkarenMen det räcker inte med detta. I förstärka-ren bildas brus från motstånd och halvle-dare. Detta brus kommer ut på förstärkarensutgång.

För att underlätta beräkningarna så för-lägger vi det brus som bildas i förstärkarentill en ekvivalent bruskälla på förstärkar-ingången med brustemperaturen Teq, ochtänker oss att själva förstärkaren är brusfri.

Effektförstärkning G ggr

(in)källaT matas in i förstärkaren ochkommer ut förstärkt på utgången.

eqkT B G⋅ kommer ut ur förstärkaren,men vi tänker oss att bruset finnsredan på förstärkaringången.

Det är lite slarvigt att summerasignaleffekt och brustemperatur påförstärkaringången. Därför tar manoftast med förstärkarbandbreddenredan på ingången. Detta blir den delav det verkliga brusspektrat somkommer att passera förstärkaren.

Så länge som förstärkaren användsinom sitt linjära område, vilket innebäratt G är oberoende av signalensamplitud, d.v.s. alla amplituderförstärks lika mycket, så kan vi räknapå dessa tre signaler,• den önskade signalen,

• brus från källan,

• brus som bildas i förstärkaren,som tre oberoende signaler. Vi räknarpå en i taget.

3.5 Brus i förstärkare

GB

B

GB

GB

(in)SP (in)SP G⋅

(in)källaTkällakT B G⋅

eqkT B G⋅(in)eqT

(in)S källaP kT B+( )(in)S källa eqP kT B kT B G+ + ⋅(in) (in)S källaP T+

(in)eqT

eqkT B

GB

3 — Brus

53

© Per Wallander

Förstärkarens brustemperatur TeqDet brus som bildas i förstärkaren är enblandning av alla olika typer av brus, ter-miskt brus, hagelbrus o.s.v. men man räk-nar som om allt brus vore termiskt brus.

Ett sätt att ange förstärkarens brus-egenskaper är därför att uppge förstärka-rens ekvivalenta brustemperatur Teq.

Att ange brustemperaturen är vanligt förmikrovågsförstärkare. Typiska värden på Teqkan ligga i området 25 K – 100 K (mikrovågs-huvuden för mottagning av satellit-tv) ellerända ner till 5 K för förstärkare som kyls medflytande helium. Sådana förstärkare an-vänds inom radioastronomin.

Hagelbrus (shot noise)Det finns även andra former av brus i vårakommunikationssystem. Transistorer förstär-ker signalen genom att styra strömmen i enPN-övergång. Här sker laddningstranspor-ten av ”hål”. Även om strömmen skall varakonstant så bildas hålen slumpvis. Därförkommer strömmen att gå ”stötvis” genomtransistorn. Brus adderas till den önskadesignalen.

Brus från transistorer är den dominerandebruskällan i en radiomottagare. Det gällerdärför att välja en transistor som brusar sålite som möjligt i tv-mottagarens ingångs-steg, innan den önskade signalen förstärktstill sådan nivå att ett litet brustillskott fråntransistorerna inte märks.

Att välja transistorBruset ökar med likströmmen genom PN-övergången. Därför vill man ha så låg strömsom möjligt genom transistorn i tv-mottaga-rens ingångssteg. Men om strömmen är lågså klarar inte transistorn att förstärka högatoppspänningar.

På mottagarens ingång finns inte nå-got smalt filter. Det filter som väljer ut en-bart den önskade signalen sitter längre in imottagaren. Därför skall ingångstransistornklara att förstärka flera signaler samtidigtutan att det bildas distorsion, intermodula-tionsprodukter (man ser en annan tv-kanalsvagt i bakgrunden). För att klara detta börlikströmmen vara hög genom transistorn. Iverkligheten måste man alltså kompromissa.

I brusgeneratorer som används för mät-ändamål så alstras bruset genom att manmatar likström genom en zenerdiod i back-riktningen, och därefter förstärker bruset inågra transistorsteg. Detta ger en alldelesutmärkt brusgenerator.

”Man-made radio noise”Varje gång ström startar eller stoppar finnsrisk att det bildas en radiostrålningspuls medfrekvensspektrum som sträcker sig över ettmycket brett frekvensområde. Sådan stör-ning bildas i naturen vid åskväder. Men debildas även i datorer där ettor och nollor re-presenteras av olika spänningsnivåer ochdärigenom även av olika strömnivåer.

Sådana störningar fångas upp av an-tenner och stör radiomottagaren. I vissa fallkan sådana störningar även fångas upp avkablar och störa ledningsbunden signal-överföring.

3 — Brus

54


Vad skall man kalla brusförhållandetnär det omvandlats till dB? Påengelska kallas detta ”NoiseFigure”, NF. På svenska användsordet brusfaktor med beteckningenF men med sorten dB.

3.6 Brusförhållandet NR och brusfaktorn NF (F)

0OBS! 290källaT T K= =

[ ] 10 logF dB NF NR= = ⋅

1010NF

NR =

0

[ ] 10 log 1 eqTF dB NF

T

= = ⋅ +

0

100

( 1)

10 1

eq

NF

T T NR

T

= −

= −

0,810 10

0 10 1 290 10 1 58,66NF

eqT T K

= ⋅ − = ⋅ − =

1,510 10

0 10 1 290 10 1 119,6NF

eqT T K

= ⋅ − = ⋅ − =

I engelsk litteratur kallasbrusförhållandet oftast för ”noisefactor”. På svenska används ordet”brusfaktor” som betecknas med F).

Det vanligaste sättet att ange förstärkarensbrusegenskaper är inte med ekvivalentabrustemperaturen utan med brusfaktorn.

Förstärkarens brusförhållande NRUppmätning av förstärkarens brusegen-skaper ger oss förstärkarens brusförhål-lande NR (Noise Ratio).

NR är förhållandet mellan den brusef-fekt som kommer ut ur vår verkliga förstär-kare, jämfört med den bruseffekt som skullekommit ut ur förstärkaren om den vore brus-fri, när ingångsbruset har brustemperaturenT = 290 K.

Brustemperaturen 290 K (rumstempe-ratur, +17° C) betecknas T0.

Förstärkarens brusfaktor NFMan anger aldrig själva brusförhållandet fören förstärkare, utan brusförhållandet om-vandlas till decibel.

Brusegenskaperna för en transistorbrukar anges i datablad (se ELFA-katalogen). Typiska värden på F är0,8 – 1,5 dB för transistorer somskall användas i tillämpningar därlågt brus är viktigt.Motsvarande värden påbrustemperatur blir 58,7 – 119,6 K.

Om det står F = 1,2Är detta NF dB eller är det brusförhållandetNR ggr? Det är F dB. En förstärkares brus-egenskaper anges alltid i dB.

0

0

0 0

Brus ur brusig förstärkare[ ]

Brus ur brusfri förstärkare( )

( )

1 1

eq

eq eq

F ggr NR

kT B kT B G

kT B G

kT B T

kT B T

= = =

+ ⋅= =

⋅

= + = +

GB

0kT B

( )0 eqkT B kT B G+ ⋅eqkT B

3 — Brus

55

© Per Wallander

Vanliga voltmetrar mäter oftastväxelspänningens toppvärde, medanskalan är graderad i effektivvärde försinusformad signal (formfaktor 1,414).Vi behöver en voltmeter som klararatt mäta brusspänningens verkligaeffektivvärde. Detta går med enlikriktardiod som arbetar inomdiodkurvans kvadratiska område.

En brusfaktormeter innehåller en brusgene-rator som ansluts till förstärkaringången, ochen ”sant effektivvärdesmätande” voltmeter,som ansluts till förstärkarens utgång.

Brusgeneratorns impedans (resistans)måste vara anpassad till förstärkarensingångsimpedans.

Först mäts uteffekten närbrusgeneratorn är avstängd. Dåproducerar brusgeneratorn denbruseffekt som motsvarar T = 290 K.

Den bruseffekt man mäter påförstärkarens utgång blir bruset frånbrusgeneratorn plus förstärkarensbrus, multiplicerat med förstärkarensförstärkning.

Därefter startas brusgeneratorn ochbruset ökas genom att vrida på en rattsom är kalibrerad i n, det extrabrus somalstras utöver bruset när brusgeneratornär avstängd.

Bruset ökas tills förstärkarens uteffektblir dubbelt så hög. Detta mäts med ensant effektivvärdesvisande voltmeteroch spänningen skall öka 1,414 ggr.

( )0 0

0 0

0 0

[(1 ) ] 2

(1 ) 2 2

eq eq

eq eq

eq

n kT B kT B G kT B kT B G

n kT B kT B kT B kT B

nkT B kT B kT B

+ + ⋅ = ⋅ + ⋅

+ + = ⋅ + ⋅

= +

Av dessa båda mätningar får vi

Den ratt som reglerar bruseffekten kankalibreras i brusförhållandet NR ellerännu hellre direkt i dB, i brusfaktorn NF.

[ ] [ ]10 logNF dB NR ggr= ⋅

1010NF

NR =

3.7 Bestämning av förstärkarens brusfaktor

GB

0kT B

( )0 eqkT B kT B G+ ⋅

eqkT B

ExtrabruskT B

GB

0kT B

eqkT B

0

0(1 )ExtrabruskT B kT B

n kT B

+ == +

0[(1 ) ] 2 (1)eq utn kT B kT B G P+ + ⋅ = ⋅

0

0 0

( )1eq eqkT B kT B T

n NRkT B T

+= = + =

3 — Brus

56


G1NF1

G2NF2

G3NF3

3.8 Flera förstärkare

1

101 10

NF

NR =2

102 10

NF

NR =3

103 10

NF

NR =

Vad händer med bruset om flera förstärkare kopplas i serie? Bruset från förstasteget förstärks i alla tre förstärkarna, bruset i andra steget förstärks i tvåförstärkare och bruset i tredje steget förstärks i ett steg.

0kT B

1kTB 2kT B 3kT B

0 1 1 2 3 2 2 3 3 3( )kT B kTB GG G kT B G G kT B G+ ⋅ + ⋅ + ⋅

32

1

320 1

1 1 2

0

32

0 01

0 1 1 2

321

1 1 2

10 1010

1 1 2

1 1 1 11

11

10 1 10 110

tot

NFNFNF

kT BkT BkT B kTB

G G GNR

kT B

TTT TT

T G G G

NRNRNR

G G G

G G G

+ + +⋅= =

+ − + −= + + + =

⋅−−= + + =

⋅

− −= + +⋅

Totala brusförhållandetVi kan ställa upp uttrycket för totala NR fördessa tre förstärkarsteg

G1NF1

G2NF2

G3NF3

321

1 1 2

11tot

NRNRNR NR

G G G−−= + +

⋅

32

1

321

1 1 2

10 1010

1 1 2

1110 log

10 1 10 110 log 10

tot

NFNFNF

NRNRNF NR

G G G

G G G

−−= ⋅ + + = ⋅

− − = ⋅ + + ⋅

Formel för beräkningav totala brusfaktorn

3 — Brus

57

© Per Wallander

G1NF1

G2NF2

G3NF3

321

1 1 2eq

TTT T

G G G= + +

⋅

1

101 0 10 1

NF

T T

= −

2

102 0 10 1

NF

T T

= −

3

103 0 10 1

NF

T T

= −

1T 2T

2

1

TG

3

1 2

TG G⋅

3T

Så här enkelt blir det attberäkna förstärkarenstotala brustemperatur närman känner brustempera-turen för varje ingåendeförstärkarsteg.

Brusbidrag från steg 1:



Totala brustemperaturen:

Brusbidrag från en dämpande kabelEn kabel som är förlustfri tillför inget brus tillsignalen. Men om kabeln dämpar så finnsresistiva förluster, och dessa resistanser bi-drar med termiskt brus.

1.Anslut ett motstånd på kabelns ingång,ett motstånd med temperaturen 0T , varsvärde är lika med kabelns karakteristiskaimpedans. Detta motstånd levererarbruseffekten 0kT B in i kabeln. Kabeln haren effektdämpning på kabeld , varför deneffekt som kommer ut ur kabeln är

0kabeld kT B⋅ .

2.Men hur mycket effekt kommer ut ur ka-beln? Både motståndet och kabelnsdämpning är resistanser vid temperatu-ren 0T . Därför måste bruseffekten ut urkabeln vara 0kT B . Av detta kommer

0kabeld kT B⋅ från motståndet, medan0(1 )kabeld kT B− ⋅ har bildats i kabeln.

Bilden här bredvid visar hur kabeldämp-ningen inverkar vid radiomottagning.

Signal från antennen:antennTantennP

antenn kabelP d⋅

antenn kabelT d⋅

0(1 )kabeld T− ⋅

Brus från antennen:

Signal efter kabeln:

Antennbrus efter kabeln:Kabelbrus efter kabeln:

Effektdämpning ikabeln:

Kabelns temperatur:

kabeld

0T

0kT B 0kabeld kT B⋅

0(1 )kabeld kT B− ⋅

Brus från kabeln

[ ]1010

d dB

kabeld =

kabeld

3 — Brus

58


3.9 Signal/brus-förhållandet före detektorn

GNF Detektor

mP

källaT

mS P G= ⋅

( )källa eqN k T T B G= + ⋅

(detektorn)( )

( )

m

källa eq

m

källa eq

S P GN k T T B G

Pk T T B

⋅= =+ ⋅

=+

9 223 310 10

18 14

10 1,38 10 (290 290[10 1])200 10

7,94 1,38 460 2 10 1,008 10mP

W

−

− −

= ⋅ ⋅ + − ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

MottagarkänslighetVarför är man intresserad av att beräknabruseffekten? Därför att nyttosignalen, denönskade signalen, måste vara ett visst an-tal gånger starkare än bruset för att manskall får fullgod mottagning. Det är brusetsom bestämmer hur stark sändareffekt sombehövs för att man skall kunna kommuni-cera.

Vi ser att signal/brus-förhållandet vid detek-torn blir identiskt med signal/brus-förhållan-det vid antenningången, så länge som viadderar det brus som tillkommer på grundav mottagarens egen brusfaktor NF.

GSM-mottagarens detektorbehöver S/N = 9 dB för fullgodmottagning. Radiokanalensbandbredd är 200 kHz, ochmottagarens brusfaktor är ibästa fall NF = 2 dB. Vi antaratt antennbruset motsvararbrustemperaturen 290 K.

14[ ] 10 log(1,008 10 ) 140mP dBW dBW−= ⋅ ⋅ = −

14[ ] 10 log(1,008 10 1000) 110mP dBm dBm−= ⋅ ⋅ ⋅ = −

Den maximala känsligheten hos en GSM-mottagare är alltså ungefär –110 dBm. Dettakan man uppnå för en basstationsmottagare.

I ficktelefonerna störs mottagningen av”man-made noise” från de digitala delarna ificktelefonen, från mikroprocessorn m.m.Det är svårt att förhindra att sådant brus nårficktelefonens antenn, eftersom allt är så tättihopbyggt.

Dessutom får man viss dämpning i defilterkretsar som kopplar både mottagarenoch sändaren till samma antenn.

Enligt GSM-specifikationen skall GSM-fick-telefonen ha en känslighet av –104 dBm på900 MHz och –102 dBm på 1800 MHz.

3 — Brus

59

© Per Wallander

(detektorn)( )

1 1(in)

(1 ) (1 )

m

källa eq

m

eq eqkälla

källa källa

S PN k T T B

P ST TkT B NT T

= =+

= ⋅ = ⋅+ +

0

1 1(det.) (in) (in)

(1 )eq

S S STN N N NRT

= ⋅ = ⋅+

(det.)[ ] (in)[ ] [ ]S S

dB dB NF dBN N

= −

Om 0källaT T= så kan man räkna så här ...

... och få följande enkla uttryck:

OBS! Gäller bara om 0källaT T= OBS!!! ...

Förenklat räknesätt är farligt!!!Titta på uttrycket för S/N vid detektorn. Dettauttryck går att omvandla, så att S/N viddetektorn är lika med S/N in i mottagaren,d.v.s. det signal/brus-förhållande vi får frånantennen, försämrat med mottagarens brus-förhållande. Men observera att detta baragäller om 0källaT T= .

Man kan inte räkna på detta sätt omkällans brustemperatur avviker från 290 K,och det gör den oftast.

Räkna på signalen för sig ...Vid beräkning av signal/brusförhållandetskall du alltid räkna på den önskade signa-len Pm för sig. Vad händer med den öns-kade signalens effekt? Förstärkning? Dämp-ning?

... och brustemperaturerna för sig.Vid beräkning av bruset, beräkna alltid brus-temperaturtillskottet från systemets olikadelar. Använd brusfaktorn för att få frammotsvarande brustemperatur. Därefter kandu kompensera för dämpningar och förstärk-ningar genom att flytta brustemperaturen tillmottagaringången. Detta är en säker me-tod.

32

1 10 1010

1 1 2

321

1 1 2

32

1 1 1 2

0 0 0

321

1 1 2

0

10 1 10 110 log 10

1110 log

10 log 1

10 log 1

NFNFNF

totNFG G G

NRNRNR

G G G

TTT G G GT T T

TTT

G G GT

− − = ⋅ + + = ⋅

−−= ⋅ + + = ⋅ ⋅ = ⋅ + + + = + + ⋅ = ⋅ +

Enda undantaget:Det finns inga undantag. Ävenformeln för beräkning av totalabrusfaktorn när man har treförstärkarsteg går viabrustemperatur, även om det intesyns.

Detta är brustemperaturernaåterförda till ingångssteget:

3 — Brus

60


Mikrovågs-huvud

Satellit-mottagare

Ytterligare ett exempel:Vid mottagning av satellit-tv har man enparabolantenn på taket. Parabolantennenfångar upp radiosignalen från satelliten, menäven brus från stjärnorna, och lite brus frånjorden (sidolober). Antag att antennbrusetuppgår till 20 K.

I mikrovågshuvudet sitter en förstärkare ochfrekvensomvandlare. Mikrovågshuvudet kant.ex. ha brusfaktorn NF = 0,8 dB och förstärk-ningen G = 53 dB.

Från mikrovågshuvudet går en kabel ner tillsjälva satellitmottagaren. Denna kabel kanvara 40 m lång och ha en dämpning av 30dB per 100 m vid 2 GHz, den högsta frek-vens i det frekvensband som används närtv-signalen transporteras till satellitmotta-garen.

Satellitmottagaren har bandbredden 27 MHzoch behöver 7 dB signal/brusförhållande förbrusfri mottagning av den analoga tv-signa-len (FM-modulerad vid sändning över sa-tellit). Vi kan anta att satellitmottagaren haren brusfaktor på NF = 20 dB (den behöverinte vara bättre).

Beräkna mottagarkänsligheten, d.v.s. denlägsta effektnivån från satelliten som behö-ver fångas upp av parabolantennen för attman skall få fullgod tv-bild, d.v.s. en bild därbrusprickarna uppträder så sällan att de inteuppfattas av ögat.

20antennT K=

30[ ] 40 12

100kabeld dB dB−= ⋅ = −

1tot antenn kabel satellitT T T T T= + + +

710

723 610

( ) 10

10 1,38 10 27 10

m källa eq tot

tot

SP k T T B kT B

N

T−

= ⋅ + = ⋅ =

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

Satellitmottagaren behöver S/N = 7 dBoch bandbredden är 27 MHz. Då kan vidirekt skriva ett uttryck förmottagarkänsligheten:

Vad som saknas är totalabrustemperaturen som får bidrag frånantennen, mikrovågshuvudet, kabelnoch satellitmottagaren, allt räknat vidmikrovågshuvudets antenningång.

20

27

NF dBB MHz

==

0,8

53

NF dBG dB

==

3 — Brus

61

© Per Wallander

0,810 10

1 290(10 1) 290(10 1) 58,6NF

T K= − = − =

20antennT K=

30[ ] 40 12

100kabeld dB dB−= ⋅ = −

2010 10

53 1210 10

290(10 1) 290(10 1) 287102,3

200000 0,06310 10

NF

satellitkabel

T KG d −

− −= = = =⋅ ⋅

⋅

Brusbidrag från antennen:

Brusbidrag från mikrovågshuvudet:

Kabeldämpning:

Kabelbrus:12

10( ) 290(1 ) 290(1 10 )

290 0,94 272kabel kabelT ut d

K

−

= − = − == ⋅ =

53 1210 10

( ) ( ) 2720,02

200000 0,06310 10

kabel kabelkabel

kabel

T ut T utT K

G d −= = = =⋅ ⋅

⋅

Brusbidrag från kabeln återförd tillantenningången:

Brusbidrag från satellitmottagarenåterförd till antenningången:

1 20 58,6 0,02 2,3 80,92tot antenn kabel satellitT T T T T K= + + + = + + + =

Alltså får vi totala brustemperaturenberäknad vid mikrovågshuvudetsantenningång ...

7 723 6 23 6 1310 1010 1,38 10 27 10 10 1,38 10 80,92 27 10 1,5 10m totP T W− − −= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

13[ ] 10 log(1,5 10 1000) 96mP dBm dBm−= ⋅ ⋅ ⋅ = −

Kabeldämpningen är kabellängden multi-plicerat med dämpning per meter i dB.

Nu kan vi räkna fram kabelbruset på ut-gången av kabeln, d.v.s. nere vid satellit-mottagaren.

... och kan beräkna minsta effektnivånför fullgod tv-bild:

Vi omvandlar till dBm, det somvanligen används i datablad:

3 — Brus

62


3.10 Brusfri resistans

Alla fysiska motstånd, motståndet som kom-ponent, avger termiskt brus. Dessutom finnsmotstånd som brusar mer än enbart dettermiska bruset. Ett motstånd som bestårav hoppressat kolpulver kan, beroende påmikroskopiska oxidskikt mellan kolpartik-larna, göra att det behövs viss spänning föratt bryta igenom oxidskikten. Strömmen gårryckigt. Det brusar. Därför används speci-ella lågbrusmotstånd i konstruktioner därman eftersträvar lågt brus. Men det termi-ska bruset slipper man inte.

Finns det resistanser som är brusfria? Nej,men det finns ”resistans” som är brusfri.

När en antenn används som sändarantennså matar sändaren ut spänning på antenn-kabeln, och vi får ström. Utgående från spän-ningen, strömmen och fasvinkeln så kan viberäkna antennens impedans.

Den resistiva delen av antennimpe-dansen ”absorberar” effekt, men inte så somett motstånd skulle gjort, nämligen genomatt omvandla effekten till värme, utan ge-nom att omvandla effekten till radiovågor.

När samma antenn används som mottagar-antenn så kommer den signal som fångasupp av antennen att uppträda som en spän-ningsgenerator i serie med antennimpedan-sen. Detta motstånd i antennimpedansen ärbrusfritt.

Men vad för slags brus kommer från enantenn?Det brus som kommer från en mottagar-antenn är brus som fångas in av antennen,brus som finns i form av radiostrålning ochsom tas emot av mottagarantennen.

Antennens strålningsdiagramVarje antenn har ett strålningsdiagram somvisar hur stor del av sändareffekten somstrålar ut i olika riktningar. När antennen an-vänds som mottagarantenn så fångar denin signaler i motsvarande riktningar, i pro-portion till strålningsdiagrammet.

Vad finns för bruskällor?Varje ”kropp” sänder ut brusstrålning sommotsvarar kroppens temperatur. Jorden sän-der ut brus med brustemperaturen 290 K.

En parabolantenn på en satellit som tar emotsignal från jorden kommer samtidigt att taemot brusstrålning från jorden och lämnaett antennbrus som i stort sett är 290 K.

Parabolantennerna på jorden som riktas motsatelliten fångar upp brus från stjärnor sombefinner sig inom antennloben, brus frånVintergatan. Men ju lägre antennens eleva-tionsvinkel är, desto större del av antenn-loben kommer att träffa jorden.

En parabolantenn som riktas rakt upp,elevation °90 , fångar upp bruseffekt mot-svarande 3 K vid 12 GHz. Vid °10 elevationhar bruset stigit till 20 K.

Men vid 100 MHz? Eller 10 MHz? Vad harvi för antennbrus?

Vid 10 MHz dominerar atmosfärbrusoch vi kan räkna med 53 10⋅ K på vintern.På sommarhalvåret stiger detta till 63 10⋅ K.

Vid 100 MHz finns ett galaktiskt bruspå 1500 K, men i tättbebyggt område finnsman made noise och där är 53 10⋅ K ett rim-ligare värde.

Strålningsresistansen brusar alltså inte, menofta är antennbruset ändå betydligt högreän 290 K. Utom vid satellitmottagning, dåantennbruset är avsevärt lägre än 290 K.

4 — Amplitudmodulering – AM

63

© Per Wallander


Att modulera betyder att anpassa något efternågonting.

Vad vi gör är att anpassa en signal (bärvåg)efter en annan signal (informationssignalen).

Den ”anpassade” bärvågen (den module-rade signalen) överförs, varefter infor-mationssignalen återskapas (detekteras,demoduleras).

I detta kapitel ”anpassar” vi bärvågens amp-litud efter informationssignalen.

Först studerar vi hur man bär sig åt.

Därefter tittar vi på den ”anpassade” signal-ens tidsfunktion.

Sedan kommer vi till den ”anpassade”signalens spektrum för att vi skall kunnaavgöra hur stor plats som signalen tar på detsom vi alla skall dela på, nämligen frekvens-axeln.

Därefter står demodulering på tur. Vi måsteju kunna återskapa något som åtminstoneuppfattas som informationssignalen.

Som avslutning tittar vi på den moduleradesignalens effektspektrum och konstaterar attmerparten av sändareffekten går åt till attsända bärvågen, som inte innehåller någoninformation om informationssignalen.


64


4.1 Basband och linjekodning

Vid elektrisk informationsöverföring skall in-formation, en informationssignal m(t) över-föras.

InformationssignalenInformationen som vi vill överföra finns i formav en spänning. Det kan vara växelspän-ningen från en mikrofon, tal eller musik, ellerväxelspänningen från en tv-kamera, ellerdigital information i form av en spänning somväxlar mellan två spänningsnivåer där enanivån betyder etta och den andra nivån be-tyder nolla.

Dessa spänningar ändrar sig i tiden, de ärfunktioner i tiden, m(t), men de upptar ävenett visst frekvensområde, de har sinafrekvensspektrum, M(f).

BasbandSpektrumet för tal eller musik ligger inom 30– 20 000 Hz, tv-signalen ligger inom 0 – 5,5MHz, och spektrumet för växelspänningensom representerar den digitala signalenberor bl.a. på datahastigheten. Frekvens-områdena som dessa spektrum upptar kal-las basband.

Ibland överförs informationssignalendirekt eller linjekodadSå sker i det analoga telefonnätet, där mikro-fonspänningen skickas på kopparledningentill telefonstationen. Ända in på 1950-talet te-lefonerade man över större delen av Europagenom att skicka informationssignaler, i stortsett ett samtal per trådpar.

Tv-signalen går som informationssignal frånvideon till tv:n om vi ansluter videon viaSCART-kontakten.

Datasignaler i form av informationssignalerhar vi på kabeln mellan datorn och modemet.

ISDN-signalen på kopparkabeln mellanhemmet och telefonstationen är linjekodad.Spänningsnivåerna som betyder de olikadatabitarna har valts så att man skall klaraså långa kablar som möjligt.


65

© Per Wallander

Att modulera en bärvågEn annan metod är att låta informations-signalen påverka en sinusspänning. Manlåter informationssignalen modulera sinus-spänningen, påverka sinusspänningen påsådant sätt att det i andra ändan är möjligtatt återskapa informationssignalen. Sinus-spänningen ”bär” informationssignalen.Sinussignalen är bärvåg.• En fördel med denna metod är att bär-

vågen kan läggas i ett helt annat frek-vensområde. Vi kan ”flytta” informations-signalens frekvensspektrum så att dethamnar runt bärvågen.

• Så här gör vi vid radiokommunikation. Vimåste skapa en signal vars frekvens-spektrum ligger inom den ”frekvenskanal”som avdelats för vår radiotrafik. Och detgörs genom att modulera en bärvåg.

• Att flytta informationssignalen till ett heltannat frekvensområde genom att modu-lera en bärvåg började användas på1950-talet för att överföra flera telefon-samtal på samma kopparledning,bärfrekvenssystem. Metoden utnyttjadesända in på 1990-talet, med upp till 10 800samtidiga telefonsamtal på en ledning(koaxialkabel). När man övergick till di-gital teknik klarade man att överföra 565Mbit/s på samma ledning, vilket innebarbara 7680 samtidiga telefonsamtal.

• En digital informationssignal har ettfrekvensspektrum som sträcker sig ändafrån likström, 0 Hz. Men när telefonnätetanvänder bärfrekvensteknik begränsasfrekvensområdet till 300 – 3400 Hz.Samma begränsning har införts viddigitaliseringen av telefonsamtal. Det gårdärför inte att överföra datasignaler medlinjekodning i telefonnätet. Därför låter vidatorns informationssignal modulera enbärvåg som ligger ungefär mitt i detfrekvensområde som överförs av telefon-nätet, vid ungefär 1800 Hz. Denna utrust-ning, som på sändarsidan modulerar bär-vågen och på mottagarsidan demodu-lerar signalen så att informations-signalen återskapas, kallas modem.

4.2 Modulering

Eftersom den modulerade signalensspektrum ligger i samma frekvensområdesom informationssignalen så kallasdenna typ av modem för basbands-modem.

• När videon inte ansluts till tv:n viaSCART-kontakten utan via antenn-kabeln, då alstras i videon en bärvåg iUHF-bandet, vid ca 600 MHz, sommoduleras med tv-informationssignalen.

Tre olika sätt att moduleraBärvågen kan moduleras på i princip treolika sätt:

Detta är informationssignalen: ( )m t

Detta är bärvågen: πcos2c cE f t

Man kan låta bärvågens amplitud ändrasproportionellt mot informationssignalen,amplitudmodulering.

π+[ ( )]cos2c a cE k m t f t

Man kan låta bärvågens frekvens ändrasproportionellt mot informationssignalen, frek-vensmodulering.

π +cos2 [ ( )]c c fE f k m t t

Man kan låta bärvågens fas ändras propor-tionellt mot informationssignalen, fasmodu-lering.

φπ +cos[2 ( )]c cE f t k m t

I detta kapitel studerar vi amplitudmodu-lering, i kapitel 5 skall vi titta på några vari-anter av amplitudmodulering, i kapitel 7 kom-mer vi in på frekvens- och fasmodulering,och i kapitel 10 är vi framme vid överföringav digitala signaler, då man oftast utnyttjarmoduleringsmetoder som kan ses som enkombination av alla tre moduleringssätten.


66


Vi skall se hur de olika moduleringssättenkan utföras i verkligheten. Först enomodulerad radiosändare. Radiosändarenbestår av tre steg.• Första steget är en oscillator där bär-

vågen alstras. Bärvågsfrekvensen be-stäms av L och C i resonanskretsen.

• Det andra steget är en klass A-förstär-kare, med bandpassfilter (resonanskrets)på utgången. Resonanskretsen är av-stämd till bärvågsfrekvensen.

• Det tredje steget är en förstärkare somarbetar i klass C. Transistorn ligger stryptutom under en del av drivsignalens po-sitiva halvperiod, då transistorn leder förfullt. Klass C-steget fungerar nästan somen strömbrytare, switch. Kollektorspän-ningen kortsluts till jord i takt medbärvågsfrekvensen. Vi får fyrkantströmgenom resonanskretsen. Men resonans-kretsen är avstämd till bärvågsfrek-vensen. Den släpper bara igenomfyrkantströmmens grundton, bärvågs-frekvensen, och spärrar övertonerna.

Resonanskretsen på utgången fungerarsom bandpassfilter som släpper igenomfrekvenser runt bärvågsfrekvensen, sommatas till antennen.

Fördelen med klass C är hög verkningsgrad.Uteffekten är hög i förhållande till inmatadlikströmseffekt (60 – 80% verkningsgrad).Nackdelen är att utsignalens amplitud i stortsett är konstant även om drivspänningenfrån oscillatorn skulle variera i amplitud.Klass C-förstärkaren fungerar därför som enbegränsare, ”limiter”.

AmplitudmoduleringVid amplitudmodulering skall utsignalensamplitud variera i takt med informations-signalen m(t). Denna amplitudändring kaninte göras på oscillatorn eftersom klass C-steget lämnar en utsignal som bara beror pålikspänningen som matas till kollektorn. Där-för amplitudmodulerar vi genom att ändradenna likspänning i takt med m(t). Dettaåstadkommes genom att lägga en transfor-mator i serie med likspänningen till klass C-steget.

( )m t


67

© Per Wallander

FrekvensmoduleringOscillatorns frekvens bestäms av L och C iresonanskretsen. Om vi ersätter konden-satorn C med en kapacitansdiod, en back-spänd diod som fungerar som kondensatorvars kapacitans beror på backspänningensstorlek, så kan vi ändra oscillatorfrekvensgenom att ändra backspänningen. Låt back-spänningen bestå av en likspänning medöverlagrad informationsspänning m(t). Dåkommer oscillatorfrekvensen att ändras i taktmed m(t). Detta är frekvensmodulering.

FasmoduleringÅtergå till den ursprungliga sändaren medkonstant oscillatorfrekvens fc. Mellanoscillatorsteget och effektsteget har vi enresonanskrets.• Om resonanskretsen är avstämd till

oscillatorfrekvensen fc så passeraroscillatorspänningen opåverkad tilleffektsteget.

• Om resonanskretsens resonansfrekvenssänks så kommer oscillatorspänningenatt dämpas. Men det gör ingenting efter-som effektsteget klipper. Utsignalensamplitud förblir oförändrad. Men det fil-ter som bildas av resonanskretsen harinte bara en amplitud/frekvenskurva, dethar även en fas/frekvenskurva. Ävensignalens fas ändras när resonanskret-sens resonansfrekvens ändras.

Genom att utforma denna resonanskrets påsamma sätt som oscillatorns resonanskretsvid frekvensmodulering och styra resonans-frekvensen med m(t), så kommer utsig-nalens fas att variera i takt med m(t). Dettaär fasmodulering.

I verkligheten kan alla dessa modulations-sätt åstadkommas på ett flertal olika sätt.Jag har bara visat ett exempel för att du skallförstå vad det är frågan om.

( )m t

( )m t


68


4.3 Amplitudmodulering i tidsplanet

Amplitudmodulering är som att koppla endämpsats mellan bärvågsgeneratorn ochsändarens utgång. Observera att sändarenkan mata en antenn om det är radio-kommunikation, eller en ledning om det ärledningsbunden kommunikation.

BärvågUtgå från bärvågen, en sinusformad signalmed amplituden Ec och frekvensen fc, där”c” betecknar ”carrier”, bärvåg. Vi väljer attbeskriva bärvågen med cosinusfunktioneneftersom beräkningarna blir något enklareän om man utgår från sinusfunktionen.

InformationssignalLåt informationssignalen m(t) vara en sinus-signal med amplituden Em och frekvensenfm. Även här väljer vi cosinusfunktionen.Pröva själv med sinusfunktioner.

Modulerad signalHos den modulerade signalen kommeramplituden att ändras från Ec+Em till Ec–Emi takt med informationssignalen.

π π+( cos2 )cos2c m m cE E f t f t

πcos2m mE f t

πcos2c cE f t

Spänning

Tid

Spänning

Tid

Spänning

Tid


πcos2m mE f t

πcos2c cE f t

Amplitud

t t

t

Amplitud-modulator

Bärvåg

Informations-signal

Moduleradsignal


69

© Per Wallander

π π

π π

+ =

+

(1 cos2 )cos2

(1 cos2 )cos2

mc m c

c

c a m c

EE f t f t

E

E m f t f t

Spänning

Tid

Spänning

Tid

Övermodulering vid AMOm Em är större än Ec kommer Ec–Em attbli negativ, d.v.s. transistorn som modulerasfår negativ kollektorspänning och stryps. Vifår ingen utsignal.

Andra typer av amplitudmodulatorer gersignal som ”korsar tidsaxeln”.

Oavsett vad som händer så blir denmodulerade signalen distorderad. Ampli-tuden följer inte informationssignalen. Detkallas övermodulering när Em blir större änEc vid amplitudmodulering. Övermoduleringvid AM ger distorsion och måste undvikas.

Moduleringsgrad maVi kan omforma det matematiska uttrycketoch införa moduleringsgraden ma (modula-tionsindex).

Vi får övermodulering om modulerings-graden är större än 1.

cE

+ mE

− mE

= +2( )c mA E E

= −2( )c mB E E

B

−= =+

ma

c

E A Bm

E A B

= ma

c

Em

E


70


4.4 Amplitudmodulerade signalens spektrumDen amplitudmodulerade signalens bärvågändrar sin amplitud sinusformat. Visst kanvi rita en frekvensaxel och visa att bärvågs-amplituden ändras som funktion av tiden.Men detta är inget spektrum. Ett spektrumbestår av frekvenskomponenter som ”ald-rig” ändrar sin amplitud.

Hur beräknar vi AM-signalens spektrum?Genom att fourierserieutveckla det matema-tiska uttrycket för AM som funktion av tiden.

I detta fall behöver vi inte fourierserie-utveckla. Det räcker att multiplicera ihop såfår vi tre cosinustermer med amplituder sominte varierar i tiden. Exakt samma resultatfår vi med fourierserieutveckling.

π π

π π π

π π π

+ =

+ + + − =

− + + +

( cos2 )cos2

cos2 cos2 ( ) cos2 ( )2 2

cos2 ( ) cos2 cos2 ( )2 2

c m m c

m mc c c m c m

m mc m c c c m

E E f t f t

E EE f t f f t f f t

E Ef f t E f t f f t

undre sidband bärvåg övre sidband

Bärvåg, carrierVi får en frekvenskomponent med frekven-sen fc och amplituden Ec som är vår omodu-lerade bärvåg.

Undre sidbandet, LSB (lower sideband)Vi får en frekvenskomponent med frekven-sen fc–fm och amplituden lika med halvainformationsspänningen Em.

Övre sidbandet, USB (upper sideband)Vi får ytterligare en frekvenskomponent medfrekvensen fc+fm och amplituden lika medhalva informationsspänningen Em.

AM-signalensspektrum

2mE

2mE

cE

− +( ) ( )c m c c mf f f f f

Spänning

Frekvens

Detta är inget spektrum!!!

Spänning

Frekvens

Tid

Amplitudändring i tiden


71

© Per Wallander

π −cos2 ( )2m

c m

Ef f t

π +cos2 ( )2m

c m

Ef f t

πcos2c cE f t

Spänning

Frekvens

Spänning

Frekvens

Spänning

Frekvens

Spänning

Frekvens

Spänning

Tid

Spänning

Tid

Spänning

Tid

Spänning

Tid


−( )c mf f

+( )c mf f

cf

2mE

2mE

cE

+ mf

− mf

− mf

+ mf

BärvågenI ett visardiagram förfrekvensen fc kommerbärvågens spännings-visare att ligga still.

Undre sidbandetI ett visardiagram förfrekvensen fc kommerundre sidbandetsspänningsvisare attrotera fm varv per se-kund i negativ riktning.

Övre sidbandetI ett visardiagram förfrekvensen fc kommerövre sidbandetsspänningsvisare attrotera fm varv per se-kund i positiv riktning.

I ett visardiagram förfrekvensen fc kommersumman av de trevisarna att ligga stillmen ändra amplitud itakt med fm.


72


4.5 Verkliga informationssignaler

tid

tidfrekvens

frekvens

AM-modulator

tid

Varje frekvenskomponent ger summa-och skillnadsfrekvenserOm m(t) är en komplicerad tidsfunktion såfourieruppdelar vi m(t), och utnyttjar ovan-stående räknesätt för var och en av spek-trumets frekvenskomponenter. Resultatetblir bärvågen, och frekvensspektrumet avm(t) som övre sidband, och det spegelvändafrekvensspektrumet av m(t) som undre sid-band.

AM-signalens bandbredd (B)För att beräkna hur stor bandbredd somradiosignalens frekvensspektrum upptar, såbehöver vi inte känna m(t) i detalj. Det räckeratt veta den högsta frekvensen i informa-tionssignalens spektrum.

(max)mf

− (max)c mf f cf + (max)c mf f

= + − − = ⋅[ (max)] [ (max)] 2 (max)c m c m mB f f f f f


73

© Per Wallander

frekvens

AM-modulator

tid

tid

frekvens

tid

3,4 kHz300 Hz

3,4 kHz300 Hz

3,4 kHz300 Hz

= + − − =[ 3,4 ] [ 3,4 ] 6,8c cB f kHz f kHz kHz

+ 3,4cf kHz− 3,4cf kHz

tid

frekvens

tid

frekvens

Informationssignalen filtreras för attbegränsa bandbreddenVid mobiltelefoni och kommunikationsradio(”telefonkvalitet”) matas talsignalen genomett filter som skär bort alla frekvenser överca 3400 Hz. Om man amplitudmodulerar ensändare med sådant filtrerat tal så får manen radiosignal med bandbredden 6,8 kHz.

Normalt filtrerar man även bort tal-frekvenser som ligger under 300 Hz. Dessalågfrekventa frekvenskomponenter ”stjäl”sändareffekt men talets uppfattbarhet för-sämras inte om man filtrerar bort dem. Ob-servera att det ”tomrum” på 600 Hz som bil-das runt bärvågen inte kan användas tillannat. Signalens bandbredd är 6,8 kHz oav-sett om de lågfrekventa komponenterna fil-treras bort eller ej.

Rundradiosändarna på lång- och mellanvåghar tilldelats frekvenskanaler som är 9 kHzbreda. Detta innebär att högsta modulations-frekvens får vara 4,5 kHz. I verklighetenfuskar man och gör visst intrång på grann-kanalerna så att högsta modulations-frekvensen kanske hamnar uppåt 6 kHz.Detta är den ljudkvalitet man fick från engammal 78 varvs grammofonskiva.


74


4.6 AM-signalens demodulering

frekvens

cf

cE π+ ⋅[ ( )] cos2c cE m t f t

tid tid

( )2

M f ( )2

M f

frekvens

( )M f

Utsprunglig informationssignal

Utgå från den ursprungliga informations-signalen m(t) som har spektrumet M(f).

Skapa den modulerade AM-signalen somfår ett spektrum med bärvågen fc och tvåsidband bildade av summaoch skillnads-frekvenserna.

AM-signalens spektrum

När AM-signalen tas emot av mottagaren,så skall den ursprungliga informationssig-nalen återskapas. Att återskapa informa-tionssignalen kallas detektering och sker iett steg som kallas detektor ellerdemodulator.

AM-detektornEnklaste sättet att återskapa den låg-frekventa informationssignalen (LF-signa-len) är att halvvågslikrikta den högfrekventamodulerade signalen (HF-signalen)

Den modulerade signalen har ettmedelvärde som är lika med noll.

Om den modulerade signalenlikriktas kommer medelvärdetatt följa informationssignalen.


75

© Per Wallander

Matematiskt beskriver vi den likriktade sig-nalen som amplituden multiplicerat med enhalvvågslikriktad signal med amplituden=1och periodtiden 1/fc. Denna kurvform finns ikapitel 2. Vi stoppar in Fourierserien medamplituden=1 och multiplicerar.

Resultatet blir ett spektrum där vi bl.a.finner den ursprungliga informations-signalen.

Envelopp-detektornOm man kopplar en kondensator parallelltmed motståndet efter likriktardioden så kom-mer kondensatorn att laddas upp genomdioden (låg tidskonstant) men laddas urgenom motståndet (längre tidskonstant).Genom lämpligt val av tidskonstant så kanman återskapa en växelspänning som i stortsett följer ”topparna” på HF-signalen, signal-ens ”envelopp”. Denna form av detektor kal-las oftast envelopp-detektor.

tid

tid

π ππ π π

+ += + + − − ⋅ ⋅ ⋅[ ( )] 2[ ( )]( )sin2 cos2 2

2 3c c c

c c

E E m t E m tm tf t f t

+ ⋅[ ( )]cE m t π ππ π

= + ⋅ + − − ⋅ ⋅ ⋅1 1 2[ ( )] [ sin2 cos2 2 ]

2 3c c cE m t f t f t

frekvens

πcE cf 2 cf

π( )M f ( )

4M f ( )

4M f

π( )

3M f

π( )

3M f

Halvvågslikriktning utan kondensator

Likriktning med kondensator

HF-signal

Strömstötar genomdioden Spänning över

kondensatorn

Likspännings-komponenten bortfiltrerad


76


4.7 Verklig AM-modulering

2U

( )2

M f

π( )M f

π( )M f

π( )

3M f

π( )

3M fπ

23U

π2U

cf 3 cffrekvens

( )m t

+U

+

−

+ ⋅[ ( )]U m tπcos2 cf t

π ππ π

= + ⋅ + − + ⋅ ⋅ ⋅1 2 2[ ( )] [ cos 2 cos 2 3 ]

2 3c cU m t f t f t

π ππ π+ += + + − + ⋅ ⋅ ⋅( ) 2[ ( )] 2[ ( )]

cos2 cos2 32 2 3c c

U m t U m t U m tf t f t

( )m t

+U

+ ( )U m t

+

−

Ser ut som en strömbrytareDen verkliga AM-sändaren uppför sig somen strömbrytare. Klass C-effektförstärkarenmatas med en kollektorspänning som va-rierar i takt med m(t). Basen styrs avbärvågsfrekvensen fc, och transistorn ärömsom strypt (avbrott), ömsom kortsluten.

Matematiskt kommer kollektorspän-ningen att bestå av matningsspänningenmultiplicerad med en fyrkantvåg medamplituden=1.

Fourierserieuppdela fyrkantvågen ochmultiplicera så får vi• en likspänningskomponent och halva

ursprungliga informationssignalen,

• en AM-signal runt bärvågsfrekvensen fc,

• en AM-signal runt 3fc, runt 5fc o.s.v.Med en resonanskrets filtrerar vi ut AM-sig-nalen runt fc, samtidigt som resonanskretsenfungerar som transformator till antenn-resistansen.

AM-sändaren i SölvesborgI Sverige finns i dag endast en rundradio-sändare på långvågs- och mellanvågs-banden. Den ligger i Blekinge, vid Sölves-borg och täcker Östersjön och norra Europa.Sändaren är modern. AM-moduleringenåstadkommes inte så som beskrivits här,utan med konstant matningsspänning U,men fyrkantvågens pulsbredd varieras i taktmed m(t).


77

© Per Wallander

4.8 Effekt i AM-signalen

Antag att AM-sändaren ansluts till en be-lastning (antenn eller kabel) som ser ut som50 ohm. Vad blir effekten som AM-sända-ren levererar till denna belastning?

Att beräkna effektutvecklingen utgå-ende från den modulerade spänningen ärkomplicerat. Betydligt enklare är att utgå frånAM-signalens spektrum och beräkna deneffekt som produceras av varje enskildspektralkomponent.

Effekt i bärvågenEffekten i bärvågen är lättast att beräknaeftersom bärvågen alltid har amplituden Ec.I detta fall blir effekten

= =

2

22

50 100

c

cbärvåg

EE

P

Modulering med 1 sinustonOm sändaren moduleras till 100 % med ensinuston så får varje sidband en amplitudsom är lika med halva bärvågen.

= = = =

2

222 2

50 400 400 4

m

bärvågcmsidband

EPEE

P

Effekten i varje sidband blir 25 % av bärvågs-effekten.

Spänning

Frekvens

2cE

2cEcE

Modulering till 100 % med en sinuston


78


Modulering med 2 lika starkasinustonerOm sändaren moduleras till 100 % med tvålika starka sinustoner så får varje sidbands-komponent en amplitud som är en fjärdedelav bärvågsamplituden. Summan av dessafyra sidbandskomponenter får max bli likamed Ec, annars blir sändaren övermodule-rad.

= ⋅ = ⋅ =

2

24 22 2

50 1600 8

c

bärvågcsidband

EPE

P

I detta fall blir effekten i varje sidband bara12,5 % av bärvågseffekten.

Modulering med verkligt spektrumEn verklig informationssignal har ett spek-trum med många spektralkomponenter.Toppspänningen hos denna informations-signal får ej överstiga Ec om vi skall und-vika övermodulering. Detta innebär attmedeleffekten i varje sidband bara blir någraprocent av bärvågseffekten. Och det är idenna sidbandseffekt som själva informatio-nen ligger.

Spänning

Frekvens

cE

4cE

4cE

4cE

4cE

Modulering till 100 % med tvåsinustoner

5 — Amplitudmodulering – VSB, DSM,SSB, QAM

79

© Per Wallander

5 — Amplitudmodulering – VSB, DSB,SSB, QAM

AM-signalen har två sidband som båda inne-håller samma information om informations-signalen. Genom att filtrera bort merpartenav det ena sidbandet så får signalen sma-lare bandbredd. Detta moduleringssätt kal-las VSB (Vestigial Sideband), stympar sid-band, och används vid tv-sändningar.

Huvuddelen av effekten i en AM-signal lig-ger i bärvågen som inte innehåller någoninformation om informationssignalen (merän vilken frekvens som är bärvågsfrek-vensen). En AM-signal där man undertryckerbärvågen och bara sänder sidbanden kal-las DSB (Double Sideband), dubbla sidband.Bärvågsfrekvensen kan återskapas genomatt den ligger mitt emellan de identiska sid-banden.

Men det räcker faktiskt att bara sända ettsidband, SSB (Single Sideband). SSB upp-tar bara hälften så stor bandbredd som AMeller DSB, men ingen information ombärvågsfrekvensen. Därför används SSBbara för vissa informationssignaler, t.ex. tal.

Vid DSB så kan man sända två informations-signaler, två DSB-signaler, på sammafrekvenskanal. Detta sändningssätt kallasQAM (Quad Amplitude Modulation) och ärlika spektrumeffektivt som SSB.

5 — Amplitudmodulering – VSB,DSB, SSB, QAM

80


5.1 Stympat sidband, VSB (Vestigial Sideband)

Vanlig tv är amplitudmoduleradDe analoga tv-sändarna amplitudmodulerasmed bildsignalen. Hur stor bandbredd be-hövs för att överföra tv? Hur bred måstefrekvenskanalen vara?

För att besvara den frågan behöver viveta högsta frekvensen i informations-signalen (bildsignalen).

Tv-bilden är uppbyggd av 625 linjer med 25bilder per sekund. Men för att få mindre flim-mer så sänder man 50 bilder per sekund,där varje bild innehåller varannan linje(interlaced scanning). Totalt skickas alltså15 625 linjer per sekund. Därför har linjen64 µs på sig att gå över bildrutan från vän-ster till höger och tillbaka, som sker snab-bare. Detta ger 52 µs till själva linjen.

Tv-bilden består av 575 linjer i vertikal-led. Det försvinner 25 linjer vid varje halv-bildväxling. Två av dessa linjer används förtext-tv-datasignalen, 360 bit per linje (kansynas i överkanten på tv-bilden).

Klarar ögat att särskilja linjen som bild-element (pixel)? Nej, man räknar med enförsämring motsvarande 70 %, d.v.s. 400bildelement kan i bästa fall särskiljas, t.ex.som 200 svarta horisontella streck på vitbotten.

Horisontellt vill vi kunna återge 4/3 såmånga bildelement. Vi vill kunna rita 270 ver-tikala svarta streck på vit botten. Varje linjemåste amplitudmoduleras med 270 ”toppar”och 270 ”dalar”, en sinusspänning med 270perioder längs varje linje. Dessa 270 perio-der skall sändas under 52 µs. Detta blir 5,1MHz. Därför har man valt 5 MHz som hög-sta frekvens i informationssignalen.

Titta på testbilden på tv. Strax undermitten ser du ett brett fält med vertikalastreck. Till vänster är det glest mellanstrecken. Sedan blir det gradvis tätare. Iområdet runt den modulationsfrekvens sommotsvarar 4,43 MHz flyter strecken ihop tillett färgmönster. Detta är störning från färg-moduleringen. Vid ännu högre frekvens fly-ter allt ihop och blir grått.

336337

623

23

310

24

o.s.v. o.s.v.

Tv-signalens spektrumDen amplitudmodulerade tv-signalen har ettspektrum som sträcker sig 5 MHz åt bådahåll runt bärvågen. Men informationen äridentisk i de båda sidbanden. Det räcker attsända ett sidband.

Stympat sidband, VSBFör att kunna sända tv-signalen på en sma-lare frekvenskanal så filtreras den amplitud-modulerade tv-signalen. Signalen matasgenom ett filter som klipper bort större de-len av det undre sidbandet.

Den frekvenskanal som används för tvär i Sverige 7 MHz bred på VHF-bandet (ka-nal 2 – 11) respektive 8 MHz bred på UHF-bandet (kanal 21 – 68). Förutom denamplitudmodulerade bildsignalen så sänderman tv-ljudet som ligger 5,5 MHz högre änbildbärvågen (FM-modulering) och NICAMstereoljud (digital modulering) som ligger5,85 MHz högre än bildbärvågen.

AM-modulator

VSB-filter


81

© Per Wallander

vitnivå 10 %

svartnivå 70 %

linjesynkpuls

Bildbärvåg

undrestympadesidbandet

övre sidbandet

färgbärvåg

färgkanal

ljudbärvåg

NICAM-ljud

-1 0 1 2 3 4 5 6 MHz

7 MHz (VHF)8 MHz (UHF)

I tv-mottagarenNär den stympade tv-signalen kommer tilltv-mottagaren så filtreras signalen ytterligarei ett filter som dämpar en del av det övresidbandet, dämpar bärvågen till hälften, ochdämpar det undre sidbandet. Varför?

Vid detekteringen kommer spektral-komponenterna i det övre och det undre sid-bandet att adderas. Genom att skära pådetta sätt kommer de lågfrekventa spektral-komponenterna att återfå rätt storlek. Att bär-vågen dämpats till hälften gör inget efter-som vi bara har ett sidband.

Distorsion vid detekteringenSumman av bärvågen och ett sidband gerinte bara amplitudändring, utan även fas-ändring, se visardiagram. Vid envelopp-detektering av en VSB-signal så kommerden detekterade signalen att bli för hög vidriktigt låga amplituder. Genom att lägga vit-nivån vid 10 % av totala signalens amplitud(behövs för detekteringen av ljudet) så blirdistorsionen vid VSB-detekteringen inte allt-för störande i bilden (påverkar gråskalan).

tv-mottagare

filter

AM

VSB


82


5.2 Dubbla sidband, DSB (Double Sideband)

Balanserad blandareVi skall börja med en koppling som kallas”balanserad blandare” eller ”multiplikator”eller ”produktdetektor”, eller ”ringmodulator”.Den består av två transformatorer och fyradioder. Blandaren har tre portar.

Anslut positiv spänning till port 2. Dåkommer ström att flyta genom de yttre dio-derna, medan de korslagda dioderna spär-rar.

Spänning som matas in på port 2 kom-mer inte ut genom port 1 eller 3, eftersomdet blir motriktade strömmar i transformato-rerna (balanseras bort). Det bildas ingetmagnetfält som kan ge spänning i port 1 eller3.

Anslut m(t) till port 1Anslut Ec till port 2. Om Ec är mycket störreän m(t) så kommer Ec att öppna och stängadioderna. Dioderna fungerar som strömbry-tare. Genom att ändra tecken på Ec så fåräven m(t) motsatt tecken.

Låt Ec växla i takt med fcOm vi matar in bärvågen i port 2 ochinformationssignalen i port 1 så får vi enmodulerad signal i port 3. Hur kommerdenna signal att se ut?

Signalen i port 3 kommer att bli m(t)multiplicerad med en fyrkantvåg medamplituden ± 1 och periodtiden 1/fc.

1

2

3

( )m t

πcos2c cE f t

+1

- 1= ⋅( )m t π

π

ππ

ππ

= ⋅ −

− ⋅ +

+ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

4( ) cos2

4( ) cos2 3

34

( ) cos2 55

c

c

c

m t f t

m t f t

m t f t

frekvenscf 3 cf

π2 ( )M f

π2 ( )M f

π2 ( )

3M f

π2 ( )

3M f

+ cE

( )m t ( )m t

− cE

( )m t − ( )m t

Dubbla sidband, men ingen bärvåg!Vad har vi fått? Dubbla sidband, men ingenbärvåg. Men behövs inte bärvågen? Jo, denbehövs när den modulerade signalen skallskapas, men den behöver inte överföras. Deträcker att överföra sidbanden.

Vi får även sidband som ligger centre-rade runt bärvågens udda övertoner.


83

© Per Wallander

Vi kan styra dioderna från port 1Det går lika bra att styra dioderna genomatt lägga styrspänningen på port 1. Obser-vera att styrspänningen Ec inte ger ström itransformatorn vid port 3, eftersom ström-men genom dioderna går åt motsatt håll.Däremot kommer m(t) att ge ström antingenuppifrån och ner, eller nerifrån och upp, be-roende på vilka dioder som leder.

Fördelen med att koppla på detta sättär att nu kan m(t) även innehålla likspän-ning.

MultiplikatorI fortsättningen ritar vi den balanseradeblandaren som en fyrkant med ett kryss, ochde tre ingångarna. Denna komponent kal-las ibland multiplikator, eftersom den svagasignalen multipliceras med ”takten” i denstarka signalen, som styr dioderna.

ProduktdetektorUtsignalen blir produkten av de båda signa-lerna, dock utan att påverkas av bärvågensamplitud Ec. Villkoret är att Ec skall vara ”till-räckligt” stor. Ett annat namn på den balan-serade blandaren är därför ”produkt-detektor”.

Förenklat användningssättVi kommer att använda oss av den balan-serade blandaren så som visas i den undrebilden.• Den signal som styr dioderna anges of-

tast utan amplitud, eftersom amplitudenEc är utan betydelse.

• Utsignalen anges som produkten av debåda signalerna. Egentligen skall det fin-nas en proportionalitetsfaktor k som bl.a.beror på transformatorernas varvtals-omsättningar, men vi slarvar. Utsignalensamplitud kan enkelt regleras i det efter-följande förstärkarsteget.

• Vi kommer även att få utsignal runt deudda övertonerna till bärvågen fc, mendessa filtreras bort i efterföljande steg.Därför slarvar vi och påstår att utsignalenbara ligger runt själva bärvågen.

+ cE

− cE

( )m t

− ( )m t

πcos2c cE f t

πcos2c cE f t

Blandare

( )m t π⋅( ) cos2 cm t k f t

π⋅( ) cos2 cm t f t

Blandare

( )m t

πcos2 cf t

Vi ritar blandaren så här ...

... och använder den på dettaförenklade sätt!


84


Balanserad blandare

t

BärvågModulerandesignal

πcos2m mE f t

πcos2c cE f t

mE

AM-modulering

DSB-modulering

cE

+ mE

+ mE− mE

− mE

DSB-moduleringFör att skapa en signal som består av tvåsidband runt en bärvåg som inte finns, såmatar vi in informationssignalen på en ba-lanserad blandare, och styr diodomkopp-lingen med bärvågsfrekvensen.

På utgången får vi informations-signalen, med sin amplitud Em, men signa-len ”pendlar” fram och tillbaka runt frekvens-axeln i takt med bärvågsfrekvensen fc.

Jämför med AMVid AM så ändras bärvågens amplitud i taktmed informationssignalen. Tänk dig att viavlägsnar bärvågen så att bara ändringarnafinns kvar. Då har vi DSB-signalen.

När vi skapar DSB-signalen så är bärvågs-amplituden Ec utan betydelse, så länge somden är ”tillräckligt” stor, d.v.s. avsevärt störreän Em.


85

© Per Wallander

frekvens 1frekvens 2

skillnadsumma

frekvens-grupp 1

frekvens 2

skillnadsumma

πcos2m mE f t

πcos2 cf t

π

π

+

−

cos2 ( )2

cos2 ( )2

mc m

mc m

Ef f t

Ef f t

Balanserad blandare

frekvens 1

frekvens 2

summaskillnad

Balanserad blandare

Balanserade blandaren skapar summaoch skillnadI den balanserade blandaren skapas signa-ler vars frekvenser är summafrekvensen ochskillnadsfrekvensen av signalerna som ma-tas in i port 1 och port 2. Man ”blandar” sig-nalerna och skapar summa och skillnad.

Informationssignal och bärvåg ger summan:övre sidbandet. Informationssignal och bär-våg ger skillnaden: undre sidbandet.

Modulering med verklig signalOm informationssignalen inte är en sinus-signal utan en verklig signal, så beskriver viden verkliga signalen med dess spektrumoch tar summa och skillnad för varje enskildspektralkomponent.


86


5.3 DSB-signalens demodulering

Balanserad blandare

BärvågDSB-signal demodulerad signal

[ ]π π⋅cos2 cos2m m cE f t f t

π π− ° =cos(2 90 ) sin2c cf t f t

[ ]π π⋅cos2 cos2m m cE f t f t

πcos2 cf t

Demodulering: att återskapaI mottagaren skall informationssignalen åter-skapas från DSB-signalen.

DSB-signalen skapades genom attinformationssignalen ”kastades” fram ochtillbaka runt frekvensaxeln i takt med bär-vågsfrekvensen. För att återskapa informa-tionssignalen så gör vi samma sak en gångtill. Vi kastar DSB-signalen runt frekvens-axeln i takt med bärvågsfrekvensen, så attDSB-signalen kastas tillbaka.

När DSB-signalen skapas så får vi egentli-gen ”fyrkant”-pulser med övertonsspektrumrunt alla udda övertoner till bärvågen fc. Mendessa filtreras bort så att bara spektrumetrunt grundtonen fc sänds. Därför kommerden demodulerade DSB-signalen att beståav sinuspulser liknande helvågslikriktning.Men likspänningskomponenten i denna ”hel-vågslikriktade” signal följer exakt variatio-nerna hos informationssignalen.

Viktigt att bärvågen ligger i rätt fasI bilderna här bredvid har jag visat vad somhänder om bärvågssignalen i mottagareninte kopplar om dioderna exakt i rätt tids-ögonblick. Om bärvågssignalen är fördröjden kvarts period, 90° , så sker omkopplingen

på sådant sätt att utsignalen blir enväxelspänning utan likspänningskomponent,d.v.s. vi får ingen demodulerad signal.

Koherent detektorDSB-demodulatorn behöver den ursprung-liga bärvågen, inte bara med rätt frekvensfc utan även fas. Den skall ligga rätt ”i tid”.En detektor med fasriktig bärvåg kallas ”ko-herent detektor”.


87

© Per Wallander

π π+ −cos2 cos2 (2 )4 4m m

m c m

E Ef t f f t π π+ +cos2 cos2 (2 )

4 4m m

m c m

E Ef t f f t

π π π π− ⋅ + + ⋅cos2 ( ) cos 2 cos2 ( ) cos22 2m m

c m c c m c

E Ef f t f t f f t f t

frekvens

cf 2 cf

[ ]π π π π π π⋅ ⋅ = + ⋅cos2 cos2 cos 2 cos2 cos2 cos 2 22 2m m

m m c c m m c

E EE f t f t f t f t f t f t

π π− + +cos2 (2 ) cos2 (2 )4 4m m

c m c m

E Ef f t f f t

frekvens

cf 2 cf

π π π π⋅ = − + +cos2 cos2 cos2 ( ) cos2 ( )2 2m m

m m c c m c m

E EE f t f t f f t f f t

frekvens

cf

Summa och skillnadÄn en gång skall vi se på DSB-signalen urperspektivet ”summa och skillnad”.

I den översta bilden skapar vi DSB-sig-nalen genom att multiplicera informations-signalen med bärvågen. Som resultat får visumma och skillnad, övre och undre sid-banden.

I bild 2 detekterar vi genom att multipli-cera DSB-signalen med bärvågen. Resul-tatet blir tre! signaler, summasignalen somhamnar vid dubbla bärvågsfrekvensen ochskillnadsfrekvensen som hamnar somdemodulerad signal. Varför tre?

I bild 3 ser vi tydligare. Den demodule-

rade signalen består av två signaler inomsamma frekvensområde.

Om vi använder en detektor där bär-vågen ligger rätt i fas så kommer skillnads-signalerna att bli identiska och sammansättasig till dubbla amplituden på varje spektral-komponent.

Om bärvågen ligger 90° fel, så kommerfrekvenskomponenterna i skillnads-signalerna att hamna 180° relativt varandra,d.v.s. summan av de båda skillnads-signalerna blir noll. Detta motsvaras av bil-den på föregående sida, den bild där vi intehar någon likspänningskomponent.


88


5.4 Enkelt sidband, SSB (Single Sideband)

Det räcker med ett sidbandVid amplitudmodulering, såväl vid AM somvid DSB, så innehåller de båda sidbandenidentisk information. Det räcker att överföraett sidband, antingen det övre eller detundre, för att signalen skall innehålla all nöd-vändig information om informationssignalen.

Nästan, men inte riktigtRäcker det verkligen att överföra endast ettsidband? Nej, inte riktigt. För att man skallkunna återskapa en exakt kopia av infor-mationssignalen så måste vi även vetabärvågens exakta frekvens. Vi skall se pådetta.

Först skapar vi SSB-signalenAtt skapa en SSB-signal innebär att förstskapa en DSB-signal och sedan mata dengenom ett bandpassfilter som bara släpperigenom ett av sidbanden.

Balanserad blandare

t

BärvågModulerandesignal

LSB-filter

USB-filter

πcos2m mE f t

πcos2 cf t

π π π π⋅ = − + +cos2 cos2 cos2 ( ) cos2 ( )2 2m m

m m c c m c m

E EE f t f t f f t f f t

π +cos 2 ( )2m

c m

Ef f t

π −cos2 ( )2m

c m

Ef f t

mE

mE

mE

Övre sidbandet, USB (Upper Sideband)Vi kan filtrera ut det övre sidbandet. Ominformationssignalen består av en endasinussignal, då blir även det övre sidbandeten enda sinussignal.

Undre sidbandet, LSB (LowerSideband)... eller vi kan filtrera ut det undre sidbandet.Vilket sidband man använder har egentligeningen betydelse ur överföringssynpunkt.

Radiofrekvensbanden delas in i frek-venskanaler, där varje kanal skall rymma enradiosändare. Det kan vara fördel ur stör-ningssynpunkt om radiosändarna i närlig-gande frekvenskanaler använder sammasidband, bl.a. beroende på att bärvågen ald-rig kan avlägsnas helt, den kan bara under-tryckas.


89

© Per Wallander

Balanserad blandare

Bärvåg

Modulerandesignal

LSB-filter

USB-filter

frekvens

frekvens

frekvens

frekvens

frekvens

Balanserad blandare

Bärvåg

frekvens

Demodulerad signal

SSB-signal

frekvens

frekvensSSB-signalens demodulering

SSB-signalens demoduleringDemoduleringen sker på samma sätt somvid DSB. Vi multiplicerar med bärvågen ochfår summa och skillnad, varvid skillnads-frekvenserna bildar informationssignalensspektrum.

Vid DSB bildades två demoduleradesignaler som kunde hamna i motfas ochsläcka ut varandra. Därför var bärvågens fasviktig vid DSB-demodulering. Vid SSB bil-das bara en demodulerad signal. Därför harfasläget hos demodulatorns ”bärvåg” ingenbetydelse.

Vid DSB så klarar man att återskapa bär-vågen till rätt frekvens och fas därför att denskall hamna exakt mitt emellan sidbandensspektralkomponenter. Vid SSB finns ingensådan information som kan utnyttjas. Där-för ansänds SSB vanligtvis bara vid sådanöverföring där ett litet frekvensfel kan tole-reras, t.ex. talöverföring. Det räcker att denåterskapade ”bärvågen” ligger inom 20 Hzför att talet skall vara fullt förståeligt. Musiklåter dock hemskt redan vid betydligt min-dre frekvensfel.


90


5.5 QAM (Quad Amplitude Modulation)

Skapa en DSB-sändare och en DSB-mot-tagare. Förbindelsen mellan sändaren ochmottagaren kan vara radiovågor, men likagärna en ledning. För enkelhets skull kopp-lar vi ihop sändaren och mottagaren meden lång ledning.

Modulera DSB-sändaren med mI(t). Ut frånmottagaren, efter lågpassfiltret, får vi mI(t).

Skapa ytterligare en DSB-sändare sommoduleras med mQ(t) och låt bärvågen ligga90° fasförskjuten i förhållande till den förstasändaren.

Vad får vi efter mottagaren? Sammasom tidigare. Eftersom mQ(t) är moduleradpå en bärvåg som ligger 90° fasförskjutenså kommer sidbanden från mQ(t) att ta utvarandra. Vi får fortfarande bara mI(t) eftervår mottagare.

Vi kan alltså använda ledningen för att trans-portera två signaler inom samma frekvens-kanal centrerad runt fc.

Med ytterligare en mottagare som åter-skapar bärvågen sin2 cf tπ− så detekterar vimQ(t).

Vid SSB klarar vi att överföra signalen påhalva bandbredden. Men vid DSB så kanmottagaren återskapa bärvågen i rätt fas-läge och då kan vi överföra två signaler pådubbla bandbredden och alltså få sammaspektrumeffektivitet som vid SSB.

Metoden bygger på att vi har dubbla sid-band. I den ena mottagaren hamnar de bådasidbanden i fas och adderas, i den andramottagaren hamnar de båda sidbanden imotfas och subtraheras. Något liknande ärej möjligt vid SSB som ju bara har ett sid-band.

I-kanal och Q-kanalMan kallar de båda transmissionskanalernaför I-kanalen, som ligger i fas med den ur-sprungliga DSB-sändaren, och Q-kanalen,som ligger 90° fasförskjuten, i kvadratur.

sändare mottagare

cos2 cf tπ cos2 cf tπ

cos2 cf tπ

mottagare

sändare

sändare

cos(2 90 ) sin2c cf t f tπ π+ ° = −

cos2 cf tπ( )Im t

( )Im t

( )Im t ( )Im t

( )Qm t

cos2 cf tπ

mottagare

sändare

sändare

( )Im t

( )Qm t

( )Qm t

sin2 cf tπ−

sändare

sändare

mottagare

mottagare

cos2 cf tπ

( )Im t

( )Qm t

sin2 cf tπ−

( )Im t

( )Qm t

cos2 cf tπ

sin2 cf tπ−

Q-kanal (quadrature)

I-kanal (in phase)

sin2 cf tπ−


91

© Per Wallander

Q

I

0,7cos2 0,5sin2

0,86cos(2 35,5 )c c

c

f t f t

f t

π ππ− =

= + ° sändare

sändare

cos2 cf tπ

sin2 cf tπ−

0,5

0,7

Q

I

tidtid

I-brusQ-brus

2 2n IQE E E= +

IEQE

mottagare

mottagare

cos2 cf tπ

sin2 cf tπ−

tid

I-brus

tid

Q-brus

kTB

12

kTB

12

kTB

QAM-modulatorEftersom vi amplitudmodulerar två signalerdär den ena ligger i kvadratur, så kallasdenna modulator bestående av dubbla DSB-modulatorer för QAM-modulator (QuadAmplitude Modulator).

QAM-modulator kan åstadkommavilken fasvinkel som helstDe båda DSB-signalerna på utgången avQAM-modulatorn kan ses som en signalmed fasvinkel. Genom att välja lämpligaamplituder på I- och Q-signalerna så kanman åstadkomma vilken amplitud och fas-vinkel som helst på bärvågen. Vi skall se attQAM-modulatorn även kan användas vidfas- och frekvensmodulering.

BrusBrus kan ses som många spänningsvektorersom snurrar i visardiagrammet, med olikaamplituder och rotationshastigheter. Sum-man av alla dessa spänningsvektorer ärbrusspänningen En.

I-brus och Q-brusOm man matar in brus på en QAM-motta-gare så kommer mottagaren att dela uppbrussignalen på en bruskomponent som lig-

ger i fas med I-kanalen, och en bruskompo-nent som ligger i fas med Q-kanalen.

Den bruseffekt som kommer in till QAM-mottagaren är ”brus före detektorn”, d.v.s.det kTB som vi beräknat i kapitel 3. Dennabruseffekt delas upp så att halva brus-effekten påverkar I-kanalen, och andrahalvan påverkar Q-kanalen.


92


frekvens

5.6 Signal/brusförhållandet efter detektorn

frekvens

tid

I-brus

tid

Q-brus

Bandbredd = B

AM: stark bärvåg:1

22AM sidband sidbandN N N= ⋅ =

AM: svag bärvåg:

2AM sidbandN N= ⋅

12

2DSB sidband sidbandN N N= ⋅ =

12SSB sidbandN N=

( ) 2källa eq sidbandk T T B G N+ ⋅ = ⋅

,

2 ( )sidband sidband

sidbandAM DSB

P PSN N

⋅ + =

( )12

sidband

SSBsidband

PSN N

=

Även brusFram till mottagarens detektor kommer intebara den önskade signalen utan även brus.

AM utan moduleringVi lyssnar på en AM-station utan module-ring. Vad händer med bruset vid detekte-ringen?

Signalen till detektorn är bärvågen plusbrusvektorn. Om bärvågen är stark så kom-mer I-bruset att påverka resultantens längd,medan Q-bruset bara ger fasmodulering. Detbrus som hörs efter detektorn är alltså halvabruseffekten i varje sidband, multipliceratmed två sidband.

Om bärvågen är svag så kommer bådeI- och Q-bruset att påverka resultantenslängd och vi får dubbelt så hög bruseffekt.

DSBVid DSB lägger man till bärvågen i motta-garen och kan göra bärvågen stark oavsettstyrkan på DSB-signalen. Bruset håller all-tid samma styrka som vid AM med starkbärvåg.

Vid svag DSB-signal kan det dock upp-stå problem med att låsa bärvågen i rätt fas-läge och demodulera själva signalen.

SSBVid SSB gör man som vid DSB, lägger tillen stark bärvåg så att bara I-bruset detek-teras. Dessutom finns ett filter i mottagarensom bara släpper fram brus i ett sidband tilldetektorn. Eftersom SSB inte behöver låsabärvågen till rätt fasläge så är SSB överläg-set bäst vid mycket svaga signalstyrkor.

SidbandseffektenVid AM och DSB fördelas sändareffektenpå de båda sidbanden. Vid detekteringenadderas sidbandskomponenterna till dubblaspänningen, vilket motsvarar 2 ggr så högeffekt som i de båda sidbanden.

Signal/brus-förhållandetSignal/brus-förhållandet, om vi med signalmenar totala effekten i sidbandet (SSB) el-ler totala effekten i de båda sidbanden (AM,DSB), blir identiska vid AM, DSB och SSB.


93

© Per Wallander

5.7 FM-stereo — exempel på DSB

MatrisStereo

Vänster

Höger

V + H (mono)

V - H

38 kHz 238 kHz

19 kHzpilot

RD

S

DA

RC

pilo

t Basbandssignaltill FM-sändare

frekvens

38 kHz19 kHz

V+HV-Hpilot

Basbandssignalens spektrum

Stereodekoder

Stereokoder

Vänster

Höger

V + H (mono)

V - HMatris

38 kHz

19 kHz pilot

Basbandssignalfrån FM-detektor

2

0-15 kHz

19 kHz

23-53 kHz

Spänningarna från höger och vänster mik-rofon kombineras i en matris så att man bil-dar summasignalen (V + H) som är mono-signalen, samt skillnadssignalen (V – H).Man gör detta för att monomottagare skallkunna ta emot en monosignal, även om detär stereosändning.

Monosignalen (V + H) täcker frekvens-området 30 Hz – 15 kHz och skickas till FM-sändaren som den är.

Stereoinformationen (V – H) DSB-moduleras med bärvågen 38 kHz, så att denbildar två sidband inom frekvensområdet 23kHz – 53 kHz. Dessa sidband matas till FM-sändaren. Eftersom stereoinformationen lig-ger över det hörbara frekvensområdet såkommer den inte att märkas i en mono-mottagare.

För att stereomottagaren skall kunnademodulera DSB-signalen så behöver mot-tagaren tillgång till 38 kHz bärvågen intebara till rätt frekvens utan även med rätt fas-läge. För att hjälpa stereomottagaren såmatar man en liten signal som är halva

bärvågsfrekvensen, 19 kHz, till FM-sända-ren. Denna hjälpsignal kallas ”pilot”, ochstereosystemet kallas pilottonsystemet.

I stereomottagaren filtrerar man utmonosignalen, DSB-signalen och piloten.Piloten förstärks och multipliceras med 2 till38 kHz och används för att demoduleraDSB-signalen. När man väl har V + H samtV – H så får man vänster kanal genom attsummera signalerna, samt höger genom attförst fasvrida den ena signalen 180° ochdärefter summera.


94


frekvens

38 kHz

V+HV-H

( ) ( ) π+ + − ⋅ ⋅ 3cos2 38 10V H V H t

t

( )−V H

( )− − = −( )V H H V

t

t

( ) ( ) π+ + − ⋅ ⋅ 3cos2 38 10V H V H t( ) ( )+ + − =2V H V H V

( ) ( )+ − − =2V H V H HSwitchande stereodekoder

Switchande stereodekoderDet enklaste sättet att i dag konstruera enstereodekoder är med digitalteknik.

Basbandssignalen som kommer frånFM-detektorn består av (V + H) och stereo-informationen (V – H) som ömsom är posi-tiv, ömsom negativ, i takt med 38 kHz.

Genom att konstruera två strömbrytareoch styra strömbrytarna så att den ena slu-ter när cosinusspänningen är positiv, ochden andra strömbrytaren sluter när cosinusär negativ, så får vi på utgången av ström-brytarna spänningspulser vars medelvärdeär vänster respektive höger stereokanal.

Fasfel ger sämre stereoseparationVad händer om strömbrytarna inte öppnaroch sluter i exakt rätt tidsögonblick, d.v.s. omströmbrytarna har ett fasfel relativt den un-dertryckta 38 kHz bärvågen?

Det som händer vid fasfel är att manfår lägre amplitud på ”stereopulserna”, nå-got som resulterar i att vänster ljudkanalkommer att innehålla lite höger, och högerljudkanal kommer att innehålla lite vänster.Vi får sämre stereoseparation. Men ljud-kvaliteten som sådan kommer inte att på-verkas. Vi får t.ex. ingen distorsion på självaljudet.


95

© Per Wallander

MatrisStereo

Vänster

Höger

V + H (mono)

V - H

228 kHz 3 2

4

2

38 kHz 19 kHzpilot

76 kHz

57 kHz

DARC-modulator

RDS-modulator

RD

S

DA

RC

pilo

tRDS data

1187,5 bit/s

DAta Radio Channel16 kbit/s

Basbandssignaltill FM-sändare

I dag innehållerbasbandssignalen ävendatasignaler sommoduleras med en formav DSB vid tredje ochfjärde övertonen tillpiloten.

Dagens FM-sändareDagens FM-sändare används inte bara förstereoutsändning, utan på tredje övertonentill piloten, 57 kHz, ligger RDS (Radio DataSystem), en digital kanal med bithastigheten1187,5 bit/s. Denna datakanal utnyttjadestidigare för RDS personsöksystemet (MBS).I dag finns programinformation på RDS-ka-nalen, samt vissa låghastighets datatjänster,t.ex. utsändning av korrektionssignaler fördifferentiell GPS positionsbestämning.

På fjärde övertonen till piloten, 76 kHz,ligger ytterligare en datakanal DARC (DAtaRadio Channel) modulerad med 16 kbit/s.Detta är helt och hållet en kommersiell tjänst.

frekvens

38 kHz 57 kHz 76 kHz19 kHz

V+HV-Hpilot RDS DARC


96


5.8 Analog FDM-telefoni — exempel på SSB

108 kHz

0,3-3,4 kHz 104-108 kHzSamtal 1

104 kHz

0,3-3,4 kHz 100-104 kHzSamtal 2

64 kHz

0,3-3,4 kHz 60-64 kHzSamtal 12

frekvens

60 kHz

12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

108 kHz

108 kHz

104-108 kHz

Samtal 1

104 kHz

100-104 kHz

Samtal 2

64 kHz

60-64 kHz

Samtal 12

FDM (Frequency Division Multiplex)Med FDM menas att flera signaler skickaspå samma förbindelse, multiplexeras, ge-nom att varje signal får sitt eget frekvens-område.

År 1949 infördes det första FDM-systemet isvenska telenätet, när man på en koaxial-kabel mellan Stockholm och Norrköpingöverförde 600 samtidiga telefonsamtal medSSB-teknik. Koaxialkabeln var försedd medförstärkare på 9,6 km avstånd, som klaradeatt förstärka signaler upp till 2,6 MHz.

Tekniken utvecklades så att man 1977på koaxialkabeln mellan Stockholm ochGöteborg klarade att överföra 10 800 sam-tidiga telefonsamtal. Koaxialkabeln var för-sedd med förstärkare på 1,5 km avstånd,som klarade att förstärka signaler upp till 60MHz.

Mottagardelen

Sändardelen

6 — Superheterodynmottagaren

97

© Per Wallander


Så gott som alla radiomottagare ända se-dan slutet av 1930-talet är uppbyggda en-ligt superheterodynprincipen.

Superheterodynprincipen innebär att manbygger en mottagare för en fast frekvens,mellanfrekvensen, en mottagare med denbandbredd och den typ av detektor somönskas.

Den antennsignal som man vill ta emot”blandas” i en blandare med en lokalt alstradsignal, så att skillnadsfrekvensen (ävensummasignalen förekommer) blir mellan-frekvensen.

Vi studerar hur detta fungerar i en rundradio-mottagare för mellanvåg, i en privatradio-mottagare för 27 MHz PR-bandet samt vidmottagning av satellit-tv med parabolantenn.

Avslutningsvis tittar vi på mottagarens för-stärkning samt signal/brusförhållandet föredetektorn.


98


AM- LF-detektor förstärkare

AM-mottagare för 450 kHz

Kristallmottagare

Högimpedivhörtelefon

AM- LF-450 kHz detektor förstärkare

En radiomottagare som skall ta emot en AM-modulerad radiosignal innehåller en AM-detektor och en förstärkare, en LF-förstär-kare som förstärker den lågfrekventa ljud-signalen till sådan styrka att den kan hörasi en högtalare.

Vilka signaler kommer från antennen? Allasignaler på alla frekvenser som kan fångasupp av antennen. Det vi hör i högtalaren ärmoduleringen på den signal som har denstarkaste bärvågen.

Men vi vill inte lyssna på den starkaste sig-nalen, utan på en viss radiosändare på enviss frekvens. Därför behövs ett bandpass-filter som filtrerar ut den önskade signalen.Detta filter skall helst inte ha större band-bredd än absolut nödvändigt.

Vid den typ av AM-modulering som användsför rundradiosändningar på långvåg (160 –255 kHz) och mellanvåg (535 – 1605 kHz)så har varje radiosändare fått en frekvens-lucka, frekvenskanal, som är 9 kHz bred.Vårt filter skall alltså helst inte vara bredareän 9 kHz.

När man skall tillverka enkla bandpassfilterså är det relativt okomplicerat att åstad-komma ett filter vars bandbredd är 2 % avmittfrekvensen. Ett enkelt bandpassfilterbestående av några resonanskretsar medmittfrekvensen 450 kHz får alltså en band-bredd, kanalbredd, på 9 kHz.

När vi kopplar in detta filter med band-bredden 9 kHz så kan vi alltså lyssna påradiosändningar på 450 kHz. Men vid dennafrekvens ligger inga radiosändare!

KristallmottagarenMin barndoms radiomottagare för att lyssnapå ”Mannen i svart” (spökhistorier) frånmellanvågssändaren i Göteborg bestod aven resonanskrets, alltså ett enkelt filter, enAM-detektor i form av en likriktardiod(kristalldiod), en kondensator som höjer LF-signalens nivå samt en högohmig hörtele-fon (under huvudkudden).

6.1 AM-mottagaren

Amplitud

445 450 455 kHz


99

© Per Wallander

1179 kHzBlandare

Lokaloscillator1629 kHz

450 kHz2808 kHz

1179 kHz 1629 kHzlokaloscillator

450 kHz

2079 kHz1629 kHzlokaloscillator

450 kHz

1179 kHz

LO1629 kHz

AM- LF-Blandare 450 kHz detektor förstärkare

2079 kHz

LO1629 kHz

AM- LF-Blandare 450 kHz detektor förstärkare

SuperheterodynprincipenMed hjälp av filtret, AM-detektorn och LF-förstärkaren så har vi en mottagare för 450kHz. Hur bär vi oss åt för att t.ex. lyssna påmellanvågsstationen i Sölvesborg på 1179kHz?

Vad gör vi? Vi ”flyttar” 1179 kHz till 450kHz i en blandare av samma typ som an-vänds när vi alstrar DSB-signaler.

Vad händer i blandaren? Det bildassumma och skillnad. Till blandarens två in-gångar matar vi antennsignalen på ena por-ten och till andra porten en i mottagaren ”lo-kalt” alstrad växelspänning, alstrad i lokal-oscillatorn, som vi ställer in på 1629 kHz. Iblandaren alstras summa och skillnad mel-lan antennsignalens alla frekvenskompo-nenter och lokaloscillatorsignalen.

I detta fall kommer skillnaderna att ut-göras av den önskade signalens spektrumcentrerat runt 450 kHz. Denna signal kanpassera filtret, AM-detekteras, förstärkas

och avlyssnas i högtalaren.Att på detta sätt bilda skillnadsfrek-

venser har fått namnet heterodyn-principen,och en radiomottagare som utnyttjar dennablandningsprincip kallas ”superheterodyn-mottagare”.

På 1930-talet fanns ”raka mottagare”,mottagare som hade ett varierbart filter påingången, som en kristallmottagare med LF-förstärkare. Men vid slutet av 1930-talet komsuperheterodynmottagaren och den är fort-farande helt dominerande.

Man börjar klara att bygga mottagaremed koherent detektor för mottagning avDSB (datasignaler), som har huvuddelen avfiltreringen efter detektorn, i form av lågpass-filter vid LF-förstärkaren.

SpegelfrekvensenDet finns ytterligare en antennsignal somkan passera 450 kHz-filtret, nämligen 2079kHz!

450 kHz


100


2079 kHzspegelfrekvens

1629 kHzlokaloscillator

450 kHz

1179 kHz

450 kHz

= + = + +

LO signal MF

spegel signal MF MF

f f f

f f f f

= − = − −

LO signal MF

spegel signal MF MF

f f f

f f f f

1179 kHz

BP-filter BP-filter Bl. MF AM-det. LF

1179 kHzLO

1629 kHz

SpegelfrekvensenMellan antennen och blandarsteget måstefinnas ett filter som dämpar spegelfrek-vensen, ett bandpassfilter avstämt till denönskade radiosignalens frekvens. Kravet pådetta filter är inte smal bandbredd utan attdet dämpar tillräckligt mycket på spegel-frekvensen. Tillräckligt mycket kan i dessasammanhang innebära en dämpning påända upp till –100 dB. Starkast tänkbara sig-nal på spegelfrekvensen skall inte störa sva-gast tänkbara önskad signal.

LokaloscillatorfrekvensenSkillnad innebär att lokaloscillatorfrekvensenminus den önskade antennsignalen, ellerden önskade antennsignalen minus lokal-oscillatorfrekvensen, skall vara mellan-frekvensen, i detta fall 450 kHz.

1179 kHz729 kHzlokaloscillator

450 kHz

279 kHzspegelfrekvens

450 kHz

LO högre än den önskade signalenVi kan alltså välja att lägga lokaloscillatornhögre i frekvens än den önskade antenn-signalen. I detta fall kommer spegelfrekven-sen att hamna ännu högre i frekvens.

Vanligast är att lokaloscillatorn liggerhögre i frekvens.

LO lägre än den önskade signalenVi kan även välja att lägga lokaloscillatornlägre i frekvens än den önskade antenn-signalen. I detta fall kommer spegelfrek-vensen att hamna ännu lägre i frekvens.


101

© Per Wallander

HF

Bl.

LO

MF

AM-det.

LF

SuperheterodynmottagarenFrån antennen kommer antennsignalen. Antennenkan sitta högt belägen. Då har vi en antennkabelmellan antennen och radiomottagaren.

Det är även vanligt att antennen sitter på självaradiomottagaren eller t.o.m. är inbyggd i höljet. Äveni dessa fall finns oftast en antennkabel, även om denär kort.

Högfrekvenssteget (HF)Mellan antennen och blandaren finns filtret för dämp-ning av spegelfrekvensen. Avstämning till rätt frek-vens sker med mottagarens frekvensratt.

Det är svårt att göra ett blandarsteg med lågbrusfaktor. För att förbättra mottagarens känslighet,minska egetbruset, så kan det finnas en transistor-förstärkare (HF-steget) med låg brusfaktor.

Blandarsteget (Bl.) och lokaloscillatorn (LO)Därefter kommer blandarsteget, där antennsignalenblandas med signalen från lokaloscillatorn. Lokal-oscillatorns frekvens ändras med mottagarensfrekvensratt. Skillnadsfrekvensen (HF – LO eller LO– HF) kallas mellanfrekvensen (MF).

Mellanfrekvenssteget (MF)I MF-steget sitter det smala filter som ser till att duinte störs av frekvenser utanför frekvenskanalen.Dessutom är det denna bandbredd som begränsarbruset som når fram till detektorn.

Vid mottagning av AM är filtret 6 – 10 kHz brettoch vid mottagning av SSB är filtret ca 3 kHz brett. Idessa fall är MF-frekvensen oftast ca 450 kHz.

Vid mottagning av FM-rundradio är filtret unge-fär 200 kHz brett och MF-frekvensen 10,7 MHz.

Vid analog tv-mottagning är filtret 5 MHz brettcentrerat vid 36,7 MHz. Tv-signalen är VSB utsändmed övre sidbandet, men nedblandad med en lokal-oscillator som ligger högre i frekvens.

Även GSM-mottagaren har ett filter med 200 kHzbandbredd centrerat vid 10,7 MHz.

DetektornDetektorn kan vara en AM-detektor, en SSB-detek-tor eller koherent detektor för DSB med bärvågs-generering (bärvågen skall ligga på MF-frekvensen),en FM-detektor eller någon form av datadetektor.

Lågfrekvensförstärkaren (LF)I lågfrekvensförstärkaren förstärks informations-signalen till önskad nivå. Här sitter mottagarens vo-lymkontroll.


102


DubbelsuperheterodynHF-filtret som skall dämpa spegelfrekvensenhar en bandbredd som kan vara 5 – 10 %av resonansfrekvensen. Om mellanfrekven-sen är 450 kHz så kommer spegelfrekven-sen att hamna 900 kHz från den önskadeantennsignalen. Det är inte säkert att HF-filtret har tillräcklig dämpning 900 kHz frånresonansfrekvensen om signalfrekvensen ärhög. Då kan man blanda ner signalfrekven-sen i flera steg, i en dubbelsuperheterodyn-mottagare.

På bilden ovan syns en mottagare som skallta emot 27 MHz. Genom att först blanda ner27 MHz-signalen till 5 MHz, första mellan-frekvens (MF 1), så kommer spegelfrek-vensen som skall dämpas av HF-filtret atthamna på 17 MHz, tillräckligt långt bort föratt dämpas av ett enkelt HF-filter.

Därefter blandas 27 MHz-signalen somnu blivit en 5 MHz-signal med 5450 kHz frånandra lokaloscillatorn, och vi får 450 kHz,andra mellanfrekvens (MF 2). I detta fallhamnar spegelfrekvensen på 5900 kHz, ensignal som dämpas av MF 1-filtret, om densignalen skulle finnas på utgången av för-sta blandaren.

Första lokaloscillatorn bestämmermottagarens frekvensI denna dubbelsuper varierar man förstalokaloscillatorn, medan andra lokaloscilla-torn ligger på en fast frekvens (5450 kHz).

27 000 kHz HF Bl. MF 1 Bl. MF 2 AM-det. LF

5 MHz

LO 2

5450 kHz

LO 1

22 000 kHz

450 kHz27 000 kHz


103

© Per Wallander

Satellit-mottagare

Mikrovågs-huvud

till TV-mottagare

Satellitmottagning — en dubbelsuperVid satellitmottagning ligger signalfrek-vensen i 11 GHz-bandet. Så hög frekvensdämpas kraftigt i koaxialkabel. Dämpningeni kabeln ökar med ökande frekvens. Därförhar man placerat HF-förstärkaren och för-sta blandaren med sin lokaloscillator i direktanslutning till den mottagarantenn som sit-ter i fokus (mikrovågshuvudet) av parabolen.

Första lokaloscillatorn fastI detta fall ligger första lokaloscillatorn påen fast frekvens. Detta innebär, om den fastafrekvensen är 9750 MHz, att alla frekvenserinom satellitbandet 10,7 – 11,8 GHz flyttasner till bandet 950 – 2050 MHz. Dettafrekvensband överförs på kabel ner till självasatellitmottagaren, som med en variabellokaloscillator klarar att ta emot satellit-kanalerna och omvandla dessa till 480 MHzmellanfrekvens med 27 MHz bandbredd.

480 MHz

LO 2

1430 - 2530 MHz

950 - 2050 MHz

LO 1

9750 MHz10750 MHz

950 - 2050 MHz

10,7 - 11,8 GHz11,7 - 12,8 GHz

till FM-detektor och vidare till TV-mottagare

MikrovågshuvudSatellitmottagare

Från satellitmottagaren kan man byta frek-vens på LO 1 från 9750 MHz till 10 750 MHzgenom att ändra matningsspänningen från14 V till 16 V. På detta sätt ordnar satellit-mottagaren ”automatisk” omkoppling så attdet går att ta emot alla kanaler inom satellit-bandet 10,7 – 12,8 GHz.

Tv-signalen är frekvensmoduleradNär analog tv sänds i ”marknätet” är bild-signalen amplitudmodulerad med VSB. Vidanaloga tv-sändningar via satellit är bild-signalen frekvensmodulerad med en band-bredd på 27 MHz. Tack vare att signalensprids på en bredare frekvenskanal så kla-rar man sig med 7 dB signal/brusförhållande.Vid mottagning i analoga marknätet krävs30 dB signal/brusförhållande för fullgod bild-kvalitet.


104


LO

10 dB 6 dB 70 dB

LFDet.MFBl.HF

6.2 Decibel och förstärkning

Alltid effektförhållandeI denna bok används decibel ALLTID för attbeteckna ett effektförhållande. Förstärk-ningen G i ett förstärkarsteg innebär alltidförhållandet mellan uteffekten och ineffek-ten.

Hur hög effekt når fram till detektorn?Vi har en superheterodynmottagare där HF-steget förstärker 10 dB, blandarsteget för-stärker 6 dB och MF-steget (flera transis-torer) förstärker 70 dB. Om den önskade sig-nalen har nivån µ10 effV på antennkabelnoch HF-stegets inimpedans är 50 Ω, hur högeffekt kommer då fram till detektorn?

Det finns en ”säker” metod:Beräkna insignalens effekt och multiplicerasedan med de olika stegens förstärkning.

dBm och dBWDecibel uttrycker ett effektförhållande, menkan även referera till en känd effektnivå. Detfinns två referensnivåer:• Om effekten anges i mW så är enheten

dBm.

• Om effekten anges i W så är enhetendBW.

Enda skillnaden mellan dBm och dBW äratt siffervärdet för dBm är +30 dB högre.

effektnivå?

= ⇒ ⋅ = −0,8 10 log(0,8 ) 1DetektorP mW mW dBm

= ⇒ ⋅ = −0,0008 10 log(0,0008 ) 31DetektorP W W dBW

( )−−

⋅= = ⋅

26

1210 10

2 1050inP W

−= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =10 6 70

12 10 10 102 10 10 10 10 0,8DetektorP mW

10

inimpedans: 50 effVµ

Ω


105

© Per Wallander

effektnivå?LO

10 dB 6 dB 70 dB

LFDet.MFBl.HF

En ”elegant” metodOm det finns en säker metod så borde detäven finnas en elegant metod?

När man blir van att räkna med dB så ärenklaste metoden att beräkna insignalenseffekt i dBm och sedan addera förstärk-ningarna och subtrahera dämpningarna ut-tryckta i dB.

[ ] = − + + + = −117 10 6 70 31DetektorP dBW dBW

10

inimpedans: 50 effVµ

Ω

[ ] ( )−⋅= ⋅ = −

2610 1010 log 117

50inP dBW dBW[ ] ( )

( )

−

−

⋅= ⋅ =

= ⋅ ⋅ − ⋅ =

= − − == −

26

26

10 1010 log

50

10 log 10 10 10 log50

100 17

117

inP dBW

dBW

Så här räknar jag:


106


6.3 Signal/brusförhållandet före detektorn

Vi har beräknat signalens nivåSignalens nivå vid mottagarens antenn-ingång har redan beräknats, både som ef-fekt i W och uttryckt i dBm och dBW.

Beräkna mottagarens brustemperaturVisst kan man utnyttja formeln för brusfaktornär man har flera seriekopplade förstärkare.Själv tycker jag att det är lika enkelt att be-räkna brustemperaturbidraget från varje stegför sig (vilket är exakt vad formeln gör).

Brustemperatur från antennenI detta fall fångar antennen upp atmosfär-brus av sådan nivå att antennen ser ut somen bruskälla med brustemperaturen 3000K.

Brustemperatur från HF-stegetHF-steget har brusfaktorn 2 dB och dettabrus finns på ”rätt ställe”, på ingången tillHF-steget.

Brustemperatur från blandarstegetBlandarsteget har brusfaktorn 6 dB mendetta brus måste dämpas med HF-stegetsförstärkning för att hamna på ingången tillHF-steget.

Brustemperatur från MF-stegetMF-steget har brusfaktorn 15 dB och dettabrus måste dämpas med både blandar-stegets och HF-stegets förstärkning för atthamna på ingången till HF-steget.

[ ] −= ⋅ ⋅ =

= − = −

1510 log(0,43 10 )

153,7 123,7inN dBW W

dBW dBm

LO

LFDet.MFBl.HF

B=8 kHz

3000K

S/N

Beräkna bruset här

Beräkna signalen här

G=10 dBNF=2 dB

G=6 dBNF=7 dB

G=70 dBNF=15 dB

122 10

117

117 30 87

in

in

in

P W

P dBW

P dBm

−= ⋅= −= − + = −

3000antennT K=

210

0(10 1) 169,6HFT T K= − =6

100

1010

(10 1)86,5

10Bl

TT K

−= =

1510

010 610 10

(10 1)222

10 10MF

TT K

−= =⋅

23

15

( )

(3000 169,6 86,5 222)

1,38 10 3478,1 9000

0,43 10

in Antenn HF Bl MFN k T T T T B

k B

W

−

−

= ⋅ + + + ⋅ == ⋅ + + + ⋅ == ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅

−= ⋅= −= −

150,43 10

153,7

123,7

in

in

in

N W

N dBW

N dBm


107

© Per Wallander

Nu känner vi signaleffekten på ingången ochbruseffekten på ingången. Då är det baraatt beräkna signal/brusförhållandet.

−

−

⋅= = ⋅ =⋅

12

15

2 1010 log 36,68

0,43 10in

in

S P WdB

N N W

[ ] [ ]= − = − − − =117 ( 153,7) 36,7in in

SP dBW N dBW dB

N

[ ] [ ]= − = − − − =87 ( 123,7) 36,7in in

SP dBm N dBm dB

N

Vi vill ha signal/brusförhållandet uttryckt i dB.

• Utgå från effekterna. Beräkna förhållandet iggr och omvandla till dB.

• Utgå från effekterna uttryckta i dBW.Beräkna skillnaden.

• Utgå från effekterna i dBm. Beräknaskillnaden.


108


7 — Frekvensmodulering ochfasmodulering

109

© Per Wallander


Frekvensmodulering innebär att bärvågensfrekvens ändras i takt med informations-signalen.

Fasmodulering innebär att bärvågens fas-fördröjning ändras i takt med informations-signalen.

Om fasfördröjningen ändras (om spännings-visaren ändrar fasvinkel) så uppstår enfrekvensändring vid själva ändringen. Fas-modulering är därför samma sak som frek-vensmodulering av informationssignalensändringar, d.v.s. informationssignalens de-rivata.

Vi tittar på frekvensmodulering i tidsplanetsamt hur FM-modulering hanteras matema-tiskt och kommer fram till FM-signalensspektrum, där vi behöver tabeller eller kur-vor över Besselfunktionerna för att få framspektralkomponenternas amplituder.

Ur spektrat får vi FM-signalens bandbredd,som även kan beräknas med Carsons re-gel.

Varför bildas så många spektralkom-ponenter? När vi förstår vad detta innebärfysikaliskt så studerar vi vad som händer nären bandbegränsad FM-signal matas genomen limiter.


110


7.1 Argumentmodulering

Spänning

Frekvens

Tid

Amplitudändring i tiden

t

Spänning

Frekvens

Tid

Frekvensändring i tiden

Hittills har vi studerat olika former av ampli-tudmodulering, där vi påverkar bärvågensamplitud Ec.• Vid AM låter vi bärvågens amplitud va-

riera i takt med informationssignalen.

• Vid VSB sänder vi bara ”halva” AM-signa-lens spektrum.

• Vid DSB skapar vi en AM-signal menundertrycker bärvågen.

• Vid SSB sänder vi bara ”halva” DSB-signalens spektrum.

• Vid QAM sänder vi två DSB-signaler 90°i fas.

I inget av fallen gör vi någon medveten för-ändring av bärvågens frekvens fc eller fas-vinkel ϕ . Men när vi filtrerar bort halvaspektrat så som vi gör vid VSB och SSB såresulterar detta i att signalens spännings-vektor, förutom att variera i amplitud, dess-utom får en frekvens/fasvariation.

Bärvågen: cos[2 ]c cE f tπ ϕ+

Amplitudmodulering:( )cos[2 ]c cE t f tπ ϕ+

Frekvensmodulering:cos[2 ( ) ]c cE f t tπ ϕ+

Informationssignal

Frekvensmodulerad signal

t

t

f1 f1f2f2

Spänning

Frekvens

f1 f2fc


111

© Per Wallander

tid

Fasmodulering: cos[2 ( )]c cE f t tπ ϕ+

ArgumentmoduleringArgumentmodulering innebär att inte rörabärvågens amplitud Ec utan bara påverkabärvågens argument. Detta kan göras på tvåsätt:• Frekvensmodulering, där vi ändrar frek-

vensen fc i takt med informationen.

• Fasmodulering, där vi adderar en fas-vinkel ϕ som är proportionell mot infor-mationen.

FrekvensmoduleringVid frekvensmodulering rör vi inte bärvåg-ens amplitud utan låter dess frekvens fcändras proportionellt mot informations-signalen.

Om informationssignalen är en fyrkant-våg så kommer FM-signalen att växla mel-lan två olika frekvenser, se bilden.

FasmoduleringDet andra sättet att argumentmodulera, attmodulera fasvinkeln ϕ , innebär att bärvågs-signalens frekvens inte ändras, utan dessfasvinkel ϕ . Men fasvinkeln talar om när sig-nalen kommer fram i tiden. Fasmoduleringinnebär alltså att bärvågen kommer fram litetidigare (positiv fasvinkel) eller lite senare(negativ fasvinkel).

Bilden visar bärvågen som fasmodule-ras. När fasvinkeln ändras från positiv fas-vinkel till negativ fasvinkel så dras cosinus-kurvan isär. Visaren roterar momentant lång-sammare än fc. Detta innebär en minskningav frekvensen.

När fasvinkeln ändras från negativ tillpositiv fasvinkel roterar visaren momentantsnabbare och cosinuskurvan trycks ihop. Vifår en höjning av frekvensen.

Vid fasmodulering är ändringarnafrekvensmoduleradeVi ser att vid fasmodulering är informations-signalens ändringar frekvensmodulerade.Man kan därför derivera informations-signalen, d.v.s. mata informationssignalengenom ett högpassfilter och låta den styraen frekvensmodulator. Resultatet blir en fas-modulerad signal.

På samma sätt kan vi integrera informa-tionssignalen genom att mata den genom

tid

tid

ϕ+

ϕ+

ϕ−

ϕ−

90+ °

90+ ° 90+ °

90− °

90− °90− °

ett lågpassfilter varefter den får styra en fas-modulator. Resultatet blir en frekvensmodu-lerad signal.

tid

Fasmodulerad signal

Informationssignal

tid

"1" till "0"

Frekvens

fc

"0" till "1"

Spänning


112


7.2 Frekvensmodulering i tidsplanet

CL

π= 1

2resonansf

LC

ResonanskretsenVi utgår från resonanskretsen. Resonans-frekvensen bestäms av spolens induktansoch kondensatorns kapacitans.

Använd en variabel kondensator, t.ex.en vridkondensator. Vrid fram och tillbaka.Då ändras resonanskretsens resonans-frekvens i takt med ”informationen”, i taktmed vridningen.

Låt resonanskretsen vara det frekvens-bestämmande elementet i en oscillator, t.ex.en signalgenerator. Vrid fram och tillbaka påfrekvensratten. Då blir utsignalen frekvens-modulerad.

Spänningsstyrd oscillator, VCOByt vridkondensatorn mot en spännings-styrd kapacitansdiod (varicap). Då kanväxelspänningens frekvens ändras med enspänning som styr kapacitansen i kapaci-tansdioden.

Kapacitansdioden måste ha backspänningsamtidigt som den frekvensbestämmandespänningen skall kunna variera runt noll-värdet. Därför matas kapacitansdioden viaen spänningsdelare där spänningen Uc harvalts så att frekvensen blir 100 MHz när m(t)har värdet 0 V.

En oscillator vars frekvens påverkas aven styrspänning kallas VCO (VoltageControlled Oscillator).

Man kan rita ett diagram över hur frekven-sen ändras med styrspänningen. När styr-spänningen har värdet 0 V lämnar vår oscil-lator 100 MHz.

När styrspänningen ökar till +1 V såökar backspänningen över kapacitans-dioden och kapacitansen minskar. Frekven-sen ökar till 100,050 MHz.

När styrspänningen minskar till –1 Vminskar frekvensen till 99,050 MHz.

+ CU

( )m t

( )m t

100,000

100,050

99,950

MHz

-2 -1 0 +1 +2 volt

Vi kan beräkna kfUr diagrammet kan vi beräkna frekvens-ändring per volt styrspänning:

100,050 99,950 0,150 kHz/V

1 ( 1) 2fk−= = =

+ − −


113

© Per Wallander

Nu tänker vi oss att m(t) varierar från + 0,8volt till – 0,8 volt. Detta innebär att denfrekvensmodulerade bärvågen kommer attsvepa fram och tillbaka i frekvens, mellanyttervärdena 99,960 och 100,040 MHz.

DeviationMaximala frekvensavvikelsen kallas FM-signalens deviation ∆f .

max( ) 0,050 0,8 0,040ff k m t MHz∆ = ⋅ = ⋅ =

Bärvågs-amplitud E

c ∆f∆f

INTE FM-signalens bandbreddOBSERVERA att vi inte ritat FM-signalensspektrum. Bilden visar vad bärvågen gör itidsplanet.

På samma sätt som AM-signalen haren bärvåg med konstant frekvens som va-rierar i amplitud, så har FM-signalen en bär-våg med konstant amplitud som varierar ifrekvens.

Bandbredden beror både på devia-tionen och informationssignalensfrekvensAM-signalens bandbredd påverkas av hursnabbt bärvågen varierar i amplitud, ochdetta beror på informationssignalens frek-vens.

På samma sätt får FM-signalen enbandbredd som överstiger ∆2 f . Hur mycketstörre bandbredden blir beror på hur snabbtFM-signalen varierar i frekvens, och dettaberor på informationssignalens frekvens.

Frekvens

Tid

Spänning

100,0

+0,8

-0,8

100,04099,960

FM-signalens deviation


114


7.3 Frekvensmodulering och matematiken

Vid amplitudmodulering finns ett linjärt sam-band mellan informationssignalens spek-trum och den amplitudmodulerade signal-ens spektrum. Därför är det relativt okom-plicerat att ta sig från informationssignalensspektrum till den amplitudmoduleradesignalens spektrum, antingen genom attbetrakta en spektralkomponent i taget, såsom vi gjort, eller med transformräkning viaFouriertransformer och faltning.

Vid argumentmodulering råder ett icke-linjärtförhållande mellan informationssignalensspektrum och den argumentmoduleradesignalens spektrum. Därför finns inget en-kelt sätt att beräkna den argumentmodu-lerade signalens spektrum vid valfri informa-tionssignal m(t). Vi håller oss därför tillspecialfallet att informationssignalen är enenkel sinussignal (1). Men även i detta fallblir beräkningarna komplicerade. Liksom vidamplitudmodulering så håller vi oss genom-gående till cosinusfunktioner.

Bärvågen s(t) har som vanligt amplitudenEc och växelspänningen beskrivs medcosinusfunktionen (2).

Vid fasmodulering låter vi fasvinkeln varierai takt med m(t). Vi inför proportionalitets-konstanten kp (phase modulation) och fårsPM(t) som är den fasmodulerade signalensom funktion av tiden (3).

På motsvarande sätt är sFM(t) den frekvens-modulerade signalen som funktion av tiden(4).

Vid frekvensmodulering är frekvensen enfunktion av tiden, som i sin tur är en funk-tion av tiden (multipliceras med t) som där-efter utgör argument i en cosinusfunktion.Detta är svårt att hantera matematiskt. Där-för gör vi på följande sätt:

Tidsderivatan av argumentet θ är ögon-blicksvärdet av vinkelfrekvensen iω som i sintur är 2π multiplicerat med frekvensen (5).

Förläng uttrycket med dt och häng på

1) π=( ) cos2m mm t E f t

2) θ=( ) cos( )cs t E

3) ( ) cos 2 ( )PM c c ps t E f t k m tπ = + ⋅

4) [ ]( ) cos 2 ( ( ))FM c c fs t E f k m t tπ= + ⋅

integraltecken och integrera, så får vi argu-mentet FMθ för FM-modulering.

Nu har vi fått ett uttryck för den frekvens-modulerade signalen ( )FMs t som egentligenär fasmodulering med informationssignalensintegral (6).

Samtidigt inför vi en cosinusformadinformationssignal och löser integralen (7).Vid integreringen får vi en integrationskon-stant kθ som vi inte behöver bry oss om. Enkonstant fasvinkel innebär bara att spän-ningsvisaren inte ”började” snurra från rikt-ningen 0° i visardiagrammet.

I uttryck (8) identifierar vi FM-signalens de-viation d.v.s. den maximala frekvensav-vikelsen hos frekvensens ögonblicksvärde,samt inför modulationsindex mf för frekvens-modulering (8).

Dela isär argumentet, se trigonometriskaformelsamlingen, så får vi uttryck (9).

I uttryck (9) finns två termer som kan skri-vas som oändliga trigonometriska seriermed amplituder som i sin tur är oändligaserier, vars summa är de s.k. Bessel-funktionerna av n:te ordningen med modu-lationsindex som argument (10).

Utnyttja detta så får vi (11) som är spek-trum för en bärvåg med amplituden Ec somfrekvensmoduleras av en cosinusfunktionmed frekvensen fm på sådant sätt attmodulationsindex blir mf . Vi har även attdeviationen blir:

∆ = ⋅f mf m f


115

© Per Wallander

5)( )

2 [ ( )] 2 2 ( )FMi c f c f

df k m t f k m t

dtθ ω π π π= = + ⋅ = + ⋅

6)( ) cos 2 2 ( )

( ) cos2

t

FM c c f

m m

s t E f t k m t dt

m t E f t

π π

π−∞

= +

=

∫

7) [ ]( ) cos 2 [ cos(2 )]

cos 2 2 cos(2 )

2cos 2 sin2

2

FM c c f m m

t

c c f m m

f mc c m k

m

s t E f k E f t t

E f t k E f t dt

k EE f t f t

f

π π

π π π

ππ π θπ

−∞

= + ⋅ =

= + =

⋅= + +

∫

8)f m

fm

f k E

fm

f

∆ = ⋅ ∆ =

9) [ ] [ ]( ) cos2 cos sin2 sin2 sin sin2FM c c f m c c f ms t E f t m f t E f t m f tπ π π π= ⋅ ⋅ − ⋅ ⋅

10) [ ][ ]

π π π

π π π

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅

0 2 4

1 3

cos sin2 ( ) ( ) cos4 ( ) cos8

sin sin2 ( ) sin2 ( ) cos6

f m f f m f m

f m f m f m

m f t J m J m f t J m f t

m f t J m f t J m f t

11)

[ ][ ][ ][ ]

ππ π

π π

π π

π π

= ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + − − +

+ ⋅ ⋅ + + −

+ ⋅ ⋅ + − − +

+ ⋅ ⋅ + + − +

+ ⋅ ⋅

0

1

2

3

4

5

( ) ( ) cos2

( ) cos2 ( ) cos2 ( )

( ) cos2 ( 2 ) cos2 ( 2 )

( ) cos2 ( 3 ) cos2 ( 3 )

( ) cos2 ( 4 ) cos2 ( 4 )

( ) co

FM c f c

c f c m c m

c f c m c m

c f c m c m

c f c m c m

c f

s t E J m f t

E J m f f t f f t

E J m f f t f f t

E J m f f t f f t

E J m f f t f f t

E J m [ ]π π+ − − + ⋅ ⋅ ⋅s2 ( 5 ) cos2 ( 5 )c m c mf f t f f t

[ ]( ) cos 2 sin2FM c c f ms t E f t m f tπ π⇒ = +

( ) 2 2 ( )

( ) 2 2 ( )

2 2 ( )

FM i c f

t t t

FM i c f

t

FM i c f

d dt f dt k m t dt

d dt f dt k m t dt

t f t k m t dt

θ

θ ω π π

θ ω π π

θ ω π π

−∞ −∞ −∞ −∞

−∞

= = + ⋅

= = +

= = +

∫ ∫ ∫ ∫

∫


116


7.4 Frekvensmodulerade signalens spektrum

Frekvensmodulerade signalens spektrumframgår av ekvation (11) på föregående sida.Låt oss titta på ett exempel.

Börja med omodulerade bärvågens frekvens: 100cf MHz=Detta är spektrats mittpunkt.

Bärvågens amplitud: 30cE V= (toppvärde).cE behövs när frekvenskomponenternas amplituder skall beräknas.

Nästa steg är informationssignalens frekvens: 10mf kHz=Detta är frekvensdelningen mellan spektralkomponenterna (på samma sättsom vid AM).

Nu har vi allt utom frekvenskomponenternas amplituder som är ( )c n fE J m⋅ .Värdet på Besselfunktionerna hämtar vi ur diagrammet, men vi behöver vetavar vi skall avläsa. Vi behöver fm .

max( )f

fm m

k m tfm

f f

⋅∆= =

Modulationsfrekvensen (informationssignalens frekvens) mf känner vi. Men vikänner inte deviationen f∆ .Däremot känner vi informationssignalens maxvärde

max( ) 5m t = volt (den

spänning som ger maximal frekvensavvikelse, maximal deviation) och vi vet att2 volt ger 12 kHz frekvensavvikelse, d.v.s.

126 kHz/V

2f

kHzk

V= =

Ur detta får vi:

max( ) 6 5

310

ff

m m

k m tfm

f f

⋅∆ ⋅= = = =

Nu avläser vi ur diagrammet och beräknar frekvenskomponenternasamplituder.

VIKTIGT: Vid AM fick vi halva amplituden på den övre frekvensen och halva påden undre frekvensen. Så är det inte vid FM. ( )c n fE J m⋅ är amplituden påspektralkomponenten!

Bärvågen 830cos(2 10 )cE tπ= skall frekvensmoduleras. Man har funnit att enlikspänning på 2 volt ger 12 kHz frekvensändring. Rita amplitudspektrum ommodulationssignalen (informationssignalen) är 4( ) 5cos(2 10 )m t tπ= ⋅ .


117

© Per Wallander

1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

−0,1

−0,2

−0,3

−0,40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Modulationsindex (mf)

J0(mf)

J1(mf)

J2(mf)J3(mf)

J5(mf) J6(mf) J7(mf) J8(mf)

J4(mf)

frekvensfc +fm−fm

Ec |J1(mf)| Ec |J1(mf)|

Ec |J0(mf)|

Ec |J2(mf)| Ec |J2(mf)|

Ec |J3(mf)|

Ec |J4(mf)|Ec |J5(mf)|

Ec |J6(mf)|

Ec |J3(mf)|

Ec |J4(mf)|Ec |J5(mf)|

Ec |J6(mf)|

−3fm −2fm−4fm−5fm−6fm +2fm +3fm +4fm +5fm +6fm

Spänning

OBS! Frekvensavståndet beror på mf .Detta har inget med f∆ att göra.

max( )f

fm m

k m tfm

f f

⋅∆= =OBS! Här behövs både deviationen f∆och modulationsfrekvensen mf vidberäkning av modulationsindex fm .

100,000 0( ) 30 0,26 7,8 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,010 1( ) 30 0,34 10,2 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,020 2( ) 30 0,49 14,7 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,030 3( ) 30 0,31 9,3 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,040 4( ) 30 0,13 3,9 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,050 5( ) 30 0,04 1,2 Vc fE J m⋅ = ⋅ =100,060 6( ) 30 0,01 0,3 Vc fE J m⋅ = ⋅ =

99,990 1( ) 30 0,34 10,2 Vc fE J m⋅ = ⋅ =99,980 2( ) 30 0,49 14,7 Vc fE J m⋅ = ⋅ =99,970 3( ) 30 0,31 9,3 Vc fE J m⋅ = ⋅ =99,960 4( ) 30 0,13 3,9 Vc fE J m⋅ = ⋅ =99,950 5( ) 30 0,04 1,2 Vc fE J m⋅ = ⋅ =99,940 6( ) 30 0,01 0,3 Vc fE J m⋅ = ⋅ =

FrekvensMHz

FrekvensMHz

Amplitud Amplitud


118


7.5 Frekvensmodulerade signalens bandbredd

[ ]( ) cos 2 sin2FM c c f ms t E f t m f tπ π= +Vi har beräknat amplitudspektrat för en sig-nal som är frekvensmodulerad av en cosi-nussignal. Men det matematiska uttrycket äridentiskt med en signal som är fasmodule-rad av en sinussignal.

Av detta kan vi dra slutsatsen att vidmodulering med sinusformad signal, så bliramplitudspektrat identiskt för frekvens- ochfasmodulering, om modulationsindex väljsså att f pm m= .

Hur många spektralkomponenter?Hur stor bandbredd behövs för att överföraen frekvensmodulerad signal? Det finns juoändligt antal spektralkomponenter. Hurmånga skall man ta med?

En tumregel har blivit att man tar medså många att man inte förlorar mer än nå-gon eller några procent av signalens effekt.

FM-signalens effektHur beräknar vi FM-signalens effekt? Detenklaste är att se FM-signalen i tidsplanet.Där har vi en bärvåg med konstant ampli-tud som sveper f∆ fram och f∆ tillbaka. FM-signalens effekt är helt enkelt effekten i bär-vågen.

Summera effekten i spektral-komponenternaNär FM-modulering betraktas i frekvens-planet, som spektrum, så har bärvågen de-lat upp sig på spektralkomponenter. Meneffekten i bärvågen skall vara densammasom summan av effekterna i spektral-komponenterna. Vi skall se om detta stäm-mer.

( ) cos 2 ( )

( ) sin2

PM c c p

m m

s t E f t k m t

m t E f t

π

π

= + ⋅ =

( ) cos 2 sin2

cos 2 sin2

PM c c p m m

c c p m

s t E f t k E f t

E f t m f t

π π

π π

= + ⋅ = = +

2

2

2

22

302

c

cFM

EE

PR R

R

= = =

⋅

=⋅

( )

2 2 2 2

0 1 2 3

2

4

22 2 2 2 20 1 2 3 4

( ) ( ) ( ) ( )

2 2 2 22 2 2

( )

22

( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 ( )2

c f c f c f c f

FM

c f

cf f f f f

E J m E J m E J m E J m

PR R R R

E J m

RE

J m J m J m J m J mR

⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = + ⋅ + ⋅ + ⋅ +

⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅ =

= + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ + ⋅ ⋅ ⋅⋅


119

© Per Wallander

2 20( ) 0,260 0,0676fJ m = = 0,0676

+ 2 2

12 ( ) 2 0,339 0,2298fJ m⋅ = ⋅ = 0,2974

+ 2 2

22 ( ) 2 0,486 0,4724fJ m⋅ = ⋅ = 0,7698

+ 2 2

32 ( ) 2 0,309 0,1910fJ m⋅ = ⋅ = 0,9608

+ 2 2

42 ( ) 2 0,132 0,0348fJ m⋅ = ⋅ = 0,9956

+ 2 2

52 ( ) 2 0,043 0,0037fJ m⋅ = ⋅ = 0,9993

+ 2 2

62 ( ) 2 0,011 0,00024fJ m⋅ = ⋅ = 0,9995

Summa

Vi ser i tabellen hur summan av sidbands-paren börjar närma sig 100 %. För att dennaberäkning skall vara någorlunda rättvisandeså krävs noggranna siffervärden på Bessel-funktionerna.

Om vi tar med mittkomponenten och fyrasidbandspar så får vi 99,6 % av signalenstotala effekt. Då blir totala bandbredden

8 80mB f= ⋅ = kHz.Hur många sidbandspar som måste tas

med beror på modulationsindex fm som juskiljer från fall till fall.

Carsons regelDet finns ett förenklat sätt att beräkna erfor-derlig bandbredd som går ut på att man förstbehöver bandbredd för att få igenom devia-tionen, d.v.s. 2 f⋅ ∆ . Men det räcker inte meddetta. Då gör man som vid AM, man läggertill bandbredd motsvarande högstamodulationsfrekvensen på båda sidor.

Detta sätt att beräkna bandbredden harfått namnet Carsons regel. Det är inte enmatematiskt härledd lag utan en tumregel.Vanligtvis får man med 98 – 99 % av signa-lens effekt inom denna bandbredd.

2 ( ) 2 (30 10) 80 kHzmB f f= ⋅ ∆ + = ⋅ + =

Andel av effekten i varjesidbandspar

Carsons regel:


120


7.6 Varför så många spektralkomponenter?

Varför innehåller den FM-modulerade signa-lens spektrum oändligt antal sidbandsparnär den AM-modulerade signalen bara inne-håller ett sidbandspar när man modulerarmed en sinusformad signal? För att besvaraden frågan så måste vi titta på den FM-modulerade signalen som spänningsvisare.

cos2 ( )2m

c m

Ef f tπ −

cos2 ( )2m

c m

Ef f tπ +

cos2c cE f tπ

( ) cos2

cos2 ( ) cos2 ( )2 2

AM c c

m mc m c m

s t E f t

E Ef f t f f t

π

π π

= +

+ + + −

cos2c cE f tπ

[ ]1

( ) cos2

( ) cos2 ( ) cos2 ( )FM c c

c f c m c m

s t E f t

E J m f f t f f t

ππ π

= ⋅ ++ ⋅ ⋅ + − −

1( )cos2 ( )c f c mE J m f f tπ⋅ +

1( )cos2 ( )c f c mE J m f f tπ− ⋅ −

Detta är AM-modulering. Vi har bärvågenoch två sidband, där sidbandet med högrefrekvens snurrar motsols och sidbandetmed lägre frekvens snurrar medsols.

Resultanten ändrar endast sin amplitud.

Genom att sätta minusteckenframför sidbandet med lägrefrekvens så kommer resultanteninte att ligga still utan ändra sinfasvinkel fram och tillbaka. Dettaär FM-modulering.

Men vi har inte ren FM.Resultantens amplitud ändrasnär visaren sveper fram ochtillbaka.


121

© Per Wallander

Genom att minska amplituden på bärvågen såkommer resultanten närmare cirkeln.

[ ][ ]

0

1

2

( ) ( ) cos2

( ) cos2 ( ) cos2 ( )

( ) cos2 ( 2 ) cos2 ( 2 )

FM c f c

c f c m c m

c f c m c m

s t E J m f t

E J m f f t f f t

E J m f f t f f t

ππ π

π π

= ⋅ ⋅ +

+ ⋅ ⋅ + − − +

+ ⋅ ⋅ + + −

[ ]0

1

( ) ( ) cos2

( ) cos2 ( ) cos2 ( )FM c f c

c f c m c m

s t E J m f t

E J m f f t f f t

ππ π

= ⋅ ⋅ ++ ⋅ ⋅ + − −

Genom att lägga en amplitudmodulering påbärvågen med dubbla modulationsfrekvensen såkommer resultanten att ännu bättre följa cirkeln.

På detta sätt lägger man till fler och fler sid-bandspar, där udda sidbandspar ger vinkel-modulering och jämna ger amplitudmodule-ring.

Två olika sätt att se på FM-signalenDet skadar aldrig att påminna om att vi hartvå olika sätt att se på FM-signalen:• Som spektrum. Oändligt antal spektral-

komponenter som är stationära, d.v.s.inte ändrar sig.

• I tiden, där FM-signalen är en bärvågsom sveper f±∆ med konstant amplitud.

f∆ f∆

VCO

Modulerande signal(informationssignal)

FM-signal somspektrum

VCO

Modulerande signal(informationssignal)

FM-signal i tiden


122


När visaren vänder står den still idiagrammet och har frekvensen cf

Rotation motsols ärhögre frekvens. Härär frekvensen cf f+ ∆

Rotation medsols ärlägre frekvens. Härär frekvensen cf f− ∆

När visaren vänder står den still idiagrammet och har frekvensen cf

7.7 FM-signalens visardiagram

Visarens frekvens i visardiagrammetEn visare som sveper fram och tillbaka ivisardiagrammet kommer att få högre frek-vens än cf när visaren roterar motsols, i rikt-ning växande fasvinkel, men lägre frekvensän cf när visaren roterar medsols, i riktningnegativ fasvinkel. På detta sätt kan manäven få en uppfattning om vad som händermed frekvensen (fasvinkelns derivata). Visar-diagrammet visar ju egentligen bara ampli-tud och fasvinkel.

Fasvinkel vid PMNästa bild visar informationssignalen m(t)där jag ritat in bärvågens fasvinkel vid fas-moduler ing, vid olika amplituder påinformationssignalen. Vid fasmodulering ärfasvinkeln direkt proportionell mot informa-tionssignalens amplitud.

Fasvinkel vid FMBilden längst ner visar motsvarande diagramvid frekvensmodulering.

Vid frekvensmodulering är bärvågensfrekvens direkt proportionell mot informa-tionssignalens amplitud. Det innebär att frek-vensen skall vara cf vid informationssignal-ens nollgenomgångar. När har visaren frek-vensen cf ? Jo, när visaren står still i dia-grammet, och det gör den när den vänder, iytterlägena ϕ± .

Visaren har högst frekvens när denpasserar 0ϕ = ° i riktning mot ϕ+ . Modula-tionssignalens toppar vid FM-moduleringmed sinusformad informationssignal kom-mer därför alltid att ligga vid fasvinkeln

0ϕ = ° . Efter en positiv topp skall följa ennollgenomgång med positiv fasvinkel, ochfasvinkelns storlek vid nollgenomgången be-ror på föregående topps amplitud, eller sna-rare storleken av den positiva ytan som mar-kerats i bilden, informationssignalens inte-gral.

ϕ+

ϕ−

tid

ϕ+ϕ+

ϕ− ϕ−

0°

0°

0°

ϕ+ ϕ+

ϕ−

0°

0°

0°

0°

Bärvågens fasvinkel vid fasmoduleringmed ( ) cos2m mm t E f tπ=

Bärvågens fasvinkel vid frekvens-modulering med ( ) cos2m mm t E f tπ=

Här har vi lagt till (integrerat) mestpositiv yta, störst fasvinkel.

tid


123

© Per Wallander

7.8 Om FM-signalen matas genom ett BP-filter?

FM-sändare

Modulerandesignal

bandpass-filter

Om FM-signalen filtreras?Vad händer om man matar FM-signalengenom ett filter, ett bandpass-filter som intesläpper igenom tillräckligt antal spektral-komponenter?

Bärvågen blir amplitudmoduleradVad gör spektralkomponenterna? De be-hövs för att summan av alla spänningsvek-torerna skall bli en resultant som följercirkeln, d.v.s. bilda en bärvåg som har kon-stant amplitud när den sveper f±∆ fram ochtillbaka.

Om vi tar bort några sidbandspar så fårvi distorsion, och distorsionens storlek blirsumman av de spänningsvektorer som vi togbort. Det blir alltså en liten amplitud-modulering av bärvågen, och en liten fas-modulering, med en modulationsfrekvenssom ligger flera gånger högre än informa-tionssignalens frekvens.

Hur gör vi i FM-mottagaren?I FM-mottagaren, före FM-detektorn, så in-för vi ett förstärkarsteg som ”klipper” FM-signalens amplitud. Detta steg, en begrän-sare (limiter), tvingar bärvågen att hålla kon-stant amplitud oavsett vilken frekvens bär-vågen har. Denna begränsare tvingar resul-tanten att följa cirkeln. Vad blir följden? Desidbandskomponenter som behövs för attresultanten skall följa cirkeln kommer att bil-das och adderas till spektrat.

Vi kan inte återskapa spektrat exaktsom det såg ut, men vi blir av med merpar-ten av distorsionen.

LO

LFMFBl.HF FM-detektor

"Limiter"begränsare


124


Digitalmodulator

Datasignalbandpass-

filterEffektstegklass "C"

Filtrering av digital radiosignalGSM-sändaren innehåller en digital modu-lator för att alstra den modulerade radio-signalen. Moduleringen är en form av fas-modulering.

För att få plats med så många radio-kanaler som möjligt inom befintligt frekvens-band så ville man göra radiokanalen så smalsom möjligt. Därför filtreras GSM-signalenså att spektrat blir smalare. Distorsionen haringen större betydelse eftersom det baragäller att skilja mellan etta och nolla.

Den filtrerade radiosignalen matas tillsändarslutsteget. För att få så hög verk-ningsgrad som möjligt, d.v.s. så stark radio-signal som möjligt i förhållande till inmatadlikströmseffekt, så valde man en effektför-stärkare som arbetar i klass C. Karakteris-tiskt för klass C är att transistorn arbetar somswitch, den ger fyrkantspänning på utgång-en, som sedan filtreras till sinusspänning.Sinusspänningen får rätt frekvens, men allaamplitudvariationer hos inspänningen för-svinner. Effektsteget arbetar som en ”limi-ter”.

Resultatet blev att hela den filtrering avspektrat som utförts före effektsteget gickförlorad. Effektsteget tvingade bärvågen atthålla konstant amplitud och då bildades debortfiltrerade spektralkomponenterna.

GSM-sändarens effektsteg måste där-för klara att förstärka de amplitudvariationersom finns hos den filtrerade signalen. Effekt-steget kan inte arbeta i klass C utan måstevara linjärt i övre delen av amplitudkurvan.

8 — FM-demodulering ochfaslåst loop

125

© Per Wallander

8 — FM-demodulering och faslåst loop

Om frekvensen ändras i takt med informa-tionssignalen?

Filter är något som finns på frekvensaxeln.Den ursprungliga FM-detektorn utnyttjadeen filterkurva för att omvandla FM tillamplitudvariationer, varefter signalendetekterades med en enveloppdetektor, somAM.

Kvadraturdetektorn och den pulsräknandedetektorn reagerar direkt på signalens frek-vens (hur tätt nollgenomgångarna kommer).

Ytterligare ett sätt är en faslåst slinga (loop).Man gör som sändaren, skapar en FM-sig-nal som man ”tvingar” att följa antenn-signalen. På detta sätt blir styrsignalen iden-tisk med informationssignalen.

Brus vid FM-demodulering ger krångligmatematik, men med bilder och visar-diagram blir det tämligen enkelt.

FM ger högre signal/brusförhållande än AM,DSB och SSB vid samma sändareffekt, mendet åtgår större bandbredd. Man slösar medbandbredd för att få brusfriare mottagning.Men detta kan inte utnyttjas för att detek-tera svaga signaler i bruset. Man får intehögre mottagarkänslighet. Tvärt om. Detfinns en bruströskel. Under en viss signal-nivå så drunknar FM-signalen i bruset (storbandbredd ger hög bruseffekt) medan DSBoch SSB fortfarande kan användas.

FM är alltså ännu bättre vid starka signaler,men värdelöst vid svaga signaler.

Efter FM-detektorn får man ett brus somökar med frekvensen. Det ”väser”. Därförsänks diskanten (deemphasis) på FM-mot-tagaren.

Man kompenserar med motsvarandediskanthöjning (preemphasis) på sändarenför att informationssignalen skall förbli opå-verkad.

Slutligen tittar vi på faslåst loop för att stabi-lisera mottagarens lokaloscillator.


126


8.1 FM-signalens demodulering

Filter medlutande flankLO

LFMFBl.HF AM-detektor

"Limiter"begränsare

FM-modulering

FM- och AM-modulering

Påverkas ej av FM-modulering

Signalen läggs påfilterkurvans flank

Dubbel flankdetektor

Flankdetektor

Vi tar emot FM-signalen och den kommerut ur MF-förstärkaren. Nästa steg är att åter-skapa informationssignalen. Detta görs i FM-detektorn, eller FM-demodulatorn, eller FM-diskriminatorn, olika ord för i stor t settsamma sak.

Utnyttja amplitudkurvan hos ett filterFilterkurvan hos ett bandpass-filter har intelodräta kanter, utan flankerna lutar mer el-ler mindre, beroende på hur många reso-

nanskretsar som ingår i själva filtret.Vi utnyttjar en enkel resonanskrets, men

väljer filtrets resonansfrekvens så att FM-sig-nalen ligger på ena flanken av filterkurvan.När FM-signalen går mot högre frekvens såsläpper filtret igenom mer signal, när FM-signalen går mot lägre frekvens så kommermindre del av signalen igenom.

Vad har vi gjort? FM-signalens ampli-tud ändras beroende på frekvensen. FM-sig-nalen blir AM-modulerad. Vi har fått en sig-nal som är både FM- och AM-modulerad.Denna signal kan vi mata till en envelopp-detektor som är okänslig för signalens frek-vensvariationer. Ut ur enveloppdetektornkommer amplitudändringarna, informations-signalen.

Ett villkor för att detta skall fungera äratt det inte redan finns amplitudvariationerpå FM-signalen. Därför är det viktigt att mataFM-signalen genom en begränsare innanden matas till resonanskretsen.

Filterkurvans flank är inte helt linjär. Man

får distorsion. Genom att koppla två enve-loppdetektorer med olika frekvens påresonanskretsarna, och lägga den andradioden så att signalens negativa toppardetekteras, så får man en hyggligt rakdetektorkarakteristik.


127

© Per Wallander

Utnyttja fasvridning i resonanskretsFM-signalen kan delas upp på två signalerdär den ena fasförskjuts (tidsfördröjs) medhjälp av en resonanskrets, som ger olikatidsfördröjning beroende på frekvensen.

Skapa fyrkantpulser av signalerna,fyrkantpulser som överlappar varandra, ochsummera i en digital ”och”-krets (om någoningång är hög så blir utgången hög).

Detta resulterar i en pulsspänning därpulsförhållandet /Tτ (duty cycle) varierarmed insignalens frekvens. Pulsspänningensmedelvärde följer informationssignalen.Detta kallas kvadraturdetektor.

Pulsräknande detektorOm vi låter den FM-modulerade signalentrigga en pulsgenerator som lämnar pulsermed konstant pulsbredd, så kommer vi attfå lika breda pulser men olika tätt beroendepå den inmatade signalens frekvens. Medel-värdet av pulssignalen följer informations-signalen.

För att vi skall få så stora spännings-variationer som möjligt måste frekvens-ändringen i förhållande till mittfrekvensenvara så stor som möjligt.

Mellanfrekvensen vid FM-mottagning ärvanligtvis 10,7 MHz. Men en variation av

75f∆ = ± kHz runt 10,7 MHz ger för småskillnader i pulstäthet.

Bättre är att blanda ner till 200 kHz ochpå den frekvensen ha 75f∆ = ± kHz. Dettager högre utspänning från den pulsräknandedetektorn (detektorn som räknar hur tättpulserna kommer).

När man vill få in en komplett FM-mot-tagare i en integrerad krets passar den puls-räknande detektorn bra, eftersom man slip-per resonanskretsar.

τ

T

Lika breda pulser, olika tättberoende på frekvensen.

Pulsräknande FM-detektor

Kvadraturdetektor

Informations-signalen

FM moduleradsignal

trigPuls-kretsFM m(t)

UU2

U1

itot Informations-signalen

Smith-trigger

Smith-trigger

&

FM moduleradsignal

m(t)

FM


128


8.2 FM-signalen och brus

tid

I-brus

tid

Q-brus

MF-bandbredd

I-brus

tid

Q-brus

Begränsaren klipper vid denna nivå

0

2 2N kT=

2

22

m m

UP U P

= ⇒ =

002 2 2

N kT kTE= ⇒ =

0

2 2N kT=

FM-signalen före begränsaren

FM-signalen efter begränsaren

MF-bandbredd

Q-brus + signal

MF-bandbredd

Q-brus + signal

Före begränsarenFöre begränsaren finns signalen och brus.Totala bruseffekten är N kTB= , där B är MF-bandbredden.

Bruset kan delas upp i två delar. I-brusetsom ligger i fas med signalen och består avidentiska sidbandskomponenter runt signa-len. Q-bruset som ligger i kvadratur till sig-nalen och har sidbandskomponenter somskiljer med ett minustecken.

Halva bruseffekten ligger som I-brusoch andra halvan som Q-brus.

Efter begränsarenBegränsaren klipper amplituden på signalplus brus, ”fyrkantar” signalen, men filtrerarut grundtonen så att vi återfår sinusformen.Då försvinner amplitudvariationerna och viblir av med I-bruset.

Om vi efter begränsaren förstärker tillursprunglig amplitud, så har vi alltså en sig-nal med effekten mP och toppspänningenU. Dessutom har vi halva bruseffekten somvi räknar om till brusspänning 0E per Hz,effektivvärde.

0E

f+∆f− ∆

U


129

© Per Wallander

15 kHz

Brus efter AM-detektorn

0E

f∆

mf

0 0E Eee f

f f f= ⇒ = ⋅

∆ ∆

22 20E

N e df f dff

∆ = ⋅ = ⋅ ⋅ ∆

Efter begränsaren har vi ett amplitud-spektrum bestående av signal plus Q-brus.Detta amplitudspektrum matas genom flan-ken på ett filter så att bruset kommer att”luta”.

Efter filtretEfter filtret är inte längre alla sidbandspar iQ-bruset lika långa. När alla dessa sidbands-par snurrar åt olika håll så kommer de delari varje par som är lika långa att ta ut varan-dra (kvarvarande Q-brus), medan resten ären visare per sidbandspar, ett sidband, somsnurrar. Dessa visare ger visserligen fas-variation men framför allt amplitudvariationhos signalen.

AM-detektornTill enveloppdetektorn kommer själva sig-nalen som fungerar som bärvåg, och sid-band bestående av brus. Skillnaden mellansidbanden är amplitudbrus. Detta amplitud-spektrum för bruset finns efter AM-detektorn.

Beräkna bruset som vi hörFörst beräknar jag brusspänningen e vidvalfri frekvens f. Därefter beräknar jag brus-effekten N∆ i det lilla delelementet. Sedansummerar jag allt brus inom det hörbarafrekvensområdet, d.v.s. upp till mf .

Beräkna den detekterade signalenDen detekterade signalen utS kommer attvara en sinusspänning med topp-till-topp-värdet U (100 % AM-modulering).

Signal/brus-förhållandet efter FM-detektornNu är det bara att dividera och ersätta Uoch 0E med de ursprungliga uttrycken.

MF-bandbredd

Filtrerat brus + signal

0E

f+∆f− ∆

2U

Brus efter AM-detektorn

0E

f∆mf

e df

f

2 2 32 20 0

0 0 3

m mf fm

ut

E E fN e df f df

f f = ⋅ = = ⋅ ∆ ∆ ∫ ∫

2 2

2 330

2

2

2

122 21

2 33

3 32 2

mut

mut m

m mf

m m m

UP

SkT fN E f

ff

f P Pm

f kTf kTf

= = =

⋅ ⋅⋅ ∆∆

∆= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅


130


8.3 Bruströskel vid FM-demodulering

Signal/brusförhållandet före FM-detektornHela resonemanget kring FM-detektorn byg-ger på att signalen är mycket starkare änbruset så att amplitudbruset klipps bort avbegränsaren. Vad händer om så inte är fal-let?

Amplitudbruset klipps bort av begränsarenom brustopparna är svagare än självasignalens toppvärde. Detta kan sägas varauppfyllt om signalens toppvärde är 5 ggrhögre än brusets effektivvärde, se avsnittetom Gaussiskt brus. Vi behöver ett signal/brusförhållande på 12,5 ggr, ca 11 dB. Dettager en bruströskel. Om den mottagna effek-ten mP är svagare än 11 dB över kTB (där Bär mellanfrekvensbandbredden) så dränksmodulationssignalen i brus.

Om man vill jämföra två olika FM-systemmed olika modulationsindex fm så måsteman ta med i beräkningen att man behöverstörre bandbredd B när modulationsindexär högre. 11 dB över bruset i ett bredbandigtsystem är en kraftigare signal mP än 11 dBöver bruset i ett smalbandigt system. Därförnormerar vi till informationssignalens band-bredd mf , som ju även används vid DSB ochSSB.

Bruströskel:

12,5 12,5 [2( 1)]m m fP kTB kTf m= ⋅ = ⋅ +

FM med modulationsindex 5fm = ger 12,7dB högre signal/brusförhållande efterdetektorn än DSB eller SSB, vid sammamottagen signaleffekt mP , d.v.s. vid sammasändareffekt. Denna förbättring sker på be-kostnad av bandbredden.• SSB behöver bandbredden mf ,

• DSB behöver 2 mf⋅• Ett FM-system med modulationsindex

5fm = behöver [2( 1)] 12m f mB f m f= + = ⋅ .

25

252 12,52

[ ] 10 log12,5 11

n

m

m

EP kTB

kTB kTB kTBP

dB dBkTB

⋅ = = =

⋅

= ⋅ ≈

2

2

1signal

2

1brus

5

m

n

n

UP

R

E kTBR

UE

= = = =

=

ut

ut

SN

[ . ]m mP dB rel kTf

232

mf

m

Pm

kTf⋅ ⋅

50 dB

40 dB

30 dB

20 dB

10 dB

0 dB

0 dB 10 dB 20 dB

mf = 5

mf = 3

mf = 2

DSB, SSB

12

m

m

P

kTf


131

© Per Wallander

8.4 Preemphasis och deemphasis

Basbandsbruset ökar med frekvensenVi får brus efter FM-demodulatorn varsamplitudspektrum växer linjärt med frekven-sen. Bruset ökar med +6 dB per oktav.

Diskantsänkande filter, deemphasisDet är obehagligt att lyssna på brus som ärstarkare i diskanten, det väser. För att mot-verka väsandet hos bruset så kopplar manin ett diskantsänkande filter (deemphasis)som sänker med –6 dB/oktav från 3,2 kHztill 15 kHz. Men detta filter sänker även dis-kanten på den önskade signalen. Därför hö-jer man diskanten i sändaren (preemphasis)på motsvarande sätt med +6 dB/oktav.

Fasmodulering över 3,2 kHzDet diskanthöjande nätet är ett högpassfiltersom deriverar modulationssignalen vid frek-venser över 3,2 kHz. Att derivera modula-tionssignalen och mata den till en FM-sän-dare ger fasmodulering som resultat.

Sedan tar vi emot denna fasmodule-rade signal med en FM-detektor, men detdiskantsänkande lågpassfiltret gör egentli-gen om FM-detektorn till en fasdetektor.

Deemphasis förbättrar S/NDet diskantsänkande filtret minskar brus-nivån med närmare –12 dB i mottagaren.Visserligen måste man öka modulations-index på sändaren i motsvarande grad, mendetta i ett frekvensområde där informations-

2 23 320 0

0

(3 )(minicall)

3

kHz

ut

E E kHzN f df

f f = = ⋅ ∆ ∆ ∫

2 260 3 320 0

54

(60 ) (54 )(RDS)

3 3

kHz

ut

kHz

E E kHz kHzN f df

f f = = ⋅ − ∆ ∆

∫

3 3

3

(RDS) (60 ) (54 ) 216000 1574642168

(minicall) (3 ) 27ut

ut

N kHz kHzN kHz

− −= = =

(RDS)[ ] 10 log2168 33,4

(minicall)ut

ut

NdB dB

N= ⋅ =

signalens spektrum innehåller låg effekt, påfrekvenser över 3,2 kHz.

RDS och brusRDS datakanalen ligger modulerad på enunderbärvåg vid 57 kHz. Vid så hög modula-tionsfrekvens blir bruset mycket kraftigt ef-ter FM-detektorn.

Tidigare fanns RDS personsökning, entjänst som utnyttjade de starka FM-rund-radiosändarna (60 kW ERP). Den har er-satts av Minicall (ca 50 W ERP) där sända-ren endast moduleras med datasignalen.Systemen har jämförbar räckvidd.

20 dB

0 dB

-20 dB

-40 dB

100 Hz 1 kHz 10 kHz

Sändare

Mottagare


132


4

4

1 2cos( )

[sin( ) sin( )]2 2 21

cos

T

T

te U d

T T

U

π α α

π πα απ

απ

+

−= + =

= + − − + =

=

∫

8.5 Faslåst slinga (loop)

VCO

Vi tar signalen från en generator, i detta fallen VCO, en spänningsstyrd oscillator därgeneratorfrekvensen påverkas av en styr-spänning.

FasdetektorSignalen från VCO:n matar vi genom enströmbrytare som styrs av en symmetriskfyrkantspänning (50 % stängd, 50 % öppenströmbrytare), med frekvensen reff .

Om VCO:n håller samma frekvens somreff , så kommer spänningen på andra sidan

strömbrytaren att se olika ut beroende påfasläget, d.v.s. beroende på hur spänning-arna ligger i tiden.• Figur a) visar utspänningen när VCO:n

ligger i fas med reff .

• Figur c) visar utspänningen när vi har enkvarts periods tidsförskjutning, –90° fas-förskjutning mellan VCO-spänningen och

reff .• Figurerna b) och d) visar motsvarande

när tidsförskjutningen är något mindreeller något större än –90°.

Spänningen efter strömbrytaren matas ge-nom ett lågpassfilter (integrering) och ut fårvi en likspänning som är noll om fasför-skjutningen är –90° (och –270°), positiv omfasförskjutningen ligger mellan +90° och–90°, samt negativ om fasförskjutningen lig-ger mellan –90° och –270°.

Strömbrytaren och lågpassfiltret fun-gerar som en fasdetektor, eftersom utspän-ningens medelvärde är proportionellt motcosinus för fasvinkeln mellan VCO-spän-ningen och reff .

Faslåst slingaNu tar vi utspänningen e, förstärker den ochmatar in den som styrsignal på VCO:n.

Styrsignalen påverkar VCO-frekvensen,vilket i sin tur påverkar spänningen e sommatas tillbaka som styrsignal. VCO-frekven-sen och spänningen e kommer att pendlafram och tillbaka tills ”slingan” hittar ett sta-bilt läge. Detta läge kan ligga antingen i när-heten av –90° eller i närheten av –270°.Om en ökning av styrspänningen i positiv

e

90− °270− °

a)

b)

c)

d)


133

© Per Wallander

styrsignal

VCO

likspännings-förstärkare

riktning innebär att VCO-frekvensen mins-kar, så kommer det stabila läget att ligga inärheten av –90°. Om ökning av styr-spänningen innebär att VCO-frekvensenökar så ligger det stabila värdet i närhetenav –270°.

Vid det stabila läget kommer ett litet feli styrsignal att driva tillbaka VCO:n i rätt fas-läge. Vid det instabila läget kommer felet attöka så att VCO:n drivs bort och kommer atthitta det stabila läget.

Detta reglersystem är en faslåst slingamen kallas oftast faslåst loop efter engels-kans ”phase locked loop”.


134


Den FM-modulerade signalen alstras i sän-daren genom att informationssignalen m(t)får styra en VCO.

I FM-mottagaren tar vi signalen från MF-ste-get och matar den till en fasdetektor.Fasdetektorns andra ingång matas från enlokal VCO i FM-mottagaren.

Utsignalen e från fasdetektorn matas via ettlågpassfilter och en förstärkare till den lo-kala VCO:n. Vad kommer att hända?

När den FM-modulerade signalen från MF-steget sveper i frekvens fram och tillbaka,den är ju FM-modulerad, så tvingas VCO:natt följa med. Den är faslåst till MF-signalen.

Men när VCO:n följer med i MF-signal-ens frekvensvariationer, vilken styrspänningmåste då matas till den lokala VCO:n? Jo,m(t). Den styrspänning som alstras i denfaslåsta loopen är alltså identisk med denstyrspänning m(t) som matades till FM-sän-daren.

Bruströskelsänkande FM-detektorBruströskeln bestäms av bruseffekten föreFM-detektorn, alltså bandbredden på MF-filtret. MF-filtret måste egentligen vara såbrett att det släpper igenom tillräckligt mångaspektralkomponenter, alltså ⋅ ∆2 f och lite till.Men om man kan få filtret att flytta sig i frek-

8.6 Faslåst loop som FM-demodulator

VCO

Modulerandesignal m(t)

FM-signal

identiska FM-signaler

VCO

G

LO

LFMFBl.HF fas-detektor

m(t)

vens i takt med bärvågens frekvensvariation,så räcker en bandbredd på ⋅2 mf . Ett sådantfilter kan styras på samma sätt som VCO:n,av ( )m t .

filter som följer FM-signalen

VCO

MF filter fas-detektor

m(t)

Bruströskelsänkande FM-detektor


135

© Per Wallander

8.7 Faslåst loop som lokaloscillator

Det är svårt att konstruera en noggrannoch stabil oscillatorDet är svårt att konstruera en oscillator mednoggrann och stabil frekvens, noggrann påså sätt att man vet vilken frekvens det är,och stabil innebärande att frekvensen inteändrar sig t.ex. på grund av temperatur-ändringar. Speciellt gäller detta om frekven-sen är hög.

Äldre tiders tv-mottagare hade en lokal-oscillator uppbyggd kring en resonanskretsbestående av spole och spänningsstyrdkondensator (kapacitansdiod). Frekvensenställdes in genom att man ändrade spän-ningen till kapacitansdioden med en poten-tiometer.

Frekvensen var inte särskilt noggrann. Detgick inte att först ställa in frekvensen ochdärefter slå på tv-mottagaren och tro att frek-vensen var den rätta för den tv-kanal manville titta på. Man måste först slå på tv:n ochdärefter skruva på frekvensratten, söka tillsman hittade rätt tv-kanal. Man utnyttjade tv-sändaren för att ställa in rätt lokaloscillator-frekvens.

När man ställt in rätt kanal och började tittaså blev tv:n varm. Efter ett tag hade lokal-oscillatorfrekvensen ändrat sig eftersomkapacitansen och induktansen i resonans-kretsen ändrades med temperaturen. Intemycket, men tillräckligt för att man skulle fåt.ex. bildstörning i tv-ljudet. Då fick man gåfram och skruva på frekvensinställningen.Lokaloscillatorfrekvensen var inte tillräckligtstabil.

Radiosändaren utgör stabil referens-signalDå infördes en enklare form av faslåsning.Tv-signalen matades till en särskild FM-diskriminator med mycket lång tidskonstantpå lågpassfiltret. Man fick en likspänningsom var noll när tv:n var rätt inställd, mennågot positiv eller något negativ om tv:n lågför högt eller för lågt i frekvens. Denna lik-spänning matades tillbaka till lokaloscil-latorns kapacitansdiod för att korrigera

frekvensdriften. Detta kallas AFC (AutomaticFrequency Control). Oftast ställdes tv:n inmed AFC bortkopplad, varefter AFC kopp-lades in för att motverka temperaturdrift.

Samma typ av AFC utnyttjas på FM-motta-gare med analog inställning. Du märker hurstationen liksom hänger kvar när man änd-rar frekvens.

Att låsa till radiosändaren är en enkel lös-ning, men den fungerar inte vid radiosystemdär man inte kan leta efter sändaren utanmåste hitta rätt frekvens med en gång.

Referensoscillatorn i radiomottagarenOm vi inte kan utnyttja radiosändaren såbehöver vi en egen referensoscillator i mot-tagaren.

Resonanskrets med spole och kondensa-tor fungerar som en elektrisk pendel, seavsnittet om antenner. En stabilareresonanskrets får vi med en mekaniskresonanskrets. Det finns kvarts som ärpietzo-elektriskt. Det innebär att om enkvartskristall utsätts för mekaniskt tryck såbildas elektrisk spänning över kvarts-kristallen. Även det omvända fungerar, näm-ligen att om man lägger spänning överkvartskristallen så förändrar den sina dimen-sioner.

Placera en kvartskristall mellan tvåmetallplattor och knuffa med en växelspän-ning så börjar kvartskristallen att vibrera,pendla som gungan i lekparken, på sin egenmekaniska resonansfrekvens.

Kvartskristallen används som frekvens-bestämmande element i alla typer av refe-rensoscillatorer, i elektriska klockor, somklockkrets i datorer, som referensoscillator isändare och mottagare, men även somresonanskrets i MF-filter (kristallfilter).

Schemasymbol

styrkristall (X-tal)


136


LO

MFBl.HF

Faslåst loop som lokaloscillatorLåt oss titta på ett exempel.

En FM-mottagare med 10,7 MHz mellanfrekvens skall användas för att ta emotstationer på FM-bandet (87,5 – 108 MHz). De frekvenser som skall kunna ställasin är 88,6 88,7 88,8 ... 107,8 107,9 MHz. Ingen FM-sändare får ligga på 87,5eller 108 MHz eftersom sändarens hela spektrum skall ligga inom FM-bandet.a) Vilka frekvenser skall lokaloscillatorn kunna ställas in på?b) Beräkna referensoscillatorns frekvens och delningstalet N när man

använder faslåst loop.

Uppgift a):Lokaloscillatorn kan ligga högre i frekvens. Då får vi:antf = 88,6 MHz LOf = 88,6 + 10,7 = 99,3 MHz

- - - - - i steg om 100 kHzantf = 107,9 MHz LOf = 107,9 + 10,7 = 118,6 MHz

Lokaloscillatorn kan ligga lägre i frekvens. Då får vi:antf = 88,6 MHz LOf = 88,6 – 10,7 = 77,9 MHz

- - - - - i steg om 100 kHzantf = 107,9 MHz LOf = 107,9 – 10,7 = 97,2 MHz

88,6 MHz - - -107,9 MHz

77,9 MHz - - -97,2 MHz

99,3 MHz - - -118,6 MHz

10,7 MHz

( )LOf högre( )LOf lägre

antf

MFBl.HF

VCO

÷NStyrspänning

VCOf

VCOfN

I uppgift b) skall vi använda en VCO somlokaloscillator samt en frekvensdelare.

Frekvensdelaren fungerar på så sätt attden frekvens som matas in, i detta fall VCOf ,görs om till spänningspulser varje gångväxelspänningen passerar noll. Vi får tvåpulser per period. Sedan räknar vi pulser,och efter N pulser skiftar utspänningen frånnoll till plus, eller från plus till noll. Utspänn-ingen blir en fyrkantvåg vars periodtid är Nggr insignalens, d.v.s. vi får en frekvens somär N ggr lägre. Delningstalet N kan bara varaheltal.


137

© Per Wallander

MFBl.HF

VCO

fas-detektor

G

÷N

referens-oscillator

reff VCOfN

Loopen ställer in sig så att VCOref

ff

N=

Detta medför att VCO reff N f= ⋅

Eftersom N bara kan vara heltal så väljer vi 100reff kHz=

Vi kan beräkna delningstalet VCO

ref

fN

f=

VCO reff N f= ⋅

VCOf

Uppgift b):Referensoscillatorn kan ligga på 100 kHz eller på 100 kHzdividerat med ett heltal.

Om lokaloscillatorn skall ligga högre i frekvens får vi:

VCOf = 99,3 MHz N = 993i steg om 100 kHz i steg om 1

VCOf = 108,6 MHz N = 1086

Om lokaloscillatorn kan ligga lägre i frekvens får vi:

VCOf = 77,9 MHz N = 779i steg om 100 kHz i steg om 1

VCOf = 97,2 MHz N = 972


138


MFBl.HF

VCO

fas-detektor

G

÷N

referens-oscillator ÷M

5OSCf MHz= 50M =100reff kHz=

reff

Oftast lägger man själva referensoscillatorn på en frekvens somger billiga styrkristaller och sedan delar ner frekvensen till önskadreferensfrekvens.

Finjustering av referensoscillatornÄven en styrkristall kan ändra frekvens medtemperaturen även om temperaturändringenär liten. Men man kan finjustera kristall-oscillatorns frekvens med en variabel kon-densator i serie eller parallellt över styr-kristallen.

När GSM-ficktelefonen loggar in på ettGSM-nät så letar den efter en basstations-sändare som med jämna mellanrum sän-der en speciell dataskur FCCH (”FrequencyCorrection Channel) som kan användas avficktelefonen för att finjustera sin referens-oscillator.

Ficktelefonens referensoscillator an-vänds inte bara för att generera sändar- ochmottagarfrekvenserna utan även som data-klocka och tidsreferens.

Faslåsta loopens insvängningstidNär man ändrar delningstalet N i den fas-låsta loopen så tar det viss tid innan slinganstabiliserat sig och låst VCO:n på den nyafrekvensen. Vid specificeringen av GSM-systemet räknade man med 1 ms innan frek-vensen stabiliserats.

GSM-ficktelefonen sänder dataskurar itidluckor, en dataskur var åttonde tidlucka. Inågon tidlucka däremellan tar ficktelefonenemot dataskurar från basstationen. Eftersomficktelefonen inte sänder och tar emot sam-tidigt så kan samma VCO användas bådeför att alstra mottagarens lokaloscillator ochatt alstra sändarfrekvensen, men det måstefinnas 1 ms emellan för frekvensbyte. Dettahar påverkat utformningen av GSM-syste-mets TDMA-ram (Time Division MultipleAccess).

9 — Datakommunikation

139

© Per Wallander


Först tittar vi på OSI-modellen för att förståvad vi håller på med.

Många informationssignaler är från börjananaloga. De måste omvandlas till digitalform. Vi tittar på samplingsteoremet ochPCM-kodning av telefonsamtal och musik-cd, och inser att distorsionsfri återgivning avmusik-cd är omöjligt.

Vid kommunikation så överförs symboler.Symbolhastigheten bestämmer hur storbandbredd som behövs.

Genom att ha fler än två olika symboler attvälja mellan så kan mer än en databit över-föras på varje symbol.

Den övre gränsen för symbolhastighetensätts av bandbredden.

Den övre gränsen för hur många olikautseenden man kan ha på symbolen sättsav bruset.

Shannons formel ger en övre gräns för bit-hastigheten när vi känner bandbredden ochsignal/brusförhållandet.


140


9.1 Protokoll, gränssnitt (Interface) och OSI

OSI-modellen”Reference model for Open Systems Inter-connection” är en referensmodell för digitaltelekommunikation framtagen av internatio-nella standardiseringsorganisationen ISO.

OSI-modellen består av sju lager, där varjelager utför en bestämd uppgift.

ProtokollUppgiften som utförs av ett visst lager, t.ex.nätverkslagret, beskrivs i ett ”protokoll”. Detsom utförts av ett lager tolkas av motsva-rande lager i andra ändan av förbindelsen.

Flera av lagren behöver kunna ”prata”med motsvarande lager i andra ändan. Så-dana lager adderar information i ett huvud.Huvudet tolkas och avlägsnas på motsva-rande nivå i mottagarändan.

Gränssnitt (Interface)På sändarsidan tar varje lager emot datafrån överliggande lager, bearbetar enligt pro-tokollet och skickar vidare till lagret under.Mellan varje lager finns ett gränssnitt där detbeskrivs hur informationen skall vara ord-nad för att nästa lager skall begripa.

Lager 1: Fysiska lagretFysiska lagrets uppgift är att ta emot data-bitar från datalänklagret och skapa ”symbo-

7. Applikationslagret

6. Presentationslagret

5. Sessionslagret

4. Transportlagret

3. Nätverkslagret

2. Datalänklagret

1. Fysiska lagret



5. Sessionslagret

4. Transportlagret

3. Nätverkslagret

2. Datalänklagret

1. Fysiska lagret

Protokoll

Gränssnitt(Interface)

Fysisk förbindelse(kabel, radio)

ler” som går att skicka på den fysiska för-bindelsen.

• Fysiska lagret kan skapa ljuspulser, sym-boler som skickas på optofibern.

• Fysiska lagret kan skapa olika spän-ningsnivåer, symboler som t.ex. skickaspå kopparkabeln till abonnenten vidISDN-abonnemang.

• Fysiska lagret kan förändra en bärvåg,modulera, skapa symboler som kan sän-das på kabel (telefonmodem) ellerskickas genom luften (radiomodem).

Gränssnittet mot fysiska förbindelsen beskri-ver hur symbolerna ser ut, t.ex. spännings-nivåer (V.28-gränssnittet) eller sättet attmodulera (GSM:s radiogränssnitt).

BitsynkroniseringFysiska lagret kan lägga till extra databitar,extra symboler, utöver de databitar somkommer från datalänklagret. En orsak till attaddera extra databitar är att ge mottagarenmöjlighet att ”bitsynkronisera”, d.v.s. upp-täcka exakt i vilket tidsögonblick symbolernaskall avläsas. En dataskur kan inledas medett visst antal växlingar mellan två symbo-ler, mellan ”etta” och ”nolla”. Eller det kan,som i GSM, finnas en speciell ”tränings-


141

© Per Wallander

sekvens” om 26 databitar som mottagarenutnyttjar för att hitta rätt tidsögonblick, för attsom man säger ”bitsynkronisera”.

FaltningskodningAtt kontrollera om databitarna är rätt mot-tagna eller rätta eventuella bitfel är uppgif-ter för datalänklagret eller transportlagret.Men det finns bitfelsminimerande kodningsom egentligen inte rättar bitfel utan baraminimerar bitfelen. Om jag rättar bitfel, dåvet jag vilken databit som var feltolkad, vil-ken symbol som var fel mottagen. Den bit-felsminimerande kodningen kodar en heldatasekvens så att datasekvensen skallpassa in i ett mönster (trellis) och mottaga-ren väljer det mönster som totalt sett liggernärmast den mottagna sekvensen. Motta-garen vet inte om denna sekvens är rätt,men den vet att utifrån det som mottagitsså är detta den sekvens som uppvisar minstantal bitfel. Faltningskodning eller trellis-kodning är en bitfelssänkande kodning somtillhör fysiska lagret.

Lager 2: DatalänklagretDatalänklagret kopplar upp en förbindelse(datalänk) mellan två noder (datorer) påsamma LAN (Local Area Network).• Datalänklagret hanterar adresser och ser

till att rätt datorer kommunicerar.

• Datalänklagret organiserar kommunika-tionen så att datorerna inte pratar i munpå varandra.



5. Sessionslagret

4. Transportlagret (TCP)

3. Nätverkslagret (IP)

2. Datalänklagret (Ethernet)

1. Fysiska lagret

Applikation

Ethernet IP TCP Applikation



5. Sessionslagret

4. Transportlagret (TCP)

3. Nätverkslagret (IP)

2. Datalänklagret (Ethernet)

1. Fysiska lagret

IP TCP Applikation

TCP Applikation

• Datalänklagret kan hantera ord- ellerramsynk, så att mottagaren klarar attidentifiera åttabitsord eller dataramar iden mottagna bitströmmen. Alternativtkan detta ligga i fysiska lagret.

• Datalänklagret kan även kontrollera omdet finns bitfel och begära omsändningfrån närmaste nod. Omsändning på nät-nivå hanteras av transportlagret.

Lager 3: NätverkslagretNätverkslagret hanterar globala adresser,t.ex. IP-nummer, och sköter vägval via eneller flera routrar till någon bestämd datorpå ett annat LAN (IP-protokollet).

Lager 4: TransportlagretTransportlagret kan hantera uppdelning avlånga datafiler i mindre paket, kontrollera omdet finns bitfel samt begära omsändning avursprungsdatorn (TCP-protokollet).

Lager 5: SessionslagretExempel på sessionslager i Internet-världenär HTTP, FTP m.fl.

Lager 6 - 7:Gränserna mellan de övre lagren i protokoll-stacken kan vara diffusa. Verklighetens data-kommunikation följer inte OSI-modellenstrikt.


142


9.2 A/D-omvandling och samplingsteoremet

tid

frekvens

tid

tid

A/D-omvandlingMånga informationssignaler är analoga t.ex.tal, och behöver överföras i digital form. Ana-log innebär att signalen kan anta vilka vär-den som helst inom två gränser. Analog be-skrivning av signalen innebär att m(t) geross signalens amplitud i varje punkt.

Den analoga signalen har tidsfunk-tionen m(t) och spektrat M(f).

SamplingVi mäter amplituden på m(t) och tar ett”spänningsprov” (sampel) vid vissa bestäm-da tidpunkter. Vi samplar signalen.

Samplingen är ett steg i att göra en di-gital beskrivning av m(t). Spänningssamplenbeskriver inte m(t) i varje punkt utan bara ivissa punkter.

D/A-omvandlingOm vi överför dessa spänningssampel tillen mottagare, vilken information har motta-garen då fått om den ursprungliga signa-len?

För att ta reda på detta skall vi beräknaspektrat för spänningssamplen.

Spänningssamplen kan beskrivas som denursprungliga signalen m(t) multiplicerat medsmala pulser.

Spektrat för m(t) känner vi, det är M(f).Spektrat för oändligt smala spänningspulserkänner vi inte. Men spektrat för smala spän-ningspulser har vi beräknat i avsnittet omFourierserieutveckling.

De smala pulserna har ett spektrum be-stående av en likspänningskomponent samtgrundton och övertoner, där grundtonsfrek-vensen f0 är lika med samplingsfrekvensen. 01

( ) cos2nnu t A A nf t

Tτ π∞

== + ⋅∑

( )m t

( )M f

Sampla m(t)

Vilken information innehåller samplen?

Spänningssamplen kan matematiskt beskrivas som m(t)multiplicerat med en pulssignal bestående av mycket smala pulser.

tid

f0

frekvens

An

An

2 f0


143

© Per Wallander

Vi skall multiplicera funktionernas tidsuttryck.Detta motsvaras av att signalernas spektrerfaltas. Men vi behöver inte lösa några falt-ningsintegraler. Faltningsintegralen innebäratt det bildas summaoch skillnads-frekvenser. Det är samma sak som att seden pulsformade signalens frekvenskompo-nenter som ”bärvågor”. Resultatet blir DSB-modulering runt varje sådan bärvåg.

Dessutom får vi den ursprungligasignalens spektrum M(f) multiplicerat medden pulsformade signalens likspännings-komponent 0A .

Spektrat för spänningssamplen blirsumman av alla dessa frekvenskompo-nenter.

Vikningsdistorsion (Aliasing distortion)I figuren ser vi hur de olika spektrerna över-lappar varandra. Det ser ut som om spektratför 0 ( )A M f⋅ ”viker” sig runt den frekvens sommotsvarar halva samplingsfrekvensen. Dettakallas vikningsdistorsion (frequency folding).

Den signal som skall samplas får inteha frekvenskomponenter med högre frek-vens än halva samplingsfrekvensen. Annarsuppträder vikningsdistorsion.

SamplingsteoremetSamplingsteoremet formulerades avsvenskättlingen Harry Nyquist år 1928 ochinnebär att:

Det räcker med dessa spänningssampel föratt ha all information om signalen.

Digital signalbehandlingSampling av analoga signaler blir allt vikti-gare. I takt med att digitaltekniken klarar attarbeta vid allt högre klockhastigheter så er-sätts mycket av den analoga radiotekniken,filter, blandare m.m. av digitalteknik.

Radiosignalen A/D-omvandlas genomsampling. Därefter beräknas samplensspektrum med FFT, Fast Fourier Transform,en algoritm för snabb Fourierserieutveckling

frekvens

frekvens

0 ( )A M f⋅

1 0( ) cos(2 )A M f f tπ⋅ ⋅ frekvens

En signal m(t) är entydigt bestämd avsina sampel, om samplingsfrekven-sen är minst dubbelt så hög som denhögsta frekvenskomponenten isignalens spektrum M(f).

frekvens

frekvens

Om spänningssamplen filtreras i ettlågpassfilter ...

... så återfår vi det ursprungligaspektrat M(t), vilket är samma saksom den ursprungliga signalen m(t).

Vikningsdistorsion

av korta tidselement. Filtrering sker genomatt man bara tar med de frekvenskompo-nenter som man vill att filtret skall släppaigenom, blandning till andra frekvenser skergenom att subtrahera eller addera en fastfrekvens till alla frekvenskomponenter, var-efter man går tillbaka till tidsplanet med IFFT,Invers Fast Fourier Transform, och därefterskapar en analog signal av spännings-samplen i en D/A-omvandlare.

Det är detta man gör i digitala signal-processorer.


144


frekvens

tid

frekvens

tid

frekvens

tid

11101101110010111010

1111

10011000

00010010001101000101

0000

01100111

9.3 PCM-kodning (Puls Code Modulation)

PCM-kodning av ljudsignaler används imånga olika sammanhang. Vi skall titta på• PCM-kodningen i fasta telenätet,

64 kbit/s-kodat tal.

• PCM-kodning för musik-cd.

1. FiltreringFörsta steget är att filtrera informations-signalen så att den inte innehåller någrafrekvenskomponenter högre än halva samp-lingsfrekvensen. Detta är nödvändigt för attundvika vikningsdistorsion.• Filtret skär vid 3,5 kHz för telefoni.

• Filtret skär vid ca 20 kHz för musik-cd.Efter filtreringen, när man avlägsnat de hög-frekventa frekvenskomponenterna, så blirsignalens tidsfunktion lite mer ”mjuk ochavrundad”.

2. SamplingNästa steg är att ta spänningssampel.• 8000 sampel/s för telefoni.

• 44100 sampel/s för musik-cd.

3. KvantiseringSteget därefter har vi ännu inte behandlat.Spänningsnivån på ett sampel skall beskri-vas med ett antal databitar. Men ett ändligtantal databitar kan inte beskriva vilken nivåsom helst, utan bara vissa ”trappsteg”.Kvantiseringen innebär att bestämma vilkettrappsteg som bäst beskriver det aktuellaspänningssamplet.

4. KodningKodning innebär att beskriva trappstegetmed ett dataord.• Vid telefoni används 8-bitsord. Detta ger

128 positiva och 128 negativa kvantise-ringssteg (256 steg).

• Vid musik-cd används 16-bitsord vilketger 32768 positiva respektive negativakvantiseringssteg (65536 steg).

Ursprungligsignal

1. Filtrering

Filtreradsignal

2. Sampling

3. Kvantisering4. kodning


145

© Per Wallander

tid

frekvens

frekvens

tid

frekvens

Att återskapa signalenVid telefoni skickas dataorden till mottaga-ren, och när man lyssnar på cd läses data-orden. Från dataorden skapas spännings-samplen.

Sedan återstår att mata signalen ge-nom ett lågpassfilter som bara släpper ige-nom frekvenser lägre än halva samplings-frekvensen, så har vi den ursprungliga sig-nalen m(t).

PCM-kodningens dynamikDynamiken är förhållandet mellan den star-kaste signalens amplitud som omfattar allakvantiseringssteg och den svagaste somomfattar ett enda kvantiseringssteg.

[ ] 20 log2 6,02ndynamik dB n= ⋅ = ⋅

Dynamiken vid musik-cd är 96 dB (16 bit).

KvantiseringsbrusDen återskapade signalens spännings-sampel har inte exakt rätt nivå. De kan av-vika med max ett halvt kvantiseringssteg.Denna avvikelse uppfattas som brus på denverkliga signalen. Det går att beräkna effek-tivvärdet av detta kvantiseringsbrus och fåfram ett signal/kvantiseringsbrusförhållande:

( )23[ ] 10 log( 2 ) 1,76 6,02

2nS

dB nQ

= ⋅ ⋅ = + ⋅

Telefoni med A-lag-kompressionVid PCM-kodning i telefoninätet så delarman inte in spänningsområdet i 256 likastora kvantiseringssteg, utan stegen liggertätare vid låg nivå och glesare vid hög nivå.

Vid hög nivå ligger kvantiseringsstegenså glest att man får kvantiseringsbrus mot-svarande 6 bitars kodning. Detta ger ettkvantiseringsbrusförhållande på 37,9 dB. Viskall senare se att det är detta brus sombegränsar bithastigheten på våra 33,6 kbit/s-modem.

Vid låg nivå ligger kvantiseringsstegenså tätt att det motsvarar 12 bitars kodningav hela spänningsområdet. På detta sätt blirsignal/kvantiseringsbrusförhållandet hygg-ligt även när man talar svagt i telefon.

Återskapa spänningssamplen

Spänningssamplen sett somspektrum matas genom LP-filtret ...

... och ut kommer den ursprungligamodulationssignalen m(t).

µµµµµ-lag används i USA och JapanI USA och Japan används en något avvi-kande kompressionskurva. Vid telefonsam-tal mellan USA/Japan och övriga världensker omräkning av kodorden så att motta-garen skall få rätt nivå på spännings-samplen.

A-lag och µµµµµ-lagOlinjär kvantisering


146


9.4 PCM-kodning i verkligheten

Vi har visat matematiskt, inte genom atträkna utan genom att visa vad matemati-ken gör, att om sampling sker med samp-lingshastighet som är minst dubbelt så högsom högsta frekvenskomponenten i signa-len (Nyquist-villkoret), så har vi all informa-tion om signalen utan någon annan distor-sion än de begränsningar som sätts av hurtätt kodningsstegen ligger. Med tillräckligthögt antal bitar i kodordet så blir det ingendistorsion. Hur är det i verkligheten?

D/A-omvandlingens spänningssampelHela teorin bygger på att signalen åter-skapas av spänningssampel som är oänd-ligt smala. Men detta ger oändligt svag sig-nal eftersom signalens amplitud är likspän-ningskomponenten av spänningssamplen.

Vi går åt andra hållet. Vi gör spännings-samplen lika breda som samplingsperiod-tiden. Detta är vanligt. Vi får hög utsignal.Men hur blir det med distorsionen?

Hur låter 5 kHz på cd-skiva?Vi utgår från 5 kHz. Detta är en hög frek-vens men den förekommer som starka över-toner från vissa musikinstrument, t.ex.anslaget i en pianoton.

Först samplas signalen med 44,1 kHzsamplingsfrekvens. Vi får ungefär 8 spän-ningssampel och vi antar att vi har så mångabit i vårt kodord att det inte blir vare sigdynamikproblem eller kvantiseringsdistor-sion.

Nu återskapar vi den ursprungliga sig-nalen genom att bilda spänningssampelsom är lika breda som samplingsperioden.Hur låter en sådan signal?

Skickas genom lågpassfilterDen låter väl bra, tycker ni. Skicka signalengenom ett lågpassfilter så utjämnas”taggigheten” och signalen blir mjuk ochrund. Förresten så har ju taggigheten enfrekvens av 44,1 kHz. Det är ju ändå ingensom hör detta. Det kanske inte ens behövsnågot LP-filter.

Tyvärr är det inte så enkelt. Vi kan intebara säga att taggigheten försvinner om sig-

5 KHz som samplas med samp-lingshastigheten 44,1 kHz gerungefär 8 sample under en period.

Signalen kan återskapas genomoändligt smala spänningssampel

Vi får kraftigare ljud omspänningssamplen görs bredare

nalen LP-filtreras. Vi måste först beräknaspektrat för trappstegssignalen innan vi kanavgöra vad som kommer ut efter LP-filtret.

Hur beräknar vi spektrat?Trappstegssignalen kan ses som summanav två signaler, dels sinussignalen på 5 kHz,dels skillnaden mellan sinussignalen ochtrappstegssignalen.

Skillnadssignalen är svår att beräknamatematiskt, men enkel att rita upp grafiskt.Om vi gör detta ser man att skillnadssignalenblir sågtandsformad. Dessutom blir amplitu-den på sågtänderna MYCKET HÖG. Vi haringet kvantiseringsbrus, men vi har brus fråndenna skillnadssignal som har amplitudersom uppgår till 30 % av signalamplituden


147

© Per Wallander

5 kHz(signalfrekvensen)

[ ]

Breda staplar = m(t) + distorsionssignal

Smala staplar = m(t) + distorsionssignal samt

DSB-moduleringrunt samplings-frekvensen medövertoner

när signalfrekvensen är 10 % av samplings-hastigheten.

Vad innehåller skillnadssignalen för frek-venskomponenter? Det är inte lätt att sägabara genom att titta på bilden, men en sakser man klart och tydligt, nämligen att detfinns en periodicitet i skillnadssignalen på 5kHz. Ett lågpassfilter skär bort alla frekvens-komponenter över 20 kHz. Den del av distor-sionssignalen som ligger på signalfrek-vensen kommer inte att filtreras bort avlågpassfiltret.

Vi får alltså distorsion som är helt obe-roende av kvantiseringen. Distorsionen ökarvid höga frekvenser och gör säkerligen attcd-ljud låter ”kallt”.

Kan inte distorsion undvikas?Ett sätt att minska distorsionssignalens amp-litud är att återskapa signalen med smalaspänningssampel. Men då går spänningenner till noll mellan varje spänningssampeloch spektrat för den återskapade signalenkommer att innehålla DSB-signaler runt 44,1kHz, 88,2 kHz o.s.v. Modulerad som DSB-signal finns inte bara den ursprungliga sig-nalen som inte innehåller frekvenskompo-nenter över 20 kHz, utan även spektrat avden sågtandsformade distorsionssignalen

som ju inte är filtrerad. Höga frekvenskompo-nenter i distorsionssignalen hamnar inomdet hörbara frekvensområdet, som viknings-distorsion från sidbanden runt 44,1 kHz,88,2 kHz o.s.v.

Visst blir distorsionssignalen svagareom spänningssamplen görs smalare. Menäven m(t) blir svagare och distorsionen räk-nas i procent av m(t).

Tätare spänningsstaplarEnda möjligheten att minska distorsionen vidhög frekvens är att se till att skillnaden i höjdmellan två närliggande spänningsstaplar ärså liten som möjligt.

Om skillnaden mellan två samplings-tidpunkter motsvarar fem kvantiseringsstegså bör denna spänningsstapel delas upp ifem staplar som var och en ändrar sig ettkvantiseringssteg.


148


9.5 Symbolhastighet och bandbredd (Hartley)

Vi tänker oss serieporten på en pc. Ut påkabeln kommer ”symboler” i form av spän-ningsnivåer. Ena symbolen betyder ”1”medan andra symbolen betyder ”0”.

Symboler behöver bandbreddDet är symbolerna som ger spänningsänd-ringar på kabeln eller förändrar bärvågen,och det är ändringar som behöver band-bredd.

Vi skickar symboler på ledningen, ett visstantal symboler per sekund symbC . Denna sig-nal har ett spektrum. Grundtonen i spektrathamnar högst i frekvens när symbolernahela tiden växlar. Då får vi en grundton ispektrat som hamnar på 0 0,5 symbf C= ⋅ .

Men vi kan även ha samma symbol tvåeller flera gånger i följd. Då hamnar grund-tonen lägre i frekvens. En verklig datasignaldär symbolerna kommer slumpvis får ettspektrum där man alltid får med åtminstonegrundtonen i alla olika symbolkombinationer,om kanalen har en bandbredd på minst

0,5 symbB C= ⋅ . Detta samband kallas iblandför Hartleys lag vid basbandskommunikationoch säger att den maximala symbolhastig-heten på viss bandbredd är lika med dubblabandbredden.

1 0 1 1 0 1 0 0 1

tid

1 1 0 0 1 1 0 0 1 1

tid

1 0 1 0 1 0 1 0 1

tid

frekvensf0 3f0

frekvensf0 3f0 5f0 7f0

frekvens

frekvens

symbsymboltid T= 1symb

symb

CT

=

0

10,5

2 symbsymb

f CT

= = ⋅

0

14 symb

fT

=

12 symb

fT

=

max

10,5

2 symbsymb

f CT

= = ⋅

Hartley (basband): 2symbC B= ⋅

Symboler

Spektrum närsymbolernaväxlar.

Spektrum närvarannansymbol växlar.

Verkligtspektrumsomfiltrerats.

Symbolhastighet mäts i baudEnheten för symbolhastighet är egentligenbaud, men detta har så ofta blandats ihopmed bithastighet bit/s att man numera istandardiseringsdokument från ETSI (GSM-och UMTS-standarderna) bara ser enhetenutskriven som ”symb/s” för att undvika miss-förstånd.


149

© Per Wallander

frekvens

fc

fc

0,5 symbB C= ⋅

0,5 symbB C= ⋅

0,5 symbB C= ⋅

0,5 symbB C= ⋅

2 (0,5 )symbB C= ⋅ ⋅DSB

SSB

RadiokommunikationVid radiokommunikation måste man modu-lera en bärvåg. Vilken bandbredd behövs föratt överföra basbandssignalen?

DSBVi kan amplitudmodulera i en balanseradblandare och få DSB. Som resultat får vi enbandbredd som är dubbelt så stor sommodulationssignalens högsta frekvens. Vi får

symbB C= .

SSBVi kan minska på bandbreddsbehovet ge-nom att bara sända ett sidband, användaSSB. Då får vi en bandbredd som blir likamed modulationssignalens högsta frekvens.Vi får 0,5 symbB C= ⋅ .

Bandbreddsbehov vid radiokommuni-kationSSB ger lägsta bandbreddsbehovet. Vi kla-rar oss med 0,5 symbB C= ⋅ . Men den opti-mala mottagaren, den mottagare som harhögst känslighet, en sådan mottagare an-vänder koherent detektor (frekvensfel gersvävning som sänker detekterade signalenmed –3 dB). Vid SSB finns ingen möjlighetatt faslåsa detektorn om man inte sänderbärvåg, vilket stjäl effekt från sidbandet.

I praktiken används DSBI praktiken används DSB, som visserligenkräver dubbla bandbredden, men fördelenmed koherent detektor uppväger dennanackdel. Därför gäller vid radiokommu-nikation att den bandbredd som behövs är

symbB C= .

Hartley (basband): 2symbC B= ⋅

Hartley (modem- och radio-

kommunikation): symbC B=

NyquistfiltreringOm en spänningspuls matas genom ett låg-passfilter så kommer pulsen att breddas ochdet uppstår ett ”rippel” före och efter pulsen.Om lågpassfiltrets bandbredd är halvasymbolhastigheten, d.v.s. Hartley (basband),så kommer nollställena i ripplet att infalla närde andra symbolerna har maximum. Vi slip-per ”symbolinterferens”, att symbolerna på-verkar varandra. Filtrering för att undvikasymbolinterferens brukar kallas Nyquist-filtrering, vilket i stort sett blir detsamma somHartley för basband.

tid

tid

Nyquistfiltrering


150


1 0 1 0 1

tidfrekvens

fc frekvens

frekvens

frekvensfrekvens

frekvens

frekvens

frekvens

tid

tid

tid tid

Från datorn kommersymboler med visssymbolhastighet symbC .

Symbolernas spektrum

En bärvåg DSB-modulerasav symbolerna

Modulerade signalenstidsfunktion och spektrum

DSB-signalen matas genomen transmissionskanal medför smal bandbredd.

Inga spektralkompo-nenter passerar filtret.Därför finns ingensignal på utgången.

Denna signal innehåller ingeninformation (ren sinus).

DSB-signalen matas genomen transmissionskanal medtillräcklig bandbredd

På utgången finns despektralkomponenter somlyckas passera genomkanalen

Signalen är förvrängd (sinus-formad envelopp) jämfört medden utsända signalen, meninformationen 10101 finns ochkan tolkas med en koherentdetektor.

symbB C<symbB C≥

cos2 cf tπ

Ett sidband lyckaspassera filtret.


151

© Per Wallander

9.6 Antalet olika symboler ger bithastigheten

I förra exemplet hade vi två utseenden påvår symbol. Ena utseendet representerade”1” och andra utseendet representerade ”0”.

Fyra olika utseenden på symbolenAntag att vi har fyra olika utseenden på sym-bolen. Då kan dessa fyra utseenden sym-bolisera ”11”, ”10”, ”01” och ”00”. Vi överförtvå databitar per symbol och får dubbelt såhög bithastighet som symbolhastighet.

2bit symbC C= ⋅

Med åtta olika utseenden på symbolen såöverför vi tre bit/symbol, med 16 olikautseenden överför vi 4 bit/symbol, och med1024 olika utseenden överför vi 10 bit/sym-bol.

Rent allmänt gäller:

2logbit symb symbC n C C M= ⋅ = ⋅

där

bithastighet bit/s

symbolhastighet symb/s, även Baud

bit/symbol

antal olika symboler

bit

symb

C

C

n

M

==

==

2logn M=

2nM =

Exempel:I fasta telenätet överförs frekvens-området 300 – 3400 Hz.33.6 kbit/s-modemet (V.34) använderen bärvåg på 1959 Hz som modulerasmed 3429 symb/s. Detta ger någotstörre bandbredd än 3,1 kHz, menfiltren har sluttande flanker och manhar prövat sig fram, gradvis höjtsymbolhastigheten, och upptäckt attdetta fungerar. Om detta inte fungerar

väljer modemet en annan av niobärvågor i intervallet 1600 – 2000 Hzoch en annan symbolhastighet av sex iintervallet 2400 – 3429 symb/s. Man fårdock lägre bithastighet än 33,6 kbit/s.

Symbolerna kan ha 1664 olikautseenden. Detta ger mer än 33,6 kbit/s, men de extra databitarna utnyttjas förbitfelsminimerande kodning(trelliskodning).

1 0 0 0 1 1 0 1

11

0010

01

Om symbol tolkas som närliggandesymbol så får vi bara ett bitfel.


152


9.7 Bithastighet och brus (Shannon)

Vi kan öka bithastigheten utan att förändrasymbolhastigheten, genom att ge symbolenfler utseenden. Men finns det ingen övregräns?

Bruset begränsarHur ser signalen ut när den kommer fram?Det har adderats brus till signalen. Det sombegränsar hur många olika utseenden sym-bolen kan ha är bruset på transmissions-kanalen.

Shannons formelClaude Shannon publicerade 1948 en upp-sats som beskrev hur brus påverkar informa-tionsöverföring. För en analog transmis-sionskanal som störs av Gaussiskt vitt brus,en AWGN-kanal (additive white Gaussiannoise) gäller följande:

( ) 2maxlog 1

log 1

log2

bit

SC B

N

SB

N

= ⋅ + = ⋅ + =

där

( )max

37,910

log 1

log2

3100 log(1 10 )log2

3100 log616739 /

0,301

bit

SB

NC

kbit s

⋅ + = =

⋅ += =

⋅= =

Exempel:I analoga telenätet överförsfrekvensområdet 300 – 3400 Hz, ochsignal/brusförhållandet, som begränsas avkvantiseringsbrus vid A/D-omvandlingen,är 37,9 dB. Beräkna den teoretiskt övregränsen för bithastighet på en sådankanal.

Signalen när den kommer fram.

Mottagaren skall inte bara avgöravilken nivå som avses ...

Mottagaren vet inte ensnär nivån skall mätas.

( )max maximal övre gräns [bit/s]

kanalens bandbredd [Hz]

signal/brusförhållande [ggr]

bitC

B

SN

=

=

=

Shannon ger inga tips om hur denna bit-hastighet skall realiseras, utan värdet får sessom en teoretisk gräns som vi tror att vi intekan överskrida.

10 — Fysiska lagret

153

© Per Wallander

10 — Fysiska lagretSom inledning till modemkommunikation gårvi först igenom hur fasta telenätet fungeraroch kommer in på ISDN och ADSL.

Sedan är det dags för modemtekniken,MODulering och DEModulering.

Via signalvektorer och bitfelssannolikhetkommer vi fram till hur hög mottagen signalsom behövs för viss bithastighet och upp-täcker att den mottagna effekten, och där-med även sändareffekten, är direkt propor-tionell mot bithastigheten.

Efter att ha gått igenom amplitudskifts-modulering (ASK), frekvensskiftsmodulering(FSK), fasskiftsmodulering (PSK) och QAMså upptäcker vi att skillnaden mellan de olikamoduleringssätten egentligen är minimal.


154


10.1 Fasta telenätet

A/D D/A

PCM-kodning64 kbit/s

PSTN-telefon

PSTN-telefon

PSTN-nätetPSTN (Public Switched Telephone Network)är det gamla analoga telefonnätet som baraär analogt mellan abonnenternas telefoneroch telestationen. På telestationen finns enA/D-omvandlare som PCM-kodar talet. DetPCM-kodade talet (8 bit 8000 ggr/s) matastill växeln och vidare på det digitala rikslinje-nätet som sammanbinder växlarna.

Analoga modem, V.34När abonnenterna vill koppla upp sig tillInternet så använder de ”analoga modem”.Med analogt modem menas ett modem av-sett att anslutas till det analoga telefonnätet.

De analoga modemen alstrar symboler (1)som skickas på kopparledningen till tele-stationen. Där A/D-omvandlas symbolen (2)genom PCM-kodning. Sedan skickas dendigitala signalen hur långt som helst på detdigitala nätet till mottagarens telestation, därman gör en digital/analogomvandling (3),d.v.s. alstrar spänningssamplen som åter-skapar symbolen.

Vilka krav ställer man på den symbol sommodemet alstrar?• Symbolen skall kunna transporteras på

långa abonnentledningar, kopparkablar.

• Symbolen och symbolhastigheten skallha ett spektrum som passar filtreringenoch samplingen vid PCM-kodningen (2).

• Det mottagande modemet (4) skallkunna se skillnad på så många olikasymboler som möjligt så att vi kan skickamånga bit per symbol.

Det mest effektiva med dagens teknik är attmodulera en bärvåg. Man utnyttjar QAM, enform av dubbla DSB-modulatorer, som alst-rar dubbla sidband.

Symbolhastigheten begränsas avbandpassfiltret vid (2), som släpper igenom300 – 3400 Hz. Detta är emellertid ett gan-ska enkelt filter med sluttande flanker. Där-för har man lagt bärvågen vid 1959 Hz ochlyckats pressa symbolhastigheten till 3429

A/D D/A


PSTN-nätet

V.34-modem

V.34-modem

2

1

3

4Sändandemodem

Mottagandemodem

symb/s, vilket innebär att de intressantadelarna av sidbanden ligger inom 244,5 –3673,5 Hz.

Antalet olika symboler bestäms av brusetpå förbindelsen.

På kopparledningen från abonnent tilltelestation så adderas brus och störningar(överhörning från andra kopparledningar) tillsignalen, men inte mer än att signal/brus-förhållandet uppgår till ca 60 dB.

Den kritiska punkten är PCM-kodningenvid (2). Avrundningsfelet vid kvantiseringen(kvantiseringsbruset) motsvarar ett signal/störförhållande på 37,9 dB. Det är dettaavrundningsfel som begränsar hur mångaolika utseenden på symbolen som det mot-tagande modemet kan särskilja.

När dataorden skickas på den digitalaförbindelsen mellan telestationerna tillförsbara ett försumbart antal bitfel, och digital/analogomvandlingen, att återskapa spän-ningsstaplarna, ger inget större felbidrag.Sedan tillkommer brus på abonnent-ledningen till det mottagande modemet, mendetta brus ligger –60 dB under signalen.


155

© Per Wallander

A/D


PSTN-nätet

V.34-modem

2

1 Sändandemodem

300 3400 Hz

Frekvens

1959 Hz

Frekvens

A/D

PSTN-nätet

ADSL-modem

2

1

100 kHz 1,5 MHz

ADSL-modem till

Internet

fråndator eller LAN

ADSLADSL står för Asymmetric Digital SubscriberLine, och är en digitaliserad abonnent-ledning med högre bithastighet från tele-stationen mot abonnenten än från abonnen-ten mot telestationen. Det finns även utrust-ning med samma bithastighet i båda rikt-ningarna, Symmetric DSL, SDSL. Därför an-vänder man ibland samlingsnamnet xDSL.

Vid modemkommunikation via telenätet såmåste det sändande modemet alstra sym-boler vars spektrum ligger inom 300 – 3400Hz, det frekvensområde som ”släpps in” itelestationens A/D-omvandlare. Men självaabonnentledningen, kopparkabeln, kantransportera frekvenser från likspänning upptill den frekvens där dämpningen blir för hög.Detta har lett fram till ADSL-tekniken.

ADSL-modemet arbetar på samma sättsom V.34-modemet, med den skillnaden attbärvågen inte ligger vid 1959 Hz, utan uppåt100 kHz. Och så lägger man ytterligare enbärvåg vid kanske 110 kHz, och en vid 120kHz o.s.v. upp till så hög frekvens att signa-len inte kommer fram på grund av dämp-ningen, som ökar med frekvensen. Varje bär-våg moduleras med t.ex. 4 ksymb/s, och vikan ha många olika utseenden på symbo-lerna. Tillsammans ger detta bithastigheterpå uppemot 6 – 8 Mbit/s vid kabellängderupp till ca 3 km. Vid kortare kabellängder,500 m, klarar man 50 Mbit/s.

Alla siffervärden är ungefärliga. Varjetillverkare använder egna frekvenser ochegen teknik. Överhörning mellan kopparpari samma kabel kan göra att man inte kom-mer upp i dessa hastigheter. Nära tele-stationen ligger ofta 1000 kopparpar isamma kabel.

ADSL-signalen plockas ut från koppar-ledningen innan den når televäxelns A/D-omvandlare. Eftersom ADSL bara utnyttjarfrekvenser över det hörbara frekvens-området så kan man samtidigt ha ett vanligtanalogt abonnemang på samma koppar-ledning.

Multi Tone-teknikAtt utnyttja många bärvågor och på varjebärvåg ha en moduleringsteknik som liknarV.34-modemens kallas för ”Multi Tone”,många toner, många bärvågor.


156


ISDN-nätetISDN (Integrated Services Digital Network)är ett telenät där den PCM-kodade (64 kbit/s) signalen skickas ända hem till abonnen-ten. A/D-omvandlingen sker hemma hosabonnenten, i en ISDN-telefon eller, vilketär vanligast, i en ISDN-router som samtidigtanvänds för att koppla en dator till det digi-tala ISDN-nätet.

LinjekodningNär ISDN utvecklades, i början av 1980-ta-let, så fanns inte den modemteknik som ut-nyttjas vid ADSL. I stället fick man nöja sigmed linjekodning, att överföra symboler sombestod av spänningspulser.

Vid ISDN skall 160 kbit/s skickas mel-lan telestationen och abonnentens nät-terminal (NT). Hela ledningens frekvens-område fanns tillgängligt, med den begräns-ningen att hos ledningar ökar dämpningenmed frekvensen. Den vanligaste koppar-ledningen i telenätet har ledare med 0,4 mmeller 0,5 mm diameter. Lägre symbolhas-tighet ger ett spektrum som ligger lägre ifrekvens och inte påverkas lika mycket avkabeldämpningen.

I Sverige valde man en linjekod som kal-las 2B1Q. Denna kod har fyra symboler.Symbolhastigheten blir 80 ksymb/s.

ISDN:s nätterminaler (NT) är 1980-talsteknikoch kan utan vidare bytas mot ADSL-mo-dem. Då skulle man utnyttja 160 kbit/s av

Hos ISDN-abonnent


ISDNNT

A/D

ISDNNT 2B1Q

160 kbit/s

Påtele-

stationen

Router+

A/D

ISDN-telefonPSTN-

telefon

ISDNNT

2B1Q160 kbit/s

ISDNNT

Router+

A/D

Påtele-

stationen

ISDN-telefon PSTN-

telefon

A/D

ISDN-nät

Hos ISDN-abonnent

1 10 100 1 10

100

10

1

kHz MHz

0,4 mm

0,6 mm

dB/1000 m

+2,5 V

0 0 1 0 1 1 0 1

+0,83 V

-0,83 V

-2,5 V 0 0

1 0

1 1

0 1

Dämpning hos telekabel

2B1Q-linjekodAnvänds av ISDN NT mellantelestation och abonnent

ADSL-kapaciteten för ISDN-abonnemangetoch resten för fast uppkoppling mot Internet.Dessutom kan man ha ett vanligt analogttelefonabonnemang på samma koppar-ledning.


157

© Per Wallander

Hos ISDN-abonnent


ISDNNT

A/D

ISDNNT 2B1Q

160 kbit/s

Påtele-

stationen

Router+

A/D

ISDN-telefonPSTN-

telefon

ISDNNT

2B1Q160 kbit/s

ISDNNT

Router+

D/A

Påtele-

stationenISDN-nät

Hos ISDN-abonnent

LANLAN

A/D D/A

PSTN-telefon

PSTN-nät

V.90-modem

Dator

V.34-modem

12

3

5

4

6

Hur man ringer i ISDNEn ISDN-abonnent vid (5) kan ringa till enPSTN-abonnent vid (3). A/D-omvandlingensker hemma hos ISDN-abonnenten, an-tingen i en ISDN-telefon eller i den ISDN-router som används för Internetuppkoppling.Därefter skickas talet PCM-kodat 64 kbit/svia ISDN NT på kopparledningen till tele-stationen där den 2B1Q-linjekodade signa-len tas emot och omvandlas till ”vanlig” data-signal som matas till ISDN-stationen ochvidare ut på ISDN-nätet.

Från ISDN-nätet kan man skicka tele-fonsamtal till PSTN-nätet. Där fortsätter detPCM-kodade talet till telestationen där digi-tal/analogomvandling sker. Sedan matasspänningssamplen ut på kopparledningenoch kan avlyssnas i PSTN-telefonen.

V.90-modemDu har ett PSTN-abonnemang (1) och skaf-far ett V.90-modem (56 kbit/s) för uppkopp-ling mot Internet. När din dator skall skickasymboler till din Internetoperatör ISP,Internet Service Provider (6), så måste sym-bolerna kunna PCM-kodas i din telestation(2). Därför är det effektivaste sättet att skickasymboler enligt V.34, d.v.s. 33,6 kbit/s. Dessasymboler skickas PCM-kodade till ISDN-nätet (4) och vidare till din ISP, som utnyttjar

en D/A-omvandlare för att göra analog sig-nal av PCM-kodningen och mata den till ettV.34-modem som används för inkommandetrafik.

Från din ISP skickas datasignalen i formav 8 bitsord, d.v.s. 56 kbit/s är kodad till 64kbit/s med bitfelsminimerande kodning.ISDN-nätet tror att dessa 8 bitsord är ettPCM-kodat telefonsamtal och skickar demvia (4) till PSTN-nätet och telestationen. Itelestationen (2) görs en D/A-omvandling,d.v.s. av varje 8 bitsord skapas en spän-ningsstapel som matas ut på kopparled-ningen till V.90-modemet.

I V.90-modemet finns en avanceradsignalprocessor som klarar att nästan iden-tifiera höjden på spänningsstaplarna, ochmed hjälp av den bitfelsminimerandekodningen återskapa de 7 bit som är kodadei de 8 bitsord som ligger bakom varje spän-ningsstapel.

Telestationens D/A-omvandlare (2) ut-nyttjas alltså för att göra en linjekodning med8000 symb/s, 8 bit/symb (256 olika symbo-ler). Detta går att tolka i V.90-modemet tackvare signalprocessorn. Att göra något lik-nande i andra riktningen fungerar inte tyPCM-kodaren i telestationen utgör en allt-för osäker mottagare för ”spänningsstaplar”.


158


10.2 Linjekodning

Vi har sett två exempel på linjekodning, d.v.s.en teknik där symbolen består av en vissspänningsnivå i visst tidsögonblick.

ISDN:s NTISDN:s nätterminal utnyttjar enklast möjligateknik. Databitarna kommer från länklagreti form av 8 bitsord (64 kbit/s) för de två tele-linjerna (B1 och B2), och en 16 kbit/s bit-ström för signaleringskanalen (D).

Fysiska lagret sorterar in bitströmmarnai en ram bestående av 240 bit under 1,5 ms.Ramen inleds med 18 bit synkroniserings-signal som mottagaren måste känna igenför att veta var ramen börjar. Därefter följer2 bit från signaleringskanalen samt ett 8 bits-ord från vardera kretskopplade kanalen,något som upprepas 12 gånger. Ramenavslutas med 6 bit drift- och underhållsin-formation, som talar om för ISDN-nätet attabonnentens NT ”lever”.

Protokollet innehåller ingen som helstteknik för att undvika bitfel. Hela kommu-nikationen bygger på att mottagaren måsteklara att uppfatta symbolerna utan symbol-fel.

V.90Även V.90-modemet utnyttjar linjekodning iriktningen från telestationen ut mot abon-nenten. Symbolerna består av de spän-ningsstaplar som skapas av digital/analog-omvandlaren. Men skillnaden i spänningmellan närliggande kvantiseringssteg är såliten att det är lätt att mottagaren tolkar fel.Dessutom, i de amerikanska och japanskaPSTN-näten förekommer att man ”lånar” enbit ur var 6:e 8 bitsord (var 48:e bit) för attskapa en signaleringskanal. Vi kan alltså fåsymbolfel därför att mottagaren tolkar fel,och vi kan få enstaka bitfel därför att tele-nätet ”lånat” var 48:e bit.

Bitfelsminimerande faltningskodningFör att hantera detta så inför man en bitfels-minimerande faltningskodning för de data-bitar som bestämmer närliggande samp-lingsnivåer.

S W1 W2

D B1 B22 + 8 + 8 bit

W11 W12 D/U

18 + 18 + 18 ...... ... + 18 + 18 + 6 bit

240 bit, 1,5 ms

Ramstruktur vid ISDN 2B1Q

SpektrumformningFrån D/A-omvandlaren kommer 8000 spän-ningssampel per sekund. Detta innebär attvi kan få starka frekvenskomponenter vid 4kHz om två höga närliggande sampel harolika tecken (positiv respektive negativ spän-ning). Om mottagande modemet har svårtatt tolka höjden på höga staplar som växlartecken så snabbt, så utnyttjas ”teckenbiten”i vissa 8 bitsord för spektrumformning. Manger teckenbiten den polaritet som gör attsignalens spektrum inte får alltför kraftigahögfrekventa komponenter.

Anpassning till kopparledningenV.90-modemet arbetar med en ram bestå-ende av 6 st 8 bitsord, totalt 48 bit som sändspå 0,75 ms. Dessa 48 bit är ”framräknade”(bl.a. faltningskodade) av allt från 21 till 42bit länkskiktsdata.

Vid 42 bit användardata blir bithastig-heten 56 kbit/s. Men andelen länkskiktsdatakan minskas i steg om 1 bit ner till 21 bit på0,75 ms. Då blir bithastigheten 28 kbit/s.

Vad vinner man på att fördela 21 bitunder 48 utsända bit. Jo, kraftigare felmini-merande kodning.

V.90-modemet arbetar hela tiden med8 ksymb/s symbolhastighet. Man minskarinte heller på antalet symboler, t.ex. skulleman kunna använda bara varannat kvan-tiseringssteg. Nej, man fortsätter med högbithastighet även om signalen är brusig ochlåter bitfelsminimerande kodning korrigeraför den osäkerhet som bruset ger. Modemetväljer själv den högsta möjliga bithastighetenfrån 28 kbit/s till 56 kbit/s i steg om 1,333kbit/s (21 steg).


159

© Per Wallander

10.3 Nyckling (Keying) och signalvektorer

KeyingDet finns ett ord som återkommer i allaförkortningar som gäller modulering, och detär ”Keying”. I radions barndom skickades te-legram med morsetelegrafi, och sändaren”nycklades” (startades och stoppades,Keying) med en telegrafnyckel (Key).

Av modulering har vi behandlat amplitud-modulering, frekvensmodulering, fasmodu-lering och kvadraturmodulering. Alla dessaformer återfinns vid digital modulering.• ASK, Amplitude Skift Keying

• FSK, Frequency Shift Keying

• PSK, Phase Shift Keying

• QAM, Quad Amplitude Modulation

SignalvektorerVi är vana att rita cos2c cE f tπ i ett visar-diagram. Om denna signal datamodulerasmed symboler som har symboltiden symbTså kan vi beräkna energin i en symbol symbE .

Vi ser även att roten ur symbE är proportio-nell mot cE . Roten ur symbE kallas komplexsignalvektor och kan ritas i ett vektordiagram.

Ordet vektor kan vara missvisande ur ma-tematisk synpunkt. Signalvektorer adderasoch subtraheras som vanliga vektorer, ochvi kan multiplicera med skalär (förstärkningeller dämpning), men vi kan inte multipliceratvå olika vektorer. Om vi däremot multiplice-rar vektorn med sig själv så får vi energinunder en symboltid.

Egentligen Es och EbDet normala är att skriva sE , inte symbE , och

bE , inte bitE . Jag är övertydlig eftersom detär så lätt att blanda ihop symboler och bit.

2

2c

symb m symb symb

EE P T T

R

= ⋅ = ⋅

2symb

symb c

TE E

R=

till

fråntid

Nyckling

cE0°

90°

Visar-diagram

symbERe

Im Vektordiagrammed komplexsignalvektor


160


10.4 ASK (Amplitude Skift Keying)

1 0 0 1 1 1 0 0

1

0

0 1

Vektorns längdtill beslutsgränsen d/2: 0,45 symbE

Signalvektor 1:

Signalvektor 2:

Signalvektorerna somsignalpunkter i sammadiagram.

Vi kan ändra amplituden på bärvågen i taktmed databitarna. Två symboler ger 2ASK.

SignalpunkterNästa bild visar de två symbolerna somsignalvektorer. Om man vill rita alla signal-vektorer i samma diagram så blir diagram-met grötigt. Därför anger man signalvektornsspets med en signalpunkt. På så vis kan allasignalvektorer visas i samma diagram.

Den mottagna signalen är någon av signal-vektorerna plus brus. Om bruset är så kraf-tigt att den mottagna signalen hamnar påandra sidan beslutsgränsen så får mansymbolfel.

I kapitel 3 beskrev jag normalfördelat brusoch Q-funktionen. Vad skall förhållandet varamellan beslutsgränsen U och brusets effek-tivvärde En för att brustopparna skall över-skrida beslutsgränsen under viss del av ti-den? Som exempel räknar vi på bitfels-sannolikheten 410bitp −= , där förhållandetblir ungefär 3,7.

Jag sätter symbE till energin i den maximalasymbolen. Avståndet mellan de två signal-punkterna kallar vi d. Avståndet till besluts-gränsen är alltså d/2.

0,9

/ 2 0,45

symb

symb

d E

d E

= ⋅

= ⋅

NyquistfiltreringVi räknar med optimal filtrering, rektangulärNyquistkarakteristik, som visserligen inte ärrealiserbar, men för brusberäkningar blir re-sultatet ungefär som med ett verkligt filter(samma brusbandbredd, samma mottagenbrusenergi). Detta ger 1/ symbB T= .

Ur detta kan vi räkna fram att denna detek-tor kräver 0/ 18,3bE N dB= för 410bitp −= .

0

00

/ 2

0,45 0,2025

bit symbn symb

symb bit

symb

U dp p Q Q

E N B T

E EQ Q

NN B T

= = = = ⋅ ⋅ = = ⋅

0

0 0

0,20253,7

67,6 18,3

bit

bit b

EN

E EdB

N N

⋅=

= = ⇒

symbE

0,1 symbE


161

© Per Wallander

Signalpunkterna när man har fyrasymboler med olika amplitud.

4ASKVi kan dela upp amplitudområdet på fyraolika symboler, vilket ger 4ASK.

I detta fall kommer två av symbolernaatt kunna få symbolfel åt två håll. Därför blirdet en enda svansyta under normalfördel-ningskurvan för de båda yttersta symbo-lerna, men två svansytor för de mellerstasymbolerna som får symbolfel dubbelt såofta. Medelsymbolfelen blir sex svansytor för-delade på fyra symboler.

Bitfelsminimerande kodningOm en symbol tolkas fel så att man tar denintilliggande i stället? Vi ser att jag fördelatdatabitarna på symbolerna så att intillig-gande symbol bara ger ett bitfel av två över-förda bit. En felaktig symbol på 5000 sym-boler motsvarar alltså ett bitfel på 10 000 bit.

0,5 dB vinst (10 % lägre sändareffekt)Denna detektor kräver mer än fyra gångerhögre 0/bE N för samma bitfelshalt jämförtmed den tidigare detektorn med två sym-boler.

Den bitfelsminimerande kodningen geren vinst på 0,5 dB.

0

0

0

0

6 6 / 24 4

0,1564

0,0225 264

0,04564

symbn symb

symb

symb

bit

bitsymb

U dQ Q

E N B T

EQ

N B T

EQ

N

Ep Q

N

= = = ⋅ = = ⋅ ⋅= ⋅=

4 410 2 10bit symbp p− −= ⇒ = ⋅

4

4

0

0

62 10

4

1,33 10

0,0453,65

296 24,7

n

n

bit

n

b

UQ

E

UQ

E

EUE N

EdB

N

−

−

⋅ =

= ⋅

⋅≈ =

= ⇒

4 410 10bit symbp p− −= ⇒ =

4

4

0

0

610

4

0,67 10

0,0453,85

329 25,2

n

n

bit

n

b

UQ

E

UQ

E

EUE N

EdB

N

−

−

=

= ⋅

⋅≈ =

= ⇒

Utan bitfelsminimerande kodning Med bitfelsminimerande kodning

1 0 0 0 1 1 0 1

11

0010

01


162


10.5 Hur hög mottagen effekt Pm behövs?

Signal/brusförhållandet kan uttryckas somfunktion av symbE och symbC . Bandbreddenväljs som optimal Nyquistfiltrering, ochbruset uttrycks som brus/Hz.

Vi ser att den effekt mP som mottagarenbehöver för att vi skall uppnå detektorkäns-ligheten 0/bE N endast är en funktion avdetektorkänsligheten 0/bE N , antennensoch mottagarens totala brustemperatur Toch bithastigheten bitC .

MedeleffektOm vi är intresserade av sändarens medel-effekt så kan vi antingen utgå från 0/bE Nberäknad på en ”medelbit”, eller också kanvi räkna om till medeleffekt utgående frånframräknad toppeffekt mP .

Det spelar ingen roll hur man gör så längeman vet vad man gör. Vad betyder egentli-gen 0/bE N om du hämtar ett värde ur entabell?

Exemplet med de två ASK-modulationssätten visar att med fyrasymboler så behöver mottagarenfyra gånger så hög mottagen effekt(och då behövs fyra gånger så högsändareffekt) för samma bithastig-het, men man behöver bara halvabandbredden (halva symbC ).

Priset för att minska bandbreddentill hälften är alltså fyra gånger såhög sändareffekt.

Jag har samma räckvidd i bådafallen, men med fyra gånger så högsändareffekt så ”skräpar jag ner”större yta innan samma frekvens-kanal kan återanvändas av någonannan.

Jag vann halva frekvensutrymmetmen skräpade ner mer än dubbeltså stor yta. Alltså ingen vinst totaltsett.

Vid mobiltelefoni är det viktigaremed lågt 0/bE N än smal bandbreddnär man vill ha in så många samti-diga samtal per ytenhet som möjligtpå begränsat frekvensutrymme.

0

symb symbm

symb

E CS PN kTB kTBB C

kT N

⋅= =

= =

0 0

0 0 0

0

symb symb symb symb bitm

bit bit bit bitm symb

bm bit

E C E C n EPkTB kTB N B N

E E E CP n kTB n kT C n kT

N N N n

EP kT C

N

⋅ ⋅= = ⋅ =

= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅

= ⋅ ⋅


163

© Per Wallander

10.6 Antipodal 2ASK och BPSK

Störst detektorkänslighet får man när av-ståndet d är maximalt i signaldiagrammet,och med två signalpunkter så skall dessaligga rakt genom origo, på diametralt mot-satt plats, på antipoderna.

2ASKDenna modulering kan kallas 2ASK, och dåblir symbolerna lika, fast med minustecken.

Symbol 1: cos2c cE f tπSymbol 2: cos2c cE f tπ−

BPSKMen fasmodulering med två faslägen, BPSK(Binary Phase Shift Keying) får sammasignalpunkter. Då blir symbolerna:

Symbol 1: cos(2 0 )c cE f tπ + °Symbol 2: cos(2 180 )c cE f tπ + °

2ASK och BPSK har samma 0/bE NBeräkning av detektorkänsligheten följersamma mönster som förut. Avståndet d äravståndet mellan punkterna, och d/2 blir likamed symbolenergin, som är lika med bit-energin eftersom vi har en bit per symbol.

Det som är nytt är bruset. Det krävs enkoherent detektor för att detektera dennasignal. På samma sätt som vid DSB så kom-mer bara I- eller Q-bruset att detekteras ochvi får bara halva bruseffekten efter detektorn.

cos2c cE f tπcos2c cE f tπ−

cos(2 0 )c cE f tπ + °

cos(2 180 )c cE f tπ + °

0

00

/ 2

12

2

12

bit symbn

symb

symb bit

symb

U dp p Q Q

EN B T

E EQ Q

NN B T

= = = = ⋅

⋅ = = ⋅

0

0 0

23,7

6,8 8,3

bit

bit b

EN

E EdB

N N

⋅=

= = ⇒


164


+-

2ASKModulationsformen 2ASK åstad-kommes i en vanlig DSB-modulator.Utsignalen blir proportionell motmodulationssignalens amplitud ochtecken.Förflyttning från ena signalpunktentill den andra innebär att bärvågenskall avta till noll och sedan växamed negativ amplitud. Förändringav amplitud är amplitudmoduleringoch kan åskådliggöras genom attdela signalen i två visare som vridersig åt motsatt håll.

BPSKBPSK innebär att bärvågen inte skall ändra amplitud. Förflyttning från enasignalpunkten till den andra skall ske längs cirkelns radie. Detta kan åstadkom-mas genom att man summerar två DSB-modulerade signaler i en QAM-modu-lator. Vi ser hur summan av visarna blir en enda visare med konstant amplitud,som vrider sig.

+-

+

Summa

cos(2 90 )cf tπ + °

cos2 cf tπ

2ASK har lägre medeleffekt än BPSK


165

© Per Wallander

10.7 Icke-koherent 2FSK (Frequency Shift Keying)

frekvens

tid

tid

frekvens

frekvens

frekvens

symbT

1 symbf C+

1f

2 symbf C−

2f

symbB C=

symbB C=

Ortogonal mottagningOm jag amplitudmodulerar en sändare (till/från) på frekvensen 1f så kommer spektratatt gå genom noll på frekvensen 1 symbf C+ .Om jag lägger ett filter och en envelopp-detektor på frekvensen 1 symbf C+ så får jagingen utsignal. Spektralkomponenterna geringen amplitudvariation, bara fasvariation(olika tecken på spektralkomponenterna påömse sidor om frekvensen 1 symbf C+ ).

FrekvensskiftOm jag skapar två sändare, den ena på 1foch den andra på 2f och växlar mellansändarna, ena symbolen sänds på 1f ochandra symbolen sänds på 2f , så har jag ska-pat en ortogonal modulering, därför att enasändaren ger utslag bara i en av mottagarna,inte i den andra mottagaren. Detta förhål-lande uppnås om frekvensskiftet är ett hel-tal multiplicerat med symbC .

Icke-koherent ortogonal 2FSKDetta moduleringssätt kan alltså detekterasav en mottagare som inte återskapar någonbärvåg, en icke-koherent mottagare. Nack-delen med en sådan mottagare är att dendetekterar både I- och Q-bruset. En sådan

mottagare får 3 dB högre 0/bE N än en ko-herent mottagare.

OFDMModuleringssättet är ortogonalt eftersom ettfilter centrerat runt en av frekvenserna barakommer att reagera för just den frekvensen.

Moduleringssättet som används vid di-gital-tv (DTV) och digital ljudradio (DAB) imarknätet, OFDM (Ortogonal FrequencyDivision Multiplex), innebär att man utnytt-jar många bärvågor (1500 vid DAB, 8000vid DTV) och frekvensskillnaden mellanbärvågorna är vald till symbC .

Minst bandbredd om man sveperMan kan växla mellan två sändare, mellantvå oscillatorer, vilket innebär att den enastängs av och den andra startas (amplitud-modulering), men bättre är att ha en oscilla-tor som FM-moduleras så att den ”glider”

/ 2symbC nedåt i frekvens på ena symbolenoch glider tillbaka och upp / 2symbC i frek-vens på den andra symbolen. Då ”hängersignalerna ihop”, CPFSK (ContinuousPhase FSK). Som alltid ger ett mjukt gli-dande, inga häftiga rörelser, det smalastespektrat.


166


I kanal−

Q kanal−

cos2 cf tπ

cos(2 90 )cf tπ + °

cf f+ ∆

cf f− ∆

cf f+ ∆ cf f+ ∆ cf f+ ∆

0t = t t= ∆cos(2 90 )cf tπ + °cos2 cf tπ

22

f tππ∆ ⋅ ∆ =

1symb

symb

t TC

∆ = =

14 4

symbCf

t∆ = =

⋅ ∆

10.8 Koherent 2FSK, MSK (Minimum Shift Keying)

frekvens

2symbC

cf4symb

c

Cf +

4symb

c

Cf −

Koherent detektorVid FSK varierar frekvensen f±∆ runt cfberoende på vilken symbol som sänds. Närfrekvensen är cf f+ ∆ så kommer signalensfas relativt cf att hela tiden öka. Om en så-dan signal tas emot med en koherent de-tektor som återskapar bärvågen cf , så kom-mer vi att få signal på I-kanalen som blirmaximalt positiv varje gång fasen är 0° , ochmaximalt negativ när fasen är 180° , meningen utsignal när fasen är 90° eller 270° .Då får vi i stället maximal positiv eller nega-tiv signal på Q-kanalen.

Ortogonal modulering för koherentdetektorOm den ena symbolen avläses i det tids-ögonblick när bärvågens fas snurrar förbi 0°eller 180° , medan andra symbolen avläsesi det tidsögonblick när fasen snurrar förbi 90°eller 270° , så har vi ortogonal detektering,bara signal på den ena av utgångarna.

Hur lång skall symbolen vara?Om vi sänder FSK så skall symbolen varaså lång, så att vi med frekvensskillnaden f∆hinner snurra 90° på en symboltid. Dettainnebär att frekvensskillnaden f∆ skall varaen fjärdedel av symbolhastigheten symbC .

MSK (Minimum Shift Keying)Om vi alltså använder en koherent detektorså kommer de båda symbolerna att varaortogonala, om skillnaden mellan de bådafrekvenserna är / 2symbC , hälften av frek-vensskiftet vid icke-koherent FSK. Detta ärdet minsta frekvensskift som går att detek-tera ortogonalt. Därför kallas denna module-ringsform Minimum Shift Keying (MSK).


167

© Per Wallander

+

+

Summa

MSKI- och Q-kanalernaamplitudmodulerasså att resultatet bliren vektor medkonstant amplitudsom vrider sig 90° .

I-kanal

Q-kanal

GMSK (Gaussiskt filtrerad MSK)GSM-moduleringen är MSK, där signalernasom matas till I- och Q-modulatorerna är”avrundade” i filter med Gaussisk amplitud-kurva. Detta ger mjuka ändringar hos demodulerande signalerna så att bandbreddeninte blir större än nödvändigt.

Vid GSM är 270 /symb bitC C kbit s= ≈ .GSM-signalen ser ut att hoppa mellan tvåfrekvenser. Den ena ligger på 67cf kHz+ ,den andra ligger på 67cf kHz− , d.v.s. enFSK-modulerad signal.

GSM-signalen alstras i en QAM-modu-lator. Detta är enda sättet att kunna garan-tera att fasvridningen blir exakt 90° underen symbol.

GSM-mottagaren känner av signalensfasläge i vissa bestämda tidsögonblick. Un-der ena symbolen vrider sig fasvinkeln

90+ ° , under andra symbolen vrider sig fas-vinkeln 90− ° .

Att GSM alstras genom QAM-moduleringinnebär att man kan betrakta signalen somsumman av två DSB-signaler som var ochen moduleras med halva symbolhastig-heten, ca 135 ksymb/s. Vi har alltså två så-dana signaler på samma bandbredd. Det ärdetta som gör att GSM-signalen får plats ien 200 kHz bred frekvenskanal, trots attsymbolhastigheten tycks vara 270 ksymb/s.

GFSKDen modulationsform som utnyttjas avDECT, Bluetooth m.fl. kallas GFSK. Dettaär GMSK som alstrats inte med QAM-mo-

dulator utan genom att FM-modulera enoscillator. Detta är en förenklad modulations-form där man inte kräver exakt 90° fas-vridning under en symbol. Man kan användaen enklare sändare och som mottagare nå-gon enkel form av FM-detektor. Egentligenär detta ickekoherent FSK med för litetfrekvensskift för att medge ortogonal detek-tering.

90− ° betyderandra symbolen

90+ ° betyderena symbolen

MSK kan ses som frekvensskift ...

... eller som fasvridningunder själva symbolen.

frekvens

cf67cf kHz− 67cf kHz+

135 kHz

cos2 cf tπ

cos(2 90 )cf tπ + °


168


10.9 QAM (Quad Amplitude Modulation)

0,7cos2 0,5sin2

0,86cos(2 35,5 )c c

c

f t f t

f t

π ππ− =

= + ° sändare

sändare

cos2 cf tπ

sin2 cf tπ−

0,5

0,7Q

I

Med en QAM-modulator kan man åstad-komma vilken signalvektor som helst. QAMär därför ett modulationssätt där man kansprida ut signalpunkterna optimalt i signal-diagrammet för att få så långt avstånd d tillnästa signalpunkt som möjligt.

Telefonmodem 9,6 kbit/s (V.32)Som exempel skall vi se på det gamlatelefonmodemet för 9,6 kbit/s. Man använ-der symbolhastigheten 2,4 ksymb/s påtelefonförbindelsen, överför 4 bit/symbol ochbehöver alltså 16 signalpunkter.

Signalpunkterna ligger tätare i mitten,vid låga amplituder än vid höga amplituder.Det beror på att bruset som adderas påtelefonförbindelsen till övervägande del ärkvantiseringsbrus, och eftersom kvantise-ringsstegen (A-lag) ligger tätare vid lågaamplituder så är kvantiseringsbruset lägreoch därmed mindre störande vid lågaamplituder.

SynkroniseringSignaldiagrammet ser ut på samma sätt omman vrider det ett kvarts eller ett halvt varv.Det är viktigt att sändande och mottagandemodem är överens om vilken riktning somskall motsvara 0° innan kommunikationenbörjar (synkronisering). Det är bl.a. sådansynkronisering som modemen håller på medvid uppkoppling av en modemförbindelse.

Även ett kort avbrott kan innebära attmodemen tappar synkroniseringen ochmåste börja om.

Vid mobiltelefoni, t.ex. GSM, så identi-fieras inte symbolen av punktens läge i dia-grammet, utan av storleken på vridningenoch vridningsriktningen. Vrids fasen åt enaeller andra hållet? Därför är GSM inte bero-ende av synkronisering av signaldiagram-men.

33,6 kbit/s-modem (V.34)Signaldiagrammet för V.34-modemen ser utpå samma sätt som för V.32-modemet ovan,med skillnaden att vi inte har 16 signal-punkter utan 1664 punkter jämnt fördeladeinnanför cirkeln. Jag avstår därför från attrita någon bild.

Telefonmodem 9,6 kbit/s (V.32)


169

© Per Wallander

tid

fas

10.10 PSK (Phase Shift Keying)

Fasskiftmodulering i betydelsen att signa-len har ett visst fasläge under en symbol ochsedan växlar till ett annat fasläge, någotsådant existerar inte. En sådan moduleringskulle innebära att signalen måste ”hoppa” isidled (på tidsaxeln) vid växling till nästasymbol. Man kan visserligen tänka sig attsnabbt stänga av efter en symbol och startavid nästa, men detta ger amplitudmoduleringmed fyrkantpulser och då bildas ett oänd-ligt brett spektrum.

Vid växling från ett fasläge till ett annat, omman inte stänger av signalen, så måstesinuskurvan antingen ”tryckas ihop” omnästa symbol skall ha positiv fas, kommatidigare, eller också måste sinuskurvan ”drasisär” om nästa symbol skall ha negativ fas,komma senare. Trycka ihop innebär högrefrekvens, dra isär innebär lägre frekvens.

Om fasväxlingarna skall gå snabbt såkrävs stor frekvensskillnad under växlingen.Frekvensskillnaden blir proportionell motfaskurvans derivata. Därför försöker man draut på tiden och låta växlingen från ett fas-läge till nästa ta så lång tid som möjligt. Manutnyttjar hela symboltiden.

Egentligen FSKDet som blivit kvar av fasskiftmoduleringenär egentligen frekvensskiftmodulering, efter-som man ändrar frekvens vid växling tillnästa symbol beroende på hur fasen skalländras. Sedan avläser man signalens fas-läge vid slutet av symbolen.

PSK skall ha konstant bärvågFasskiftmodulering innebär att signalen skallha konstant amplitud, d.v.s. signalvisarenskall vrida sig med konstant längd mellanfaspunkterna. Men bandbredden på signa-len blir mindre om signalvisarens spets gårraka vägen till nästa signalpunkt.

0°

90− °

90+ °180+ °

Detta existerar inte!

tid

fas

0°

90− °

90+ °180+ °

0°

90− °

90+ °180+ °

tid

fas

Detta går att göra!

Så här gör man.Minst bandbredd.


170


(0,1,0)

(0,1,1)

(1,1,1)

(1,1,0)

(1,0,0)

(1,0,1)

(0,0,1)

(0,0,0)

8PSK med Gray-kodning

EDGE använder 8PSKEn vidareutveckling av GSM har fått benäm-ningen EDGE (Enhanced Data rates forGSM and TDMA/136 Evolution).

För att öka bithastigheten med oföränd-rad symbolhastighet (270 ksymb/s) så harman infört åtta signalpunkter i signaldia-grammet. Punkterna ligger utspridda längsdiagrammets cirkel.

Vi ser att signalpunkterna ligger utspriddalängs cirkeln. Åtta punkter. Därför kallas detta8PSK. Men signalen följer inte cirkeln mel-lan symbolerna, utan går i stort sett kortastevägen. I verkligheten är detta alltså QAM-modulering.

Gray-kodningVarje signalpunkt representerar tre databitar.Man har valt bitkombinationer så att skillna-den mellan två närliggande punkter bara ären enda bit. Om man får symbolfel och tol-kar signalen till närliggande symbol så gerdetta inte symbolfel med tre bitfel, utan baraett enda bitfel. Två av databitarna är fortfa-rande rätt mottagna. På detta sätt håller mannere bitfelshalten till ett minimum.

(I verkligheten vrids signal-diagrammet 67,5° mellan varjesymbol för att undvika att signal-visarens spets går genom origofrån en punkt till en annan, men vibortser från detta.)

11 — Länklagret

171

© Per Wallander

11 — LänklagretEfter att vi tittat på kontrollsummor, d.v.s.CRC-beräkning, och enkel felrättning medHammingkodning, så kommer vi till länk-lagrets egentliga uppgifter.

Vi börjar med V.24, hårdvaruhandskakning,så som länklagret hanteras mellan etttelefonmodem och pc:n.

Därefter tittar vi på SDLC, mjukvaru-handskakning, så som länklagret hanterasmellan två modem, eller mellan två datoreranslutna till samma LAN (Local AreaNetwork).

Som avslutning följer lite allmänt om krets-kopplade, paketförmedlande och cell-förmedlande nät, samt skillnaden mellan ettförbindelseorienterat och ett förbindelselöstpaketnät.

11 — Länklagret

172


11.1 Kontrollsumma, CRC-beräkning

Något sådant som bitfelsfri kommunikationexisterar inte. Hur stark mottagen signal manän har, hur bra signal/störförhållandet än är,så uppträder bitfel. Mer eller mindre ofta.

KontrollsummaHur kontrollerar man om det finns bitfel?Utan att behöva sända hela meddelandetigen? Man räknar fram en kontrollsummavars värde påverkas om man fått bitfel.

Personnumrets kontrollsiffraPersonnumrets sista siffra är en kontrollsiffra.Den är framräknad på följande sätt:• Siffrorna för år, månad, dag och num-

mer multipliceras växelvis med 2 och 1.

• Lägg samman siffrorna i produkterna.OBS! 12 räknas som 1 + 2.

• Entalssiffran i summan dras från talet 10.Detta blir kontrollsiffran.

Genom att multiplicera växelvis med 2 och1 samt även ta med kontrollsiffran så skallsumman bli helt tiotal om personnumretstämmer.

Varför multiplicera med växelvis 2 och1? Jo, detta gör man för att kunna upptäckaom två siffror är omkastade.

CRC eller FCSEn liknande metod används vid datalagringoch datakommunikation. Kontrollsummankallas CRC (Cyclic Redundancy Check) ef-ter metoden att räkna fram kontrollsumman,eller FCS (Frame Check Sequence) efter-som kontrollsumman kontrollerar ett data-block (Frame), eller BCS (Block CheckSequence).

ARQ (Automatic Repeat Request)Vid datalagring (diskett m.m.) och data-kommunikation, vid överföring av datafilerm.m. så finns kravet att alla databitar måstevara rätt. Men helt bitfelsfri läsning eller kom-munikation existerar inte. Hur gör man? Jo,man räknar fram en kontrollsumma, påsamma sätt som vid personnumret. Omkontrollsumman inte stämmer så gör man

6 4 0 8 2 3 - 3 2 3 x 2 1 2 1 2 1 2 1 212 4 0 8 4 3 6 2 6

1+2+4+0+8+4+3+6+2+6 = 36x = 10 - 6 = 4

på exakt samma sätt som vid personnumret:Man frågar om!

Databitarna som skall skyddas med kontroll-summa delas in i block. Dessa block kan varastora om sannolikheten för bitfel är liten(ibland ända upp till 8000 oktetter), eller små,kanske bara några oktetter, om risken förbitfel är hög.

Blocket betraktar vi som ett stort tal. Dettatal divideras med ett så kallat ”generator-polynom”. Som resultat får vi kvoten (heltals-delen) och en eventuell rest. Denna rest(CRC) adderas till blocket på sådant sätt attmotsvarande division av blocket plus CRCgår jämnt ut. Vi får bara heltalsdel.

Hela räkneoperationen utförs som ”Modulo-2”-division. Jag nöjer mig med att visa hurman gör.

11 — Länklagret

173

© Per Wallander

Addition eller subtraktion, Modulo-2Addition och subtraktion sker på samma sättvid modulo 2-räkning. Lika blir 0, olika blir 1.

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

+ = + = + = + =

0 0 0

0 1 1

1 0 1

1 1 0

− = − = − = − =

Observera att 1 + 1 blir 0, inte 10 med enetta som flyttas någon annanstans, utan”bara 0”.

Blocket som skall skyddasVi utgår från ett block med databitar somskall skyddas med CRC. Vi tänker ossblocket 10111. Till detta adderar vi nollor,en nolla mindre än antalet bit i generator-polynomet. Blocket plus nollorna är vår divi-dend.

GeneratorpolynomCRC beräknas utgående från ett generator-polynom. Vi använder generatorpolynomet1010. Detta ger 3 bit CRC. Alltid en bit min-dre än antalet bit i generatorpolynomet(generatorpolynomet börjar alltid med 1).Generatorpolynomet är vår divisor.

BeräkningenNu börjar vi modulo-2-divisionen, se bild 2.Dividenden börjar med 1. Det ger 1 till kvo-ten, och vi subtraherar generatorpolynomet.Som resultat får vi en inledande nolla somstryks, varefter vi flyttar ner nästa bit.

I bild 3 börjar resultatet med 0. Dettager 0 till kvoten och vi subtraherar enbartnollor. Stryk inledande nollan och flytta nernästa bit.

I bild 4 fortsätter vi. Först med 0 till kvo-ten, sedan 1, varefter vi flyttar ner sista bi-ten i dividenden. Efter ytterligare en divisionåterstår 3 bit. Detta går inte att dividera med4 bit utan är vår rest. Dessa 3 bit är vårtCRC som adderas till blocket i stället för trenollor. Det är detta som skickas över tele-förbindelsen. Blocket plus CRC.

Kvoten är inte intressant. Vi behöver inteanteckna denna vid divisionen.

10111+0001010

Generator-polynom Datablock

Addera nollor (ett tecken mindre än generatorpolynomet)

10111+000101000011

10101

10111+000101000011 0000 0011 0

101010

10111+000101000011 0000 0011 0 000 0 011 00 10 10 01 100 1 010 0 110

101010011

CRC

Bild 2:Dividera med generatorpolynomet såatt vi efter subtraktion får en inledandenolla som stryks. Flytta ner nästa bit.

Bild 1: Dividend Divisor

Bild 3:Här dividerar vi med nollor för att eftersubtraktion få en inledande nolla somstryks. Flytta ner nästa bit.

Bild 4:Fortsätt dividera. Rita pilar när du flyttarner databitar, så att du inte dividerar engång för lite eller en gång för mycket.

Sänt ord: 10111 110

11 — Länklagret

174


X7+X5+X4+X3

X7+X5

X4

X4 +X2

X3+X2

X3 +X1

X2+X1 = 110

X3+X1

X4+X1+1

Sänt ord: X7+X5+X4+X3+X2+X1 = 10111 110

Block: 10111 = X4+X2+X1+1

Generatorpolynom: 1010 = X3+X1

10111+110101000011 0000 0011 1 000 0 011 11 10 10 01 010 1 010 0 000

101010011

Endast nollor innebär rätt mottaget

Bild 5:Mottagaren utför samma modulo-2-division men med CRC i stället förnollor. Då går divisionen jämnt ut omalla databitar är rätt mottagna.

I mottagarenMottagaren utför samma modulo-2-divisionmen med CRC i stället för nollor. Om divi-sionen går jämnt ut, d.v.s. om vi bara fårnollor som rest, så är sannolikheten stor attsamtliga databitar är rätt mottagna. Det finnsdock en mikroskopisk chans att flera data-bitar är fel på sådant sätt att divisionen fort-farande går jämnt ut.

Om divisionen inte går jämnt ut så finnsbitfel. Vi kan emellertid inte säga vilken ellervilka databitar som är fel. Vi kan heller intesäga hur många databitar som är fel. Baraatt det finns bitfel.

Att räkna med XGeneratorpolynomen brukar inte presente-ras som en sträng av ettor och nollor, utanmed hjälp av X upphöjt till de positioner, från0 till n-1, där det finns ettor. Det generator-polynom som vi använt, 1010, skrivs som

3X X+ eftersom det finns ettor i positiontre och ett, men nollor i position två och noll.Ibland ser man enbart X , ibland 1X . Däre-mot så skriver man inte 0X utan 1.

Även blocket kan skrivas med X:4 2 1 1X X X+ + +

Om vi lägger till tre nollor så skiftas ettornaspositioner och vi får:

7 5 4 3X X X X+ + +Detta kan vi använda i vår division.

Vissa tycker att det är enklare att räknaså här. De flesta rekommenderar dock denförra metoden.

11 — Länklagret

175

© Per Wallander

16 12 5 1X X X+ + +

32 26 23 22 16 12 11

10 8 7 5 4 2 1

X X X X X X X

X X X X X X X

+ + + + + + ++ + + + + + + +

V.42 med 16 bit CRC:

V.42 med 32 bit CRC:

Generatorpolynom i verklighetenCRC används vid lagring på diskett ochhårddisk. En sektor på 512 oktetter skyd-das av 16 bit CRC. Visst har du sett ”CRCerror” när diskettenheten inte klarat att läsarätt från disketten?

Vid kommunikation med V.34-modem såutnyttjas ett omfrågningsprotokoll V.42 sombegär omsändning vid bitfel. V.42 kan väljamellan två typer av CRC, 16 bit eller 32 bit.

Talkodaren i GSM skyddar ett antal extremtviktiga bitar med CRC. Om dessa databitarär fel mottagna så kastar GSM-telefonen 20millisekunder tal och upprepar det tidigare20 ms-blocket.

I GSM:s ursprungliga talkodare (FR,Full Rate) skyddas 50 bit med en CRC på 3bit. Generatorpolynomet består alltså av fyrabit: 1011.

Den moderna GSM-talkodaren EFR(Enhanced Full Rate) skyddar 65 bit meden CRC på 8 bit.

Blocken kan vara hur långa som helstTekniken vid CRC-beräkning, att divideraoch spara resten, innebär att blocket kanvara hur långt som helst.

Eftersom man begär omsändning avhela blocket om CRC inte stämmer, så fårblocket inte vara större än att majoriteten avblocken kan överföras bitfelsfritt.

Vid TCP-protokollet (Internetkommunika-tion) skyddas ett block på 1500 oktetter medCRC. Om det blir CRC error så begär TCP-protokollet omsändning från värddatorn.

När Internetförbindelsen bärs av ettATM-nät så delas blocken ner i ATM-cellermed 47 oktetters last i varje. Om en ATM-förbindelse överbelastas, d.v.s. om abonnen-terna försöker mata in ATM-celler tätare änvad ATM-förbindelsen kan svälja, så kastarATM vissa celler. Det kommer att saknasnågon grupp om 47 oktetter i ett TCP-blockpå 1500 oktetter. TCP begär omsändning.Om det då fortfarande saknas 47 oktetterså fortsätter TCP att begära omsändning.Förbindelsen står och stampar, trots att ma-joriteten av oktetterna är rätt mottagna. Dettaundviks om CRC beräknas över mindreblock.

GSM:s äldre talkodare (FR),3 bit CRC:

3 1X X+ +

GSM:s nyare talkodare (EFR),8 bit CRC:

8 4 3 2 1X X X X+ + + +

Vid mobiltelefoniVid radiokommunikation med rörliga termi-naler, mobiltelefoni, så är risken för bitfelmycket hög. Men tal och bild kan ofta tolkasrätt även om det är enstaka bitfel. GSM kas-tar 20 ms tal då och då när det blir för mångabitfel, men vi uppfattar ändå vad som sägs.

När man skall skicka datafiler över enGSM-förbindelse så är kravet att inte enenda databit får saknas och att alla data-bitar skall vara rätt mottagna. För att klaradetta så behövs CRC kontrollsumma somomfattar samtliga databitar, och en motta-gare som begär omsändning om det blirCRC-error.

I GSM kallas kontrollsumman för BCS(Block Check Sequence), och varje blockbestår av de databitar som skall överföraspå 20 ms. Vid 14,4 kbit/s blir det 288 bit.

På 20 ms skickar GSM ett radioblockpå 456 bit. Skillnaden mellan 288 bit och456 bit utnyttjas för CRC och bitfelsminimer-ande kodning. Om det blir för många omfråg-ningar så är det effektivare att övergå till 9,6kbit/s med 192 bit. Detta ger fler bitar till bit-felsminimerande kodning, bitfelen minskaroch man får färre omfrågningar.

11 — Länklagret

176


11.2 Felrättning, Hammingkodning

CRC klarar att identifiera om det finns bitfel.Om man dessutom kan identifiera vilka data-bitar som är fel så skulle man kunna rättadessa bitfel. En felaktig etta måste ju varaen nolla. Då slipper man begära omsänd-ning.

BlockkoderDet finns blockkoder som liknar CRC, somkan användas för att identifiera vilka bitarsom är fel. En sådan blockkod används påFM-radions RDS-kanal.

RDS-kanalen (Radio Data System) ären datakanal med symbolhastigheten1187,5 symb/s (multipel av 19 kHz stereo-piloten). Databitarna är indelade i block därett block om 16 bit skyddas av 10 bit. Dennakodning är så effektiv att av dessa 26 data-bitar kan 5 vara felaktiga, och de kan ligga i”skur”, d.v.s. efter varandra. Om fler än 5databitar är felaktiga så fungerar skydds-blocket som vanlig CRC. Vi får reda på attdet finns bitfel som inte kan rättas.

Ett kort avbrott vid radiokommunikationger oftast skurfel, eftersom man missar fleradatabitar i följd. Felrättande kodning är nöd-vändig. FM-mottagaren har ingen kontaktmed FM-sändaren och kan inte begäraomsändning.

HammingkodningVi skall inte fördjupa oss i blockkoderna utantitta på ett exempel, Hammingkodning. Ettdataord om 7 bit kompletteras med 4 bit påsådant sätt att vi klarar att rätta ett bitfel(enkelfel). Antag att det dataord som skallskyddas är 001 0110.

Databitarna placeras i 11 positioner, därposition 8, 4, 2 och 1 är reserverade förkontrollbitarna.

Kontrollbitarna beräknas genom modulo-2-addition av positionsnumren i binär form förde positioner som har ”ettor”. Modulo-2-additionen innebär att vi kompletterar understrecket så att vi får jämnt antal ettor i varjekolumn (vertikalt).

Pos: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1D7+D6+D5+X4+D4+D3+D2+X3+D1+X2+X1

Data: 0 0 1 0 1 1 0

11 = 1 0 1 110 = 1 0 1 0 9 = 1 0 0 1 8 = 1 0 0 0 7 = 0 1 1 1 6 = 0 1 1 0 5 = 0 1 0 1 4 = 0 1 0 0 3 = 0 0 1 1 2 = 0 0 1 0 1 = 0 0 0 1

Pos: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

D7+D6+D5+X4+D4+D3+D2+X3+D1+X2+X1

Data: 0 0 1 0 1 1 0Kontroll: 1 0 1 0

Sänd sekvens: 001 1011 0010

Bild 1:De sju databitarna placeras i rättposition.

Bild 2:Kontrollbitarna beräknas sommodulo-2-addition av de positionersom har ”ettor”.

Bild 3:Den kompletta sekvensen om elvadatabitar.

9 = 1 0 0 1 6 = 0 1 1 0 5 = 0 1 0 1 = 1 0 1 0

X4 X3 X2 X1

Kontrollbitarna stoppas in på sina positio-ner.

11 — Länklagret

177

© Per Wallander

Pos: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0

Mottagen sekvens: 001 1011 0010

9 = 1 0 0 1 8 = 1 0 0 0 6 = 0 1 1 0 5 = 0 1 0 1 2 = 0 0 1 0 = 0 0 0 0 Rätt mottaget

Pos: 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1

0 0 1 1 0 1 1 0 0 1 0

Mottagen sekvens: 001 1011 0010

9 = 1 0 0 1 8 = 1 0 0 0 6 = 0 1 1 0 2 = 0 0 1 0 = 0 1 0 1 Fel i position 5

0

Bild 4:Mottagaren kontrollerar denmottagna sekvensen när allt är rättmottaget.

Bild 5:Mottagaren kontrollerar denmottagna sekvensen när det finnsett bitfel.

I bild 4 kontrollräknar mottagaren och upp-täcker att det inte finns något bitfel(Hammingkodningen skyddar bara mot ettenda bitfel).

I bild 5 syns motsvarande kontroll när detuppstått ett bitfel. Mottagaren klarar att iden-tifiera vilken position som är felaktig.

Kodning i verklighetenBlockkodning kan liknas vid ekvationssys-tem med många obekanta. Antag att vi skallöverföra 40 databitar och adderar 10 data-bitar som bitfelsskydd. De första 40 data-bitarna kan vara originalbitarna, medan deresterande 10 kan ingå i ekvationssystemdär man på olika sätt beräknar ett resultatutgående från alla 40 bitarna. Vi får någotsom skulle kunna liknas vid 40 obekanta,men fler än 40 ekvationssystem. Ur dettakan man lösa varje obekant på flera olikasätt och på detta vis sortera ut felaktiga lös-ningar.

Blockkoderna bygger på avanceradmatematisk teori. Nackdelen är att avkod-ningen blir komplex vid stora block. Det blirstora ekvationssystem. Man kan därför inteutnyttja ”mjuk” avkodning.

Ytterligare en nackdel är att visserligenär blockkoderna starka på att rätta bitfel upptill en viss gräns, men om bitfelen överstigergränsen så blir resultatet totalt fel. Avkod-ningen spårar ur totalt.

FaltningskoderBakom faltningskoderna finns ingen mate-matisk teori som kan utnyttjas för att finnaden optimala kodningen, utan man prövarsig fram i datorsimuleringar.

Faltningskoderna liknar det som hän-der vid radiokommunikation. Man får reflexeri omgivningarna så att samma informationkommer fram flera gånger, med olika tidsför-dröjning. Som skuggbilder på tv.

För oss är skuggbilden störande, menom man låter ett bildbehandlingsprogramanalysera bilden och leta efter mönster, upp-repningar, så får man faktiskt en säkraremottagning med reflexer. Samma informa-tion har kommit flera gånger.

Faltningsavkodningen kan enkelt kom-bineras med ”mjuk” avkodning. Säg att en

etta skall representeras av +1 V, medan ennolla är –1 V. Om detektorn indikerar +0,1 Vså tolkas detta som en etta om man har”hård” avkodning, medan vid mjuk avkodningså är detta en mycket osäker etta. Den lig-ger nära gränsen till nolla. På detta sätt kanman sortera ut de databitar som man kanlita på, och vilka som är osäkra. Detta för-bättrar avkodningen enormt och är en viktigdel i GSM-mottagarens funktion.

11 — Länklagret

178


11.3 V.24, hårdvaruhandskakning

Hittills har vi talat om kontrollsummor ochfelrättning eller bitfelsminimering. Nu skallvi titta på två olika länklager. Vi börjar medV.24-protokollet som används mellan en pcoch ett modem.

Serieporten på pc, RS-232Vid kommunikation mellan en pc (eller ter-minal) och ett modem så följer fysiska skik-tet V.28-protokollet medan länkskiktet följerV.24-protokollet. I USA sammanfattas dettaunder RS-232. Vi skall inte fördjupa oss iV.28-protokollets spänningsnivåer, bit-synkronisering m.m. utan går till V.24-proto-kollet för att få exempel på uppgifter somhanteras av länkskiktet.

DTE (Data Terminal Equipment)Pc:n eller terminalen kallas DTE.

DCE (Data Communication Equipment)Modemet som hanterar kommunikationenmot yttervärlden kallas DCE.

25-polig eller 9-polig kontaktPc:ns serieport har en 9-polig kontakt ocheventuellt även den äldre 25-poliga kontak-ten. Siffror inom parantes anger stift i den25-poliga kontakten.

Sex ledningar är intressantaKabeln mellan modemet och pc:n innehål-ler minst sex ledare plus jordledning. Le-darna har följande beteckningar och utnytt-jas till att transportera följande information:

(2) Transport av data från DTE till DCEsom skall vidare ut på teleledningen.

(3) Transport av data som kommer frånteleledningen till DCE och skall vidare tillDTE.

(20)DTR (Data Terminal Ready). Pc:n el-ler terminalen visar att den är beredd attta emot data när DTR är hög.

(4) RTS (Request To Send). Pc:n eller ter-minalen begär av modemet att få sändanär RTS är hög.

(5) CTS (Clear To Send). Modemet kon-trollerar om ”linjen är klar” (teleledningenoch mottagaren där bortom) och ger pc:neller terminalen klartecken att sändagenom att lägga CTS hög.

(8) CD (Carrier Detect). Modemet upp-täcker signal på teleledningen och beord-rar pc:n eller terminalen att lyssna på linje(3) genom att lägga CD hög.

(7) Jord

Om två DTE skall kommuniceraOm man kopplar ihop två persondatorer viaserieportarna så måste ledarna korsas. (2)skall till (3), (3) skall till (2) o.s.v. Modem-kabeln har däremot inga korsade ledare. Väljrätt kabel!

Data (2)(3) Data

RTS (4)(5) CTS(8) CD

DTR (20)Jord (7) Jord

DTE DCEpc eller terminal modem

tele-ledning

Data (2)(3) Data

RTS (4)(5) CTS(8) CD

DTR (20)Jord (7) Jord

DTE DCEpc eller terminal modem

tele-ledning

Bild 1Ledare från datorn till modemet.

Bild 2Ledare från modemet till datorn.

11 — Länklagret

179

© Per Wallander

Kommunikationsprogrammet startasNär terminalen slås på eller man startarkommunikationsprogrammet på pc:n, så ta-lar terminalen om för modemet att den kanta emot data på (3) genom att lägga DTRhög.

Modemet bestämmerModemet är den som bestämmer. Varför?Jo, om det kommer data på teleledningenså finns ingen möjlighet att lagra data imodemet tills terminalen är beredd att taemot. Modemet saknar buffertminne.

När det kommer data på teleledningen(modulerad bärvåg, ”carrier detect”), så be-ordrar modemet terminalen/pc:n att lyssnapå (3) genom att lägga CD hög.

CD aktiverar avbrottsfunktionen (IRQ) ipc:n, så att processorn avbryter det denhåller på med och lyssnar efter data somkommer in via pinne (3).

När terminalen/pc:n vill sända så liggerdessa data i minnet. Terminalen kan väntatills den får klartecken.

Terminalen/pc:n har ingen möjlighet attkontrollera att teleledningen är klar och attdet finns en mottagare i andra ändan somär beredd att ta emot. Detta kan baramodemet göra. Därför frågar terminalen/pc:nhur det ser ut på linjen genom att lägga RTShög.

Modemet kontrollerar först att den mot-tagande enheten i andra ändan av tele-ledningen är beredd, och ger därefter klar-tecken genom att lägga CTS hög.

När terminalen/pc:n sänt sina data ochär färdig så meddelar den modemet att denär klar genom att lägga RTS låg, d.v.s. dendrar tillbaka sin begäran att få sända. Mode-met bekräftar genom att dra in tillståndet(lägger CTS låg).

HårdvaruhandskakningModemet för befälet. Kommunikationen styrsmed fyra ledningar, med hårdvara (DTR,RTS, CTS, CD), så att inte data går förloraddärför att enheterna talar i munnen på var-andra eller inte är beredda. Detta är hård-varuhandskakning, och det är länklagretsom skapar ordning och reda i kommu-nikationen.

11 — Länklagret

180


11.4 SDLC/HDLC, mjukvaruhandskakning

Data

CTSCD

Jord

DCE DCEmodem modem

tele-ledning

Data

CTSCD

Jord

MjukvaruhandskakningVad finns i andra ändan av teleledningen?Jo, ett modem. Hur hanteras kommuni-kationen? Det finns ju bara två trådar?

Kommandona som styr kommunika-tionen skickas som dataord inskjutna i data-flödet. Kommandona går som dataord, mjuk-vara. Detta kallas mjukvaruhandskakning.

SDLC (Synchronous Data Link Control)I mitten av 1970-talet behövde IBM ett pro-tokoll för att ansluta terminaler till sina stor-datorer. Det blev SDLC (Synchronous DataLink Control), det första länklagerprotokolletför synkron bitorienterad kommunikation.

Vid SDLC är en dator ”primary” medande övriga är ”secondary”. All kommunikationhanteras av primary som ställer frågor. Ingenkommunikation kan initieras av secondary.

HDLC (High-level Data Link Control)Men SDLC var ett IBM-specifikt protokoll.IBM lämnade SDLC till flera standardi-seringsorgan för att försöka skapa en stan-dard runt SDLC. Internationella standardise-ringsorganisationen ISO utvidgade SDLCoch skapade HDLC.

SDLC är i stort sett HDLC NRM (Nor-mal Response Mode). Vidare införde manen mode där kommunikation kan initierasav secondary (HDLC ARM), samt en modedär primary kan växla mellan datorerna medfull duplex (data skickas i båda riktningarsamtidigt), HDLC ABM.

LAP, LAPBInternationella Teleunionen ITU-T (tidigareCCITT) utgick från HDLC och skapade LAP(Link Access Procedure) från SDLC ochLAPB (Link Access Procedure, Balanced)från HDLC ABM.

Delar av dessa protokoll finns i LAPDsom är signaleringskanalen i ett ISDN-abon-nemang, samt i SS7 som är telenätetssignaleringsnät. När man skickar SMS till enGSM-telefon så överförs SMS-meddelandeti en SS7-ram ända ut till GSM-telefonen

(flaggor och bitstuffing avlägsnas i mobil-växeln).

Hur hanteras kommunikationen mellandagens telefonmodem? Fysiska lagret föl-jer V.34 eller V.90. Länklagret följer V.42 somär utvecklat ur LAPB.

IEEE 802.2Organisationen IEEE modifierade HDLCoch skapade IEEE 802.2 som även kallasLLC (Logical Link Control). Detta protokollingår i Ethernet, den vanligaste standardenför lokala nät, LAN.

Vi ser att de tankar om hur kommunikationmellan datorer skall hanteras, som utforma-des av IBM på 1970-talet, dessa tankar le-ver fortfarande. För att förstå vad som hän-der på länklagret så tittar vi närmare påSDLC.

11 — Länklagret

181

© Per Wallander

En ”primary”SDLC bygger på att en nod utses till primary.Det naturliga för IBM på 1970-talet var atten stordator var primary.

En eller flera ”secondary”Till stordatorn ansluts en eller flera termina-ler. En sådan terminal kan befinna sig långtbort och vara ansluten via en uppringd ellerfast förbindelse. Dessa persondatorer ellerterminaler kallas secondary.

Vi skall studera kommunikationen mel-lan primary och en secondary.

Synkron kommunikationGår vi in och tittar på en synkron förbindelseså ser vi ettor och nollor rusa förbi (bild 1).Varken början eller slut.

Det behövs en ”flagga”Alla databitar som skall skickas placeras i”ramar” (frame). När börjar en ram? När slu-tar ramen?

Vi måste kunna identifiera början ochslutet av en ram. Det gör vi genom att ut-nyttja en viss kombination av ettor och nol-lor som ”flagga”. Man har valt 0111 1110(bild 2).

Bit-stuffingMen kombinationen 0111 1110 förekommerbland de databitar som skall skickas. Intebara som 8-bitsordet 0111 1110 utan även ikombinationer av två 8-bitsord, t.ex. 01010011 + 1111 0010. Varje grupp av sex ettoromgivna av nollor uppfattas som flagga.

Varför håller man sig inte till hela 8-bits-ord? Därför att vid kommunikationen kan detbli ”bitslip”. Om sändarens och mottagarensklockor inte går exakt i takt kan mottagarenmissa en bit, eller råka läsa dubbelt på enbit. Då förskjuts allt en databit. Men ävenvid bitslip skall mottagaren kunna identifieranär ramarna börjar och slutar.

För att undvika att kombinationen sexettor omgivna av nollor förekommer i med-delandet så stoppar sändaren in en extranolla efter fem ettor. Detta kallas bitstuffing.

Första steget för mottagaren är att iden-tifiera flaggorna. Nästa steg är att avlägsnade extra bitstuffing-nollorna. Observera attsändaren stoppat in en extra nolla även om

... 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 ...

... 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 ...

Bild 1:Mottagaren ser bara en massa ettoroch nollor.

Bild 2:Mottagaren lerat efter flaggorna somutgör gräns för ramarna.

Bild 3:Mottagaren avlägsnar bitstuffing-nollorna.

... 0 0 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 0 1 1 0 0 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 1 0 1 1 1 1 1 0 1 0 0 0 0 0 ...

det kommer en nolla efter fem ettor. Motta-garen kan ju inte veta om nollan efter femettor är en datanolla eller en bitstuffingnolla.Mottagaren stryker alltid en nolla efter femettor.

11 — Länklagret

182


När mottagaren avlägsnat flaggorna ochdärefter strukit den nolla som stoppats inefter fem ettor, så återstår ramen som be-står av tre eller fyra fält.

AdressDet finns bara ett adressfält, men adress-fältet används på olika sätt beroende på vemsom sänder.• När primary sänder så innehåller adress-

fältet adressen till den secondary somskall ha ramen. Det finns bara en primary.Därför behövs ingen avsändare.

Om primary inte vet adressen till secon-dary så kan primary utnyttja ”broadcast-adressen” FF (1111 1111) i en XID-ram.Då svarar secondary med sin egenadress i en XID-ram.

• När secondary sänder så måste paketettill primary. Och det finns bara en primary.Därför behövs inget adressfält som talarom vart ramen skall. Däremot behövsavsändaren. När secondary sänder såinnehåller adressfältet avsändarensadress.

FCS (Frame Check Sequence)Sista fältet är enkelt. Det består av 16 bitCRC som utnyttjas för att upptäcka om detfinns bitfel. FCS beräknas på adress-, kon-troll- och eventuellt datafält.

U-ramDet finns tre olika typer av ramar. U-ramenär en ren kommandoram som används för

Adress Kontroll Information (data) FCS

8/16 bit 8/16 bit valfritt antal bit 16 bit

0 NS P/F NR I-ram (Information frame)

1 0 S-kod P/F NR S-ram (Supervisory frame)

1 1 U-kod 1 P/F U-kod 2 U-ram (Unnumbered frame)

2 bit 1 bit 3 bit

3 bit 1 bit 3 bit

Flagga avlägsna bitstuffing Flagga

8 bit 8 bit

LSB MSB

att koppla upp respektive koppla ner förbin-delsen. Kontrolloktetten innehåller bara in-formation om typ av U-ram, samt P/F-bitensom används för att lämna över ordet till denandre.

U-ramen består bara av adress-, kon-troll- och FCS-fält.

I-ramDen information som skall utväxlas mellandatorerna skickas i I-ramar. Förutom adress-fält, kontrollfält och FCS-fält så innehåller I-ramen ett informationsfält som kan bestå avvalfritt antal databitar. Det finns inget kravpå att informationen skall bestå av 8-bits-ord, utan det går med vilket antal databitarsom helst.

Kontrollfältet innehåller två räknare, denena (NS) används av sändaren för att num-rera de I-ramar som sänds.

S-ramS-ramen är en kommandoram som användsmitt i en kommunikation. Den består avadress-, kontroll- och FCS-fält. I kontroll-oktetten finns en räknare (NR) som användsför att meddela vilken I-ram man vill att sän-daren skall sända nästa gång. Om man taremot I-ram 5 och skriver NR = 6 så betyderdetta att man har accepterat I-ram 5. Omman skriver NR = 5 så har man inte fått I-ram 5, vilket innebär att sändaren måsterepetera.

I-ramen innehåller båda räknarna, d.v.s.man numrerar sina egna och bekräftar vadman tagit emot i samma kontrollfält.

11 — Länklagret

183

© Per Wallander

1 0 S-kod P/F NR

S-ram (Supervisory frame)

0 0 RR (Receive ready)1 0 RNR (Receive not ready)0 1 REJ (Reject, repetera från ram "NR")1 1 SREJ (Selective reject, repetera ram "NR")

1 1 U-kod 1 P/F U-kod 2 HEX

U-ram (Unnumbered frame)

1 1 1 0 1 BF XID (Exchange information)0 0 1 0 0 93 SNRM (Set normal response mode) - primary1 1 0 1 1 73 UA (Unnumbered acknowledge) - secondary1 1 0 1 0 53 DISC/RD (Disconnect/Request disconnect)

XIDVi skall titta på några U-ramar och börjarmed XID (Exchange information). Den in-formation som utväxlas är adressen.

Om primary inte vet adressen tillsecondary, då skickar primaryn broadcast-adressen FF (1111 1111) i en XID-ram.Secondary svarar med sin egen adress (idetta fall b2) i en XID-ram.

SNRMSNRM (Set normal response mode) skickasav primary för att visa att primary startarförbindelsen. Samtidigt nollställer primarysina räknare (NS) = (NR) = 0.

UAUA (Unnumbered acknowledge) är svaretfrån secondary på en SNRM-ram. Ävensecondary nollställer sina räknare (NS) =(NR) = 0.

P/FP/F (Poll/Final) är en bit som används ”föratt lämna över ordet”. Om P/F = 1 så är dettasista ramen i detta sändningspass. ”Jag gåröver och lyssnar efter ramar från dig.”

P/F = 0 innebär alltså att ”jag är intefärdig. Det följer ytterligare en ram”.

RRRR (Receive Ready) betyder ”jag lyssnar”,d.v.s. samma sak som att lämna över ordet.Antag att du hämtat en Web-sida. Du sitter

och läser. Ingen information finns att skickapå förbindelsen. Men då kan inte den enadatorn hålla på ordet. Tänk om den andradatorn får något att säga. Alltså måstedatorerna lämna över ordet till varandra,ända tills någon yttrar sig. RR fram och till-baka är att hålla liv i förbindelsen.

Adr Typ NS P/F NR

P b2 I 0 0 0 datab2 I 1 1 0 data

S b2 RR 1 2P b2 RR 1 0S b2 RR 1 2P b2 RR 1 0S b2 RR 1 2P b2 RR 1 0S b2 RR 1 2P b2 RR 1 0

FF XID 1b2 XID 1

Adr Typ NS P/F NR

PrimarySecondary

Adr Typ NS P/F NR

P b2 SNRM 1S b2 UA 1

11 — Länklagret

184


NS-räknaren (Now Sending)Informationsramarna numreras. I-ramarnafrån primary numreras från 0 till 7 (3 bit),varefter räknaren börjar om från 0.

Även I-ramarna från secondary num-reras, från 0 till 7. Dessa båda NS-räknarelöper helt oberoende av varandra. Var ochen numrerar sina I-ramar.

NS visar alltså numret på I-ramen, denI-ram som sänds nu.

NR-räknaren (Next to receive)Den andra räknaren visar vilken I-ram somman förväntar sig från den andre ”nästagång”.

Bild 1 visar hur secondary förväntar sigI-ram 0, får I-ram 0 och 1, för att nästa gångförvänta sig I-ram 2.

När sätter secondary NR till 2? Jo, förstnär I-ram 0 och 1 är rätt mottagna, med kor-rekt FCS. Att fråga efter ram 2 innebär attgodkänna alla ramar som föregår ram nr 2.

Max sju I-ramar i följdBild 2 visar hur secondary förväntar sig I-ram 2 , hur primary sänder I-ramarna 2, 3,4, 5, 6, 7 och 0, men inte fler? Varför?

Om primary även sänt nästa I-ram, enåttonde I-ram, så skulle den haft nummer 1.Vad svarar secondary? Med NR = 2. Mendetta är vad secondary frågade efter innande åtta ramarna sändes. Detta är sammasak som att inte ha fått några ramar alls.

Efter sju I-ramar så måste man lämnaöver för att NR-räknaren skall vara en säkerbekräftelse på att allt är rätt mottaget.

Det finns en variant av SDLC-protokol-let som har 16 bit i kontrollfältet. Då får manplats med 7-bitsräknare och NS och NR lö-per från 0 till 127.

Räknarna löper oberoende av varandraBild 3 visar hur secondary sänder sin förstaI-ram, med NS = 0, samt hur primary be-kräftar med att nästa gång fråga efter I-ramnummer 1.

Adr Typ NS P/F NR

S b2 RR 1 0P b2 I 0 0 0 data

b2 I 1 1 0 dataS b2 RR 1 2

Adr Typ NS P/F NR

S b2 RR 1 2P b2 I 2 0 0 data

b2 I 3 0 0 datab2 I 4 0 0 datab2 I 5 0 0 datab2 I 6 0 0 datab2 I 7 0 0 datab2 I 0 1 0 data

S b2 I 0 1 1 dataP b2 RR 1 1

Adr Typ NS P/F NR

S b2 RR 1 2P b2 I 2 0 0 data

b2 I 3 0 0 datab2 I 4 0 0 datab2 I 5 0 0 datab2 I 6 0 0 datab2 I 7 0 0 datab2 I 0 1 0 data

S b2 I 0 1 1 dataP b2 RR 1 1

Ordning och redaLänklagret skapar ordning, ser till att dato-rerna inte pratar i mun på varandra.

Länklagret säkerställer säker kommu-nikation genom att inte fråga efter nya I-ra-mar förrän den pågående gruppen av I-ra-mar blivit rätt mottagna.

Bild 1

Bild 2

Bild 3

11 — Länklagret

185

© Per Wallander

11.5 Kretskopplat nät

Nätverkslagret och transportlagretVi skall lämna länklagret och titta på kom-pletta nät.

Länklagret hanterar kommunikationenmellan två datorer, noder. Om man skallkoppla upp en förbindelse i ett nät så måsteman passera flera noder. Nätverkslagrethåller reda på adressering och vägval i nä-tet och transportlagret garanterar säker kom-munikation över flera noder. Men fortfarandefinns ett länklager mellan de enskilda noder-na.

TelenätetNär de första telefonerna installerades på1880-talet så telefonerade man faktiskt överen enda koppartråd. Man utnyttjade jorden(jord) som den andra ledaren. Men detta gavstörningar och kort räckvidd, max 50 km.

Ganska snart övergick man till tvåtråds-förbindelser. Ett telefonsamtal behövde etteget trådpar, en egen elektrisk krets (circuit)mellan telefonerna. Telefonväxeln, först ma-nuell men ganska snart automatisk (elektro-mekaniska växlar kom på 1920-talet), dennatelefonväxel kopplade ihop trådparen mel-lan de abonnenter som ville ha en krets upp-kopplad. Detta blev ett ”kretskopplat” nät(circuit switched network).

FDM (Frequency Division Multiplex)Varje telefonsamtal behövde ett eget koppar-par. Men på 1950-talet kom ”radioteknik påkabel”. Med SSB-modulering flyttades bas-bandet till någon högre frekvens. På så viskunde flera samtidiga telefonsamtal utväxlasvia samma koaxialkabel, se kapitel 5. Varjesamtal fick sin egen del av frekvensområdet.Men varje samtal hade fortfarande en egen”krets”, även om många ”kretsar” delade påsamma fysiska ledning på viss del avsträckan.

TDM (Time Division Multiplex)På 1970-talet klarade man att PCM-kodatelefonsamtalet. På 125 µs fick man ett sam-pel, 8 bit. En kabel som överför 2048 kbit/s(2 Mbit/s) matar iväg 256 bit på 125 µs. Dettaräcker till 32 st 8 bitsord, 32 samtidiga tele-

fonsamtal. Varje samtal får sin del av tiden ien 125 µs-ram. Varje samtal får sin egen tid-lucka.

Detta är ett tidluckebaserat system,TDM-system. I verkligheten utnyttjas inte alla32 tidluckorna till telefonsamtal. En tidluckaanvänds till synkronisering m.m. Denna tid-lucka innehåller ett speciellt 8 bitsord somalltid återkommer (egentligen varannangång) som en flagga så att mottagarändanskall veta när 125 ms-ramen börjar. Motta-garen får ju bara en enda lång ström av ettoroch nollor. Ur detta skall mottagaren plockafram 8-bitsord, sampel, och rätt ord för rättsamtal. Mottagaren behöver alltså ”bitsynk”för att avläsa databitarna och ”ramsynk” föratt gruppera bitarna i 8-bitsord och för attveta vilket 8-bitsord som hör till vilket sam-tal.

SDH (Synkron Digital Hierarki)På en 155 Mbit/s-förbindelse (STM-1) fårman plats med 63 st 2 Mbit/s-ramar under125 µs. Viss del av kapaciteten används försynkronisering, övervakning och styrning.

På en 622 Mbit/s-förbindelse (STM-4)får man in 4 st 155 Mbit/s-förbindelser.

På en 2,5 Gbit/s-förbindelse får man in4 st 622 Mbit/s-förbindelser. Det är dennabithastighet som används på optokablar.

Även på optokabeln finns en indelningi 125 ms-ramar. I varje sådan ram finns 8-bitsord från 30 63 4 4 30 240⋅ ⋅ ⋅ = telefon-samtal om hela kapaciteten utnyttjas för te-lefoni. I verkligheten blandar man. Några 2Mbit/s-grupper utnyttjas för telefoni, andraför Frame Relay. Några 155 Mbit/s-förbin-delser utnyttjas för ATM som i sin tur ”bär”IP-trafik, eller också kör man IP-ramar di-rekt på STM-1.

11 — Länklagret

186


11.6 Paketförmedlande nät

Visst skickas data som paket i de krets-kopplade näten, paket som är 8 bit stora.Men paketen innehåller ingen adress. Detär tiden, när i tiden som tidluckan ligger, somidentifierar paketet. Och om abonnenten intehar något att sända så är paketet tomt. Ingenannan kan utnyttja tidluckan. Abonnentenhyr tidluckan och får betala oavsett om hanhar något att sända.

Paket med adressI de paketförmedlande näten skickas datanär som helst i tiden. Varje paket innehålleren identifierare så att mottagarändan begri-per vem som skall ha paketet.

Utnyttjar tomrum i kommunikationenSDLC-förbindelsen skickar RR fram och till-baka när änddatorerna inte har något attsäga varandra. Men då finns möjlighet attskicka I-ramar med informationsfält somskall till någon annan abonnent.

Paketförmedlande nät är ett effektivtsätt att utnyttja förbindelsens kapacitet tillverklig information. Nackdelen är att omabonnenterna i ett visst ögonblick vill sändafler paket än vad förbindelsen klarar atttransportera, så kan det bli väntetid (upp-levs som långsam förbindelse) eller man kanförlora paket, något som måste hanterasmed begäran om omsändning från tran-sportlagret (paket som inte får plats hante-ras inte av länklagret).

Förbindelseorienterat paketnätVissa paketnät, t.ex. X.25-nät och Framerelay-nät, ställer upp en förbindelse mellanabonnenterna. Först skickas ett paket medfullständig adress till B-abonnenten. De väx-lar (routrar) som passeras noterar att i fort-sättningen skall paket med en viss förenk-lad adress skickas i viss riktning. Därefterstartar trafiken.

Karakteristiskt för de förbindelseorien-terade näten är att alla paket i en uppkopp-ling, t.ex. filöverföring, skickas samma väggenom nätet.

• X.25 är ett protokoll som utnyttjar länk-lagrets felkontroll i varje router. Om bitfelupptäcks så begärs omsändning frånföregående router. Varje router måstealltså spara ”I-ramarna” och vänta på be-kräftelse på rätt mottaget. Detta görkommunikationen långsam (max 64 kbit/s) men garanterat säker även på brusigakopparpar med modem.

• På optofiber med låg bitfelshalt behövsinte individuell felkontroll på varje del-sträcka. Frame Relay är X.25 utan fel-kontroll på länklagernivå. Här överlåterman felkontroll och omfrågning till tran-sportlagret.

En variant av X.25 används i signalerings-nätet, det datanät som styr uppkopplingenav televäxlarna i det kretskopplade telenätetoch mobiltelenäten. SMS transporteras påsignaleringsnätet.

Tidigare kopplades kabeln, t.ex. opto-fiberns ändutrustning, direkt till AXE-växeln.När man fick behov av dataförbindelser pådessa kablar så behövdes ett protokoll somAXE-växeln kunde hantera. Det blev FrameRelay som ju har stora likheter med signale-ringsnätet, televäxlarnas eget datanät.Många sträckor i IP-nätet (Internet) går medFrame Relay som bärare.

Förbindelselöst paketnätI förbindelseorienterade paketnät skickasförst ett ”uppkopplingspaket”, varefter mananvänder en kort ”etikett” som adress. För-delen är att adressfältet bara består av ettfåtal oktetter (8-bitsord). I ett förbindelselöstpaketnät finns den fullständiga adressen ivarje paket. Nackdelen är att en mindre delav själva paketet kan utnyttjas för nyttodata.

I det förbindelselösa nätet sker vägvalför varje enskilt paket.

11 — Länklagret

187

© Per Wallander

BroadcastadressFör att en nod (router) skall kunna ”tala” meden annan nod så måste den andra nodensadress vara känd. Därför har varje nod enroutingtabell, adresslista, som visar vilkenadress som skall väljas beroende på öns-kad slutdestination. I ett X.25-nät liksom vidFrame Relay så måste man skapa och matain dessa routingtabeller i varje nod. Påsamma sätt är det i ett kretskopplat nät.Uppgifter om vart olika rikssamtal skallskickas måste matas in.

IP-protokollet innehåller en broadcast-adress som IP-routrarna utnyttjar för att au-tomatiskt bygga upp sina routingtabeller.Varje router frågar alla som han kan kon-takta: ”Vad är din adress och vilka andraroutrar kan du nå?”

IP-protokolletIP-protokollet är utvecklat av amerikanskaförsvaret som behövde ett datanät som kla-rar att stå emot fientliga anfall. Om någonrouter bombas så skall de kvarvaranderoutrarna automatiskt bygga upp nyaroutingtabeller. Om hälften av IP-paketen ien filöverföring kommit fram och det blir av-brott så skall resten av paketen söka sigandra vägar.

Vid en jordbävning i Kalifornien gick detinte att ringa hem. Teleledningarna hadeslitits av. Men det gick att skicka e-mail. IP-paketen letade sig via Japan, Asien ochEuropa till Kalifornien utan att någon manu-ell omkoppling behövde göras.

11 — Länklagret

188


11.7 Cellförmedlande nät, ATM

IP-paketet innehåller ett huvud som bestårav 160 eller 192 bit (IPv4). Till detta kommerhuvudet på det paket som bärs av IP. Detkan vara TCP -huvudet som består av 256bit, eller UDP-huvudet som består av 64 bit.

Telefoni innebär att man har behov avatt skicka 8 bit var 125 µs. Att förse 8 bitmed ett huvud på 160 + 64 bit är oekono-miskt. 97 % av förbindelsekapaciteten åtgårtill att transportera huvuden, adressinfor-mation.

Om man samlar ihop flera 8-bitsord för attskicka i klump så uppstår fördröjning. Manmåste vänta tills paketet är fullt innan detkan sändas. Därför vill man att ett paket-orienterat nät för telefoni skall ha så småpaket som möjligt. Men då måste även hu-vudet vara litet.

Detta ledde fram till ATM, där alla pa-ket är 53 oktetter, varav 5 oktetter till huvu-det och 48 oktetter nyttolast. Vid telefoni rym-mer nyttolasten 47 sampel, vilket ger en för-dröjning på ca 6 ms, något som kan accep-teras.

Alla ATM-paket är lika stora. Därför kallasdessa paket för ”celler”.

Förbindelseorienterat nätATM-huvudet innehåller inte fullständigadress utan bara en etikett (label).

När man skall ställa upp en ATM-förbin-delse så skickas först ett antal uppkopp-lingsceller som meddelar respektive nod vartpaket med en viss etikett skall skickas. Attställa upp en väg genom nätet innan trafi-ken kan starta kallas ett förbindelseoriente-rat nät.

Andra förbindelseorienterade paketnätär X.25 och Frame Relay. IP-nätet däremotär förbindelselöst. Varje paket har fullstän-dig adress, och i varje nod görs vågval förvarje paket.

En ATM-router ger liten fördröjning. Att av-läsa etiketten går snabbt. En IP-router där-emot måste göra en mer avancerad adress-analys, något som tar tid. Detta har lett framtill teknik där routern lär sig känna igen IP-huvuden och klarar att routa efterföljandepaket till samma adress nästan lika snabbtsom vid ATM. Vi ser hur fördelar och nack-delar mellan olika tekniska lösningar grad-vis utjämnas.

12 — Ledningar

189

© Per Wallander

12 — LedningarVi börjar med några ord om radiostrålning,som behövs för att förklara signalens has-tighet på ledningen och vad som liggerbakom ledningens karakteristiska impedans,samt ge en fysikalisk bild av vad en ”ladd-ning” är för något.

Därefter kommer vi till framåtgående effektoch anpassning, så som ledningar bör an-vändas.

Tyvärr har vi ofta även reflekterad effekt påvår ledning. Vi inför begreppet reflektions-koefficient.

Därefter är det hög tid för ”masken”, enspänningspuls som kryper ut på ledningenoch reflekteras. Hur stor del reflekteras?Kryper masken tillbaka på ovansidan ellerpå undersidan?

Vi avslutar med några filosofiska frågor kringvad som egentligen händer på en öppenledning.

12 — Ledningar

190


12.1 Radiostrålning

James Clerk MaxwellDen skotske fysikern Maxwell föreslog 1864inför vetenskapsakademien i London attAmpères lag borde kompletteras med enterm som beror på förändringar i det elek-triska fältet, det elektriska fältets derivata.

Maxwell såg hur Faradays lag beskri-ver vad som händer om vi ändrar magnet-fältet (generatorprincipen) och tyckte att detäven borde finnas ett samband som beskri-ver motsvarande för det elektriska fältet.

RadiostrålningOm Maxwells antagande var riktigt så skulledetta leda till att en elektriskt laddad parti-kel som ändrar sin hastighet kommer att för-lora energi, energi som strålar ut i form avett elektriskt och magnetiskt fält, elektro-magnetiska vågor.

Av matematiska beräkningar utgåendefrån kompletteringen av Ampères lag fannMaxwell att denna elektromagnetiska energiborde utbreda sig med ljushastigheten, ochföreslog att ljus skulle kunna vara sådanelektromagnetisk energi. Maxwell föreslogdessutom att det borde kunna finnas andraformer av sådana elektromagnetiska vågor.

Heinrich HerzÅr 1887, åtta år efter Maxwells död, lycka-des Hertz utföra experiment som visade fö-rekomsten av radiovågor, samt att radio-vågorna bär sig åt på samma sätt som ljus.De kunde riktas med en parabolisk reflek-tor, reflekteras av en plåt på samma sätt somljus i en spegel, brytas i ett dielektrisktprisma på samma sätt som ljus bryts i ettglasprisma.

Förutom att utföra experimenten sålyckades Hertz beskriva experimenten ma-tematiskt utgående från de samband somvi kallar Maxwells ekvationer, trots att detenda som Maxwell gjorde, förutom att visahur ekvationerna kan användas, var att kom-plettera Ampères lag med en term.

Poyntings vektorNär en elektriskt laddad partikel ändrar sinhastighet, eller rörelseriktning, så uppstår

elektriskt fält E V/m och magnetiskt fält HA/m som ligger vinkelrätt mot varandra.

Kryssprodukten E H S× = W/m2 äreffekttäthet, effekt per ytenhet, elektromag-netisk strålning, som utbreder sig med ljus-hastigheten i mediet.

Kryssprodukten får vi genom att vridaE mot H närmaste vägen. Då ligger S enligtskruvregeln.

LjushastighetenLjushastigheten i mediet beror på permea-biliteten och kapacitiviteten i mediet.

0 0

97

80

1 1 1

1 1

10(4 10 )( )

36

3 10/

r r

r r

r r r r

c

cm s

µ ε µ ε µ ε

µ επ

π

µ ε µ ε

−−

= = ⋅ ≈⋅

≈ ⋅ =⋅

⋅= =

Förhållandet E/HDen elektromagnetiska vågen kan inte havilka värden som helst på E och H, utan detråder alltid ett bestämt förhållande, somäven kan uttryckas med permeabiliteten ochkapacitiviteten.

7

9

4 101036

120 377

rvågimpedans

r

r r

r r

Zµ π µε ε

πµ µπε ε

−

−

⋅= ≈ ⋅ =

= ⋅ ⋅ ≈ ⋅ Ω

E H S× =E

H

2/W m

12 — Ledningar

191

© Per Wallander

12.2 Vad händer när det ”flyter” ström?

Ett batteri har överskott på elektroner vidminuspolen. Där finns fler elektroner än po-sitiva joner. På motsvarande sätt råder un-derskott på elektroner vid pluspolen.

När batteriets poler ansluts tillledningens ledareLedarens ledare består av kopparjoner somsitter fast och fria rörliga elektroner. Elektro-nerna knuffar in sig så att de är jämnt förde-lade längs ledarna. Elektronerna vill kommaså långt från varandra som möjligt (lika ladd-ning stöter bort).

Vid batteriets pluspol saknas elektro-ner. Då tar den yttersta elektronen på leda-ren chansen att hoppa dit, så att han kom-mer längre från nästa elektron på ledaren.Vi får ett tomrum på ledaren, ett område somsaknar en elektron. Då tar nästa elektronchansen att hoppa dit. Så hoppar nästa, ochnästa o.s.v. På så vis förflyttas ett områdelängs ledaren, ett område som saknar enelektron. Och detta område som saknar enelektron har överskott på positiv laddning.Därför kallar vi detta “tomrum” för (en) posi-tiv laddning.

Hur fort rör sig laddningen?Varje elektron har massa och kan inte rörasig särskilt fort. Det behövs oändlig energiför att få upp elektroner i ljushastigheten.Men själva laddningen, tomrummet, fort-plantar sig med ljushastigheten (ljushastig-heten i mediet om ledaren är omgiven avt.ex. plast. Denna hastighet är något lägreän ljushastigheten i vakuum).

Tomrummets hastighet beror inte påelektronernas individuella hastighet, utan på“timingen” mellan elektronerna. Elektronerna“tjuvstartar”.

Negativ laddningPå samma sätt vid minuspolen. Där är såfullt med elektroner att en elektron tar chan-sen att hoppa över på ledaren trots att därredan finns en elektron. Men detta är bättreän att vara kvar i trängseln vid minuspolen.Då hoppar ledarens elektron ett steg till hö-ger. Och nästa elektron hoppar, och nästa,

och nästa, i försök att komma bort från denelektron som kommer från vänster.

På ledaren som anslutits till minuspolenser vi hur ett område med två elektroner, enelektronförtätning, rusar iväg åt höger. Varjeelektron tar ett steg åt höger, i tur och ord-ning, på sådant sätt att elektronförtätningentycks rusa iväg med ljushastigheten. Ochelektronförtätningen, där vi har överskott pånegativ laddning, kallar vi (en) negativ ladd-ning.

(En) elektrisk laddning är inget man kan tapå, utan resultatet av elektronernas rörel-ser. Detta resultat av elektronernas rörelserär intressant vid studium av antenner ochledningar. Därför kommer vi fortsättningsvisinte att tala om elektroner, utan om ladd-ningar som rör sig med ljushastigheten.

12 — Ledningar

192


12.3 Signalens hastighet på ledningen

E +H + E H S+ + +× =

När man lägger spänning över ledningensledare så kommer det alltså att flyta strömin i ledningen. På ledaren ansluten tillbatteriets pluspol så får vi positiv ström in iledaren, och strömmen går från vänster tillhöger.

På den andra ledaren, ledaren ansluten tillminuspolen, så får vi negativ ström och dettaritar vi med en pil med spetsen mot batte-riet. Men åt vilket håll går denna negativaström? Den går från vänster till höger påsamma sätt som den positiva strömmen.

Att se ström som något som går in i enaledaren och sedan kommer tillbaka i andraledaren är en fungerande modell bara närman inte behöver ta hänsyn till att det tar tidför signalen att utbreda sig.

Radiostrålning mellan ledarnaNär vi lägger spänning mellan ledarna såger spänningen upphov till ett elektriskt fälti utrymmet mellan ledarna.

Men spänningen ger även upphov tillström i ledarna, och strömmen ger magnet-fält riktat enligt skruvregeln runt ledarna(skruvregeln tillämpad på ”pilarna”).

Mellan ledarna kommer det elektriskafältet att vara riktat uppifrån och ner, medanmagnetfälten är riktade in i papperet. Dessabåda visare representerar effekttäthet somutbreder sig i utrymmet mellan ledarna, ochdenna effekttäthet, signalen, utbreder sigmed ljushastigheten i det medium som finnsmellan ledarna, t.ex. någon plastisolering.

Man kan alltså säga att det är radiostrål-ningen mellan ledarna som knuffar elektro-nerna så att det ser ut som om positiv ochnegativ laddning rusar med ljushastigheteni ledarna.

Vad är signalen? Laddningar ellerradiostrålning?Är det radiostrålningen mellan ledarna somär själva signalen, medan laddningarnas(elektronernas) rörelser är en följd av radio-strålningen? I vissa sammanhang är dettafaktiskt det lämpligaste synsättet.

Vi kommer i fortsättningen att anse att sig-nalen är laddningarna som rör sig i ledarna,med ljushastigheten. Radiostrålningen mel-lan ledarna ser vi som en följd av ladd-ningarnas rörelser. Orsaken till att vi väljerdetta synsätt är att det är enklare att räknapå spänning och ström som håller sig till le-dare, än att räkna på elektriska och magne-tiska fält som breder ut sig i hela rymden.

U+

I+

I+−

Spänningen ger upphov till ström (likastor men med olika tecken) i de bådaledarna.

Spänningen och strömmarna gerupphov till radiostrålning mellanledarna. Det är radiostrålningensutbredningshastighet som bestämmersignalens hastighet på ledningen.

80 3 10

/r r r r

cc m s

µ ε µ ε⋅= ≈

12 — Ledningar

193

© Per Wallander

12.4 Ledningens karakteristiska impedans Z0

E +H + E H S+ + +× =

U+

I+

I+−

U

När vi ansluter ledningen till batteriet så kom-mer batterispänningen att utbreda sig”framåt” på ledningen med ljushastigheten.För att visa att detta är spänning som gårfrån källan, generatorn eller batteriet, motlasten som vi alltid förlägger till höger i bil-den, så kallar vi spänningen U+ , spänningsom rör sig i positiv riktning.

Denna framåtgående spänning ger upphovtill framåtgående ström. Hur stor blir ström-men?– ”Det vet vi inte eftersom vi inte kan se

vad som sitter i ändan på kabeln”.Helt fel! Spänningen vet heller inte vad somfinns i ändan på kabeln. Spänningen harännu inte varit där och tittat efter.

Det är något helt annat som bestämmerströmmens storlek. Om jag säger att signa-len går som radiostrålning. Vågimpedanseni mediet mellan ledarna är förhållandet mel-lan elektriska och magnetiska fältstyrkorna.Detta leder till att• Spänningen bestämmer den elektriska

fältstyrkan.

• Elektriska fältstyrkan tillsammans medvågimpedansen i mediet mellan ledarnabestämmer storleken på den magnetiskafältstyrkan.

• Magnetiska fältstyrkan bestämmer stor-leken på strömmen.

Varje ledning har sin karakteristiskaimpedans Z0Detta i sin tur leder till att ledningens fysiskadimensioner tillsammans med kapaci-tivitetstalet bestämmer hur hög ström manfår, om man lägger på en viss spänning.

Varje ledning ser ut som ett motståndZ0. Den ström som flyter in i ledningen i detögonblick vi ansluter batteriet bestäms avdetta motstånd Z0, som kallas ledningenskarakteristiska impedans.

Z0 är rent resistiv ända ner till likströmom ledningen är förlustfri. Om ledningen harförluster kommer Z0 att förändras vid lågfrekvens (< 10 kHz). I denna kurs studerarvi endast förlustfria ledningar.

U+

I+

377 rvågimpedans

r

EZ

Hµ µε ε

+

+= = ≈ ⋅

vågimpedans

EH

Z

++ =

U E

E H

H I

+ +

+ +

+ +

⇒⇒⇒

0Z

0

UZ

I

+

+=

U+

I+

U

Strömmen blir sådan att kabeln ”serut som” ett motstånd med värdet Z

0

12 — Ledningar

194


ParallelledningenKarakteristiska impedansen Z0 för två pa-rallella ledare bestäms av avståndet mellanledarna och ledarnas tjocklek.

Långt avstånd mellan ledarna ger högkarakteristisk impedans. Detta ger låg strömför viss signaleffekt. Låg ström innebär lågaförluster, eftersom förlusterna är uppvärm-ningen av ledarna, ledarnas resistans mul-tiplicerat med strömmen i kvadrat. Det varså här gamla telefonledningar såg ut, två”blanktrådar” upphängda i porslinsisolatorerpå telefonstolpar. Det finns fortfarande tele-fonabonnenter i fjälltrakterna som har 10 miltill närmaste telefonstation. På dessa av-stånd är blanktrådsledningar ( 4 mm koppar-bronstråd) enda möjligheten om man villundvika förstärkare längs ledningen.

När ledarna läggs i en kabel hamnarledarna (0,5 mm koppar) närmare varandraoch Z0 minskar, dämpningen ökar. Längstamöjliga avstånd minskar till ca 5 km.

KoaxialledningenKoaxialledningen är den enda ledningstypsom kan göras helt radiostrålningsfri, ävenvid hög frekvens. Därför används i dag alltidkoaxialledning vid radiofrekvens, bortsettfrån vissa tillämpningar över 1 GHz där mananvänder vågledare.

Tunn mittledare ger högt Z0, som gerlägre ström. Men samtidigt ökar resistanseni mittledaren (den blir tunnare). Därför finnsett optimum.

Z0 för lägsta dämpning: 0

77

r

Zε

=

Solid polyetylenplast som dielektrikum har2,25rε = . För sådan kabel får man lägsta

dämpning om 0 51Z = Ω . Standard för radio-tillämpningar har blivit 50 Ω .

För skumplast (mest luft) kommer vi attfå 1rε ≈ . Då blir lägsta dämpning vid 77 Ω .Standard för kabel-tv har blivit 75 Ω .

Plattledningen och ”stripline”Tryckt ledningsdragning är ett specialfall avplattledningen. Vid stripline består de två le-darna av den tryckta ledaren och ett ”jord-plan” på baksidan eller mitt i laminatet. Vidradiotillämpningar anpassas ledarens breddså att man får önskat Z0.

D

d

D

d

a

b

h

w

0

1 2 276 2ln log

r

D DZ

d dµ

π ε ε= ⋅ ≈ ⋅

0

1 138ln log

2 r

D DZ

d dµ

π ε ε= ⋅ ≈ ⋅

rε

0

377

r

h hZ

w wµε ε

≈ ≈ ⋅

0

377

r

b bZ

a aµε ε

= ≈ ⋅

12 — Ledningar

195

© Per Wallander

12.5 Framåtgående effekt och anpassning

Framåtgående effektEffekten, d.v.s. spänningen och strömmen,rusar in i ledningen med ljushastigheten (be-ror på isoleringens rε mellan och omkringledarna). Hela vägen är förhållandet spän-ning/ström hos den effekt som rusar framlängs ledningen lika med karakteristiskaimpedansen 0Z .

AnpassningNär ledningen avslutas med ett motstånd

LZ som har samma värde som ledningenskarakteristiska impedans 0Z så fortsättersignalen in i LZ utan att märka någon skill-nad.• När I+ går genom LZ bildas en spän-

ning som är lika med U+ .

• När U+ läggs över LZ bildas ström somär lika med I+ .

Randvillkoren är uppfyllda. Effektutveck-lingen i LZ kommer att bli lika med den fram-åtgående effekten. All effekt absorberas. Detblir ingen effekt över som kan reflekteras.Man säger att ledningen är anpassad.

Så här vill vi använda ledningar. All effektsom går framåt skall fortsätta in i belast-ningen, som kan vara en antenn eller radio-mottagare eller kabel-tv-förstärkare. Ävendatakablar, t.ex. SCSI-flatkabel ellerEthernet (10BASE2) måste avslutas med

0LZ Z= .

0

UZ

IP U I

+

+

+ + +

=

= ⋅

( ) ( )2

2

00

UP U I Z I

Z

++ + + += ⋅ = = ⋅

0Z U+

I+

P +

0Z U+

I+

P +

0LZ Z=

Anpassning

12 — Ledningar

196


12.6 Reflekterad effekt

0Z U+

I+

P+

U−

I−

P −

LZ = ∞

Om ledningen är öppenHär kommer den framåtgående effekten tillledningens ände och där finns inget. Led-ningen är avklippt. Här kan inte någon ef-fekt förbrukas. Enda möjligheten är att ef-fekten vänder och rusar tillbaka. Vi får re-flekterad effekt, med reflekterad spänningoch reflekterad ström. Vilka värden får spän-ningen och strömmen?

Om LZ = ∞ så måste totala strömmen varanoll vid ledarens ände. Detta leder till att denreflekterade strömmen I− blir lika stor somI+ , men med motsatt riktning.

Den reflekterade signalenVi har räknat på den framåtgående signa-len. Positiv riktning för den framåtgåendesignalen är från vänster till höger.

Nu skall vi räkna på den reflekteradesignalen. Positiv riktning för den reflekteradesignalen är från höger till vänster.

Strömmen I− går i positiv riktning förden reflekterade signalen och ger alltså upp-hov till en positiv reflekterad spänning U− .

Även för den reflekterade signalen ärförhållandet mellan spänning/ström lika med

0Z .

Räkna på varje signal för sigBörja med att räkna på den framåtgåendesignalen. Det är enkelt.

Lika enkelt är det att räkna på enbartden reflekterade signalen.

Totala spänningen och strömmenFörst därefter lägger vi ihop signalerna föratt beräkna den totala signalen. Att försökaklara två signaler i samma formel, signalersom rör sig åt olika håll, är snudd på omöj-ligt. Räkna på varje riktning för sig.

Den framåtgående signalen:(positiv riktning från vänster till höger)

0

UZ

IP U I

+

+

+ + +

=

= ⋅

Den reflekterade signalen:(positiv riktning från höger till vänster)

0

UZ

IP U I

−

−

− − −

=

= ⋅

Totala signalen:(positiv riktning från vänster till höger)Det du mäter med en voltmeter:

totU U U+ −= +

Det du mäter med en amperemeter:

totI I I+ −= −

Effekten som hamnar i lasten:

lastP P P+ −= −

OBS!Observera särskilt att förhållandetmellan totala spänningen och totalaströmmen kan bli vad som helst:

0

U UZ

I I

+ −

+ −

+ ≠−

12 — Ledningar

197

© Per Wallander

12.7 Reflexionskoefficient

0

UI

Z

−− =

0

UI

Z

++ =

L

U UZ

I I

+ −

+ −

+=−0Z U+

I+

U−

I−Även om det är enkelt att beräkna de fram-åtgående och reflekterade signalerna var försig, så skall vi ändå härleda det uttryck somkopplar ihop den framåtgående och reflek-terade signalen.

ReflexionskoefficientenVi definierar reflexionskoefficienten som för-hållandet mellan reflekterade och framåtgå-ende spänningarna:

UU

ρ−

+=

Spänning och ström vidlastimpedansenVid LZ måste följande samband gälla mel-lan totala spänningen över LZ och totalaströmmen genom LZ :

L

U UZ

I I

+ −

+ −

+=−

Efter diverse räkningar kommer vi fram tillföljande uttryck:

0

0

L

L

Z ZZ Z

ρ −=+

som vi skall använda för att beräkna reflek-terade spänningen när vi känner den fram-åtgående spänningen:

U Uρ− += ⋅

Reflexionskoefficienten är komplexLZ kan vara vilken impedans som helst.

Detta innebär att reflexionskoefficienten fårbåde amplitud och fasvinkel.

Vi definierar reflexionskoefficienten:

UU

ρ−

+=

utgår från sambandet som skall gällaöver lastimpedansen

L

U UZ

I I

+ −

+ −

+ =−

Utnyttjar de vanliga sambanden mellanspänning och ström, och får:

0

( ) ( )LL

ZU U Z I I U U

Z+ − + − + −+ = − = −

0 0 L LZ Z Z Zρ ρ+ ⋅ = − ⋅

0 0( )L LZ Z Z Zρ ⋅ + = −

vilket ger:

0

0

L

L

Z ZUU Z Z

ρ−

+

−= =+

12 — Ledningar

198


12.8 ”Masken”

8 ns

tid

spänning

12 V

0 50Z = Ω 2,25rε =

50R = Ω

150LZ = ΩV

Exempel 12.1En pulsgenerator skickar ut en 8 ns lång puls på en 3 m lång ledning med

0 50Z = Ω och 2,25rε = . Rita pulsens utseende och läge på ledningen efter10 ns, 20 ns och 35 ns.

0

0

12 506

50 50V Z

U VR Z

+ ⋅ ⋅= = =+ +

Generatorn är ansluten till ledningen via ett motstånd.Vi får spänningsdelning och beräknar nivån på denframåtgående spänningen.

Pulsen är 8 ns lång. Pulsensutsträckning längs ledningenblir (maskens längd):

890 3 10

8 10 1,62,25r

cx c t t m

ε−⋅∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ =

Efter 10 ns har pulsens framkant hunnit(har masken hunnit krypa):

890 3 10

(10 ) 10 10 22,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

3 m

spänning

6 V

0,4 m 2 m

När pulsen stiger till 12 V så hamnar spän-ningen över motståndet och ledningen. Led-ningen uppför sig som ett motstånd. Vi fårspänningsdelning.

Pulsen kryper ut på ledningen med ljus-hastigheten på ledningen. Vi kan beräknahur lång pulsen blir.

Det är denna puls som är masken, en masksom är 1,6 m lång.

Hur långt har maskens huvud hunnitefter 10 ns? Svar 2 m.

Hur hög är masken? Svar 6 V.

12 — Ledningar

199

© Per Wallander


890 3 10

(35 ) 35 10 72,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

3 m

spänning

6 V

0,6 m

3 V

0

0

50 500

50 50G

R ZR Z

ρ − −= = =+ +

Reflexionskoefficient när pulsen nårledningens ända (generatorändan):

0 3 0U U Vρ− += ⋅ = ⋅ =


890 3 10

(20 ) 20 10 42,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

3 m

spänning

6 V

2 m

3 V9 V

0

0

150 500,5

150 50L

LL

Z ZZ Z

ρ − −= = =+ +

0,5 6 3U U Vρ− += ⋅ = ⋅ =

När pulsen når ledningens ända reflekteraspulsen. Hur stor del av pulsen reflekteras (vad ärreflexionskoefficienten vid lasten)?

När maskens huvud når lastresistansenkommer bara en del av masken att reflekte-ras. Vi räknar ut att hälften, 3 V, reflekteras.

Efter 20 ns har maskens huvud hunnit 4 m.Det är 3 m fram och 1 m tillbaka.

OBS att när masken vänder så kryper dentillbaka ovanpå sig själv. Spänningen blirsummaspänningen, summan av framåtgå-ende och reflekterade spänningarna.

När maskens huvud kommer tillbaka tillgeneratorändan så träffar den resistansenvid generatorn. Vi beräknar reflexionskoef-ficienten i generatorändan och ser att ingen

spänning kommer att reflekteras. Vi har an-passning.

Efter 35 ns har maskens huvud krupit 7 m,vilket är 3 m fram, 3 m tillbaka och sedan ini generatorändan eftersom inget reflekteras.

Vi ser maskens svans försvinna in i genera-torändan.

12 — Ledningar

200


0

0

15 506

75 50V Z

U VR Z

+ ⋅ ⋅= = =+ +

Exempel 12.2En pulsgenerator skickar ut en 8 ns lång puls på en 3 m lång ledning med

0 50Z = Ω och 2,25rε = . Rita pulsens utseende och läge på ledningen efter10 ns, 20 ns och 35 ns.

Generatorn är ansluten till ledningen via ett motstånd.Vi får spänningsdelning och beräknar nivån på denframåtgående spänningen.

Pulsen är 8 ns lång. Pulsensutsträckning längs ledningenblir (maskens längd):


När pulsen stiger till 15 V så hamnar spän-ningen över motståndet och ledningen. Led-ningen uppför sig som ett motstånd. Vi fårspänningsdelning.

Pulsen kryper ut på ledningen med ljus-hastigheten på ledningen. Vi kan beräknahur lång pulsen blir.

Det är denna puls som är masken, en masksom är 1,6 m lång.

Hur långt har maskens huvud hunnitefter 10 ns? Svar 2 m.

Hur hög är masken? Svar 6 V.

0 50Z = Ω 2,25rε =V

75R = Ω

25LZ = Ω

5 8 ns

tid

spänning

15 V

890 3 10

8 10 1,62,25r

cx c t t m

ε−⋅∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ =

890 3 10

(10 ) 10 10 22,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Observera att den ändan av pulsen som kry-per först är den del av pulsen som varit utelängst, d.v.s. ändan vid t = 0.

3 m

spänning

6 V

0,4 m 2 m

12 — Ledningar

201

© Per Wallander

0

0

25 50 125 50 3

LL

L

Z ZZ Z

ρ − −= = = −+ +

16 2

3U U Vρ− += ⋅ = − ⋅ = −


890 3 10

(35 ) 35 10 72,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

Reflexionskoefficient när pulsen nårledningens ända (generatorändan):


890 3 10

(20 ) 20 10 42,25r

cx ns t m

ε−⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

När pulsen når ledningens ända reflekteraspulsen. Hur stor del av pulsen reflekteras (vad ärreflexionskoefficienten vid lasten)?

När maskens huvud når lastresistansenkommer bara en del av masken att reflekte-ras. Vi räknar ut att –2 V reflekteras.

OBS att när masken vänder med ne-gativ reflexionskoefficient så kryper den till-baka ”på andra sidan av grenen”. På samma

När maskens huvud kommer tillbaka tillgeneratorändan så träffar den resistansenvid generatorn. Vi beräknar reflexionskoef-

ficienten i generatorändan. Den spänningsom vänder adderas till framåtgående spän-ningen från generatorn (noll i detta fall).

Efter 35 ns har maskens huvud krupit 7 m,vilket är 3 m fram, 3 m tillbaka och därefter1 m ut på ledningen igen.

Positiv reflexionskoefficient betyder att mas-ken inte byter sida.

0

0

75 500,2

75 50G

R ZR Z

ρ − −= = =+ +

0,2 ( 2) 0,4U U Vρ− += ⋅ = ⋅ − = −

3 m

6 V

2 m

-2 V

4 V

spänning

6 V

-2 V

6 V

sätt som tidigare blir summaspänningensumman av framåtgående och reflekteradespänningarna.

Efter 20 ns har maskens huvud hunnit 4 m.Det är 3 m fram och 1 m tillbaka.

3 m

spänning

6 V0,6 m

-2,4 V -0,4 V

Det ser ut så här:

... eller så här om man summerar:

12 — Ledningar

202


12.9 Går det ström?

0

0

2 501

50 50V Z

U VR Z

+ ⋅ ⋅= = =+ +

0

120

50U

I mAZ

++ = = =

0

0

501

50L

LL

Z ZZ Z

ρ − ∞ −= = =+ ∞ +

1 1 1U U Vρ− += ⋅ = ⋅ =

0

0

50 500

50 50G

R ZR Z

ρ − −= = =+ +

0

120

50U

I mAZ

−− = = =

1 1 2totU U U V+ −= + = + =

20 20 0totI I I mA+ −= − = − =

I de båda exemplen med ”masken” så stu-derade vi en puls. Orsaken var helt enkeltden att om vi bara lägger på spänning, enmycket lång puls, och har reflexion i bådaändarna, så får vi multipelreflexer. Framåt-gående spänningen blir en oändlig serie avframåtgående spänningar, och på sammasätt med de reflekterade spänningarna. Föratt slippa dessa serier så studerade vi enkort puls.

Ett annat sätt att slippa oändliga serier äratt anpassa ledningen i ena ändan. Vi skallse på en ledning som är öppen i ena ändanmen anpassad i generatorändan.

När vi ansluter batteriet så får vi spännings-delning. Vi får 1 V framåtgående spänning,och detta ger 20 mA framåtgående ström.

I laständan får vi totalreflexion. Reflekteradespänningen blir 1 V och reflekterade ström-men blir 20 mA.

När den reflekterade spänningen kommertillbaka till generatorändan så har summa-spänningen på ledningen blivit 2 V, summa-strömmen är 0 mA. Det går ingen ström ge-nom motståndet. Vi får inget spänningsfall.Men detta tillstånd uppnås först efter dentid det tar för signalen att gå fram och till-baka på ledningen.

Vi har ström på ledningen under detta för-sta tidsögonblick. Frågan är, har vi ävenström när spänningen kommit tillbaka? Harvi laddningar som går i båda riktningarna,vilket gör att elektronerna inte rör sig, så attvi inte får resistivt spänningsfall. Ingen vär-meutveckling?

I första tidsögonblicket har vi framåtgåendeeffekt på ledningen. Den framåtgående ef-fekten reflekteras och kommer tillbaka. Slu-tar batteriet leverera framåtgående effekt,eller fortsätter batteriet leverera framåtgå-ende effekt men får tillbaka lika mycket, såatt detta kan pågå i oändligheten? Ja, vemvet? Vi har inget instrument som kan mätadetta.

50R = Ω

0 50Z = Ω

1V 1V2V

20 mA 20 mA

13 — Smithdiagrammet,anpassning

203

© Per Wallander

13 — Smithdiagrammet, anpassningVid växelspänning kommer den framåtgå-ende spänningen och den reflekteradespänningen att få olika fasvinkel beroendepå var på ledningen vi tittar. Hur lång tid harväxelspänningen varit på väg? Och spän-ningarna rör sig i motsatt riktning.

Vi får punkter med maxspänning och punk-ter med minspänning, stående vågor, ochdefinierar våglängd och ståendevåg-förhållande, samt ser på olika sätt att mätaståendevågförhållande.

Från reflexionskoefficienten tar vi oss framtill Smithdiagrammet, som vi använder föratt beräkna inimpedansen när lasten är an-sluten med en ledning av viss längd.

Vi ser även hur en slitsad ledning kan an-vändas för bestämning av impedans. Enimpedansmeter för hög frekvens.

Reflekterad effekt innebär att signalen gårflera gånger fram och tillbaka, vilket kan geproblem i många tillämpningar.

Med kvartsvågstransformator anpassar vi enlast med fel impedans, en vanlig metod iantennsystem med flera matade antenn-element.

Anpassning kan även ske genom att paral-lellkoppla ledningen med en ledningsstump(stubbe) eller kondensator, en vanlig metodi basstationssändare för mobiltelefoni.


204


13.1 Våglängd

0 0 1( )

r r

c cx t T T

fε ε∆ ∆ = = ⋅ = ⋅

0

rxt x

c c

ε∆∆ = = ∆

λ

Våglängd: 0 1

r

cf

λε

= ⋅

t∆

ˆ sin2U ftπ+ ˆ sin2 ( )U f t tπ+ − ∆

ˆ ˆsin(2 2 ) sin(2 2 )t

U ft f t U ftT

π π π π+ + ∆− ∆ = −

ˆ sin2U ftπ+ ˆ sin(2 2 )U ftπ π+ −

Vi tar en ledning som är anpassad i bådaändar. På ledningen finns enbart framåtgå-ende signal.

Ledningen matas av en växelspännings-generator. Framåtgående signalen beskrivervi med sinusfunktionen (vi har använt cosi-nus vid så många andra tillfällen).

Ju längre bort från generatorn vi kom-mer, ju närmare lasten vi kommer, destostörre blir tidsfördröjningen t∆ .

Vi kan utveckla sinusuttryckets argumentoch byta ut frekvensen f mot periodtiden T.Då ser man att om tidsfördröjningen t∆ ärlika med en periodtid T så blir fasvinkel 2π ,d.v.s. i alla punkter där tidsförskjutningen ärhela multipler av periodtiden T, där har sig-nalen samma fasläge.

Hur långt hinner signalen under enperiod?En sträcka som är speciellt viktig är avstån-det mellan punkter där signalen har sammafasläge. Detta är samtidigt den sträcka somsignalen hinner, med ljushastigheten, underen periodtid T. Denna sträcka är så betydel-sefull att den fått ett eget namn, våglängd.

Om man ser den elektromagnetiska signa-len som en vågrörelse så är våglängdenavståndet mellan vågtopparna, avståndetmellan punkter som har samma fasläge.

Våglängden beräknas som signalens ljus-hastighet i det medium där den rör sig, mul-tiplicerat med periodtiden. Periodtiden ärsamma som ett dividerat med frekvensen.

Grekiska bokstaven lambda (λλλλλ)Våglängd betecknas med den grekiska bok-staven lambda ( λ ).


205

© Per Wallander

13.2 Stående vågor

motverkarsamverkar

U U+ −+

U U+ −+

Här går signalen framåt på ledningen. Fasen vrids i negativ riktning.

Här är enbart en reflekterad signal. Fasen tycks vridas i positiv riktning om viser från vänster till höger.

motverkarsamverkar samverkar

Vi ser hur framåtgående ochreflekterade spänningarnaömsom samverkar, ömsommotverkar varandra.

Summaspänningens amplitud bildar enstillastående våg, en stående våg.

Avståndet mellan två minpunkter är en halv våglängd.

ˆ 0U+∠ ° ˆ 90U+∠ − ° ˆ 180U+∠ − ° ˆ 270U+∠ − ° ˆ 0U+∠ °

ˆ 0U−∠ °ˆ 90U−∠ − °ˆ 180U−∠ − °ˆ 270U−∠ − °ˆ 0U−∠ °

ˆ Û U+ −− ˆ Û U+ −−

ˆ Û U+ −+


206


1 V1,5 V

0,5 V

Avståndfrånlasten

13.3 Ståendevågförhållande

50 Ω

0 50Z = Ω150LZ = Ω2 sin2 ftπ⋅

50 Ω

0 50Z = Ω150LZ = Ω2V

U+

U−

1 V1,5 V

0

0

150 500,5

150 50L

L

Z ZZ Z

ρ − −= = =+ +

0

0

2 501

50 50V Z

U VR Z

+ ⋅ ⋅= = =+ +

0,5U U Vρ− += ⋅ =

totU

0,25λ0,50λ0,75λ 0λ

totUMAXU

MINU

1,53

0,5MAX

MIN

USVF

U= = =

ˆ ˆ 1,5MAXU U U V+ −= + =

ˆ ˆ 0,5MINU U U V+ −= − =

En ledning med karakteristiska impedansen0 50Z = Ω matas av ett batteri på 2 V i serie

med en resistans på 50 Ω . Belastnings-impedansen är 150LZ = Ω .

Detta liknar ”masken”, se föregåendekapitel. Vi får spänningsdelning. Framåtgå-ende spänningen blir 1 V.

Reflexionskoefficienten vid lasten blir0,5. Detta innebär att den reflekterade spän-ningen blir 0,5 V.

När den reflekterade signalen kommertill generatorändan ser den 50 Ω , och denreflekterade signalen absorberas. Det bliringen reflex tillbaka ut på ledningen.

Totala framåtgående spänningen bliralltså 1 V, och totala reflekterade spänningenblir 0,5 V. Vi har inga multipelreflexer.

Totala spänningen på ledningen, mättmed voltmeter, blir 1,5 V. I vilken punkt vi änmäter så är spänningen 1,5 V.

Byt batteriet mot en växelspännings-generator.Nu byter vi ut batteriet mot en växelspän-ningsgenerator. Precis som tidigare får vi1 V framåtgående spänning och 0,5 V ref-lekterad spänning. Detta är visserligenväxelspänningar, men det finns ingen skill-nad i beräkningen jämfört med likspännings-fallet, så länge som vi tittar på spänningarnavar för sig.

Totala spänningenNu lägger vi ihop spänningarna för att fåtotala spänningen.

Vid lasten LZ är reflexionskoefficienten0,5. Detta innebär att reflekterade spän-ningen är 0,5 av den framåtgående. Sum-man blir 1,5 V.

Men nu flyttar vi oss bakåt från lasten.På avståndet 0,25λ från lasten så ärgångvägsskillnaden ( x∆ ) mellan de tvåspänningarna 0,5λ , eftersom den reflekte-rade spänningen gått först 0,25λ till lastenoch sedan 0,25λ tillbaka. En skillnad på0,5λ innebär att fasvinkeln mellan spän-ningarna är π och framåtgående och re-flekterade spänningarna hamnar i motfas.


207

© Per Wallander

ˆ ˆ 1,5

ˆ ˆ 0,5

MAX

MIN

U U U V

U U U V

+ −

+ −

= + =

= − =

ˆ ˆ 1,53

ˆ ˆ 0,5

1,5 0,5ˆ 12 2

1,5 0,5ˆ 0,52 2

MAX

MIN

MAX MIN

MAX MIN

U U USVF

U U UU U

U V

U UU V

+ −

+ −

+

−

+= = = =−

+ + = = =

− − = = =

ˆ

ˆ

11 3 1

0,51 3 11

MAX MIN

MAX MIN

MAX

MIN

MAX

MIN

U U UU UU

USVFU

U SVFU

ρ−

+

−= = =+

−− −= = = =+ ++

ˆ ˆ

ˆ ˆ

ˆ1 1ˆ 1 0,5 1,5

3ˆ 1 1 0,5 0,5

1ˆ

MAX

MIN

U U USVF

U U U

UUUU

ρρ

+ −

+ −

−

+

−

+

+= = =−

+ + += = = = =− −

−

2 2

0

ˆ 12 2 10

50

U

P mWZ

+

+

= = =

2 2

0

ˆ 0,52 2 2,5

50

U

P mWZ

−

−

= = =

2ˆ

ˆ

2,50,5

10

P UP U

PP

ρ

− −

+ +

−

+

= ⇒

⇒ = = =

Stående vågorSummaspänningen, mätt med voltmeter,följer ett vågmönster, och avståndet mellanvågtopparna, eller mellan dalarna, är en halvvåglängd.

Maxspänningen bildas av summan avframåtgående och reflekterade spänning-arna. Spänningarna ligger i fas.

Minspänningen bildas av skillnadenmellan framåtgående och reflekterade spän-ningarna. Spänningarna ligger i motfas.

SVF (ståendevågförhållande)Maxspänningen dividerat med minspän-ningen kallas ståendevågförhållandet, SVF(VSWR, Voltage Standing Wave Ratio).

Om vi inte har någon reflekterad spän-ning så blir SVF = 1. Det är detta som efter-strävas.

Om man mäter max- och minspänningarnaså kan vi beräkna ståendevågförhållandetSVF. Men vi kan även beräkna amplitudenpå den framåtgående spänningen och amp-lituden på den reflekterade spänningen.

När vi känner framåtgående och reflekte-rade spänningarna till beloppet, så kan viberäkna reflexionskoefficientens belopp.

Vi ser även att reflexionskoefficientens be-lopp kan användas för att beräkna SVF. Fak-tum är att reflexionskoefficientens beloppoch SVF är samma sak eftersom de utgårfrån samma siffror, bara olika beräkningar.

Ur framåtgående och reflekterade spänning-arna kan vi även beräkna framåtgående ochreflekterade effekterna, med hjälp av led-ningens karakteristiska impedans.

Effekterna kan även användas för att be-räkna reflexionskoefficientens belopp (ellerSVF).

Reflexionskoefficient i dBI antenndatablad är det fortfarande vanligastatt t.ex skriva 3SVF ≤ för att ange maxi-mala ”missanpassningen”, maximala avvi-kelsen från 0Z . Men man övergår mer ochmer till att ange reflexionskoefficienten i dB:

20log 20log(0,5) 6r dBρ= = = −


208


13.4 Att mäta ståendevågförhållandet

till detektor

Detekterad spänning

Längd

mm

till detektor

Detekteradspänning

Längd

mm

Slitsad ledningMellan de två ledarna i en ledning finns ettelektriskt fält som är proportionellt mot to-tala spänningen mellan ledarna, d.v.s. sum-man av framåtgående och reflekteradespänningarna. Detta elektriska fält kan vimäta, genom att föra in en liten ”antenn”.Denna korta ledningsstump gör inte kontaktmed ledarna. Den befinner sig bara i detelektriska fältet. Om fältet är ett växelfält (frånväxelspänning) så knuffar och rycker fältet iledningsstumpens elektroner. Det inducerasen liten växelsignal på stumpen, och densignalen kan vi leda till en detektor och mäta.Detta fungerar alltså inte vid likspänning,bara vid växelspänning.

Bilden visar en ”slitsad” koaxialledning. Slit-sen är uppskuren i skärmen på sådant sättatt inga strömbanor skärs av (strömmen gårlängs ledaren, inte runt ledaren). Slitsens på-verkan på ledningen kan därför försummas.

I slitsen skjuter vi in den lilla lednings-stumpen som förs längs slitsen. I varje punktnoterar vi ledningsstumpens läge samtspänningsnivån. Den slitsade koaxialled-ningen är luftfylld. Signalen går med c0. Vikan mäta avståndet mellan minpunkter(maxima är bredare) och beräkna vågläng-den/frekvensen, och max och minpunkternager oss SVF. Vi skall även se att vi kan be-räkna lastimpedansen.

VågledareSamma mätning med en liten mätantennkan utföras på en vågledare, och vi får max-och minvärden som svarar mot framåtgå-ende och reflekterade signalerna i våg-ledaren, och kan beräkna SVF.

Avståndet är längreNär det gäller avståndet mellan min-punkterna så kommer detta att bli längre änen halv våglängd i luft. Det ser ut som omsignalen går fortare än ljushastigheten i va-kuum.

Vågledaren består av en ”plattledning”,övre och undre metallytorna, där platt-ledningens sidor förbundits med metall.Enda möjligheten för signal att gå i en så-

0,5λ i vakuum

0,5λ i vakuum

α

0,5cos

λα

sinλ α⋅

0,5λ

0 1

r

cf

λε= ⋅ ( 1)rε =


209

© Per Wallander

dan ledning är att signalen delar upp sig påtvå signaler som går i sicksack, reflekteras iväggarna. När signalen går med sådan vin-kel att sinλ α⋅ svarar mot bredden på våg-ledaren, då kommer summan av de två sig-nalerna att ge ett totalt elektriskt fält som ärnoll vid plåtväggarna.

För den sammansatta signalen, debåda sicksack-signalerna tillsammans, de-finierar man en hastighet som kallas fas-hastighet. Fashastigheten bestämmer av-ståndet mellan vågtoppar vid SVF-mätning.

0 1cosfas

r

cv

αε= ⋅

Samtidigt kommer signalen fram senare ibortre ändan av vågledaren, eftersom sig-nalerna går i sicksack. Tidsfördröjningenberäknas med hjälp av grupphastigheten.

0 cosgrupp

r

cv α

ε= ⋅

Begreppen fas- och grupphastigheter exis-terar bara vid vågledare och är ett resultatav att man inte betraktar signalen som tvåsignaler utan definierar en ny signaltyp somär summan av de båda sicksack-signalerna.

Övergången från vågledare till koaxialled-ning sker med en liten ”antenn” som sticksner i vågledaren.

Trattantenner som övergår i en vågledareär vanligt som matarantenner till parabol-antenner.


210


P + P −

k P +⋅

k P +⋅

k P +⋅

k P −⋅

k P −⋅

P + P −

k P +⋅

k P −⋅

k P −⋅

RiktkopplarenOm jag parallellt med en ledning lägger enliten ledningsstump så att ledningarna fårett gemensamt utrymme, så händer mycketförenklat följande:

När den framåtgående signalen rusar förbiledningsstumpen så kommer en positiv ladd-ning att ”dra med sig” en negativ laddning.En negativ laddning är samma sak som enpositiv laddning som rör sig i andra rikt-ningen.

Innebörden av detta är att den framåt-gående signalen gör en liten kopia av sigsjälv på ledningsstumpen, men kopian går imotsatt riktning.

Samma händer med den reflekteradesignalen.

Nu har vi en ledningsstump med miniatyr-signaler som är kopior av förhållandet påhuvudledningen. Om vi avslutar lednings-stumpen med ett motstånd som motsvararkarakteristiska impedansen på lednings-stumpen, så kommer ena kopian att hamnai motståndet medan andra kopian kanplockas ut och mätas.

Genom att sätta motståndet i andra ändanså plockar vi ut den andra kopian.

Vi har alltså en anordning som antingenplockar ut en liten kopia av den framåtgå-ende signalen, eller av den reflekterade sig-nalen, en riktkopplare, eftersom den är käns-lig för signalens riktning på ledaren.

Den vanligaste SVF-meternRiktkopplaren med en parallell lednings-stump är i dag den vanligaste SVF-meternoch används från 3 MHz och uppåt i frek-vens. Det vanligaste är emellertid inte attkalibrera instrumentet i SVF utan direkt iframåtgående och reflekterad effekt.

EffektmeternMan avläser direkt den framåtgående effek-ten och den reflekterade effekten på led-ningen. Hur mycket effekt hamnar i anten-nen? Skillnaden. Framåtgående minus re-flekterad effekt.

Riktkopplare används även till annatOm ledningsstumpen går långt in i den andraledningen kan man få ut ända upp till halvasignalen. En sådan riktkopplare kallas 3 dB-kopplare, eftersom man får ut halva effek-ten på ledningsstumpens port, och den an-dra halvan fortsätter rakt igenom.

1P10,5 P⋅

2P20,5 P⋅

Riktkopplare för att koppla tvåsändare till gemensam antenn.


211

© Per Wallander

Ytterligare en riktkopplareYtterligare en riktkopplare som används someffektmeter visas på bilden.

Den består av två delar, en kapacitiv spän-ningsdelare som ger oss en liten del av to-tala spänningen på ledaren.

( )k U U+ −⋅ +

Dessutom finns en strömtransformator, dären liten del av strömmen matas genom mot-stånd och ger en spänning som är propor-tionell mot totala strömmen på ledningen,som är proportionell mot skillnaden mellanframåtgående och reflekterade spänning-arna.

( ) ( )R I I k U U+ − + −⋅ − = ⋅ −

Ena porten ger framåtgående signalen, an-dra porten ger reflekterade signalen.

Används i kabel-tv-uttagetRiktkopplare av detta slag används dels ieffektmetrar från låg frekvens upp till någrahundra MHz. Dessutom sitter anordningen(hälften) för att plocka ut den framåtgåendesignalen, i det vanliga kabel-tv-uttaget.

En tv-mottagare absorberar signalen på denkanal som den är inställd på för att ta emot.Men alla andra tv-signaler på alla andra frek-venser, de signalerna totalreflekteras ochmatas tillbaka ut på kabel-tv-nätet. Rikt-kopplaren gör att dessa reflexer bara finnspå huvudmatarkabeln som reflekterade sig-naler, medan den enda signal som finns iframriktningen är den ”rena” signalen frånantennförstärkaren.

NätverksanalysatorOm man mäter inte bara amplituderna påframåtgående och reflekterade spänning-arna, utan även fasvinkeln mellan spänning-arna, så kan man beräkna reflexions-koefficienten och, via karakteristiska impe-dansen, beräkna den verkliga impedansen.

Ett instrument som gör på detta sätt ochsom presenterar resultatet som en punkt påen oscilloskopskärm där Smithdiagrammetär inritat, kallas nätverksanalysator.

( )k U U+ −⋅ +

I I+ −−

( )R I I+ −⋅ −

2k U +⋅2k U −⋅

till tv till tvtill tv

Riktkopplare i tv-uttaget


212


Im

Re

13.5 Smithdiagrammet

LZ

+U −U

λ0,1λ0,2

ρ−

+

−= =+

0

0

LL

L

Z Z UZ Z U

ρ λ ρ−

+

∠ − °= = ∠ − °∠ + °

36(0,1 ) 72

36 L

UU

ρL

λ0,1λ0,2

Im

Re− °72

Vi utgår från en transmissionsledning somavslutas med en belastningsimpedans LZ .Belastningsimpedansen kan vara reell ellerkomplex.

Över belastningsimpedansen har vispänningar, den framåtgående spänningenoch den reflekterade spänningen. Spänning-arna har både amplitud och fasvinkel.

Vi kan beräkna reflexionskoefficientenρL vid lastimpedansen, antingen genom attutgå från lastimpedansen LZ och ledning-ens karakteristiska impedans 0Z , eller ge-nom att utgå från spänningarna −U och +U .Även reflexionskoefficienten ρL är ettkomplext tal, med amplitud och fasvinkel.

Rita reflexionskoefficienten i ettvisardiagramVi kan rita ρL i visardiagrammet. I detta fallär fasvinkeln för ρL lika med noll.

Om vi flyttar oss längs ledningen?Vad händer om vi flyttar oss λ0,1 mot ge-neratorn? Framåtgående spänningen ökarsin fasvinkel. Spänningen kommer tidigare.

λ0,1 svarar mot °36 . Den reflekterade spän-ningen har längre väg att gå. Den kommersenare, − °36 senare.

Vi kan definiera en ”tänkt” reflexions-


213

© Per Wallander

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0

Resistans (R/Z0) eller konduktans (G/Y0)

Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)

eller kapacitiv suseptanskomponent (+jB/Y0)

Kapacitiv

reaktanskomponent (-jX/Z

0 ) eller induktiv suseptanskomponent (-jB/Y0)

0,1 våglängder

mot generatorn

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

0,1 våglängder

mot generatorn

ρ −=+

0

0

Z ZZ Z

ρρ

+=−0

(1 )(1 )

ZZ

koefficient i den punkten, ett förhållandemellan −U och +U , som är ρL som vridit sig− °72 . Vi kan alltså gradera den yttre cirkelni grader, och ett varv, °360 , svarar mot attman flyttar sig λ0,5 längs ledningen.

Enklare att gradera i våglängderMen att hålla på och räkna om till grader(dubbla grader) är omständligt. Bättre är attinföra ytterligare en cirkel graderad i våg-längder, med gradering både för förflyttningmot generatorn (medurs), och gradering förförflyttning mot lasten (moturs).

Varför reflexionskoefficient?Varför ha ett diagram för reflexionskoefficien-ten? Till varje reflexionskoefficient svarar ettvisst bestämt värde på impedansen norme-rad till (dividerat med) ledningens karakte-ristiska impedans.

ImpedansdiagramAlltså graderar vi diagrammet i normeradimpedans.• Vi får en normerad resistansaxel från

Ω0 till ∞ Ω som löper från vänster tillhöger, med Ω1 mitt i diagrammet.

• Vi får en normerad positiv reaktansaxelsom löper från + Ω0j till + ∞ Ωj längsden övre halvcirkeln, med + Ω1j raktupp.

• Vi får en normerad negativ reaktansaxelsom löper från − Ω0j till − ∞ Ωj längsden undre halvcirkeln, med − Ω1j raktner.

En ren resistans hamnar någonstans påresistansaxeln.

En resistans i serie med en spole ham-nar i övre halvplanet.

En resistans i serie med en kondensa-tor hamnar i undre halvplanet.

SmithdiagrammetDetta impedansdiagram kallas Smith-diagrammet efter sin uppfinnare. Det publi-cerades första gången januari 1944 i tidskrif-ten Electronics.

Smithdiagrammet går precis lika bra attanvända för admittanser, se admittans-graderingen.

= + LZ R jX

=Z R

= − CZ R jX

=0

Rz

Z

= −0 0

CXRz j

Z Z

= +0 0

LR Xz j

Z Z


214


Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



1

2 3

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv


0 ) eller induktiv suseptanskomponent (-jB/Y0)4

5

6

Uppgift:Beräkna inimpedansen i en ledning medkarakteristiska impedansen Ω50 ochε = 2,25r som är 25 cm lång. Frekvensen är80 MHz och ledningen avslutas med belast-ningsresistansen Ω150 .

1. NormeraLedningen avslutas med = Ω150LZ . Be-räkna Lz .

= + = = +0 0

1503 0

50L

R Xz j j

Z Z

Belastningsimpedansen ligger vid värdet 3på resistansaxeln.

2. Rita cirkelNästa steg är att rita cirkeln. Passarspetsenskall sitta mitt i diagrammet! Det är längsdenna cirkel vi skall förflytta oss.

3. Drag streckDrag ett streck från mittpunkten genombelastningsimpedansen så att vi kommer uttill cirkeln graderad i våglängder.

4. Förflytta dig längs ledningenNästa steg är att förflytta sig längs ledningen.Vart går vi? Mot lasten eller mot generatorn?I detta fall går vi mot generatorn, alltså med-urs (läs i diagrammet så du inte snurrar åtfel håll).

Hur långt skall vi förflytta oss? Hurmånga våglängder är 25 cm.

λλ

ε

λ

= = =⋅

= =⋅ ⋅

⋅

0

8

6

25 0,25( )

1

0,250,1

3 10 180 102,25

r

cmL

cf

5. Drag streckDrag streck in mot diagrammets mittpunktså att du får en skärningspunkt med cirkeln.

6. Avläs normerade impedansen


215

© Per Wallander

Avläs normerade impedansen på följandesätt:

7. Avläs normerade resistansenFölj en hjälplinje in mot resistansaxeln. Seupp så att du inte följer din egen cirkel i stäl-let för en hjälplinje.

Avläst värde: = 0,78r

8. Avläs normerade reaktansenFölj hjälplinjerna ut mot yttercirkeln. Det finnssiffermarkeringar på andra ställen i diagram-met. Använd inte dessa utan gå alltid ut motyttercirkeln. Se upp så att du följer hjälplin-jerna och inte ditt eget streck.

Avläst värde: = − 1,02x j

Beräknad inimpedans:

= ⋅ = + ⋅ == − ⋅ = − Ω

0 0( )

(0,78 1,02) 50 39 51IN INZ z Z r jx Z

j j

Glöm inte att multiplicera med 0Z . När vigår in i diagrammet normerar vi. När vi gårut ”avnormerar” vi.

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,150,

20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



8


216


13.6 Impedansbestämning med slitsad ledning

0 102 mm 418 mm

Kortsluten ledningslutar här

418

Öppen ledningslutar här

418

65 mV

45 mV

0 322 mm

Uppgift:En okänd last ansluts till en slitsad ledningmed = Ω0 50Z . Den slitsade ledningen harε =1,0r .

Man uppmäter minpunkter vid 102 mmoch vid 418 mm när lasten inte är ansluten(öppen ledning).

När lasten ansluts blir maxspänningen65 mV och minspänningen 45 mV.Spänningsmin uppträder vid 322 mm.

Beräkna generatorns frekvens och las-tens impedans.

Beräkna våglängd och frekvensAvståndet mellan två spänningsmin är λ0,5(detta motsvarar en hel våglängd fram ochtillbaka).

λ = ⋅ − =2 (0,418 0,102) 0,632 m

λε⋅= ⋅ = ⋅ =

80 1 3 10 1

474,680,6321r

cf MHz

Avstånd till lastenVi måste veta var på ledningen lasten kom-mer att vara placerad. Om vi har minimumvid 418 mm när ledningen är öppen såmåste ledningen ta slut λ0,25 bortomdenna punkt (eller ytterligare halva våg-längder d.v.s. hela varv i Smithdiagrammet).

Ledningen tar slut vid: + =632418 576

4mm

Om denna kalibrering utförts med kortslutenledning så hade ledningen tagit slut vid 734mm.

Anslut lastenNär lasten är ansluten har man uppmättmaxspänningen till 65 mV och minspän-ningen till 45 mV. Är detta effektivvärden el-ler toppvärden?

Vi vet inte, och vi bryr oss inte. Detta är intede verkliga spänningarna på ledningen utanbara de små spänningar som bildas i mät-sonden, den lilla mätantennen. Det enda viskall göra med spänningarna är att divideradem med varandra.

= = =651,44

45MAX

MIN

USVF

U


217

© Per Wallander

1. Rita cirkelnVi har SVF = 1,44. Detta representerar encirkel som går genom r = 1,44. Rita cirkeln.

2. Var ligger spänningsminimum?Spänningsminimum får vi där cirkeln skärresistansaxeln till vänster ( − °180 fasvinkelhos ρ ). På motsvarande sätt ligger spän-ningsmaximum där cirkeln skär resistans-axeln på höger sida. Drag strecket!

3. Snurra mot lastenNu skall vi förflytta oss ett antal våglängdermot lasten. Tidigare har vi beräknat att led-ningen slutar vid 576 mm. Vi befinner oss(minimum) vid 322 mm. Vi skall förflytta oss

576 – 322 = 254 mm. Detta skall dividerasmed våglängden.

λ λλ−= = =0,576 0,322 0,254

( ) 0,4020,632

L

4. Drag streck och få skärningspunktenmed cirkeln

5. AvläsNu avläser vi = 0,85r och = + 0,30x j ochberäknar

= ⋅ = + ⋅ == + ⋅ = + Ω

0 0( )

(0,85 0,30) 50 42,5 15L LZ z Z r jx Z

j j

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



4

1

3

3

3

3

3

3

35


218


13.7 Anpassning med kvartsvågstransformator

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,450,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,150,

20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



λ0,25

⋅ =1 2 0(kvartsvågstrafo)R R Z

1R

1R

2R

2R

2R1R

Vi avslutar en ledning med resistansen 1R .Ledningen görs λ0,25 lång. Vad ser vi in iöppningen på denna λ0,25 långa ledning?

Vi ser en ren resistansOm vi ansluter en ledning som är λ0,25 långså snurrar vi ett halvt varv i Smith-diagrammet.

Om det sitter en ren resistans i enaändan, då ser vi även en ren resistans i an-dra ändan. Men den andra resistansen fårannat värde, 2R .

TransformatorAtt omvandla från ett resistansvärde till ettannat resistansvärde är exakt vad trans-formatorn gör. Denna λ0,25 långa ledningkommer att uppföra sig som en transforma-tor och kallas kvartsvågstransformator ef-tersom den är en kvarts våglängd lång.

Bara för resistanserKvartsvågstransformatorn kommer bara attuppföra sig som en transformator om denbelastas med en ren resistans.

Transformationen beror på karakteris-tiska impedansen hos ledningenAntag att vi har Ω100 och en kvartsvågs-trafo med = Ω0 50Z . Först normerar vi ochfår 2. Cirkeln går genom 2. På andra sidangår cirkeln genom 0,5. Alltså ser vi Ω25 in ikvartsvågstrafon.

Nu byter vi till en kvartsvågstrafo med= Ω0 75Z . Först normerar vi och får 1,33.

Cirkeln går genom 1,33. På andra sidanavläser vi 0,75. Där ser vi alltså Ω56,25 .

Transformationsförhållandet beräknaspå följande sätt:Den resistans vi har i ena ändan multiplice-ras med det vi vill få i andra ändan, vareftervi drar roten ur. Detta ger kvartsvågsled-ningens karakteristiska impedans.

⋅ =1 2 0(kvartsvågstrafo)R R Z


219

© Per Wallander

= + Ω50 50LZ j

= Ω0 50Z

= Ω50INZ

= + = + Ω0 0

50 501 1Lz j j

Z Z

ε⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅

80

6

1 3 10 10,088 0,088 0,0352

500 102,25r

cL m

f

λ0,088

Ω130Ω50

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

34

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



= + Ω1 1Lz j

λ0,088

= ⋅ = Ω1 02,6 130R Z

Uppgift:En belastning på = + Ω50 50LZ j ansluts tillen ledning med = Ω0 50Z och ε = 2,25r .Frekvensen är 500 MHz.

Anpassa lasten till ledningen med enkvartsvågstransformator.• Vilken karakteristisk impedans skall

kvartsvågsledningen ha?

• Var skall kvartsvågstransformatorn pla-ceras?

1.Börja med att normera, pricka in lasten,och dra cirkeln.

2.Nästa steg är att förflytta sig mot gene-ratorn, tills impedansen är rent resistiv.En sådan punkt har vi om vi flyttar oss

λ0,088 .3.Avläs resistansvärdet och avnormera. Vi

får Ω130 .

4. Nu vet vi vad vi vill ha i bortre ändan. Vivet också att vi vill ha Ω50 i andra än-dan. Alltså kan vi beräkna karakteristiskaimpedansen för kvartsvågstransforma-torn:

= ⋅ =

= ⋅ = Ω0 1 0(kvartsvågstrafo)

130 50 80,6

Z R Z

5. Det som återstår är att beräkna varkvartsvågstransformatorn skall kopplasin. Men vi vet redan att avståndet skallvara λ0,088 .

Vi beräknar våglängden och multiplice-rar:


220


= ⋅ =


19,5 50 31,2

Z R Z

Ω19,5

λ0,338

Ω50V

åglängderm

ot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,100,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



= + Ω1 1Lz j

= ⋅ = Ω1 00,39 19,5R Z

λ0,338

2.Vi kan även förflytta oss mot generatorntill den andra punkten där impedansenär rent resistiv. En sådan punkt har vi omvi flyttar oss λ0,338 .

3.Avläs resistansvärdet och avnormera. Vifår Ω19,5 .

4. Nu vet vi vad vi vill ha i bortre ändan. Vivet också att vi vill ha Ω50 i andra än-dan. Alltså kan vi beräkna karakteristiskaimpedansen för kvartsvågstransforma-torn:

= ⋅ =


19,5 50 31,2

Z R Z

5. Det som återstår är att beräkna varkvartsvågstransformatorn skall kopplasin. Men vi vet redan att avståndet skallvara λ0,338 .

Vi beräknar våglängden och multiplice-rar:

Det finns alltid två möjligheterMen vi har ytterligare en möjlighet, nämli-gen att förflytta oss till den andra punktendär cirkeln skär resistiva axeln.

ε= ⋅ ⋅ =

⋅= ⋅ ⋅ =⋅

0

8

6

10,338

3 10 10,338 0,1352

500 102,25

r

cL

f

m

Vad väljer man?I verkligheten, vilken lösning väljer man?

Elektriskt kan det vara bäst att placerakvartsvågstransformatorn så nära lastensom möjligt. När man ändrar frekvens, närman avviker från den beräknade frekvensen,så flyttar sig punkten minst sträcka frånresistiva axeln. Transformatorn blir bredban-digare.

Mekaniskt kan det vara lättast att konstru-era en kvartsvågstransformator med lågkarakteristisk impedans.

I verkligheten kan man ofta hitta lösningardär bägge villkoren är uppfyllda.


221

© Per Wallander

13.8 Vad händer vid anpassning?

Vi har en ledning som avslutas med en im-pedans som inte är lika med ledningenskarakteristiska impedans. Vi får reflekteradeffekt. Nu skall vi ta bort den reflekteradeeffekten genom att anpassa ledningen. Varttar den reflekterade effekten vägen?

Anpassning medkvartsvågstransformatorNär vi kopplar in en ledningsstump medannan karakteristisk impedans så händerföljande:• När den framåtgående signalen möter

skarven mellan ledningarna så reflekte-ras en del av signalen.

• När den framåtgående signalen möternästa skarv så reflekteras lika mycket fastmed motsatt tecken. Denna andra reflexhar gått en halv våglängd längre väg änden första reflexen. Därför byts tecknetså att dessa båda reflexer kommer attsummeras. Om ledningen i stället variten halv våglängd lång så skulle reflex-erna tagit ut varandra. Detta sker t.ex. påantireflexbehandlade glasögon.

• Nu har vi skapat en reflekterad signal påvår ledning, en reflekterad signal somkommer från kvartsvågstransformatorn.Amplituden på reflexen bestäms av ka-rakteristiska impedansen på kvartsvågs-ledningen.

• Den signal som går igenom kvartsvågs-transformatorn träffar lasten, där en delav signalen reflekteras. Den del av dennareflex som tar sig igenom kvartsvågs-transformatorn skall ha samma amplitudsom reflexerna från kvartsvågstrans-formatorn. Sedan väljer vi avståndetmellan kvartsvågstransformatorn ochlasten så att dessa reflexer hamnar imotfas och tar ut varandra.

Att skapa ytterligare reflexerAnpassning innebär att skapa ytterligarereflexer så att summan av alla reflexer blirnoll. Andra sätt att skapa reflexer är att pa-rallellkoppla ledningen med en lednings-stump eller en kondensator.

Andra sätt att skapa reflexerutan att förbruka effekt.


222


Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



3

2 1

A

13.9 Anpassning med kortsluten stubbe

LZ

= +1Ay jb

= −By jb

= + − =1 1Cy jb jb

AB

= + Ω100 25LZ j

Ly

= +1Ay jb

Vi utför anpassningen, inte genom att tittapå spänningarna som går fram och tillbakautan genom att titta på impedanserna.Impedansen innehåller både den framåtgå-ende och den reflekterade spänningen sam-tidigt (totala spänningen).

Parallellkoppling: AdmittanserVid seriekoppling lägger vi ihop impedanser.Vid parallellkoppling lägger vi ihop admit-tanser. Vi skall räkna med admittanser. Menvar lugn, det är enkelt när vi har Smith-diagrammet.

Tekniken går ut på att snurra i Smithdiagram-met tills vi korsar den cirkel där admittansenhar konduktans (”resistiv” del) som är 1, nor-merad admittans. Men vi har susceptans.Susceptansen tar vi bort genom att paral-lellkoppla med ett objekt som har sammasusceptans med motsatt tecken.

ExempelEn belastning på = + Ω100 25LZ j anslutstill en ledning med = Ω0 50Z och ε = 2,25r .Frekvensen är 500 MHz.

Lasten skall anpassas med en kort-sluten stubbe, tillverkad av samma ledning.

Beräkna inkopplingspunkten A samtstubbens längd B (fysisk längd, inte våg-längder).

1. Normera och rita cirkelBörja på vanligt sätt. Beräkna normeradeimpedansen, pricka in och rita cirkeln.

2. Övergå till admittansNu övergår vi till admittanser. Lastens ad-mittans ligger ”på andra sidan” mittpunkten,i punkt 2. Vi avläser inte utan går ut tillvåglängdsgraderingen.

3. Förflytta dig längs ledningen tillsadmittansens konduktansdel är 1, iövre halvplanet.

Det är viktigt med övre halvplanet när vi harkortsluten stubbe. Det går även med skär-ningspunkten i undre halvplanet, men stub-ben blir längre. Håll dig till en lösningsmetod.

= + = + = +0 0

100 252 0,5

50 50L

R Xz j j j

Z Z

= +2 0,5Lz j


223

© Per Wallander

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



4

A

B

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



6

5

B

Nu kan vi avläsa sträckan A, som blir 0,179våglängder. Detta motsvarar 7,16 cm vid 500MHz och den aktuella ledningen.

λ= + =0,024 0,155 0,179A

λ λ= ⋅ =⋅= ⋅ ⋅ =

⋅

8

6

( ) 0,179

3 10 10,179 0,0716

500 102,25

A

m

4. Admittansen mot lastenNu avläser vi normerade admittansen ipunkt 3, som blir = +1 0,79Ay j .

= +1 0,79Ay j

5. Skapa den motsattasusceptansen med stubben.

Stubbens bortre ända är kortsluten. Dåligger den i punkt 6 (oändlig ledningsför-måga). Punkt 6 kan du även komma tillgenom att gå in på normerade impedan-sen 0 och omvandla till admittans (gåöver till andra sidan).

Laständan på stubben är alltså kort-sluten, punkt 6. Nu förflyttar vi oss motgeneratorn tills vi ser –j0,79 in i stubben.

Stubbens längd blir 0,144 våg-längder, vilket motsvarar 5,76 cm.

λ λ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅

8

6

3 10 1( ) 0,144 0,144 0,0576

500 102,25B m

+ 0,79j

− 0,79j− 0,79j


224


A

13.10 Öppen stubbe eller kondensator

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der m

otge

nera

torn

0,0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



3

2

1

A

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



4

1. Normera och rita cirkelBörja på vanligt sätt. Beräkna normeradeimpedansen, pricka in och rita cirkeln.

2. Övergå till admittansNu övergår vi till admittanser. Lastens ad-mittans ligger ”på andra sidan” mittpunk-ten, i punkt 2. Vi avläser inte utan går uttill våglängdsgraderingen.

3. Förflytta dig längs ledningen tillsadmittansens konduktansdel är 1,i nedre halvplanet.

Det är viktigt med nedre halvplanet när vihar öppen stubbe eller kondensator.

Avläs längden A som blir 0,369 våg-längder, vilket motsvarar 14,76 cm.

Ly

= +1Ay jb

= +2 0,5Lz j

λ= + + =0,024 0,25 0,095 0,369A

λ λ ⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =⋅

8

6

3 10 1( ) 0,369 0,369 0,1476

500 102,25A m

4. Admittansen mot lastenNu avläser vi normerade admittansen ipunkt 3, som blir = −1 0,79Ay j .

= −1 0,79Ay j

− 0,79j


225

© Per Wallander

A

C

B

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



5

B

Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



8

7

5. Skapa den motsattasusceptansen med stubben.

Stubbens bortre ända är öppen. Då lig-ger den i punkt 6 (noll ledningsförmåga).Punkt 6 kan du även komma till genomatt gå in på normerade impedansenoändligheten och omvandla till admittans(gå över till andra sidan).

Laständan på stubben är alltså öp-pen, punkt 6. Nu förflyttar vi oss mot ge-neratorn tills vi ser +j0,79 in i stubben.

Stubbens längd blir 0,106 våg-längder, vilket motsvarar 4,24 cm.

λ λ= ⋅ =⋅= ⋅ ⋅ =

⋅

8

6

( ) 0,106

3 10 10,106 0,0424

500 102,25

B

m

+ 0,79j

+ 0,79j

= − 1,26kondensatorz j

7. Anpassning med kondensatorNu skall vi välja en kondensator som harnormerade admittansen (susceptansen)+j0,79 vid denna frekvens. Men att räknamed admittanser känns osäkert. Därförövergår vi till impedans direkt i Smith-dia-grammet. Impedansen (reaktansen) harvi på motsatta sidan, där vi avläsernormerade reaktansen till − Ω1,26j . Nuåterstår bara att beräkna kapacitansen.

= ⋅ = − ⋅ = − Ω0 1,26 50 63kond kondZ z Z j j

π

π π

=⋅

= = =⋅ ⋅ ⋅ ⋅6

12

1 15,05

2 2 500 10 63

C

C

Xf C

C pFf X

= + 0,79kondensatory j


226


13.11 Anpassning i verkligheten

Var, när och hur?Anpassning av den typ som här beskrivitsanvänds i basstationer för mobiltelefoni.

Hopkoppling av antennerAntennen skall vara anpassad till sändar-kabeln. Detta utförs oftast direkt på antenn-elementet. Man ändrar längd på antenn-elementet så att antennens impedans ham-nar så nära Ω50 som möjligt på det frek-vensområde där den skall användas.

Men de flesta basstationsantenner be-står av flera antennelement. Man har alltsåbehov av att koppla ihop flera antennelementsom var och ett ser ut som Ω50 . Detta ut-förs oftast med kvartsvågstransformatorer.

Bilden visar fyra Ω50 -antenner. Förstparallellkopplas antennerna två och två.Detta ger Ω25 . Med en kvartsvågstrans-formator av Ω50 -kabel så transformerasdetta till Ω100 , och efter parallellkopplingfår vi Ω50 .

Sändartransistorn skall ”se” en vissimpedansSändartransistorn ser ut som en generatorsom i stort sett saknar inre resistans. Mentransistorn kan ha induktans i ledningarna,eller en parallellkapacitans.

När antennkabeln kommer ner till sän-daren och sändartransistorn tittar in i kabeln,då vill transistorn se en last som har mot-satt reaktans så att reaktanserna tar ut var-andra, och en resistans som ger önskad ut-effekt.

Denna ”impedansanpassning” av sändar-transistorn utförs genom att löda fast enchip-kondensator mellan ledaren och jordpå kretskortet. Genom att smälta lödtennetoch förskjuta kondensatorn fram och tillbakalängs ledningen så finjusterar man främstden reaktiva delen, som kan skilja från tran-sistor till transistor.

Ω100

Ω25

Ω50

Ω50

Ω50

Ω50

Ω50

tillantenn

jordplan (folie)

chipkondensatornflyttas till bästa läge

Ω50

ΩR

+ LjX − CjX

14 — Antenner

227

© Per Wallander

14 — AntennerI vilka riktningar går strålningen från en elek-tron som strålar?

Resonansfenomenet är viktigt. Maxwell räk-nade på en förlustfri elektrisk pendel ochupptäckte att den inte gungar i oändlighe-ten. Vid varje pendling strålar lite energi utsom elektromagnetiska vågor.

Pendeln var även grundelementet vid Hertzförsök med radiovågor, och än i dag ärmånga antenntyper i resonans.

Halvvågsdipolen har visserligen sammalängd som den resonanta halvvågs-antennen, men halvvågsdipolen har sinlängd för att minimera den reflekterade ef-fekten på antennledningen.

Sedan följer polarisation, och varför anten-ner ser ut som de gör.

Genom att beskriva hur man mäter antenn-ens strålningsdiagram så tar vi oss först ige-nom riktantenner, för att sedan hamna påantennparametrarna direktiviteten D,antennvinsten G och effektiva mottagnings-arean Ae.

Som avslutning följer några ord om skillna-der vid sändning respektive mottagning.

14 — Antenner

228


14.1 Radiostrålning från en elektron (laddning)

Elektroner som accelereras ellerretarderasElektromagnetiska vågor, radiovågor, upp-står när elektriskt laddade partiklar, vanligt-vis elektroner, ändrar hastighet eller rörelse-riktning. En praktisk känsla för vad som hän-der får man av följande modell:

Stillastående elektronRunt elektronen finns ett elektriskt fält, fält-linjer (som representerar energin i elektro-nens laddning). Dessa elektriska fältlinjerbyggs upp med ljushastigheten, varefter debara finns där, som långa rep.

Elektron som rör sig med konstanthastighetOm elektronen rör sig med konstant hastig-het (likström) så flyttas den punkt där fält-linjerna utgår. Fältlinjerna förändras för attstämma med elektronens nya läge. Föränd-ringen sprider sig utåt med ljushastigheten.Detta medför att fältlinjer (repen) som egent-ligen utgår i sidled tycks luta bakåt. Men fält-linjerna är fortfarande räta. Ingen kan på av-stånd avgöra om elektronen står still ellerrör sig med konstant hastighet. Lutningenkan åskådliggöras genom att lägga till enliten fältkomponent i sidled.

Elektron som byter rörelseriktningOm elektronen byter rörelseriktning skallfältlinjerna luta åt andra hållet. Fältlinjernafår en krök som rusar utåt med ljushastig-heten.

Låt elektronen gunga fram och tillbaka(växelström). Då kommer de sidoriktade fält-linjerna (repen) att ”slingra” sig. Den lilla fält-komponenten ”växlar” fram och tillbaka.

Elektriska fältet i radiostrålningen sombildas när elektronen ändrar rörelseriktningbär sig åt på samma sätt som den lilla fält-komponenten som knuffar fältlinjen i sidled.

RadiostrålningNär laddade partiklar ändrar hastighet ellerrörelseriktning, d.v.s. accelereras eller retar-deras, så bildas förändringar i de elektriskaoch magnetiska fälten som kan upptäckas

av en mottagarantenn. Sådana förändringarsom vi kan ta emot i en antenn kallar vi radio-strålning.

Likström ger inte radiostrålning. Däre-mot får vi radiostrålning när likströmmenstartar eller stoppar. I en dator represente-ras ettor och nollor av olika spänningsnivåer.Detta ger även olika nivå på strömmen. Endator kan sända ut kraftig störstrålning.

14 — Antenner

229

© Per Wallander

Att förhindra strålningEnda möjligheten att förhindra strålning äratt se till att de elektriska och magnetiskafälten riktas på sådant sätt att de inte sam-mansätts till strålning.

Motriktade strömmarEtt sätt att undvika radiostrålning (i fel rikt-ning) är att se till att alltid ha motriktadeströmmar som är lika starka. Det är dettaman gör i ledningen.

En ledning består av två ledare, ochäven om man transporterar växelström i led-ningen, elektroner som skakar fram och till-baka, så finns alltid i varje tvärsnitt likamånga elektroner som skakar i båda rikt-ningarna. Resultatet blir att radiostrålningenfrån elektronerna i ena ledaren motverkasav radiostrålningen från elektronerna i an-dra ledaren. Förutsättningen är dock att le-darna ligger tätt ihop.

Naturen vill slippa strålaEn enskild ledare som leder växelström kom-mer att stråla. Men naturen vill behålla sin

Motriktade strömmarmotverkar strålning

energi. Naturen vill slippa stråla om så ärmöjligt.

Om det finns metall, en plåt eller lik-nande, i närheten av ledaren som leder väx-elström, så kommer naturen att själv indu-cera den ström i plåten som behövs för attmotverka strålningen från ledaren. Det är pådetta sätt skärmning fungerar.

Strålningens riktningsdiagram• Den sidoriktade fältkomponenten (som

åstadkommer ”slingringen”) är maximali riktningar vinkelrätt mot elektronensrörelseriktning. I dessa riktningar har vistörst radiostrålning.

• Längs elektronens rörelseriktning är fält-linjerna alltid räta oavsett hur mycketelektronen gungar (repen slingrar siginte). Det finns ingen sidoriktad fält-komponent. I dessa båda riktningar fårvi ingen radiostrålning.

• Storleken på den sidoriktade fältkompo-nenten varierar med sinus för vinkeln motelektronens rörelseriktning. Elektriska fäl-tet i radiostrålningen bär sig åt på sammasätt.

14 — Antenner

230


H

E1 2

Elektrisk pendelUtgå från två metallklot. Flytta över elektro-ner från klot 1 till klot 2. Detta kan du göragenom att ansluta ett batteri till kloten, plus-polen till klot 1 och minuspolen till klot 2 ochdärefter ta bort batteriet. Nu har klot 2 fåttöverskott på elektroner. Elektronerna vill till-baka till klot 1. Elektronerna har lägesen-ergi (lika med energin i det elektriska fältetmellan kloten).

Sammanbind kloten med en metalltråd. Dårusar elektronerna över till klot 1. Men rus-ningen ger ström. Ström är rörelseenergi(energin i magnetfältet som bildas runt le-daren). Vad händer med rörelseenergin näralla elektroner kommit över?

När strömmen avtar minskar magnetfältet.Då frigörs rörelseenergi som "pressar" överytterligare elektroner till klot 1. Nu får vi i stäl-let alltför många elektroner på klot 1. Pen-deln har svängt till andra läget.

På detta sätt kommer pendeln att svängafram och tillbaka.

Vi har startat en elektrisk pendel. På leda-ren mellan kloten rusar elektroner fram ochtillbaka, växelström som ger radiostrålning.

E1 2

E1 2

H

I

14.2 Hertz experiment och resonans

I

14 — Antenner

231

© Per Wallander

Hertz experimentHertz tog två metallklot och ville flytta överelektroner från ena klotet till det andra. Föratt göra detta behövde han hög likspänning.

Den höga likspänningen fick han genom attta en "tändspole", ett batteri och en brytare(brytarspets). När ström flyter genom spolenbildas magnetfält. När brytaren öppnas slu-tar strömmen att flyta, och magnetfältet"dör". Då induceras spänning i trådvarven.(Faraday, induktionslagen). Många trådvarvger hög spänning.

Spänningen hamnar på kloten, plusspän-ning på ena och minusspänning på andraklotet. Spänningen hamnar även över "gnist-gapet". När spänningen blivit så hög att detbildas en gnista över gnistgapet, då blir detelektrisk kontakt mellan kloten. Pendeln star-tar.

Elektrisk gnista är joniserad luft. Luft-molekylerna bryts sönder till joner och friaelektroner. De fria elektronerna i gnistan rörsig på samma sätt som elektronerna i me-tall. Gnistan är inget annat än elektriskt le-dande luft.

Nu kan elektronerna rusa fram och till-baka (växelström), och det bildas radio-strålning.

Hertz radiomottagareHertz mottagare var ytterligare en pendelsom var hopvikt. När det kommer radiovågoroch pendeln börjar pendla, då bildas öm-som ström i ledaren, ömsom spänning mel-lan kulorna. Hertz tittade efter gnistor i ga-pet mellan kulorna (det var mörkt i rummet).

Hertz parabolHertz upprepade experiment som var van-liga inom optiken. Maxwell hade påstått attradiovågorna skulle bära sig åt som ljuset.• Hertz riktade radiovågorna med hjälp av

en parabol och fick längre räckvidd.

• Hertz visade att radiovågorna reflekte-ras mot en metallplåt på samma sätt somljus i en spegel.

• Hertz visade att radiovågorna böjs i ettprisma av paraffin, på samma sätt somljus i ett glasprisma.

14 — Antenner

232


Hertz hade ingen radiosändareHertz flyttade över elektroner tills det blevöverslag i gnistgapet. När det blev överslagbörjade laddningar rusa fram och tillbakamed ljushastigheten mellan antennens än-dar.

När laddningarna rusade åt ena hålletgungar elektronerna åt ett håll. När ladd-ningarna rusade tillbaka gungar elektroner-na åt andra hållet. Elektroner som gungarfram och tillbaka är växelström.

Hertz hade ingen radiosändare. Växel-strömmen som han behövde för att få radio-strålning, den bildades direkt på antennen.

Vilken frekvens fick Hertz?När laddningarna rusat fram och tillbaka harväxelströmmen genomlöpt en period. Dentid det tar för laddningarna att rusa fram ochtillbaka med ljushastigheten blev växelström-mens periodtid T. Frekvensen är antalet pe-rioder per sekund.

VåglängdDen sträcka man hinner med ljushastighetenc under periodtiden T har ett eget namn:våglängd. Var Hertz antenn en halv våglängdlång?

HalvvågsantennHertz antenn var i halvvågsresonans. Denbar sig åt som en elektrisk pendel. Menmetallkulorna medförde att antennen var för-kortad, se nästa avsnitt.

Dagens pendel sitter i radiosändarenI dag låter vi inte växelströmmen bildas påantennen. Växelströmmen bildas i radio-sändaren och matas ut på antennen. Menfortfarande alstras växelströmmen i en elek-trisk pendel, antingen en resonanskrets medspole och kondensator, eller i en ”hopvikthalvvågsantenn” som inte strålar (kvarts-vågsresonator), eller i en mekanisk pendel(styrkristall, kvartskristall).

Kraftig radiostrålning — mångaelektronerKraftig radiostrålning innebär att sätta fartpå många elektroner. Det har visat sig varalättast för radiosändaren att sätta fart påelektronerna om elektronerna själva vill

periodtid T

avstånd mellan antennens ändar L

gunga i den takt som sändaren ”knuffar”. Detär detta man uppnår på halvvågsantennen.

Två önskemål: ”Många elektroner” —”strålning i rätt riktning”Halvvågsantennen är den bästa antennennär det gäller att underlätta för sändaren attsätta fart på så många elektroner som möj-ligt, d.v.s. att på enklast möjliga sätt åstad-komma radiostrålning.

Minst lika viktigt är att radiostrålningengår i rätt riktning. Men riktningsdiagrammetkan vi påverka, inte genom att förändra halv-vågsantennen, utan genom att ”störa” halv-vågsantennen med metall i närheten, ellergenom att kombinera flera halvvågsanten-ner till en riktantenn.

⋅= 2 LT

c

= 1f

T

c är ljushastigheten i mediet runtantennen, som oftast är luft (ε ≈ 1r ).Men om antennen är plastisoleradså går viss del av fältet i plasten.Då är ljushastigheten aningen lägreän 0c .Det finns tillfällen när antenner varitutsatta för så stark isbildning, fleracm tjock is, att antennen avsevärtändrat sin resonansfrekvens.

λε ε

⋅= = ⋅ = ⋅0 01 12 2 2r r

cc TL

f

14 — Antenner

233

© Per Wallander

Som en resonanskretsEnergin på halvvågsantennen växlar mel-lan elektriskt fält och magnetfält. Elektrisktfält finns i en kondensator, magnetfält i enspole. Om man kopplar ihop kondensatornoch spolen så får man en resonanskrets därenergin pendlar på samma sätt som på halv-vågsantennen.

Fast halvvågsantennen strålar. Kom-plettera resonanskretsen med ett motstånd(som vi kallar strålningsresistansen). Deneffekt som blir till värme i motståndet mot-svarar den effekt som strålar ut från anten-nen som radiovågor. Detta är halvvågs-antennens ekvivalenta schema, en kretssom ser ut på samma sätt som halvvågs-antennen. OBS att komponentvärdena änd-ras om vi byter frekvens.

Om antennen är för kortOm antennen mekaniskt är kortare än enhalv våglängd, då kan man lägga till en litendel av det ekvivalenta schemat för att få denönskade resonansfrekvensen.• Man kan komplettera med en del av spo-

len. För att göra nytta skall spolen place-ras där antennen har sin magnetiskaenergi, i mitten.

• Eller man kan öka antennens elektriskaenergi genom att placera kondensator-bleck i antennens ändar.

Hertz antenn med metallkulor i ändarna varförkortad på detta sätt.

Om antennen är för långOm antennen är för kort sätter man en spolemitt på antennen för att antennen skall selängre ut.

Vad gör man om antennen är för lång?Då sätter man en ”negativ spole” mitt på an-tennen. Du som räknat med jω-metoden vetatt det enda som skiljer kondensatorn frånen spole är ett minustecken. Kondensatornär en negativ spole.

”Glasantennens” metallbleck som lim-mas på bilens glasruta är en sådan konden-sator.

H

H

E

E

halv våglängd

halv våglängd

halv våglängd

Om antennen är för kort användsspole ...

... eller kondensatorbleck i antennensändar.

14 — Antenner

234


14.3 Dipolantenner

Hur matas halvvågsantennen?Ett sätt kan vara med en liten transformatormitt på antennen. Strömknuffar från sända-ren knuffar på antennens laddningar. Somatt knuffa på gungan i lekparken.

Som två laddningarDet som händer på halvvågsantennen kanliknas vid två laddningar, en positiv och ennegativ, som släpps på antennens ändar.Laddningarna kommer att rusa fram och till-baka med ljushastigheten.

Först befinner sig laddningarna i ändar-na. Då har vi spänning mellan antennensändar. Potentialen blir noll mitt på antennen.

När laddningarna kommit till halvvågs-antennens mitt tar laddningarna ut varan-dra. Vi har ingen spänning, nollpotential.Däremot har vi ström. En positiv laddning åtena hållet och en negativ åt andra hålletrepresenterar båda ström åt samma håll.Max ström mitt på antennen.

På detta sätt växlar det. Spänning mel-lan ändarna, maxström åt ena hållet, om-kastad spänning mellan ändarna, maxströmåt andra hållet.

Nollpotential i symmetriplanetI ett plan mitt igenom halvvågsantennensmittpunkt kommer det bara att finnas elek-triskt fält som är riktat vinkelrätt mot planet.Detta innebär att det inte finns något somvill sätta fart på elektroner om vi lägger me-tall i symmetriplanet. Här skall antennensmatarledning dras för att vi inte skall få”antennström” (ström som strålar) påantennledningen. Bilden överst på sidan äralltså inte det optimala matningssättet.

Om antennen sitter snett över ett ledandeplan så kommer laddningar i planet att attra-hetas av laddningarna på antennen. Då fårvi inte längre nollpotential i antennens sym-metriplan.

Matematisk analys av sådana här pro-blem är komplicerade eftersom vi arbetar itre dimensioner. En fysikaliskt korrekt bildmed laddningar i kombination med praktiskaförsök och mätningar leder snabbast till ettingenjörsmässigt resultat.

14 — Antenner

235

© Per Wallander

DipolantennenOm vi ansluter en generator till en öppenledning så kommer generatorn att mata utladdningar på ledningen, ömsom positiva,ömsom negativa, laddningar som reflekte-ras på ledningen. Vi ser att den yttersta halvavåglängden av ledningen ser ut på exaktsamma sätt som halvvågsantennen. Men viser även att i varje tvårsnitt finns laddningarav olika polaritet som rör sig åt samma håll.Radiostrålningarna från ledarna tar ut var-andra.

Två poler — dipolVik isär ledningens ledare. Då får vi tvåledningsstumpar där det flyter laddningarutan att det finns motriktade laddningar.Dessutom kommer de båda benen att seidentiska ut. Strömmen rör sig åt samma håll.

Inte bara att vi får strålning från varjeledare för sig, strålningen från de båda le-darna samverkar.

En antenn där man viker isär antenn-ledningens ledare kallas dipolantenn. Bildenvisar en dipolantenn som är en hel våglängdlång (helvågsdipol). Detta är (nästan) det op-timala ut radiostrålningssynpunkt (optimumuppträder när varje antennben är λ0,64 ).

Helvågsantennen svår att mataHelvågsantennen har visserligen goda strål-ningsegenskaper, men det är svårt för sän-daren att få fart på elektronerna på antenn-benen. Därför är det ytterst sällan man serhelvågsantenner.

HalvvågsdipolenVad händer när signalen kommer fram tillantennbenen? Ledningen övergår till någotannat. En del av signalen reflekteras.

Resten av signalen fortsätter ut påantennbenen. När signalen kommer tillantennbenens ändar så reflekteras restenav signalen och går tillbaka, går tillbaka inpå ledningen. På ledningen har vi alltså tvåreflekterade signaler, en signal från antenn-ens matningspunkt och en annan frånantennens ändar. Om antennbenen görs

λ0,25 långa så kommer de båda reflexernaatt vara fasförskjutna λ0,5 och släcka utvarandra. Vi får ingen reflekterad effekt. Endavägen för effekten är att bli radiostrålning(eller värme på grund av Ohmskt motstånd

λ0,25

i antennbenen). Detta är den vanligasteantenntypen, inte för att det är den bästastrålaren, utan för att den är lättast för sän-daren att mata.

14 — Antenner

236


14.4 Polarisation

Horisontell polarisationMan säger att radiovågen är horisontal-polariserad om elektriska fältstyrkan i radio-vågen ligger horisontellt. Horisontell polari-sation får man när elektronerna skakar ihorisontell riktning. TV-sändningarna (mark-nätet) är normalt horisontalpolariserade.

Vertikal polarisationVertikal polarisation får man när elektro-nerna skakar i vertikal riktning.

Det är lättare att åstadkomma en rund-strålande antenn om den är vertikalpola-riserad. Detta är orsaken till att man använ-der vertikal polarisation för kommunikations-radio och mobiltelefoni. Det vertikala antenn-sprötet på bilen ger vertikal polarisation.

HelixantennenHelixantennen är en långtrådsantenn, tillver-kad av en tråd som är många våglängderlång, där tråden lindats till en spole med om-kretsen 1 våglängd. När elektronerna på enasidan spolen är på väg uppåt kommer deatt vara på väg uppåt även på andra sidanav spolen, en halv våglängd längre bort. Pådetta sätt samverkar alla elektroner, i spo-lens riktning.

Cirkulär polarisationStrålningen från en helixantenn har cirkulärpolarisation, som en dipolantenn som snur-rar ett varv på periodtiden T. Den cirkulärapolarisationen kan vara vänstervriden, ellerhögervriden, beroende på åt vilket hållspolen lindats.

Det intressanta med cirkulär polarisa-tion är att när radiovågen reflekteras, i t.ex.marken eller i en husvägg, då ändras polari-sationen så att den snurrar åt andra hållet.Vänstervriden blir högervriden efter reflex.Och högervriden kan inte tas emot av väns-tervriden antenn. På detta sätt undviker manreflexerna.

Denna antenn kan ses på sportarenor.Fotografen bär på TV-kameran och efterspringer teknikern med helixantennen på enpinne och försöker rikta antennen mot nå-gon mottagarantenn.

Helixantenn – cirkulär polarisation

Horisontell polarisation

Vertikal polarisation

14 — Antenner

237

© Per Wallander

14.5 Olika dipolantenner

Halvvågsdipol (dipol)Den absolut vanligaste antennen är en halvvåglängd lång och matas i mitten. Det är såsändaren vill ha det. Radiomottagaren är intelika kräsen utan klarar sig oftast hyggligtäven om antennen inte är i halvvågsreso-nans.Bilden visar en vertikalpolariserad bas-stationsantenn, t.ex. monterad på ett vatten-torn.

Förkortad dipolOm vi vill att antennen mekaniskt skall varakortare än en halv våglängd, om längre an-tenn får inte plats, då ersätter vi den sak-nade längden med mittspole eller konden-satorbleck i ändarna.

Bilden visar en förkortad dipol. För attslippa ha alltför många varv i spolen har denäven försetts med ändkapacitans. Detta görantennen mer bredbandig än om enbartspole skulle använts.

Tjocka antennben ger bredbandigantennVanligaste sättet att åstadkomma en antennsom sändaren klarar att mata över ett bre-dare frekvensområde, är att göra antenn-benen tjocka. Tekniken används från pytte-små mikrovågsantenner till jättestora kort-vågsantenner.

Ficktelefonen: Ett förkortat antennbenoch ett bredbandigt antennbenFicktelefonen är exempel på en antenn därena antennbenet är hälften av en förkortadhalvvågsdipol, medan själva ficktelefonenutgör ett tjockt antennben, hälften av enbredbandig halvvågsdipol.

Det går alldeles utmärkt att kombineratvå olika antennben på detta sätt. Man kanenkelt visa att det nästan enbart är detsmalbandiga antennbenet som bestämmerantennens resonansfrekvens och band-bredd. Och tur är detta eftersom vi bådehåller i och lägger örat emot det bredbandigaantennbenet.

Vid ”inbyggd” antenn är hela ficktelefo-nen en halvvågsantenn som matas via en”kopplingsanordning”.

14 — Antenner

238


Kvartsvågsantenn på jordplanOm ena antennbenet förkortas med kapa-citansbleck och man gör kondensatorn såstor att den ersätter hela antennbenet, dåfår vi kvartsvågsantennen på jordplan. Bil-plåten fungerar som ett stort kondensator-bleck som kraftigt förkortar ena antenn-sprötet.

14 — Antenner

239

© Per Wallander

14.6 Mätning av strålningsdiagram

SändareMottagare

E-plansdiagram

Sändare Mottagare

H-plansdiagram

Den antenn vars strålningsdiagram skallbestämmas (mätobjektet) placeras i en vrid-bar mast. På visst avstånd från masten finnsen mottagarantenn och en mottagare, kali-brerad i mottagen signalstyrka. Mätobjektetroteras och signalstyrkans variation relativtsignalstyrkan i maxriktningen, oftast omräk-nad i dB, ritas in i ett polärt diagram.

Men strålningsdiagrammet är tredimensio-nellt. Mätobjektet vrids °90 och man görännu en mätning. Två sådana projektionerger oftast en tillräckligt god beskrivning avmätobjektets strålningsegenskaper.

E-plansdiagramVid mätningen roteras mätobjektet i horison-talplanet. Om mätobjektet placerats så attdet sänder med horisontell polarisation, omelektriska fältet (E-vektorn) ligger i mät-planet, så kallas diagrammet E-plans-diagram.

H-plansdiagramNär mätobjektet vridits °90 så kommer detatt sända med vertikal polarisation. Nu lig-ger magnetfältet (H-vektorn) i mätplanet.Därav namnet H-plansdiagram.

LoberDen horisontella halvvågsdipolen har ettåtta-format strålningsdiagram. Halvvågs-dipolen har två ”lober”.

När halvvågsdipolen placeras vertikaltblir strålningsdiagrammet helt runt (i verk-ligheten får man viss inverkan av antenn-masten). Här finns inga lober, utan vi sägeratt antennen är rundstrålande.

ÖppningsvinkelFör riktantenner talar man om huvudlob ochsidolober. Ofta vill man att huvudloben skallvara så smal som möjligt, medan sidolo-berna skall vara svaga. Bilden visar någotsom skulle kunna vara en Yagi-antenn, entypisk tv-mottagningsantenn. I diagrammetser vi att sidolober/backlober är undertryckta–13 dB och att huvudlobens ”öppningsvin-kel” (vinkeln mellan –3 dB-punkterna) är °56 .

90

0

270

180

-5 dB

-10 dB

14 — Antenner

240


14.7 Riktantenner

Halvvågsdipolen har sitt åtta-formade strål-ningsdiagram. Men om vi vill ha någon an-nan form på diagrammet? Om vi vill ha kraf-tigare strålning i någon viss riktning?

Vi kan inte åstadkomma kraftigare strål-ning i någon viss riktning, vi kan bara hin-dra strålning från att gå i icke önskade rikt-ningar och hoppas att strålningen i ställetgår i den riktning vi önskar.

Stackade dipoler (kollinjär antenn)Placera två dipoler med sina strålnings-centra på avståndet A. Då kommer signa-lerna från dessa båda antenner att hamna imotfas i de riktningar där ena signalen gått

λ0,5 längre väg. I dessa riktningar går ingensignal. Den signal som skulle gått i dessariktningar hamnar i stället i huvudloben (idetta fall).

Fyra dipolerMed fyra dipoler får vi dels vinklar för varjegrupp om två antenner, avstånd A, dels vink-lar för avståndet mellan grupperna, avståndB.

På detta sätt kan man öka antalet antenneri vertikal-led och få alltmer av effekten attgå i horisontal-led. Men loben blir mer ochmer hoptryckt.

Förhållandena blir exakt desamma omdipolerna vrids till horisontell polarisation.UHF-sändarantennerna för tv består av 64

dipoler över varandra. Huvudloben är såhoptryckt att vinkeln mellan första noll-ställena är °3,5 . Man talar om ”pann-kakslob”.

A

A

B

Aα λ⋅ =sin 0,5A

α

α

λα = 0,5arcsin

A

λβ = 0,5arcsin

B

λα = 0,5arcsin

A

14 — Antenner

241

© Per Wallander

De stackade dipolerna trycker ihop strål-ningsloben, men antennen (antennsyste-met) är fortfarande rundstrålande i horison-talplanet.

Verkliga riktantenner riktar strålningeni en riktning, eller i en sektor, i horisontal-planet.

Enkel riktantennEnklaste typen av riktantenn får man om tvåhalvvågsdipoler placeras λ0,25 från varan-dra och matas med kablar där ena kabelnär λ0,25 längre.• Åt höger tar den extra gångvägen i luf-

ten och den längre kabeln ut varandra.Signalerna samverkar.

• Åt vänster har ena signalen gått förstλ0,25 längre väg i kabeln och sedan yt-

terligare λ0,25 längre väg i luften, totaltλ0,5 . I denna riktning hamnar signalerna

i motfas och tar ut varandra.

Tekniken bakom riktantenner är att utnyttjaflera strålningskällor. I vissa riktningar sam-verkar signalerna, i andra riktningar motver-kar signalerna varandra. För att åstad-komma detta krävs utrymme. Signalernamåste gå olika vägskillnad i olika riktningar.En riktantenn med viss antennvinst får nor-malt alltid en viss minsta storlek (i våg-längder).

Yagi-antennenAntennen ovan är enkel i teorin men svåratt realisera. För att lika stark signal skallstråla ut från båda dipolerna måste det gålika stor ström i de båda dipolerna.

Men dipolerna får inte bara signal vialedningarna. De är även mottagarantenneri förhållande till varandra (antennerna ”kopp-lar” till varandra). I detta fall blir det så att påena dipolen samverkar signalen från kabelnoch det som kommer genom luften. På an-dra dipolen motverkar dessa båda signalervarandra. För att strömmarna skall bli likastora måste sändareffekten delas olika.

Om ena dipolen får så stark signal ge-nom luften att den inte behöver någon sig-nal från sändaren? Då kan vi ta bort denkabeln.

Detta är Yagi-antennen. Man kombine-rar flera halvvågsantenner, men bara en av

Horisontalpolariserad Yagi-antenn

72% avsändareffekten

28% avsändareffekten

antennerna är ansluten med antennkabel tillsändaren (mottagaren). De övriga är ”an-slutna” via strålning (koppling) genom luf-ten, till det anslutna antennelementet.

ReflektorantennerDipolen kan placeras framför en plåt. Densignal som går mot plåten kommer att alstraström i plåten. Denna ström ger radiostrål-ning. Vi får alltså strålning både från halv-vågsdipolen och från plåten.

När avståndet mellan dipol och plåt ärλ0,25 samverkar de båda signalerna i rikt-

ningen rakt ut från plåten genom dipolen.

ParabolantennerNär reflektorn blir mycket stor i våglängderkommer radiovågorna att bära sig åt somljuset. Radiovågornas strå lgång motparabolen och reflexion till fokus följer opti-kens lagar.

14 — Antenner

242


Isotrop antennDen isotropa antennen strålar lika kraftigt ialla riktningar i rymden (som en ballong).Både E-plans- och H-plansdiagrammet ärhelt cirkulärt. En sådan antenn kan inte kon-strueras eftersom det skulle innebära att vimåste få elektronerna att röra sig i alla rikt-ningar samtidigt. Med den isotropa anten-nen används som en tänkt referensantenn.

Signalen — effekttäthetRadiosignalen består av elektrisk fältstyrkaE V/m och magnetisk fältstyrka H A/m. Mul-tiplicera dessa och vi får effekttäthet S W/m2, effekt per ytenhet.

Lägg en sfär (ett klot) runt antennen ochsummera effekttätheten på sfärens inneryta,så får vi totalt utstrålad effekt. Om antennenhar 100 % verkningsgrad så är detta likamed den effekt som sändaren matar in i an-tennen.

DirektivitetDirektiviteten visar hur mycket kraftigareeffekttätheten är i antennens huvudriktning,jämfört med medeleffekttätheten, d.v.s. deneffekttäthet vi skulle fått från en isotrop an-tenn. Direktiviteten beräknar vi ur antennensstrålningsdiagram.

Approximativt kan man säga att all effekt gåri en kon som är lika med antennens öpp-ningsvinkel, d.v.s. vinkeln mellan –3 dB-punkterna. Låt oss titta på det tidigare strål-ningsdiagrammet som hade °56 öppnings-vinkel.

Effekttätheten från antennen multipliceratmed den yta som bestrålas är totalt utstråladeffekt. På samma sätt är effekttätheten frånen isotrop antenn multiplicerat med sfärenshela yta lika med totalt utstrålad effekt. Urdetta kan vi beräkna antennens förmåga attrikta strålningen, antennens direktivitet.

Den bestrålade ytan blir en kalottyta.Med hjälp av formelsamling får vi att effekt-tätheten är 17 ggr högre, vilket blir 12,3 dB.

14.8 Direktivitet D

90

0

270

180

-5 dB

-10 dB

öppn

ings

vink

el

90

0

270

180

öppn

ings

vink

el

Kalott-yta

π⋅ = ⋅ 2(bestrålad yta) 4isotropS S r

π= =24

(bestrålad yta)isotrop

S rD

S

απ

α

= ⋅ = °

2(kalottytan) 4 ( sin )2

28 (halva öppningsvinkeln)

r

π

π= = =° °⋅

= ⋅ =

2

22

4 117,08

28 (sin14 )4 ( sin )2

10 log17,08 12,3

rD

r

D dB

14 — Antenner

243

© Per Wallander

Basstationsantenn för mobiltelefoniEn basstationsantenn för mobiltelefoni, 900MHz eller 1800 MHz, består oftast av ettantal strålande element i vertikalled så attstrålningsdiagrammet trycks ihop. Vi tänkeross en sådan antenn med en vertikal öpp-ningsvinkel på °10 . Ofta sänks loben (elek-trisk tiltning) för att träffa marken. Vad blirantennens direktivitet om antennen är rund-strålande?

Vi beräknar ytan på sfären som bestrålas.Det blir ett band runt sfären (sfärens om-krets) som har höjden ⋅ ⋅ °2 sin5r .

SektorantennHur hög blir direktiviteten om antennen barastrålar i en °90 bred sektor i horisontal-planet?

Från basstationen täcker man ofta treceller, tre 120-graderssektorer, med var sinradiostation. Eftersom man bara kan ha ettvisst antal samtidigt uppkopplade samtal ivarje cell så måste man ha många celler omman har många abonnenter. Att täcka treceller från samma mast är ett sätt att sparapå antalet basstationsplatser.

En antenn som har en öppningsvinkelpå °90 ger ofta optimal täckning av en 120-graderssektor.

Den yta som belyses av denna antennblir som i förra exemplet, med skillnaden attdet bestrålade ”bandet” bara sträcker sig ettkvarts varv runt sfären. Ytan blir en fjärde-del. Direktiviteten blir 4 ggr högre, vilketmotsvarar 6 dB högre direktivitet.

Parabolantenn med 2 gradersöppningsvinkelPå motsvarande sätt kan man beräknadirektiviteten för en parabolantenn för t.ex.satellit-tv, som har en öppningsvinkel på °2 .Här kan formeln med kalottytan användas:

π

π= = =° °⋅

2

22

4 113 132

1 (sin0,5 )4 ( sin )2

rD

r

= ⋅ =10 log13 132 41,2D dB

90

0

270

180

-5 dB

-10 dB

π= =24

(bestrålad yta)isotrop

S rD

S

π≈ ⋅ ⋅ ⋅ °(Bestrålad yta) (2 ) (2 sin5 )r r

ππ

= = =⋅ ⋅ ⋅ ° °

24 111,47

(2 ) (2 sin5 ) (sin5 )r

Dr r

= ⋅ =10 log11,47 10,6D dB

90

0

270

180

-5 dB

-10 dB

π°≈ ⋅ ⋅ ⋅ °°

90(Bestrålad yta) (2 ) (2 sin5 )

360r r

π

π= = =° °⋅ ⋅ ⋅ °

°

24 445,9

90 sin52 (2 sin5 )360

rD

r r

= ⋅ =10 log45,9 16,6D dB

14 — Antenner

244


14.9 Antennvinst (gain) GAntennens direktivitet är en parameter sombara tar hänsyn till den effekt som strålar utfrån antennen. Om antennen har 100 %verkningsgrad så är detta samma som deneffekt som sändaren matar in i antennen.På något sätt måste vi alltså även ta hän-syn till antennens verkningsgrad. Detta görvi genom att ange antennens antennvinst(gain).

η= ⋅LG D

ηL = resistiva förluster (loss)

Mätning av antennvinstPå en antennmätplats, se ”mätning av strål-ningsdiagram”, monteras mätobjektet, varshuvudlob riktas mot mottagarantennen. Ef-fekten från sändaren matas in i mätobjektetoch mottagen signalstyrka antecknas.

Därefter byter man ut mätobjektet moten kalibrerad referensantenn som kan varaen halvvågs dipol. Man kontrollerar att deneffekt som sändaren matar in i referens-antennen inte har förändrats, och avläsermottagen signalstyrka.

Förhållandet mellan signalstyrkorna,uttryckt i dB, är mätobjektets antennvinst re-lativt referensantennen. Till detta värde ad-deras referensantennens antennvinst rela-tivt den förlustfria isotropa antennen.

Man gör tvärt omDirektivitet, antennvinst, strålningsdiagramär oförändrade när antennen används sommottagarantenn. En viktig punkt vid nog-grann mätning av antennvinst är att över-tyga sig om att sändareffekten inte föränd-ras när man skiftar mellan mätobjekt ochreferensantenn. Därför väljer man oftast attha sändaren permanent ansluten till en an-tenn som skapar ett radiofält. Sedan mäterman mottagen signal från mätobjektet, res-pektive från referensantennen, och utförberäkningarna på samma sätt som ovan.Detta ger större mätnoggrannhet.

dBi respektive dBdAntennvinst anges inte i dB, utan i dBi. Pådetta sätt talar vi om att referensantennenär en förlustfri isotrop antenn.

Vid själva mätningen så jämför man mot enreferensantenn som inte är en isotrop an-tenn. På frekvenser under 1 GHz är det van-ligt att referensantennen är en halvvågsdipol. Den antennvinst som man får vid jäm-förelse mot en förlustfri halvvågs dipol be-tecknas med dBd, som visar att referensenvar en dipol (egentligen halvvågs dipol omman skall vara petig).

Den förlustfria halvvågsdipolen harantennvinsten 2,15 dBi. Om antennvinstenanges i dBd så skall man addera 2,15 dBför att få antennvinsten uttryckt i dBi.

[ ] [ ]= +2,15G dBi G dBd dB

Det är antennvinsten G som anges iantenndatabladet, inte direktiviteten D.Dessutom kan strålningsdiagrammetvara uppritat.

Antennvinsten G kan antingen anges• relativt en förlustfri halvvågs dipol

[dBd], eller

• relativt en förlustfri isotrop antenn[dBi].

Man omvandlar mellan dessa två sättgenom att lägga till eller dra ifrån 2,15dB.

η= ⋅LG D

14 — Antenner

245

© Per Wallander

14.10 Effektiv mottagningsarea Ae

Den signal som mottagarantennen befinnersig i är effekttäthet, effekt per ytenhet. Föratt beskriva hur mycket effekt antennenfångar upp så definierar vi antennens effek-tiva mottagningsarea, effektiva absorptions-area Ae (Effective Aperture).

Mottagningsarea och antennvinst hörihopAntennens förmåga att fokusera effektut-strålningen i en viss riktning motsvaras avstörre mottagningsarea för signaler somkommer från den riktningen. Mottagnings-arean är alltså inte konstant utan varierarmed riktningen, helt proportionellt motantennvinsten.

λπ

= ⋅20

4eA G

Halvvågsantennens mottagningsareaEn förlustfri halvvågsdipol eller halvvågsan-tenn har en antennvinst som är 2,15 dBi.Översta bilden visar mottagningsarean försignaler som kommer in mot antennen imaxriktningen.

Parabolantennens mottagningsareaParabolantennen är intressant därför att den”fångar” upp den signal som kommer inomdess yta. Men när signalen skall tas emotav den antenn som sitter i parabolens fo-kus, så måste den antennen ha ett strål-ningsdiagram som täcker parabolytan, meninte mer. Detta kan inte realiseras. De yttredelarna av parabolen kan inte utnyttjas fulltut. Förhållandet mellan ”effektiva” ytan ochfysiska ytan kallas aperturverkningsgradηapertur . Detta är ingen effektförlust utan baraen omräkningsfaktor mellan fysiska ytan ochen tänkt yta utnyttjad till 100 %.

Men självklart finns även resistiva för-luster (uppvärmning) ηL som måste med iberäkningen.

Ett realistiskt värde på η η⋅L apertur är un-gefär 0,5.

Ur detta kan antennvinsten härledassom funktion av parabolens diameter. Enparabol med 1 m diameter får antennvinsten39 dBi vid 12 GHz.

λ λπ πλ λ λπ

= ⋅ = ⋅ =

= ⋅ ≈ ⋅

2,152 20 010

20 0 0

(dipol) 104 4

1,644 2 4

eA G

λ0

4

λ0

2

Halvvågsantennens mottagningsarea

d

π=2

(fysisk yta)4d

Y

η η≈ ⋅ ⋅(parabol)e L aperturA Y

λππ

≈ ⋅ ≈ ⋅220(parabol) 0,5

4 4e

dA G

πλ

≈ ⋅

2

0

0,5d

G

π ≈ ⋅ =

21

0,5 78960,025

G

= ⋅ =10 7896 39G log dBi

d = 1 m, f = 12 GHz:

14 — Antenner

246


14.11 Mottagarantenner

Jag har mest talat om sändarantenner. Vadskiljer mottagarantenner från sändar-antenner?

Samma strålningsdiagram ochantennvinstAntennen får exakt samma strålnings-diagram oberoende av om den används försändning eller för mottagning. Därav följeratt den även har samma antennvinst i bådafallen.

Samma impedansAntennens inre impedans, sådan den upp-levs av sändaren, och av mottagaren, ärexakt densamma i båda fallen.

Inte samma bandbreddSändaren är en spänningsgenerator medextremt låg inre impedans som ansluts tillantennimpedansen. Detta ger en resonans-krets där Q-värdet, bandbredden, enbartbestäms av antennens strålnings- ochförlustresistans.

Radiomottagaren absorberar den mot-tagna effekten. Radiomottagaren ser ut somett motstånd på ungefär Ω50 . Därför får vivid mottagning en resonanskrets som be-lastas med högre resistans, vilket ger lägreQ-värde, större bandbredd.

Om antennens strålningsresistans avvikerfrån det nominella, t.ex. Ω50 , så får vi enrelativt kraftig förändring av den utstråladeeffekten vid sändning.

Vid mottagning kommer effekten somgår till radiomottagaren bara att ändras iringa grad för samma förändring av anten-nens strålningsresistans.

OBS att detta resonemang är grovt för-enklat eftersom transformation i antenn-kabeln tillkommer. Det förändrar dock ingeti princip.

Varför fungerar Yagi-antennen bra sommottagarantenn över större delen av UHF-TV-bandet, medan den samtidigt är extremtsmalbandig när den används som sändar-antenn? Jo, vid mottagning accepterar vistörre ”missanpassning” därför att det inte

inverkar lika kraftigt på effektöverföringen tillmottagaren.

En annan orsak är att vi vid TV-mottag-ning inte alltid är ute efter så kraftig motta-gen signal. Vi kan acceptera att tappa sig-nal på grund av missanpassning, därför attvi först och främst är ute efter ett smaltriktningsdiagram för att undertrycka reflexer,slippa skuggbilder.

Verkningsgraden inte alltid så viktig vidmottagningEn sändarantenn bör ha hög verkningsgrad.Effekten skall bli radiovågor, inte värme iantennen (ohmskt motstånd i antenn-ledaren).

Vid mottagning är signal/stör-förhållan-det viktigt, inte signalens absolutvärde. Omstörningarna kommer in via antennen med-för låg verkningsgrad att signal och störningdämpas lika mycket. Signal/stör-förhållandetär oförändrat.

Exempel på en god mottagarantennmed extremt låg verkningsgrad är ferrit-antennen för mellanvågsmottagning (trans-istorradio för LF- och MF-banden).

Sändare Sändarantenn

Radiomottagaren

I antennenmottagen(inducerad)spänning

Vid mottagning ökar resistansen ikretsen, vilket ger lägre Q-värde,större bandbredd.

15 — Radiokommunikation

247

© Per Wallander

15 — RadiokommunikationSändareffekten sprids som ljuset. Att be-räkna hur mycket ljus som infaller på en vissyta är inte speciellt komplicerat, så längesom det inte finns hinder i vägen.

Besvärligt blir det först när vi inte har fri siktmellan ljuskällan och mottagningsarean.

Vid beskrivning av radiosystem förekommerbegreppen EIRP respektive ERP.

Radiokommunikation består av en massa”vinster” och ”förluster”. Vi ställer upp enlänkbudget.

Antennen fångar inte bara upp radiosignalerfrån radiosändare, utan även radiobrus fråndiverse bruskällor.


248


15.1 Radiosändaren

SP

η= ⋅S LS SG D

r S

Radiosändarens uppgiftRadiosändaren lämnar effekten SP sommatas in i antennen. Antennen skapar radio-signal som på avståndet r meter ger effekt-tätheten S W/m2.

η

======

sändareffekt till sändarantennen

utstrålad effekt från sändarantennen

sändarantennens antennvinst

sändarantennens direktivitet

sändarantennens verkningsgrad

avstånd till mottagaran

S

ut

S

S

LS

P

P

G

D

r

=tennen

effekttäthet vid mottagarantennenS

1. Om antennen vore isotropOm sändarantennen vore isotrop så skulleden utstrålade effekten utP sprida sig likfor-migt åt alla håll och fördela sig på ytan aven sfär med radien lika med r.

2. Sändarantennen har direktivitetSändarantennen sprider inte effekten likfor-migt utan en större del av den utstråladeeffekten går i huvudloben. Hur mycket kraf-tigare denna signal är bestäms av antenn-ens direktivitet, riktverkan. Här beräknar viden verkliga effekttätheten vid mottagar-antennen.

3. Vi känner inte den utstråladeeffekten

Normalt är det sändareffekten SP vi känner.Hur stor del av denna som strålar ut bestämsav antennens verkningsgrad ηLS .

4. Men vi känner inte verkningsgraden?Det gör inget. Vi känner oftast inte SD hel-ler utan det är η= ⋅S LS SG D vi känner.

Det är med dessa data vi utförberäkningarVi ser att alla uppgifter hänger ihop. Men dedata vi känner vid beräkning av en radioför-bindelse är vanligtvis sändarens uteffekt SPoch sändarantennens antennvinst SG ut-tryckt i dBi samt naturligtvis avståndet r.

utP

π= 2

0 2W/m

4utP

Sr

=0 effekttäthet från isotrop antennS

utPr

SD

π⋅= 2

2W/m

4ut SP D

Sr

r

SD

SP

η= ⋅ut LS SP P

ηπ

⋅ ⋅= 22

W/m4

S LS SP DS

r

rSP

η= ⋅ut LS SP P

SG[ ]

π⋅

= 22

ggrW/m

4S SP G

Sr

[ ]

π⋅=

dBi

102

2

10W/m

4

SG

SPS

r

1.

2.

3.

4.


249

© Per Wallander

M

15.2 Radiomottagaren

====

effekt som matas till mottagaren

mottagarantennens antennvinst

antennens mottagningsarea

effekttäthet från sändarantennen

m

m

e

P

G

A

S

2 W/mS

2 meAmG

mP

Från radiosändarantennen kommer effekt-täthet. Vår mottagarantenn har en vissmottagningsarea för signaler som kommerfrån den riktningen. Det är bara att beräknaden mottagna effekten.

= ⋅m eP S A

Normalt känner vi inte antennens mottag-ningsarea utan dess antennvinst.

λπ

= ⋅20

4e mA G

Detta ger:

λπ

= ⋅ ⋅20

4m mP S G

Men antennvinst uttrycks i dBi:

[ ] [ ]λ

π π= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

2 20 010 10

210 10

4 4

m mG dBi G dBi

m

cP S S

f

Exempel:En basstation på 1800 MHz sänder med 5W och har en sändarantenn med antenn-vinsten 7 dBi. Du befinner dig högt och frittpå 2 km avstånd och har fri sikt till bassta-tionen. Din ficktelefon har antennvinsten –6dBi (dålig verkningsgrad hos inbyggd an-tenn). Beräkna mottagen effekt uttryckt idBm. Mottagarens känslighetsgräns är –100dBm. Räcker signalen?

Först beräknar vi effekttätheten. Det är baraatt sätta in siffervärdena.

Därefter beräknar vi den mottagna effekten.

Sedan omvandlar vi effekten från W till mWgenom att multiplicera med 1000, och dettaomvandlar vi till dB.

[ ]

π

π

−−

− −

−

= ⋅ ⋅ =⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ == ⋅

2010

2

6 166 10

2 18

6 2

10

104

9 100,5 10 10

4 1,8 10

0,5 10 0,25 0,22 10

2,75 10

mG dBi

m

cP S

f

W

[ ] −= ⋅ ⋅ ⋅ =

= −

1010 log(2,75 10 1000)

65,6mP dBm

dBm

0 dBm

-20 dBm

-65 dBm

-100 dBm

–65,6 dBm är enstarkare signal än–100 dBm.Signalstyrkan räcker.

[ ] [ ]

π π

π−

⋅ ⋅= =

⋅ = ⋅

dBi 7 dBi

10 10

2 2

6 22

10 5 10=

4 4 20005 5,01

= 0,5 10 W/m4 2000

SG

SPS

r


250


36 dBW37 dBW

38 dBW39

40

15.3 EIRP

SP

SG

= ⋅S SEIRP P G

Effektivt isotropt utstrålad effekt EIRPVad karakteriserar sändarstationen? Jo,sändareffekten och antennvinsten. Därförmultiplicerar man ofta ihop dessa båda ochanger sändarstationens EIRP (EffectiveIsotropic Radiated Power), som alternativ tillsändareffekt och antennvinst.

Bilden visar täckningskartan för en tv-satel-lit på 12 GHz. Satellitantennens huvudlobär riktad mitt i Europa. Ju längre från dennamittpunkt man befinner sig, desto längre nerpå antennloben hamnar man, och antenn-vinsten sjunker.

På kartan finns markerat den EIRP somstrålas ut mot olika områden. Mot stock-holmsområdet får man 38 dBW, vilket ärsändareffekten multiplicerat med antenn-vinsten i den riktningen. Vad blir effekt-tätheten om vi sätter avståndet till 40 000km?

π π

−

= = =⋅

= = ⋅⋅

3810

2 7 2

13 214

104 4 (4 10 )

63103,14 10 W/m

201 10

EIRPS

r

π π⋅= = 2

2 2W/m

4 4S SP G EIRP

Sr r


251

© Per Wallander

15.4 ERP och V/m

π

π

⋅= ⋅ = ⋅ =

⋅ ⋅= =

⋅= =

⋅=

2

2,1510

2

2

(från dipol) 377 3774

377 104

49,2

7V/m

S S

S

S

S

P GE S

r

Pr

Pr

P

r

I radions barndom när man höll till på lång-våg, mellanvåg och kortvåg, så var det van-ligast att beskriva radiosignalen med denelektriska fältstyrkan E. Eftersom förhållan-det mellan E och H är Ω377 så kan vi en-kelt omvandla effekttäthet till fältstyrka.

Halvvågsdipolen har antennvinsten 2,15 dBi.Om vi utnyttjar detta får vi ett uttryck för fält-styrkan från en halvvågsdipol:

⋅=

7V/mSP

Er

ERP (Effective Radiated Power)För tv-rundradiosändare var det tidigarevanligt att man uppgav inte sändareffekten,utan sändareffekten multiplicerat medantennvinsten relativt dipol. På detta sätt fickman den sändareffekt som skulle matas tillden halvvågsdipol för att ge samma signal-styrka som den verkliga sändaren.

UHF-tv-sändarna har en ERP på 1 MW(Effective Radiated Power, från dipol).Sändareffekten är 40 kW. Man har –3 dBdämpning i antennkabeln vilket ger 20 kWvid antennen. Själva antennen har 17 dBdantennvinst, d.v.s. 50 ggr relativt en halv-vågsdipol.

Det är enkelt att omvandla från ERP tillEIRPEIRP-värdet är 2,15 dB högre, vilket mot-svarar 1,64 ggr när man räknar med effekt.

⋅ =1,64ERP EIRP

Vi ser hur förvillande det blir med två olikareferensantenner, dels den isotropa anten-nen, dels halvvågsdipolen. Som tur är hål-ler man på att enas om att alltid referera tillden isotropa antennen.

= Ω ⇒ = = × ⇒ =

2

377377

377

E EH

HE

S E H S

(Härledningen är lite ”halvslarvig”eftersom E och H är vektorer som ärvinkelräta mot varandra).


252


15.5 Länkbudget

πλπ

⋅ = = ⋅ ⋅

2

20

4

4

S S

m m

P GS

r

P S G

λπ π π π π

π π

π

⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =⋅ ⋅ ⋅ ⋅

⋅= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅⋅

2 2 20 0 0

2 2 2 2 2 2

2 8 20

2 2 6 2 12 2 18 2 2

8 2

2 18 2 2

4 4 4 4 (4 )

(3 10 ) 1 1(4 ) 10 10 (4 ) 10

(3 10 ) 1 1 1(4 ) 10 17

S S S Sm m m S S m

S S m S S mkm MHz MHz km

S S m S S mMHz km

P G P G c cP G G P G G

r r f r f

cP G G P G G

r f f r

P G G P G Gf r

⋅ ⋅2 2

1 155 MHz kmf r

= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅2 2

1 1 11755m S S m

MHz km

P P G Gf r

⋅ = ⋅ + ⋅ + ⋅ − ⋅ − ⋅ − ⋅2 210 log 10 log 10 log 10 log 10 log1755 10 log 10 logm S S m MHz kmP P G G f r

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅

2 2

1 1 110 log 10 log

1755m S S mMHz km

P P G Gf r

[ ] [ ] [ ] [ ]= + + − − ⋅ − ⋅32,44 20 log 20 logm S S m MHz kmP dBW P dBW G dBi G dBi f r

[ ] [ ] [ ] [ ]= + + − − ⋅ − ⋅32,44 20 log 20 logm S S m MHz kmP dBm P dBm G dBi G dBi f r

Lite decibel-räkningVi utgår från uttrycken för effekttäthet ochmottagen effekt, samt löser ut mottagen ef-fekt som funktion av sändareffekten, antenn-vinsterna, avståndet och frekvensen.

Sedan är det bara att räkna på. Tänkpå att detta är mottagen effekt när det är frisikt mellan antennerna.

λπ π π π⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

⋅

2 20 0

2 2 24 4 4 4S S S S

m m m

P G P G cP G G

r r f

Vi stoppar in avståndet i km ochfrekvensen i MHz och får detta uttryck:

Därefter omvandlar vi till decibeloch får följande uttryck:

Vi känner igen definitionerna på effekternai dBW och antennvinsterna i dBi, det somstår i databladen.

Det går precis lika bra att räkna i dBm,men det skall vara samma i bådesändareffekten och mottagareffekten.


253

© Per Wallander

Vi prövar med det tidigare exemplet:En basstation på 1800 MHz sänder med 5W och har en sändarantenn med antenn-vinsten 7 dBi. Du befinner dig högt och frittpå 2 km avstånd och har fri sikt till bassta-tionen. Din ficktelefon har antennvinsten –6dBi (dålig verkningsgrad hos inbyggd an-tenn). Beräkna mottagen effekt uttryckt idBm. Mottagarens känslighetsgräns är –100dBm. Räcker signalen?

[ ] [ ]= ⋅ =10 log5000 37SP dBm dBm

[ ] [ ] [ ] [ ]

[ ]

= + + − − ⋅ − ⋅ =

= ⋅ + − − − ⋅ − ⋅ == + − − − − = −

32,44 20 log 20 log

10 log5000 7 6 32,44 20 log1800 20 log2

37 7 6 32,44 65,1 6 65,54

m S S m MHz kmP dBm P dBm G dBi G dBi f r

dBm

LänkbudgetVi kan summera de olika bidragen, som i en”budget”:

1. Sändareffekten

[ ] [ ]= ⋅ =10 log5000 37SP dBm dBm

2. Sändarantennens antennvinst

[ ] = +7SG dBi dBi

3. Dämpningen mellan isotropa anten-ner

[ ][ ]

= − − ⋅ − ⋅ =

= − − − = −

32,44 20 log 20 log

32,44 65,1 6 103,54

S MHz kmL dB f r

dB

4. Mottagarantennens antennvinst

[ ] = −6mG dBi dBi

Summera, så får vi Pm

-10 dBm-40 dBW

-30 dBm-60 dBW

-50 dBm-80 dBW

-70 dBm-100 dBW

-90 dBm-120 dBW

-110 dBm-140 dBW

10 dBm-20 dBW

30 dBm0 dBW

50 dBm20 dBW

+7 dBi

-6 dBi

+37 dBm

-103,54 dB

-65,54 dBm


254


Verklig länkbudgetEn verklig länkbudget kan bestå av mångafler poster. Vi skall titta på posterna i länk-budgeten här ovan.

1. Sändarens uteffektDetta är ungefär lika med framåtgående ef-fekt vid sändarutgången, om antennen harlågt SVF.

2. Antennkabelns dämpningAntennen kan sitta högt i en mast. Då be-hövs lång antennkabel. Dämpningen beräk-nas genom att utgå från kabeltillverkarensvärde på dämpning/meter, multiplicerat medkabellängden.

3. Sändarantennens antennvinstDetta värde finns i antennens datablad. Detgäller bara att se upp så att den riktning därantennen har den uppgivna antennvinstenverkligen sammanfaller med den riktning därvi använder antennen.

4. Sträckdämpning mellan isotropaantenner

Fri sikt, ”fritt rum”, innebär inte bara fri siktmellan antennerna, utan att en volym, för-sta Fresnell-zonen, skall vara fri från stö-rande objekt.

Länkbudget:

1. Sändarens uteffekt: ........................................... +____2. Antennkabelns dämpning: ................................. –____3. Sändarantennens antennvinst: .......................... +____4. Sträckdämpning mellan isotropa antenner: ....... –____5. Dämpning i atmosfärgaser: ............................... –____6. Dämpning vid regn:............................................ –____7. Dämpning om sikten är skymd av träd:.............. –____8. Dämpning vid reflexion mot husväggar: ............ –____9. Fädningsmarginal (korta reflexer): ..................... –____10. Mottagarantennens antennvinst: ....................... +____11. Antennkabelns dämpning: ................................. –____

Summa effekt till radiomottagaren: ............................. ____

[dBW][dB][dBi][dB][dB][dB][dB][dB][dB][dBi][dB]

[dBW]

[ ] = − − ⋅ − ⋅32,44 20 log 20 logS MHz kmL dB f r

Sträckdämpning vid ”fritt rum”

Verklig sändareffekt till antennen:Framåtgående effekt vid sändarenmultiplicerat med kabeldämpningen,minusreflekterad effekt vid sändarendividerat med kabeldämpningen.


255

© Per Wallander

När det inte är fri sikt så utför man ofta nå-gon typ av fältstyrkemätning för att utrönahur signalen utbreder sig. Diagrammet vi-sar en sådan mätning där fritt-rum-dämpningen finns inritad som jämförelse.

Medan signalen vid fritt rum avtar med−2r så kan man approximativt säga att i verk-

lig miljö så avtar signalen med −3,5r eller −4r ,d.v.s. vi får


eller


5. Dämpning i atmosfärgaserVattenånga ger ett litet dämpningstillskott vid23 GHz, och syreatomerna ger ett kraftigtdämpningstillskott vid 60 GHz.

6. Dämpning vid regnVid frekvenser över ca 10 GHz kan man fåkraftiga dämpningstillskott vid häftiga regn-väder.

7. Dämpning om sikten är skymd avträd

Vegetationsdämpning är ett stort problem vid1800 MHz.

8. Dämpning vid reflexion mot hus-väggar

I stadsbebyggelse tar sig signalen fram ge-nom reflexion mot husväggar. Hög frekvens(1800 MHz) reflekteras lättare än låg frek-vens (450 MHz).

9. FädningsmarginalVid flervägsutbredning hamnar signalernaömsom i medfas och blir stark, ömsom imotfas och blir svag, som ståendevågor påen ledning. Även i verkligheten kan man fåen halv våglängd mellan minpunkter. Dettakan hanteras om man sänder med 10 – 20dB högre signal (fädningsmarginal) än vadsom egentligen skulle behövts.

10 – 11. Se punkt 2 – 3.

1 m 10 m 100 m 1 km

-20

-40

-60

-80

-100

-120

-140

-160

"fritt rum"-utbredning

utbredning istadsmiljö

Avstånd till sändaren 900 MHz

40

30

dB/100 m

20

10

0

Dämpning i skog

Vertikalpolarisation

Horisontellpolarisation

30 MHz 100 500 1 2 GHz


256


15.6 Brus

Hittills har vi studerat storleken på den mot-tagna effekten mP som härrör från den öns-kade sändaren. Men mottagarantennen tarinte bara emot den önskade signalen.Mottagarantennen fångar även upp ickeönskade signaler och brus. Störningar frånicke önskade sändare kan undvikas genomatt välja en störningsfri frekvenskanal, menbruset kommer vi inte ifrån. Det finns över-allt.

Om bruset kommer från alla riktningar?Vi tänker oss att bruset strålar in mot anten-nen, lika starkt från alla riktningar. Vad inne-bär detta?

Om vi tänker oss en isotrop mottagar-antenn. Den tar emot bruseffekt, och effekt-tätheten i respektive riktning multiplicerasmed mottagararean som ju beror på antenn-vinsten i den riktningen. Det totala mottagnaantennbruset aN består i detta fall av likastarka bidrag från alla riktningar.

Nu byter vi antenn och väljer en riktantennmed hög antennvinst. Även denna antennkommer att få ett mottaget antennbrus aNmed bidrag från alla riktningar. Men bidra-gen varierar med riktningen. Det brus somfaller in i huvudloben ger ett stort bidrag till

aN , medan brus från andra riktningar barager ett litet bidrag.

Hur stort blir det totala bruset? Lustigtnog blir bruseffekten exakt lika stor i bådafallen. Det som skiljer är att den rundstrål-ande antennen tar emot brus från alla rikt-ningar, medan riktantennen fångar upp mestbrus i huvudloben men mindre från andrariktningar. Men totala bruseffekten blir den-samma.

Självklart måste det bli på detta sätt.Det är ju så här sändareffekten sprids. Likai alla riktningar, eller mer i en riktning. Mentotala effekten är densamma.

Antennens verkningsgrad inverkarBruseffekten är inte exakt lika för alla an-tenner. Totala antennbruset påverkas avmottagarantennens verkningsgrad ηLm .Detta leder till att signal/brusförhållandet blirproportionellt mot mottagarantennens

λ ληπ π

= ⋅ = ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 20 0

4 4m e m Lm mP S A G S D

η= ⋅ ⋅ ⋅a a LmN k T B

η= + ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ + ⋅( )a eq a Lm eqN N k T B k T T B

ληπ

η

⋅ ⋅ ⋅= =

⋅ ⋅ + ⋅

20

4( )

Lm mm

a Lm eq

S DS PN N k T T B

ληπ

η

λπ

⋅ ⋅= ⋅ ≈

⋅ ⋅ + ⋅

⋅≈ ⋅

⋅ ⋅

20

20

4( )

4

Lm

ma Lm eq

ma

SSD

N k T T B

SD

k T B

direktivitet, om antennbruset är högt. Det göralltså inget om mottagarantennen har lågverkningsgrad, bara den har hög direktivitet.Men detta gäller alltså bara om bruset ärstarkt och kommer från alla riktningar.

Isotrop antenntar emot brusfrån alla håll.

Riktantenn tar emot mer brus i huvud-loben, men totala bruseffekten ärdensamma om antennerna har sammaverkningsgrad.


257

© Per Wallander

10 20 100 200 1000 2000 10 000 MHz

60

40

50

30

20

10

0

-10

Galaktiskt brus

Man-made noise förort

Man-made noise tätort

Atm

osfärbrus

Bru

stem

pera

tur

i dB

rel

ativ

t 290

K

Typiskt mottagarbrus

3.108

3.106

3.107

3.105

3.104

3000

300

30

Bru

stem

pera

tur

(K)

Antennbrustemperaturen TaDiagrammet här ovan visar på vänstra ax-eln brusnivån i dB relativt T0 (290 K), ochpå högra axeln brustemperaturen i Kelvin.Som synes är bruset avsevärt högre än 290K, åtminstone på frekvenser under 200 MHz.

AtmosfärbrusAtmosfärbrus är benämningen på brusstör-ningar som uppstår vid blixturladdningar.Även om åskväder är vanligast under regn-perioden vid ekvatorn, så sprider sig dessablixtstörningar runt hela jorden.

Galaktiskt brusSom framgår av namnet härrör galaktisktbrus från andra källor än jorden och dessatmosfär. Största bruskällan är solen, menen hel del brus kommer även från stjärnor,främst från Vintergatan.

Man-made radio noiseBrus som alstras av elektrisk utrustning gårunder benämningen ”man-made noise”.Elektriska strömbrytare som startar ellerstoppar ström ger en störningsspik. Över-allt där det uppstår gnistor, där uppstår ävenradiostörningar. Häftig inbromsning avströmmen tillsammans med induktansen iledningen ger upphov till hög spänning, somger gnista. Men strömmens häftiga inbroms-ning ger även radiostrålning. Både radios-

törningen och gnistan beror alltså på ström-mens häftiga inbromsning.

Inne i tätort är brusnivån oftast mycket hög,kanske mer än 10 dB över mottagarensegetbrus vid tv-nottagning. Men detta brusdämpas både av tv-antennens verknings-grad och av dämpningen i antennkabeln. Detantennbrus som kommer fram till tv-motta-garen ligger därför oftast på samma nivåsom tv-mottagarens egetbrus eqT .


258


300

200

100

50

20

10

5

2

0 5 10 15 20 25 30 GHz

Sky

-noi

se te

mpe

ratu

re (

K)

0o

5o

10o

20o

30o

60o

90o

Elevation

Brus vid satellitmottagningNär man riktar en parabolantenn upp mothimlen så kommer antennen att huvudsak-ligen fånga upp galaktiskt brus. Dock finnsvid 23 GHz en brustopp som beror på dämp-ning i atmosfären (vattenånga).

När signalen passerar en dämpsats såfår man ett brustillskott vars storlek berorpå dämpningen och dämparens tempera-tur.

Av bilden ser vi att bruset blir lägst närparabolen riktas rakt upp. Orsaken är att sig-nalen går kortaste vägen genom atmosfä-ren. Ju längre väg genom atmosfären, de-sto högre dämpning, och desto högre brus-tillskott.

Normalt tillkommer ytterligare brus som inteframgår av denna bild. Även en parabolan-tenn har sidolober och backlober även omde är svaga. Om dessa lober riktas mot mar-ken så kommer de att ”se” 290 K och ge ettbrustillskott.

Att rikta antennloben genom varma rök-gaser från en skorsten ger också brustill-skott.

Parabolantennen på satelliten riktar hela sinhuvudlob mot jorden. Därför kommer satellit-mottagaren att se en antenntemperatur på290 K.

16 — Optokommunikation

259

© Per Wallander

16 — OptokommunikationFörst tittar vi på tre olika typer av optofibrer,och dämpningen inom olika våglängdsom-råden.

Sedan kommer vi in på kromatisk disper-sion och moddispersion, fenomen som be-gränsar symbolhastigheten på optofibern.

Som avslutning sägs några ord om WDM,våglängdsmultiplexering, den teknik som idag införs på optofibrer som redan liggernergrävda.

Optofibern är det mest fantastiska som häntinom telekommunikation de senaste 100åren. I början av 1980-talet var det ofta spärrnär man kvällstid försökte ringa rikssamtal.

De långdistansförbindelser som fanns,koaxialkabel med förstärkare på 1,5 km av-stånd, och radiolänkar där ytterligare frek-vensband inte fanns att tillgå, var alla över-belastade. Och detta var innan Internet hadebörjat.

Så kom optofibern. I stället för att gräva neren koaxkabel och installera förstärkare på1,5 km avstånd, en koaxialkabel som kundetransportera 565 Mbit/s, så rullade man uten kabel med 12, eller 24, eller 48 eller 96optofibrer, 5 mil lång, och blåste på med enblinkande lampa, i hastigheter på 2,5 Gbit/spå varje fiber. I dag lyser vi med 32 lampor iolika färger på varje optofiber, och varjelampa blinkar i 2,5 Gbit/s.

Utan optofibrer så skulle vi inte haftnågot Internet.


260


Mantel

KärnaInfalls-vinkel

Brytnings-vinkel

16.1 Tre typer av optofibrer

Optofiberns uppbyggnadOptofiberns kärna (core) omges av en man-tel (cladding) för att man skall få en välde-finierad övergång i brytningsindex från kär-nan till omgivningen. Utanför manteln finnsett eller flera skyddande plastlager (buffer).

Kärnan och manteln är normalt av glas,men det finns även plastfiber för korta av-stånd.

Snells lagSnells lag från optiken visar hur ljusstrålenbär sig åt. Kärnan (core) har något högrebrytningsindex (n1 = 1,50) än omgivandemantel (cladding) (n2 = 1,485). Därför blirbrytningsvinkeln större än infallsvinkeln.

Vid någon viss infallsvinkel blir bryt-ningsvinkeln 90 grader. För alla infallsvink-lar som är större får vi totalreflexion. Det ärdessa ljusstrålar som utbreder sig i fibern.

Kärnans diameterKärnan kan ha stor diameter, 50 – 100 –1000 µm, eller liten diameter, mindre än 10µm.• Om kärnans diameter är stor är det lätt

att få in ljuskällans ljus i fibern. Man kla-rar sig med billig ljuskälla, LED (LightEmitting Diode).

• Om kärnans diameter är liten går baraen mindre del av ljusenergin från en LEDin i fibern. Fibrer med liten kärndiameterkräver dyra laserdioder som ljuskälla.

• Om kärnans diameter är liten fördelashela ljusenergin på litet tvärsnitt. Dettager hög effekttäthet i glaset som kan ledatill olinearitet och intermodulation.

Mod-dispersionOm kärnans diameter är stor kommer ljus-strålarna att kunna gå olika vägar, gå i olikamoder, gå olika lång väg genom fibern. Ljus-strålarna kommer inte fram samtidigt. Ljus-pulsen blir breddad på grund av att strålarnagår olika väg, något som kallas moddisper-sion.

Glass Cladding

Glass Core

Primary Buffer

Secondary Buffer

9125

Core Core

CladdingCladding

50125

100140

Mantel

Kärna

Ljusstrålar inom denna vinkel fortsätter i kärnan

Mantel

2φ

1φ 1 1rn ε=

2 2rn ε=

1 1 2 2sin sinn nφ φ⋅ = ⋅

Lys-diod

Detta ljus fortsätter in i kärnan


261

© Per Wallander

Cladding

9125

Mod-dispersion

Core

Cladding

60125 Ljuspuls in Ljuspuls ut

Core

Cladding

60125

Mod-dispersion

SingelmodfiberOm kärnan är extremt tunn kan ljusstrålarna bara gå en väg och vislipper uppdelning på flera ljusstrålar, moddispersion, och får baraminimal breddning av ljuspulsen. Typisk bandbredd p.g.a. mod-dispersion är 100 GHz-km.

StegindexfiberDenna fiber har en skarp gräns mellan kärnan och manteln. Fibernkarakteriseras av stor moddispersion, d.v.s. ljuspulsen blir kraftigtbreddad även vid korta fiberlängder. Bandbredden p.g.a. mod-dispersion är 20 – 30 MHz-km.

GradientindexfiberDenna fiber har en flytande gräns mellan kärnan och manteln, vilketleder till att ljuspulserna böjs av mjukt i stället för en skarp reflexion.Fibern har betydligt mindre moddispersion trots samma kärndiameter.De bästa multimodfibrerna av gradientindextyp uppvisar en bandbreddp.g.a. moddispersion på 1 GHz-km.


262


Vid kommunikation på optokabel talar manom signalens våglängd, inte om dess frek-vens. Men att använda våglängd är egentli-gen fel. Frekvensen är konstant, men våg-längden förändras när ljuset kommer in i

ELF Extremely Low Frequency

VLF Very Low Frequency

LF Low Frequency

MF Medium Frequency

HF Higt Frequency

VHF Very High Frequency

UHF Ultra High Frequency

SHF Super High Frequency

EHF Extremely High Frequency

THF Tremendously High Frequency

30 Hz

300 Hz

3 kHz

30 kHz

300 kHz

3 MHz

30 MHz

300 MHz

3 GHz

30 GHz

300 GHz

3000 GHz

3x1013 Hz

3x1014 Hz

3x1015 Hz

3x1016 Hz

3x1017 Hz

3x1018 Hz

3x1019 Hz

3x1020 Hz

107 m

106 m

105 m

104 m

103 m

100 m

10 m

1 m

10 cm

1 cm

1 mm

106 Å 100 µm

105 Å 10 µm

104 Å 1000 nm

103 Å 100 nm

100 Å

10 Å

1 Å

0,1 Å

Infrarött (värmestrålning)

Ultra-violett

Synligt ljusOptokommunikation

Gamma-strålning

Mjukröntgen

Hård röntgen

Frekvensområdets benämning Frekvens Våglängd

glasfibern ( rε ). Överallt där vi i sambandmed optokommunikation ser begreppet våg-längd så är det alltså ljusets (signalens) våg-längd i vakuum som man menar.

16.2 Våglängd eller frekvens?

Elektromagnetiska vågor


263

© Per Wallander

Dämpning• Vibrationer i SiO4-molekyler stjäl effekt

från ljusstrålen. Denna absorption kallasinfrarödabsorption och avtar med ökandefrekvens.

• Små variationer i brytningsindex hos gla-set ger spridning, ljus som ”sticker iväg”i andra riktningar. Denna spridning kal-las Rayleigh-spridning och upplevs somdämpning av ljusstrålen. Rayleigh-sprid-ningen ökar med frekvensen.

• Vibrationer i OH–-joner (vatten) ger ab-sorption vid 2,73 µm och övertonerna1,38 µm och 0,94 µm.

16.3 Optofiberns dämpning

Tre ”fönster”Man talar om tre ”fönster” vid optokommu-nikation.• Första fönstret ligger vid 850 nm, inte för

att denna våglängd ger låg dämpning,utan för att det var vid denna våglängdsom man lyckades tillverka de första ljus-källorna och detektorerna.

• Andra fönstret ligger vid 1310 nm somhar så låg dämpning, ca 0,5 dB/km, attman kunde börja använda optofiber ilångdistansnätet.

• Tredje fönstret ligger vid 1500 – 1600 nmdär dämpningen är lägst. Man klarar i dagatt tillverka optofibrer med en dämpningsom inte är mycket högre än den teore-tiska dämpningen, ca 0,2 – 0,23 dB/km.

141,875 10 Hz⋅ 144,286 10 Hz⋅

Rayleigh-spridning

Ultraviolet-absorption

Infraröd-absorption OH - OH -

1600 nm 1500 1400 1300 1200 1100 1000 900 800 700 nm

-1 dB/km

-2

-3

-4

-5

-6 dB/km

Multimod radientindexfiber

Singelmodfiber


264


Allt beror på hastighetenNär vitt ljus går genom ett prisma så delasljuset upp i spektrats alla färger. Varför?

All brytning av elektromagnetisk strålningbygger på att den infallande ”strålen” inte ären enda stråle utan ett knippe strålar somutbreder sig som en plan våg, d.v.s. strå-larna bildar en plan vågfront och strålningenutbreder sig vinkelrätt mot vågfronten.

När vågen infaller snett mot ett mediumdär ljushastigheten är en annan, så kom-mer under ett kort tidsögonblick t∆ någrastrålar på ena kanten att gå fort, medan strå-lar på andra kanten går långsammare. Dåändrar vågfronten riktning, och utbredningensker vinkelrätt mot denna nya vågfront.

Brytningsindex är inte konstantGlasets brytningsindex varierar som funk-tion av frekvensen. Detta gör att olika färgergår olika fort i glaset. Varje färg (frekvens/våglängd) har sitt eget värde på kapacitets-talet, ljushastigheten, brytningsindex, ochvarje färg får sin egen brytningsvinkel. Dettaleder till att ljuset delas upp i regnbågensalla färger.

Diagrammet visar hur brytningsindex(och därmed ljushastigheten) varierar medvåglängden i kiselglas. Derivatan är ett måttpå ”tidsspridningen” mellan olika spektral-komponenter från ljuskällan.

MaterialdispersionHur påverkar detta optokommunikation? Jo,om ljuset från ljuskällan inte innehåller baraen frekvens utan ett spektrum av frekven-ser, så går spektralkomponenterna olika forti optofibern. De kommer inte fram samtidigt.Vi får en breddning av ljuspulsen, kalladmaterialdispersion, eftersom dispersionenberor på materialet i optofibern.

VågledardispersionEn annan typ av dispersion som får till följdatt olika våglängder går olika fort är våg-ledardispersion. Vågledardispersion drabbarbara singelmodfibrer. Visserligen går allaljusstrålar som en enda stråle, men ändå

16.4 Kromatisk dispersion

01

1r

cc

ε= 0

2

2r

cc

ε=

1sinx φ⋅

2sinx φ⋅

01 1

1

02 2

2

sin

sin

r

r

t ct c x

t ct c x

φε

φε

∆ ⋅ ∆ ⋅ = = ⋅ ∆ ⋅ ∆ ⋅ = = ⋅

01 1 2 2sin sinr r

t cx

ε φ ε φ∆ ⋅ = ⋅ = ⋅

1 1rn ε=

2 2rn ε=

0,6 0,8 1,0 1,2 1,6 µm1,4

Variation hos brytningsindex nsom funktion av våglängden


265

© Per Wallander

inte rakt fram. Strålarna kommer att studsa iväggarna, gå i sick-sack, men alla strålarmed samma frekvens går på samma sätt.

Däremot kommer strålar av annan frek-vens att sick-sacka på annat sätt. Detta be-tyder att olika frekvenser, olika våglängder,inte kommer fram samtidigt. Resultatet blirbreddning av pulsen, vågledardispersion.

Kromatisk dispersionKromatisk dispersion, breddning av en ljus-puls om ljuspulsen består av flera vågläng-der, är summan av materialdispersionen ochvågledardispersionen. Över 1300 nm mot-verkar dessa fenomen varandra.

Noll-dispersionHos glas varierar brytningsindex åt ett hållför låga frekvenser, men åt motsatt håll förhöga frekvenser. Därför är materialdisper-sionen noll vid någon frekvens. Denna noll-punkt råkar infalla vid ungefär 1300 nm.

För singelmodfibrer blir den kromatiskadispersionen noll vid 1310 nm (förskjutsuppåt av vågledardispersionen). Därför är1310 nm den bästa ljusvåglängden för över-föring av hög symbolhastighet, om ljuskäl-lan inte är helt ”ren”.

Ljuskällans spektralrenhet är viktigEnda möjligheten att undvika att ljuspulsenbreddas om optofibern har kromatisk dis-persion är att ljuskällan alstrar bara en endafärg, en enda linje i spektrat.

Men vi amplitudmodulerar ljuset, star-tar och stoppar ljuskällan, eller kopplar nå-got emellan som stoppar ljuset i takt medmoduleringen. Modulering ger breddning avljusspektrat.

Dispersionsskiftad kabelHelst skulle man vilja ha lägsta dämpningoch noll i den kromatiska dispersionen vidsamma frekvens. Detta har lett till utveck-ling av dispersionsskiftad kabel. Den mate-rialdispersion som finns vid 1550 nm neutra-liseras av ett lika stort dispersionsfel medmotsatt derivata.

Tyvärr erhålls denna förbättring barainom ett mycket smalt fönster runt 1550 nm.Utanför ”fönstret” får man förvärrad disper-sion. Dispersionsskiftad kabel kan därför inte

användas när man i dag uppgraderar medWDM-teknik, flera parallella optosysteminom 1500 – 1600 nm på samma fiber.

-100

-150

50

0

-50

0,6 0,8 1,0

1,2

1,6 µm1,4

ps/nm/km Material-dispersion

Vågledar-dispersion

Kromatiskdispersion

Exempel 1:En ljuskälla (LED) har ett spektrummed bredden 50 nmλ∆ = vid 850nm. Hur stor blir pulsbreddningen

kromτ om optofibern är 2 km lång?

Ur diagrammet hämtas 80 ps/nm/km.

Exempel 2:En ljuskälla (laserdiod) har ettspektrum som består av en endavåglängd, 1500 nm. Ljuskällanmoduleras med 10 Gsymb/s. Vad blirspektrats bredd? Hur stor blirpulsbreddningen kromτ om optofibernär 100 km lång?

Bandbredd = ±5GHz

8

14 9

3 101500 0,075

2 10 10 10nmλ ⋅∆ ≈ − =

⋅ + ⋅

12 920 10 0,075 100 0,150 10kromτ − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

12 980 10 50 2 8 10kromτ − −= ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅

Vid 850 nm: 80 ps/nm/kmVid 1500 nm: 20 ps/nm/km

= ⋅ 141500 2 10nm Hz

Ur diagrammet hämtas 20 ps/nm/km.


266


16.5 Optoförbindelsens bandbredd

symbT

symb bT τ≥

bτ

( ) ( ) ( )max

min

1 1symb

b symbtot

CTτ

= =

Pulsen breddasOm vi matar in korta ljuspulser på optofibernså är dessa breddade när de kommer fram.Pulsbredden vid –3 dB kallar vi bτ . För attpulserna skall kunna urskiljas när de kom-mer fram krävs att symboltiden symbT ärstörre än bτ , annars flyter pulserna ihop.

Optoförbindelsens bandbreddOm vi har en högsta gräns för symbol-hastigheten så ser optoförbindelsen ut somom den moduleras av en informationssignalsom matats genom ett lågpassfilter medövre gränsfrekvens lika med halva symbol-hastigheten, jfr. basbandskommunikation.

Bandbredd p.g.a. kromatisk dispersionUtgående från spridningen p.g.a. kromatiskdispersion kan vi beräkna förbindelsensbandbredd med hänsyn tagen till kromati-ska dispersionen.

2symbC B= ⋅

1 12 2symb

b

B Cτ

= ⋅ =⋅

Exempel 1:9

9

8 10

162,5

2 8 10

krom

kromB MHz

τ −

−

= ⋅ ⇒

= =⋅ ⋅

Exempel 2:9

9

0,150 10

13,33

2 0,150 10

krom

kromB GHz

τ −

−

= ⋅ ⇒

= =⋅ ⋅


267

© Per Wallander

Bandbredd p.g.a. moddispersionI optofiberns datablad anges pulsbredd-ningen på grund av moddispersionen direktsom bandbredd i Hz-km. Som typiska vär-den gäller att vanlig stegindexfiber har band-bredden 20 – 30 MHz-km, de bästa multi-modfibrerna har en bandbredd på 1 GHz-km, medan singelmodfibrerna klarar 100GHz-km.

ModkopplingModdispersionen är direkt proportionell motfiberlängden. Men bara upp till ca 1 km fiber-längd. Små mikroskopiska ofullkomligheteri glaset gör att strålarna ändrar riktning. San-nolikheten för att en och samma stråle hargått maximalt i sicksack längs hela fibern ärliten. Strålarna byter mod på vägen.

Vid fiberlängder som är längre än 1 kmär det därför rimligare att räkna med rotenut avståndet.

Total bandbreddAlla dessa olika fördröjningar som påverkarljusstrålarna kan inte adderas direkt som deär. Den kromatiska dispersionen ochmoddispersionen är oberoende processer.Därför får man ett mer sannolikt resultatgenom att addera fördröjningarna i kvadrat.

2 2 2modtot kromτ τ τ= +

Ur detta kan vi räkna fram totala band-bredden:

[ ][ ]m 1od

B Hz kmB L km

L km

−≈ ≤

[ ][ ]m 1od

B Hz kmB L km

L km

−≈ >

Exempel 3:En stegindexfiber har enligt databladbandbredden 20 MHz-km. Beräknabandbredden på grund av moddisper-sion om fibern är 400 m lång.

[ ][ ]

6

m

20 1050

0,4od

Hz kmB MHz

km

⋅ −= =

Exempel 4:En singelmodfiber har enligt databladbandbredden 100 GHz-km. Beräknabandbredden på grund av moddisper-sion om fibern är 100 km lång.

[ ][ ]

9

m

100 1010

100od

Hz kmB GHz

km

⋅ −= =

2 2

139

1 162,5 50

totB MHz= =+

2 2

13,16

1 13,33 10

totB GHz= =+

78 /symb bitC C Mbit s= = 6,32 /symb bitC C Gbit s= =

Exempel 1 och 3:

2 2mod

1

1 1tot

krom

B

B B

=+

Denna förbindelse klararinte 100 Mbit/s Ethernet.

Denna förbindelse klarar2,5 Gbit/s (eller högre) ilångdistansnätet.

Exempel 2 och 4:


268


850 nmDe första optosystemen för kommersielltbruk låg vid 850 nm därför att man klaradeatt göra ljuskälla och detektor för denna våg-längd. Minsta möjliga dämpning är relativthög, i storleksordningen 2,4 – 3,5 dB/km.

Multimodkabel vid 850 nm används idag i billig optoutrustning för korta avståndsom hopkoppling av LAN mellan olika vå-ningsplan eller närbelägna byggnader.

1310 nmVid 1310 nm blev dämpningen så låg, ca0,5 dB/km, att man kunde börja bygga lång-distansnät. För att klara höga symbolhastig-heter var man tvungen att välja singelmod-fiber. Som ljuskälla krävdes en dyr laser föratt få in tillräckligt med ljus i den tunna fiber-kärnan. Största fördelen är att man slipperinverkan av kromatisk dispersion vid dennavåglängd.

1550 nmAbsolut lägsta dämpning infaller vid 1550nm. Tillverkningen av optofiber är i dag såhögt utvecklad att man i stort sett uppnården teoretiska dämpningen av ca 0,20 –0,23 dB/km. Men däremot finns kromatiskdispersion vid denna våglängd som begrän-sar symbolhastigheten.

Många fibrerNär man på 1990-talet drog optokabel i lång-distansnätet valde man kabel med mångafibrer. Att gräva kan kosta 100 – 500 kr/m,optokabelns hölje kostar ca 50 kr/m medansjälva glasfibern bara kostar ca 1 kr/m. Attlägga extra fibrer när man ändå höll på inne-bar ingen större investering. Därför finns idag optokabel med allt från 12 fibrer, 24,48, 96, 200, ja i stadsnätet förekommer t.o.m.1000 fibrer i samma kabel.

WDMMen ljuskällorna och optodetektorerna harutvecklats, liksom filtertekniken. I dag klararman att mata in ljus från flera laserdioderpå samma optofiber, laserdioder som alla

ligger på olika frekvenser (våglängd). Imottagarändan använder man bandpass-filter och filtrerar ut varje våglängd för sigoch detekterar.

Tekniken kallas våglängdsmultiplex-ering, WDM (Wavelength Division Multi-plexing), man sänder flera bärvågor (4 nmmellan varje bärvåg), och klarar att byggasystem med 32 bärvågor, där varje bärvågtransporterar 2,5 Gbit/s, alltså 80 Gbit/s påen enda optofiber.

Med WDM-tekniken är det intressant att haminimal dispersion i hela området 1500 –1625 nm. Detta är inte möjligt med disper-sionsskiftning.

Ytterligare ett problem när man harmånga bärvågor är att effekttätheten ökar iglaset. Det finns en övre gräns när glas-molekylerna reagerar för ljuset. Optofibernblir olinjär vilket leder till att det blir överhör-ning mellan de olika bärvågorna, intermo-dulation. Därför vill man öka fiberkärnansdiameter. Men då börjar ljusstrålarna gå iflera moder vilket ger moddispersion.

Genom ”smart” förändring av bryt-ningsindex pågår utveckling där man försö-ker tvinga ljuset ut mot kanterna av kärnan.Man får ”ett slags rör” där ljuset går i röretsväggar. På detta sätt har man lyckats ökaeffektiva tvärsnittsytan till nästan det dubblautan att moddispersion uppstår.

KanalisationDet är lättast att hantera många olika för-bindelser om varje förbindelse ligger i enegen optofiber. Med WDM-tekniken klararman sig med färre fibrer men varje förbin-delse kan få en egen våglängd.

Optokablar med många fibrer kan integöras alltför långa. Fibrerna måste skarvas.Man får dämpning. I dag när man genomWDM-tekniken klarar sig med några få fib-rer så gräver man ner kanalisation, plaströr.Sedan blåser man in sjäva glasfibrerna medtryckluft. Dessa fibrer kan vara mycket långa.Man klarar sig med färre skarvar.

16.6 Våglängdsmultiplexering, WDM (WavelengthDivision Multiplexing)

17 — En lek med bilder

269

© Per Wallander


Många arbetsmoment i en ingenjörs liv krä-ver överblick, intuition och fantasi, färdighe-ter som ligger i den del av hjärnan där vitolkar bilder, inte i den logisk-matematiskadelen av hjärnan.

Många personer, liksom jag själv, har svårtatt genomföra matematiska härledningarutan en bild av vad vi gör. Bilden kan varaytterst förenklad, men den behövs som stöd”för att hålla reda på vad vi gör”.

Om du fortsätter sina studier inom radio-kommunikationsområdet och går djupare ini elektrodynamiken, så kommer du att upp-täcka en helt igenom matematisk värld somutgår från Maxwells ekvationer och därefterstyrs av vektoralgebrans räkneregler. Dettaär nödvändigt för att under kontrollerbaraformer kunna hålla reda på alla dessa fält-styrkor som bildas kors och tvärs i helt nyariktningar när man deriverar.

För att ändå ge ett stöd om du gärna vill sebilder, så bjuder jag på följande bildsvit därdet mesta finns med.

För min del började det hela med ”masken”.Jag stod framme vid tavlan och berättade,och plötsligt undrade jag vad det egentligenär jag säger?

Så gott som alla bilder är nya, åtminstoneför mig. När signalen strålar in i ledaren ochger värmeutveckling, sid 292, är hämtad från

Feynman: ”Lectures on physics” del 2. Ävenuppgifterna om elektrostatiska fältet runtjordklotet kommer från samma källa.

En annan källa som innehåller allmändiskussion om energitransport på ledningarär Jordan, Balmain: ”Electromagnetic wavesand radiating systems”.

Bilderna kan innehålla felaktigheter. Det kanfinnas bilder som är ritade så att de misstol-kas. Min egen tolkning är emellertid att jaginte har hittat något i bilderna som motsä-ger dagens matematiska beskrivning avelektrodynamiken. Däremot påstår jag attkondensatorns- och spolens uppladdnings-kurvor är trappstegsformade, men det harjag verifierat med oscilloskop.

Tänk nu bara på följande: Bilder ger idéer.Bilder spelar en framträdande roll vid tek-niska framsteg. Men det är med matemati-ken som man kan visa att det finns en lo-gisk väg utan luckor som når till samma mål.

Einstein satt på solstrålen och åkte med.Men hur var det med Maxwell? Använde hanbilder?

Om Maxwell berättas att han var snilletsom blev mobbad i skolan av sina klass-kamrater. En gång, när läraren fyllt tavlantre gånger för att lösa och förklara ett prob-lem, gick Maxwell fram och gav svaret meden enkel figur och några få rader. Efter detvar han inte populär bland lärarna heller.


270


ε ε ε⋅ ⋅= ⋅ = ⋅0 r

a e a eC

b b

=C

QU

C

CU

ε ε ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 20

1 12 2C C r C

a eW C U U

b

17.1 Kondensatorn

PlattkondensatornUtgå från en plattkondensator. Då är detenkelt att beräkna kapacitansen. Ytan ⋅a emultiplicerat med kapacitiviteten ε divideratmed avståndet mellan plattorna b .

Ladda upp kondensatornAnslut ett batteri till kondensatorn. Vi kanha motstånd i serie. Det gör inget. Vänta medatt ta bort batteriet tills kondensatorn är full-laddad.

På plattorna finns nu laddning som en-kelt kan beräknas eftersom vi kännerkapacitansen och spänningen.

Beräkna energin i kondensatornNu skall vi beräkna den energi som lagratsi kondensatorn. Vi använder den vanligaformeln och ersätter kapacitansen medplattkondensatorns fysiska mått.

a

be


271

© Per Wallander

e

( )−− − −= ⋅ =

2

0

UP U I

Z

( )++ + += ⋅ =

2

0

UP U I

Z

+ −

+ −

= ⋅ = ⋅ + ⋅ = = ⋅ 0,5 C

e eW P t P P

c cU U U

µε

=0

bZ

a

( ) ( ) ( )ε εµ

µεε

⋅ ⋅ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 2

2

00

0,5 0,5 12 2

1 2C C

r C

U Ue e a eW U

Z c bba

e

⋅0,5 CU

⋅0,5 CU +P

−P

17.2 Kondensatorn som transmissionsledning

PlattledningenBilden av plattkondensatorn liknar bilden aven plattledning. Vi beräknar plattledningenskarakteristiska impedans.

”Masken”Nu ansluter vi batteriet för att ”ladda uppkondensatorn”. Vad har vi? ”Masken” somvi studerade i kapitel 12.

Vi får framåtgående spänning som gerupphov till framåtgående effekt. Och vi harreflekterad spänning som ger upphov tillreflekterad effekt.

Totala energin i ledningenTotal energi är effekt multiplicerat med tid.Vilken tid skall vi använda? Jo, den tid dettar att gå från ena ändan till andra ändan,d.v.s. den tid det tar att gå sträckan e medljushastigheten. Och detta gör vi för bådaeffekterna.

Vad blir resultatet? Exakt detsamma som förplattkondensatorn.

a

be


272


= Ω0 50Z

= Ω500R

ρ −=+

0

0G

R ZR Z

+ = ⋅+

00

0

ZU U

R Z

ρ ρ ρρ ρ −

+ + + + + ⋅ ⋅ ⋅

⋅ ⋅ ⋅ + +0 0 0

10

(1 ) (1 )

(1 )G G G

nG G

U U U

U

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 100U

0Uρ⋅0 GU

ρ⋅0 GUρ ρ⋅ ⋅0 G GU

17.3 Plattledningens ”uppladdning”

Nu ansluter vi plattledningen till en puls somstiger från 0 volt till U volt. Hur kommer spän-ningen att ändras, mätt i anslutningspunktenmellan generatorn och plattledningen?

Först spänningsdelningNär pulsen kommer sker spänningsdelningprecis som för ”masken”. Denna spänningU0 kryper ut på ledningen, totalreflekterasoch kommer tillbaka efter den tid det tar attgå fram och tillbaka på ledningen.

Därefter reflexionskoefficientNär spänningen U0 kommer tillbaka så träf-far den resistansen som ligger i serie medgeneratorn. Vi kan beräkna reflexionskoeffi-cienten.

Första trappsteget blir alltså lågt, det bestårbara av spänningsdelning, U0. Nästa trapp-steg blir nästan dubbelt så högt. Sedan fort-sätter det på samma sätt i oändligheten.

Serien konvergerar, och till slut är sum-man av alla framåtgående delspänningarlika med halva batterispänningen. På mot-svarande sätt blir summan av alla reflekte-rade delspänningar andra halvan av batteri-spänningen.

Mätning med oscilloskopExakt det som här beskrivits har jag under-sökt med oscilloskop. Resistansen R var 500Ω och ledningen var en 25 m lång 50 Ω ko-axialkabel.

Oscilloskopbilden har fotograferats ochöverförts till bild. Vi ser tydligt hur förstatrappsteget är ungefär hälften så högt somandra trappsteget.

Trappstegen blir mer och mer avrun-dade beroende på att pulsens högfrekventakomponenter dämpas mer än de lågfrek-venta.


273

© Per Wallander

( )−= − /1 t RCCU U e

U C

R

ε

µε

⋅ = ⋅ = 0

a eC

b

bZ

a

µµεεε

µε

∆= ⋅ = = ⋅ =0 0 0

1e e e t

CZ c Z Zb

a

= ⋅ = ⋅ ⋅∆

0 02Z Zt t

nRC t R R

− ⋅ ⋅−

021

Zn

Re

n

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

17.4 Kondensatorns uppladdning

Nu gör vi på samma sätt med kondensatorn.Vanlig ellära.

Problemet är e-funktionens exponent.Vi måste skriva uttrycket på ett sätt så attresultatet kan jämföras med föregående be-räkning.

Jämför plattledningens kapacitans med desskarakteristiska impedans. Vi ser att kapaci-tansen kan skrivas som en funktion av led-ningens karakteristiska impedans och dentid det tar för signalen att gå längs ledning-ens längd e.

Detta är ett generellt samband för led-ningar. En 50 Ω koaxialkabel där signalengår med 200 000 km/s har kapacitansen 100pF/m.

Genom att stoppa in detta uttryck i e-funk-tionens exponent så kan vi uttrycka tiden t iantal gånger (n) som signalen rusat fram ochtillbaka på ledningen ( ⋅ ∆2 t ).

Nu kan vi rita upp den välkända kurvan överkondensatorns uppladdning och ser att kur-van följer trappstegskurvan som vi fick närvi betraktade kondensatorn som en ledning.

Ingen kondensator är väl 25 m lång?Om kondensatorn inte är 25 m lång utanbetydligt kortare så kommer trappstegen attbli mindre, och vi får bättre överensstäm-melse med e-funktionen.

Elektrolytkondensatorn är exempel påen kondensator som kan vara mycket lång.Mekaniskt består kondensatorn av tvåmetallfolier uppåt en meter långa som rul-lats ihop. Mellan folierna finns en elektrolytmed extremt hög kapacitivitet, som gör attsignalen går mycket långsamt, folierna serut att vara långa.

Att betrakta kondensatorn som en be-hållare för laddningar är 1700-talssynsätt.När man utgående från detta synsätt inte-grerar fram spänningskurvan för konden-satorns uppladdning så är detta visserligenett elegant exempel på integrering, men baraen grov beskrivning av verkligheten, somtycks vara trappstegsformad.


274


17.5 Att parallellkoppla två kondensatorer

=CU U = 0CU

= ⋅Q U C = 0Q

⋅ = ⋅ ⋅0,5 0,5Q U C ⋅ = ⋅ ⋅0,5 0,5Q U C

= ⋅0,5CU U = ⋅0,5CU U

= ⋅ + ⋅ = ⋅2 2 21 1 10

2 2 2W C U C C U

= ⋅ + ⋅ = ⋅

2 221 1 1

2 2 2 2 4U U

W C C C U

Vi utgår från två identiska kondensatorer.Den ena laddas upp till spänningen U ochfår laddningen Q. Den andra kondensatornhar ingen spänning/laddning. Totala energinutgör energin i den uppladdade konden-satorn.

Nu parallellkopplar vi kondensatorerna. Detklassiska synsättet är att nu fördelar sigladdningarna på de båda kondensatorerna.Laddning kan inte försvinna.

Båda kondensatorerna får halva ladd-ningen, vilket ger halva spänningen. Ingetkonstigt så här långt.

Nu beräknar vi totala energin som sum-man av energierna i de två kondensatorernaoch upptäcker att totala energin nu bara ut-gör hälften av vad vi hade före parallell-kopplingen. Vart har energin tagit vägen?Värme? Radiostrålning? Vi räknar på ettförlustfritt fall och kondensatorerna är utfor-made så att vi inte får radiostrålning.

Kondensatorerna som ledningarNu övergår vi till ledningar. Den ena led-ningen laddas med framåtgående och ref-lekterad effekt så att totala spänningen blirU.

Vad händer när vi kopplar ihop ledningarna,d.v.s. parallellkopplar kondensatorerna? Jo,”masken” kryper in i nästa ledning. Denspänning vi mäter i sammankopplings-punkten är antingen spänningen när mas-ken kryper till höger, eller spänningen närmasken kryper till vänster. I båda fallen ärdetta halva spänningen.

Hur går det med energin? Totala energin ärstorleken på masken (effektens storlek)multiplicerat med maskens längd (egentli-gen den tid det tar för masken att krypaförbi). Inget av detta har förändrats. Totalaenergin är oförändrad.

I verklighetenI verkligheten måste vi räkna med multipel-reflexer i sammankopplingspunkten. Då le-der detta till att vi till slut får en enda dubbelt

=CU U = 0CU

= ⋅0,5CU U

så lång mask där totala spänningen blir/ 2U . Men vi kommer aldrig att kunna mäta

detta. Så snart som framåtgående och ref-lekterad mask i ett tvärsnitt inte är lika storaså flyter ström i kondensatorblecken. Vi fåruppvärmning, resistiva förluster.

=2

C

UU


275

© Per Wallander

17.6 Spolen som ledning

a

be

e

e

µε

=0

bZ

a

µ µε⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ∆0 0

b eL Z e Z t

a

I

µ ⋅= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅2 21 12 2L

b eW L I I

a

µ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅

22

0

12

2 2I b e

W Z t Ia

µ

⋅∆ ∆ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅

22

0

0 0

22

0

2 22 2

12

2 2

Z IU t tW

Z Z

I b eZ t I

a

Nu kortsluter vi plattledningen så att denbildar en spole på ett varv. Induktansen ärlätt att beräkna. Även här ser vi attinduktansen är proportionell mot karakteris-tiska impedansen och den tid det tar för sig-nalen att gå sträckan e.

På vanligt sätt beräknar vi totala energin somär lagrad i spolens magnetfält.

Spolen som ledningPå den kortslutna ledningen har vi framåt-gående signal och reflekterad signal påsamma sätt som vid kondensatorn, medskillnaden att den reflekterade signalen fas-vänds 180°.

I framåtgående signalen har vi halva ström-men, och i den reflekterade signalen denandra halvan av strömmen. Totala strömmenblir summan av strömmarna.

I framåtgående signalen har vi halvaspänningen och i den reflekterade signalenden andra halvan av spänningen, fast 180°fasvriden. Summan blir noll. Vi ser ingenspänning. Men spänningarna finns där. Vikan alltså lika gärna beräkna energin ispolens magnetfält genom att utgå frånspänningarna.

∆ = ⋅ ⋅ =

2

0

0

22U t

WZ

UZ

I

Även spolen laddas upp trappstegs-formatPå samma sätt som att spänningen överkondensatorn stiger trappstegsformat, såkommer strömmen att växa trappstegs-format när man lägger spänning över spolen.Den vackra e-funktionen är en matematiskapproximation.

( ) ( )+

+ + + += ⋅ = = ⋅2

2

00

UP U I I Z

Z

( ) ( )−

− − − −= ⋅ = = ⋅2

2

00

UP U I I Z

Z

+

−

= = −

2

2

UU

UU

+

−

= =

2

2

II

II


276


e

e

µ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅

22

0

12

2 2I b e

W Z t Ia

µ∆ ⋅ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅

22

02 22 2I t b e

W Z Ia

( )

( ) µ

∆ ∆ = ⋅ ⋅ ⋅ = ⋅ = ⋅= ⋅ ⋅ ∆ = ⋅ ⋅

22

00 0

2 20

12 2

2 2U t t

W Z IZ Z

b eI Z t I

a

17.7 Koppling mellan lindningsvarven

Vi utgår från samma spole som på föregå-ende sida, men efter halva längden så vri-der vi slingan ett halvt varv. Detta får till följdatt den framåtgående signalen vrider sittelektriska fält så att det blir riktat uppåt. Påsamma sätt får den reflekterade signalen ettelektriskt fält som är riktat åt motsatt håll.

Att vrida spolen på detta sätt förändraringet. Vi har fortfarande samma totala en-ergi i spolen.

Nu viker vi tillbaka yttre delen av spolen ochfår på detta sätt en spole med två lindnings-varv, men halva längden. Vad händer nu medenergin i spolen?

Spänningarna adderasDet som händer är att framåtgående signa-len i varv 1 och reflekterade signalen i varv2 har elektriska fält i samma riktning (nedåt).Dessutom rör sig signalerna åt samma håll.Då ligger även H-fälten i samma riktning såatt de samverkar. Då skall signalerna adde-ras d.v.s. spänningen blir den dubbla.

Samma sak händer med den reflekte-rade signalen i varv 1 och den framåtgå-ende signalen i varv 2. Även de samverkar.

När vi nu beräknar totala energin idenna spole på två varv så upptäcker vi attenergin är dubbelt så stor, trots att totalalängden inte förändrats. Vi har bara ”snottihop” den ursprungliga spolen till två varv.

Självklart syns detta på spolens induktanssom blivit dubbelt så stor. Vi säger att de tvålindningsvarven ”kopplar” till varandra.

Mycket viktigtDetta exempel visar något principiellt mycketviktigt. Signaler som går åt olika håll behål-ler sin individualitet. Vi beräknar effekten ivarje signal för sig. Men om signalerna gåråt samma håll så skall E-fälten och H-fältenadderas, och av två lika starka signaler fårvi en signal med fyra gånger så hög effekt.Mer om detta längre fram.

Fyll utrymmet med järnUtrymmet i spolen kan fyllas med järn,transformatorplåt med högt µ . Transforma-torplåten är visserligen elektriskt ledande,men det gör inget eftersom totala elektriskafältet från de båda signalerna är noll.

Transformatorplåt med högt µ medföratt ljushastigheten sjunker. Signalerna gårextremt långsamt. Det tar lång tid att gå frånena ändan till den andra. ∆t blir stort, ochspolen lagrar mycket energi.


277

© Per Wallander

17.8 E och D, H och B

E H S× =E

H

2/W m

ea

b

E och H är ”signalen”E är elektriska fältstyrkan och H är elektriskafältstyrkan i signalen som har effekttäthetenS. Förhållandet mellan E och H bestäms avmediet, mediets karakteristiska impedans.

E och H uppträder ALLTID parvis ochvinkelrätt mot varandra. När vi säger att vibara har elektrisk fältstyrka, ingen magne-tisk fältstyrka, så innebär detta ALLTID attvi har två eller flera signaler som går åt olikahåll, så att summan av deras elektriska fält-styrkor blir hög, medan summan av de mag-netiska fältstyrkorna blir låg.

E och H är ”tvådimensionell”E och H finns i ett plan vinkelrätt mot signa-lens utbredningsriktning, bara i detta plan.Fältstyrkorna beskriver hur mycket effektsom tar sig igenom planet (per ytenhet). Menär det hög energi som går långsamt ellerlåg energi som går snabbt?

Om vi känner både E och H så kan vivia den karakteristiska impedansen ta ossfram till signalens hastighet. Men om vi barakänner en av fältstyrkorna, som i en kon-densator?

E över en ”yta”När vi beräknar totala laddningen Q påkondensatorblecket så räcker det inte attkänna den elektriska fältstyrkan mellankondensatorplattorna. Vi måste även pånågot sätt ta hänsyn till signalernas hastig-het, d.v.s. hur tätt fältlinjerna hamnar.

D, elektrisk flödestäthetDen elektriska flödestätheten D beror påsumman av de elektriska fältstyrkorna i sig-nalerna, och εr . Signalernas hastighet på-verkas ju av µ εr r , men vid beräkning av Dtar vi alltså bara hänsyn till den ena delen idenna faktor.

B, magnetisk flödestäthetPå samma sätt när vi behöver summera to-tala antalet magnetiska fältlinjer genom enyta, då är det den magnetiska flödestäthe-ten B som skall användas.

ε ε

ε ε ε ε ε ε

⋅= ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ = ⋅ ⋅

0

0 0

C r C

Cr r r r

a eQ C U U

bU

a e E a eb

ε= = ⋅ ⋅

D E

Q D a e

E och H är bara definierade i ett ”plan”vinkelrätt mot signalen, tvådimensionellt.

Vi tycks ha en större ”dielektrisk yta”.

e

b

µ= Φ = ⋅ ⋅

B H

B e b

µ

µ µ µ

Φ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ =

= ⋅ ⋅0 r r

D e b H e b

H e b

Hur stor ”magnetisk yta” har spolen?


278


17.9 Maxwells ekvationer

D

da

I

πε⇒ = 1

24q

Er

ε π π⋅ = ⇒ ⋅ =2 21 14 4E r q D r q

ρ⋅ = ⋅∫ ∫a v

D da dv

ρ∇ ⋅ =D

ρ=div D

Året är 1785. Människan har upptäckt elek-trisk laddning. Hon kan ladda upp metall-klot. Hon kan få laddning att röra sig i enmetalltråd som ansluts till ett batteri.

Även magnetismen är välbekant i formav det jordmagnetiska fältet, permanent-magneter och kompassnålar.

Men ingen ser ännu något sambandmellan elektricitet och magnetism. Dettabetraktas som två helt olika fenomen.

CoulombDetta år (1785) upptäckte den franske fysi-kern C. de Coulomb (1736 – 1806) samban-det för dragningskraften F mellan elektrisktladdade klot. Utgående från detta härledervi kraften på ett av kloten som befinner sig idet elektriska fältet från det andra klotet.

Genom att integrera den elektriskaflödestätheten D runt en sluten yta a så fårvi den totala laddningen som finns i den avytan a inneslutna volymen v, ett sambandsom kallas Gauss lag.

Tidigare beskrevs detta med ”divergen-sen” för D, d.v.s. skillnaden mellan elektrisktflöde in i volymen och ut ur volymen ger deninneslutna laddningen. ”Fältlinjer slutar påladdningar”. Numera utnyttjar manräknereglerna för ∇ -operatorn vid motsva-rande beräkningar.

ØrstedÅr 1819 upptäckte dansken H.C. Ørsted(1777 – 1851) att en kompassnål visar fel,om den placeras nära en metalledare därdet flyter laddning. Laddningarna måstepåverka, eller ge upphov till magnetfält.

Nu hade man funnit något som kopp-lade ihop två fenomen som hittills betrak-tats som oberoende av varandra, elektrici-tet och magnetism.

Biot och SavartÅret efter formulerar fransmännen J.B. Biot(1774 – 1862) och F. Savart (1791 – 1841)ett uttryck för magnetisk fältstyrka H från enströmförande ledare (Biot-Savart’s lag).

F

q1 -q2

πε⋅ −= = ⋅ −1 2

1 22

( )( )

4q q

F E qr

Ørsted.

=

===

=

1 2

1

1 2

kraften mellan laddningarna

q och q

elektrisk fältstyrka från laddning q

elektrisk flödestäthet

avståndet mellan laddningarna

q och q

ytan av den volym v som innesluter

laddningstäthet

F

E

D

r

a

ρen

Coulombs lag

Gauss lag


279

© Per Wallander

N

S

⋅ =∫s

H ds I

=rot H J

∇× =H J

⋅ = − ⋅∫ ∫s a

dE ds B da

dt

∂= −∂B

rot Et

∂∇ × = −∂B

Et

AmpèreArbetet fortsattes av fransmannen A.M.Ampère (1775 – 1836), som summerade H-fältet vektoriellt i en slinga runt en strömfö-rande ledare och visade att summan blir to-tala strömmen genom slingan. Jfr summe-ring av E-fältet. Oberoende av vilken vägman väljer så blir vektoriella summan av E-fältet längs en sträcka lika med spänningenmellan ändpunkterna.

Vi ser hur totala E-fältet hos de framåtgå-ende och reflekterade effekterna i slinganger upphov till spänningen mellan ledarna,och hur H-fältet ger upphov till strömmen iledarna.

Vidare måste vi veta hur fort effekternarör sig för att kunna beräkna magnetiskaflödestätheten B genom slingan, och totalaflödet Φ genom slingan. Motsvarande gäl-ler när vi skall beräkna den elektriskaflödestätheten D och totala elektriska flödet.

FaradayÅr 1831 demonstrerade engelsmannen M.Faraday (1791 - 1867) för sina elever, hanvar lärare, hur ström ger magnetfält, hanupprepar Ørsteds försök. Men han visadeäven att magnetfältet från en permanent-magnet varken ger ström eller spänning.

Faraday hade en spole och över spolenen voltmeter. Han håller permanentmagne-ten vid spolen för att visa att voltmetern integör utslag.

Vad händer? Jo, han råkar tappa mag-neten. Och se! Nu får han utslag på volt-metern. Historien är full av fumliga fysikersom upptäckt det mest fantastiska när desnubblat eller tappat diverse prylar.

Vad Faraday upptäckte var elektrisk in-duktion, att det alstras en elektrisk fältstyrkasom ger spänning i ledaren, om magnetfältetrunt ledaren ändras (generatorprincipen).

Gauss utvecklade matematikenUnder åren 1830 – 1840 sysslade den tyskematematikern J.C.F. Gauss (1777 – 1855,känd från statistiken) med elektromagne-tism. Han utvecklade matematiken ochgjorde det möjligt att matematiskt formuleraatt man inte kan sära på magnetens nord-och sydpoler.

N S N S

∇ ⋅ = 0B

= 0div B

Det finns inga friamagnetiska laddningar.

Faradays lag(generatorprincipen).

⋅ =∫s

H ds I

ds

E

P-

P+

VA

VB

ds

H

I

ds

H

P-

P+

⋅ = −∫B

A BA

E ds V V

ds

E

B

Amperès lag.


280


MaxwellVid 1800-talets mitt fanns många som fors-kade i elektromagnetismen. En av dessa varskotten J.C. Maxwell (1831 – 1879) som ut-gick från de resultat som utarbetats avCoulomb, Ampère och Faraday. Låt oss tittapå dessa ekvationer så som vi i dag är vanaatt se dem, skrivna med operatorkalkyl ut-vecklad av den självlärde engelsmannen OHeaviside (1850 – 1925):

• Ekvation 1 är en omskrivning av Cou-lombs dragningskraft mellan elektriskaladdningar. Elektriska nettoflödet ut ur ensluten volym beror på nettoladdningen ivolymen. Elektriska fältlinjer startar ellerslutar på en laddning.

• Ekvation 2 är motsvarande formuleringför det magnetiska fältet. Man kan intesära på nord- och sydpoler, man kan intefå fristående nord- eller sydpoler i en slu-ten volym. Delar man en magnet bildastvå nya magneter som har både nord-och sydpoler. Matematiskt beskrivs dettasom att vi inte kan ha något nettomagnet-flöde ut ur en sluten volym. Det går alltidlika många magnetiska fältlinjer in i voly-men som ut ur volymen.

• Ekvation 3 är Faradays lag om induktion.Elektriska fältstyrkan och därmed ävenspänningen beror på ändringar i detmagnetiska flödet. Kryssprodukten be-skriver att fälten är riktade vinkelrätt motvarandra enligt “skruvregeln”.

• Ekvation 4 är Ampères lag. Summan avmagnetiska fältstyrkan runt en ledare gerströmmen i ledaren, och kryssproduktenbeskriver att riktningen på magnetiskafältstyrkan och strömmen bestäms avskruvregeln.

ρ∇ ⋅ =D

∇× =H J

∂∇× = −∂B

Et

∇ ⋅ = 0B


281

© Per Wallander

Men derivatan av det elektriska flödet?Maxwell tyckte att något fattades. I Faradayslag beskrivs vad som händer om det mag-netiska flödet ändras. Varför finns ingen ek-vation som beskriver vad som händer omelektriska flödet ändras? För visst borde välnågot hända?

I Faradays lag visas hur derivatan avdet magnetiska flödet ger elektrisk fältstyrka.Varför skulle inte, med samma resonemang,derivatan av det elektriska flödet kunna gemagnetisk fältstyrka?

Om trådslingan i Ampères lag försesmed en kondensator kommer ingen ström(inga laddningar) att kunna flyta mellankondensatorplattorna. Men här finns ett elek-triskt flöde. Skulle inte förändringar i dettaelektriska flöde kunna påverka magnetiskafältstyrkan på samma sätt som strömmen?

Maxwell införde elektriska flödestäthe-ten D (som kallades ”förskjutningen), betrak-tade derivatan av D som en förskjutnings-ström, och lät denna förskjutningsström ingåi Ampères lag.

Om man lägger integrationsslingan avH runt kondensatorn så får man förskjut-ningsströmmen som resultat. Om man läg-ger integrationsslingan av H runt själva le-daren så får man strömmen I som resultat.

Maxwell införde förskjutningsströmmen iAmpères lag helt på ovetenskapliga grun-der. Han hade inga mätningar som stöd försitt påstående. Det gick heller inte att här-leda denna ”ström” ur andra accepterade fy-sikaliska lagar. Han bara “tyckte” att dettafattades. Hans fysikaliska känsla sade ho-nom att om naturen bär sig åt på ett visstsätt när magnetiska flödet ändras, varförskulle det inte kunna vara möjligt att natu-ren även bär sig åt på motsvarande sätt närdet elektriska flödet ändras?

Strålar energi ut?Men Maxwell nöjde sig inte med att barakomplettera Ampères lag. Han tillämpadeekvationerna på den elektriska pendeln ochresultatet blev mycket märkligt.

En mekanisk pendel i vakuum som ärupphängd utan friktion kommer att pendla idet oändliga, trodde man. Man har växlingmellan läges- och rörelseenergi. Ingenenergi kan försvinna. Pendlingen kommer

aldrig att avstanna.Men när Maxwell tillämpade ekvatio-

nerna på en elektrisk pendel i vakuum, meden ledare utan resistans, vad blev resulta-tet?

Han fick växling mellan lägesenergi ochrörelseenergi, elektriskt flöde respektivemagnetiskt flöde, precis som hos den me-kaniska pendeln. Men dessutom försvannen liten del av energin, den strålade ut somen samtidig svängning av elektrisk och mag-netisk fältstyrka. Inte antingen eller, utan en

= =dq dVI C

dt dt

I

ds

HD

ε ε ε

ε

= ⇒ = ⋅ = ⋅ =

= ⋅ = ⋅

VdA A dV bC I A

b b dt dtdE dD

A Adt dt

⋅ = ⋅∫s

dDH ds A

dt

∂= +∂D

rot H Jt

∂∇× = +∂D

H Jt

⋅ = + ⋅∫s

dDH ds I A

dt

”Förskjutningsströmmen”

Integrering runt kondensatornger förskjutningsströmmen.

Maxwells kompletteringav Ampères lag.


282


samverkad svängning som ger energi-transport. Maxwell kallade denna energi förelektromagnetiska vågor.

Energi försvann från pendeln! Pend-lingen kommer enligt Maxwell att avklingamot noll! Detta var något på den tiden mycketsensationellt.

Är ljuset elektromagnetiska vågor?Maxwell grundade sin fysikaliska känsla påjämförelser. Han räknade ut att dessaelektromagnetiska vågor är energi som bre-der ut sig med ljushastigheten. Men ljus ärju energi som kommer från solen, eller frånljuskällan. Skulle inte ljus kunna varaelektromagnetiska vågor? Och säkerligenfinns elektromagnetiska vågor av annat slagsom man ännu inte kände till?

Många tvivladeMaxwell beskrev sina teorier för Vetenskaps-akademien i London år 1864. År 1873 pub-licerade han en bok i ämnet.

Vid Maxwells död 1879 tyckte den tyskeprofessorn H.L.F. von Helmholtz (1821 –1894) att nu fick det vara nog med svammeloch ogrundade teorier. Maxwell hade splitt-rat den akademiska världen i två läger, desom trodde och de som inte trodde. Ochdetta var farligt eftersom tro inte hör ihopmed vetenskap. Därför förmådde HelmholtzAkademin i Berlin att utlysa ett pris till densom experimentellt kunde verifiera om Max-well hade rätt eller fel. Helmholtz övertaladesin elev Hertz (1857 – 1894) att försökavinna priset. Det lär finnas brev bevaradedär Hertz gradvis, på ett försiktigt sätt, för-söker klargöra för sin gamle professor attdet nog ändå var Maxwell som hade rätt.

Energitransport i universumPå Maxwells tid kunde ingen förklara varförelektromagnetiska vågor bildas när energipendlar fram och tillbaka på en elektriskpendel. Senare verifierade man genom mät-ningar att elektromagnetiska vågor, radio-vågor, bildas.

Vi kan räkna ut, med hjälp av matema-tik utvecklad långt före radiovågornas tid, attradiovågor bildas. Men varför bildas radio-vågor?

GravitationsvågorNumera tror man (Einstein inspirerades avMaxwell) att det finns strålning även från enmekanisk pendel. Inte elektromagnetiska vå-gor, men väl gravitationsvågor.

Man har inte fått fram någon mätmetodför att påvisa gravitationsvågor. Visserligenskulle gravitationsvågorna kunna vara kraf-tiga, så kraftiga att väggarna i våra husgungar. Men gravitationsvågorna påverkaräven ljuset. Även ljusstrålarna ”gungar”.Därför kan vi inte se om väggarna rör sig.

Forskarna har letat i världsrymden ochfunnit en mekanisk pendel, två tunga him-lakroppar, supernovor, som roterar runt var-andra, och ändringen i rotationshastighetsvarar mot den energiförlust man skulle fåpå grund av energiutstrålning via gravita-tionsvågor, jfr Nobelpriset i fysik 1993.


283

© Per Wallander

17.10 Varifrån kommer magnetiska fältstyrkan?

E H

E H

När elektriska flödet ändras så bildas enmagnetisk fältstyrka. Varifrån kommermagnetfältet?

Bild 1 visar en ledning som matas av ett bat-teri i serie med en resistans som är lika medledningens karakteristiska impedans. Led-ningen är avslutad med en lastresistans somäven den har resistansen lika med ledning-ens karakteristiska impedans.

På ledningen finns en framåtgåendesignal från vänster till höger karakteriseradav elektrisk fältstyrka E och magnetisk fält-styrka H riktad in i papperet.

Bild 2 visar samma ledning matad av ettbatteri från andra ändan. Vi har bara effektsom går från höger till vänster, karakterise-rad av elektrisk fältstyrka E och magnetiskfältstyrka H riktad ut från papperet.

Bild 3 visar samma ledning med bådabatterierna anslutna. Magnetfälten tar utvarandra. Vi ser bara elektrisk fältstyrka,elektrisk flödestäthet mellan ledarna.

I bild 4 ändrar vi den ena batterispänningen.Ändringen utbreder sig med ljushastigheten.I visst ögonblick har ändringen hunnit halv-vägs ut på ledningen.

Bild 5 visar samma sak med det andra bat-teriet.

Bild 6 visar ledningen när båda batteriernaändras samtidigt. Vi ser hur det mitt på led-ningen finns ett område där de magnetiskafältstyrkorna inte tar ut varandra. På högersida får vi en resultant riktad ut från pappe-ret, på vänster sida en resultant riktad in ipapperet. Denna magnetiska fältstyrka ro-terar runt det område där elektriska flödethåller på att ändras (rot H).

Bild 7 visar ledningen efter ytterligare en tid,när förändringarna hunnit till andra ändanav ledningen.

1.

2.

3.

4.

5.

6.

7.

∂∇× =∂D

Ht

H

Drot H

t∂=∂


284


17.11 Varifrån kommer elektriska fältstyrkan?

∂∇× = −∂B

Et

E

Vi skapar ett magnetiskt flöde på sammasätt som det elektriska flödet, genom attmata en ledning från två håll, men dennagång vänder vi det ena batteriet upp ochner.

De elektriska fältstyrkorna E tar ut varand-ra, medan magnetiska fältstyrkorna H sam-verkar in i papperet.

Nu höjer vi batterispänningarna samtidigt.Förändringen sprider sig ut på ledningen,och i ett visst ögonblick ser vi hur de elek-triska fältstyrkorna inte tar ut varandra utanskapar en resultant som roterar (rot E) mot-urs runt det magnetiska flödet riktat in i pap-peret. Moturs rotation ger minustecknet.

Visst blir det elegant om vi kan accepteraatt det inte finns något sådant som enbartelektrisk fältstyrka. Eller enbart magnetiskfältstyrka. Elektriska och magnetiska fält-styrkorna följs ALLTID åt, i form av effektsom förflyttar sig med ljushastigheten.

Men om det nu verkligen är på dettasätt, varför framgår inte detta av matemati-ken? Därför att så snart vi skriver upp ettmatematiskt uttryck för elektriskt flöde i formav framåtgående och reflekterad effekt, så”försvinner” magnetiska fältstyrkorna. Ter-merna tar ut varandra. Det går alltså inte atträkna på detta sätt. Men man kan rita bil-der!

1.

2.

3.

Brot E

t∂= −∂


285

© Per Wallander

17.12 Vad är en elektriskt laddad partikel?

Positiv laddningEgentligen är det enkelt. Ta en uppladdadkondensator och dra ihop det kondensator-bleck som har positiv laddning till en punkt.Samtidigt låter vi det negativa kondensator-blecket expandera mot oändligheten. Därhar vi en positiv laddning.

Direkt ur figuren inser vi riktigheten iGauss lag.

Framåtgående och reflekterad signalHur går detta ihop med synsättet att konden-satorns laddning består av framåtgåendeoch reflekterad effekt? Alldeles utmärkt. Led-ningen har två ändar där signalen reflekte-ras. Genom att ”snurra” ihop ledningen såatt de två ändarna möts så får vi två maskarsom biter sig själva i svansen. Den ena snur-rar medurs. den andra moturs.

När de två signalerna snurrar runt denladdade partikeln, så kommer de elektriskafältstyrkorna att summeras radiellt ut frånpartikeln, medan de magnetiska fält-styrkorna ligger som motriktade koncen-triska skal runt partikeln, tar ut varandra ochinte syns.

Motriktade effekter som rör sig medljushastighetenTänk dig dessa effekter som snurrar medljushastigheten. Vad händer när vi kommernärmare partikeln? Effekterna hinner snurrafler varv per tidsenhet.

Ju längre in mot partikeln vi kommer,desto mindre blir omkretsen. Maskarna kry-per upp på sig själva. När omkretsen mins-kat till hälften och varje delmask når två varvså ökar fältstyrkan till det dubbla. Men vadhänder med energin? Jämför med fler varvi spolen. Den lagrade energin kommer attfyrdubblas. På detta sätt ökar energitäthetenju längre in mot partikeln vi kommer.

Men finns det någon partikel? Det kan-ske är detta som är partikeln. När energi-tätheten överskrider en viss gräns kanskevi uppfattar detta som en partikel?

ea

b

Q D a e= ⋅ ⋅

a

D da Q⋅ =∫D ρ∇ ⋅ =

P-

P+

P+

P-


286


17.13 Vad händer när det åskar?

Jordklotet är elektriskt laddat. Man har mätten vertikal elektrisk fältstyrka på 100 V/mriktad mot marken, d.v.s. jordklotet är nega-tivt laddat.

Runt jorden rusar framåtgående och reflek-terad effekt, på samma sätt som när vi mättepå den slitsade ledningen. Skillnaden är atti den slitsade ledningen hade vi en växel-spänningssignal, runt jorden har vi en lik-spänningssignal.

Om vi ansluter ett batteri till den slit-sade ledningen så skapar vi en framåtgå-ende och reflekterad likspänningssignal iledningen. Men vi har ingen möjlighet attmäta på denna signal med en liten mät-antenn eller med en riktkopplare. Mätanten-nen eller riktkopplaren fungerar bara förväxelspänningssignaler.

Eftersom vi inte kan bygga någon sän-darantenn för likspänningssignal så kan viheller inte konstruera någon mottagar-antenn. De likspänningssignaler som rusarrunt jorden är helt enkelt svåra att mäta.

En möjlighet är att hissa upp en läck-ande plåthink med vatten. När plåthinkenkommit upp i luften så har den fortfarandesamma potential som nere vid marken. Mennär vattendropparna läcker ut så tar de medsig laddning så att hinken, när vattnet är slut,har fått samma potential som omgivningenpå den höjden. Sedan hissar man ner hin-ken och mäter spänningen mellan hinkenoch jord med en känslig elektrometer.

Regnväder innebär annan kapacitivitet.I regnmolnet rusar signalerna genom ettdielektrikum. Detta innebär annat rε , annatförhållande mellan E och H. I detta fall skallE-fälten vara lika starka i och utanför regn-molnet. Det innebär att vi får kraftigare H-fält, högre effekttäthet S på signalen när dengår i regnmolnet. Vad händer när det slutarregna? E-fältet stiger över en sträcka sommotsvarar molnet. Vi får något som liknarkondensatorn som jag snodde ihop till enladdning. Samma sak händer med över-skottsenergin. Den snor ihop sig till en ladd-ning, eller två laddningar, en plus- och en

minusladdning. Med lite fantasi så kan mannästan tänka sig att energin drar ihop sig tillpunktladdningar och kanske t.o.m. skaparny materia.


287

© Per Wallander

17.14 Vad är en magnet för något?

P-

P+

Kortslut transmissionsledningen. Låt denframåtgående och reflekterade effektenfasvridas i ändarna och ”studsa”. De elek-triska fältstyrkorna är motriktade, medan demagnetiska fältstyrkorna samverkar rakt ige-nom ledningen.

Magnetisk fältlinje kan inte ”ta slut”De magnetiska fältlinjerna slutar inte pånågonting. De är slutna banor eller går frånoändligheten till oändligheten. Det finns ingetsätt på vilket vi kan dela ledningen så att vifår fältlinjen att sluta på något. Hur vi än läg-ger volymen över vars yta vi integrerar, såkommer varje fältlinje som går in i volymenockså att komma ut på andra sidan. Dettabeskriver vi på något av följande tre sätt:

0

0

0

a

B da

div B

B

⋅ =

=∇ ⋅ =

∫

Det går att tänka sig en magnetisk partikelbestående av signaler som snurrar åt olikahåll, på samma sätt som för den elektrisktladdade partikeln. Elektriska fältstyrkorna äröverallt motriktade. Däremot kommer demagnetiska fältstyrkorna bara att samverkai en riktning, i bilden ”ut från papperet”. Denmagnetiska partikeln är inte rotations-symmetrisk.

Om två magnetiska partiklar justerar in sig,sida vid sida som i den undre bilden, så kom-mer de magnetiska fältstyrkorna att sam-verka. Dessutom kommer signalerna somsnurrar runt partiklarna att samverka i ut-rymmet mellan partiklarna, ett tillstånd därpartiklarna kan dra nytta av varandras ener-gier.


288


positiv laddning

E = 10

E = 8

positiv laddning

E = 10 +1

E = 8 - 1

negativ laddning

positiv laddning

E = 10 - 1

E = 8 + 1

positiv laddning

17.15 Varför attraheras partiklar med olika laddning?

Första bilden visar de cirkulerande signa-lerna runt en partikel som är positivt laddad.Jag har gjort en delförstoring som visar hurdet ser ut på ena sidan av partikeln.

På visst avstånd är summan av de elek-triska fältstyrkorna 10 V/m. På lite längreavstånd är de elektriska fältstyrkorna sva-gare, säg 8 V/m. Dessa fältstyrkor represen-terar effekten i signalerna som snurrar runtladdningen, och totala energin som är bun-den till denna laddning antar vi helt rått ärproportionell mot kvadraten på dessa sig-naler.

= + =2 21 10 8 164W

Vi tar ytterligare en liten laddning med fält-styrkan 1 V/m. Den har ungefär energin 2.

= + + =2 2(10 8 ) 2 166totW

För in en negativ laddningI detta fall kommer fältstyrkorna att adderasnärmast partikeln, medan fältstyrkorna sub-traheras på andra sidan. Vi beräknar totalaenergin.

= + + − =2 22 (10 1) (8 1) 170W

Vi ser att totala energin har ökat.

Addera en positiv laddningNu gör vi samma sak med en positiv ladd-ning och får svagare fältstyrka närmastpartikeln men starkare fältstyrka längre ifrån.

= − + + =2 23 (10 1) (8 1) 162W

Vi ser att totala energin blir mindre än i för-sta exemplet.

Naturen är ”lat”Naturen strävar efter att vara så energisnålsom möjligt. I fallet med den positiva ochnegativa laddningen så behöver detta inteleda till att totala energin ökar till 170, utandet finns möjlighet för dessa partiklar att till-sammans ha energin 166 utan att de varoch en behöver ha 164 + 2. De lever i sym-bios, drar nytta av varandra, och kan inteskiljas för då hamnar båda partiklarna un-der den kritiska energigränsen.


289

© Per Wallander

17.16 Varför attraheras neutrala partiklar (tyngdkraft)?

En neutral partikel består av en positiv par-tikel och en negativ partikel. Runt dennaneutrala partikel finns fyra signaler, som tvåoch två har motriktade magnetiska fält-styrkor, och i den andra kombinationen tvåoch två som har motriktade elektriska fält-styrkor.

TyngdkraftNär två sådana neutrala partiklar placeras ivarandras närhet så ser man att det finnssignaler som samverkar (samma riktning,samma polarisation). Detta innebär högreenergitäthet i det gemensamma området.

Om man särar på partiklarna så kommertotala energimängden att minska, ett tillståndsom partiklarna försöker förhindra. De drasmot varandra.


290


17.17 Hur snabbt är ljushastigheten?

När ljus passerar en tung himlakropp så böjsstrålgången. Detta förutsades av Einstein,och mätningar vid en solförmörkelse var för-sta experimentet som visade att Einsteinkunde ha rätt.

Om himlakroppen består av eller om-ges av signaler som snurrar så kan mantänka sig att dessa signaler kan ”låna” en-ergi ur andra signaler som passerar, och attett sådant lån kan innebära att den lånadestrålen under viss sträcka följer cirkelbanan,d.v.s. går längre väg. På så vis kommer våg-fronten att krökas.

Men ljuset har ljusfrekvens. De signaler somsnurrar är likspänning? Hur går det ihop?

Finns egentligen likspänning? Om vihaft ”Big Bang” så har allt en början, allt ärpulsformat, och pulser kan delas upp i sittspektrum som för pulsers del innehåller istort sett alla frekvenser.

Kapacitivitetstalet rεI ett dielektrikum kan man tänka sig att die-lektrikats molekyler ställt in sig i ett så energi-konservativt läge som möjligt. Positivt ochnegativt laddade partiklar utnyttjar varandramaximalt.

När man skickar signal genom dettadielektrikum hittar molekylerna andra sättsom är optimala genom att ”låna” energin isignalen. Signalen kommer att åka slalom,och det tar längre tid att komma fram.

Detta upplever vi som om signalen gårlångsammare, trots att vi kanske bara haren enda ljushastighet. Exakt detsamma skeri vågledaren. Signalerna går med ljushastig-heten i vakuum, men i sicksack.

Relativa permeabiliteten rµOm materialet innehåller molekyler som ärmagnetiska så får signalerna (i elektrisktledande material måste det vara två signa-ler) molekylerna att inordna sig så att mag-netiska fältstyrkorna samverkar, samtidigtsom signalerna åker slalom, tycks gå lång-sammare. 0

0 0

1c

µ ε=

Stjärnan ”lånar” och lämnartillbaka energi från ljusstrålen.

Finns det bara en ljushastighet?

signalens verkliga väg

tid för signalen att ta sig igenom

xt=

∆ =

0

0 0

1 xc

tµ ε= =

∆ 0

1

r

ec c

t ε= = ⋅

∆

r

xe

ε=

e

e

0

0 0

1 xc

tµ ε= =

∆ 0

1

r

ec c

t µ= = ⋅

∆

r

xe

µ=


291

© Per Wallander

17.18 Laddning i rörelse, magnetfält och massa

Vi utgår från en positivt laddad partikel ochde två signalerna som snurrar runt partikeln.E-fälten samverkar medan H-fälten är mot-riktade och inte märks.

Nu tittar vi på de signaler som snurrar i and-ra projektionen. Där ser vi spetsen på deelektriska fältstyrkorna, och de båda mot-riktade magnetiska fältstyrkorna.

Partikeln rör sig med konstanthastighetNästa bild visar partikeln när den rör sig medkonstant hastighet. Vad som då händer äratt signalerna inte längre snurrar i cirklarutan i spiraler. De följer med när partikelnrör sig. H-fälten är riktade vinkelrätt motsignalernas rörelseriktning. H-fälten tar intelängre ut varandra utan vi får en resulterandemagnetisk fältstyrka som snurrar runtpartikelns rörelsebana med riktning enligtskruvregeln. Detta är det ”magnetfält”,egentligen den magnetiska fältstyrka, sombildas när ström flyter i en ledare.

Partikelns massaNär en partikel ökar sin hastighet så ökarinte rörelsemängden proportionellt mot has-tigheten i kvadrat, utan betydligt mer, ochgår mot oändligheten när hastigheten när-mar sig ljushastigheten. Tidigare sade manpopulärt att partikelns massa ökade närhastigheten ökade.

Titta på bilden här bredvid. De signalersom rusar runt partikeln i spiral när partikelnrör sig, de signalerna (som ju går med ljus-hastigheten) kommer att gå i spiral med alltmindre radie, ju fortare partikeln rör sig. Sig-nalerna ”kramas” ihop, elektriska fält-styrkorna ökar och partikeln ”binder” merenergi. Partikeln kanske verkligen får större”massa”.

Stillastående partikel

Partikel i rörelse

E

E

E

E

H

H

H H

När den positiva partikeln rör sigkommer signalerna att gå i spiral vilketger en resulterande magnetiskfältstyrka H som är riktad runtladdningens bana, enligt skruvregeln.


292


Även signalerna i andra planetNu tittar vi på de signaler som snurrar runtden positiva laddningen i samma plan somrörelsen.

Ge laddningen fart så att den rör sig åthöger. Vad händer med signalerna som snur-rar? för att de skall hinna komma runt etthelt varv med ljushastigheten samtidigt sompartikeln rör sig, så måste signalerna ”gina”,d.v.s. gå en kortare väg när de skall förbi ipartikelns rörelseriktning, och ta en längreväg i andra riktningen för att inte hamna förlångt bakom partikeln. Vi får en förskjutningav signalerna i sidled.

Denna förskjutning leder till att fält-styrkorna koncentreras när de går närmastpartikeln. Här binds mest energi, och dennaenergi rör sig i samma riktning som partikeln.Vi ser även i denna bild den resulterandemagnetiska fältstyrkan som snurrar enligtskruvregeln runt partikeln.

Signal på ledningenNu låter vi framåtgående signal gå i utrym-met mellan ledarna i en ledning. Signalenutbreder sig som en sfärisk våg, där fältstyr-kan kan delas upp i en plan vågfront ochtvå små sidoriktade komponenter som ma-tar signal in i ledningens ledare.

Den fältstyrka som ligger parallellt medledaren driver en positiv laddning åt högerså att det blir laddningsöverskott till höger.Då uppstår en motriktat elektrisk fältstyrka,och tillsammans med magnetiska fältstyrkanrunt ledaren matar denna elektriska fält-styrka signal ut ur ledaren.

Om det finns resistans i ledaren kom-mer laddningarna inte att kunna ge tillräck-ligt hög motriktad fältstyrka. Då matas detin mer effekt i ledaren än vad som kommertillbaka i form av elektromagnetisk signal.Det blir värmeutveckling. Ohmskt motstånd.


293

© Per Wallander

Kortsluten ledningNu kommer signalen fram till ledningensända som är kortsluten.

Vi får ett elektrisk fältstyrka som matarpositiva laddningar nedåt, som ger ladd-ningsöverskott i underkanten och en elek-trisk fältstyrka riktat uppåt. Tillsammans medden magnetiska fältstyrkan bildar detta denreflekterade signalen på ledningen.

Laddningsöverskott driver tillbakaladdningenNär de positiva laddningarna kommer tillledningsändan så bildas efter ett litet tagöverskott på elektrisk laddning, som ger förhög motriktad elektrisk fältstyrka, som dri-ver tillbaka laddningarna. Signalerna för-skjuts åt andra hållet.

Vi ser hur det bildas en signal som går imotsatt riktning, en reflekterad signal med”rätt” polarisation.

reflekteradsignal


294


17.19 Radiostrålning och gravitationsstrålning

Elektromagnetiska vågorMen det händer något mer när signalen nården öppna ledningen. Laddningarna brom-sas in.

Titta på bilden. Den positiva partikelnaccelereras åt höger. Då förskjuts signal-cirklarna. Den ena cirkeln förskjuts uppåt.Den signal som roterar i denna cirkel kom-mer att bli starkare, även långt bort, efter-som cirklarna finns, svagare och svagare,ända ut till oändligheten.

Den andra cirkeln förskjuts nedåt. Densignal som roterar i denna cirkel och strålaruppåt kommer att bli svagare. Men det ärsamma sak som att den motsatta polarisa-tionen blir starkare. Förändringen i signa-lerna samverkar, och denna förändring kanvi upptäcka på långt avstånd. Det är dessaförändringar som vi kallar radiostrålning.

Elektriskt laddade partiklar som accelere-rar i ena eller andra riktningen (det inbegriperäven retardation) kommer att åstadkomma”krusningar på vattenytan”, elektriska ochmagnetiska fältstyrkor som sätter fart påelektriskt laddade partiklar, oavsett om par-tiklarna befinner sig i ”metall” eller i ettplasma.

När likströmssignalen kommer till tedarensända accelereras laddningen i motsatt rikt-ning. Vi får radiostrålning. Men vi får ävenlika mycket radiostrålning med omvändpolatitet från den andra ledarens ända.Radiostrålningarna tar ut varandra.

GravitationsvågorNär en neutral partikel ökar sin hastighet såfinns fyra signaler som snurrar runt partikeln.Två av dessa signaler kommer att förskju-tas åt vänster, två förskjuts åt höger. Vi fåralltså en tyngdpunktsförskjutning i dessabåda energifält, som sprids utåt, som gravi-tationsvågor. Men dessa gravitationsvågorger krusningar av båda polarisations-riktningarna. Det blir ingen resulterandeelektrisk och/eller magnetisk fältstyrka, ingetsom kan detekteras i en radioantenn.

dennaminskar

dennaökar

acceleration

acceleration

acceleration

Radiostrålning från accelererandepositivt laddad partikel.


295

© Per Wallander

17.20 Batteriet

Hur beskriver vi batteriet?Den vanliga beskrivningen av ett batteri ärspänningskällan som har inre resistans. Närbatteriet belastas med en last vars resistansär lika med batteriets inre resistans så får viut halva batterispänningen.

Men detta är ju transmissionsledningenNär transmissionsledningen belastas meden lastresistans vars värde är lika med led-ningens karakteristiska impedans, då får viut halva spänningen.

Man kan tänka sig att i batteriet finns någonkemisk process som driver positivt laddadepartiklar från minuspolen till pluspolen. Dettager överskott på negativ laddning vid minus-polen och överskott på positiv laddning vidpluspolen. Vi får en elektrisk fältstyrka rik-tad från plus till minus i batteriet. Mot dennaelektriska fältstyrka driver den kemiska pro-cessen positivt laddade partiklar. Det upp-står en roterande magnetisk fältstyrka, somtillsammans med den elektriska fältstyrkankommer att driva elektromagnetisk effekt utpå ledningen, i båda riktningarna. Om ingetfinns anslutet så reflekteras signalerna.

Bara växelström kan ”stråla”Det intressanta med denna bild av batterietär att vi åstadkommer elektromagnetisklikströmsstrålning. Men för att kunna åstad-komma denna likströmsstrålning så måstede positiva laddningarna ha någonstans attta vägen. Vi behöver ledningen som för bortladdningarna så att den kemiska processenkan driva nya laddningar genom batteriet,så att det bildas mer ”likströmsstrålning”.

Om laddningarna däremot får gungafram och tillbaka, som på antennen, då be-höver vi inga ledningstrådar som för bortladdningarna .

iR

0 iZ R=

U

/2U

/ 2U

Är detta ett batteri?

Det skulle ju faktiskt lika gärnakunna se ut så här.


296


BILAGA — Formelsamling

297

© Per Wallander

FormelsamlingFormelsamlingen bygger på den formelsam-ling i telekommunikation som sedan tidigarefår användas vid tentamen i telekommuni-kation vid ingenjörsskolan i Haninge.

Det kan finnas bokstavsbeteckningar somavviker från de som jag använder i boken,men detta är den värld som väntar den fär-diga ingenjören. Det finns ingen enhetligstandard för bokstavsbeteckningar när detgäller telekommunikation, utan man måsteveta vad man gör.


298


0. ÖvrigtDecibel

0.1 [ ] [ ]10logP dBm P mW= Effekt uttryckt i dBm.

0.2 [ ] [ ]10logP dBW P W= Effekt uttryckt i dBW.

0.3 [ ] 10log 10log 10logutp ut in

in

PA dB P P

P= = − Dämpning, eller förstärkning.

0.4 [ ][ ]1010

P dBW

P W = Omräkning från dBW till effekt.

Datakommunikation

0.5 2

loglog

log2M

n M= = M = antal olika symboler, n = bit/symbol.

0.6 [ ] [ ]/ /bit symbC bit s n C symb s eller baud= ⋅

0.7 [ ]log 1

/log2bit

SB

NC bit s

⋅ + = Shannons formel.

0.8 [ ] [ ]/ 2symbC symb s eller baud B Hz= ⋅ Max symbolhastighet vid linjekodning.

0.9 [ ] [ ]/symbC symb s eller baud B Hz= Max symbolhastighet vid modem-kommunikation.


299

© Per Wallander

1. Ledningar

1.10

r j lZ

g j cωω

+=+

1.2 0

lZ

c=

1.3 V V V+ −= +

1.40 0

V VI I I

Z Z

+ −+ −= − = −

1.5 0

0

L

L

Z ZVV Z Z

ρ−

+

−= Γ = =+

1.6cωβ = Faskonstant (rad/m).

1.7 02 1

r r

ccf f

πλβ ε µ

= = = ⋅ Våglängd.

1.8 00

0

cos sincos sin

Lin

L

Z s jZ sZ Z

Z s jZ sβ ββ β

+=+

Inimpedansen för en s m lång ledning.

1.9 max

min

1

1

V VVSVF

V V V

ρρ

+ −

+ −

+ += = =

−−Ståendevågförhållandet.

1.10 maxmax 0

min

VZ Z SVF

I= = ⋅ Impedans i ett spänningsmaximum.

1.11 0minmin

max

ZVZ

I SVF= = Impedans i ett spänningsminimum.

1.12 0 LZ Z R= ⋅1.13 Karakteristisk impedans för

några ledningar:

Karakteristiska impedansen beräknad urledningens primärkonstanter.

Karakteristiska impedansen vid förlustfriledning.

Framåtgående och reflekterad spänningpå ledningen.Framåtgående och reflekterad ström. OBSströmmens riktning.

reflexionskoefficient.ρ = Γ = belastningsimpedans.LZ =

Kvartsvågstransformatorns karakteristiskaimpedans.

D

d

D

d

0

1 2 276 2ln log

r

D DZ

d dµ

π ε ε= ⋅ ≈ ⋅

0

1 138ln log

2 r

D DZ

d dµ

π ε ε= ⋅ ≈ ⋅

a

b

h

w

0

377

r

h hZ

w wµε ε

≈ ≈ ⋅

0

377

r

b bZ

a aµε ε

= ≈ ⋅


300


2. TEM-vågorAllmänt

Konstanter: 70 4 10 /H mµ π −= ⋅ ⋅

90

110 /

36F mε

π−≈ ⋅ 8

0 3 10 /c m s≈ ⋅

2.12

2 effeff eff eff TEM

TEM

ES H E H Z

Z= ⋅ = ⋅ = Strålningstäthet.

2.2 TEMZµε

= Vågimpedansen.

120 377TEMZ ο

ο

µ πε

= ≈ ≈ Ω Vågimpedansen i vakuum.

2.31

cµε

= Elektromagnetiska signalens hastighet.

2.40

1

fδ

π µ σ= Skindjup, σ = materialets konduktivitet.

2.52eff

TEM

EP a b

Z= ⋅ ⋅ Signalens effekt i en plattledning.

TE10-mod i rektangulär vågledare

2.72

001

2

x TEMTE TEM

RR R

a

λλ λ

= ⋅ = −

Vågimpedans.

2.82 2

01 12

f x

g

c cv f

fa f

λλ

= ⋅ = = − −

Fashastighet.

2.922

12g

f

cv c

v aολ = = −

Grupphastighet.

2.102

102eff

TE

abEP

R= Effekt i vågledare.

2.11 12g

g r

c cf

aλ ε= = ⋅ Gränsfrekvens.


301

© Per Wallander

3. Antenner

3.1 ut sL

S s f

P RP R R

η = =+

3.20 24

utPS

rπ=

3.3 max max2

0 / 4ut

S SD

S P rπ= =

3.4 max2/ 4 L

S

SG D

P rη

π= = ⋅ Antennvinst (”gain”).

3.520

4m

e

PA G

Sλπ

= ⋅ = Absorptionsarea.

3.6 SEIRP P G= ⋅ Effektivt isotropt utstrålad effekt.

3.7 [ ] [ ]32,4 20log 20logs km MHzL dB dB d f= − − −

4. BrusKonstanter: Bolzmanns konstant: 231,38 10 J/°Ck −= ⋅ Temperatur: 0 290 KT =

4.3 0N kT= Spektralfördelning, vitt brus (W/Hz).

4.4 4nE kTBR= Tillgänglig brusspänning (effektivvärde).

4.5 thN kTB= Tillgänglig termisk bruseffekt.

4.6(290 ) (290 )

ututin

in k ut in k

NSSNR

N N G N= =

⋅Brusförhållande (Noise Ratio).

4.7 0( 1)eqT NR T= − ⋅ Ekvivalent brustemperatur.

4.8 21

1 1 2 1

1 1....

.....n

n

NR NRNR NR

G GG G −

− −= + + + NR, kaskadkopplade förstärkarsteg.

4.9 21

1 1 2 1

...........

eq eqneq eq

n

T TT T

G GG G −

= + + + eqT , kaskadkopplade förstärkarsteg.

4.10 [ ] 10logNF dB NR= Brusfaktor i dB.

4.11 [ ] [ ]290 174 10logth KN dBm dBm B= − + Termiskt brus i dBm vid 290 K.

4.12 [ ] [ ]290 204 10logth KN dBW dBW B= − + Termiskt brus i dBW vid 290 K.

utP = Utstrålad effekt, SP = till antennenmatad effekt, sR = strålningsresistans,

fR = förlustresistans.

0S = strålningstäthet från isotrop antennpå avståndet r.

Antennens direktivitet. maxS = strålnings-täthet i bästa riktningen.

”Free space loss” mellan isotropaantenner.


302


1,0

0,9

0,8

0,7

0,6

0,5

0,4

0,3

0,2

0,1

0

−0,1

−0,2

−0,3

−0,40 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12

Modulationsindex (mf)

J0(mf)

J1(mf)

J2(mf)J3(mf)

J5(mf) J6(mf) J7(mf) J8(mf)

J4(mf)

5. ModuleringAmplitudmodulering

_______________________ Omodulerad bärvågssignal ______________________

1. cosc cE tω__________________ Modulerande signal (informationssignal) _________________

1. cosm mE tω2. ( )m t

________________________________ AM _______________________________

1. (1 cos )cosmc m c

c

EE t t

Eω ω+ modulationsindex: max min

max min

ma

c

U U Em

U U E−= =+

2. ( ( ))cosc cE m t tω+___________________________ DSB utan bärvåg __________________________

1. cos cosc m m ckE E t tω ω k är en apparatkonstant (förstärkning)

2. ( )cosc ckE m t tω


303

© Per Wallander

Argumentmodulering PM FM

_______________________ Omodulerad bärvågssignal ______________________

cosc cE tω cosc cE tω_________________ Modulerande signal (informationssignal) ________________

1. cosm mE tω cosm mE tω2. ( )m t ( )m t________________________ Modulerad bärvågssignal _______________________

1. cos( cos )c c p mE t m tω ω+ cos( sin )c c f mE t m tω ω+

2. cos( ( ))c cE t k m tθω +0

cos( 2 ( ) )t

c c fE t k m dω π τ τ+ ∫____________________ Modulationsindex (= fasdeviation)____________________

p mm k Eθ= cf mf

m m

fk Em

f f∆= =

____________________________ Momentan fas ___________________________

1. cosc p mt m tω ω+ sinc f mt m tω ω+

2. ( )ct k m tθω +0

2 ( )t

c ft k m dω π τ τ+ ∫________________________Momentan vinkelfrekvens _______________________

1. ( sin )c p m mm tω ω ω+ − cosc f m mm tω ω ω+

2. ( )c k m tθω + 2 ( )c fk m tω π+__________________________ Momentan frekvens _________________________

1. ( sin )c p m mf m f tω+ − cosc f m mf m f tω+

2.( )

2c

k dm tf

dtπΦ+ ⋅ ( )c ff k m t+

_____________________________ Bandbredd ____________________________

2( )mB f f= + ∆ (Carsons regel)


304


Trigonometriska formler

α αα β α β α βα β α β α βα β α β α βα β α β α β

α βα βα β

α β

+ =+ = +− = −+ = −− = +

++ =−

− =

2 2(1) sin cos 1





tan tan(6) tan( )

1 tan tan

tan(7) tan( )

α βα β

β αα ββ αβ αα ββ α

α α αα α α α α

α αα α

−+

−+ =+

+− =−

=

= − = − = −− += =

2 2 2 2

2 2

tan1 tan tan

cot cot 1(8) cot( )

cot cot

cot cot 1(9) cot( )

cot cot

(10) sin2 2sin cos

(11) cos2 cos sin 2cos 1 1 2sin

1 cos2 1 cos2(12) sin ; (13) cos

2 2

(α β α β

α β

α β α βα β

α β α βα β

α β α βα β

α β α β α β

α β α β α β

α

+ −+ =

− +− =

+ −+ =

+ −− = −

= − + +

= − + +

14) sin sin 2sin cos2 2

(15) sin sin 2sin cos2 2

(16) cos cos 2cos cos2 2

(17) cos cos 2sin sin2 2

1 1(18) sin cos sin( ) sin( )

2 21 1

(19) cos cos cos( ) cos( )2 2

(20) sin s

α α α α

β α β α β

α α− −

= − − +

+ −= =

1 1in cos( ) cos( )

2 2

(21) cos ; (22) sin2 2

j j j je e e e

j


305

© Per Wallander

6. Optokommunikation

6.1 1 12 2symb

b

B Cσ

= =⋅

Bandbredd p.g.a. pulsbreddning.

6.2[ ]

[ ]m 1od

B Hz kmB L km

L km

−≈ ≤ Bandbredd p.g.a. moddispersion.

[ ][ ]m 1od

B Hz kmB L km

L km

−≈ >

6.3

2 2mod

1

1 1tot

krom

B

B B

=+

Total bandbredd.

9. FourierserierDefinition 1: (komplexa Fourierserier)

0( ) jn tn

n

x t c e ω∞

=−∞

= ∑ där

01

( ) jn tn

p

c x t e dtT

ω−= ⋅∫

Definition 2: (trigonometriska Fourierserier)

0 0 01

( ) cos( ) sin( )n nn

x t a a n t b n tω ω∞

== + +∑ där

0

1( )

p

a x t dtT

= ∫ 0

2( ) cos( )n

p

a x t n t dtT

ω= ⋅∫ 0

2( ) sin( )n

p

b x t n t dtT

ω= ⋅∫

Definition 3: (alternativa Fourierserier)

0 01

( ) cos( )n nn

x t A A n tω α∞

=

= + ⋅ +∑ där

0 0

1( )

p

A a x t dtT

= = ∫

2 2n n nA a b= +

tan( ) nn

n

ba

α −= [ ]arctan( ) ( ) 0)nn n

n

bom a

aα π−= + ← <


306


A

-A

T0

T

A

0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

d.

a.

b.

c.

0( ) cos2u t A f tπ=

0

1f

T=

0 0( ) cos2u t V A f tπ= +

0V

0sin2A f tπ

0 0 0

0 022

2 2( ) sin2 cos2 (2 ) cos2 (4 )

2 3 15

1 ( 1)sin2 cos2 ( )

2 (1 )

n

n

A A A Au t f t f t f t

AA Af t nf t

n

π π ππ π π

π ππ π

∞

=

= + − − − ⋅ ⋅ ⋅

+ − = + +−∑

0 0

021

2 4 4( ) cos2 cos2 (2 )

3 152 4 ( 1)

cos2 ( )1 (2 )

n

n

A A Au t f t f t

A Anf t

n

π ππ π π

ππ π

∞

=

= + − + ⋅ ⋅ ⋅

−= + −

∑

Några vanliga funktioner:


307

© Per Wallander

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

T0

T

A

τ

T0

T

A 4T

g.

h.

i.

j.

f.

e.

Observera att uttrycket bara gäller när ”pulsbredden” ärperiodtiden dividerat med fyra.

0 0

0

2 2( ) sin2 sin2 (3 )

32

sin2 ( )n udda

A Au t f t f t

Anf t

n

π ππ π

ππ

∞

=

= + + ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

0 0 0

01

2 2 2( ) cos2 cos2 (3 ) cos2 (5 )

3 5sin / 2

cos2 ( )/ 2n


nA nf t

n

π π ππ π π

π ππ

∞

=

= − + − ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

01

sin2 /( ) 2 cos2 ( )

/n

Tu t A A nf t

T T n Tτ τ πτ π

πτ

∞

=

= + ∑

0

sin / 4( ) cos2 ( )

/ 4n udda

nu t A nf t

nπ π

π

∞

=

= ∑

0 0 02 2 2

02

8 8 8( ) cos2 cos2 (3 ) cos2 (5 )

9 258

cos2 ( )( )n udda


Anf t

n

π π ππ π π

ππ

∞

=

= + + + ⋅ ⋅ ⋅

= ∑

( )1 10 0 02 3

10

1

2( ) sin2 sin2 (2 ) sin2 (3 )

2( 1) sin2 ( )n

n

Au t f t f t f t

Anf t

n

π π ππ

ππ

∞−

=

= − + − ⋅ ⋅ ⋅

= − ∑


308


Våglängder

mot lasten

Våg

läng

der

mot

gene

rato

rn0,

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

2,0

3,0

5,0

10

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

0,05

0,45

0,10

0,40 0,35

0,15

0,20

0,30

0,25

0,30

0,350,40

0,45

0,05

0,10 0,15

0,20

0,25

1,5

2

3

4

5

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

1,0

1,5

2

3

4

5

1,0

4,0


Indu

ktiv

reak

tans

kom

pone

nt(+

jX/Z 0)


Kapacitiv



Förenklat Smithdiagram

INDEX

309

© Per Wallander

INDEX

2B1Q, 1568PSK, 170

A/D-omvandling, 142ADSL, 155A-lag, 145aliasing distorsion, 143AM-detektor, 74AM-mottagare, 98Ampère, 279amplitude skift keying (ASK), 160amplitudmodulering, 66amplitudspektrum, 28anpassning, 195, 218, 221antennbrustemperatur, 257antennvinst (G), 244antipodal 2ASK, 163argumentmodulering, 110ATM, 188atmosfärbrus, 257atmosfärgas, 255automatic repeat request (ARQ), 172

balanserad blandare, 82bandbredd, 72, 266basband, 64basstationsantenn, 243baud, 148begränsare, 126, 128Besselfunktioner, 117bithastighet, 151bit-stuffing, 181bitsynkronisering, 140block check sequence (BCS), 172blockkoder, 176BPSK, 163broadcastadress, 182, 187brus, 91, 256brusfaktor, 54brusförhållande, 54brustemperatur, 53, 106bruströskel, 130bruströskelsänkande FM-detektor, 134

brytningsindex, 264bärvåg, 70

carrier, 70Carsons regel, 119cellförmedlande nät, 188cirkulär polarisation, 236Coulomb, 278cyclic redundancy check (CRC), 172

D/A-omvandling, 142data communication equipment (DCE), 178data radio channel (DARC), 95data terminal equipment (DTE), 178datalänklagret, 141dBd, 244dBi, 244dBm, 24, 104dBW, 24, 104decibel, 22, 104, 252deemphasis, 131deltoner, 35deviation, 113dipolantenn, 234direktivitet (D), 242dispersionsskiftad fiber, 265double sideband (DSB), 82dsb-modulering, 84dubbelsuperheterodyn, 102dubbla sidband, 82dynamik, 145dämpning, 22, 263

EDGE, 170effective aperture, 245effective isotropic radiated power

(EIRP), 250effective radiated power (ERP), 251effekt, 77effektiv absorptionsarea, 245effektiv mottagningsarea, 245effektmeter, 210effektspektrum, 30effekttäthet, 242

INDEX

310


elektron, 228enkelt sidband, 88envelopp-detektor, 75E-plansdiagram, 239

F, 54faltningskodning, 141, 176Faraday, 279fasdetektor, 132faslåst loop, 132faslåst slinga, 132fasmodulering, 67, 111fasspektrum, 28fasta telenätet, 154fasvinkel, 11FDM-telefoni, 96felrättning, 176flagga, 181flankdetektor, 126FM-stereo, 93Fourier-serie, 26Fouriertransform, 41, 44frame check sequence (FCS), 172, 182framåtgående effekt, 195frekvens, 10frekvensdomän, 31frekvensmodulering, 67, 111frequency division multiplex (FDM), 96, 185fyrkantvåg, 26fysiska lagret, 140fädningsmarginal, 255förbindelselöst, 186förbindelseorienterat, 186förkortad dipol, 237

gain (G), 244galaktiskt brus, 257Gauss, 279Gaussiskt brus, 50Gaussiskt filtrerad MSK (GMSK), 167generatorpolynom, 173GFSK, 167gradientindexfiber, 261Gray-kodning, 170gränssnitt, 140

hagelbrus, 53halvvågsantenn, 232halvvågsdipol, 235, 237Hammingkodning, 176Hartley, 148HDLC, 180

helixantenn, 236Hertz experiment, 231Hertz, 190horisontell polarisation, 236H-plansdiagram, 239hårdvaruhandskakning, 178högfrekvenssteg (HF), 101

I-brus, 91icke-koherent 2FSK, 165IEEE 802.2, 180I-kanal, 90impedansbestämning, 216interface, 140IP-protokollet, 187I-ram, 182ISDN-nätet, 156isotrop antenn, 242

jω-metoden, 18jämn funktion, 36

kabel-tv, 211karakteristisk impedans, 193klass A-förstärkare, 66klass C-förstärkare, 66koaxialledning, 194kodning, 144koherent 2FSK, 166koherent detektor, 86, 166kollinjär antenn, 240komplex Fourier-serie, 41, 44kondensator, 224kontrollsumma, 172kortsluten stubbe, 222kretskopplat nät, 185kristall, 135kristallmottagare, 98kromatisk dispersion, 265kvadraturdetektor, 127kvantisering, 144kvantiseringsbrus, 145kvartskristall, 135kvartsvågsantenn, 238kvartsvågstransformator, 218

laddning, 228Laplacetransform, 41, 44laserdiod, 260light emitting diode (LED), 260limiter, 126linjekodning, 64, 156

INDEX

311

© Per Wallander

link access procedure (LAP), 180ljushastighet, 190lob, 239logical link control (LLC), 180lokaloscillator, 99lower sideband (LSB), 70, 88lågfrekvenssteg (LF), 101länkbudget, 253

man-made noise, 53, 257mantel, 260masken, 198materialdispersion, 264Maxwell, 190, 280medeleffekt, 29mellanfrekvenssteg (MF), 101minimum skift keying (MSK), 166mjuk avkodning, 176moddispersion, 260modkoppling, 267modulationsindex, 69, 114modulering, 65moduleringsgrad, 69modulo-2, 173motståndsbrus, 48mottagarantenn, 246multi tone-teknik, 155multiplikator, 82mätning av antennvinst, 244

next to receive (NR), 184noise factor (NF), 54noise ratio (NR), 54normalfördelat brus, 50now sending (NS), 184Nyquistfiltrering, 149, 160nätverksanalysator, 211nätverkslagret, 141

ODFM, 165optofiber, 260ortogonal mottagning, 165oscillator, 66OSI, 140

P/F, 183paketförmedlande nät, 186parabolantenn, 241, 243parallelledning, 194PCM-kodning, 144periodisk signal, 35periodtid, 10

phase shift keying (PSK), 169pilot, 93plattledning, 194polarisation, 236Poyntings vektor, 190preemphasis, 131primary, 181produktdetektor, 82protokoll, 140PSTN-nätet, 154puls code modulation, 144pulsräknande detektor, 127

Q-brus, 91Q-kanal, 90quad amplitude modulation (QAM), 90

radio data system (RDS), 95radiomottagare, 249radiostrålning, 190radiosändare, 248reflekterad effekt, 196reflektorantenn, 241reflexionskoefficient, 197, 207regn, 255resonans, 230riktantenn, 240riktkopplare, 210ringmodulator, 82RR, 183RS-232, 178

sampling, 142samplingsteoremet, 143satellitmottagare, 103SDLC, 180secondary, 181sektorantenn, 243sessionslagret, 141Shannons formel, 152shot noise, 53signal/brusförhållande, 58, 92, 106signalvektor, 159single sideband (SSB), 88sinusformad spänning, 10slitsad ledning, 208, 216SNRM, 183spegelfrekvens, 99, 100spektrum, 28spektrumanalysator, 30spänningsstyrd oscillator (VCO), 112S-ram, 182

INDEX

312


stackade dipoler, 240stationär växelström, 19stegindexfiber, 261stereodekoder, 93stereokoder, 93stripline, 194ström, 191stubbe, 222stympat sidband, 80styrkristall, 135stående våg, 205ståendevågförhållande (SVF), 207superheterodynprincipen, 99SVF-meter, 210symbolhastighet, 148synkron digital hierarki (SDH), 185synkronisering, 168

telenätet, 185termiskt brus, 46tidsdomän, 31time division multiplex (TDM), 185transportlagret, 141trigonometriska formler, 15träd, 255tröskelsänkande FM-detektor, 134tv-signal, 80

UA, 183udda funktion, 36undre sidband, 70, 88upper sideband (USB), 70, 88U-ram, 182

V.24, 178V.32-modem, 168V.34-modem, 154, 168V.90-modem, 157wavelength division multiplexing (WDM),

268vertikal polarisation, 236vestigial sideband (VSB), 80vikningsdistorsion, 143voltage controlled oscillator (VCO), 112voltage standing wave ratio (VSWR), 207vågledardispersion, 264vågledare, 208våglängd, 204våglängdsmultiplexering, 268

XID, 183

Yagi-antenn, 241µ-lag, 145

öppen stubbe, 224öppningsvinkel, 239Ørsted, 278övermodulering, 69övertoner, 35övre sidband, 70, 88

© per wallander · 2018. 5. 2. · per wallander 17 lektioner i telekommunikation första upplagan...

Documents