เฉลยข้อสอบ pat 1 2558 ชุดที่ 5

เฉลยขอสอบความถนดทางคณตศาสตร - 1 - PAT 1 2558 www.focus-physics.com

1. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2552] ก าหนดให p,q, r เปนประพจน จงพจารณาขอความตอไปน ก. ประพจน p p q r สมมลกบประพจน p q r ข. ประพจน p q r สมมลกบประพจน q p p r ขอใดตอไปนถก 1. ก. ถก และ ข. ถก 2. ก. ถก และ ข. ผด 3. ก. ผด และ ข. ถก 4. ก. ผด และ ข. ผด 1. เฉลยขอ 2 แนวคด ขอ ก. ใชความรพนฐาน p p q r p p q r p q r p p q r p q q r p q r p q r ขอ ก ถก ขอ ข วเคราะหคาความจรงบางกรณ พบวา ให p เปนเทจ และ q เปนเทจ จะได p q r มคาความจรงเปนเทจ แต q p p r มคาความจรงเปนจรง ดงนน p q r q p p r ขอ ข ผด พสจนประพจนทก าหนดใหดงน

p q r p q r p q p r p q p r

p q p r


2. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2552] ก าหนดให A ,1, 1 ขอใดตอไปนผด 1. A 2. A

3. 1, 1 A 4. 1 , 1, 1 A

2. เฉลยขอ 2 แนวคด การตรวจสอบการเปนสมาชก และสบเซต

ตองการ ตรวจสอบ ตดปกกาขางซาย

(ตดปกกาทตวเลอก)

ตดปกกาขางขวา

(ตดปกกาทตวโจทย)

A

A

P(A)

P(A)

ตวเลอกขอ 1. A เซตวางเปนสบเซตของทกๆเซต ตวเลอกขอ 2. ,1, 1 เอาปกกาของเซต A ออกปรากฏวาดานซายมดานขวาเจอ แตโจทยก าหนด ,1, 1

ตวเลอกขอ 3. 1, 1 ,1, 1 เอาปกกาทางดานซายออกและของเซต A ออก ปรากฏวาดานซายมดานขวาเจอ ตวเลอกขอ 4. 1 , 1, 1 ,1, 1 เอาปกกาทางดานซายออกและของเซต A ออก ปรากฏวาดานซายมดานขวาไมเจอ แตโจทยก าหนดไมเปนสบเซตจงถก


3. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT 1 ก.ค. / 2552]

ก าหนดให A เปนเซตค าตอบของอสมการ 2x 1 x 10

2 x

และ B เปนเซตค าตอบของอสมการ 22x 7x 3 0

ถา A B c,d แลว 6c d เทากบขอใดตอไปน 1. 4 2. 5 3. 6 4. 7 3. เฉลยขอ 1

แนวคด หาเซตค าตอบของอสมการ 2x 1 x 10

2 x

น า -1 คณตลอด 2x 1 x 10

x 2

1

2 1

2

จะได

1A , 1,2

2

หาค าตอบของอสมการ 22x 7x 3 0

2x 1 x 3 0

3

1

2

จะได 1

B ,32

นนคอ น าเซต A และ B มาเขยนเสนจ านวน A B 1,2 c,d และ 6c d 6 1 2 4

1

2 1 2

1

23



ก าหนดให 2 2A x x 1 x 3 15 ถา a เปนสมาชกคานอยสดในเซต A และ b เปนสมาชกคามากสดใน

เซต A แลว 2

b a เทากบขอใดตอไปน 1. 24 2. 16 3. 8 4. 4 4. เฉลยขอ 1

แนวคด หาเซตค าตอบของอสมการ 2 2x 1 x 3 15

2 2x 1 x 3 15

4 2x 4x 3 15

4 2x 4x 12 0 2x 2 2x 6 0 แต

2x 2 0 น ามาหารตลอด

ดงนน จะไดวา 2x 6 0

2

2x 6 0

x 6 x 6 0

6

6 ดงนน A 6, 6

a เปนสมาชกทนอยทสดในเซต A จะได a 6

b เปนสมาชกทมากทสดในเซต A จะได b 6

2 22

b a 6 6 2 6 24



ก าหนดให S เปนเซตค าตอบของอสมการ 4 2

2

x 13x 360

x 5x 6

ถา a เปนจ านวนทมคานอยทสดในเซต S 2,

และ b เปนจ านวนลบทมคามากทสดซง b S แลว 2 2a b เทากบขอใดตอไปน 1. -9 2. -5 3. 5 4. 9 5. เฉลยขอ 3

แนวคด หาเซต S ซงเปนเซตค าตอบของอสมการ 4 2

2

x 13x 360

x 5x 6

2 24

2

x 4 x 9x 13x2 360

x 5x 6 x 2 x 3

x 2 x 2 x 3 x 30

x 2 x 3

3 3 2 2

2 3

S , 3 3, 2 2,2 3, b เปนจ านวนลบทมคามากทสด ซง b S จะได b 2

3 3 2 2

2 3

s 2, 3,

S 2, 3,

a เปนจ านวนทมคานอยทสดในเซต S 2, จะได a 3 นนคอ 2 2a b 9 4 5



ถา k

3n

2nA lim

1 8 27 ... n

มคาเปนจ านวนจรงบวก แลวคาของ A เทากบขอใดตอไปน

1. 0 2. 2 3. 4 4. 8 6. เฉลยขอ 4

แนวคด เนองจาก 2

4 3 23

n n 1 n 2n n1 8 27 ... n

2 4

k

3n

2nA lim

1 8 27 ... n

k

3 3 3 3n

2nlim

1 2 3 ... n

k

2n

2nlim

n n 1

2

เอาเฉพาะก าลงสงสดมาคดเศษและสวน

ดงนน k

4n

2nlim

n

4

มคาเปนจ านวนจรงบวก

28

1

4

จะได k 4 และ A 8 7. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ก.ค. 2553]

ให k เปนคาคงท และถา

5 4 n 1

5n

k n n 3n 2 12 2lim 15 6 ...15 ...

5 5n 2

แลว k มคาเทากบเทาใด 7. ตอบ 25

5 4 n 1

5n

k n n 3n 2 12 2lim 15 6 ... 15 ...

5 5n 2

5

5n

kn 15lim

2n1

5

อนกรมเรขาอนนต 1aS

1 r

15

k3

k 25


8. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ต.ค. 2553]

คาของ

1 1 7tan arccot arccot arctan

5 3 9

5 12sin arcsin arcsin

13 13

เทากบเทาใด

8.วธท า

1 1 7tan arccot arccot arctan

5 3 9

5 12sin arcsin arcsin

13 13

7tan arctan5 arctan3 arctan

9

5 5sin arcsin arccos

13 13

5 3 7tan arctan arctan

1 5.3 9

sin2

1 7tan arctan arctan

8 9

1

1 7

8 9tan arctan1 7

18 9

65

72tan arctan tan arctan1 165

72


9. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดใหR แทนเซตของจ านวนจรง ถา f : R R และ f : R R เปนฟงกชนทหาอนพทธไดทก x R โดยท 2g x x 2x 5 6 4 3 2gof x x 2x 2x x 2x 5

และ f 0 0 คาของ ' ' ' 'f og 1 g of 0 เทากบเทาใด

9.ตอบ 1 ขนท 1 2g x x 2x 5 'g x 2x 2 'g 1 2 1 2 0 'g 0 2 0 2 2 ขนท 2 6 4 3 2gof x x 2x 2x x 2x 5 dif x

' ' ' 5 3 2gof x g f x .f x 6x 8x 6x 2x 2

' 5 3 2' 'gof 0 g f 0 .f 0 6 0 8 0 6 0 2 0 2

' 'g f 0 .f 0 2 ' 'g 0 .f 0 2 ก าหนดมาให f 0 0

'2.f 0 2 'g 0 2 'f 0 1 ขนท 3 ' ' ' ' ' ' ' 'f og 1 g of 0 f g 1 g f 0 ' 'g 1 0,f 0 1

' 'f 0 g 1

1 0

1


10. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดใหเสนโคง y f x สมผสกบเสนตรง 2x y 3 0 ทจด 0,3

และ 2

"

0

f x dx 3 ถา g x x 2 f x และ 'g 2 0 แลว f 2 เทากบเทาใด

10.แนวคด ขนท 1 จากโจทยก าหนดใหเสนโคง y f x สมผสกบเสนตรง 2x y 3 0 ทจด 0,3 สามารถ หาความชนจากสมการเสนตรงได m 2 และไดจดนเปน 0,2

ขนท 2 หาคา 2

"

0

f x dx 3

2

'

0f x 3

' 'f 2 f 0 3 'f 2 2 3 'f 2 1 ขนท 3 หาคา g x x 2 f x

' ' 1g x x 2.f x f x 1

2 x 2

' ' 1g 2 2 2.f 2 f 2

2 2 2

1

0 2 1 f 24

1

0 2 f 24

f 2 8


11. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดให

x 3

, x 3f x 2x 10 x 13

a , x 3

โดยท a เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x 3 แลว a เทากบเทาใด

11. ตอบ 8 แนวคดท จาก f เปนฟงกชนตอเนองท x 3 แสดงวา

x 3f 3 limf x

x 3

x 3a lim

2x 10 x 13

x 3

x 3 2x 10 x 13a lim

2x 10 x 13 2x 10 x 13

x 3

x 3a lim

2x 10 x 13

x 3

a 4 4

a 8 แนวคดท 2 ใชโลปตาล

f 3 a ...... 1

x 3

x 3 0lim

02x 10 x 13

x 3

1lim

1 1

2 2x 10 2 x 3

dif บนตางหาก dif ลางตางหาก ไมใช dif ผลหารนะ

x 3

1lim

1 12

2 3 132 2 3 10

x 3 x 3

1lim lim 8 8

1 1

4 8

a 8


12. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2554] ก าหนดให I แทนเซตของจ านวนเตม ถา f : I I เปนฟงกชนทมสมบตดงน

1 f 1 1

2 f 2x 4f x 6

3 f x 2 f x 12x 12 แลวคาของ f 7 f 16 เทากบเทาใด

12. ตอบ 911 ก าหนดให I แทนเซตของจ านวนเตม ถา f : I I เปนฟงกชนทมสมบตดงน

1 f 1 1 สงเกต f 1 1

2 f 2x 4f x 6 สงเกต เราแทน x 1 ลงไปจะได f 2 1 4f 1 6 f 2 4 1 6 เพราะ f 1 1

f 2 10 3 f x 2 f x 12x 12 สงเกต เราแทน x 1 ลงไปจะได

f 1 2 f 1 12 1 12 f 3 1 12 1 12 เพราะ f 1 1

f 3 25 จะเหนวาเรามสามเงอนไข f 1 1 ,f 2 10 และ f 3 25 จงก าหนดให 2f x ax bx c ขนท 1 เงอนไขแรก f 1 1

2

f 1 a 1 b 1 c a b c 1 ....... 1 ขนท 2 เงอนไขสอง f 2 10

2

f 2 a 2 b 2 c 4a 2b c 10 ........ 2 ขนท 3 เงอนไขสาม f 3 25

2

f 3 a 3 b 3 c 9a 3b c 25 ........ 3 แกสมการ ทงสามสมการจะได a 3,b 0,c 2


จากฟงกชนทก าหนดให 2f x ax bx c จะได 2f x 3x 2 คาของ f 7 f 16 เทากบเทาใด

2

f 7 3 7 2 145

2

f 16 3 16 2 766

f 7 f 16 145 766 911 13. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2555]

ถา A แทนเซตของจ านวนเตมทงหมด ทสอดคลองกบอสมการ 3 x 1 2x 2 3x 1

และ B แทนเซตค าตอบของอสมการ 2

x x 2 x 1 0 แลวขอใดตอไปนถกตอง 1. เซต A B มสมาชก 5 ตว 2. A B A

3. เซต A B มสมาชก 1 ตว 4. A B B A B

13. เฉลยขอ 1

หา A 3 x 1 2x 2 3x 1

1

3

1

1x 1

3 1

x3

x 1

3 x 1 2x 2 3x 1

1

21

x x 53

1 1x 1 x

3 11

3

x 1 x 1

3x 3 2x 6x 2

x 5

3 x 1 2x 2 3x 1

3x 3 2x 6x 2

1 11x1

x11

3 x 1 2x 2 3x 1

3x 3 2x 6x 2

5 5x

x 1

5 1

3

1

3 11

11

1 1

15,

3

1 1,

3 11

15,

3

1 1,

3 11

15,

11


เนองจาก A เปนเซตของจ านวนเตม

จะได A 4, 3, 2, 1, 0

หา B 2

x x 2 x 1 0

2 1 1 0

2, 1 1, 0

พจารณาขอ 1. A B 4, 3, 2, 1, 0

ดงนนจะได A B { 4, 3, 2, 1,0} มสมาชก 5 ตว

ดงนน ขอ ก. ถกตอง

14. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ถา x เปนจ านวนจรงทมากสด โดยท 0 x 1 และสอดคลองกบ

1arctan 1 x arccot 2arcsec 1 2x 1 x

2x

แลว คาของ cos x ตรงกบขอใดตอไปน

1. -1 2. 0 3. 12 4. 3

2


1

arctan 1 x arccot 2arcsec 1 2x 1 x2x

ใส tan ตลอดได

tan arctan 1 x arctan 2x tan 2arcsec 1 2x 1 x

C

1

21 2x x 22x x

tan A B tan 2C

2

tanA tan B 2 tanC

1 tanA tan B 1 tan C

2

22

1 x 2x 2 2x 2x

1 1 x 2x1 2x 2x

21 x 2 2x 2x 2 21 2x x 8x 8x

29x 6x 1 0

2

3x 1 0


1

x3

โจทยถามคาของ 1cos x cos

3 2

15. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ก าหนดให ABC เปนรปสามเหลยมใด ๆ ถาดานตรงขามมม A ยาว 14 หนวย ความยาวของเสนรอบรป สามเหลยมเทากบ 30 หนวยและ 3sin B 5sin C แลว sin 2A เทากบขอใดตอไปน

1. 1

2 2. 3

2 3. 1

2 4. 3

2


a 14

a b c 30

จากทโจทยใหจะได 3sin B 5sin C

sin B 5 5k

sin C 3 3k

14 5k 3k 30

k 2

a 14

b 10

c 6

กฎของ cos ได

2 2 2a b c 2bccosA 2 2 214 10 6 2 10 6 cosA

1

cos A2

A 120

มมในสามเหลยม ม 0 A 180

ได 3

A 120 sin 2A sin 2 120 sin 2402


16. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556]

ก าหนดให x เปนจ านวนจรง โดยท 4sin x cos x

3

ถา 2 a1 tan x cot x

b เมอ a และ b เปนจ านวนเตม โดยท ห.ร.ม. ของ a และ b เทากบ1

แลว 2 2a b เทากบเทาใด 16. ตอบ 373

4sin x cos x

3

2 2 16

sin x 2sin x cos x cos x9

16

1 2sin x cos x9

16

2sin x cos x 19

7

2sin x cos x9

7

sin x cos x18

ถา

2 a1 tan x cot x

b

2 asec x cot x

b

2

1 cos x a

cos x sin x b

1 a

sin x cos x b

1 a

7 18 b

18 a

7 b

แลว 2 22 2a b 18 7 373 เทากบเทาใด



ให R แทนเซตของจ านวนจรง ถา 33 3A x R log x 1 log x 1 1 และ

B x R x 1 x 1 2

แลวสามเทาของผลคณของสมาชกในเซต A B ทงหมดเทากบเทาใด 17. ตอบ 5 33 3

log x 1 log x 1 1

1 1

2 33 3

log x 1 log x 1 1

2 3

3 3log x 1 log x 1 1

2

3 3

x 1log 1

x 1

2

1

3

x 13

x 1

13

x 1

1 3x 3

4x

3

x 1 x 1 2 x 1 2 x 1 x 1 4 4 x 1 x 1 2 4 x 1

2 1x 1

4 2

1x 1

4

1x 1

4

5x

4

สามเทาของผลคณของสมาชกในเซต A B ทงหมด 4 53 5

3 4



ก าหนดให A แทนเซตค าตอบของสมการ 2

22

5 4x x1 x 4x 1

2 x 4x 15 5 126

ผลบวกของสมาชกในเซต A ทงหมดเทากบเทาใด 30. ตอบ 4

2

22

5 4x x1 x 4x 1

2 x 4x 15 5 126

ให 2x 4x 1 a

24 a

2 a1 a5 5 126

1 a 2 a5 5 126

a 2 a5 5 5 5 126

a a 2 a a a5 5 5 5 5 5 126 5

2a 2 a5 5 5 126 5

2a a5 5 126 5 25 0

a a5 5 1 5 25 0

a 15 , 25

5

a 1 25 5 ,5 a 1,2 แต a เปนรท 0

ได 2x 4x 1 2

2x 4x 1 4

2x 4x 5 0

x 1 x 5 0 x 1,5 ตอบ 4



ก าหนดให 2

2x 8, x 4

2x 4x 3x 12f xkx

, x 43

โดยท k เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด

x 4 แลว f k 1 เทากบเทาใด 19. ตอบ24

ก าหนดให 2

2x 8, x 4

2x 4x 3x 12f xkx

, x 43

โดยท k เปนจ านวนจรง ถา f เปนฟงกชนตอเนองทจด x 4 แลว f k 1 เทากบ

2

2 2x 4

2x 8 2x 4x 3x 12lim

2x 4x 3x 12 2x 4x 3x 12

2

2x 4 2 2

2x 8 2x 4x 3x 12lim

2x 4x 3x 12

2

x 4

2 x 4 2x 4x 3x 12lim

3 x 4

2

x 4

2 2 4 4 4 3 4 1232

lim3 3

x 4 x 4lim f x lim f x

k 432

3 3

ดงนน k 8 แลว f k 1 เทากบ 8 9

f 8 1 f 9 243


20. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ให f เปนฟงกชนซงมโดเมนและเรนจเปนสบเซตของจ านวนจรง โดยทอตราการเปลยนแปลงของ f x เทยบกบ x

เทากบ 3ax bx เมอ a และ b เปนจ านวนจรง และให 3g x x 2x f x ถา f 1 18,f 0 6

และ f 2 f 1 f 0 แลวคาของ g 1 เทากบเทาใด 20. ตอบ 354 วธท า

3f x ax bx, 2f x 3ax b f 0 6

จาก f 1 18 จาก 2

f 0 3a 0 b 6 จะได b 6

จะได 3

f 1 a 1 6 1 18

a 6 18 a 12 4 2f x 3x 3x c

4 2

f 2 3 2 3 2 c 44 12 c

4 2

f 1 3 1 3 1 c 3 3 c

4 2

f 0 3 0 3 0 c c จาก f 2 f 1 f 0 จะได 48 12 c 3 3 c c

c 54 4 2f x 3x 3x 54

โจทยก าหนดให 3g x x 2x f x

3 4 2g x x 2x 3x 3x 54

3 3 2 4 2g x x 2x 12x 6x 3x 2 3x 3x 54

โจทยถามคาของ g 1 1 2 12 6 3 2 3 3 54 354


21. [ขอสอบเขามหาวทยาลย / PAT1 ม.ค. 2556] ก าหนดให f x เปนพหนามก าลงสาม ซงมสมประสทธเปนจ านวนจรง โดยม x 1 เปนตวประกอบ ของ f x 5 2i เปนค าตอบของสมการ f x 0 และ f 0 58

คาของ 2

0

f x f x dx เทากบเทาใด

วธท า ม 5 2i จะได 5 2i เปนค าตอบดวย f x a x 1 x 5 2i x 5 2i

2a x 1 x 10x 29

จาก f 0 58 จะได a 0 1 0 0 29 58

k 2 ดงนน 2 3 2f x 2 x 1 x 10x 29 2x 18x 38x 58

จะได 3 2f x 2x 18x 38x 58 ดงนน 3f x f x 4x 76x

อนทเกรตได 2 2

23 4 2

0

0 0

f x f x dx 4x 76x dx x 38x

ตอบ 4 22 38 2 0 0 168

เฉลยข้อสอบ pat 1 2558 ชุดที่ 5

Documents