実験計画法入門 part 2

© Hajime Mizuyama

An Introduction to Design of Experiments (DOE)

青山学院大学経営システム工学科

水山元

[email protected]

© Hajime Mizuyama

Part 1

古典的な実験計画法の

基本概念と要因計画

Part 2

直交表と

一部実施要因計画

Part 3

応答曲面法と

最適計画

Part 4

直積実験と

ロバスト設計

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• 要因計画では，取り上げた因子のすべての水準の組合せにおい

てそれぞれ（できれば複数回）実験を実施する必要があるため，

因子数の増加にともなって実験回数が爆発的に増大してしまう．

• 複数の因子を取り上げた実験では，3因子以上の交互作用は考慮

しない（誤差に含める）ことが多く，2因子の交互作用もすべて

を考慮する必要があるとは限らない．

• いくつか（またはすべて）の交互作用が無視できるという前提

で要因計画の実験回数を減らすと，一部実施要因計画となる．

• 直交表は，一部実施要因計画を作成するためのツールである．

要因計画から一部実施要因計画へ

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多元配置実験の実験回数と自由度

2 4 6 8 10

0500

1000

1500

2000

因子数

実験回数主効果の自由度交互作用の自由度残差の自由度

2水準因子の場合 3水準因子の場合

2 4 6 8 10

0500

1000

1500

2000

因子数

実験回数主効果の自由度交互作用の自由度残差の自由度

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構造モデル

𝑦 = 𝜇 + 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 +⋯+ 𝑎𝑏 + 𝑏𝑐 + 𝑐𝑎 +⋯+ 𝑒

仮定

– 3因子以上の交互作用（やいくつかの2因子交互作用）は無視

できる．

– 主効果，交互作用はそれぞれ総和がゼロになる．

– 誤差項は独立，等分散で期待値ゼロの正規分布に従う．

一部実施要因計画の構造モデル

一般平均主効果考慮すべき交互作用誤差項

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直交表の分類

素数べき型直交表

2水準系

L8(27), L16(2

15), ...

3水準系

L9(34), L27(3

13), ...


2水準系

L8(27), L16(2

15), ...

3水準系

L9(34), L27(3

13), ...

混合系直交表

L12(211), L18(2

1×37), ...

混合系直交表

L12(211), L18(2

1×37), ...

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行数

水準数

列数

2水準の素数べき型直交表

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

どの 2列をとっても，

(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)

の組合せが同数回ずつ現れる．


(1,1), (1,2), (2,1), (2,2)


L8(27), L16(2

15), L32(231), ...

直交表：L8(27)

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行数

水準数

列数


(1,1), (1,2), (1,3),

(2,1), (2,2), (2,3),

(3,1), (3,2), (3,3)



(1,1), (1,2), (1,3),

(2,1), (2,2), (2,3),

(3,1), (3,2), (3,3)


L9(34), L27(3

13), L81(340), ...

直交表：L9(34)

3水準の素数べき型直交表

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2

3 1 3 3 3

4 2 1 2 3

5 2 2 3 1

6 2 3 1 2

7 3 1 3 2

8 3 2 1 3

9 3 3 2 1

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直交表の使い方

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

実験で取り上げる

因子水準の組合せ

( A1, B1, C1, D1 )

( A1, B1, C2, D2 )

( A2, B2, C2, D2 )

実験回数 1/2 の


実験回数 1/2 の


A B C D

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実験データの構造モデル（交互作用がない場合）

1 2 3 4 5 6 7 データ（構造モデル）

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

A B C D

𝑦1 = 𝜇 + 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐1 + 𝑑1 + 𝑒1

𝑦2 = 𝜇 + 𝑎1 + 𝑏1 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑒2

𝑦8 = 𝜇 + 𝑎2 + 𝑏2 + 𝑐2 + 𝑑2 + 𝑒8

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列ごとの対比（交互作用がない場合）

1 2 3 4 5 6 7 データ平均

1 1 1 1 1 1 1 1 y1

2 1 1 1 2 2 2 2 y2

3 1 2 2 1 1 2 2 y3

4 1 2 2 2 2 1 1 y4

5 2 1 2 1 2 1 2 y5

6 2 1 2 2 1 2 1 y6

7 2 2 1 1 2 2 1 y7

8 2 2 1 2 1 1 2 y8

A B C D

𝑦 1[1]= 𝜇 + 𝑎1 +

1

4 𝑒𝑟

4

𝑟=1

𝑦 2[1]= 𝜇 + 𝑎2 +

1

4 𝑒𝑟

8

𝑟=5

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1 2 3 4 5 6 7 データ平均

1 1 1 1 1 1 1 1 y1

2 1 1 1 2 2 2 2 y2

𝑦 11

3 1 2 2 1 1 2 2 y3

4 1 2 2 2 2 1 1 y4

5 2 1 2 1 2 1 2 y5

6 2 1 2 2 1 2 1 y6

𝑦 21

7 2 2 1 1 2 2 1 y7

8 2 2 1 2 1 1 2 y8

別の列に割り付け

られた要因の効果

はすべて相殺され，

当該列に対応する

要因の効果，一般

平均および誤差項

だけが残る．

別の列に割り付け

られた要因の効果

はすべて相殺され，

当該列に対応する

要因の効果，一般

平均および誤差項

だけが残る．

A B C D

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特性値

因子Aの主効果の図示

A1 A2

𝑦 11

𝑦 21

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列間平方和

1 2 3 4 5 6 7 データ平均列間平方和

1 1 1 1 1 1 1 1 y1

2 1 1 1 2 2 2 2 y2

𝑦 11

3 1 2 2 1 1 2 2 y3

𝑆 1 = 4 𝑦 11− 𝑦

2

+ 4 𝑦 21− 𝑦

2

4 1 2 2 2 2 1 1 y4

5 2 1 2 1 2 1 2 y5

6 2 1 2 2 1 2 1 y6

𝑦 21

7 2 2 1 1 2 2 1 y7

8 2 2 1 2 1 1 2 y8

A B C D

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総偏差平方和

総偏差平方和と列間平方和の関係

A B C D

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

𝑆𝑇 = 𝑦𝑟 − 𝑦 2

8

𝑟=1

= 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7

SA SB Se SC Se SD

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列間平方和を用いた分散分析

要因平方和自由度平均平方 F値

A S[1] fA = 1 VA = S[1] /1 FA = VA /Ve

B S[2] fB = 1 VB = S[2] /1 FB = VB /Ve

C S[4] fC = 1 VC = S[4] /1 FC = VC /Ve

D S[7] fD = 1 VD = S[7] /1 FD = VD /Ve

残差 S[3]+S[5]

+S[6] fe = 3

Ve =(S[3]+S[5]

+S[6]) /3 ―

計 ST 7 ― ―

自由度は，2水準系の場合は，1列あたり1，3水準系の場合は

1列あたり2，として計算する．

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平均の計算に用いたデータ数

（一般には有効反復数）

𝑦 𝑗1± 𝑡 𝑓𝑒 ,

1 − 𝛼

2

𝑉𝑒4

母平均の区間推定（交互作用がない場合）

特性値

因子Aの主効果の図示

A1 A2

𝑦 11

𝑦 21

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交互作用がある場合

• 交互作用とは，ある因子の効果

の大きさが，別の因子の水準に

よって変化すること．

• 左の例では，因子Aの効果の大

きさが，因子Bの水準によって

変化している．

• また，逆に，因子Bの効果の大

きさも，因子Aの水準によって


• 交互作用を評価をできるように

一部実施要因計画を作成するに

はどうすればよいだろう？

• 交互作用とは，ある因子の効果

の大きさが，別の因子の水準に

よって変化すること．

• 左の例では，因子Aの効果の大

きさが，因子Bの水準によって


• また，逆に，因子Bの効果の大

きさも，因子Aの水準によって


• 交互作用を評価をできるように

一部実施要因計画を作成するに

はどうすればよいだろう？

特性値

A1 A2

因子A とB の主効果と交互作用 A×B

B2

B1

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A1 A2

B2

因子A とB の主効果と交互作用 A×B

B1 (A1, B1)

(A1, B2) (A2, B1)

(A2, B2)

特性値

交互作用に関する対比

1

2

2

1

A×B A B

1 1

1 2

2 1

2 2

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A B C D

交互作用との交絡

A×B

直交表 L8(27) では，

1列目の因子と，

2列目の因子の間

の 2因子交互作用

は 3列目に現れる．

直交表 L8(27) では，

1列目の因子と，

2列目の因子の間

の 2因子交互作用

は 3列目に現れる．

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

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交互作用と交絡する列

1 2 3 4 5 6 7

1 * 3 2 5 4 7 6

2 * 1 6 7 4 5

3 * 7 6 5 4

4 * 1 2 3

5 * 3 2

6 * 1

7 *

2列間の交互作用

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

直交表：L8(27)

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交互作用と線点図

線点図

1

2 3

4 5

6 7

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

直交表：L8(27)

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• 2水準の素数べき型直交表では，任意の2列に割り付けた因子間

の交互作用は，別のある1列に現れる．

• 3水準の素数べき型直交表では，任意の2列に割り付けた因子間

の交互作用は，別のある2列に現れる．

• それらの列に別の因子を割り付けたとすると，その因子の主効

果と，当該交互作用とを区別して評価することができなくなる．

これを「交絡」と呼ぶ．

交互作用との交絡

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交互作用と交絡する列（3水準の例）

1 3, 4

2

B1 B2 B3

A1 α1 α2 α3

A2 α3 α1 α2

A3 α2 α3 α1

B1 B2 B3

A1 β1 β2 β3

A2 β2 β3 β1

A3 β3 β1 β2

3水準どおしの2因子交互作用は：

(ab) = α + β

と分解できる．

線点図直交表：L9(34)

1 2 3 4

1 1 1 1 1

2 1 2 2 2

3 1 3 3 3

4 2 1 2 3

5 2 2 3 1

6 2 3 1 2

7 3 1 3 2

8 3 2 1 3

9 3 3 2 1

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線点図を用いた因子の割付け

線点図

1

2

3

4

5

6

7

因子A，B，C，Dの主効果と

A×Bの交互作用を考慮したい．

考慮したい要因を線点図の

形式で表す．

A B C D

A×B

考慮したい要因の線点図を

使用する直交表の線点図に

当てはめる．

A D

C B

A×B

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線点図を用いた因子の割付け

線点図

1

2

3

4

5

6

7

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

A D

C B

A×B

A B C D

A×B

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実験結果の例

1 2 3 4 5 6 7 データ

1 1 1 1 1 1 1 1 747

2 1 1 1 2 2 2 2 727

3 1 2 2 1 1 2 2 690

4 1 2 2 2 2 1 1 695

5 2 1 2 1 2 1 2 690

6 2 1 2 2 1 2 1 692

7 2 2 1 1 2 2 1 690

8 2 2 1 2 1 1 2 689

A B C D

A×B

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総偏差平方和の計算

1 2 3 4 5 6 7 データ偏差偏差平方

1 1 1 1 1 1 1 1 747 44.5 1980.25

2 1 1 1 2 2 2 2 727 24.5 600.25

3 1 2 2 1 1 2 2 690 -12.5 156.25

4 1 2 2 2 2 1 1 695 -7.5 56.25

5 2 1 2 1 2 1 2 690 -12.5 156.25

6 2 1 2 2 1 2 1 692 -10.5 110.25

7 2 2 1 1 2 2 1 690 -12.5 156.25

8 2 2 1 2 1 1 2 689 -13.5 182.25

A B C D

A×B

702.5 平均： 3398 総和：

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列間平方和の計算#1

1 2 3 4 5 6 7 データ平均偏差偏差平方

1 1 1 1 1 1 1 1 747 714.75 12.25 150.0625

2 1 1 1 2 2 2 2 727 714.75 12.25 150.0625

3 1 2 2 1 1 2 2 690 714.75 12.25 150.0625

4 1 2 2 2 2 1 1 695 714.75 12.25 150.0625

5 2 1 2 1 2 1 2 690 690.25 -12.25 150.0625

6 2 1 2 2 1 2 1 692 690.25 -12.25 150.0625

7 2 2 1 1 2 2 1 690 690.25 -12.25 150.0625

8 2 2 1 2 1 1 2 689 690.25 -12.25 150.0625

A B C D

A×B

702.5 平均： 1200.5 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 714 11.5 132.25

2 1 1 1 2 2 2 2 727 714 11.5 132.25

5 2 1 2 1 2 1 2 690 714 11.5 132.25

6 2 1 2 2 1 2 1 692 714 11.5 132.25

3 1 2 2 1 1 2 2 690 691 -11.5 132.25

4 1 2 2 2 2 1 1 695 691 -11.5 132.25

7 2 2 1 1 2 2 1 690 691 -11.5 132.25

8 2 2 1 2 1 1 2 689 691 -11.5 132.25

A B C D

A×B

702.5 平均： 1058 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 713.25 10.75 115.5625

2 1 1 1 2 2 2 2 727 713.25 10.75 115.5625

7 2 2 1 1 2 2 1 690 713.25 10.75 115.5625

8 2 2 1 2 1 1 2 689 713.25 10.75 115.5625

3 1 2 2 1 1 2 2 690 691.75 -10.75 115.5625

4 1 2 2 2 2 1 1 695 691.75 -10.75 115.5625

5 2 1 2 1 2 1 2 690 691.75 -10.75 115.5625

6 2 1 2 2 1 2 1 692 691.75 -10.75 115.5625

A B C D

A×B

702.5 平均： 924.5 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 704.25 1.75 3.0625

3 1 2 2 1 1 2 2 690 704.25 1.75 3.0625

5 2 1 2 1 2 1 2 690 704.25 1.75 3.0625

7 2 2 1 1 2 2 1 690 704.25 1.75 3.0625

2 1 1 1 2 2 2 2 727 700.75 -1.75 3.0625

4 1 2 2 2 2 1 1 695 700.75 -1.75 3.0625

6 2 1 2 2 1 2 1 692 700.75 -1.75 3.0625

8 2 2 1 2 1 1 2 689 700.75 -1.75 3.0625

A B C D

A×B

702.5 平均： 24.5 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 704.5 2 4

3 1 2 2 1 1 2 2 690 704.5 2 4

6 2 1 2 2 1 2 1 692 704.5 2 4

8 2 2 1 2 1 1 2 689 704.5 2 4

2 1 1 1 2 2 2 2 727 700.5 -2 4

4 1 2 2 2 2 1 1 695 700.5 -2 4

5 2 1 2 1 2 1 2 690 700.5 -2 4

7 2 2 1 1 2 2 1 690 700.5 -2 4

A B C D

A×B

702.5 平均： 32 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 705.25 2.75 7.5625

4 1 2 2 2 2 1 1 695 705.25 2.75 7.5625

5 2 1 2 1 2 1 2 690 705.25 2.75 7.5625

8 2 2 1 2 1 1 2 689 705.25 2.75 7.5625

2 1 1 1 2 2 2 2 727 699.75 -2.75 7.5625

3 1 2 2 1 1 2 2 690 699.75 -2.75 7.5625

6 2 1 2 2 1 2 1 692 699.75 -2.75 7.5625

7 2 2 1 1 2 2 1 690 699.75 -2.75 7.5625

A B C D

A×B

702.5 平均： 60.5 総和：

© Hajime Mizuyama



1 1 1 1 1 1 1 1 747 706 3.5 12.25

4 1 2 2 2 2 1 1 695 706 3.5 12.25

6 2 1 2 2 1 2 1 692 706 3.5 12.25

7 2 2 1 1 2 2 1 690 706 3.5 12.25

2 1 1 1 2 2 2 2 727 699 -3.5 12.25

3 1 2 2 1 1 2 2 690 699 -3.5 12.25

5 2 1 2 1 2 1 2 690 699 -3.5 12.25

8 2 2 1 2 1 1 2 689 699 -3.5 12.25

A B C D

A×B

702.5 平均： 98 総和：

© Hajime Mizuyama

総偏差平方和

総偏差平方和の列間平方和への分解

A B C D

1 2 3 4 5 6 7

1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 2 2 2 2

3 1 2 2 1 1 2 2

4 1 2 2 2 2 1 1

5 2 1 2 1 2 1 2

6 2 1 2 2 1 2 1

7 2 2 1 1 2 2 1

8 2 2 1 2 1 1 2

A×B

𝑆𝑇 = 𝑦𝑟 − 𝑦 2

8

𝑟=1

= 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7

SA SB SA×B SC Se SD

= 3398

= 1200.5 + 1058 + 924.5

+24.5 + 32 + 60.5 + 98

© Hajime Mizuyama

偏差データベクトル

𝒅 = (𝑦1 − 𝑦 , 𝑦2 − 𝑦 ,… , 𝑦8 − 𝑦 )

総偏差平方和

𝒅 のノルムの2乗（ 𝑆𝑇 = 𝒅2 ）

第1列の列間平方和

𝒅 の (-1, -1, -1, -1, 1, 1, 1, 1) 方向への射影（= 𝒅 1）

のノルムの2乗（ 𝑆[1] = 𝒅 12 ）

平方和の分解（データベクトルの射影としての理解）

d

d[1]

© Hajime Mizuyama

平方和の分解（データベクトルの射影としての理解）

d d[1] d[2] d[3]

d[4] d[5]

d[6] d[7]

1 44.5 12.25 11.5 10.75 1.75 2 2.75 3.5

2 24.5 12.25 11.5 10.75 -1.75 -2 -2.75 -3.5

3 -12.5 12.25 -11.5 -10.75 1.75 2 -2.75 -3.5

4 -7.5 12.25 -11.5 -10.75 -1.75 -2 2.75 3.5

5 -12.5 -12.25 11.5 -10.75 1.75 -2 2.75 -3.5

6 -10.5 -12.25 11.5 -10.75 -1.75 2 -2.75 3.5

7 -12.5 -12.25 -11.5 10.75 1.75 -2 -2.75 3.5

8 -13.5 -12.25 -11.5 10.75 -1.75 2 2.75 -3.5

平方和 3398 1200.5 1058 924.5 24.5 32 60.5 98

𝑆𝑇 = 𝑆 1 + 𝑆 2 + 𝑆 3 + 𝑆 4 + 𝑆 5 + 𝑆 6 + 𝑆 7

𝒅 = 𝒅 1 + 𝒅 2 + 𝒅 3 + 𝒅 4 + 𝒅 5 + 𝒅 6 + 𝒅 7 かつ 𝒅 𝑖 ⊥ 𝒅 𝑗

© Hajime Mizuyama

分散分析による要因効果の検定

要因平方和自由度平均平方 F値

A S[1] fA = 1 VA = S[1] /1 FA = VA /Ve

B S[2] fB = 1 VB = S[2] /1 FB = VB /Ve

C S[4] fC = 1 VC = S[4] /1 FC = VC /Ve

D S[7] fD = 1 VD = S[7] /1 FD = VD /Ve

A×B S[3] fA×B = 1 VA×B = S[3] /1 FA×B = VA×B /Ve

残差 S[5] + S[6] fe = 2 Ve =(S[5] + S[6]) /2 ―

計 ST 7 ― ―

© Hajime Mizuyama

分散分析による要因効果の検定

要因平方和自由度平均平方 F値 p値

A 1200.5 1 1200.5 25.957 0.0364

B 1058.0 1 1058.0 22.876 0.0410

C 24.5 1 24.5 0.530 0.5424

D 98.0 1 98.0 2.119 0.2828

A×B 924.5 1 924.5 19.989 0.0466

残差 92.5 2 46.25 ― ―

計 3398 7 ― ― ―

© Hajime Mizuyama

分散分析による要因効果の検定（プーリングした場合）

要因平方和自由度平均平方 F値 p値

A 1200.5 1 1200.5 25.957 0.00913

B 1058.0 1 1058.0 22.876 0.01136

A×B 924.5 1 924.5 19.989 0.01429

残差 215.0 4 53.75 ― ―

計 3398 7 ― ― ―

プーリングとは，有意でなかった要因を，無視できると判断し，

それに対応する列間平方和を，残差平方和に繰り入れること．

© Hajime Mizuyama

母平均の点推定

1 2 3 4 5 6 7 データ平均

1 1 1 1 1 1 1 1 747 𝑦 1,11,2= 737

2 1 1 1 2 2 2 2 727

3 1 2 2 1 1 2 2 690 𝑦 1,21,2= 692.5

4 1 2 2 2 2 1 1 695

5 2 1 2 1 2 1 2 690 𝑦 2,11,2= 691

6 2 1 2 2 1 2 1 692

7 2 2 1 1 2 2 1 690 𝑦 2,21,2= 689.5

8 2 2 1 2 1 1 2 689

A B

A×B

© Hajime Mizuyama

母平均の区間推定（プーリングしない場合）

66

0

68

0

70

0

72

0

74

0

76

0

78

0

A1 A2

B1

B2

𝑦 𝑖,𝑗1,2± 𝑡 𝑓𝑒 ,

1 − 𝛼

2

𝑉𝑒2

𝑦 1,11,2

𝑦 1,21,2

𝑦 2,11,2

𝑦 2,21,2

© Hajime Mizuyama

母平均の区間推定（プーリングした場合）

66

0

68

0

70

0

72

0

74

0

76

0

78

0

A1 A2

𝑦 𝑖,𝑗1,2± 𝑡 𝑓𝑒 ,

1 − 𝛼

2

𝑉𝑒2

B1

B2

𝑦 1,11,2

𝑦 1,21,2

𝑦 2,11,2

𝑦 2,21,2

© Hajime Mizuyama

直交表：L16(215)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 1 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2

4 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1

5 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2

6 1 2 2 1 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1

7 1 2 2 2 2 1 1 1 1 2 2 2 2 1 1

8 1 2 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 1 2 2

9 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2

10 2 1 2 1 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1

11 2 1 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1

12 2 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 1 2 1 2

13 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1

14 2 2 1 1 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2

15 2 2 1 2 1 1 2 1 2 2 1 2 1 1 2

16 2 2 1 2 1 1 2 2 1 1 2 1 2 2 1

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15

1 * 3 2 5 4 7 6 9 8 11 10 13 12 15 14

2 * 1 6 7 4 5 10 11 8 9 14 15 12 13

3 * 7 6 5 4 11 10 9 8 15 14 13 12

4 * 1 2 3 12 13 14 15 8 9 10 11

5 * 3 2 13 12 15 14 9 8 11 10

6 * 1 14 15 12 13 10 11 8 9

7 * 15 14 13 12 11 10 9 8

8 * 1 2 3 4 5 6 7

9 * 3 2 5 4 7 6

10 * 1 6 7 4 5

11 * 7 6 5 4

12 * 1 2 3

13 * 3 2

14 * 1

15 *

© Hajime Mizuyama

直交表：L16(215)

2

3

8

9

10

13 7 1 12 6

15 14

11

4 5

(1) (3) 1

2

4 8

15

3 14 9 13

11 6 7

12

5

(2)

1

2

3

4

5

6

7 8

9

10 11 12 13

14

15

10

1

12

6

4

5

7 9

11

13

8 10

15 3 14 2

(4) (5) (6) 1 4 5 7 6

3 12 15 14 13

2 8 10 9 11

8

10

12

14

11

13

15

9

1 3 2 6

7

4

5

© Hajime Mizuyama

直交表：L27(313)

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2

3 1 1 1 1 3 3 3 3 3 3 3 3 3

4 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2 3 3 3

5 1 2 2 2 2 2 2 3 3 3 1 1 1

6 1 2 2 2 3 3 3 1 1 1 2 2 2

7 1 3 3 3 1 1 1 3 3 3 2 2 2

8 1 3 3 3 2 2 2 1 1 1 3 3 3

9 1 3 3 3 3 3 3 2 2 2 1 1 1

10 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 1 2 3

11 2 1 2 3 2 3 1 2 3 1 2 3 1

12 2 1 2 3 3 1 2 3 1 2 3 1 2

13 2 2 3 1 1 2 3 2 3 1 3 1 2

14 2 2 3 1 2 3 1 3 1 2 1 2 3

15 2 2 3 1 3 1 2 1 2 3 2 3 1

16 2 3 1 2 1 2 3 3 1 2 2 3 1

17 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3 3 1 2

18 2 3 1 2 3 1 2 2 3 1 1 2 3

19 3 1 3 2 1 3 2 1 3 2 1 3 2

20 3 1 3 2 2 1 3 2 1 3 2 1 3

21 3 1 3 2 3 2 1 3 2 1 3 2 1

22 3 2 1 3 1 3 2 2 1 3 3 2 1

23 3 2 1 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2

24 3 2 1 3 3 2 1 1 3 2 2 1 3

25 3 3 2 1 1 3 2 3 2 1 2 1 3

26 3 3 2 1 2 1 3 1 3 2 3 2 1

27 3 3 2 1 3 2 1 2 1 3 1 3 2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

1 * 3 2 2 6 5 5 9 8 8 12 11 11

4 4 3 7 7 6 10 10 9 13 13 12

2 * 1 1 8 9 10 5 6 7 5 6 7

4 3 11 12 13 11 12 13 8 9 10

3 * 1 9 10 8 7 5 6 6 7 5

2 13 11 12 12 13 11 10 8 9

4 * 10 8 9 6 7 5 7 5 6

12 13 11 13 11 12 9 10 8

5 * 1 1 2 3 4 2 4 3

7 6 11 13 12 8 10 9

6 * 1 4 2 3 3 2 4

5 13 12 11 10 9 8

7 * 3 4 2 4 3 2

12 11 13 9 8 10

8 * 1 1 2 3 4

10 9 5 7 6

9 * 1 4 2 3

8 7 6 5

10 * 3 4 2

6 5 7

11 * 1 1

13 12

12 * 1

11

13 *

© Hajime Mizuyama

直交表：L27(313)

1

2

11

1

2

3, 4

5

6, 7

8, 11

9 10 12 13

(1)

(2) (a) (b)

5

8

3, 4

6, 7

9, 10

12, 13

5

1

10

2

9

6, 7

8, 11

3, 13

4, 12

© Hajime Mizuyama

Resolution III

すべての主効果のみが互いに交絡せずに推定可能．

Resolution IV

すべての主効果が，他の主効果とも，2因子交互作用とも交絡せ

ずに推定可能．

Resolution V

主効果と 2因子交互作用がすべて互いに交絡せずに推定可能．

一部実施要因計画の分解能

© Hajime Mizuyama

直交表の分類


2水準系

L8(27), L16(2

15), ...

3水準系

L9(34), L27(3

13), ...


2水準系

L8(27), L16(2

15), ...

3水準系

L9(34), L27(3

13), ...

混合系直交表

L12(211), L18(2

1×37), ...

混合系直交表

L12(211), L18(2

1×37), ...

© Hajime Mizuyama

混合系直交表の例：L12(211)

A B C ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1

7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2

9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2

11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

© Hajime Mizuyama

列ごとの対比と交互作用

A B C ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 平均

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1

7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2

9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2

11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

𝑦 11= 𝜇 + 𝑎1

𝑦 12= 𝜇 + 𝑎2

+1

3𝑏𝑐 11

+1

6 𝑒𝑟

6

𝑟=1

+1

3𝑏𝑐 12

+1

6 𝑒𝑟

12

𝑟=7

© Hajime Mizuyama


A B C ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 列間平方和

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1

7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2

9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2

11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

𝑆 1 = 6 𝑦 11− 𝑦

2

+6 𝑦 21− 𝑦

2

© Hajime Mizuyama


A B C ...

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 列間平方和

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 1 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 2 2 2 1 1 1 2 2 2

4 1 2 1 2 2 1 2 2 1 1 2

5 1 2 2 1 2 2 1 2 1 2 1

6 1 2 2 2 1 2 2 1 2 1 1

7 2 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1

8 2 1 2 1 2 2 2 1 1 1 2

9 2 1 1 2 2 2 1 2 2 1 1

10 2 2 2 1 1 1 1 2 2 1 2

11 2 2 1 2 1 2 1 1 1 2 2

12 2 2 1 1 2 1 2 1 2 2 1

列間平方和 S[1] に

交互作用 B×C の

平方和のうち 1/9

が相殺されず残る．

これを「部分交絡」

と呼ぶ．

列間平方和 S[1] に

交互作用 B×C の

平方和のうち 1/9

が相殺されず残る．

これを「部分交絡」

と呼ぶ．

© Hajime Mizuyama

e e e e e e

完全交絡の図的理解

列間平方和

1 2 3 4 5 ... 列番号

C A B

A B

C

完全交絡なので，主効果Cと

交互作用A×Bとを

区別することができない．

完全交絡なので，主効果Cと

交互作用A×Bとを

区別することができない．

A×B

© Hajime Mizuyama

e e e e e e

部分交絡の図的理解

列間平方和

1 2 3 4 5 ... 列番号

C A B

A B

C

部分交絡では，交互作用A×B

自身の評価は難しいが，

主効果C の評価には

さほど影響は与えない．

部分交絡では，交互作用A×B

自身の評価は難しいが，

主効果C の評価には

さほど影響は与えない．

© Hajime Mizuyama

混合系直交表の例：L18(21×37)

1 2 3 4 5 6 7 8

1 1 1 1 1 1 1 1 1

2 1 1 2 2 2 2 2 2

3 1 1 3 3 3 3 3 3

4 1 2 1 1 2 2 3 3

5 1 2 2 2 3 3 1 1

6 1 2 3 3 1 1 2 2

7 1 3 1 2 1 3 2 3

8 1 3 2 3 2 1 3 1

9 1 3 3 1 3 2 1 2

10 2 1 1 3 3 2 2 1

11 2 1 2 1 1 3 3 2

12 2 1 3 2 2 1 1 3

13 2 2 1 2 3 1 3 2

14 2 2 2 3 1 2 1 3

15 2 2 3 1 2 3 2 1

16 2 3 1 3 2 3 1 2

17 2 3 2 1 3 1 2 3

18 2 3 3 2 1 2 3 1

© Hajime Mizuyama

直交表の使い分け


• 交互作用が無視できることが

わかっており，主効果だけを

評価したい場合

• 主効果だけでなく，交互作用

も評価したい場合

– 考慮するべき交互作用を

限定できる場合

– 因子数が多くない場合


• 交互作用が無視できることが

わかっており，主効果だけを

評価したい場合

• 主効果だけでなく，交互作用

も評価したい場合

– 考慮するべき交互作用を

限定できる場合

– 因子数が多くない場合

混合系直交表

• 因子数が多く，交互作用が無

視できるかどうか不明な場合

• 多くの因子の中から，主効果

の大きさに基づいて，重要な

ものを絞り込みたい場合

• 影響の大きい主効果だけを用

いて改善を達成したい場合

– ロバスト設計

混合系直交表

• 因子数が多く，交互作用が無

視できるかどうか不明な場合

• 多くの因子の中から，主効果

の大きさに基づいて，重要な

ものを絞り込みたい場合

• 影響の大きい主効果だけを用

いて改善を達成したい場合

– ロバスト設計

実験計画法入門 part 2

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