مثلث بندی دلونیbayanbox.ir/view/89729866620435279/delaunay.pdf · ﻪﻣﺪﻘﻣ...

. . . . . .

.

.. ..

.

.

دلون بندی مثلث

جوکار احسان

یزد اه دانش

١٣٩٠ خرداد ١

١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

نشان terrain ناحیه ی صورت به توانیم م را زمین سط از قطعه یدهیم.

ی ناحیه از نقطه هر به که است تابع ی گراف واق در terrain یدهد. م نسبت را ارتفاع

f : A ⊂ R۲ → R

٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

نداریم! را نقاط همه ارتفاع

داریم. را P نام به نقاط از مجموعه ی ارتفاع تنها

نزدی ارتفاع نقطه، هر به بعدی: سه سط این ترسیم برای راه ترین سادهدهیم. نسبت را P از نقطه ترین

.

.. ..

.

.

طبیع چندان که داشت خواهیم گسسته ناحیه ی صورت این در که بینیم منیست!

٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

بهتر: ایده یکنیم. م ایجاد P از بندی مثلث ی ابتدابریم. م باال آن ارتفاع تا را نقطه هر سپس

۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

کنیم؟ بندی مثلث ونه چ را نقاط از مجموعه ی سوال:

شده تعیین دارند آن از زیادی فاصله که نقطه دو توسط q نقطه ارتفاع (b) ل ش دراست!

۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

کجاست؟ ل مشهای زاویه و بلند های ضل که است گرفته قرار مثلث در q نقطه (b) ل ش در

دارد. کوچ

. ..نتیجه

.. ..

.

.

نیست! مطلوب دارد کوچ های زاویه که بندی مثلث

را زاویه ترین کوچ که بندی مثلث ،P ن مم های بندی مثلث بین دراست. مطلوب کند م ماکزیمم

۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

کجاست؟ ل مشهای زاویه و بلند های ضل که است گرفته قرار مثلث در q نقطه (b) ل ش در

دارد. کوچ. ..نتیجه

.. ..

.

.

نیست! مطلوب دارد کوچ های زاویه که بندی مثلث

را زاویه ترین کوچ که بندی مثلث ،P ن مم های بندی مثلث بین دراست. مطلوب کند م ماکزیمم

۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مقدمه

٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١

باشد. صفحه در نقاط از مجموعه ی P = {p۱, p۲, ..., pn} کنید فرض

. ..تعریف

.. ..

.

.

به یال هر کردن اضافه که است زیرتقسیم P از ماکسیمال١ مسط زیرتقسیم یشود. زیرتقسیم شدن مسط غیر باعث آن

Maximal Planar Subdivision

دارد. وجود P برای بندی مثلث ی فوق تعریف طبق

٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


باشد. صفحه در نقاط از مجموعه ی P = {p۱, p۲, ..., pn} کنید فرض. ..تعریف

.. ..

.

.

به یال هر کردن اضافه که است زیرتقسیم P از ماکسیمال١ مسط زیرتقسیم یشود. زیرتقسیم شدن مسط غیر باعث آن

Maximal Planar Subdivision

دارد. وجود P برای بندی مثلث ی فوق تعریف طبق

٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


.٩.١ ..قضیه

.. ..

.

.

واق راست خط ی بر که باشد صفحه در نقطه از ای مجموعه P کنید فرضاین Convex Hull کران بر که باشد نقاط تعداد k که کنید فرض و نیستند.و مثلث ۲n − ۲ − k بندی، مثلث هر صورت این اند.در واق نقاط مجموعه

داشت. خواهد یال ۳n − ۳ − k

٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


ها مثلث تعداد mاست. m + ۱ برابر ،nf بندی، مثلث های face تعداد

دارد. یال k کران بی face و یال سه مثلث هربا است برابر ها یال تعداد بنابراین

ne = (۳m + k)/۲

داریم اویلر فرمول ازn − ne + nf = ۲

داشت خواهیم بنابراینm = ۲n − ۲ − k

همچنین وne = ۳n − ۳ − k

١٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


زاویه ۳m و مثلث m با بندی مثلث ی Tدهیم م قرار بردار ی در و کنیم م مرتب صعودی صورت به را ها زاویه

A(T) = (α۱, α۲, ..., α۳m)

i < j هر برای آن در که نامیم م T زاویه٢ بردار را بردار این

αi ≤ αj

٢angle-vector١١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


با ر دی بندی مثلث ی T′

A(T′) = (α′۱, α

′۲, ..., α

′۳m)

i مانند اندیس گاه هر است بزرگتر T′ زاویه بردار از T زاویه بردار گوییمکه باشد داشته وجود

αi > α′i

j < i هر برای وαj = α′

j

A(T) > A(T′)

ای نامه لغت ترتیب

١٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


ر دی بندی مثلث هر ازای به گاه هر گوییم زاویه-بهینه٣ را T بندی مثلث یباشیم: داشته T′

A(T) ≥ A(T′)

terrain ی ساخت برای که چرا هستیم زاویه-بهینه بندی مثلث دنبال به مااست. مناسب سطح چند

است؟ زاویه-بهینه بندی مثلث کدام سوال:

٣angle-optimal١٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١.

تالس) (قضیه ٩.٢ قضیه..

.. ..

.

.

نقاط و کند قط b و a نقاط در را دایره ℓ خط و باشد دایره ی C کنید فرضصورت: این در باشند. شده واق خط سمت ی در p, q, r, s

]arb > ]apb = ]aqb > ]asb.

١۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


دو با e نباشد، کران بی face از یال و باشد بندی مثلث ی از یال e = pipj اگرe تغییر با بسازند، را محدب چهارضلع ی مثلث دو این اگر است. مجاور مثلث

کرد. ایجاد جدید بندی مثلث ی توان م

١۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


داشته T′ بندی مثلث در اگر نامیم م غیرمجاز۴ را T بندی مثلث یال یباشیم:

min۱≤i≤۶

αi < min۱≤i≤۶

α′i

ترین کوچ ،edge flip با بتوان اگر است مجاز غیر یال ی ر: دی عبارت بهداد. افزایش محل صورت به را زاویه

۴illegal١۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


.٩.٣ ..مشاهده

.. ..

.

.

مثلث ، e یال تعویض با و باشیم داشته e مجاز غیر یال با T بندی مثلث ی اگرآنگاه: شود، ایجاد T′ بندی

A(T′) > A(T)

١٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. مسط نقاط مجموعه بندی مثلث ٩.١است. آمده دست به تالس قضیه از زیر لم

.٩.۴ لم

..

.. ..

.

.

از که باشد ای دایره C و باشد مجاور pipjpl و pipjpk مثلث دو با pipj یال اگرpl اگر تنها و اگر است مجاز غیر pipj یال آنگاه کند، م عبور pi, pj, pk نقاط

باشد. C داخلروی و دهند یل تش محدب چهارضلع ی pi, pj, pk, pl نقطه چهار اگر عالوه، به

است. مجاز غیر pkpl و pipj از ی دقیقا آنگاه باشند، نداشته قرار دایره ی

١٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


باشد. نداشته مجازی غیر یال اگر نامیم مجاز را بندی مثلث ی

مجاز بندی مثلث ی زاویه-بهینه بندی مثلث هر که دانیم م ٩.٣ مشاهده ازاست.

١٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


شود؟ م متوقف وریتم ال چرا

یابد. م افزایش زاویه بردار حلقه تکرار هر در که دانیم م ٩.٣ مشاهده از

است. متناه نقاط از مجموعه ی ن مم های بندی مثلث تعداد

شود. م متوقف وریتم ال پس. ..توجه

.. ..

.

.

آن از کندتر بسیار وریتم ال ول است مجاز بندی مثلث ی وریتم ال این خروجباشد! ما توجه مورد که است

٢٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


شود؟ م متوقف وریتم ال چرا

یابد. م افزایش زاویه بردار حلقه تکرار هر در که دانیم م ٩.٣ مشاهده از

است. متناه نقاط از مجموعه ی ن مم های بندی مثلث تعدادشود. م متوقف وریتم ال پس

. ..توجه

.. ..

.

.

آن از کندتر بسیار وریتم ال ول است مجاز بندی مثلث ی وریتم ال این خروجباشد! ما توجه مورد که است

٢٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. دلون بندی مثلث ٩.٢

گراف: این در یرید. ب نظر در را ورونوی دیاگرام همزاد۵ گراف

سلول) درون سایت دارد.(همان قرار راس ی ورونوی سلول هر ازای بهداشته مشترک ضل آنها با متناظر های سلول اگر دارد وجود یال راس دو بین

باشند.

۵Dual graph٢١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


یال دو (هیچ است مسط صفحه، در نقاط از مجموعه ی دلون گراف : ویژگکنند). نم قط را ر دی ی

٢٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. دلون بندی مثلث ٩.٢.

٩.۵ ..قضیه.. ..

.

.

است. مسط صفحه، در نقاط از مجموعه ی دلون گراف

کنیم: م استفاده ((ii)٧.۴ (قضیه زیر ویژگ از اثبات برای.

.. ..

.

.

که باشد داشته وجود Cij دایره اگر تنها و اگر دارد وجود گراف دلون در pipj یالنگیرد. قرار آن درون P از ری دی سایت(نقطه) هیچ و باشند واق آن بر pj و pi نقاط

است.) واق ν(pj) و ν(pi) های سلول مشترک یال بر ای دایره چنین مرکز )

٢٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


Cij دایره مرکز و pi, pj هایش رأس که مثلث کنیم: م تعریف را tij مثلثاست.

واق pi سلول در کامال کرده وصل دایره مرکز به را pi که یال که کنید دقت( pj مورد در است.(همچنین

دایره و tkl .مثلث باشد دلون گراف در ری دی یال pkpl کنید فرض اکنونکنیم. م تعریف مشابه بطور را Ckl

کنند. قط را ر دی ی pkpl و pipj کنید فرض خلف: برهان

٢۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


داشته قرار tij بیرون بنابراین و Cij بیرون در باید pl و pk شده، ذکر ویژگ طبقباشند.

کند. قط را Cij مرکز مجاور tij های یال از ی باید pkpl یعن این

کند. قط را Ckl مرکز مجاور tkl های یال از ی باید pipj مشابه، بطور

٢۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


tkl های یال از ی باید Cij مرکز مجاور tij های یال از ی صورت این درکند. قط را است Ckl مرکز مجاور که

دارند! قرار مجزایی های سلول در ها یال این که واقعیت این با تناقض

٢۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


های سایت های سلول رأس و ورونوی دیاگرام از رأس v اگررأس دارای دلون گراف در آن با متناظر face آنگاه باشد، p۱, p۲, p۳, ..., pk

است. p۱, p۲, p۳, ..., pk های

٢٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


در P نقاط نگیرند،(مجموعه قرار دایره ی روی سایت چهار هیچ اگررا گراف این است. مثلث ی دلون گراف face هر باشند) ۶ کل موقعیت

نامیم. م دلون بندی مثلث

.

.. ..

.

.

گیرند قرار دایره ی روی نقطه چهار نقاط، از پراکنده توزیع ی در اینکه احتمالاست! کم

۶General Position٢٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


: دلون گراف برای ٧.۴ قضیه بیان.

٩.۶ ..قضیه

.. ..

.

.

اگر تنها و اگر هستند دلون گراف از face ی های رأس pi, pj, pk نقطه سه,piنباشد. pj, pk نقاط از گذرنده دایره درون P از ای نقطه هیچ

اگر تنها و اگر دهند م یل تش را دلون گراف از یال ی pj و pi نقطه دونقطه هیچ و باشند شده واق برآن pj و pi نقاط که باشد داشته وجود C دایره

نباشد. آن درون P از ری دی

.٩.٧ ..قضیه

.. ..

.

.

دلون بندی مثلث ی T صورت این در باشد. P از بندی مثلث ی T کنید فرضP از ای نقطه شامل T های مثلث از کدام هر محیط دایره اگر تنها و اگر است P از

نباشد. خود درون

٢٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


؟ دلون بندی مثلث زاویه بردار

.٩.٨ ..قضیه

.. ..

.

باشد.. دلون بندی مثلث ی T اگر تنها و اگر است مجاز T بندی مثلث

...اثبات:

.. ..

.

.

است.(چرا؟) مجاز دلون بندی مثلث هر که است واض

کنیم. م استفاده خلف برهان از عکس، جهت در اثبات برای

٣٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


نیست. دلون که باشد مجاز بندی مثلث ی T کنید فرضمحیط دایره که دارد وجود pipjpk مثلث ی یعن این ٩.۶ قضیه طبق

است. خود درون pl مانند ای نقطه شامل C(pipjpk)pipjpk و pipjpl مثلث بین که باشد pipjpl از یال e = pipj کنید فرض

است. مشترککه کنیم م انتخاب را جفت آن ، T در (pipjpk, pl) های جفت همه ازای به

باشد. بیشینه ]piplpj زاویه آن در

٣١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


نیست. دلون که باشد مجاز بندی مثلث ی T کنید فرضمحیط دایره که دارد وجود pipjpk مثلث ی یعن این ٩.۶ قضیه طبق

است. خود درون pl مانند ای نقطه شامل C(pipjpk)pipjpk و pipjpl مثلث بین که باشد pipjpl از یال e = pipj کنید فرض

است. مشترککه کنیم م انتخاب را جفت آن ، T در (pipjpk, pl) های جفت همه ازای به

باشد. بیشینه ]piplpj زاویه آن در

٣٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


یرید. ب نظر در را e مشترک یال با pipjpk همسای در pipjpm مثلث اکنوننم واق C(pipjpk) دایره درون pm نقطه ٩.۴ لم طبق پس است مجاز e

شود.از e توسط که است C(pipjpk) از بخش آن شامل C(pipjpm) محیط دایره

. pl ∈ C(pipjpm)پس شود. م جدا pipjpkpjpmpl و pipjpm مثلث بین که باشد pipjpm از یال pjpm کنید فرض

است. مشترکجفت تعریف با که ]pjplpm > ]piplpj داریم تالس قضیه طبق اکنون ول

دارد! تناقض (pipjpk, pl)

٣٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


یرید. ب نظر در را e مشترک یال با pipjpk همسای در pipjpm مثلث اکنوننم واق C(pipjpk) دایره درون pm نقطه ٩.۴ لم طبق پس است مجاز e

شود.از e توسط که است C(pipjpk) از بخش آن شامل C(pipjpm) محیط دایره

. pl ∈ C(pipjpm)پس شود. م جدا pipjpkpjpmpl و pipjpm مثلث بین که باشد pipjpm از یال pjpm کنید فرض

است. مشترکجفت تعریف با که ]pjplpm > ]piplpj داریم تالس قضیه طبق اکنون ول

دارد! تناقض (pipjpk, pl)

٣۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


و است بندی مثلث ی دلون گراف آنگاه باشند، کل موقعیت در نقاط اگرتاست. ی دلون بندی مثلث

و کرد تبدیل بندی مثلث ی به را دلون گراف توان م صورت این غیر درهستند. مساوی زاویه ترین کوچ دارای گراف این های بندی مثلث همه

٣۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


.٩.٩ ..قضیه

.. ..

.

.

مثلث هر عالوه، به است. دلون بندی مثلث ی P از زاویه-بهینه بندی مثلث هرکند. م ماکزیمم را زاویه ترین کوچ P از دلون بندی

٣۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣

اول: روش

ورونوی دیاگرام ساختن .١ورونوی دیاگرام همزاد گراف تولید .٢

نیستند. مثلث که faceهایی بندی مثلث .٣

٣٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


٧ تصادف افزایش وریتم ال مستقیم: روشکنیم. م اضافه نقاط مجموعه به را p−۲ و p−۱ نقطه دو ابتدا

کنیم. م بندی مثلث را P ∪ {p−۱, p−۲} مجموعه

حذف را ها آن به متصل های یال همه و p−۲ و p−۱ نقاط وریتم ال انتهای درآید. دست به P بندی مثلث تا کنیم م

٧Randomized Incremental Approach٣٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


است. P در نقطه باالترین p۰

p۰p−۱p−۲ مثلث: اولین

...توجه!

.. ..

.

.

باید: نقطه دو اینباشند. دور کاف اندازه به فاصله در (١

باشند. نشده واق نقطه سه از گذرنده دایره هیچ بر یعن نبرند بین از را بندی مثلث (٢

٣٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


شوند. م اضافه تصادف ترتیب با نقاطشود. م محاسبه دلون بندی مثلث مرحله هر در

:pr نقطه کردن اضافه هنگام درpr شامل مثلث تعیینها یال کردن اضافه

شوند! غیرمجاز قبل های یال از برخ است ن مم توجه:

۴٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


نباشند؟ مجاز ر دی pr شدن اضافه با است ن مم ها یال کدام سوال:تغییر که هایی مثلث های یال فقط پس است مجاز مرحله هر در بندی مثلث

شوند. غیرمجاز است ن مم اند کرده

۴٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


هستند. pr مجاور شوند، م ایجاد pr شدن اضافه با که جدیدی های یال تمام

۴۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۴٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣.

٩.١٠ لم.... ..

.

.

هستند. دلون گراف در شوند، م ایجاد pr شدن اضافه با که جدیدی های یال تمام

اثبات:آن محیط دایره است، دلون بندی مثلث از مثلث ی pipjpk که آنجا از

نیست. خود درون t < r با pt مانند ای نقطه هیچ (C)شاملدست به را pi, pr نقاط از گذرنده C′ دایره توانیم م C کردن کوچ با

آوریم.گراف از یال prpi یعن این و نیست ای نقطه هیچ شامل C′ پس C′ ⊂ C

است. دلون

۵۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


pr مجاور prpl یال با pipjpl مثلث از pipj مانند یال همیشه ،edge flip درشود. م زین جای

شامل (C) اش محیط دایره چون و بوده دلون مثلث ی pipjpl که آنجا ازبود- نخواهد غیرمجاز pipj صورت این غیر -در است pr

از گذرنده C′ خال دایره ی به تا کنیم کوچ را محیط دایره توانیم مبرسیم. pr, pl

۵۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


است؟ مثلث کدام درون جدید نقطه که دهیم تشخیص ونه چ

D نقطه یابی ان م برای داده ساختمان ی بندی، مثلث ساخت با همزمانسازیم. م را است، دور بدون دار جهت گراف ی ،که

است. مثلث ی با متناظر گره هراند. رفته بین از قبل مراحل در که هستند هایی مثلث با متناظر داخل های گره

۵۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


۵٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


داشته قرار P نقاط همه از باالتر ℓ−۲ خط و تر پایین ℓ−۱ خط کنید فرضباشد.

م انتخاب طوری ،Pراست سمت در کاف اندازه به و ℓ−۱ روی را p−۱ نقطهکند. م عبور P نقطه سه از که باشد ای دایره هر خارج که کنیم

هر خارج که کنیم م انتخاب طوری ℓ−۲ خط چپ سمت در را p−۲ نقطهکند. م عبور P ∪ {p−۱} نقطه سه از که باشد ای دایره

۶٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. دلون بندی مثلث ساختن ٩.٣از: شده یل تش P ∪ {p−۱, p−۲} دلون بندی مثلث

P دلون بندی مثلثمجموعه Convex Hull راست سمت های رأس همه به را p−۱ که هایی یال

کنند م متصل PP مجموعه Convex Hull چپ سمت های رأس همه به را p−۲ که هایی یال

کنند م متصلp−۱p−۲ یال

است. متصل p−۲ به هم و p−۱ به هم P نقطه ترین پایین و باالترین توجه:

۶١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


یال؟ بودن مجاز بررس هنگام در p−۲ و p−۱ نقاط با برخورد نحوه

ر دی رأس دو pk, pl و شود بررس باید که باشد یال pipj کنید فرضوجود): صورت باشند(در

است. مجاز همیشه باشد p۰p−۱p−۲ مثلث از یال pipj اگرانجام معمول صورت به بررس نباشند، منف دام هیچ i, j, k, l های اندیس اگر

شود. ماگر: تنها و اگر است مجاز pipj حاالت، ی بقیه در

min(k, l) < min(i, j)

۶٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


pipj is legal ⇐⇒ min(k, l) < min(i, j)

است. منف i, j های اندیس از ی حداکثر که دانیم مپس ایم کرده اضافه تازگ به که است pr نقطه pl یا و pk یا ر، دی طرف از

است. منف k, l های اندیس از ی حداکثردایره از خارج نقطه این که دانیم م باشد، منف اندیس چهار از ی تنها اگر

گذرد. م ر دی نقطه سه از که است ایمثبت بقیه و باشد منف j یا i اگرمثبت بقیه و باشد منف l یا k اگر

۶٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


pipj is legal ⇐⇒ min(k, l) < min(i, j)

باشند منف min(k, l) هم و min(i, j) هم اگرmin(k, l) = −۱ و min(i, j) = −۲ اگرmin(k, l) = −۲ و min(i, j) = −۱ اگر

۶۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. وریتم ال تحلیل ٩.۴

.وریتم: ال تحلیل

..

.. ..

.

.

طول در که است هایی مثلث تعداد بررس وریتم، ال این تحلیل در اساس مسئلهشوند. م حذف و ایجاد وریتم ال روند

نماد: چند معرف ابتداPr = {p۱, ..., pr}

Dgr = Dg({p−۲, p−۱, p۰} ∪ Pr)

۶۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


.٩.١١ لم

..

.. ..

.

.

است. ۹n + ۱ حداکثر وریتم، ال توسط شده ایجاد های مثلث انتظار مورد تعداد

سه به را مثلث ی ،ابتدا pr کردن اضافه هنگام وریتم، ال تکرار rامین درکنیم. م ایجاد Dgr در جدید یال سه و تبدیل مثلث

باعث همچنین و کرده ایجاد جدید مثلث دو نیز یال تعویض هر این، بر عالوهشود. pr مجاور Dgr یال ی که شود م

باشند، pr مجاور Dgr از kیال ، pr کردن اضافه از پس اگر یعن: با بود خواهد برابر حدکثر شده ایجاد جدید های مثلث تعداد

۲(k − ۳) + ۳ = ۲k − ۳

k = deg(pr,Dgr)

۶۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


دارد. یال ۳(r + ۳) − ۶ حداکثر Dgr ، ٧.٣ قضیه طبقهستند، p۰p−۱p−۲ مثلث به متعلق ها یال این از تا ٣

از است کمتر Pr دنباله های رأس درجات مجموع ، بنابراین

۲[۳(r + ۳) − ۹] = ۶r

است. ۶ حداکثر Pr از تصادف نقطه ی انتظار مورد درجه یعن این و

۶٧ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


داشت: خواهیم پس

E[r مرحله در شده ایجاد های مثلث [تعداد ≤ E[۲k − ۳]

= ۲E[k] − ۳

≤ ۲ ∗ ۶ − ۳ = ۹

داشت. خواهیم مثلث ۹n + ۱ حداکثر مرحله، n مجموع در

۶٨ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


.٩.١٢ ..قضیه

.. ..

.

.

از استفاده با و O(n log n) انتظار مورد زمان در توان م را دلون بندی مثلثداد. انجام O(n) انتظار مورد حافظه

ی با متناظر گره هر ،D داده ساختمان در اینکه به توجه با حافظه، مورد درم اثبات O(n) قبل، لم به توجه با و بود وریتم ال توسط شده ایجاد مثلث

شود.

نقطه(خط٧)، ان م تعیین مرحله گرفتن نظر در بدون اجرا، زمان مورد دراست متناسب شده ایجاد های مثلث تعداد با وریتم ال توسط شده هزینه زمان

O(n) یعن

۶٩ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


: point location مرحله مورد درpi نقطه کردن اضافه هنگام در گراف، در جستجو هزینه T(i) کنید فرض

باشد.کنیم. م شارژ جستجو مسیر در موجود مثلث هر به را هزینه این

مثلث شارژ دفعات تعداد مجموع توانیم م∑n

i=۱ T(i) محاسبه جای به یعنکنیم. حساب را ها

.

.. ..

.

.

n∑i=۱

T(i) =∑∆

card(∆) =∑∆

card(K(∆))

∆ مثلث محیط دایره : K(∆)

٧٠ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .

.. وریتم ال تحلیل ٩.۴.

٩.١٣ لم..

.. ..

.

.

آنگاه باشد، کل موقعیت در نقاط مجموعه ی P ∑اگر∆

card(K(∆)) = O(n log n)

شوند. م ایجاد وریتم ال توسط که است ∆ دلون های مثلث همه روی ، جم که

اثبات:Dgr های مثلث مجموعه :Tr

r مرحله در شده ایجاد دلون های مثلث مجموعه :Tr \ Tr−۱

n∑r=۱

(∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆)))

٧١ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


q ∈ K(∆) که ∆ ∈ Tr های مثلث تعداد :k(Pr, q)

∆ مجاور pr همچنین و q ∈ K(∆) که ∆ ∈ Tr های مثلث تعداد :k(Pr, q, pr)باشد.

∑∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆)) =∑

q∈P\Pr

k(Pr, q, pr) (*)

٧٢ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


حداکثر باشد، p ∈ P∗r تصادف نقطه ی مجاور ∆ ∈ Tr مثلث ی اینکه احتمال

است. (۳r ) برابر

پس

E[k(Pr, q, pr)] ≤۳k(Pr, q)

r: داریم (*) رابطه از استفاده با و q ∈ P \ Pr نقاط همه ازای به مقادیر این جم با

E[∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆))] ≤ ۳

r∑

q∈P\Pr

k(Pr, q) (**)

٧٣ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


است، برابر شود ظاهر pr+۱ عنوان به q ∈ P \ Pr نقاط از کدام هر اینکه احتمالپس:

E[k(Pr, pr+۱)] =۱

n − r∑

q∈P\Pr

k(pr, q)

: (**) در مقدار این جاگذاری با

E[∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆))] ≤ ۳(n − r

r )E[k(Pr, pr+۱)]

٧۴ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


قضیه طبق که .pr+۱ ∈ K(∆) که است Tr از هایی مثلث تعداد k(Pr, pr+۱)حذف pr+۱ شدن اضافه با که هستند هایی مثلث همان دقیقا ها مثلث این (i) ٩.۶

داریم: پس شوند، م

E[∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆))] ≤ ۳(n − r

r )E[card(Tr \ Tr+۱)]

تعداد از تا ٢ دقیقا شوند م حذف pr+۱ نقطه شدن اضافه با که هایی مثلث تعدادپس: است، کمتر شوند م ایجاد pr+۱ شدن اضافه با که هایی مثلث

E[∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆))] ≤ ۳(n − r

r )(E[card(Tr+۱ \ Tr)] − ۲)

٧۵ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

. . . . . .


تعداد با شوند م ایجاد pr+۱ شدن اضافه با که هایی مثلث تعداد که میدانیم اکنوناست. ی Tr+۱ در pr+۱ مجاور های یال

م نتیجه پس است. ۶ حداکثر هایی یال چنین انتظار مورد تعداد که دانیم م وکه: گیریم

E[∑

∆∈Tr\Tr−۱

card(K(∆))] ≤ ۱۲(n − r

r )

کند. م ثابت را لم r روی جم با که

٧۶ / ٧۶ جوکار احسان دلون بندی مثلث

مثلث بندی دلونیbayanbox.ir/view/89729866620435279/delaunay.pdf · ﻪﻣﺪﻘﻣ...

Documents