˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ !...

20
! ∀#∃% & ∋∋(∃%) !∀ #!∃%&∋∀ #!(&)∗!∗)&∗&∗+%∗ , #! −&∗. / ,#!#)∗&)∗0%∗∀ 1 /#!2∗0∗∀ 3 14!5&∗∀ ∗+∋∋(∃% ∃)5)&+0+)&∗!∀ ∃∋)&∀ #!∃)∗0%∗+∀ #!60∗∀ #!(%∗!)!7&)∗) ,87∗%∗!940∗0∋+∀ ,∋∋(∃% :∗!%∀ ;!0∋4))4)%∗&&0∗!)∗ +&∗<∀ #!(&)∗!∗)&∗&∗+%∗ ∀7& #!60∗∀7&/ #!7(%∗!)!7&)∗) ∗7&/ , ,#!2∗0∗∀7& , /2∗∗5=∗!%∗%∀ , ∋∋(∃% / ;!0∋4))4)%∗&&0∗! )∗+&∗<∀7&3 / >+∗?)4∗%∗ &∗& 1 #!∃%&∋∀7& 1 #!(&)∗!∗)&∗&∗+%∗ ∀7& 1 #!7−&∗.7& 1 ,#!#)∗&)∗0%∗∀7&

Upload: others

Post on 20-Aug-2020

5 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

!

∀#∃% &

∋∋( ∃ %)

!∀

#! ∃%&∋∀

#! (&)∗!∗)&∗&∗+%∗

∀ ,

#! −&∗. /

,#! #)∗&)∗0%∗∀ 1

/#! 2∗0∗∀ 3

1 4!5&∗∀ ∀

∗+∋∋( ∃ % ∀

∃)5)&+0+)&∗!∀

∃∋)&∀

#! ∃)∗0%∗+∀

#! 60∗∀

#! (%∗!)!7&)∗)

, 87∗%∗!940∗0∋+∀

,∋∋( ∃ %

:∗!%∀

;!0∋4))4)%∗&&0∗!)∗

+&∗<∀

#! (&)∗!∗)&∗&∗+%∗

∀7&

#! 60∗∀7&/

#!7(%∗!)!7&)∗)

∗7&/ ,

,#! 2∗0∗∀7&

,

/ 2∗∗5=∗!%∗%∀

,

∋∋( ∃ % /

;!0∋4))4)%∗&&0∗!

)∗+&∗<∀7&3 /

>+∗?)4∗%∗

&∗& 1

#! ∃%&∋∀7&

1

#! (&)∗!∗)&∗&∗+%∗

∀7& 1

#!7−&∗.7&

1

,#! #)∗&)∗0%∗∀7&

Page 2: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

3

/#! 2∗0∗∀7&

3

∀#− ,

/∗0+∗ 3

/∗0+∗ 3

1∗0+∗ ∀

1∗0+∗ ∀

3∗0+∗ ∀

3∗0+∗ ∀

∀∗0+∗ ∀

∀∗0+∗

∗0+∗

∗0+∗

Page 3: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

;)∗&∗3357;09∗

0) ≅ )4 ∗ ∗∗ ) )&

&05 ∗4 ∗) )& 4 +

)%0

6&!∗∗∗&0)∗))4∋

∗))

6&!∗∗∗&0)∗))=∗

14∋∀4∋∗))

∃.∗0&∗0∗∋))00

∗)))!)%+))0&

∗)0&))!0+

. /# 01

#

21

∋!∋

Α )%+

)&0

!∀ Α !+

)&0

∃%&∋∀ Α )%!+

)&0

(&)∗!∗)&∗&

∗+%∗∀

Α )%+

)&0

−&∗. ,Α ++

)&0

, #)∗&)∗0%∗∀

∀Α ++

)&0

/ 2∗0∗∀ Α ++

)&0

1 Β4!5&∗∀ 1Α ++

)&0

;)∗!∗+ ))+∗)&)5!9

Page 4: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

&∗0∗)∗∗!)∗!0Χ0

∃∆∗)4&4)0&∗!%0)4

&0&∗!%0&∗!∗++∗+

)+4&=)!∗∗)%0&∗!)0)0)&∗)

&∗!∗!&!0+∗+0∗)+4!)

∆&)∗

% ∗

4∗∗0&!∗)∗∗0

∃∆∗)!+∋&)&∗&))∗;

&!∗&!∗∗∋!&∗0∗0

&0!∗∗4

;)∗∗0)&)9∗)0≅)%&∗!∗!

!∗∗0&&∗!∗+∗+)+4&=)!∋∗

)+ ≅ !) ∗!04 ∗95 ∗ & ∃ ∆∗)4

&4 &∗ !0∗∋&)04&

0∗ ∗ )95 ∗)∗ ∗)+

&∗!∗+∗+

∗7!0+%∗!94∀

)%0 ∋+ 0+ !∗∗ 0 /, Ε !∗∗

∗ 9∗! ∗ ++ )&0 &∋ ∀∀ 4

∗∋ ) ∗ ∗∗7)&0 & Χ4 &4 ∗ 04

0 ) ∗ ∗∗7)&04 + ∗ ∗.0 &)

∗∗∗9∗ ) 9∗! ∆∗& ++ )&0 ; ∗

0 ∗∗7)&0 !∋+ .∗!9

&∗0 ∗ ∗∗7)&0 ! %

&∗0 + 9∗! ∆∗& ++ )&0 ;

) %0 ∗ + ) ∗∗∗∗ &0+ ∗.

∗))&%∗0)%+)&0

∀.)∀34#−∋∃5%

Φ+∗)&∗+,ΓΗ&∗∗+&+∗)∗7

),)0∗+)()&∗%∗&)5

∀ΓΗ4∗)Χ%∗&)5∀∃(

&09∗+45+0∗1,):+0∗+&∗∋9

∗)Χ)9+∗∗!+&7

0<

Ι∗∗∗!∗∗!9∗0)%&0∗!4%9&7

∗9 ∗0 !∗∗ ∗ ∋∗Χ+

∃∗)∗&∗&!:∗∗!4∗)∗0&∗&∗&7

∗%)9∗0!++&∗+&∗!

0)ϑΚ14%Λ)!ΓΗ#0+∗∗!0)3Λ)!47

&31)Λ

23

:0∗6∀Μ∀)>!9∗

:%∗! )%+)&0

Page 5: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

>+&95∗))&)∗!∗4

&∋04∗0∆∗:∗.≅

∗4∋∀

∀.)∀37∃%

>&4%5∗!9)Λ4∗0#)!7

0+∗∗∗∗∗∀∃&!9

∗) % & %∗ ∗)! ∗!9 3 )Λ

2)0&)9))!))!∗%95

∗∗!∗)<&+∗∗!+,)4

!+&&&9%4&7

ΝΚ31)Λ;0&∗!∗∗!9)5.Χ4∗∗7

∗!∗∗!9∗0

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗7

∗∋∗Χ0

23

#)!∗!ΟΠΘΡ6∀,Μ∀)Λ

#)!∗!ΟΠΣΤ6,Μ∀)Λ

:%∗! !+)&0

∀.&)30!#∃%

Υ)∗&%&∋∋#&,

Ι&∗)∗∗∗!4!0+&∋∗∗!

∗!+&∗∆ΧΧ.∗%∗∗&%0&∋ς7

&∗∗!0)31)Λ;0&∗!∗∗!9)7

5.Χ4)0∗!∗∗!9∗047∗∗!9∗0047

∆ΧΧ.∗%∗∗7∗∗!9.0>&∋)%)∗!&)5!9

Ω)0∋Ω∃∋%∗&∗=)&∗&∋4Χ)7

.&%0&&∋∗!0)&%)∗∗∗ΞΚ

);&∋∗&.!0+)&∗4∗)∗!0∗

∗∗∗&∋0∗∗5=∗!)0∋!97

∗∗&∋4∋+0+.∗#)∗&&)&%0

Page 6: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∗∗∗∗))∗0∗4 &∆∗).∗∗

ς∗!∗&∗&)∗∗!))∋∗9+07

0+∗∆4∗%&)5∗!∆∗)∗∗&∋+Ψ7

)0∋!9 9) ) )∗ ∆ 5∗ &!0+ )∋∗

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗7

∗∋∗Χ0

23

# 33Μ∀

# /,3Μ∀

ς&∋ ∀Μ∀∀∀1

∆ΧΧ.∗%∗∗&%0 /,Μ >Λ)

:%∗! )%!+)&0

∀.8)39∋#∋

!∋∃%

;&)∗∗4=&∗∗!Λ)4!∗&)∗!7

∀∀%ΛΖΓΗ;∗)∗∗∗%∗!4)95&∗7

∗!∀1Λ)>∗∗!4%)4&∗7

∗! ! ∀3 Λ)4 ! ∗&∗ & ! ∀∀∀ %Λ

(%)9∗+4&&∗∗))∗4∗5+∗.Χ&7

4&095)∗!∗)&∗0∗)7∋∗)&∗∗7

Υ))+∗∗∗)&∗04)9∗7

040.0

Υ)!∗ )045+ &)∗4 ∗%!9∗)&∗4

∗)&∗&!9∗&=)∗!∗+%∗

∗!∗∗0∗=∗∗&!∗#∗)&∗)7

∗!∗∗!9∗04∗&=)∗!7∗∗!9∗(&=)∗!9

∗&∗)∗&)%&!)%&0∗!4%9

&∗9∗0!∗∗ ∗ ∋∗Χ0 ∗

)&∗!∗∗!99∗0∗9∗!∗7

,

Page 7: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∗)+∗%!∗))%&∗!&∋∗∗−∗&)%

&)5∗! & ∗+ ∋∗∗4 ∗% 0∗! %9

:∗0)%&∗∗!4∋=∗5+&∗+

[∗ )% &∗! ∗! ∗4 ∗5+

6=∗&)&9∗5)&=+&Ω∗∗Ω097

∗5)&+&Ω∗&Ω∃95%∗Ω∗∗Ω&%∗

=∗>%∗&ΩΩ5∗∆

&)∗Χ∆&∗&!∗!∗!∗47

∗)%&)5∗!∗;4=∗=∗&)4&

&0∗ Χ))+ )∗ > ∆∗) Χ

)%)∗0∗!&)∗)9∗!&

;0 ∗ & 5∗ &!0+

)∋∗

23

#0 /∀Μ∀

>!∗)&∗∗+%∗ ,Μ∀ ΓΗ

()&∗&∗+%∗ /∀Μ∀ ΓΗ

(&=)∗!∗+%∗ ,∀Μ∀ %ΛΖΓΗ

:%∗! )%+)&0

∀.5)3:1∃5%

>&∗&%0∗∗07

4 &%0 &%0+4 7

+∴∀∀/)7 )%&7

∗! Ω)0∋!9Ω (% )∗ +∗!

∗!∋)4∗%)%&7

∗! −&∗.!0 &07

9∗.∗)45)∗&∗.7

=0+.∗ ∗∗∗∗ )&7

∗. ∋∗0 ∗ &0∋

9∗ &∗7

.Ι&∗9∗0)7

&%0 ∗ )%

) Ι∗∗0 ∗ ∗∗!9 ∗00

]+)%∗!4∗∋!)0∋+9∗!4∗%5∗!97

99

&0∋∗∗&∗)%&!∗!∗!

∗Ψ+∗∆5∗&!0+)∋∗7

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗7

∗∋∗Χ0

/

Page 8: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

23

6∗)%&%0)) ,Μ∀∀ )

;&%∗! ∀Μ∀∀ )

Ε9∗∗.∗! ∀1Μ∀∀ )

:%∗! ++)&0

∀.;)3!∋∃%

Υ)∗ .4 ∗ ∗ ∗ !0+ ∃∋! .

&&)5∗!&)∋0+.)%7

&!∗!∗))∗7∗.&%∗4&7

∗&0∗.Χ+&

Ι&∗?=) ∗.&!)∗∗)04?=)

%∗4&∗∗!∆∗+%∗4∗%∗)+∗.7

;0∗!∗∗!9∗00()&∗%∗%97

5+0∀ΓΗ4∗)Χ∀∃4&7

ΝΚ31)Λς!99&∗9∗∗!+1%Λ)! Γ

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗7

∗∋∗Χ0∃%))∗)%)∗!&)7

5!9Ω)0∋Ω4))∗)%&∗!Ω&Ω∋∗∗∆∗∗∗

∗&∗∗!∗4)%∗0∗!Ω&+Ως∗!

∗&∗&)∗∗!))∋∗9+00+∗∆7

4 & 5 )0∋!9 9) )∗ ∆ 5∗ &!0+

)∋∗

23

Ι?=) ∀Μ∀∀

Ι?=)%∗ ,11Μ∀

∃∗∗!%∗ Μ∀∀ Λ)

∗)+ ∀∀13Μ∀∀∀ )+

1

Page 9: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

:%∗! ++)&0

∀.∗)3<∋∃%

2∗0∗∗0& ∗∗0)&5) >+∗4 )

0&∗∆∗∗:∗∆∗)0∆∗

)04&∗)0&∗∗0+∗!))!+∗∗

)+⊥∗!∗∗0∗=∗40&∗+0∗!∗∗!9

∗+)

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

Β_&∗Ω)Ω4Π7Ω)Ω

−)∗0)%&∗∗!)0∋!9&9∗!)))& )0)

))))%&∗!)!∗)∗7)∗!0+&4&95+)7

∗!∗4&%&∗ )∗4)0)))))%&7

∗!&)07&4)95&∗&∗

(&))+0&)∗!+∋0)!∗)∗)∗&7

)5!9&∗;+∗)&∗+)!∗)∗∗97

;∗&∗)!∗)∗%)!∗)∗!47

%))&)∗!)

∃)∗))!∗)∗)%∗!)!∋∗!&)7

5!9∗))∃∗!&9&)%)∗!

&∗=)&∗))0&)4&9=+)!∗)∗

>&%∗&∗∗∗&)5)%

23

:&∗ϑΚ Μ∀ Ι)

:&∗ϑΚ /∀Μ Ι)

:&∗ϑΚ Μ Ι)

:&∗ϑΚ 3Μ∀ Ι)

3

Page 10: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

:%∗! ++)&0

∀.+)∀3∋(∋#=#∃%

Β)+3%9∗&%4)∗&7

)4+)+∗%)+∗4

&0∗!&9;7

∗0+))∗)∗&9∗4&7

∗!∗!&∗>!∗∗7

+∗&∗,)4&+)4∗7

)%∗)& ∗ / ) 9

&04∗0%∗!=!)&%7

<2)∗))!∗!4∗9!=∗&!%

&∗<

&∗∗!0)ΝΚ31)Λ4∗∗!

∗+Ι∗∗0∗!∗∗!9∗00

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

23

Φ∗!6∀∀,Μ∀∀∀>

#)!∗!6∀∀Μ∀∀∀)Λ

:%∗! ++)&0

∀.)∀30=# ∃

%

#&∗&&%4%∗∗0∗

)∗&4&∗∗!&0∆∗+0∗0∃%)7

95)&))!0∗4∗9&)∗)4)!∋∗

7∗∗&4&)∗∗

Ι&∗ &)5 ) ! ∗

&+0+))%&∗!;∗∗∗0∗∗!9∗0∗7

∋∗!∗∗0;0&∗!∗∗!95.Χ

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

Page 11: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

23

;&)5)6Μ∀)

∃∗!4&+0+))6,,Μ∀)

/1

∀.)∀30∋##∃%

;∗!0∗!∗)+3∗∗!

∗!9)Λ4∗0&0∗!∗∗)+∗>

&0))∗4&∆∗)00%∗!∗!9,)Λ4

∗0&∗!)Ε∗)&∗&0∗0)%%0)&)4

&%))%)4∀)4&∆∗)00%∗!5=!∋+7

∗!97&∗)∗

Ι&∗ &∋9 &! ∗!∗! & ∗

)%);∗∗∗0∗∗!9∗0∗∋∗!∗∗07

;0&∗!∗∗!9)5.Χ

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

23

∃∋)&613Μ∀)

6∗)%)6//Μ∀)

/1

∀.&)30!∋ ∃%

>∗∗∗5∗4∗+∗7

∗+%∗!94∗%)!+∗4!404))0+

Page 12: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

Ι&∗)&∗∗!4∗%?=)0&)&∗7

∗!%∗∗);0∗!∗∗!9∗0

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

ς∗!∗&∗&)∗∗!))∋∗9+07

0+∗∆4&5)0∋!99))∗∆5∗

&!0+)∋∗

;)%∗!40∗0)%∗!&)5!9

%∗∗ ∗0∗Λ0∗5)&

;&&∗)%∗!%∗!4∆∗&∗!∗!&&∗%7

∗! &∗!&&∗)%∗!∗0)

∃∗∗!0Λ)#!))

23

# Μ

∃∗∗! Μ∀∀ Λ)

Ι?=)%∗∗ Μ )

∃∗∗!%∗∗ Μ∀∀ Λ)

/1

∀.8)3>∃%

Ι&∗)&∗∗!4&∗.)&+∗+!4

∗%)∗%0)∗∗∗∗!9.04&∗∗!

7 ∗∗!9 ∗0 ς & ∗+∗ 0) 31 )Λ

∗∋!∗∗0∗=∗∗&!∗&

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

Page 13: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

:∗%!0)%∗!)0∋!97+∗∆∗)∗47

∗!∗%!&!&%&∗()%&∋∗!0

9))∗))∗>+∗∗%0)9∗!∋

7&∋∗!∗)4&∋9∗∗∗)7

∗∗∋∗∗)%&)5∗!77&))∗

)%&∗!∗∋∗∗∆∗)&%∗!∗4

∗0+∗∗4∗&∗∗!

ς∗! ∗ &∗ &)∗∗! ) )∋∗ %0+

∗∆Ψ)0∋!99))∗∆)+5∗&7

!0+)∋∗

23

# Μ/

∃∗∗!13Μ∀ Λ)

6.)! Μ

#∗% Μ,

/1

∀.5)39!∋∋

∋∋∃5%

(%)%∗0∗!∗∗!)!Ι∗)∗7

&∗∆∗)∗)!∗%)∗!∗!∗%

&)5!9∗∗%Χ%&!94Χ%4∗0+07

∗∗4&∗;)∗)%&!∗!9+)95Χ%4

)∗&0∗&!0!∗∗0

α&∗Χ%0/))4)&%9&.∗&7

!∋+))Ι&∗ #∗% ∗∗:&)7

∗∗%7∆∗&∗∗!∗%

Page 14: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∗0∗∗09∗!4&%+&!!

∗)0∗0∗&∗!∗!4∗+&&&%

7 &) + + ∗ ∗ ∗% &) + +

#∗&∗∗∗!9∗04∗!7∗∗!9∗07

04∗∋∗!∗∗0;&)%∗00+∗)7

5.Χ)%&0∗!4%9&∗9∗07

!∗∗∗∋∗Χ0

Ψ)0∋&+&9∗09∗∆∗)∗∗7

∗∗95)!∃∗&∆∗)∗∗%0∗∗&%7

+−∗)&∗∗∗0∗&&∗

)Χ%#0!0))

ς∗!∗&∗&)∗∗!))∋∗%0+

∗∆Ψ)0∋!99))∗∆)+5∗&7

!0+)∋∗

]+)%&)5∗!4∗)&&!∗!∗

23

#∗% Μ∀∀

∗∗ ∀Μ∀∀ )

:∗!∗%∀///3Μ

∀∀∀)Λ

/1

∀.;)∀3?#∋!∋≅(#

∃%;879∗∗∋∗ς

0∋4)∋)∗)4∋1)α7

09∗0∋+)+1 9)0%∗!4∗0

0∋&&!< 9).+)0&∗!7

4 ∗0 0∋ &&!<

∃∗∗!0∗∗!+Λ)4.Λ)

#0∗!∗∗!9∗04.7∗∗!9∗0;0

&∗!∗∗!9)5.Χ)%&0∗!4

%9&∗9∗0!∗∗∗∋∗Χ0

23

#061,Μ∀∀1

#.6∀1Μ

/1

Page 15: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∀.)∀3 ∋!##∃%

∃&∗!&,) !

%∗&!&∗+&∗!94∗

!0∗%&∗)!∋∗%#)!∗!

!0∗∗!)Λ4))!)Λ2)∗!%

<)!∗<

;0∗!∗∗!9∗0;0&∗!∗∗!9)

5.Χ )%&0∗!4 %9&∗9∗07

!∗∗∗∋∗Χ0

23

:∗!%63Μ∀∀)Λ

;)61/Μ∀∀

∀.Α∋(∀(∋!∋

Β∃%

>))%∗&∗!))!0+)+/4∗+&7

∗≅)+331 ∃∗∗!)/!∋&∗∗&∗0;

!0∋4))4)%∗&&0∗!<2)∗∋

)&∗0<Ι∗∗∗!∗∗!9∗0

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

23

∃0∗0∋4))46,3/Μ∀∀

Ι∗∋)&∗06333Μ∀∀

∀.&)39∋#∋

!∋∃%7&

∀.8)3>∃%7&/

Page 16: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∀.5)9!∋∋

∋∋∃5%7&/

∀.;)3<∋∃%7&

∀.∗)∀3<∋=#Χ∋∋∋!#!

∃%(%4 %59 &4 ))4 &9597

&!,∀Λ∃&)∗&∋Χ)∗%∗4∗&.0

=∗%59∗&∗+∗∗!9∗67

∀)4%),!7))∗&%0&.2)

∗∗5=<:∗!%∗%&<0∗!∋4

∗∗∗95))!+)%+∗%

2∗∗∗!∗∗!9.04∗!7∗∗!9∗0

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗

∗∋∗Χ0

23

2∗∗5=6,Μ∗Λ)

:∗!&∗6Μ∀∀)Λ

9&!∋4%∗

∀.)∀3Α∋(∀(∋!

∋ Β∃%7&3

,

Page 17: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∀.)∀3/ ∆(!∋

∃5%

Υ!0+∗)0+4)∋+&/∃?))47

∋∗4∗)∗Φ&.∋&7

∗∗∗&β∋∗%4&.!+7

∋ & 5= % ∗&

>+∗?).∋4∗&∆∗&∋7

∗&4 ∗% .

Ι?=)∗!∗∗!9∗04∗∗&∗∗!97

∗0

)%&0∗!4%9&∗9∗0!∗∗7

∗∋∗Χ0

23

Ι?=).∋63,,Μ∀∀)

∗&&∋∗&β61Μ∀%

.6/Μ∀∃

∀.&)30!#∃%###

∋∋

∀.8)39∋#∋

!∋∃%7&

/

Page 18: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

∀.5):1∃5%7&

∀.;)3!∋∃%7&

∀.∗)3<∋∃%7&

!!!∋)&%∗4∗!=∗∗4

&0+∗4∗0∗&∗!∗Χ)&∗0

∗!%0&∗+)&

∗∗

∗∗χ)∗0&0&4∀

72)∗∗∗∗∗&∗)<

7 )∗);0<

7Ι&∗)∗0=!

7Υ)!∗∗)∋

,7 &+=∗∗∗)%)∗<1

∗∗∃∗∗!44)∀&4∀

1

Page 19: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛

(&

7 )∗∆&∗,

7#∗&∗∗!

7(%)!7∗!

,7:∗!0∗)+1

∗∗∃∗∗!44)4)Χ

&43

7>+∗∗)%)99∗!%

)∋0,

7(%)!7&+∗

&)5!99+)++1

7Ι&∗∗)&∗4∗&=)∗

72)%∗∗!&%04%95+∗)<

,7 &+=∗∗∗)%)∗<1

∗∗&4∀

7;)∗0∗Χ

7 )∗∆&∗,

7Φ+&∀

7;0))∗∗+∋+∀

,7>+∗4)0&∗∗

/7;%∗1

∗∗&4∀

72)∗∗)&∗0&&!

7Ι&∗&)∗0%)∋∗)∗∗4

+)+,

7>+∗)∗%∆ΧΧ.∗0%∗∗&%,

7Ι&∗∗!&∗!∗∗

,72)4∗+∗!9∗

∗∗73&4∀

7:∗0+Χ,

7 )∗∆&∗40∗&)Γ1

7Φ+&∀

7;0))∗∗+∋+∀

,7>&0+))&)∗7+∗&∗∗

/7:∗!&∗!&∗

∗∗7&43

7;!∗∗∗!∗&∋<

3

Page 20: ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆbarsic.spbu.ru/olymp/2011/report_5_tasks.pdf · ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ ! ∀ # ˜ ˜ ∃ ˛ ˜% ˝ ˘ˇˆˇ˙˘ˇˆˆ ˝˛˚ ˜ ˜ & ˆˆ ∋∋( ˜ ∃˛