* matematikai logika * 1. ÍtÉletek, ÍtÉletkalkulus 1.1. az ÍtÉlet fogalma

1

Informatikai Alkalmazások Intézete Gábor Dénes Főiskola Matematika-1 001 FM029/01

*** MATEMATIKAI LOGIKA ***1. ÍTÉLETEK, ÍTÉLETKALKULUS

1.1. AZ ÍTÉLET FOGALMAIgaz, vagy hamis . Ítélet logikai értékeLogikai változó - i, h vagy t,f vagy T, F)Példa.A: A tiszta hó fehér. B: Április 30 napból áll.C: Minden hónap 30 napból áll. D: 7 osztható 3-mal.E: Ha BÉR < 50 000, AKKOR A SZEMÉLYI JÖVEDELEMADÓ = 0.F: Ha a < b és b < c, akkor c < a.G: Portugália fővárosa Bécs.

2


1.2. LOGIKAI MŰVELETEK

Igazságtáblázat Ítéletkalkulus

1.2.1. NEGÁCIÓ

A A

hi

ih

DEFINÍCIÓ. A logikai értéke igaz, ha A hamis, és hamis, ha A értéke igaz.

Összetett ítélet Egyszerű ítéletNem minden mondat ítélet. Nyisd ki az ajtót!"Én egy hazug vagyok”

3


PÉLDÁK. 1. Példa. A: Esik az eső. Akkor A: Nem esik az eső.2. Példa. A: a < b. Akkor A: a b 3. Példa. A: Budapest tiszta város.

A: Budapest nem tiszta város.

A

1.2.2. KONJUNKCIÓ DEFINÍCIÓ. Az AB konjunk-ció logikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha mind A, mind B (tehát egyszerre mind a kettő)logikai értéke igaz.

A B BA

iihh

ihih

ihhh

Megjegyzés. A -val ekvivalensek: ~ A, NOT A,

4


PÉLDÁK. 1. Példa. A: Péter okos; B: Péter szerencsés; A B: Péter okos is és szerencsés is (azaz egy új ítélet: okos-szerencsés).2. Példa. A: x >1; B: x < 2; A B: l < x < 2.Megjegyzés. & AND1.2.3. DISZJUNKCIÓ

A B BA

iihh

ihih

iiih

DEFINÍCIÓ. Az A B diszjunkciólogikai értéke akkor és csak akkor igaz, ha A és B közül legalább azegyik igaz.

5


PÉLDÁK

1. A: Péter okos, B: Péter szerencsés, A B: Péter

vagy okos, vagy szerencsés, vagy mindkettő.

2. A: 5 osztója 25-nek; B: 3 osztója 25-nek; A B = i.

3. A: 2 >3; B: 5 >7; A B= h.

4. A: Ma esik az eső. B: Ma hó esik. Akkor A B : Ma

eső, vagy hó esik (vagy mindkettő előfordul).

6


1.2.4. IMPLIKÁCIÓ

DEFINÍCIÓ. Az impliká-

ció akkor és csak akkor ha-

mis, ha A igaz, és B hamis.

A B BA

iihh

ihih

ihii

Példa. Legyen A: A Nap süt, B: 2+5>3. Logikai értelemben impli-kációnak tekintjük az aláb-bi ítéletet: Ha a Nap süt, akkor 2 + 5 > 3.

7


Az A B implikáció megfordításán a B A implikációt értjük. Indok az implikáció definíciójáraPÉLDÁK1. Példa. A: A négyszög téglalap; B: a négyszög átlói egyenlők. Ha a négyszög téglalap, akkor átlói egyen- lők.2. Példa. A: a szám 8-cal osztható; B: a szám 4-gyel osztható; A B = i; B A = h.3. Példa. Legyen A: Esik az eső, B: Fúj a szél. Mit jelent a) A B , ill. b) B A.

8


1.2.5. EKVIVALENCIA

DEFINÍCIÓ. AB akkor és

csak akkor igaz, ha A B és

B A is igaz.

A B BA

iihh

ihih

ihhiPÉLDÁK

1. Példa. K: Az n egész szám számjegyeinek összege osztható 3-mal. L: n osztható 3-mal. K L igaz és L K is igaz. Tehát K L.2. Példa. M: Két szám pozitív. N: szorzatuk pozitív.M N igaz, de N M nem; Tehát M N.

9


1.2.6. A logikai műveletek tulajdonságai (logikaiazonosságok)Kommutativitás: A B = B A A B = B A A B = B Ade: A B B A Asszociativitás:(A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) (A B) C = A (B C) de: (A B) C A (B C)

10


Disztributivitás:(A B) C = (A C) (B C)(A B) C = (A C) (B C)Tagadás:( A) = A(A B) = A B De Mor-(A B) = A B gan

(A B) = A B(A B) = A B = A B Implikáció::A B = A B EkvivalenciaA B = (A B) (B A)BOOLE-ALGEBRA

11


BA

A B BA

iihh

ihih

hiih

DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két ítélet. Akkor az

1.2.7. TOVÁBBI LOGIKAI MŰVELETEKA kizáró “vagy”, kizáró diszjunkció művelet

művelettel létrehozott ítélet akkor és csakakkor igaz, ha vagy A, vagy B, de nem mind a kettőigaz.

12


Erre a műveletre az alábbi tulajdonságok érvényesek:1. Kommutativitás:2. Asszociativitás: 3. Disztributivitás:4.

PQQP RQPRQP

RPQPRQP QPQPQP QPQP

A B BA

iihh

ihih

hiii

A NAND művelet

DEFINÍCIÓ. A és B két ítélet. Akkor a jellel jelölt NAND művelet olyan AB ítéletet de- finiál, amely akkor és csak akkorhamis, ha mindkét ítélet igaz.

5.

13


A NOR művelet

DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két

ítélet. Akkor a jellel jelölt

NOR művelet olyan AB ítéle-

tet definiál, amely akkor és

csak akkor igaz, ha mind az

A, mind a B hamis.

BABA

A B BA

iihh

ihih

hhhi

AB ítélet tehát a következőképpen írható fel:

14


A műveletek közti elsőbbségi sorrend (precedencia).A "Balról jobbra" szabályPÉLDÁK1. Példa. Legyen A: 5000 Tőke, B: Kamat 3%. A AB=?, ha Tőke = 6000, Kamat = 2%.2. Példa. Adjuk meg a ((AB)(CD)(EF))G kifejezés értékét, haa kifejezésben szereplő változók értékei: A = i; B=h; C=h; D=i; E=h; F=h; G= i;

SPSRQP

2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK2.1. ALAPFOGALMAKPélda.

15


2.2. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK IGAZSÁGTÁB-

LÁZATA

PÉLDÁK

PQP

QPQP

PP

1. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!

2. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!3. Példa: Írjuk fel a következő logikai kifejezés igaz-ságtáblázatát!

16


2.3. TAUTOLÓG LOGIKAI KIFEJEZÉSEK DEFINÍCIÓ. A L logikai kifejezést tautológiának

hívjuk, ha L értéke a benne szereplő ítéletek (változók)

bármilyen értékére mindig igaz. Ha viszont a L értéke

mindig hamis, akkor ellentmondásnak

hívjuk a kifejezést.

PPP QPQ

Példa. Mutassuk meg, hogya)b)

tautológiaellentmondás!

17


logikai kifejezés tautológia. Az alábbi kifejezések mind tautológiák!a)b)

).(: PJPB SR

SRJSRA :

SRSR RSPRSP

PP

2.4. VÁLTOZÓK HELYETTESÍTÉSEPélda.Helyettesítsük a P változó értékét -sel.

Akkor B-nek az alábbi helyettesítési értékéhez jutunk

Példa. A

TÉTEL. Tautológia minden helyettesítési értéke tautológia.

18


2.5. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EKVIVALEN-CIÁJA

DEFINÍCIÓ. Legyen A és B két logikai kifejezés és

tegyük fel, hogy a P1, P2,…, Pn változók, és csak ezek

a változók, mindkét kifejezésben szerepelnek. Azt

mondjuk, hogy az A és B logikai kifejezések

ekvivalensek, ha a P1, P2,…, Pn változók minden

konkrét n-esére ( 2n ilyen van) az A és B kifejezések

ugyanazt az értéket veszik fel.

19


2.6. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK EGYSZERŰSÍ-TÉSETÉTEL. Legyen L egy logikai kifejezés. Helyette-sítsünk L-ben egy L1 részkifejezést olyan L2 kifejezéssel, amelyre L1= L2.A kapott L* kifejezés ekvivalens L-lel, azaz L* =L. .

QQPP

RQPRQPRQP ::

Példa. Mutassuk meg, hogy

A származtatás jele: :.Példa. Mutassuk meg, hogy

20


2.7. DUÁLIS LOGIKAI KIFEJEZÉSEK

DEFINÍCIÓ. Az A és A* logikai kifejezések

egymás duálisai, ha egymásból úgy

származtathatók, hogy a műveletet -sel, a

-t pedig -gyal helyettesítjük, i-t h-val és

h-t i-vel). (E műveleteket egymás duálisának nevezzük.)

RQP iQP SQPQP

Példa. Írjuk fel a következő kifejezések duálisait!a) b) c)

21


TÉTEL. Legyenek A és A* egymás duálisai és

tegyük fel, hogy mindkét kifejezés a P1, P2,…, Pn

logikai változók függvénye, azaz:

és ,...,, 21 nPPPA .,...,, 21*

nPPPA

nPPPA ,...,, 21 nPPPA ,...,, 21*

nPPPA ,...,, 21 .,...,, 21*

nPPPA

Akkor

illetve

22


3. LOGIKAI KIFEJEZÉSEK NORMÁLFORMÁJA

3.1. ELEMI KIFEJEZÉSEK

DEFINÍCIÓ. A P1, P2,…, Pn logikai változóknak

(ítéleteknek) és negáltjaiknak a konjunkcióját

(szorzatát) elemi szorzatnak, diszjunkcióját

(összegét) pedig elemi összegnek nevezzük.

Példák:PQPPPPQQPP ,,,,

PQPPPPQQPP ,,,,

23


Tétel. Annak szükséges és elégséges feltétele, hogy

egy elemi szorzat azonosan hamis illetve egy elemi

összeg azonosan igaz legyen az, hogy tartalmazzon

legalább egy olyan faktort, amelyben egy változó és

negáltja szerepel.

RQRQQP dnf-ja?

3.2. DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK

DEFINÍCIÓ. Azt a logikai kifejezést, amely

elemi szorzatok összegéből áll, diszjunktív

normálformának (dnf) nevezzük.

1. Példa:

24


2. Példa: A QPP dnf-ja?

Megoldás: .:: QPPPQPPQPP

Az első lépésben a QPQP azonosságot

alkalmaztuk, majd a második lépésben szoroztunk P-vel.

25


.1. Példa: QRQRQP knf-ja?2. Példa: QPQP knf-ja?

Megoldás:

QPPQPQQPPQQP :: QPPQPQQP

:: QPQPQQPPQP

.: QQPPQPQQPPQP

3.3. KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. Az elemi összegek szorzatából álló kifejezést konjunktív normálformának (knf) nevezzük.

26


3.4. PEREFKT NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. A P1, P2,…, Pn logikai változók azonelemi szorzatait (összegeit), amelyekben mindegyikváltozó szerepel, de egyidejűleg nem tartalmazzáka változót és negáltját, teljes (vagy primitív) elemi szorzatoknak(összegeknek) nevezzük.Példa. Írjuk fel a P, Q, R változók néhány a) primitív elemi szorzatát és b) primitív elemi összegét.M: RQPRQPRQPQRPRQPRQPRPQPQR ,, ,, , , , a)

RQPRQPRQPRQP ,, ,

, , , , b) RQPRQPRQPRQP

27


3.4.1.PERFEKT DISZJUNKTÍV NORMÁLFORMÁKDEFINÍCIÓ. Azokat a logikai kifejezéseket, amelyekprimitív elemi szorzatok összegeiből állnak, perfekt(vagy teljes) diszjunktív normálformáknak hívjuk (pdnf).

QP QP QP 1. Példa. Írjuk fel az a) b) c)kifejezések diszjunktív normálformáját!

ihihh

iiiih

iihhi

hiiii

QPQPQPQP

QP

QP

QP

a

)

28


Eljárás perfekt diszjunktív normálformák létrehozására1. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezésekperfekt diszjunktív normálformáját! QP

QQPP Megoldás:

PPQQ :() PPQQQPQP

:PQPQQPQP

.QPQPQP

29


2. Példa: Írjuk fel az alábbi logikai kifejezések perfekt diszjunktív normálformáját!

QRRPPQ

Megoldás:

:PPQRQQRPRRPQ

.RQPQRPRPQPQR

Megjegyzés: A pdnf alkalmas logikai kifejezések ekvivalenciájának bizonyításárra

30


„Algoritmus”Ekvivalencia Példa: Mutassuk meg, hogy a bal ill. jobb oldali kifejezések ekvivalensek egymással!

PPQPa ) QPQPPb )

Megoldás:a) QPPQPQQQPPQP

QPPQQQPP

b) QPQPPQQPQQPQPP QPQPPQPPQQQPQP

31


3.4.2. PERFEKT KONJUNKTÍV NORMÁLFORMÁK

DEFINÍCIÓ. Az elemi összegek konjunkció-

jából álló logikai kifejezéseket perfekt konjunk-

tív normálformáknak hívjuk.

PQRP

Példa. Írjuk fel alogikai kifejezést perfekt konjunktív normálalakban. QPPQRP QPPQRP

RRQPRRPQQQRP RQPRQPRQP

RQPRQP

32


p s1 10 0

+-

p kapcsoló

s lámpa

A P = S logikai kifejezés

A P Q művelet áramköre

a p kapcsoló

s lámpa+

-

a q kapcsoló

P Q S1 1 11 0 00 1 00 0 0

4. LOGIKAI ÁRAMKÖRÖK

33


+

-

p kapcsoló

s lámpa

A P Q művelet áramköre

q kapcsoló P Q S1 1 11 0 10 1 10 0 0

pq r

A VAGY-kapu

Input Outputp q p q1 1 11 0 10 1 10 0 0

34


Input Outputp q p q1 1 11 0 00 1 00 0 0

p

qr

ÉS-Kapu

Input Output

P P

1 0

0 1

p r

Nem-kapu

35


Példa: Adjuk meg a baba

b

a

ba

ba

baba

a

a

b

b

kifejezés áramkörét!

36


A NOR-kapu.

b

a

ab

A NAND-kapu.

*** matematikai logika *** 1. ÍtÉletek, ÍtÉletkalkulus 1.1. az ÍtÉlet fogalma

Documents

* matematikai logika * 1. ÍtÉletek, ÍtÉletkalkulus 1.1. az ÍtÉlet fogalma