Fraktaler

De fleste figurer, I arbejder med i matematiktimerne, har rette linjer eller glatte kurver fx rektangler og cirkler Disse figurer kan ofte bruges ti l at beskrive menneske­skabte t ing som fx bygninger eller cd'er

INTRO

Men i naturen findes næsten ingen rette linjer og glatte kurver Tænk fx på barken på et træ, takkede bjerg­kamme eller kystlinjer der bugter sig uregelmæssigt. Store dele af naturen kan bedre beskrives med en ny type figurer som I skal arbejde med i dette kapitel - de hedder fraktaler

Ordet fraktal betyder „brudt" . Navnet passer god t t i l de brudte linjer der dannes i fraktaler

FRAKTALER M l 57

PRÆSENTATION TO KENDTE - OG EN NY FRAKTAL

Von Kochs snefnugkurve

Side 60-61

Pythagoras' t ræ

Side 62-63

Fraktaler kan se meget forskellige ud, men de har alle to særlige kendetegn.

For det første er de lavet ved at gentage den samme proces mange gange.

For det andet ligner små dele af en fraktal større dele af fraktalen.

1 Se på fraktalerne, der kaldes Von Kochs snefnugkurve og Pythagoras' træ, øverst.

a Hvilke gentagelser kan I få øje på i hver fraktal?

b Hvilke små dele af hver fraktal ligner større dele af fraktalen?

Sådan kan I arbejde med kapit let

I dette kapitel skal I først arbejde med Von Kochs snefnugkurve og Pythagoras' træ. Herefter skal I lave jeres egen fraktal - enten på computer eller ved at tegne i hånden.

Til sidst skal I skrive en kort rap- ^ port om jeres arbejde. Rapporten kan bl.a. indeholde en beskrivelse af jeres fraktal og nogle opgaver ti l den, som andre kan svare på.

I kan udstille jeres fraktaler og % rapporter på Kolorits hjemmeside. Der kan I også se og læse om andres fraktaler

58 FRAKTALER

Din egen fraktal

Side 64-65

Indhold og mål

Kapitlet handler om fraktaler og deres egenskaber Måleter at I

lærer hvad der kendetegner fraktaler

kan undersøge og arbejde med forskellige egen­skaber ved to kendte fraktaler

kan brugejeres erfaringer og fantasi til at frem­stille jeres egen fraktal.

kan undersøge og arbejde med forskellige egen­skaber ved jeres egen fraktal - og stille spørgsmål om den, som andre kan svare på.

FRAKTALER ^ H 59

VON KOCHS SNEFNUCKURVE

Tr inO En ligesidet trekant. Sidelængden er 9 cm.

T r i n ! Hver af trekantens sider er delt i tre lige store dele. På de midterste dele er tilføjet to sider så der dannes nye ligesidede trekanter

9 cm

Von Koch varen svensk matematiker der levede fra 1870 - 1934. I begyndelsen af 1900-tal let fik han ideen ti l en figur der ligner et snefnug. Tegningerne øverst viser hvordan du kan tegne snefnugkurven. Det kan være en fordel at bruge isometrisk papir

1 Tegn snefnugkurven ti l mindst tr in 3.

2 a Undersøg, hvor mange linjestykker snefnugkurvens omkreds består af Lav et skema som vist, og udfyld så meget af det, du kan.

Trin

Antal linje­stykker

0

3

1 2 3 4 10

a Undersøg, hvor lange snefnugkur­vens yderste linjestykker er Lav et skema som vist, og udfyld så meget af det, du kan.

Trin

Sidelængde i cm

0

9

1 2 3 4 10

b Kan du lave en regel?

4 a Undersøg omkredsen af snefnug­kurven. Lav et skema som vist, og udfyld så meget af det, du kan.

Trin

Omkreds i cm

0

27

1 2 3 4 10

b Kan du lave en regel? b Kan du lave en regel?

60 FRAKTALER

Trin 2 Processen er gentaget.

Trin 10

Snefnugkurven afsluttes ikke på et be­stemt tr in. I et geometriprogram kan sne­fnugkurven fortsættes til et t r in, du selv bestemmer og omkredsen af den bliver længere og længere fra t r in t i l t r in .

5 Undersøg filen „Snefnugkurve" fra Kolorits hjemmeside.

Hver side i snefnugkurven kaldes en Von Koch kurve. Nogle af verdens kystlinjer ligner Von Koch kurver

1 ^ 1 ^

Tegn en eller flere Von Koch kurver hvor processen, der bliver gentaget, er lidt anderledes. Du kan fx bruge idéen herunder og fortsætte t i l mindst t r in 3.

TrinO

Trin 1

Trin 2

Söderhamn Valdemarsvik

FRAKTALER 61

PYTHAGORAS' TRÆ

É

Trin O Trinl

4 cm 4 cm

Den græske matematiker Pythagoras, der levede ca. 560 - 4 8 0 f.Kr, lægger navn t i l en fraktal, der ligner et træ.

Tegningerne øverst viser hvordan du kan tegne Pythagoras' træ. Du kan enten bruge et geometriprogram eller tegne i hånden. Hvis du tegner i hånden, kan du bruge en tegnetrekant eller en vinkelmåler t i l at tegne de retvinklede, ligebenede trekanter og en passer eller en lineal ti l a f f inde kvadraternes side­længder

1 Tegn Pythagoras' træ til mindst trin 3.

2 Hvad er arealet af

a kvadratet på tr in O? b trekanten på tr in O?

3 Undersøg, om påstandene herunder

er sande eller falske.

a De to nye kvadrater på tr in 1 har tilsammen samme areal som kva­dratet på tr in 0.

b De to nye trekanter på tr in 1 har tilsammen samme areal som tre­kanten på tr in 0.

4 a Find det samlede areal af Pythago­ras' træ på hvert t r in . Når to grene dækker hinanden, skal du regne med arealet af begge grene. Lav et skema som vist, og udfyld så meget af det, du kan.

Trin

Areal i cm^

0

20

1 2 3 4 10

b Kan du lave en regel?

62 FRAKTALER

Trin 2 Trin 10

4 cm 4 cm

Hvis du tegner de retvinklede trekanter i 6 Tegn et eller flere Pythagoras-træer Pythagoras' træ på en anden måde, kan hvor den retvinklede trekant er lidt fraktalen komme til at se helt anderledes anderledes. Du kan fx bruge idéen ud. herunder og fortsætte ti l mindst trin 3,

5 Beskriv forskellene mellem Pythago-ras-træet herunder og det træ, du tegnede i opgave 1.

Trin O

Trin 5

7 Undersøg de forskellige filer med Pythagoras-træer på Kolorits hjem­meside. Kommer nogle af dem ti l at ligne t ing fra naturen?

FRAKTALER 63

DIN EGEN FRAKTAL

1 Sierpinskis t rekant Pythagoras-spiralen

, 1 cm 1 cm 1 __

1 cm

1 cm

1 c m ^ ^ - ^ u ^ ^ l cm 1 cm 1 cm

Du skal tegne din egen fraktal. Billeder­ne øverst kan måske inspirere dig.

Måske kan du lave en ny fraktal ved at ændre på en af de fraktaler der allerede findes. Sierpinskis trekant kan fx ændres ved at bruge en anden figur end en ligesidet trekant:

Eller ved at bruge to forskellige figurer:

Pythagoras-spiralen kan fx ændres ved at lade de retvinklede trekanter hænge sammen på en anden måde:

Eller ved at bruge en anden figur:

64 FRAKTALER

En rumlig fraktal En fraktal med linjestykker

ÉA Æ'Éf.

Ar

En fraktal kan også være rumlig. Måske kan du få en idé ti l en rumlig fraktal, som du fx kan bygge af centicubes. Måske kan du få en idé t i l en fraktal, der består af linje­stykker

Du kan også lade dig inspirere af naturens fraktaler

>wS > ^

.. ^ k Ik,

-"'''' ^^^^^^^H^^^^F

kj . . . . 1

L^W ^ ^ ^

FRAKTALER 65

POINTER IDEER TIL RAPPORTSKRIVNING

Du skal skrive en kort rapport om di t arbejde med frak­taler Brug forstagene her på siden eller dine egne idéer

Skriv om enten Von Kochs snefnugkurve, Pythagoras' træ eller om din egen fraktal. Du kan fx

• beskrive, hvordan fraktalen kan tegnes D i hånden. D på computer

• beskrive nogle af fraktalens egenskaber Du kan fortælle om n antal letaf figurer i fraktalen. D antallet af sider D sidernes længde. D figurernes areal. D symmetri.

• lave nye opgaver t i l fraktalen.

• beskrive, hvordan fraktalen kan komme t i l at se anderledes ud.

• sammenligne fraktalen med t ing fra naturen.

66 FRAKTALER