Σήματα (lesson 5)
DESCRIPTION
Μετασχηματισμός Laplace σε αναλογικά συστήματαTRANSCRIPT
Σήματα και συστήματα
Ε. Μετασχηματισμός Laplace
Αθανάσιος Χ. Ιωσηφίδης
Οκτώβριος 2012
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−2
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.1 Από το μετασχηματισμό Fourier στο μετασχηματισμό
Laplace
Ε.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
E.4 Επίλυση διαφορικών εξισώσεων και απόκριση LTI
συστημάτων.
E.5 Μετασχηματισμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα
E.6 Διασύνδεση συστημάτων
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−3
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.1 Από το μετ/σμό Fourier στο
μετ/σμό Laplace
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−4
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
● Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace
● Ο δίπλευρος μετασχηματισμός Laplace
● Η συνάρτηση μεταφοράς
● H περιοχή σύγκλισης
● Ο μονόπλευρος μετασχηματισμός Laplace
● Σχέση μετασχηματισμών Laplace και Fourier
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−5
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace
Ο μετασχηματισμός Fourier δίνει τη δυνατότητα αναπαράστασης ενός
σήματος σαν ένα συνεχές άθροισμα (ολοκλήρωμα) εκθετικών συναρτήσεων
της μορφής ejωt.
Ωστόσο
● ο μετ/σμός Fourier υπάρχει για μια μόνο περιορισμένη τάξη σημάτων
● με τo μετ/σμό Fourier δεν μπορούμε να αναλύσουμε εύκολα συστήματα
ασταθή και στοιχειωδώς ευσταθή συστήματα
Ο βασικός λόγος είναι ότι για κάποια σήματα όπως το eatu(t), a > 0, δεν
υπάρχει ο μετ/σμός Fourier, καθώς σήματα της μορφής ejωt δεν μπορούν να
συνθέσουν εκθετικά αυξανόμενα σήματα.
Ως εκ τούτου απαιτείται μια γενίκευση με τη χρήση εκθετικών της μορφής
( )st σ jω te e
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−6
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace
Έστω το σήμα
Γι αυτό το σήμα δεν ορίζεται ο μετ/σμός
Fourier. Μετασχηματίζοντας το σήμα με
μια κατάλληλη συνάρτηση ως
τότε για το νέο σήμα μπορεί να εφαρμοστεί
ο μετασχηματισμός Fourier. Έτσι το νέο
σήμα μπορεί να εκφραστεί σαν άθροισμα
ημιτονικών (μιγαδικών) συναρτήσεων ejωt.
Για να επιστρέψουμε στο αρχικό σήμα
πολλαπλασιάζουμε κάθε συνιστώσα (κάθε
ημιτονικό σήμα) με eσt. Έτσι το αρχικό
σήμα μπορεί να αναπαρασταθεί σαν
άθροισμα (ολοκλήρωμα) συναρτήσεων
2( ) ( )tx t e u t
2( ) ( ) ( ), 2σt σt tf t x t e e e u t σ
( )f t
( )x t
( ) , Re( ) 2σt jωt σ jω t ste e e e s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−7
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
Διαισθητική ανάπτυξη του μετασχηματισμού Laplace 2( ) ( )tx t e u t ( ) ( ) , 2σtf t x t e σ
Συνιστώσες ejωt του f(t) Συνιστώσες eσtejωt
Μιγαδικό
επίπεδο
Υπάρχουν άπειρες
δυνατότητες σε ότι
αφορά την επιλογή
του σ. Η περιοχή
για σ > 2 ονομάζεται
περιοχή σύγκλισης
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−8
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
Ο δίπλευρος (bilateral) μετ/σμός Laplace
Ο αντίστροφος μετ/σμός Fourier μιας συνάρτησης x(t) είναι
Ο μετ/σμός Fourier της είναι
Οπότε ο αντίστροφος μετ/σμός Fourier γράφεται
Πολλαπλασιάζοντας με eσt και τα δύο μέλη παίρνουμε
Και με αλλαγή μεταβλητής s = σ + jω (όπου τα όρια ολοκλήρωσης γίνονται
από σ j έως σ j και το σ έχει μια ελάχιστη τιμή), προκύπτει 1
( ) ( )2
( ) ( )
c j st
c j
st
x t F s e dsπj
X s x t e dt
12
( ) ( ) jωt
πx t X jω e dω
( ) ( ) σtf t x t e
( )[ ( ) ] ( ) ( ) ( )σt σt jωt σ jω tx t e x t e e dt x t e dt X σ jω
F
12
( ) ( )σt jωt
πx t e X σ jω e dω
( )12
( ) ( ) σ jω t
πx t X σ jω e dω
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−9
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
H περιοχή σύγκλισης
Δίπλευρος μετ/σμός Laplace και περιοχή σύγκλισης για αιτιατή και μη αιτιατή συνάρτηση
1( ) ,
2Re{ } 2
X ss
s
2( ) ( )tx t e u t
2( ) ( )ty t e u t 1
( ) ,2
Re{ } 2
Y ss
s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−10
E.1 Από το μετ/σμό Fourier στο μετ/σμό Laplace
Ο μονόπλευρος (unilateral) μετ/σμός Laplace
Όπως είναι εμφανές από τα προηγούμενα, δεδομένου του μετ/σμού Laplace, η
αρχική συνάρτηση στο πεδίο του χρόνου από την οποία προκύπτει δεν είναι
μοναδική, αλλά εξαρτάται από την περιοχή σύγκλισης.
Περιορίζοντας τα σήματα μας στα αιτιατά, υπάρχει ένας μόνο αντίστροφος
μετ/σμός Laplace για κάθε σήμα. Ως εκ τούτου ορίζουμε τον μονόπλευρο
μετ/σμό Laplace ως
όπου το κάτω όριο επιλέγεται έτσι ώστε να συμπεριλαμβάνει την κρουστική
συνάρτηση, καθώς και όποιες αρχικές συνθήκες εμφανίζονται κατά τη λύση
διαφορικών εξισώσεων.
Η ύπαρξη του μονόπλευρου μετ/σμού Laplace είναι βέβαιη όταν
για κάποια περιοχή τιμών του Re{s} = σ. Στη γενική περίπτωση, για αιτιατά
σήματα η περιοχή σύγκλισης είναι για κάποια τιμή σ > σ0.
0( ) ( ) stX s x t e dt
0| ( ) |σtx t e dt
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−11
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού
Laplace
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−12
E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
● Γραμμικότητα
● Μετατόπιση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα
● Παραγώγιση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα
● Ολοκλήρωση στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα
● Κλιμάκωση στο χρόνο.
● Συνέλιξη στο χρόνο και τη μιγαδική συχνότητα
● Θεωρήματα αρχικής και τελικής τιμής
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−13
E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
Γραμμικότητα
Μετατόπιση στο χρόνο
Μετατόπιση στη συχνότητα
Παραδείγματα υπολογισμού μετασχηματισμών Laplace
Υπολογισμοί μετ/σμού Laplace με χρήση ιδιοτήτων μετατόπισης στο χρόνο και τη συχνότητα
1 1 2 2
1 1 2 2 1 1 2 2
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x t X s x t X s
k x t k x t k X s k X s
L L
L
1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t
00 0 0
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ,st
x t u t X s
x t t u t t X s e t t
L
L
00
( ) ( )
( ) ( )s t
x t X s
x t e X s s
L
L
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−14
E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
Παραγώγιση στο χρόνο
Παραγώγιση στη μιγαδική συχνότητα
Ολοκλήρωση στο χρόνο
Ολοκλήρωση στη μιγαδική συχνότητα
( )1 2 (1) ( 1)
( ) ( )
( )( ) (0 )
( )( ) (0 ) (0 ) (0 )
nn n n n
n
x t X s
dx tsX s x
dt
d x ts X s s x s x x
dt
L
L
L
1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t
( )
( ) ( )
( )( ) ( 1)
nn n
n
x t X s
d X st x t
ds
L
L
0
0
( ) ( )
( )( )
1 1( ) ( ) ( )
t
t
x t X s
X sx τ dτ
s
x τ dτ X s x τ dτs s
L
L
L
( ) ( )
( )( )
s
x t X s
x tX z dz
t
L
L
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−15
E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
Κλιμάκωση στο χρόνο
Συνέλιξη στο χρόνο
Συνέλιξη στη μιγαδική συχνότητα
Υπολογισμός συνέλιξης με χρήση μετ/σμού Laplace.
( ) ( )
1( ) , 0
x t X s
sx at X a
a a
L
L
1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
x t X s y t Y s
x t y t X s Y s
L L
L
( ) ( ) ( ) ( )
1( ) ( ) ( ) ( )
2
x t X s y t Y s
x t y t X s Y sπj
L L
L
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−16
E.2 Ιδιότητες μετασχηματισμού Laplace
Θεώρημα αρχικής τιμής
Αν οι x(t) και dx/dt έχουν μετασχηματισμό Laplace, τότε
δεδομένου ότι το όριο υπάρχει.
Θεώρημα τελικής τιμής
Αν οι x(t) και dx/dt έχουν μετασχηματισμό Laplace, τότε
δεδομένου ότι η sX(s) δεν έχει πόλους στο δεξί ημιεπίπεδο ή στο φανταστικό
άξονα.
Παράδειγμα χρήσης θεωρήματος αρχικής τιμής
(0 ) lim ( )s
x sX s
1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t1 1 2 2( ) ( )k x t k x t
0lim ( ) lim ( )t s
x t sX s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−17
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.3 Αντίστροφος
μετασχηματισμός Laplace
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−18
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
● Μεθοδολογία
● Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−19
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Μεθοδολογία υπολογισμού αντίστροφου μετ/σμού Laplace
Η εύρεση του αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace απαιτεί ολοκλήρωση
στο μιγαδικό επίπεδο, η οποία είναι γενικά σύνθετη.
Για το λόγο αυτό έχουν αναπτυχθεί μέθοδοι με τις οποίες βρίσκεται ο
αντίστροφος μετ/σμός Laplace ρητών συναρτήσεων, δηλαδή κλασμάτων
πολυωνύμων του s
όπου m n. Όταν m ≥ n, μετατρέπουμε το κλάσμα (με διαίρεση) σε
«κατάλληλη» μορφή (m n).
Η βασικότερη μέθοδος είναι η ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα και κατόπιν
η χρήση των πινάκων για τον υπολογισμό των αντίστροφων μετ/σμών
Laplace βασικών συναρτήσεων.
11 1 0
11 1 0
( )( )
( )
m mm m
n nn
b s b s b s bP sX s
Q s s a s a s a
1( ) ( )
2
c j st
c jx t F s e ds
πj
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−20
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα
Γενική περίπτωση
Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή
Απαλείφουμε τα κλάσματα πολλαπλασιάζοντας και τα δύο μέρη της εξίσωσης
με
και στη συνέχεια υπολογίζουμε τους συντελεστές kj από το σύστημα
εξισώσεων που προκύπτει εξισώνοντας τους συντελεστές των ίσων δυνάμεων
του s των δύο πλευρών της εξίσωσης.
11 1 0
11 1 0
( )( ) ,
( )
m mm m
n nn
b s b s b s bP sX s m n
Q s s a s a s a
1 1
11
( )( )
( ) ( ) ( ) ( )
r jr rr r
jj
kk k kP sX s
s λ s λ s λs λ s λ s λ s λ
1( ) ( ) ( )rjs λ s λ s λ
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−21
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα
Μη επαναλαμβανόμενοι παράγοντες – μέθοδος Heaviside
Γράφουμε τη συνάρτηση στη μορφή
όπου οι συντελεστές των απλών κλασμάτων υπολογίζονται ως
Στην περίπτωση που οι ρίζες του παρονομαστή είναι μιγαδικές (τετραγωνικοί
όροι) τότε οι συντελεστές που αντιστοιχούν στις μιγαδικές ρίζες είναι μεταξύ
τους συζυγείς όταν οι συντελεστές της αρχικής σχέσης είναι πραγματικοί
αριθμοί.
11 1 0
11 1 0
( )( ) ,
( )
m mm m
n nn
b s b s b s bP sX s m n
Q s s a s a s a
1 2
1 2 1 2
( )( )
( )( ) ( )
n
n n
kk kP sX s
s λ s λ s λ s λ s λ s λ
( ) ( )i
i i s λk s λ X s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−22
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα
Εναλλακτική μέθοδος για τετραγωνικούς παράγοντες
Σε αυτή την περίπτωση αντί να βρούμε τις μιγαδικές ρίζες της παράστασης
και να την αναπτύξουμε σε δύο κλάσματα, μπορούμε απ’ ευθείας να βρούμε
ένα κλάσμα της μορφής
και να υπολογίσουμε τους συντελεστές Α και Β
● με απλή λύση του συστήματος εξισώσεων που προκύπτει εξισώνοντας την
αρχική ρητή συνάρτηση με την ανεπτυγμένη σε κλάσματα
● με short-cuts.
21 0
( )( )
( )( )
p sX s
q s s a s a
21 0s a s a
21 0
As B
s a s a
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−23
E.3 Αντίστροφος μετασχηματισμός Laplace
Ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα
Επαναλαμβανόμενοι παράγοντες
όπου οι συντελεστές kj υπολογίζονται με τη μέθοδο του Heaviside και οι
συντελεστές ci υπολογίζονται με χρήση της
Υβριδικές μέθοδοι
Παραδείγματα αντίστροφου μετασχηματισμού Laplace με ανάπτυξη σε μερικά κλάσματα και χρήση των πινάκων
( 1)
1
1[( ) ( )]
( 1)!
ir
i i
s λ
dc s λ X s
i ds
1 21
1 2
1 2
1 2
( )( )
( )( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )
rr r r
j
j
j
c c cP sX s
s λs λ s λ s λ s λ s λ s λ
kk k
s λ s λ s λ
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−24
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.4 Επίλυση διαφορικών
εξισώσεων και απόκριση LTI
συστημάτων
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−25
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
● Επίλυση διαφορικών εξισώσεων
● Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστημάτων
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−26
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Επίλυση διαφορικών εξισώσεων
Με χρήση των ιδιοτήτων παραγώγισης και ολοκλήρωσης του μετ/σμού
Laplace
καθίσταται δυνατή η μετατροπή των ολοκληρω-διαφορικών εξισώσεων σε
αλγεβρικές εξισώσεις. Η λύση μεταφέρεται στο πεδίο του χρόνου με
αντίστροφο μετασχηματισμό Laplace.
Επιπλέον, εφόσον η διαφορική εξίσωση αφορά στην απόκριση συστήματος,
είναι εύκολος ο διαχωρισμός της συνολικής απόκρισης σε
● Απόκριση μηδενικής κατάστασης, όπου οι αρχικές συνθήκες θεωρούνται
μηδενικές
● Απόκριση μηδενικής εισόδου, όπου η είσοδος θεωρείται μηδενική
Επίλυση διαφορικής εξίσωσης με μετ/σμό Laplace
( ) ( 1)1 2
1
( )( ) (0 ) (0 ) (0 )
n nn n n
n n
d x t d ds X s s x s x x
dtdt dt
L
01 1( ) ( ) ( )
tx τ dτ X s x τ dτ
s s
L
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−27
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος
Έστω το LTI σύστημα του σχήματος
Με βάση την ιδιότητα της συνέλιξης του μετ/σμού Laplace, προκύπτει
Η συνάρτηση Η(s) ονομάζεται συνάρτηση μεταφοράς και είναι γενίκευση
της απόκρισης συχνότητας για μιγαδικό s. Η συνάρτηση μεταφοράς είναι
μιγαδική συνάρτηση
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
x t X s y t Y s
Y s H s X s
L L
( )x t ( )y t
( )X s ( )Y s( )H s
( )( )
( )
Y sH s
X s
( )( ) | ( ) | Re{ ( )} Im{ ( )}, j H sH s H s e H s j H s s σ jω
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−28
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος
Η απόκριση συχνότητας λαμβάνεται από τη συνάρτησης μεταφοράς
θέτοντας s = 0 + jω
Η γραφική παράσταση της απόκρισης συχνότητας, π.χ. του πλάτους και της
φάσης είναι μια γραμμή συναρτήσει της συχνότητας.
Η γραφική παράσταση της συνάρτησης μεταφοράς είναι μια επιφάνεια στο
μιγαδικό επίπεδο.
Γενικά η συνάρτηση μεταφοράς έχει τη μορφή
Υπολογισμός απόκρισης συστήματος με μετ/σμό Laplace.
( )( ) | ( ) | ( ) | j H jωs jωH s H jω H jω e
11 1 0
11 1 0
1 2
1 2
...( )
...
είναι τα μηδενικά( )( ) ( ),
είναι οι πόλοι( )( ) ( )
m mm m
n nn
im
in
b s b s b s bH s
s a s a s a
zs z s z s z
ps p s p s p
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−29
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Συνάρτηση μεταφοράς LTI συστήματος
Παραδείγματα πλάτους (magnitude) συνάρτησης μεταφοράς |H(s)|
2
2
2 8( )
3 2
sH s
s s
2
( )9
sH s
s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−30
Buy SmartDraw!- purchased copies print this
document without a watermark .
Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Παραδείγματα LTI συστημάτων ως φίλτρα επιλογής συχνοτήτων
20
02 20
( )ω
H sω
s s ωQ
Buy SmartDraw!- purchased copies print this
document without a watermark .
Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.
Buy SmartDraw!- purchased copies print this
document without a watermark .
Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.
2
02 20
( )s
H sω
s s ωQ
Buy SmartDraw!- purchased copies print this
document without a watermark .
Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.
0
02 20
( )
ωs
QH sω
s s ωQ
2 2
02 20
( ) zs ωH s
ωs s ω
Q
02 20
02 20
( )
ωs s ω
QH sω
s s ωQ
Buy SmartDraw!- purchased copies print this
document without a watermark .
Visit www.smartdraw.com or call 1-800-768-3729.
Χαμηλοπερατό Υψιπερατό
Ζωνοπερατό Ζωνοφρακτικό
Ολοπερατό
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−31
E.4 Διαφορικές εξισώσεις / απόκριση LTI συστημάτων
Συνάρτηση μεταφοράς και ευστάθεια LTI συστήματος
Ένα LTI σύστημα παρουσιάζει ευστάθεια πεπερασμένης εισόδου –
πεπερασμένης εξόδου (bounded-input, bounded-output – BIBO) όταν
για κάθε πεπερασμένη είσοδο, η έξοδός του είναι πεπερασμένη.
Αποδεικνύεται ότι
● Ένα ασυμπτωτικά ευσταθές LTI σύστημα είναι BIBO ευσταθές,
δηλαδή παράγει πεπερασμένη έξοδο για οποιαδήποτε πεπερασμένη
είσοδο. Άρα, για να είναι BIBO ευσταθές ένα σύστημα πρέπει όλοι
οι πόλοι να βρίσκονται στο αριστερο μιγαδικό επίπεδο.
● Ένα ασταθές ή στοιχειωδώς ευσταθές LTI σύστημα δεν είναι ΒΙΒΟ
ευσταθές, δηλαδή υπάρχουν πεπερασμένες είσοδοι που οδηγούν σε
απειρισμό της εξόδου. Δηλαδή, όταν οι πόλοι είναι στο δεξί μιγαδικό
επίπεδο ή στον φανταστικό άξονα, το σύστημα δεν είναι BIBO
ευσταθές.
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−32
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.5 Μετ/σμός Laplace και
ηλεκτρικά κυκλώματα
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−33
E.5 Μετ/σμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα
Μετασχηματισμός ηλεκτρικών στοιχείων
Μηδενικές αρχικές συνθήκες
Αυτεπαγωγή L με μηδενικό αρχικό ρεύμα:
Χωρητικότητα C με μηδενική αρχική τάση:
Αντιστάτης R
Νόμος των τάσεων του Kircchoff σε βρόχο
Νόμος των ρευμάτων του Kircchoff σε κόμβο
( )( ) ( ) ( )
di tυ t L V s LsI s
dt
L
( ) 1( ) ( ) ( ) ( ) ( )
dυ ti t C I s CsV s V s I s
dt Cs
L
( ) ( ) ( ) ( )υ t Ri t V s RI s L
1 1
( ) 0 ( ) 0k k
j j
j j
υ t V s
L
1 1
( ) 0 ( ) 0k k
j j
j j
i t I s
L
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−34
E.5 Μετ/σμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα
Μετασχηματισμός ηλεκτρικών στοιχείων
Μη μηδενικές αρχικές συνθήκες
Αυτεπαγωγή L με αρχικό ρεύμα i(0):
( )( ) ( ) [ ( ) (0)]
( ) (0)
(0)[ ( ) ]
di tυ t L V s L sI s i
dtLsI s Li
iLs I s
s
L
(0)i
s
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−35
E.5 Μετ/σμός Laplace και ηλεκτρικά κυκλώματα
Μετασχηματισμός ηλεκτρικών στοιχείων
Μη μηδενικές αρχικές συνθήκες
Χωρητικότητα C με αρχική τάση υ(0):
Παράδειγμα ανάλυσης ηλεκτρικού κυκλώματος με μετ/σμό Laplace
( ) 1 (0)( ) ( ) [ ( ) (0)] ( ) ( )
1[ ( ) (0)]
dυ t υi t C I s C sV s υ V s I s
dt Cs s
I s CυCs
L
(0)υ
s
1
Cs 1
Cs
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−36
E. Μετασχηματισμός Laplace
Ε.6 Διασύνδεση συστημάτων
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−37
E.6 Διασύνδεση συστημάτων
Σε πολλές περιπτώσεις ένα πλήρες σύστημα είναι ιδιαίτερα σύνθετο τόσο ως
προς τα είδη των λειτουργιών που επιτελεί, όσο και ως προς τη μορφή των
στοιχείων από τα οποία αποτελείται.
Συνήθως πραγματοποιείται διαμερισμός του συστήματος σε υποσυστήματα
που μπορούν να αναλυθούν ανεξάρτητα.
Με δεδομένες τις συναρτήσεις μεταφοράς των υποσυστημάτων, η συνάρτηση
μεταφοράς του συνολικού συστήματος μπορεί να υπολογιστεί με χρήση των
παρακάτω απλών σχέσεων εισόδου – εξόδου διασύνδεσης συστημάτων.
Συστήματα συνδεδεμένα σε σειρά
( )X s ( )H s ( )Y s
( )X s 1( )H s 2( )H s ( )Y s 1 2( ) ( )H s H s( )X s ( )Y s=
Αθανάσιος Ιωσηφίδης ΣΗΜΑΤΑ & ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ E−38
E.6 Διασύνδεση συστημάτων
Συστήματα συνδεδεμένα παράλληλα
Σύστημα με ανάδραση
1( )H s
2( )H s
( )X s ( )Y s ( )X s 1 2( ) ( )H s H s ( )Y s=
( )X s
– ( )G s
( )H s
( )Y s ( )X s( )
1 ( ) ( )
G s
G s H s( )Y s=