+ k&()+&1'&tb:dhl'8&m - ucla mathematics

31

Upload: others

Post on 15-Jan-2022

0 views

Category:

Documents


0 download

TRANSCRIPT

Page 1: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�������������� ��������������������� ��"!#��$%�'&(�*)+!�,.-0/1�� 2 /3��4�5+&($�!6$���7��8���9:,

;=< �%7�&3��>?, < �@>A�*)+9�$��*B(C+DE)��5���8'����&(�)0!F�)GDH����8�&3$���!;=< �%7�&3��>?, < �*)+�"�*IJ�KDH�L�'8�&M�;=< �%7�&3��>?,�NO)P7��8#�'&3)+QR�SDR����8�&1�R7 &T�EU?�*C+!�!#&T�*)���B(&(DE&()+���'&3�);=< �%7�&3��>?,.VW������8#DR&3)X�*)P�'!

YSYSYRYSY< ��7 &(�%>?, < ��>Z��)+9[$��B(C0DR)\�5]��8����'&3�)+!6�)�DR���'8#&($���!; ���R)+��>_^`C+&3$a�`B3bc8��%7�&3��>d!��*DR�EDH�L�'��8#&T�*BeIf8#�Dg�������h--*�d>i�+&($a��>j�H>i&3B(B)+����9cB(���'��8W&()[�'�+&3!W$��C08�!���/k�6�+�ml+8�!#�?$��)+$���50�n>j�K>i&(B(B4)+����9o&(!p���X���n��Iq��)r%s(r%tHr%uXvxw*y�zSy'{L|�{a}Xr%y�w*v�~�{Lu /; �p) r%s(r%tHr%uXvxw*y�z�ya{L|�{a}Xr%y#w*v�~�{Lu �'�*�*��!J��)��=�q�SDR���'8#&1�W�*!�&()+5+C��4�*)+9�8�����C+8�)0!�R9+&1����8���)P�p������DR���'8#&1�G�*!��C0��5+C0��/k��NO)��*�'�+��8�>j�8�90!������*$a����B3��DE��)P�a��8#b8���>��5]��8'�L�'&(�*)[&3!p�EDH�*5GIf8��D��o�6���X���\�F�'�\�c�6���+���\�%/i�6�+��8#�K�*8#�����+8�����Ob�5]��!��*I���B3��DE��)P�a�*82b"8#�@>��5]��8'�L�'&(�*)+!�,;=�p�����o�o�#�@ �¡£¢�¤�¥��`�L¦L§4¨X¤�©ª�+« /J�6�+&3!j�Ob 5]�p�*I�8#��>¬�5���8'����&(�)E&()P����8�$a�+�*)+Q��!8���>®­J>i&3���\8���>=¯KIf�*8F!��DE�p­#°O¯H±�²`�*°�³�°�´�´�´�°'�¶µ`/�·X�8j&()+!2�a�*)0$��*� �'�+�n�*5���8'�L �'&(�*)\�*IJ&3)P�'��8#$a�X�*)+Q*&()+QS8���>i!p³K�*)+9G¸E&3)G�S¸E��-KDR���'8#&1�R>q�C0B(9G$a�X�*)+Q�

¹ºº»

� ³ -¸ �¼ ½ ¾��¿ �� �@³À�ÁÁÂ

�'� ¹ºº»

� ³ -��¿ �*� �@³¼ ½ ¾¸ �À�ÁÁ ´

Page 2: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

� �0!���827�m���X���p���+�klX)+�*B�DR����8�&1�G$��*)¶�]�m��0�'�*&()0��9[If8#�D �'�+�k&()+&1�'&T��B:DH�L�'8�&M��`b"DmC+B3��&(5+B1b &()+Qm�*)����+�?B(�%I �i�`bH�'�+�?¸E�¶¸SDH����8�&M�� ,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ �¿ ¿ � ¿¿ � ¿ ¿À ÁÁ °

>i�+&($a�E&(!��'�0��&39+��)P��&3�ObKDR���'8#&1�k>i&3�'�S8#�@>i!q³?�*)+9E¸ !2>i&3�'$a�0��9:/�� �¬�`b��@�m�6�`C+!If�86&()+!2�a�*)0$��¹ºº»

� ³ -��¿ �� ��³¼ ½ ¾¸ �À�ÁÁ �

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ �¿ ¿ � ¿¿ � ¿ ¿À�ÁÁÂ

¹ºº»

� ³ -¸ �¼ ½ ¾��¿ �*� ��³À�ÁÁÂ

�*)+9HDE�8#��Q*��)+��8'�*B3B3b�`&1I��®&(!j� ¸n�E- DR���'8#&1����'�0��)H���+��&3)P�'��8#$a�X�*)+Q*�p�*I�8#��>i!³[�*)+9�¸¶8���5+BT�*$���!��_>i&3������ /[���H8#��If��8��'����*!K��)�¸G� ¸ r%s(r%tHr%uXvxw*y�ztEw*v y�~��G{� ?v�z�}Xr����; �pB(!#�R�*�+!���8#7���'�X�L��8#��>Z&()P�'��8�$a�X��)+Q��&(!i&3��!���>i)[&()P7��8�!�����&1IJ�*)+� 8#��5+B(�*$���!��>i&3�'�����k����)+9��'�+��)c8#��5+B(�*$���!���� >i&1�'�������£�f&�/ �*/n>q�S&3)`����8#$a�X�*)+Q�K8#��>i!³S��)+9[¸K�O>i&3$������+>q��Q�%�i�X�*$a�"�'�K>i�+��8��?>q��!#�'�*8#����9:�X�]��$��*C+!#�����������@/;=�p���������#�@ �¡! #"%$ ¥@¢��&$�¢ ¦¨0¥�¢� ]¤e« �6�0&(!��Ob 5��i�*I���B3��DE��)P�a�*82bK8���> �5���8'����&(�)�a�*����!F��8���> ­J�*)+9HDkC+B3��&(5+B3&(��!J&3�.�PbH� u�{Lu('*)Lr%y'{ !�$��*BT��8,+@/�·X�8�&()+!2�a�*)0$��*�`�'�0���B(��DR��)P�a�*82b"8���>��5���8'����&(�)\���X���iDmC+B1�'&35+B(&3��!q8#��>�³m�Pb���¿m>q�*C+B(9GDH��5

¹ºº»

� ³ -¸ �¼ ½ ¾��¿ �� �@³À�ÁÁÂ

�'� ¹ºº»

� ³ -¸¿ �¿ �¿¼ ½ ¾��¿ �*� �@³À�ÁÁ ´

³

Page 3: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�6�+&(!i�5]��8����'&3�)\&(!F���+�?!'�*DE�?�*!iDmC+B1�'&(50B3b &()+Q �)��'�+�?B(�%I �i�Pb"�'�+�?DR���'8#&1�� ,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ��¿ ¿ ¿¿ ¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À�ÁÁ °

>i�+&($a�\&3!q>i�X���6�*)+�WQ�%�'!F�Pb"!2�a�*82�'&3)+Qk>i&3���H�'�0�W&(9+��)P�'&3�ObRDR���'8#&1�R�*)+9\DkC+B3��&1 5+B3b &()0Qp8���>=³i�`bR��¿0/F�f�¬�Pb��@� ���j$��*B3B � �*)m���+��DR5+B3�j��I]��¸.�p¸ r%s(r%tHr%uXvxw*y�ztEw*v y�~��G{� ?v�z�}Xr � �;=< ��> DkC+B3��&(5+B3&($��L�'&(�*)[&3!n&()P7��8#�'&3�+B(���4���+�S�5]��8'�L�'&(�*)��*IFDmC0B3�'&35+B3b &3)+Q"�\8���> ­�`bk�p)+�*)� �����8��n!#$��*B(�*8&+j&(!4&()P7*��8#����9S�PbkDkC+B3��&(5+B1b�&3)+Q��p8���> ­:�Pb��'�+�F)0�)� �����8#�!�$���BT�*8n����+L/�NO)��'�+���*�]��7�?�%�0�*DE5+B3�*�0���+�?&()P7��8�!����5]��8����'&3�)\&(!iQ&17��)��Pb

�����q,��¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ������¿ ¿ ¿¿ ¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À ÁÁÂ

&�/ �*/��'�W&3)`7*��82�J�'�0�F�5]��8'�L�'&(�*) �*IªDkC+B3��&(5+B1b�&3)+Qi8���>=³��PbE��¿0�*>j�q���+��)mDkC+B3��&(5+B1b8���>�³m�Pbo�����¿�/;=�p������®�#�@ �¡g¨�� ��¢ ¥@¢f �¤e« ·X�8��'�+&3!p8���> �5]��8'�L�'&(�*)�>q�K)0����9��O>j�\8���>i!n­��¯ª���*)+9��R!�$���BT�*8�+L/��6�+�m8#�@> �5]��8����'&3�)[�*9+9+!�+?DmC+B1�'&35+B(��!���I�8���>�­q�'�R8���>¯ª/e·ª�*8j&3)+!#�'�*)+$����0&1I��)+��>q��8��p���K�*9+9¶��¿ DmC+B1�'&35+B(��!.��I�8���>�³?���m8���>®-0�`�'�+��)

¹ºº»

� ³ -¸ �¼ ½ ¾��¿ �� �@³À�ÁÁÂ

>q�C0B(9�����$��DE� ¹ºº»

� ³ -¸ �¸ ¼ ½ � ¾��¿ �*� �@³À�ÁÁ ´

-

Page 4: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

��^`C+&17��*B(��)`��B3b*�e�'�+&3!K8���> �*5���8'����&(�)h��DR�C0)`��!m�'��DmC0B3�'&35+B3b &3)+Q[���+�\�8�&3Q&()+�*BDH����8�&M�"�)\���+�?B(��I �i�Pb\���+�?DH����8�&M�� ,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ � ¿ ¿¿ ��¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À ÁÁ °

>i�+&($a�R&(!�>i�X���.�)+��Q�%�'!.�`bS!2�a�*82�'&3)+Qn>i&3�'�S�'�0��&39+��)P�'&1�ObKDR���'8#&1�S��)+9"�*909+&()+Q��¿E$��5+&3��!i�*Ie8#��> ³K���R8#��>�-0/p�f�¬�Pb��L�R����$��*B3B � �*)����+��DR5+B3�?�*Ie�S¸R�¶¸r%s(r%tHr%uXvxw*y�zStEw*v y�~��[{� nv�za}Xr -�/�Nx�i�X�*!��*)G&()P7��8�!��� ���F,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ � ¿ ¿¿ ����¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À�ÁÁ �

�'�`C+!����H&3)`7*��82�����+�k�5]��8����'&3�)G�*I��*909+&()+QG��¿E$��5+&3��!��*I�8#�@>�³S�'�R8���>�-0�ª>j�!�C+�0��8'�*$%����¿K$��5+&3��!i�*I�8���>�³k���R8#�@>A-K&()+!2�'����9:/; �6� C0! �'�G!�C0DRDR�*8�& ����,?���+��8#�H��8��E!�5]��$�&(�*B�DR���'8#&($���!��4�`)+��>i)h�*! r%s(r%tHr%uXvxw*y�zya{L|�tEw*v y�~��ar�� ���*)09���)c��B(��DR��)`�'�*8#b¶8���> �*5���8'����&(�)o�*DE�C+)P��!W�'��DmC+B1�'&(50B3bP &()+Q � Q&17��)"DH�L�'8�&M�S�)E�'�+��B(��I �.�PbE�)+���*I:�'�0��!�����B3��DE��)P�a�*82bE8���> DR���'8#&($���!�/

�.��$a�H�*I]�'�+����B3��DE��)P�a��8#bm8#��> DH�L�'8�&3$���!�&(!�&()P7*��8#��&(�+B3�*� �*)+9S�'�0��&3)P7��8#!����*I���)��B(��DR��)P�a�*82bRDR����8�&1�K&(!j�*)+�*���+��8j��B(��DR��)P�a�*82bRDR����8�&1��/F��NO)H���+�W�*�]��7��9+&(!#$�C+! !�&(�*):� >j�W�)0B3bK7��8�&1lX��9H���+&(!.If�8.!�5]��$�&1lX$W���+��DR5+B3��!.�*I���B3��DE��)P�a��8#bSDR���'8#&($���!���+C0�?&3�p&(!W���*!#b[�'�\!#���K�'�X�L�W�'�+�K!��*DE�m&(!p��8�C+�mIf�*8WQ��)0��8'��Be��B3��DE��)P�a�*82b�DR�L �'8�&3$���!�/����������+�n�'�%� ����� ����%/; �6�+��8#�W�*8#�p�*B3!�� r%s(r%tHr%uXvxw*y�z��a{Ls�tKu�{a}Xr%y#w*v�~�{Lu�� �`>i�0&($a�"��8��i7��82bH!#&(DE&(B(�*8������B(��DR��)P�a�*82bR8#��> �*5���8'����&(�)+!����0C0�i�*8#&(!���If8��DdDmC+B1�'&35+B3b &()0Q � DH����8�&M�E�)H�'�0�y%~ ��� v �PbG�*)G��B3��DE��)P�a��8#b\DR���'8#&1���+&3)+!#�����*9G�*IJ���+�?B(�%I ��/j·ª�*86&()+!2�a�*)+$��*�ª&3I4�)0�DmC+B3��&(5+B3&(��!p�"DR���'8#&1� � >i&3���o¸\$��B3C+DR)0!W�)��'�+�K8#&(Q�P�n�Pb¶���+�K��B3��DE��)P�a��8#bDH����8�&M�

� ,��¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ �¿ ¿ � ¿¿ � ¿ ¿À ÁÁ °

¸

Page 5: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�'�+��)c���+&(!��*DE�C+)P�'!W���[!2>i&3��$a�+&()+QG$��*B(C+DE)c³G��)+9�$��B(C0DR)o¸��*I � � >i�Pb �@��/�6�+&(!i&(!i�m�Ob 5]�R�R��$��B(C0DR)�&()P����8�$a�+�*)+Q���6��B(��DR��)`�'�*8#b"$��B3C+DR)\DE��7��/ ��&3DR&M BT�*8#B3b��&3I4�)+�?DmC0B3�'&35+B(&3��! �Z�)G���+�?8�&3Q�P�6�Pb� ,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ��¿ ¿ ¿¿ ¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À�ÁÁ °

�'�+��)����+&(!i��DR�C0)`��!q�'�KDkC+B3��&(5+B1b�&3)+Qk$��B(C0DR)�³m�*I%�Z�Pb���¿�� >i�Pb �@��/.�6�0&(!6&(!�R�Ob 5��S³���$��*B(C+DE)�DmC0B3�'&35+B(&3$�����&(�)X�j��B3��DE��)P�a�*82bG$��B3C+DR)[DR��7*�*/?·J&3)X�*B(B1b�X&1I�)+�?DmC+B1�'&(50B(&(��! ���)\���+�?8�&(Q*�`�i�Pb� ,��

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ � ¿ ¿¿ ��¿ � ¿¿ ¿ ¿ �À�ÁÁ °

�'�+��)E���+&(!��*DE�C+)P��!e�'���*9+9+&3)+QS��¿n$��50&(��!���I�$��B(C+DE)E-W�'�?$��B3C+DE)E³E� >i�Pb �@��/�6�+&(!i&(!i�m�Ob 5]� -[��$��B(C0DR)��*909+&3��&(�)ª�.��B(��DR��)P�a�*82b"$��*B(C+DE)�DR��7��/; ��B3��DE��)P�a��8#b"8#��> �f�8F$��*B(C+DE)ª�j�5]��8����'&3�)+!F�+��7*�?!���7*��8��*B�C+!���!�/ � )+�n&(DE5��*82 �a�*)P��C+!�� &(!F���R!#&(DE5+B(&1I bH!2b�!2�'��DR!��*IeB3&()+���*86��^`CX����&(�)0!���IJ�'�0��If�8#D � � ���@�>i�+��8#��� &(! !��DE�HDR����8�&1����)+9 � ���R��8��R7*��$%�'�8#!�/oNxI�� &(!k�*)h��B3��DE��)P�a��8#bDH����8�&M���`�'�0��)"�'�0�W��^`CX����&(�)�� � ���i&(!j��^`C+&17*��B(��)P�F��� ��� � � ���m� >i�`b"�*8���'�+��!��m�O>j�G��^`CX���'&3�)+!n��^ C0&37��*B(��)P� ����&3)P��,�� &(!p&3)P7��82�'&3�+B(���%/?�6�`C+!?�)+�m$��*)!�&(DE5+B3&3I b����+�H��^`CX���'&3�) � � ���S�Pb�5���8#If�8#DR&3)+Q\�'�+�H!'�*DE�R8#��> �5���8'����&(�)�'�������'���d�*)+9�k!�&3DmC+B3�'�*)+���C+!�B1bh�f�)+�S$���)c$��)+$����'��)X���'� �d�*)+9�k&3)`���G�!�&()0QB(�G���*8#��&3lX$�&T�*BT��DR���'8#&1��&3)o�8�9+��8n�'�G9+�G���+&(!'�%/ �e7��)P��CX�*B(B1bo�)+�S$���)�C+!#�8���>Z�5]��8����'&3�)+!6�'�E8���9+C+$���� ���R8#�@>F x��$a�+��B(�)GIf�8�D �f&()�>i�+&($a�[���*$a��8���>Z&(!��&3���+��8 ����8#�+���8?����Q&()+!W>i&1�'�c����4�*)+9o�]��B(��> ���*$a�c!�C+$a�=�K�'�+��8��R�*8��K�)0B3b����8#����!a�����L�6>i�+&($a�[5��&3)P�i&3�i�]��$��*DR��!�!2�'8��*&(Q�P�#If�8#>q�*8�9��'�S!#�B37*��If�8 � � ������8i�'�"90���'��8�DE&()+�?�'�+���p���+��8#�m�*8#�k)+�R!��B3C0�'&3�)+!a��/6���k>i&3B(B�)+���W8��%7 &(��>Z���+&(!5+8�� $���9+C+8��[�+��8#�*�F�]��$��*C+!#��&3�S>i&3B(B6)+�*�E�]�[)0��$���!�!��*8#b If�8S�'�+&3!E$��C+8#!�� ��!�����+��>q�%7��86���+�W�'��������� ������8jb�C+8��[���'��--��A)+�*����!a�jIf�*8qDE�8��W&3)0If�8#DH����&(�)�/����>q�%7��8��q>j�\>i&(B(Bj8���DH�*8#�����X���E��7*��8#b DR����8�&1��$���) �]��8���>F O8#��9+C0$���9=&()P�'�8���>F O��$a�+��B3�) If�*8�D � �'�+�C0Q�h�'�+��8��G&(!KC+!#CX�*B(B1b DE�8��"���X�*) �)+�\>q��bh����90�!��`��/

Page 6: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; �p)+�*���+��8?5+C08�5]�!��S�*I.��B3��DE��)P�a��8#b�8#�@> �8n$��B(C+DE)��5]��8����'&3�)+!n&(!W����9+������82 DR&3)+�p�'�0� y#w*u � �*Ie�KDR���'8#&1���0>i�+&3$a�[&3!i�EDE�8#�n5+8���$�&(!#�?DR���*!�C+8#��DE��)P���*I�&3�'!&()P7��8#�'&3�+&(B3&3�Ob*/J�6�+&3!i>i&3B(B����n�'�0��50C+8�5]�!��?�*I4�'�0��)0�%� �p!#��$%�'&(�*):/YSYSYRYSY< �*)+�"��Ie�KDR���'8#&1�

;=< ��$��*B3B����X���H���+� y#w*u � �*I���B3&()+���*8S�'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*)�� ,�� � � &3!R�'�0�9+&(DE��)+!#&(�)��*Ie&3�'!i8��*)+Q���S��p�%/ < ��)+�\�X�*!��R)`C+Dm�]��8��*I�C0!���!��]If�*8�&3)+!#�'�*)+$��&3�6$��*)[�]�?C+!���9[���S����B3B�>i�+�����+��8��KB(&3)+���*8j�'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*)\&(!6&()P7*��8#��&(�+B3�*,;�.� �¨ ��� ����� �*)+9�� �]�H�ª O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B�!�5+�*$���!��.�*)+9 B3���k9+&(D[��� � �9+&(DG��� � � ��/ � �%��� ,���� � ���S�HB3&()+���*8���8'�*)0!#If�8#DH����&(�)�/p�6�+��)�� &(!&()P7��8#�'&3�+B(�E&3I6�*)+9 �)0B3bo&3IF8'�*)+�����W��� �Z��& / ��/�� �X��! �'�0�"DH�@�0&3DmC+D 8��*)+�5��!#!�&3�+B(���%/;�� �@ : ���� NxIF8��*)+����p���d���4���+��)��S��p�W�X�*!n�'�0�R!��*DR�S9+&3DR��)+!�&3�)o� ��!�� /�qC0� �S��p�k&3!S�o!#C+�+!#5X�*$��G�*I�� �j!#�o���+&(!mIf�*8�$���! �S��p� �'�c�*$%�'CX�*B3B3b���^`CX�*B� �f!����K�6�+���8#��D ³E�*I���������³H)0�*�'��!a�%/?�6�`C+!!� &(!W�*)`���+/n�pB3!��+��If8��D �'�0�9+&(DE��)+!#&(�)"���+���*8���D_>q�?!��������X���i)`C+B3B(&3�Ob����W� �®¿0�ª�*)+9�!#� � &(!6�)0�% x���� O�*)+�*/�6� C0!"��&(!6&()P7*��8#��&(�+B3�*/

;$# �)P7��8#!���B3b�*&3I%�h&(!�&3)`7*��82�'&(�0B(�*�@�'�0��)�&3��&(!��)0�% x���� O�*)+�*�L�+��)0$��.) C0B(B(&1�Ob���p� ��¿0��*)+9��+��)0$����`b\���+�?9+&(DE��)0!�&(�*)"�'�+���8���D 8'�*)+�����W� �®�J/ &

; � )0�W&()P�'��8���!#�'&3)+Qk���+&()+Qk�*�]�C0�F8��*)+�E&(!.�'�X���q&3I:b*�C\DmC+B1�'&35+B3bS� B(&()0���*8��'8��*)+!2 If�8�DR���'&3�)S�)R���+�pB3��I �j�8.8�&(Q*�`�j�PbR�*)H&3)`7*��82�'&(�0B(�i�'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*):��'�+��)H�'�0�8'�*)+�H9+����!�)(' ��$a�X�*)+Q*�*,;�.� �¨d�)�*� ���+� ,�� � � �]��� B3&()+���*8E��8'�*)0!#If�8#DH����&(�) If8��D �)0�lX)+&3���% x9+&(DE��)+!#&(�)+�*Bj!#5X�*$������c�*)+�*���+��8��jB3��� , ,.-/� � �]���*) &()P7��8#�'&3�+B(��'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*):�ª�*)+9[B(����0_,)� � 1����k�*)+�*���+��8�&()P7��8#�'&3�+B(�n��8'�*)+!2If�8�DR�L �'&(�*):/e�6�+��)

8'�*)+����p� � 8��*)+����0!�p� �®8'��)+�����,�� �¬8'�*)0���203��,��%´;�� �@ : ���� ·J&38�!#�SB3���EC+!E!��+��> ���X���E8'��)+�:���p� ��8'�*)+������,���/=�4��!#�+��> �'�+&3!��>q�"lX8#!#�K$��DE5+C0�'�"���+�"8��*)+Q��!K�*I4� ,5�6� � �*)+97��,d,8-9� � /:�jb9+��lX)0&3�'&3�)G�*I�8'��)+Q�*���S��p� �;�k��� �%�ª�'�+� &(DR�*Q�n�*I5�dC+)+90��8<��/ ��&3DR&3BT�*8#B3b�

Page 7: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�S���,�� � ��,i� -W��/.�qC0��!#&()+$�� , , - � � &(!i&()P7*��8#��&(�+B3�*�+&1��&(!i�)P�'�+�ª��)+9�!#�,�� -W� � �R/��6�`C+!

�S���,�� � ��,�� -W� � �k��,i� -W��� � �m���m� � �S���W��*)+9�!�� 8��*)+�����,�� � 8��*)+����p�%´� !�&3DR&3BT�*8��*8#QC+DE��)P�KQ&17��!m���X���K8��*)+����0!��,�� � 8'�*)0���203�p�"� � C+!#�S8#��5+B(�*$��� �Pb ��� &()¶���+�S�*�]��7�*/ ���"l+)+&(!#�o���+�K�*8#QC+DE��)P�W>j�S)+����9o���\!��+��> �'�X���8'�*)+���203�p� �®8��*)+����p�%/e���?$��DE5+C0���n8'�*)+Q*��!��*QP�*&3):,

�S��0!�p� � 03�k���m� � 0R��k��� ��� � 0R���S���W�#�%°!��S�'�X��� 8'��)+����0!�W� �¬9+&(D[��0R���S���p������´�qC0��!�&3)+$�� 0 &3!6&()P7��8#�'&3�+B(���0>j� �X��7*�

9+&(D[�20H�2�S��p���#� � 9+&(DG�2�S��p��� �¬8'�*)+����p���!������?-S�*I4�'�+�?DE&(90����8#D�� �%/��6� C0!�8��*)+����0!�W� �®8'�*)+�����W�F��!�90��!�&38���9:/ &S/

;�� ��> �'� $��DE5+C0�������+��8'�*)+�K��I��*)H�*8��+&1�'8��*8#bKB3&()+���*8e�'8��*)+!2If�8�DR���'&3�)S$��*)RQ���DR��!�!#b*/q�6�+���]��!#��>q��b����E90�E���+&(!i&(!6���R$��)P7��82�p���+�?B(&()0���*8F��8'�*)+!2If�8�D_�'�R�DH����8�&M���0�*)+9G$��DE5+C0���W�'�+�?8��*)+�"�*I4�'�+����/;�����J¤�¢ ¥@¢f ]¤ NxI � &(!n�\DR���'8#&1�����'�0��)o�'�+� y#w*u � �*I �k��9+��)0�*�'��9�8��*)+���*�W�%��&(!9+��lX)0��9��Pb\8��*)+���*�W� � 8'�*)0���� ���%/;�����¨( ��&$f�+# �)0!�&(90��86�'�+�?DR���'8#&1�

��, �¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ � ¿ ¿¿ ¿ � ¿¿ ¿ ¿ ¿À�ÁÁ ´

�6�+��)����&(!6�'�+�n��8'�*)+!2If�8�DR����&(�) �

¹ºº»� �������� �

À�ÁÁ �

¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ � ¿ ¿¿ ¿ � ¿¿ ¿ ¿ ¿À�ÁÁÂ

¹ºº»� �������� �

À�ÁÁ �

¹ºº»� �������¿

À�ÁÁ ´

¼

Page 8: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�6�+��8��*)+Q�6��I��'�0&(!��5]��8����'�8�&3!��'�`C+!��'�+8#���% x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B�� >i�Pb �@�K�*)+9E!��?�'�0�8'�*)+�H�*I �Z&3!�-0/;�� �%� �h���e�*)?� �.�SDR���'8#&1����!��6���X��� �mDR�*5+!:� � �'�i� � / � �%�j� � � ° � � °�´�´�´�° � �*����H���+�"!2�a�*)+9+�*8�9h�X��!�&(! If�8k� � / ��&3)+$�� � � °�´�´�´%° � �¶!#5X�*)h� � �J>j�\!����"�'�X�����J� � � ��° �e� � � �%°�´�´�´�° ��J� � ���!�5+�*) �S� ���e�f!����.�6�0���8#��DZ-6�*I`�������W-F)+�*�'��!a��/�6� C0!����+��8'��)+�p�*I � &3!:�'�+��9+&3DR��)+!�&3�)W�*I`���+��!�5X�*$���!�5X��)+)+��9��Pb ��� � � �%° �J� � � ��°�´�´�´%° ��� � �P��/�qC0� �e� � � ��&(!�!#&(DE5+B3b?���+�6lX8�!2��$��B3C+DR)K��I � � >i�Pb �@��� �e� � � �J&3!J�'�+�6!#��$��)+9$��B3C+DR)\��I � �X���'$�/��6� C0!�>j� �+��7*� !#�+��>i)

;�.� �¨ �(� �6�+�S8��*)+�¶�*Ij�\DR���'8#&1� � &(!n��^`CX��Be�'�\�'�+�S9+&3DR��)+!�&3�)��*I��'�0�!�5X�*$��?!�5X�*)0)+��9[�`b�&1�'!6$��B(C+DE)+!�/;�����¨( ��&$f� NxI � &(!?�'�0�"DH�L�'8�&M�oC+!#��9h&()c�'�+�H5+8��%7�&3�C+! �%�0�*DE5+B(���J�'�+��)��'�0�8'�*)+�S�*I�� &3!.���+�p9+&3DR��)+!�&3�)E�*I:�'�0�p!�5+�*)"�*I:���+�p$��B(C0DR)+!

¹ºº»

�¿¿¿À ÁÁ �

¹ºº»¿ �¿¿À ÁÁ �

¹ºº»¿¿ �¿À�ÁÁ �

¹ºº»¿¿¿¿À�ÁÁ �0���+&(!i!#5X�*)G&(!6����!�&(B1b"!#����)G�'�S�]�?���+8����% x9+&(DE��)+!#&(�)+�*B�/

; �p!n�)+�S$��8��B3BT�*82bG�*Ij���+&(! � ��DRDR�0��&1I.�)+B3b��¶�*Ij���+�K$��*B(C+DE)+!n�*Ij�\DH�L�'8�&M��*8��?)+�) �����8��+�+���+��)G�'�+��8'��)+�"�*I��'�+�?DR���'8#&1�\$��*)G��������DE�!#���c�f�'�0�C+Q�G&3�$��C+B39����?!�DR�*B3B(��8.�'�X��)�� �X$��*)\b�CG�'�+&3)+�H��Ie�*)G�%�0�*DE5+B3� �@�%/; �6�+&(! � ��DEDR�"9+����!?)+�*�?)+��$���!#!'�*8#&(B1b¶DR�*�*�S$��*DR5+C��'&()0Q"�'�+�K8��*)+�¶���*!#b*�4�]�% $��*C+!#��l+)+9+&()0Q?���+��9+&(DE��)+!#&(�)K��I����+��!#5X�*$���!#5X�*)+)+��9H�PbK�'�0��$��B(C0DR)+!�$��C+B39���j9+&��E$�C0B3��/ ����>j��7*��8��`�)0�q$���)KC+!��F��B(��DR��)`�'�*8#b�8#�@> �*8J$��*B(C+DE)k�5]��8����'&3�)+!�'��!�&3DR5+B3&3I b��'�0&()+Q!�/E·ª8#�D � ��DRDR�¶�E>j�S!����E���X����&3I � &(!?�*)c��B3��DE��)P�a��8#bDH����8�&M� ��)+9 � &3!K��DH�L�'8�&M���e�'�+��) ��� �8 � � �X��!S���+�\!'��DR�\8��*)+� ��! ���5+8#�@7 &39+��9S�'�X�L�.���+�iDH�L�'8�&M�mDkC+B3��&(5+B3&($��L�'&(�*)kDR�*�*��!.!#��)+!#�*���*I�$��C+8#!�����/��6�`C+!��B(��DR��)P�a�*82b 8#��>=�*8J$��*B(C+DE)k�5]��8����'&3�)+!49+�W)+���e$a�X�*)0Q�q�'�0�F8'�*)0�]/��6�`C+!��P>j�$��*)�C+!#�?���+��!#�?�5���8'����&(�)0!F�'�K!�&3DR50B(&3I bS���+�nDH�L�'8�&M�"&3)P�'�K8���>F x��$a�+��B(�)�If�8�DG/;�.� �¨ (��� ����� ��� �EDR����8�&1�"&()G8���>F O��$a�+��B3�)[If�*8�D �f���`C+!p�%7��82bG8���>Z&(!��&3���+��8 ����8��+���8q�]��Q*&()+!�>i&3���\�R����*)+9H���*$a�\�*I��'�+�!#�k��!j�X�*!F)0�*�'�+&3)+Qk�0C0�6¿*!����B(��> &3�a�%/��6�+��)"���+��8��*)+�S�*I ��&(!.��^`CX��B]�������+�p)`C+Dm�]��8j�*I:)0�)� �����8#�m8���>i!�/

½

Page 9: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�� �@ : ����4� �%� ' !6!'��bH���X��� �A�X��! �H)+�)� ����8#�S8���>i!��+!#�K�'�X���q>q�?�X��7�n���K!��+��>�'�X��� � �+�*!?8'�*)+����/ ���*$a��$��B3C+DR)���I � $��*)o�)+B3b��X�*!W���+�K�'�5 �¶��)P�'8#&(��!)+�)� ����8#� �F��B(B.��)P�'8#&(��!K�]��B3��>d���X���KDkC+!#�S�]� ����8��+/��6�`C+!K�'�+�"!#5X�*) �*Ii�'�0�$��B3C+DR)0!6�*I �Z&3!i$��)P�a��&()+��9G&3)\�'�+� �` x9+&(DE��)+!#&(�)+�*B�!#5X�*$��

� � ²¹ºººººº»

� �´�´�´� �¿ ´�´�´¿

À�ÁÁÁÁÁÁÂ

, � � °�´�´�´�° � � ±���µ`°

�*)+9�!��S�'�+�?8��*)+�"&3!i���iDR�*!#� ��/;�� ��> >q�\�X��7*�"�'��!��0�@>d�'�+���m�'�0�"8'�*)0��&3!K���mB3���*!2� ��/��4��9+�¶�'�0&(!k&1�k>i&3B(B!�C �E$����'�S!��0�@>Z���X���i�%7��82b�7��$%�'�8�&()�� &(!i&()\���+� !#5X�*)[�*I����+��$��B3C+DR)0!6�*I�k�e!#&()+$��R�'�0&(!?>i&(B(B�DE���*)c�'�X�L�k�'�0�H!�5+�*) �*I6���+�H$��B(C+DE)+!��*I �_&(!��%�0�*$���B3b�'�+� �` x9+&(DE��)+!#&(�)+�*BJ!#5X�*$�� �R/ ���+�4B(�%�?C+!?5+&($a�o�"7*��$����8���,��

¹ºººººº»

� �´�´�´� �¿ ´�´�´¿

À�ÁÁÁÁÁÁÂ

&()�E/ � &()+$���� &3!�&3)�8#�@>F x��$a�+��B(�)¶If�*8�DG�ª���+� �����K8���> �*I � DkC+!#�p$��)P�a��&()¶�[�!��DE��>i�+��8�����>i�+&3$a��DE���*)0!?���X���?�'�0��8��E&(!��\$��*B(C+DE)�>i�+�!�� � ��� ��)P�'8#bo&3!S��f>i&3������B(B:��)`��8�&3��!i����B(��>����X������^`CX��B����H¿�%/.NxIJ>j� !#C+�0�'8��*$�� � � DmC+B1�'&(50B(��!q�*I�'�+&3!F$��B3C+DE)"If8��D��ª�0�'�+��)\>q�?Q�%���S)0��>®7��$%�'�86>i�+�*!�� � ��� ��)P�'82bc� �*)09[��B(B�'�+�?�)+��!i����B(��>A&1���q�*8#� ����8#�+/

;�� ��>Z>q�kB(� ��\�����'�+�"� ���®��� ��� 8���>?/��pQP��&():�ª!�&3)+$���>q�m�*8���&()[8���>F O��$a�+��B3�)If�8�DG�����+��8#�6&(!��m�6!#�DR�%>i�+��8#�*�>i&1�'�S¿*!e�]��B3��>=&1� ����+&(!e&3DR50B(&(��!��'�X���J�'�+��8��6&(!�?$��B(C0DR)m>i�+�*!�� � � �[�@� ��� ��)P�'82bS&(!F� � >i&3�'�E�*B3B0��)`��8�&3��!��]��B(��> �'�X�L����^`CX�*B+���¿P�%/��6�`C+!i>q��$���)[!#C+�0�'8��*$����SDmC+B1�'&(50B(�p��I����+&(!F7*��$����8i�'�SQ�����K)+�%>A7��$��'�*8>i�+�!��H� � � ��� ��� ��)P�'8#b����*)+9G�*B3B��'�+�?�)0��!i����B(��> &3���F��8�� ����8��+/;$# �)P�'&()`C+&3)+QW&3)k�'�+&3!�I��*!#�+&(�*)k>q�6$��*)K!�C0�0�'8��*$���DkC+B3��&(5+B3��!4�*IX7��*8�&3�C+!J$��B(C0DR)+!�*I � If8#�D�� C+)P�'&(B+>j�iDH��)X�*Q�F��� ����8#� �C��q��B(B����+�i��)P�'8#&(��!�/�NO)E�*�'�+��8�>q�8#9+!��>q�6�X��7*�6�%��5+8���!�!#��9� ��!��WB(&3)+���*84$��*Dm�+&()+���'&3�) ��Iª$��B3C+DR)0!J&()��k�`�*)+9k�+��)+$��

¾

Page 10: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

��&3!J&3)k�'�+�6!#5X�*)K�*IX���+�F$��B(C+DE)+!�/J�6�`C+!e�'�0�F!�5X��)E��IX�'�+�F$��B(C0DR)+!�&(!��%�0�*$���B3b�E�ª�*)+9�>j� ��8��?9+�)+��/ &S/

; �6� C0!�>j�R)0�@> �X��7�R�G5+8#��$���9+C08��S�'��$��DE5+C0���K�'�+�E8'�*)0�¶�*Iq�GDR���'8#&1��,W>j�8���> 8���9+C+$������8 $��B3C+DR)�8���9+C+$���� C+)P�'&3B.>j�"8#���*$a�h8#�@>F x��$a�+��B(�)�If�8�DG�e�*)09�'�+��) � C+!2�m$��*C+)P�k�'�0�R)`C+Dm�]��8 �*IF)0�)� �����8#��8���>i!�/��f�p$%�'CX�*B3B3b*���)0�R9+� ��!#)(' �)+��$���!�!��*8�&3B3b[�X��7�m���"8���9+C+$��S��B(B��'�+� >F��b����"8���>F x��$a�+��B(�)¶If�8#D ��&3��DH��b[����'�X���4�'�0�F8'�*)0���]��$��DE��!J�*�`7 &3�C+!J!#�DE�j�'&3DR���]��If�8#�j���+��):�*����$��*C+!#�q�'�0�q!�5+�*)�*I����+�?$��B3C+DE)+!6$��*)G�]�n9+������8�DE&()0��9G�`b"&()+!#5���$��'&3�)ª��/; NxI��*)+�"�)+B1b�C0!���!K��B(��DR��)`�'�*8#b�8���>_�5]��8'�L�'&(�*)+!��J���+��) C+!#CX�*B3B3bc�)+�\$��*)+)+�*��+�5]�����HDR�*�*�?�'�+� DH�L�'8�&M�\DmC0$a�¶!�&3DR5+B3��8F���X�*)�8#��>F O��$a�0��B(�*)�If�8�DG/4�qC��p&1I�)+�n&(!i��B(B(��>j��9\�'�E�*B3!��KC+!#� ��B(��DR��)`�'�*8#bH$��B3C+DE)\�5���8'����&(�)0!��0���+��)G�)+�n$��*)Q���6���+�?DH����8�&M�"&3)`���E�E5X��8#�'&3$�C+B(�*8�B1bE!�&(DE5+B3�pIf�8�DG,;=�k§��  ª�@� � � � ��� � �]�S�*)o� ���hDR���'8#&1�G>i&3���c8��*)+����/ �6�+��)c�)+�K$��*)C+!��?��B3��DE��)P�a��8#b\8#�@>A�*)+9G$��B3C+DE)\DH����8�&3$���!F���S5+BT�*$�����&()\�'�+�nIf�8#D� ��� ¿��%��� � �¿�� � �%���g¿�� � �%��� � ��� °>i�+��8#� ���&3!J�'�+��j����&(9+��)`��&3�Ob DH�L�'8�&M����*)+9S¿L�6���p&(!����+�6�Z�n� ����8��nDR���'8#&1��/���6�`C+!��4>q�R�X��7�E8���9+C+$���9��'�0�RDR���'8#&1���'��)+�*���+&()+QG�+C0�k��!#�'8#&()+Q��*I�\�)+��!9+��>i)G���+�?9+&T�*Q*�)X�*B ��>i&3������7��8#b`�'�0&()+QE��B3!��?����&()+Q�����8��0/

;�� �@ : �� �4�K����Q&()R>i&3�'����>j�n� )0�@>®�'�+���F>j�n$��*)\C+!#�W��B3��DE��)P�a��8#bR8���>��*5���8'�L �'&(�*)+!q�'�S5+B(�*$����Z&3)\8���>F O��$a�+��B3�)�If�8�DG/e�6�`C+!i�'�+�WlX8#!#���m8#�@>i!i�]��Q&3)">i&3�������ª>i&3�'�¶¿*!p�]��B3�@>Z���+�"��ª>i�+&3B(�?�'�+�m8#��DR�*&()0&()+QE� � �R8#��>i!n�*8�� ��)P�'&38���B3b����8#�+/

;�� ��> $��)+!�&39+��8��'�0��l+8�!#��8���>��*I0���+&(!�8���9+C+$���9kDR����8�&1� �LB(�%� ' !4!#C+5+5]�!����'�+���4&3��&(!)+�*�.&(9+��)P�'&($��*B(B1b ����8#�+/���I ����8�!��DE� ����8�� ��!�� &3�.�X��!j�S�� �*)+9E�'�+��)R!#�DE���*���+��8��)P�'8#&(��!.>i�+&($a�HDH��bE�8.DH��bS)+�*�q��� ����8��+/5�qC��F�PbE!�C+�0��8'�*$%�'&3)+QmDmC+B1�'&35+B(��!��*I�'�+�m$��B(C0DR)�>i&1�'� �K&3)¶&3��If8��D ���+�K$��B3C+DE)+!�>i&1�'�¶�*���+��8p)+�)� ����8#�\��)P�'8#&(��!��&�/ �*/K�Ob 5]�H-�$��B3C+DE)��5���8'����&(�)0!a�%��>j�R$��*)cDH�*���E�*B(BJ���+�E�*�'�+��8?��)P�'8#&(��!�&()�'�+&3!�8#��>���^`CX�*B��'� ����8��+/ � ���'�?�'�X���i���+��!#�m��B3��DE��)P�a�*82b�$��B3C+DE)[�5]��8����'&3�)+!�)+B3bE�L����$��F���+�����5"8���>?�+B3����7 &()+Q��'�+���*�'�0��8F8#�@>i!qC+)+$a�X�*)0Q��9:�0����$��*C+!#�p�'�0�$��B3C+DR)">i&1�'�o��&()�&3�6�+�*!�¿*!i��7��8#b`>i�+��8��m��B(!���/��¿

Page 11: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; �g!#&(DE&(BT��8"�*8#QC+DE��)P���'�+��)Z�*B(B3��>i!\�)+�o�'� �a�*�����'�0��!#��$��*)+9A8���>���Ik�'�0�8���90C+$���9 DH����8�&M� �*)+9 DR�*���¶�*B3Bi���+����)P�'8�&3��!o���*5X�*82�RIf8#�D �'�+�[B(���*9+&()0Q=�@���^`CX�*B4�'�\¿0/p�p)+9�!#�\�)��*)+9�!��"If�82�'�:/W�F���'�+�k��)+9��*I����+&(!�5+8�� $���9+C+8#�*�:>j�Q�����'�X���p�'�+�kl+8�!#� �R8#�@>i!p���*$a��$��)P�a�*&3)��)+�H�S��)+9¶��7*��82b ���+&()0QG��B(!#�k�]��&()0Q����8#�+/j·ªC08#�'�0��8�DE�8#�*�+�'�0��!��E��!i�X��7�k¿*!i�����'�[�*����7*�k�*)09[�]��B3�@>?�X!#�E���+��b�B3&(�&()G9+&3����8#��)P�W$��B(C+DE)+!�/��6�`C+!p�`bG!2>i&3�'$a�0&()+QR$��B3C+DR)0!p�*505+8��508�&T�L�'��B1bc��C0!�&()0Q�Ob�5]�¶�"$��B(C0DR)��5���8'����&(�)0!a�W>q�"$��*)hQ�%�m&()P���[�'�0�HIf�8�D 8#��^`C+&(8#��9 If�8?�'�0��6�+���8#��DG/ &

;�� �%� � ���k�*)¶������DH����8�&M�\>i&3����8'��)+� ��/ �e7��8#b¶��B(��DR��)`�'�*8#b�8#��> �*5���8'�L �'&(�*)"$��8#8���!�5]�)+9+!F���KDmC+B3��&(5+B1b &()+Q��A�)"���+�WB(�%I �6�Pb"��)\�£������B3��DE��)P�a��8#bDH����8�&M���L>i�+&(B3�q�%7��82bK��B3��DE��)P�a��8#b $��B3C+DR)k�5���8'����&(�)k$��8#8���!#5��*)+9+!��'�WDkC+B3��&1 5+B3b &()0Q � �)m���+�F8#&(Q�P�e�Pbm�*)K���W�G��B(��DR��)`�'�*8#b DR���'8#&1��/��6� C0!.�Pb �6�+���*8���D¸+�0>j� �X��7*�� � � � ´�´�´ � � ��� � � � ´�´�´���� � � ��� ¿������ � �¿�� � �%��� ¿�� � �%��� � � � °

>i�+��8#� � � °�´�´�´�° � � �*8��k��B(��DR��)P�a�*82b[� �o��DR���'8#&($���!����*)+9�� � � � ´�´�´����i�*8����B(��DR��)P�a�*82b"�¶�G��DH�L�'8�&3$���!�/��pB3B����+�n��B3��DE��)P�a�*82b"DR���'8#&($���!6�*8#�W&()P7*��8#��&(�+B3�*/��I �'��86!��DE�?DH�L�'8�&M�\��B(Q���+8'�0� �'�+&3!i����$��DE��!� � � ���� ´�´�´ � ���� ������ � �� ¿��%��� � �¿�� � �%���g¿�� � �%��� � � � � ���� ´�´�´�� ���� � �����f>i�PbK9+&39m�'�+�6�8#9+��8���I]���+�6DR���'8#&($���!eQ�%��8���7*��8#!���9(�L��/e���i�X��7*�i���`C+!�5+8���7*��)

;�� �@ ª�� �¢f¥�¢� ]¤��(� � �%�,�®�]�p�*)R� �K��DR���'8#&1�k>i&3�'�R8'�*)0����/e�6�0��)H>j���+��7*��*)��£�[� DR����8�&1�� >i�+&3$a�G&3!6�K5+8�� 9+C+$%�i�*I4��B3��DE��)P�a�*82b"DR���'8#&($���!6�*)09[��)�o�¶�cDR����8�&1���S�X�*B(!#�E�S508�� 9+C+$����*I���B3��DE��)P�a��8#b\DR���'8#&($���!F!#C+$a�[���X���� �� � ��� ¿������ � �¿L� � �%���g¿�� � �%��� � � � ��´

;�� �*���?�fIf8#�D �n�W�*I]��!�!�&3Q)+DE��)P��¸`���'�X���J�'�+�65+8#��90C+$�����I�&3)P7��82�'&3�+B(�FDR����8�&($���!&(!i�*B1>F��b !i&()P7��8#�'&3�+B(��/��6�`C+!����+�?DH�L�'8�&3$���!� d��)+9�� ������7���*8#�n&()P7��8#��&(�+B3�*/;�� 8#�5]�!�&1�'&(�*)�H&(!W�*)��%�0�*DE5+B(�k�*Ij� �w �%v {Ly�~ )�w*v�~�{Lu�v �Xra{Ly'r%t ��>i�+&($a���'�*�*��!?�Q��)+��8'�*B0DH����8�&M�K�*)09SI���$��'�*8�!�&3��&3)P�'�n!�&3DR50B(��8�5+&(��$���!�/��6�+��8����*8��6DR�*)PbK�*���+��8�%�0�*DE5+B(��!m�*I6I��*$%�'�8#& ���L�'&(�*)��'�0���8#��DE!k>i�+&($a� b*�Ch>i&(B3B.��)+$��*C+)P�'��8SB(���'��8k&()�'�+�S��@m!#��^`C+��)0$��*���*)+9��'�0��b\�X��7*� DR�*)Pb��*5+50B(&($����'&3�)+!�/

�*�

Page 12: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; ���DE�pDE�8���5+8��5]��82�'&3��!F�*I48��*)+�ª/e���p� )0�@>®If8��*D � ��DEDR�R�W�'�+���F8��*)+�H��I4�s ~ u�r�w*y v�y#w*u�� �{Ly%tEw*v�~�{Lu &3!�C+)0$a�X�*)+Q��9��Pb�DmC0B3�'&35+B3b &3)+QK�)[���+�kB3��I ���8p8#&(Q�P��`b &()P7��8#��&(�+B3���'8��*)+!#If�*8�DR���'&3�)+!�/ Un&37��) �'�+��$�B(�!#��8���BT����&(�)+!#�+&(5 ���%�O>q����)B(&()0���*8n�'8��*)+!2If�8�DR���'&3�)+!��*)+9�DH����8�&3$���!��J&1� &3!kC+)0!�C+8#5+8�&3!�&()0Q[�'�+���k���+�H!��*DR��'�+&3)+QS&(!F�'8#C+�nIf�86DR���'8#&($���!�,;�.� �¨ � � � ��� �£���G�*) � �h�¬DH����8�&M��� ��]�[��)=� � � &()P7��8#�'&3�+B(�DH����8�&M���0�*)+9 � �]� ��)G�c���o&3)`7*��82�'&(�0B(�nDR���'8#&1��/e�6�+��)

8'��)+���*�n� �¬8'�*)+��� ��n� � 8��*)+���*���k� �®8��*)+��� ����k��´;�� �@ : ���� ��&()+$�� &(!W&3)`7*��82�'&(�0B(�*��!#��&(! ��A�f!����S�6�+���8���D ��¿"If8��*D ��������¸)+�*�'��!a��/ � &(DE&(BT��8�B3b ��o&(!6&3)`7*��82�'&(�0B(�*/e·ª8#�D � ��DRDR�\�?>j���X��7�

8��*)+��� ��� �®8'��)+�:���� ��� �®8'��)+�:�� � ���� � 8��*)+��� �� � ����%´��&()+$�� �� � � �� �J�X�%�'$�/�>j�n�'�`C+!��X��7�

8��*)+��� ��� �®8'�*)+������ �:� � 8'�*)0���� ����� � 8��*)+��� �� ������´�6�+�?$�BT��&(D �'�+��)[If�B3B(��>i!qIf8��*D_�'�0��90��lX)+&1�'&3�)��*IJ8��*)+�HIf�*86DH����8�&3$���!�/ &

;�� �*�������X��� � ��DRDR�E�R&(!�$��*)+!�&3!#�'��)P�p>i&3��� � 8��*5��!#&3��&(�)[��]!�&3)+$����'�+��DH�L�'8�&M�� �� ¿��%��� � �¿�� � ����� ¿�� � ����� � � � �X�*!i8��*)+� � /; � )0�K&(DE5��82�a�*)P�n$��)+!#��^`C+��)0$��H��Ij���+�E�*����7*�S���+���*8#b�$��)+$���8�)+!?�'�0�E8��*)+�[�*I� v�y#w*u��O}X{ ��r � � �*IF�\DR���'8#&1� �k/ < ��$��*B(B4�'�X���n���+�K�'8��*)+!�5]�!#�E��IF�*)o� ���DH����8�&M�S&(!��'�0�p�"�S�£DH�L�'8�&M�S��0�'�*&()0��9E�`bR8����X��$%�'&3)+Qm�*8#�C+)+9E�'�+��9+&T��Q�)X�*B �!��SIf�86&()+!2�a�*)0$�� ¹ºº

»� ³- ¸ �¼ ½

À ÁÁÂ�

� � � - ¼³ ¸ � ½ � ´�6� C0!���8'�*)0!�5]�!���!.!2>F��5E8#��>i!j��)+9K$��B3C+DE)+!�/J·ª8#�D��'�+�69+�%lX)+&1�'&(�*)m�*I]DH�L�'8�&M�DmC+B3��&(5+B3&($����'&3�) &1��&(!����*!#bk�'�n7��8�&3I bk�'�+�6&39+��)P�'&1�ObG�*�� K� � �� � � � �f>i�Pb��L��/�NO)5X�*8#��&($�C+BT�*8���&1I �A&(!j&()P7��8#��&(�+B3�*�����+��) � � � � � � � � ��� � � � � � � � ��� � � ��>i�+&3$a�&(DE5+B(&3��!j���X��� � � &(!i��B(!��K&3)P7��82�'&3�+B(��/

��³

Page 13: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�.� �¨ � � �%��� ���E�*)o� ���hDR����8�&1�[>i&3���o8'�*)+����/k�6�+��) � � �X�*!W�'�0�!'�*DE�n8'�*)0�\�*! �k/; ·ª8#�D � 8#�5��*!�&3��&(�)Gk>j� �+��7*�

� �� � ��� ¿������ � �¿L� � �%���g¿�� � �%��� � � � ��´�J�*�`&3)+QK�'8'��)+!�5]�!���!���IJ�]�*�'��!#&(9+��!i>j����0�a��&()� � ��� � � ��� ¿������ � �¿L� � �%��� ¿�� � �%��� � � � � ´�6�+��&3)+)+��8�DH����8�&M�m�)S�'�0��8#&(Q�P�2 O�X�*)09E!#&(9+�i�X��!.8��*)+��� / ��&3)+$�� �*)+9 �Z�*8��&()P7��8#�'&3�+B(���`!��m��8�� � �*)09�� � �0��)+9H!#�k�Pb � ��DEDH����� � �X��!q8'��)+����� �*)09R>j��*8��n9+�*)+�*/ &

; ·ª8#�D � ��DRDR� ¼ �*)+9 � ��DRDR�S³k>q�?�'�`C+!��X��7�;��k ª�@  $ $f¨+�����(� �6�+�R8��*)+�¶��I6�\DH�L�'8�&M�¶&3!?��^`CX�*B��'�\���+�S9+&(DE��)+!#&(�)o�*I.�'�0�!�5X�*$��?!�5X�*)0)+��9[�`b�&1�'! y'{L| � /; �p!n�)+�k$��8#�B(B(�*8#bG�*I����+&(! � ��DRDR�0��&1I��)+B1b��¶�*I����+�K8���>i!n�*Ij�"DR���'8#&1���*8��)+�)� ����8#�+�+�'�0��)��'�+�?8'��)+�"�*I4�'�+�?DR���'8#&1�H$��*)G�]�?����DR�!2� ��/; ·J&()X��B(B3b*��>q�FQ*&37�q��>q��b �'�W$��DE5+C0�'�.�'�+�q8'�*)+�?�*I]��)`b B(&3)+����84��8'�*)+!2If�8�DR����&(�)If8��D_�)+�nlX)+&1�'�% x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B]!�5X�*$������E�*)+�*���+��8�/;�.� �¨��(� � ��� �A,%� � � �]�F�WB(&3)+����84��8'�*)+!2If�8�DR����&(�):�L�*)09KB(�����G�*)+9���nlX)+&1�'�n�X��!���!iIf�8"� �*)+9�� 8#��!#5���$��'&17��B3b/��6�+��)�8��*)+����p� � 8��*)+����� �� ����%/;�� �@ : ���� � C+5+5]�!�� � &(!��] x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B��*)+97� &(!��H O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B /H�6�+��)�'�+�o$��L O�8#9+&()X�L�'�¶DR�*5�� � , � � � � 9+�%lX)+��9®�Pb�� � � ��� ,�� � �� � &(!���)&(!��*DR�8#5+�+&3!�DG�i�*!\&(!"���+��$��� x�8�90&()X�����¶DR�*5�� � ,3� � � � 9+��lX)0��9��Pb� � ���n�", ������ � /h�[���*)P>i�+&3B(�������+��DH��5 �� ���� ![&(!K��B3&()+���*8 ��8'�*)+!2If�8�DR����&(�)If8��D_� � �'�S� � /��6�+��&(9+��)P�'&3�Ob

� � �� � �"� �� �� � �� �

$��*)��'�`C+!i�]��8#��>i8#&3������)[�*!� � ��� ��� � �� ���� !#� � � �0�

��-

Page 14: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�*)+9\�'�`C+!� � � � �� ��� ! � ��*)+9��+��)0$��H��!�&3)+$�� � � &(!6&()P7*��8#��&(�+B3�������� ���� � ��� !#� � ´�J�*�`&3)+QS8'�*)+�H�*IJ�]�*���G!#&(9+��!��*)+9GC+!�&3)+Q � ��DRDR�S�0�0>j� �*�0�a�*&3)

8��*)+����p� � 8��*)+��� � ���� ! � � 8'��)+����� �� �� ��*!i9+��!#&(8���9:/ &

;�����¨( ��&$f� � ��� �Z,�� � ���"�5� � � �����q�]�n�'�+�?B3&()+���*8q�'8��*)+!2If�8�DR���'&3�)����,���� � � ���T°

�'�`C+!6If�86&()0!#�a��)+$��� � � � � � � � ��³ � � � � � � ´��� lX)+9 ���+�c8'�*)+� ��Ik�'�0&(!��5]��8'�L�'�8��p>q��B(�%� � ,�� �2�° � ° � � ° � � �"���o�'�0�!#�a��)+9X�*8#9[�X��!�&(!FIf�*8�� � ���"�%/��Z!�&3DR50B(�W$��*B($�C+BT����&(�)H!��+��>i!����X���

� ��� � � � � � ¿�� � � � � � � � � � � � � �W³ � � °!��

� �� �� �¹ºº»

� ¿ ¿ ¿¿ ¿ ¿ ¿¿ ¿ ��� ¿¿ ¿ ¿ �W³À ÁÁ ´

�6�+&(!WDR����8�&1�G$�B(���*8�B1b��X�*!W8��*)+�[-���8#�@> �5]��8����'&3�)+!�$��*)�$��)P7��82�?&3���'�"8#�@>F ��$a�+��B(�)�If�8�Dd>i&3�������+8���� )0�)� �����8#�E8#��>i!a�%�ª!#� ���X�*!i8'�*)0�\-0/; �6�+�H8��*)+�o�*Ii�GDH����8�&M��DE���*!#C+8���!��e&3)�!��*DR�E!���)+!������+��> $�B(�*!��S�'� ����8#� ���8�+��>�29+��Q��)+��8����'��`� �[DH����8�&M�c&(! �e���+�"�)0B3boDR���'8#&1�o>i&3��� 8'��)+�c¿�&(!?�'�+�"¿DH����8�&M�G�f>i�Pb0�%/��6�0��B(�*8�Q��!#�.8'��)+�S�*)E� �m��DR����8�&1�m$��*)R�X��7��&(!�DE&()��f��°'����f>i�Pb�� ����� � ��DEDH��³n�*)+9 # �8��*B(BT��8#b ½ �%/�·X�8�&3)+!#�'�*)+$��*� � -��SnDH����8�&M�m$��*)�X��7��8'�*)+�"���iDR�*!#��-0/

YSYSYRYSYNO)P7��8#��&()+QRDH����8�&3$���!j7�&(�K8���>A�5]��8����'&3�)+!��¸

Page 15: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�� 8#�5]�!�&1�'&(�*)GK�+�*!6�'�+�nIf�B3B(��>i&()+Qk$��)+!#��^`C+��)+$���/;�.� �¨ � � ��� �%��� �]�E�*)�� ��� DH����8�&M��/K�6�0��) � &3!�&3)P7��82�'&3�+B(�K&1IF�*)09�)+B3bH&3I4&3�i&3!F�'�+�?5+8#��90C+$����*I���B3��DE��)P�a�*82b"�c���oDR���'8#&($���!�/;�� �@ : �� ·J&(8#!#�.!�C+505��!#�p�'�+��� � &3!.���+��508�� 9+C+$��j�*I���B(��DR��)`�'�*8#bSDR����8�&($���!�/�����*B(8#���*90bH�`)+��>A�'�X�L���%7��8#bG��B3��DE��)P�a�*82b\DR���'8#&1�H&(!i&()P7��8#��&(�+B3� �X�*B3!��KIf8��*D �n�If8��DZ�'�0�F�������k¸n�0�DR�%>q�*8��ª�*>j�6� )0�@> �'�+���e�'�0�F5+8�� 9+C+$%���*Iª�O>j�n&()P7��8#�'&3�+B(�DH����8�&3$���!.&(!j�*B3!��k&3)P7��82�'&3�+B(��/e�p5+50B3b &()+Q��'�+&3!jI��*$%�F8#��5]��������9+B1bE>j�W!#���p���X��� �&(!i�*B3!��S&()P7��8#��&(�+B3�*/;�� ��> !#C+5+5]�!��6�'�+��� �¬&(!�&()P7*��8#��&(�+B3�*�*���`C+! ��,P� � � � � &(!�&()P7*��8#��&(�+B3�*�`�*)09&()�5X�*82�'&($�C+BT��8F&(!6�)P���+/��6� C0!��S� ��� � � � �ª�*)+9G!��E8'�*)+�������� � �J�]�*)09[!#��Z&3�'!#��B1IJDmC0!#�i�X��7��8'��)+�"�J/ �jb � 8#�5]�!�&1�'&(�*)Gm>j�?�'�`C+!i�X��7�

� � � � � � ´�´�´ � � ��� � � ´�´�´����>i�+��8#� � � °�´�´�´�° � � ° � � °�´�´�´�° ���F�*8�� ��B(��DR��)P�a�*82b�������DR����8�&($���!�/ � &()+$�� �'�0�&(9+��)`��&3�ObHDH����8�&M� �%�S$��*)+$���B3!��*C0���0>j� �*8��?9+�)0�*/ &

; �6�+&(!4Q&37*��!�C+!e�6>F��b��'��C+!��j8���>h�5]��8����'&3�)+!��'�p&3)P7��82�e��DH�L�'8�&M� �k/ ��C+5+5]�!#�>q�?DR�*)X�*Q�W���RC0!����K!���^`C+��)+$��k�*IJ8#��>A�5]��8����'&3�)+! � � � � � °�´�´�´�° � � &3)\�'C+8#)�SDR����8�&1� ��&()P�'�K���+�?&(9+��)`��&3�Ob*�0�'�`C+!� � ´�´�´ � � � � � � �ª´

�6�+��)[�`b"DmC+B3��&(5+B1b &()+Q ���*���[!#&(9+��!i�)\�'�+�?8�&3Q�P�i�Pb�� ��� >q��Q�%�� � ´�´�´ � � � � � � � ��� ´

�6� C0!�� &3Iª>q�i$��)+$��L�'��)+���'� �¬�*)+9 ���'�Q�%�'�+��8�� �*)+9E�*505+B3bk8���> �5]��8����'&3�)+!e�*)�'�+�S$��*)+$�������)X�L�'��9cDR���'8#&1�[�'���'C+8#)o���+� � $��DE5��*)+��)P�?&()P��� �ª���'�0��)o�'�+� �$��DE5��*)+��)P�.>i&(B(B+�*C0�'�*DH����&($��*B(B1b ��C+8�)E�'��� ��� /��6�+&3!j&3!.��>q��bE�*I�$��DE5+C0��&()+Q�'�+�?&()P7*��8�!#� ��I � /;�����¨( ��&$f� / ��C+5+5]�!��?>j��>q�*)P�i�'�S&()P7��8#�i�'�0��DR����8�&1�

��, � � � ³- ¸ � ´��

Page 16: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

���?$��*Dm�+&()0�����*)+9��'�+�?&(90��)P�'&1�Ob�� � &()P�'�S�S!�&3)+QB3�WDH�L�'8�&M��,�*� � � � � � � � ³- ¸ ���� � ¿¿ � � ´

�6�+��)®>q�o8���> 8���90C+$��o�'�h�'C08�)¬�'�+�oB(�%I ��DH�L�'8�&M� &3)P�'� �'�0�c&39+��)P��&3�Ob/d·X�8&()+!2�a�*)+$��*�X�Pb\!#C+�0�'8��*$���&()+QS�'�08����?$��5+&(��!i�*IJ8#��> �nIf8��D_8���>�³m>j���*�0�a�*&3)� � ³¿ �W³ ���� � ¿��- � �

�*)+9\�'�+��)��Pb��*909+&()+QS8#�@>Z³k�'�S8���> �?>j���*�0�a�*&3)� � ¿¿ �p³ ���� �p³ ���- � � ´

VW&37 &(9+&3)+Qk���+�?!���$��)+9[8���>A�Pb �p³K>j�?��0�'�*&()� � ¿¿ � ���� �W³ �- �³ � � �³ � ´�6�+&(!6�'�0��&3)P7��8#!����*I&�Z&(!

� ��� � � �p³ �- �³ �����³ � °!�&()0$�� ���+�k��B(��DR��)`�'�*8#b\��8'�*)0!#If�8#DH����&(�)0!i>i�0&($a��$��*)`7*��82��� ��� � � ���*B3!��R$��)� 7��82� � � �'� � ��� /

YSYSYRYSYVW�%�'��8#DR&3)X�*)P�'!; ���K)+��> 8���7 &3��> �"7*��8#b¶C+!��%IfC+B�$a�X�*8��*$�����8�&3!#��&($K�*IjDH�L�'8�&3$���!� i�'�+��� r%vOr%y�tK~ 'u]w*uXv �*IW�oDR���'8#&1��/ �6�+�[90���'��8�DE&()X��)`�S��In�o!�^`CX�*8#� �f� � ���mDH�L�'8�&M� &3!E�) C0Dm����8H>i�+&3$a� 9+��5]��)+90!\&() ��$��DE5+B(&3$�������9=>q��b �*) �'�+�¶��)P�'8�&3��!"��In�'�X���DH����8�&M��/kVW��!#5+&3���m�'�+�S$��*DR5+B3&($����'��9�9+��lX)0&3�'&3�):�:&1�?�X�*!n!#�DR�K7*��8#b¶8���DR�*8#�P �*�+B(�\508��5]��82�'&(��!��j��!�5]��$�&T�*B3B3b >i&1�'� 8���QP�*8#9=�'�cDR���'8#&1��DmC+B3��&(5+B3&($����'&3�):���*)098���>Z�*)09[$��B(C+DE)��5]��8'�L�'&(�*)+!�/���)�If�8#��C+)X������B3bR>q�?>i&(B3B:)+�*���]���*�+B(�W���RQ*&37��'�+�S5+8#���*If!p�*IqDR�*)Pb��*I����+��!#�R8#��DR�*8��L�*�+B3�m5+8#�5���8#��&(��!n�0��8��������+�S����!#�?>F��b�'��C0)+9+��8#!#�'�*)+9h9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�'!�&(!��PbcDR���*)+!k��IF!��*DR�%�'�+&3)+Q�$��*B(B3��9 r �v r%y�~�{Ly

���

Page 17: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

w*s � r � y�w ��>i�+&3$a� &(!����%b�)09��'�+�R!�$��5��R�*IF���+&(!�$��C08�!���/G�¬&1�'�+�*C0�?�'�+�E�'� �B(!�*Ii�%� �'��8�&3�8m�*B3Q���08'�h�f&() 5X��8#�'&3$�C+B(�*8���!��DE�����+&()0Q�$���B(B(��9h� |qr � � r�}]y'{ � �%v �%�5+8���7 &()+Q �*)Pb �*Ip�'�+��IfC0)+9X�*DE��)P�a��B�5+8#�5]��8#��&(��!H�*I?9+�%�'��8�DE&()X�*)P��!H�]��$��*DR��!7��82boDR��!�!2b/ ����>q�K>i&3B(BJ!#���#�'B(� � C+!2�nIf�8n9+��!�$�8#&(�+&3)+Q\�'�+�S9+�%�'��8�DE&()X�*)P���*)09!#�a�L�'&()0QE&1�'!6�X��!�&($n508��5]��82�'&(��!�/; �6�+�?9+������8�DE&()+�*)P�i�*I��\������DH����8�&M�"&3! � C+!#��&3��!6��)P�'82b],

90���@��� � ���ª´; �6�+� ³S�o³m9+�%�'��8�DE&()X�*)P�i&3!6Q&37*��)G�`b\���+�nIf�8�DkC+BT�

9+�%� � � �

+ � � ,������ � � +@´; �6�+�q�p���"90���'��8�DE&()X��)`��&(!4DE��!�!#&(��8����)+9m&(!�9+�%lX)+��9K&() ���+�jIf�*B(B(��>i&3)+Q6!#��8'�*)+Q*�>F��b/�·X�8m�*)Pbc8���> ­n��)+9 $��*B(C+DE)�¯X�e90��lX)+�R�'�+� tK~ u�{Ly�����K�*I��*) � � �DH����8�&M� � �'�\�]�k�'�0�K� �®�K�o� �®�KDH�L�'8�&M�G>i�+&($a��&3! � >i&3�����'�0�K­ ��� 8���>�*)+9E¯ ��� $��*B(C+DE)�8���DE��7��9:/.·ª�*86&()+!2�a�*)+$��*�X&1I

��,�� ¹» � � +� � �

� ­ÀÂ

�'�+��)�� ��� �

�� �

­ � ° �� � � �� � �

� ­ � ° �� � � �� � �

� � °���'$�/�6�+&(!?!��0�C+B(9c)+�*�?�]�S$��)�IfC+!���9�>i&3��� ���@��>i�0&($a�c&(!n�'�+�S��)`��8#bo�*I � &()��'�0�­ ��� 8���> ��)+9G¯ ��� $��*B(C+DE):/�· � 8n&3)+!#�'�*)+$��*��&()¶���+�S�*�]��7�K�%�0�*DE5+B3� � ��� ����*)+9 � � � ����/; ���[$��*) )0�@>£90��lX)+�[�'�+�¶� �=� 9+������8�DE&()0��8���$�C+8#!�&17��B1b &()=����8#DR!R�*IW�'�0�� �¶��90���'��8�DE&()X��)`�.�Pbm>i�X�L�j&3!�$��*B3B(��9S���+� �a{� �w �%v {LyWr ��}0w*u��%~�{Lu /4���?lX)+9S�'�0�9+������8�DE&()+�*)P�n�*Ij�*)�� �o� DR���'8#&1� �k�:>j�K5+&3$a�¶�"8���> ­?� ��)`b�8���> >i&(B(B49+�`��*)+9�!��%� 9+�%�L�*�W�6,�� �

��� �

� ���@� ���� �����9+�%�L� ����%�%´� ¼

Page 18: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

·ª�*86&()+!2�a�*)+$��*�+>j�?�X��7�9+����� ¹» � � +

� � �

� ­ÀÂ � �j9+�%� � � �

­ � � ��90��� � � �

� ­ � � +�90��� � � �

� � °�89+����� ¹» � � +

� � �

� ­À � � �.9+��� � � +

­ � � � 9+��� � � +� ­ � � �W9+��� � � �

� � °�89+����� ¹» � � +

� � �

� ­À � � 90��� � � +

� � � � 9+��� � � +� � � � ­P9+��� � � �

� � � ´Nx�i!�����DR!F���X���6���+&(!F90��lX)+&1�'&3�)"9+��5���)+9+!��)">i�+&($a��8#�@> b�C�C+!#�W�'�S5]��8#If�*8�D�'�+�K$��*I��*$����8n�%��5X��)+!�&3�):���+C0�?�'�0�R��DH� ��&()+QR�'�+&3)+Q\&(!W���X���?&3�W9+����!�)(' � �E·X�8&()+!2�a�*)+$��*�P&3)S���+�i�*�]��7�i�%�0�*DE5+B(���`�*)Pbm�'�08����6��I����+�i$��DE5+C0�'���'&3�)+!J>i&3B(B B(����9�'�K�'�+�?!��*DR�?��)+!#>j��8���)X��DR��B3b

� � ­ � � � � � �P­ � � � � � + � � + � � ´���p>j�C+B39\B(&3�*�p���K�%��5+BT��&()H>i�Pb\&1�F9+� ��!#)(' �FDH���#�'��8q>i�+&($a�\8#��> �f�8F$��*B(C+DE)��!����k����B(��>��i���"5���8#If�8#D£$��*I��*$%�'�8��%��5X��)+!�&3�):�:�+C��W&3��>j�C+B(9�8���^`C+&38��m�*)+� ���9+��7*��B(�*5�!��*DR�E)+��> DH������8#&T�*Bi�f�)����+�E!�&(Q*)X���'C08��S�*IF5]��8#DmC0�'���'&3�)+!a�p>i�+&3$a�>q�C0B(9\�a�*��� C0!iI���8i��lX��B39:�+!#�E>j��>i&3B(B�8���Q*8����#IfC+B(B1bH!#�`&(5��'�+�?9+��8�&37�����&(�)�/

; �6�+�o^ C+�*)P�'&3��&(��!\9+���L� �� �� �"�*8#��!��DE����&(DE��!\�`)+��>i)���! �a{� �w �%vO{Ly � / �p!��)0�$��*)�&3DH�*Q*&()+���ª���+&(!�$��*I���$��'�*8�If�8#DmC+BT�E����$��DE��!p�%� �'8#��DE��B3bGDE��!#!#b�If�*8pBT��8�Q�DH����8�&3$���!E� �'��$��*DR5+C��'�K�'�+�S9+�%�'��8�DE&()X�*)P�?�*Iq�*)c� ���hDR����8�&1���:���+�E�*����7*�If�8�DmC0BT�j>i&3B(B*�%7��)`��CX�*B3B3bn8#��^`C+&(8#��C+!��'���*9+9?�8�!#C+�0��8'�*$%��� ���'��8�DE!:�'�Q*���'�0��8 � � ��'�+��8��o�*8#�����*!#&(��8">q��b !G��� $��DE5+C0�'��C0!�&()0Qh8���>��*)09®$��B(C0DR) �5]��8����'&3�)+!>i�+&($a��>q�?>i&(B3B�9+��!�$�8�&(�]�?����B(��>?/; � )0�K$��*)c�*B3!��"5]��82If�8�D $��*I��*$%�'�8p�%��5X�*)+!#&(�)c�*B3�)+Q\�\$��B(C+DE)\¯G&()+!2�'����9��*I�S8#��>A­�, 9+�%�L�*�W�6,�� �

�� � �

� ���@� ���� �����9+�%�L� ����%�%´� ½

Page 19: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�6�+&(!FC0B3�'&3DH�L�'��B1bK�X�*!F���m9+�m>i&1�'���m!#b DEDR�%�'82bH5+8#�5]��8#�ObH9+�����*� � � �¬9+���@�*�n�If�8q�'�0��90���'��8�DE&()X��)`���X�*B1�'�+�C0Q�H�'�0&(!6!#b DEDR�%�'82b"&(!FI���8FIf8��Dd��P7 &(�C+!iQ&17��)�'�+�?9+�%lX)+&3��&(�)�/; �Z!�5]��$�&(�*B�$���!����*IJ$��*I��*$%�'�86���05+�*)+!�&3�):,�&3I%���X�*!6���+�nIf�8�D

� �� + ¿6´�´�´#¿/// � °

>i�+��8#� �'�0�k¿6´�´�´#¿H��8�� �E!2�'8�&3)+QE�*I�� � � ����8�� ��!��]���+� ///]8#��5+8#��!#��)P�n�E$��B3C+DR)7��$%�'�8j�*I:B3��)+Q��'�H� ���*�0�*)09� &3!.�*)H� ���6�S� �c�pDR����8�&1������+��)"90���@� �n� �+�9+����� K��/JNO)m5+�*8#��&($�C0BT�*8��LIf8#�DZ�'�+&3!J�*)09K&()+9+C0$��'&3�) >j�F!#���q���X���4�'�+�F&39+��)P��&3�ObDH����8�&M� �*B1>F��b !G�X�*!�9+������8#DR&3)X�*)P�c�, 9+���L� ���� � �*/d��B(!#�+�p>j��!#���o�'�X����'�+�K9+�%�'��8�DE&()X�*)P�?�*Iq�\B(��>j��82 x9+&T��Q�)X�*B4DR���'8#&1��&(! � C+!2�?�'�+�K5+8#��90C+$����*I��'�0�9+&T�*Q*�)X�*B���)P�'8#&(��!��+If�86&()0!#�a��)+$��

90���L� ¹» � ¿ ¿� � ¿� ­

À � � � ­#´�q��$��*C+!��E�*I.�'�+�S!2b�DEDE���'82b�5+8#�5���8#�Ob¶>j�R�*B(!#�G�`)+��> ���X���?C+505���82 O90&T�*Q�*)X�*BDH����8�&3$���!F>j�8#�H�'�+�?!��*DR�W>q��b],

9+���L� ¹» � � +¿ � �¿ ¿ ­À � � � ­�´

����&()h5X��8#�'&3$�C+B(�*8��J9+&T�*Q*�)X�*BjDH����8�&3$���!k�X��7�G�¶9+������8#DR&3)X�*)P�m>i�+&3$a� &3! � C+!2�DmC+B3��&(5+B3&($����'&3�)H��B(�)+Qm���+�?9+&T��Q�)X�*B ,9+����� ¹» � ¿ ¿¿ � ¿¿ ¿ ­

À � � � ­�´; �p)��c���cDH����8�&M��$��*)[���?�'�0�C+Q�P���*I��*!��R$��B(B3��$���&(�)��*IJ��8#�@>�7��$%�'�8#!W&()� � ���8��*!���$��B3B(��$��'&3�)��*Iq� $��B(C0DR)�7��$����8�! &()o� � /R�6�`C+! �)+�S$��*)c�a�*B3��*���*C0�m�'�0�"9+������8#DR&3)X�*)P�K9+�%�@� � � °�´�´�´�° �@�P���*Ii� $��B3C+DE)�7��$��'�*8�!S&() � � ���8�'�+�K9+�%�'��8�DE&()X�*)P�n��Iq�h8#�@> 7��$����8�!?&()�� � ��!#&(DE5+B3bG�Pbo�*8#8'�*)+Q*&()+QH���+�!#�E�8���>A�8i$��B(C+DE)\7��$��'�*8�!p&3)P�'�E�EDR����8�&1��/ � �*�'�n�'�+���i�'�+���8�90��8i&()\>i�+&3$a�[>j��*8�8��*)+Q�W���+��!#��7*��$����8�!i>i&(B3B��]�?!��DE��>i�X�L��&3DR5]�82�a�*)P��/

� ¾

Page 20: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; �e�0�*DE5+B3�*,����+�o9+������8#DR&3)X�*)P�\�*I?�'�0�o�O>j�h7��$��'�*8�! � �+ � �*)09 � �

� � &(!� � � � +L/

; �6�+�m9+�%�'��8#DR&3)X�*)P���*I���7*��$%�'�8#!W�X�*!p�O>j�"�X��!�&($ 5+8��*5���8#�'&3��!�/ � )+� &(!i�'�X���p&3�&(!6B(&3)+����8F&()�����$a�[$��B(C+DE)�!���5X�*8'�L�'��B1b/e�¬�X�L��>j��DR���*)��`bH�'�+&3!6&(!6�'�X�L�9+�%�@� � � °�´�´�´�° � ��� ° � � � �° � � � °�´�´�´�° �L�� �9+�%�@� � � °�´�´�´�° � ��� ° � �° � � � °�´�´�´�° �L�� � 90���@� � � °�´�´�´%° � ��� ° � �° � � � °�´�´�´�° �L���*)+9

9+���@� � � °�´�´�´�° � ��� ° + � @° � �� � °�´�´�´�° �@�� � +�9+����� � � °�´�´�´�° � ��� ° � �° � � � °�´�´�´�° �L��%´�6�+&(!"B3&()+���*8�&1�Ob $��*) �]�¶!#����)¬DE�!#�"���*!#&(B3b �Pb=$��*I��*$%�'�8H�%��5X�*)+!#&(�) &3) �'�0�$��B3C+DR)S¯X/; �6�+� �*�'�+��8��X�*!#&($h5+8#�5���8#�ObZ&1�o�X�*!�&3!o�*)P�'&1 x!#b DEDR�%�'8#b],A&1IE�)+�h!#>i&1�'$a�+��!�O>q�o$��*B(C+DE) 7��$��'�*8�!���)+�*�m)+��$���!�!��*8�&3B3b ��9 � �*$���)P���%�����+��) �'�+�\90���'��8�DE&()X��)`�$a�X�*)+Q��!�!#&(Q)�/�·ª�*86&()+!2�a�*)+$��*�+>i�+��)[� �A �

90���L� � � ° � �° � � ° � ��° � � � � �¶90���@� � � ° � � ° � � ° � ��° � �

��´�6�+&(!i&(!i)+����$��DE5+B(�%�'��B1b"��P7 &(�*C+!6If8��D ���+��$��*I��*$%�'�8i���05+�*)+!�&3�)�90��lX)+&1�'&3�):��*B3���+�C+Q�m���+�65+8#��!���)+$����*I]�'�+�FI���$��'�*8�� ���@� ���� 9+����!�!�C+Q*Q��!2�.���X����!#�DR�6!#�8#��*Ii!�&3Q) $a�X�*)0Q�"DE&(Q�P� ��$�$�C+8k>i�0��) �)+�R!#>i&3��$a�+��!K8#��>i!K�8k$��B(C+DE)+!�/[���>i&(B(B�)+�*�i5+8#��7�?�'�+&3!���)`��&1 x!#b DRDE����8#bR5+8��*5���8#�Ob\�+��8���/

; ��Nx�6�'C08�)+!i�C0�6���X���F���+�?9+������8#DR&3)X�*)P�i&(!F&3)\I��*$��F���+� {LuXs z �%��5+8#��!#!�&(�*)G>i�+&3$a�����%b !?���+��!#�K�O>q�G5+8��*5���8#�'&3��!����*)+9o>i�+&($a�c�*B3!��\�X�*!n���+�S5+8��5]��82�Ob����X���n�'�0�&(9+��)`��&3�ObSDR���'8#&1�m�X�*!.9+������8�DE&()+�*)P�q�)0�*/ �qC��j>j��>i&3B(BX)+�*�j5+8#�@7*�����X���j�+��8#���%/; �6�+�F!'��DR�.I��*$���!J�+�B39k&1I+>q�q8���50BT�*$��q$��*B(C+DE)+!4�`b 8���>i!��P&�/ �*/����+�q90���'��8�DE&()X��)`�&(!?B(&3)+���*8?&3)����*$a� �*IF���+�E8���>i!k!#��5X�*8����'��B3b*�e�*)+9�&3Iq�)+�E!#>i&3��$a�+��! �O>q�¶8#��>i!�'�+��)G���+�?9+������8�DE&()+�*)P�i$a�X�*)+Q��!�!#&(Q)�/; ����)+��>A>i8�&1�'��9+��>i)�!#�DR��5+8#�5���8#��&(��!�8���BT����&()+QK���R�+��>Z90���'��8�DE&()X��)`��!��]�% �X��7��C+)+9+��8���B(��DR��)`�'�*8#b"8���>A�5]��8����'&3�)+!�/

³�¿

Page 21: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�� �@ ª���`�@¥�� � NxI ��&3!���)[�c�¶�cDH����8�&M���+�*)+9 d&3!i���+��DH����8�&M���Z>i&3���G�O>j�9+&(!2�'&()0$���8���>i!�­q�*)09"¯"&()P����8�$a�+�*)+Q��9:�]���+��)[9+����� K� � �¶9+�����*�W�%/?�fNa/ ��/F8���>�5���8'����&(�)0!���Iq�'�0�RlX8#!#���Ob�5]� �+&(5o�'�+�R!�&(Q*)��*Iq�'�+�E9+������8#DR&3)X�*)P����/"�6�+&(!�&(!� C+!#���K8���!#�a�L�'��DE��)P���*I4�'�+���*)P��&(!#b DEDR�%�'82b\5+8��*5���8#�Ob"If�868#��>i!�/

; �e�0�*DE5+B3�*, 90��� � + �� � � � �¶9+�%� � � �

+ � � ´;$# �8��B3BT�*82bH��I � 8��5]��82�Obo�,�NxIJ�O>j�H8#�@>i!��*Ie�EDR���'8#&1� � �*8��n�'�0� !��*DR���+�'�+��)�'�+�?9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�iDmC+!2����� ����8��0/;�� �@ ª���`�@¥�� � NxI ��&3!���)[�c�¶�oDH�L�'8�&M���X�*)+9� d&3!i���+��DH����8�&M� d�+C0�i>i&3����)+�K8���> ­6DmC+B1�'&(50B(&(��9[�Pbo�\!#$��*B(�*8�+@���'�+��)�90���@� K� � +�90���@� �n��/\��Na/ �*/ 8���>�5���8'����&(�)0!k�*Ii�'�0�"!���$��)+9 �Ob 5��\DkC+B3��&(5+B1b��'�+�"90���'��8�DE&()X��)`�m�`b�>i�X������7��8!�$���BT�*8m>q�*!EC+!���9 &()h���+��8���> �5]��8����'&3�)ª��/h�6�+&(!S&(!S�o!�5]��$�&T�*Bq$��*!#�[�*I��'�0�B(&()0���*8#&3�ObR5+8��5]��82�Ob"If�8F���+�?­ ��� 8#��>?/; �e�0�*DE5+B3�*, 9+�%� � � � � �

+ � � � �q9+��� � � �

+ � � ´;$# �8��B3BT�*82bk��I � 8��*5���8#�ObE³�,�&3I��nDH�L�'8�&M� �¬�X��!.�*)+�6�*I�&3�'!�8#��>i!j��^ C+�*B+�'� ����8��+��'�+��)[9+�%�@� �n�F&(! ����8���� � C0!#���*5+5+B1bH���+&(! � 8��*5���8#�Ob\>i&3��� + � ¿P��/;�� �@ ª���`�@¥�� NxI � &3!q��)H�\�E��DR���'8#&1��� �*)+9� &(!��'�+��DH����8�&M� �+C��q>i&3��� +$��5+&3��!��*I]�)0��8#��> ­��*909+��9S�'�?�*)0�*�'�+��8�8���>h¯X����+��)S9+�%�L� K� �¬9+���L� �n��/6��Na/ �*/8���> �*5���8'����&(�)+!J�*I����+�F�'�0&(8�9m�Ob 5]�i9+�?)+�*�.������$%���'�+�69+�%�'��8�DE&()X�*)P�a�%/J�6�0&(!�&(!�S$��)+!#��^`C+��)0$��k��I4���+�?B(&3)+���*8#&3�ObE5+8#�5���8#�Ob"If�*8q�'�+��¯ ��� 8���>?�+$��*Dm�+&()0��9\>i&3����'�+� # �8#�B(B(�*8#bE�'� � 8��5]��82�Ob��H�f>i�Pb��L��/; �e�0�*DE5+B3�*, 9+�%� � � � ��+ � � � �

+ � � � 9+�%� � � �

+ � � ´; ��&(DE&(B(�*8�5+8��5]��82�'&3��!F�+�*B(9HIf�8q��B(��DR��)P�a�*82bH$��B(C+DE)\�5]��8����'&3�)+!n� � C+!#�i8#��5+B(�*$���#8���>�S�Pb �#$��B3C+DE) m�'�+8#�C+Q�0�C0�i&()\���+���*����7*�?���+8���� 508��5]��82�'&(��!a��/

; ���m$��*)�!�C0DRDR�*8�& ���?�'�+�m�*����7*�m�'�+8#���m5+8#�5]��8#��&(��!W&()����+�kIf�B3B(��>i&()0QRB3��DEDH��f>i�+&3$a�G>i&3B(B�!#���*)[�]�n!�C+5]��8#$���9+��9¶�PbG�KDE�8��nQ��)+��8��*B�!#�'���'��DR��)P���%,³ �

Page 22: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�.� �¨H�ª��� NxI�� &(!���)���B(��DR��)`�'�*8#b�DR���'8#&1�����'�+��)?9+���L�*���W� �¬9+���@� �m�090���@� �n��*)+9�9+���@�*� �k� �®9+�%�L�*�W�09+����� �m��/; �6�+&(!�&(!��]��$��*C+!����'�+��9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�.�*I��n�Ob 5�� ����B(��DR��)`�'�*8#bSDR����8�&1�m&(!�����!�&(B1b!�����) �'������ a�h� If8��D � 8��*5���8#�Ob �¶�*5+50B(&(��9=�����'�0��&(90��)P�'&1�Ob=DR����8�&1�+���j�'�0�9+������8�DE&()+�*)P�6�*IJ�K�Ob 5]� ³K��B(��DR��)`�'�*8#bHDH�L�'8�&M�o�fDmC+B1�'&(50B3b &()+Qk�K8���>��Pb +��q&(!���*!#&(B3bo!#����) �'�¶�]� +[�fIf8#�D � 8��5]��82�Obh³���5+5+B(&3��9c�'�[���+�"&39+��)P�'&1�OboDH�L�'8�&M�+�%��*)+9h�'�+�\90���'��8�DE&()X��)`�S��Ip�¶�Ob 5]��-o��B(��DR��)`�'�*8#b�DH�L�'8�&M��&(!K����!�&(B1b�!#����) ����������fIf8��*D � 8��5]��82�Obc-G��5+5+B(&3��9��'���'�0�R&39+��)P�'&1�Ob�DR���'8#&1�+�%/KNO)c5X�*82�'&($�C+BT��8����B(��DR��)P�a�*82b�DR���'8#&($���!n�*B1>F��b !n�X��7�S)+�*)� �����8��\90���'��8�DE&()X��)`�S��8���$��*B3B����X���?&()�'�+�n�Ob 5�� ³K$��*!#�*� +WDmC0!#�i�]��)0�)� �����8#�`�%/; ���S�*8#�K)+��> 8#���*90b��'�\!#�'���'�S�)0�K�*Ij���+�KDE�!#�n&3DR5]�82�a�*)P�n5+8#�5]��8#��&(��!W�*Iq�9+������8�DE&()+�*)P��,�&3�FDR���*!�C+8#��!��+��>A&3)`7*��82�'&(�0B(�?�KDH�L�'8�&M�"&3!�/;=�k§��  ª�@� � �(� �p)��¶���¶DR���'8#&1�R&(!q&()P7��8#�'&3�+B(��&3I4�*)09G�*)+B3bE&3I�&1�'!F90���'��8�DE&1 )X�*)P��&(!6)+�) �����8��+/;�� �@ : �� ��C+5+5]�!�� � &(!4�*)k&3)P7��82�'&3�+B(�����6�RDR���'8#&1��/��6�+��) �Pb � ��DRDR�n��¿0�L&3��&(!�'�+�i5+8#��9+C0$��.�*I���B(��DR��)P�a�*82bmDR���'8#&($���!����&(DE��!e�'�0��&39+��)P��&3�Ob �%�0/��6�+��&39+��)P��&3�Ob���"�+�*!?�")+�)� ����8���9+������8#DR&3)X�*)P��,�9+���@�*���� � �/ ���*$a�o��B(��DE��)P�'�*8#b[DH�L�'8�&M��X�*!F)+�*)� �����8��k9+������8�DE&()+�*)P�?��!#���n������7���%�+!#�K�Pb � ��DEDR�R��W&1I��kDR���'8#&1�E�X��!)+�)� ����8#��9+�%�'��8�DE&()X�*)P���j�'�0��) ��I ����8SDmC+B1�'&35+B3b &()0Q��)=���+�[B3��I �E�8E8�&3Q�P�R�Pb�*)���B(��DE��)P�'�*8#b�DR���'8#&1��&1��!#�'&3B(B:�+�*!p)+�*)� �����8��R9+������8#DR&3)X�*)P��/6��5+5+B3b &3)+QE���+&(!8���5]���L�'��90B3b">j�?!����?�'�+��� ��DmC+!#���X��7*� )+�*)� �����8��S9+�%�'��8�DE&()X�*)P��/� ��>¬$��)P7*��8�!#��B1b\!�C+505��!#�p�'�+��� � �X�*9")+�*)� �����8��k9+������8�DE&()+�*)P��/5�jb � ��DEDH�����>q�E�'�`C+!m!#���R���X��� ��7*��) ��I ����8 �*5+5+B1b�&3)+QG��B(��DR��)P�a�*82bo8���>d�*)+9�$��B3C+DR)�5���8'����&(�)0!���� �k���)0�HDmC+!2�K!#��&(B3B.�*�0�a�*&3) ��DR����8�&1�o>i&1�'� )0�)� �����8#��9+������82 DR&3)X�*)P��/6NO)[5X�*8#��&($�C+BT�*8��ª&()G8���>F O��$a�+��B3�)�If�8#D � DmC+!2�W!2�'&(B3B��X��7�m)0�)� �����8#�9+������8�DE&()+�*)P����>i�0&($a�mDE���*)0!J&()k5X�*8#��&($�C+BT�*8����X���e&1�J$��*)+)+���e$��*)`�'�*&()k�*)Pbk8#��>i!>i�+&($a� �*8��G��)P�'&38���B3b�����8��0/ �6� C0! ���X�*!SIfC+B(B68��*)+�h�J�j>i�+&($a�=DR���*)+!S�'�X������,+� � � � � &(!��)P�'�+/��qC0�W���+��) �o>q�C0B(9��*B3!��R���m�*)+�% ��'�� x�)+���`bG�'�0�9+&(DE��)+!#&(�)K���+���8#��D �!���� � ��DEDH� ³n�*I��������R-�)+�*����!�� �+��)+$�� �\>j�C+B(9R���&()P7��8#�'&3�+B(�?��)+9��+��)+$�����&3!6&()P7��8#�'&3�+B(��/ &

;�� �*�?�)0B3b¶90����!W�'�+�S9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�?DE���*!#C+8��K&3)`7*��82�'&(�0&(B(&1�Ob��&3���*B3!��\DE���*!#C+8���!B(&()0���*8F&3)+9+��5���)+9+��)0$��*/³*³

Page 23: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;��k ª�@  $ $f¨+��� � (� � ��� � � °�´�´�´�° �@� �]�h� $��B3C+DR) 7��$%�'�8#!o&()Z� � / �6�+��)� � °�´�´�´�° �L�E�*8#�nB(&3)+���*8#B3bR9+��5]��)09+��)P��&3IJ�*)+9��)+B1b"&3I�9+�%�@� � � °�´�´�´�° �@�*� � ¿0/

;�� �@ : �� ��C05+5��*!��"�'�+���m9+�%�L� � � °�´�´�´�° �@�� ��¿���!������X���K�Pb��6�+���8#��D �@³G�'�0����H�¶DR���'8#&1�[� � � °�´�´�´�° �L��.&3!q)+�*�j&()P7*��8#��&(�+B3�*/e�6�0��)\�'�+��B(&3)+���*8���8'�*)+!2If�8�DR�L �'&(�*) ������������� � ��� $��*)0)+�*�?�]�m�)+�� x�'�L O�)+�����*)+9�!#�\�'�+��8��K&(!p�")+�)� ����8��\7��$��'�*8¹ºº»� �� �´�´�´��

À�ÁÁ &()\�'�0��)`C+B3B:!�5+�*$����]& / ��/

� � � °�´�´�´%° �@�P�¹ºº»� �� �´�´�´�P�

À�ÁÁ � ¿

�86&()��*���+��86>j�8�9+!� � � � � ´�´�´ � �� �@����¿0°&�/ �*/ � � °�´�´�´�° �L�o��8��\)+�*�mB(&()0���*8#B3bc&()+90��5]��)+9+��)P��/ �6�+�\$��)P7��8�!��G!#�'���'��DR��)P�If�B(B3�@>i!q�`b�8#��7*��8�!#&()+QR�*B3B��'�0� ������7��!#����5+!��*)+9G&(!6B3��I �F���E���+�?8����*9+��8�/ &

;�� �*���p�'�X�L�F&3I��*)+�p>i8�&1�'��!q9+��>i)G� �Ob 5+&($��*B��[�"�¶DR���'8#&1���`�'�+��)"�'�+�W90���'��8�DE&1 )X�*)P�i>i&(B(B�&()�Q��)0��8'��B � C+!#���]��!#�DE��8��*)+9+�*D )`C+Dm�]��8��*)+9�>i&(B3B:C+!�C+�*B(B1b")+�*���� ����8��+/���� �#DE�!#� DR���'8#&($���!j�*8���&()P7��8#��&(�+B3�*� �*)+9 �2DR�!2� �$��B3B(��$��'&3�)+!��*I��7��$%�'�8#!F&()R� � �*8���B(&3)+���*8#B3bk&()+9+��5���)+9+��)`�?� �*)+9H�+��)+$��pIf�8#D � �X�*!#&(!.If�8j� � �!�&()0$��?� � &3!6�] O90&(DE��)+!#&(�)X��B �%/;�� 8#�5]��8#��&(��!k�� ³�� -H�*B3!��HQ*&37�k�E>q��b[���"$��DE5+C0��� ���+�k9+�%�'��8�DE&()X�*)P���*I.�RDR�L �'8�&M�o nC+!#�"8���>_�*)+9h$��B(C+DE)��*5���8'����&(�)+!��'�¶$��)P7��8#�S&3�k&()P�'�[!��DE�"!#�8#�k�*I�'8�&(�*)+QC0BT�*8.�8F9+&(�*Q�)+�*B]If�*8�DG��If�8q>i�0&($a�"�'�0�n9+������8�DE&()+�*)P�6&(!F���*!#bH�'�K$��*DS 5+C0�'������)+9��'�0��)�>j�8����X��$a�`>q�*8#9+!p�'�R8���$���7��8W�'�+���8�&3Q&()+�*B:9+�%�'��8#DR&3)X�*)P���*I�'�+�?DR���'8#&1��/;�����¨( ��&$f� / ��C+5+5]�!��?>j��>i&3!��\�'�E$��DE5+C0���W�'�+�?9+�%�'��8�DE&()X�*)P�i�*I

��, � ¹» � ³ -³ ¸ ¸- ³ �À ´

³�-

Page 24: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

���n5]��82If�8�Dd8���>A�*5���8'����&(�)+!�/ ��C+���'8'��$��'&3)+Qm�O>j�E$��5+&3��!6�*I48���> �WIf8��Dd8���>³S��)+9[C0!�&()0Q � 8#�5���8#�ObG-0��>q����0�'�*&()9+�%�L�*�W� �®9+�%� ¹» � ³ -¿ ¿ �p³- ³ �

À ´��&(DE&(B(�*8�B1bK!�C+���'8'��$��'&3)+QS�'�+8#���?$��50&(��!i�*I�8���> �?If8#�D 8#�@>Z³��0>j� �*�0�a�*&3)

9+�����*�W� �¬9+��� ¹» � ³ -¿ ¿ �p³¿ ��¸ � ½À ´

VW&37 &(9+&3)+Qk���+�n�'�+&38�9�8���>A�Pb ������¸SC+!#&()+Q � 8��5]��82�ObG³��+>j�?��0�a��&()���¸ 90���@� �n� �®90��� ¹» � ³ -¿ ¿ �p³¿ � ³

ÀÂ>i�+&($a�[��I �'��86!#>q�*5+5+&3)+QS�O>q�E8���>i!�C+!�&3)+Q � 8#�5]��8#�Obo�*�+����$��DE��!

�¸ 9+���L� �n� � 90��� ¹» � ³ -¿ � ³¿ ¿ �W³À ´

�qC0�"���+�¶8�&3Q�P�# x�X�*)+9=!�&(90�¶&(!E�'8�&(�*)+QC0BT�*8R�*)+9 �X��!\��9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�"��I��W³�/����)0$�� �� 9+���L� �n� � �p³��+!#�m�'�X�L�69+�����*�W� � � ½ /�� � )+�W$���)G$a�0��$a�H���+&(!FC0!�&()0Q�'�+�G�8�&3Q&()+�*BjIf�8#DmC+B(��If�*8K9+������8�DE&()+�*)P��/=�¬�0&($a� ��5+5+8���*$a� &3!EB3��!#!E>j�8�� ��¬�+&($a�[�*5+5+8#�P�*$a�G&(!6B3��!�!i5+8#�)+�n�'�E�*8#&3���+DR�%�'&3$��*B]��8#8��8 �L�

; ���n)+��>�Q&37*�?�*)+�*���+��86&3DR5]�8#�'�*)P�F5+8#�5]��8#�ObH�*IJ�S90���'��8�DE&()X��)`���0)X��DR��B3bR&3�'!DmC+B3��&(5+B3&($����'&17��5+8��5]��82�'&3��!�/;=�k§��  ª�@� � � � NxI � �*)+9 �*8#�h�A�¬� DR���'8#&($���!��?�'�+��)�9+�����*� m� �9+�����*�n�090���@� K�%/;�� �@ : �� ·J&(8#!#�E!�C+505��!#���'�+��� � &3!R)+���H&3)`7*��82�'&(�0B(�*/=�6�+��) ��®&(!S)+���H�)P�����$�I / � ��DRDR�"³E�*I���������-H)+�*����!a����>i�+&3$a��&(DE5+B(&3��!6�'�X�L� � ��h&(!�)+�*�n�)P����f>i�Pb�� � �*���p�'�X�L�q�'�0�W8'�*)0Q�W�*I � ���DmC+!2�6�]�W$��)P�'�*&()+��9\&()E�'�+�n8��*)+Q���*I����%�ª!#�R�'�+��� � _&3!i)+�*��&()P7��8#��&(�+B3�*/q�6�0��)��PbG�6�+���8���D ��³��X�����'�G!�&(90��!��*I

³L¸

Page 25: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

9+�����*� m� �®9+�����*�n�090���@� K����8�� ����8#�+�P�*)09k>q�q�*8��j9+�)+��/ ��&3DR&3BT�*8#B3b*��!�C+505��!#��'�X��� A&(!�)+�*��&3)`7*��82�'&(�0B(�*/4�6�+��) ���&(!�)+�*�e�*)+�% ��'�� x�)+�*��*)+9K!�� � ��G&3!J)+�*��)+�% ��'�� x�)+�m�f>i�Pb�� � �*���p�'�X�L�F�'�+�p) C0B(B�!#5X�*$��W�*I ��cDmC0!#�6�]�W$��*)`�'�*&()0��9\&()�'�+�?)`C+B(B�!�5X�*$�� ��I � ��4�%/�� � �� &3!i)+�*�i&()P7*��8#��&(�+B3�*/��6�`C+!������'�G!�&(90��!��*8���*QP�*&3) ����8#�+/; �6�+�¶�)+B1b 8���DH�*&3)+&()0Q�$��*!��¶&3!R>i�+��) � �*)09 �*8��[�����'� &3)`7*��82�'&(�0B(�*/ �jb� ��DRDR�"��¿m>j� DR��bH�'�`C+!i>i8�&1�'�

� � � � � � ´�´�´ � � � ��� � � � ´�´�´����>i�+��8#� � � °�´�´�´%° � � ° � � °�´�´�´�° ���F�*8�� ��B(��DR��)P�a�*82b[DR����8�&($���!�/��jbGDR�*)Pb[�*5+5+B3&1 $�����&(�)+!6��I � ��DEDR�"��n>q�?�'�`C+!��X��7�90���L� �n� � 9+�%�@�*� � �09+�%�@�*� � ��´�´�´#9+�%�L� � � ��*)+9 9+�%�@� K� � 9+����� � � �09+����� � � ��´�´�´�90���@� ���2��´

�qC0���*B(!#��� � � � ´�´�´ � � � � ´�´�´�����*)+9�!#�¶�Pbo�a�*�`&()0Q�9+�%�k�*IF���*����!#&(9+��!m�*)+9�C+!�&3)+Q � ��DEDR�c��EDR�*)Pbc��&(DE��!�*QP�*&3)">q����0�'�*&()

9+���L� � K� �®9+���L�*� � ��´�´�´�90���@�*� ���09+�%�@� � � ��´�´�´#9+����� ���O��*)+9?�PbW$��*Dm�+&()0&()+Q6��B(B����+��!#����^`CX����&(�)+!:>j����0�'�*&()W90���L� � K� �®90���L� �n�09+�%�@� m��*!i9+��!#&(8���9:/ &

; � ¨+�L¤4¢ ¤�©�� �6�+��$��8�8#��!�5]�)+90&()+Q !2�a������DE��)P�"If�8H�*9+9+&1�'&3�) &3!R)+���"�'8#C+�¶&()Q��)+��8'�*B �0& / ��/e9+���@�*� � K���� 9+�%�L�*�W� � 9+�%�@� K�j&()HQ��)+��8'�*B /�� # �*)"b*�C\�'�+&3)+�C+5��m$��C0)`����8#�%�0�*DE5+B(� � �e7��)�If�8j9+&T�*Q*�)X�*B]DH�L�'8�&3$���!q�)+�p$��*)\!#���W�'�0&(!q>i&3B(B)+�*�n>j�8��ª/ � )��'�+�S�*���+��8n�+�*)+9:�:>j�S!#�'&3B(B��X��7�SB(&3)+���*8#&3�ObG&()����*$a�c8���> �*)09$��B3C+DR)X�%/;�� �*�����'�X�L���6�+���*8���D ��¸ !�C05���8�$���9+��! � ��DEDR����� �*B3���+�C+Q*��>q�h)0����90��9� ��DRDR�"����*!��*)�&()P����8�DE��90&T�����n!#�'��5G���S5+8���7���6�+���8���DR!��@³K�*)+9o��¸+/

³*

Page 26: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; � � 50�'&3�)X�*BT� < ��DE��Dk����8R�'�0��!#b DRDE����8#b=5+8��*5���8#�Ob 90���@� � � � � 9+�%�L�*�W�E>j�!#�a�L�'��9c����8�B(&3��8 �¬Nx��$���)c)0�@> ���S5+8#��7��9�C+!�&3)+Q\�'�+�S������7�EDR�*$a�+&()0��8#b*/k���!��*�%�'$a� �[508�� �*I6�*!�If�B(B3��>i!�/�·J&38�!#� �*Ii��B(B���&1I � &3! )0�)� O&3)P7��82�'&3�+B(���4���+��) � �&(!n�*B3!��\)+�*)� O&3)`7*��82�'&(�0B(�\� >i�Pb �@������)+9o!��������'��!�&39+��!?��8�� ����8��+/ � ��> &3I � &(!&()P7��8#�'&3�+B(��� ���+��)\�Pb � ��DEDH�E��¿k&3�j&(!.�'�+�p5+8�� 9+C+$%�F�*I���B(��DE��)P�'�*8#bEDR���'8#&($���!�,� � � � � � ´�´�´ � ��*)+9�!�� 9+�%�L�*�W� �®9+�%�L� � � ��´�´�´#9+����� � � ��´

� ) ���+���*���+��8"�+�*)+9:�i�a�*�`&3)+Q �'8��*)+!�5]�!#��!�� �*)09 8���$��*B(B3&()+Qc�'�X�L�"�'8��*)+!�5]�!#�8���7*��8#!���!�DmC+B1�'&(50B(&($����'&3�)E�8�9+��8a�q>j���*�0�a�*&3)� � � � �� ´�´�´ � �� � ���*)+9�!�� 9+�%�@�*� � � � 9+�%�@� � �� ��´�´�´�90���@�*� �� ��´

�qC0���K9+&(8#��$%�i$��DE5+C0�'���'&3�)o��$a�0��$a�`&()+QE�'�+�W���+8����n�Ob�5]��!i�*I���B3��DE��)P�a��8#b"DR�L �'8�&M�¬!���5X�*8����'��B3b0��!#�+��>i!��'�+���G9+���L�*� � � � 90���@�*�m�"If�8���7*��8#b ��B3��DE��)P�a��8#bDH����8�&M����!�� 9+�%�@�*� � � � 9+�%�@� � � ��´�´�´�90���@�*� � ��´�6� C0!�9+�%�@� � � � �®9+�%�L�*�W�F�*!i9+��!#&(8#��9:/YSYSYRYSYUn���DE����8�&3$W&()P�'��8�5+8#���'���'&3�)��*IJ90���'��8�DE&()X��)`��! ���50��&(�)+�*B �

; �6�+&(!\DR���'��8�&(�*Bp&3!"�50��&(�)X��B����*)+9®&(!\��B(!�� )+����$���7��8���9 &() IfC+B3BW9+�%�a�*&3B�/ Nx�&(!?&()P�'��)+9+��9 �)+B1b¶If�8n�'�+�*!��E�*IFb�*C�>i�+���*8��E&()P�'��8���!#�'��9 &()o�'�0�RQ���DE���'8#&($5+8���7��)X�*)+$��k�*I�9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�'!�/; ��5�C0)`��&(B�)+��>Z>j� ' 7�k��8����L�'��9G�'�+� 9+������8#DR&3)X�*)P���*!p�EDkb !#����8�&3�C+!��*B(Q*���+8��*&($�%��5+8���!�!#&(�) >i�+&3$a� �X�*!k��B(��� ��I68���DH�*8#�L�*�+B(�E5+8#�5���8#��&(��!�/ �jC0� >j�"�X��7*��)(' �9+��B17��9�DmC+$a��&3)P�'�[>i�+��� ���+�H90���'��8�DE&()X��)`� �*$%�'CX��B(B3b¶DR���*)+!��J�*)+9c>i�`bc>j��X��7���*)Pb"8#&(Q�P�F���K�X��7�?!�C+$a�[�m8���DH��8��L�*�+B3�W$a�X�*8��*$�����8�&3!#��&($W�*I4DR���'8#&($���!�/�Nx��'C+8#)+!��*C0�i�'�X���i���+� 90���'��8�DE&()X��)`�iDE����!�C+8#��!p!#�DE���'�0&()+QK7��8#b�IfC+)+9+�*DR��)P�a�*B�'�6�'�+��Q*���DE����8#bW��I0� � �@)X�*DE��B1bW�ª O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B@7�B3C+DE�*/4�6�+���)+��$���7*�����4&(!�'�X���q9+������8#DR&3)X�*)P�'!j$��*)\�]�p��&3�'�0��8q5]�!#&3�'&17���8j)0��QP����&37*�*��>i�0&(B(��7�B3C+DE��$��*)

³��

Page 27: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�)+B3bm����5��*!�&3��&37*�*�`!�� 9+������8�DE&()+�*)P�'!j�*8���&()SI��*$��jDE���*!#C+8�&3)+Q �%~ �*u�r � �*{Ls tHr 7�B3C+DR�e>i&1�'� ��!#&(Q)�/F�f�6�+&(!4&(!�!#&(DE&(BT��8��'���+��> �i9+��l+)+&3���.&3)P�'��Q*8'�*B�� ���e� � � � �$��*)S�]��)0��QP����&37*��&1I �\90&(5+!��]��B3�@> �'�0� � �L��&(!��P��7��)R���+�C+Q�K���+� ���*8����nC+)+9+��8�'�+��$�C+827��"&()P�'��8�5+8#���'���'&3�)��*I �e� � �i!#����DR!i�'�E!�C+Q*Q��!2�p�'�+����&()P�'��Q8'�*B3!iDmC+!#��*B3>q��b�!i�]�?5��!#&3��&37���%/

;�� �%� ' !�����Q&()W>i&1�'�?� � /4�6�+��9+������8#DR&3)X�*)P��9+����� � � ���*I0�i!#&()+Q*B(�J7*��$����8 � � � �����&()m� � &3!e�*I]$��C08�!�� �X�>i�+&3$a�S&(!e5+B3C+!��8eDE&()`C+!��'�+�FB3��)+Q��'� � � � ��I]���X����7*��$����8 �5+B(C+!�&3I4�'�0��7*��$����8p&3!�5]�&3)`��&()+QS8#&(Q�P���ª��)+9�DE&()`C+!i&3I��'�+�?7��$����8p&3!�5]�&()P��&()+QB(��I ��/eNO)��'�+�?9+��Q��)+��8'����� $��*!���� � �®¿0�+�'�+�?9+�%�'��8�DE&()X�*)P�i&3!6�*IJ$��C+8#!�� ����8#�+/;�� ��> B(�%� ' ! B3���*�¶����� � �J�*)+9o�'�+&3)+�o�*�]�C0�?�'�0�R9+�%�'��8�DE&()X�*)P��9+�%�L� � � ° � � �W�*I�O>q��7��$%�'�8#! � � ° � � &()�� � /��6�+&(!��'C08�)+!4�C0�4�'�����p��50B(C+!4�8�DR&3)`C+!a���'�0�F�*8#���i�*I�'�+�W5+�*8'�*B3B(��B(�Q8��*D >i&1�'�"!#&(9+��! � � �*)+9 � � �05+B3C+!F&1I � � &3!F�*)P��&($�B3��$a�P>i&3!��p��I � � ��*)+9\DE&()`C+!q&1I � � &3!F$�B3��$a�P>i&3!��W�*I � � /�·X�8q&3)+!#�'�*)+$��*�+9+�%�@�#�2�°a¿�%°@��¿0°��@�#��&3!j�'�0��*8����G�*Ij�'�+�S!#^ C+�*8��E>i&3�'�o!#&(9+��!"� �°a¿P��°@� ¿0°��@�%��& / ��/[�/ � )c���+�E�*�'�+��8?�X�*)+9:�9+������� ¿�°��@�%°��2�°a¿���k&(!K a�G�]��$���C+!�� � ¿0°����K&3!R$�B(� $a�P>i&(!��G�*IE� �°a¿P��/ ��&3DR&3BT�*8#B3b�9+������� -�°a¿P�%°�� ¿0°������.&3!i-0�+�]��$��*C+!��n���+�?8���$%�a�*)0QB(�W>i&1�'�\!�&39+��! ��-0°a¿P����� ¿�°��@�j�X��!�*8����"-0�:��)+9¶9+�%�L����-0°��@��°@� ¿0°��@���F&(!p�*B(!#�"-0������$��*C0!��m�'�0�m5X�*8��*B(B3��B(�*Q8'�*Dd>i&3���!�&(90��! � -0°��@�%°@��¿0°��@���X�*!6�'�0��!��*DE� ��8����S�*!6���+�?5+8��%7�&3�C+!i8���$��'�*)+QB3�*/; �6�+&(!.5X�*8��*B(B3��B(�*Q8'�*D 5+8#�5���8#�ObS$��*)"�]��5+8#��7��)HC+!�&3)+Qk$�8��!#!q5+8#��9+C0$��'!p��8#��$��*B(B�'�X���n���+�K$�8#�!�!?5+8#��90C+$��?$��*)o���SC+!#��9o�'�\DE���*!#C+8��K�'�0�S�*8�������Iq�\5X��8'�*B3B(��BM �Q8'��D"��/�Nx�p&(!p�*B(!#�H&()P����8���!#��&()+QH���H&3)`����8#5+8��%� � 8��5]��82�'&(��!k���³���-RC+!#&()+QH���+&(!�*8����"&()P�'��8�5+8#���a�L�'&(�*):/ � 8��5]��82�Ob �K!'��b !n�'�X�L�n&3I�b*�Co!#>q�*5c���+�k�O>j�\7��$%�'�8#!� � �*)+9 � � �����+��)��'�0�K!�&(Q*)¶�*I��'�+�K90���'��8�DE&()X��)`�W$a�X�*)+Q��!�/ � 8#�5]��8#�Ob�³H!'��b !�'�X���.&1I�b*�CH9+&3BT�����F�)+���*I��'�+�67��$����8�!j�`b +@�P�'�+��)R���+�p��8����?�*I��'�+�i5X�*8��*B(B3��B3�� Q8'�*D_�*B3!��m9+&3BT������!j�`b +m�f)+�*�'���'�X���F&3I%+�&3!F)+��QP���'&17���0�'�+��)\�'�+�W90���'��8�DE&()X��)`�$a�X�*)+Q��!�!�&(Q*):���7*��)S�'�+�*C+Q�K�'�+�i��8����W&3!e�*I]$��*C+8�!#����B3>q��b !�5]�!�&1�'&17�*�*����$��*C+!#�b�C �+&(5����+�H$�B(� $a�P>i&(!���)+��!#!K�*I � � �*)+9 � � ��/ � 8��*5���8#�Ob�-�!'��b !k���X��� &3IFb*�C!�B(&39+�� � �f!'��b0� �Pb �G$��)0!#�a��)`�mDmC+B3��&(5+B3�K�*I � � �J�'�0��) �'�0�"�*8#�����*Iq�'�+�R5X�*82 �*B(B3��B(�*Q8'�*D_9+� ��!�) ' �p$a�X�*)+Q��/S���6�0&(!p&3!�$��)+!#&(!#����)P�W>i&1�'�����+� I��*DE&(B3&T�*8 �#�X�*!#��¬�0��&(Q*�`� EIf�*8�DmC+B(�kIf�8i5X�*8��*B(B3��B(�*Q8'�*DE!. j!#B(&(90&()+Q � � �Pb � � 9+� ��!�)+�*��������$%���&3���+��8F���+�?�X�*!#� �8F���+�?�+��&3Q�P����/

;�� �*���k�*B3!��E�'�X����&3I � � �*)+9 � � �*8#� B3&()+���*8�B1b\9+��5���)+9+��)P�����'�0��)����+��&38�5X��8'�*B3B(��BM �Q8'��D �X�*!��*8#���S¿��+���+&(!6&3!6$��)+!#&(!2�'��)P��>i&3��� # �*8��B3BT�*82b���-�/³ ¼

Page 28: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

;�� ��> B3��� ' !nB(� ��[���?� � �4�*)09o���+&()0���*�]�C0�n�'�0�K9+������8�DE&()+�*)P�?9+���L� � � ° � � ° � � ��*Ik���+8�����7��$����8�![&()�� � / �6�`C+!���C+8�)+!G�C0�G�'� �]� ��50B(C+!��8GDR&3)`C+!a�H�'�0�7�B3C+DR�H�*I����+� }0w*y#w*s s(r%s({a}]~ }Xr �R>i&3��� !#&(9+��! � � ° � � ° � � �fb*�C DH��b 8#��DE��Dm�]��8�'�+&3!iIf8#�D��������¶-P³L�n�%/ª�4�H9+�%�'��8�DE&()+�?5+B3C+!��*8�DE&()`C+!��ª�)+��C+!���!p�'�+��8�&3Q�P�# �X�*)+9 8�C0B(�*,R&3Ii�'�0�"�'�`C+Dm� &(!S�L� � � �*)+9h���+�\!���$��)+9 lX)+Q*��8K&(!m��� � � �q�*)09�'�+�oDE&(9+9+B3��lX)+Q*��8�&(!G��� � � �p�'�0��)¬>q�c�X��7��� 50B(C+!�!�&3Q)¬&3I��'�+&3!\$��*) ����*$a�+&(�%7��9�C+!#&()+Q"���+�K8�&3Q�P�n�X�*)09:���*)+9c�\DR&3)`C+!W!�&3Q)�&3I.&1�W$���)c�]�S�*$a�+&3��7*��9C+!�&3)+Q��'�+�\B3��I �# x�X�*)+9�/ ·X�8K&()0!#�a��)+$����j9+�%�@�#�2�°a¿�°a¿P�%°�� ¿0°��*°a¿P�%°�� ¿0°a¿�°��@����� ���+C0�S9+�%�L����¿0°��°a¿�%°@� �°a¿0°a¿�%°@��¿0°a¿0°�������� � �/�Nx�S&(!S�*) &()0!#�'8#C+$���&37*�\�%����8#$�&(!#��'�c&()P�'��8�5+8#��� � 8#�5]��8#��&(��![�� ³�� -cC0!�&()0Q��'�0&(!SQ���*DR�%�'8�&3$�5+&($%�'C+8#�*�6�*!S>j��B(B��*!# �8��B3BT�*82b���-0/

; �6�+�n�O>q�� x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B�8#C+B(�p�*I �29+������8�DE&()+�*)P�6&(!65]�!�&1�'&17�W&1I � � $�B(� $a�P>i&(!#�n�*I� � �$��*)=���G&()P����8�508�������9 �*!H�c8�&3Q�P�# O�+�*)+9 8�C+B3�GC0!�&()0Q��o�O>q�� x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B�X�*)+9:�:>i�0&(B(� �'�+�S�)+�� O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B48�C0B(�m�*I �#9+�%�'��8�DE&()X�*)P�n&3!W5]�!�&1�'&37*�m&3I � �&(!k�*)��'�+�H8�&(Q*�`� ¶$���)h���R&()P�'��8�5+8#���'��9 �*!m�¶8#&(Q�P�# x�X�*)+9�8�C+B3�HC+!#&()+Qo�[�)+�% 9+&(DE��)+!#&(�)+�*B��X��)+9:/

; �6�+��8#�W&(!j� !#&(DE&(BT��8eB(&3)+�m�]���O>j����)�9+�%�'��8�DE&()X�*)P�q�*)+9"�ª O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B�7�B3C+DR�&()k�0&(Q�+��8J9+&3DR��)+!�&3�)+!�� � -��*�+C0�e&3��&(!J��Iª$��C+8#!��FDkC+$a�KDR�*8��.9+&��E$�C0B3�J���p7 &1 !�CX�*B3& ���*�P�*)09E�]��b*�)+9S�'�+�6!#$��5]�i�*Iª�'�+&3!e$��*C+8�!#�k�f�)+�6)+����9+!�!#�DR�6Q*8��C+)09+&()+Q&()?DR���*!�C08����'�+���8#b*��*)Pb`>F��b*�&()��8�90��8��'��C+)+9+��8�!2�a�*)+9 >i�X�����#�] x9+&(DE��)+!#&(�)+�*B7�B3C+DR��kDE���*)0!�/e��B(!��0���)0�p)+����9+!F�ª O9+&3DR��)+!�&3�)X�*BX�+�*)+9+!�/ ��/5�qC0�F&3)H5X��8#�'&3$% C+BT�*8���>j�S!����m���X���n���+�m7�B3C+DE�k�*Ij�\5X�*8��*B(B3��B(�*5+&(5]��9�>i&3������9+Q��! � � °�´�´�´�° �L�&(!p���+� w � ��{Ls v r �Lw*sªr �*I��'�0�K9+������8�DE&()+�*)P�n9+����� � � °�´�´�´�° �@�P��/H� � �*���m�'�X�L�n&3�9+����!�)(' �j5X�*8#��&($�C+BT�*8#B3bkDH���#�'��8�>i�0���'�0��8j>j�pC0!��p8#��> �8.$��B3C+DR)S7��$����8�!j�+��8#�!�&()0$��?9+�����*� � � �¬9+���@�*�n�#�%/;�� �%� � � °�´�´�´�° �@�p�]�q�"$��B(C0DR)�7��$%�'�8#!�&() � � �*!��p���X���i� � � °�´�´�´%° �L��4&3!e�*)k�?�p�DH����8�&M���0�*)+9G$��)0!�&(90��86�'�+�?B3&()+���*8q�'8��*)+!2If�8�DR���'&3�)

�Z,�� ��� � ������� � ��� ´� �0!���827�?�'�X�L�

�m� �°a¿0°�´�´�´%°a¿P� � � ��m��¿0°��°�´�´�´%°a¿P� � � �´�´�´

³ ½

Page 29: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�k� ¿�°a¿0°�´�´�´%°��@� � �@��f>i�Pb &(!K�'�+&3!K�'�+�G$��*!#� �@� ���c&3I�>q�GB(�%� 0��]�\�'�+�GC+)+&1�R$�C+�]�[>i&3���=��9+Q��!�2�°a¿�°�´�´�´%°a¿P��°�´�´�´%°@� ¿�°a¿0°�´�´�´�°����%�����+��) ��>i&(B3B�DR�*5 0 �'�"���+�m�] x9+&(DE��)0!�&(�*)X�*B5X�*8'��B(B(��B(�50&(5]��9 >i&3��� 7*��$����8�! � � °�´�´�´�° �@� / �fNxImb�*CZ�*8����X��7 &()+Q=9+&��E$�C0B3�Ob&(DR�*Q&()0&()+QR�] O90&(DE��)+!#&(�)X��Be5X�*8��*B(B3��B(�*5+&(5]��9+!���b�*C DH��b � C0!#��>F�*)P���'���'�+&3)+��*���*C0�i�'�+����A-E$��*!#���%/q�6� C0!<�k��0 �i�+�*!�7*�B(C0DR� � 9+�%�@� � � °�´�´�´�° �@�� � �X>i�+&3B(�0 �*I�$��C08�!��o�X��9¬7*�B(C0DR� �*/ �6�`C+! � r ��}0w*u � � �*{Ls�tHr �Pb � I��*$%�'�8H�*I� 9+����� � � °�´�´�´�° �@�P� � /6�6�`C+!p���+� tEw �*uX~ v � r � 9+�����*�W� � �*I��R90���'��8�DE&()X��)`��DE���L !�C+8#��!F�+��>®DmC+$a�R�'�+��B(&()0���*8��'8��*)+!2If�8�DR���'&3�) ��G�%��5X��)+9+!����ª O9+&3DR��)+!�&3�)X�*BT�7�B3C+DR��/

;�����¨( ��&$f�+# �)0!�&(90��86�'�+�?DR���'8#&1���,�� � ¿¿ - �

>i�+&($a�[�*!6>q�?�`)+��>Z�X��!i���+�?$��8#8���!�5]�)+9+&3)+QSB(&()0���*8q��8'�*)0!#If�8#DH����&(�) �e� � � ° ��� � � � � � °a- ��� ��´�6�+&(!e90&(BT�L�'��!��'�0� � � $��� x�8�90&()X�����q�PbmW�*)+9k���+� ��� $��� x�8�90&()X�����j�Pbk-0�!#�?�*8�����f>i�+&3$a�[&3!p³� O9+&3DR��)+!�&3�)X�*B]7�B3C+DR���F&(!6�%��5X��)+9+��9��`bo���/j�6�0&(!i&(!i$��*)+!�&3!#�'��)P�>i&3�'�\90���@� �n� � ���/ � �*���p�'�+���6&3I�>j�?8���5+BT�*$��n-k>i&3���H -0� �'�+��)"�'�+�n90���'��8�DE&1 )X�*)P�.����$��DE��!� a�@W�+C��q��8����?!#��&(B3B0�%��5X��)+9+!q�PbE�WI��*$%�'�8��*I��@E�f>i�Pb��L��/��pB3!��+�&3I�>q�?8#��5+B(�*$��?-m&3)+!#�����*9\>i&3���G¿0�0�'�0��)\�'�+�?9+�%�'��8�DE&()X�*)P�6�]��$��DE��!�¿0/e�¬�X����X�*5+5]��)+!6���E���+���*8����S&3)\�'�+&3!6$��*!#� �

;�����¨( ��&$f� � �@>A$��)+!#&(9+��86�'�+�?DR���'8#&1���,�� � � �¿ � �

>i�+&($a�[�*!6>q�?�`)+��>Z�X��!i���+�?$��8#8���!�5]�)+9+&3)+QSB(&()0���*8q��8'�*)0!#If�8#DH����&(�) ��� � � ° ��� � � � � � � ��� ° ��� �%´

�6�+&(!�DH�L�'8�&M��!#�+���*8#! ���+� � � $��� x�8�9+&3)X�����E�0�8�& ���)P�a��B(B3b��Pb���)��*DE�C+)P� 9+�% 5���)+9+&()0QR�)G�'�+� ��� $��� O�*8�9+&3)X���'���X�+C0�p�*8����E&3!iC+)+$a�X�*)0Q��9 � >i�Pb �cNx�p�X��!����9+�[>i&1�'�o�'�+�E�X�*!#� �Z�+��&3Q�P� If�*8�DmC+B(�"If�8��*8����P�%/"�6�0&(!�&(!?$��)0!�&(!2�'��)`� >i&3����'�+�?9+�%�'��8#DR&3)X�*)P�i�]��&()0QG�*/³ ¾

Page 30: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

; ���H�'�0�kDR�*Q)+&1�'C+9+���*I����+�k9+�%�'��8�DE&()X�*)P�pDR���*!�C+8#��!p���+�k7*�B(C+DE�% x�%��5X�*)09+&()+Q5+8��5]��82�'&3��!?�*Ii��B(&3)+���*8W��8'�*)0!#If�8#DH����&(�)�/R�6�+�R!�&3Q)���I6�[90���'��8�DE&()X��)`�?>i&3B(BDR���*!�C+8#�����+� {Ly%~�r%uXv�w*v�~�{Lu('(}]yar���r%y ��~ u � 5+8#�5���8#��&(��!.�*I:�?��8'�*)+!2If�8�DR����&(�):,�>i&3B(B� �#8�&3Q�P�# x�X�*)+9+��9 �� � ��$��o8#��DR�*&() 8�&3Q�P�# O�+�*)+9+��9�>i�+��)��)0�h�*5+5+B3&(��![�'�0��'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*) � NxIW!#�+�j���+�G9+������8�DE&()+�*)P�R&3!K5��*!�&3��&37*� �6&3I��+��>j��7��8"8�&3Q�P�# �X�*)+9+��9[�*� � ��$%�'!�����$��DE�?B(��I �2 O�X��)+9+��9��0�'�+��)G���+�?9+������8#DR&3)X�*)P�i&(!6)+��QP����&37��/;�����¨( ��&$f� �6�+��8����X��$%�'&3�)[DR����8�&1�

��,�� � � ¿¿ � � �$��8#8���!#5��*)+9+!i�'�S8����X��$%�'&(�*)G���+8��C0Q�\�'�+� � � �@�0&3!�,

�e� � � ° ��� � � � � � ° � ��� ��´Nx��&(!:$�B(����8��'�X�L�4� �#8�&3Q�P�# O�+�*)+9+��9 6�� � ��$��j�f>i�0&($a��&()W�O>j�� O9+&3DR��)+!�&3�)+!���DR���*)+!�*)��*8�8#��> 5]�&3)`��&()+Qm�*)P�'&1 x$�B3��$a�P>i&(!#����>i&(B(B]8����X��$%�i�'�S� �#B3��I �# x�X�*)+90��9 m�*� � ��$%�� �*) �*8#8���>d5��*&()P�'&3)+Q¶$�B3��$a�P>i&3!�����/o�6�+&(!K&3!k>i�Pb 8����X��$%�'&3�)+!K�X��7��)+��QP����&37�9+������8�DE&()+�*)P��/; �6�+&(!�&()P�'��8�5+8#���'���'&3�)[��I�9+������8#DR&3)X�*)P���]�*!�DR���*!�C08�&()0QR�]�*�'�G�'�+��7�B3C+DE�����` 5X�*)+9+&3)+QK�*)09"�'�+�n�8#&(��)`�'���'&3�)H508���!#��827�&3)+QS5+8��*5���8#�'&3��!F��I4�k�'8'��)+!#If�8#DH�L�'&(�*):��*B(!#�¶�*B3B(��> C+!��'�¶&3)P�'��8#5+8��%�m�6�+���8���D ��¸�Q���DR�%�'8#&($���B(B3b*/�·X�8 &3)+!#�'�*)+$��*�e&1I�g,.� � � � � ���05+�*)+9+!S7�B3C+DE�\�`b ��I��*$%�'�8K�*I�¸��*)+9 �X&(5+!K���+���8�&3��)� �a����&(�) �f!���9+��� � �� �� � ��¸+�:>i�+��8#� � &(!W���+�K!#�'�*)+9X��8�9c�8�9+��8���9c�+�*!�&3!a�%�4�*)09, ,P� � � � � ����5X�*)+9+!i7�*B(C+DE�W�Pb��kI��*$%�'�86�*I�-S�*)+9G�*B3!�� �X&35+!F�'�0�n�8�&3��)� �a����&(�)[��!#�k9+�%� � , �� � ��-P��� ���+��)"�*)+��$��*)H)0�@> !�����>i�Pb , � !#�+�C+B39H�%��5X��)+97�B3C+DR�n�Pb���³S��)+9[508���!#��827�k�*8�&(��)P�a����&(�)c�f!��E9+��� � , �� �� � � �@³�%/

; ���j)+��>h$�B3�!��.>i&3�'�k��B3&3����B(�eB3��DEDH�6�'�+���J!���b�!4�'�X�L�������a���*�q���+�j90���'��8�DE&()X��)`��*Ie�KDR���'8#&1���0&1�i9+� ��!�) ' ��DR��������8F>i�X�����X��!�&(!Fb*�C�C0!��*/;�.� �¨d� �(� NxI��O>j�hDR���'8#&($���!\�*8#�¶!�&3DR&3BT�*8��j�'�0��) �'�+�%b �X��7*�¶�'�+��!��*DR�9+������8�DE&()+�*)P��/;�� �@ : �� NxI �=&(!J!#&(DE&(B(�*8:�'� R�*�'�+��) � 0 ��� ��0®If�8�!��DE�q&3)P7��82�'&3�+B(�.DH�L�'8�&M�0E/��6�`C+!��`b"�6�+���8#��D���-

90���L� K� � 9+�%�@��0 �����09+�%�@�*�W�09+������0 � �®9+�%�L�*�W�09+������0 ���#�09+������0 �-*¿

Page 31: + k&()+&1'&TB:DHL'8&M - UCLA Mathematics

�®9+�%�L�*�W�09+������0 ��� 0k� � 90���@� �n�09+�%�@� ���� �¬9+���@�*�n��*!i9+��!#&(8���9:/ &

;��k ª�@  $ $f¨+���Z� � ��� ���<� ,ª� � � � � �]�K�"B(&3)+����8���8'�*)+!2If�8�DR����&(�):���*)+9�B(����.°�� � �]�R�O>j�¶�8#9+��8#��9 �X��!���! If�8 � � /��6�+��) �'�+�RDH�L�'8�&3$���! � �� �� �*)+9 � �� � ��

��X��7�?�'�+�?!'��DR�n9+�%�'��8�DE&()X�*)P��/;�� �@ : ���� ·X8��D BT�*!2�e>q������' !q)+�*����!�>j���`)+��> ���X��� � �� �� ��)+9 � �� � ��

�*8#�6!�&3DR&3BT�*8���*)+9\�'�+�?8#��!�C0B3�iIf�B(B3��>i!qIf8��D � ��DRDR�"�@�/ &

-��