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Introducción Modelo factorial ortogonal Construcción del modelo factorial: método de componentes principales Construcción del modelo factorial: método de máxima verosimilitud Análisis factorial y componentes principales
1
4. ANÁLISIS FACTORIAL
ANÁLISIS FACTORIAL
Introducción
2
Las variables dependen de factores inobservables.
Los factores latentes explican comportamientosvisibles en las variables.
El objetivo es analizar si hay factores (menosque variables) que expliquen dichas variables.
Modelo factorial ortogonal
Sea
Factores comunes:
3
mF
F
F 1
VX
EXcon
X
X
X
p
1
Factores específicos o errores:
m
1
Matriz de cargas:
pmpxmpmpp
m
m
lll
lll
lll
L
21
22221
11211
ANÁLISIS FACTORIAL
Nota:lij=carga de Xi sobre Fj
Modelo factorial ortogonal
Matricialmente, el modelo factorial es:
4ANÁLISIS FACTORIAL
LFX
Escribiéndolo de forma desarrollada, quedaría
pmpmpppp
mm
mm
FlFlFlX
FlFlFlX
FlFlFlX
2211
2222212122
1121211111
Modelo factorial ortogonal
5ANÁLISIS FACTORIAL
IFFEFVyFEi )'()(0)()(
Si se cumplen estas tres condiciones se dice que el modelo es factorial ortogonal.
Requisitos:
m
EVyEii
0
0
)'()(0)()(1
),cov(0''
:osincorreladson )(
FEFFE
Fyiii
Modelo factorial ortogonal
6ANÁLISIS FACTORIAL
iiiimiiii hlll
LLi
222
221
')(
Observaciones:
La variabilidad de la variable i se descompone enparte común (se puede medir) y específica (nose puede medir).
Comunalidad (hi2)
Especificidad
LFXii ),cov( )(
Modelo factorial ortogonal
7ANÁLISIS FACTORIAL
Ejemplo
(i) Número de variables y de factores.(ii) Descomponer VX en comunalidad y especificidad.(iii) cov(X3,X2).(iv) cov(X3,F2).
68472312
473852
2355730
1223019
8EJEMPLOS
Modelo factorial ortogonal
9ANÁLISIS FACTORIAL
(iii) No siempre existe un modelo factorial ortogonal.
(iv) Si existe modelo factorial no siempre es único (si tiene más de un factor, no es único).
Modelo factorial ortogonal
10ANÁLISIS FACTORIAL
Ejemplo
Analizar si existe un modelo unifactorial paraexplicar estas tres variables:
3
2
1
14,07,0
4,019,0
7,09,01
X
X
X
X
Construcción del modelo factorial:método de componentes principales
11ANÁLISIS FACTORIAL
Si tiene los siguientes autovalores y autovectores,
Sea
'.
'
'
'''
11
11
222111
LL
e
e
ee
eeeeee
pp
pp
ppp
.;1
LFX
VX
EXy
X
X
X
p
0),(,),,( 111 ppp conee
la descomposición exacta de es
Construcción del modelo factorial:método de componentes principales
12ANÁLISIS FACTORIAL
Si tiene los siguientes autovalores y autovectores
La descomposición exacta de tiene p factores; se puede utilizar la matriz para disminuir el número de factores.
,0),(,),,( 111 ppp conee
Construcción del modelo factorial:método de componentes principales
13ANÁLISIS FACTORIAL
,
0
0111
11
pmxp
mm
pxmmmpxp
e
e
ee
la descomposición de es
donde .2iiii h
Entonces .' LL
Construcción del modelo factorial:método de componentes principales
14ANÁLISIS FACTORIAL
con y S
Entonces
Modelo factorial muestral
,~
'~~
1
1
111
LLXX
X
X
X
XX
XX
X
pnpn
p
Construcción del modelo factorial:método de componentes principales
15ANÁLISIS FACTORIAL
0ˆˆ)ˆ,ˆ(,),ˆ,ˆ( 111 ppp conee
donde los autovalores y autovectores son
y la matriz de cargas
mmeeL ˆˆˆˆ~
11
Además, 221
2 ~~~imii llh
Nota: Análogamente para R
Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud
16ANÁLISIS FACTORIAL
Sea donde
'
),,(~LL
LFXNX p
n
iiinnp
n
iiip
in
xLLxLL
xx
xfxxf
1
12/2/
1
12/12/
1
)()'()'(2
1exp
')2(
1
)()'(2
1exp
)2(
1
)(),,(
Y sea
Sean que maximizan ).,,( ˆ,ˆ,ˆ1 nxxfL
Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud
17ANÁLISIS FACTORIAL
Propiedades
No hay óptimo único: se requiere
La solución se obtiene computacionalmente. Las comunalidades son
)(' 1 diagonalLL
221
2 ˆˆˆinii llh
Construcción del modelo factorial:método de máxima verosimilitud
18ANÁLISIS FACTORIAL
No se obtiene el mismo resultado por el método de máxima verosimilitud que por componentes principales.
La proporción de varianza explicada por el factorj-ésimo calculada por máxima verosimilitud es:
pp
i
ss
h
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2ˆVarianza total
Nota: Análogamente para R
Análisis factorial y componentes principales
19ANÁLISIS FACTORIAL
El análisis factorial y el análisis de componentes principales están muy relacionados entre sí, peroexisten varias diferencias:
Mientras que el análisis de componentes principales busca hallar combinaciones lineales delas variables originales que expliquen la mayor parte de la varianza total, el análisis factorial pretende hallar un nuevo conjunto de variables no observables, menoren número que las variables originales, que exprese la mayor parte de la varianza común.
Análisis factorial y componentes principales
20ANÁLISIS FACTORIAL
El análisis factorial supone que existen factorescomunes subyacentes a todas las variables, mientrasque el análisis de componentes principales, no.
21EJEMPLOS
23EJEMPLOS
24EJEMPLOS
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27EJEMPLOS
28EJEMPLOS
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30EJEMPLOS
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32EJEMPLOS
33EJEMPLOS
34EJEMPLOS
37EJEMPLOS
39EJEMPLOS
48EJEMPLOS
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