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Introducción Construcción de correlaciones canónicas Correlaciones canónicas para variables estandarizadas
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5. CORRELACIONES CANÓNICAS
CORRELACIONES CANÓNICAS
Introducción
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Dadas las variables
donde es siempre la de menor dimensión, sequiere identificar y cuantificar asociaciones entre las dos variables.
,)2(
)2(1
)2(
)1(
)1(1
)1( qp
X
X
Xy
X
X
X
qp
)1(X
CORRELACIONES CANÓNICAS
Introducción
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Procedimiento:
Construir combinaciones lineales con máximacorrelación. Después, obtener otras combinaciones lineales con máxima correlación e incorreladas con las anteriores.
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A estas combinaciones lineales se les llama variablescanónicas, y las correlaciones entre ellas son lascorrelaciones canónicas. Sean
.;;2221
1211
)2(
)1(
)2(
)1(
VXEXX
XX
El objetivo es sustituir la información en por unaspocas combinaciones lineales muy asociadas entre sí.
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VX(2)
VX(1)
EX(2)
EX(1)
CORRELACIONES CANÓNICAS
Construcción de correlaciones canónicas
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Sean
)2()2(
)1()1(
)2()2(11
)2(
)1()1(11
)1(
')'()(
')'()(
,'
'
bXbEVE
aXaEUE
qpXbXbXbV
XaXaXaU
pp
con
CORRELACIONES CANÓNICAS
Construcción de correlaciones canónicas
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bbaa
baVUcorr
baVU
bbXbVVV
aaXaVUV
2211
12
12
22)2(
11)1(
''
'),(
'),cov(
')'()(
')'()(
CORRELACIONES CANÓNICAS
Construcción de correlaciones canónicas
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El primer par de variables canónicas (U1,V1) está formado por variables de varianza unidad que maximizan la correlación entre U y V.
El segundo par de variables canónicas (U2,V2) está formado por variables de varianza unidad, incorreladas con (U1,V1), que maximizan la correlación entre ellas. ... El k-ésimo par de variables canónicas (Uk,Vk) está formado por variables de varianza unidad, incorreladas con las k-1 anteriores, que maximizan la correlación entre ellas.
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Construcción de correlaciones canónicas
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Teorema
Sea con
)2(
)2(1
)2(
)1(
)1(1
)1( ;;
qp X
X
X
X
X
Xqp 122211 ,,
Sea de rango completo.
Sean combinaciones lineales.)2()1( '' XbVyXaU
*1, ),(max VUCorrba
)2(2/12211
)1(2/11111 '' XfVyXeU
Entonces
se obtiene con
mayor autovalor de 2/11121
12212
2/111
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El k-ésimo par de variables canónicas, k = 2,3,...,p, es
)2(2/122
)1(2/111 '' XfVyXeU kkkk
y maximiza entre todas lascombinaciones lineales incorreladas con los k-1pares de variables canónicas anteriores.
*),( kkk VUCorr
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Además, son los autovalores de**2
*1 p
2/11121
12212
2/111
y los correspondientes autovectores.
También, son los autovalores de
y los correspondientes autovectores.
peee ,,, 21
**2
*1 p
2/12212
11121
2/122
qfff ,,, 21
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Construcción de correlaciones canónicas
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jiVUCov
jiVVCov
jiUUCov
kiVVUV
ji
ji
ji
ii
0),(
0),(
0),(
,...,11)()(
Se verifica que:
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Construcción de correlaciones canónicaspara variables estandarizadas
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Teorema
Sea con
)2(
)2(1
)2(
)1(
)1(1
)1( ;;
qp Z
Z
Z
Z
Z
Zqp
12)2()1(
22)2(
11)1(
),()()(
ZZCovZVZV
donde ek y fk son los autovectores dey de
El k-ésimo par de variables canónicas, k = 1,2,3,...,p, es
,'' )2(2/122
)1(2/111 ZfVyZeU kkkk
2/1
112112212
2/111
.2/12212
11121
2/122
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Construcción de correlaciones canónicaspara variables estandarizadas
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Se tiene que , k = 1,2,...,p, donde son los autovalores de cualquierade las dos matrices anteriores.
*),( kkk VUCorr **
1 p
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Ejemplo
7231
2613
3152
1328
1
0
2
3
2221
1211
)2(
)1(
Calcular las correlaciones canónicas ., *2
*1
15EJEMPLOS
16EJEMPLOS
17EJEMPLOS
18EJEMPLOS
19EJEMPLOS
20EJEMPLOS
21EJEMPLOS
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