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“Hand with Reflection Sphere (Self-Portrait in Spherical Mirror)”

por M.C. Escher

Física 3 | Óptica

Esfera oca de vidro

Espelhos Esféricos: Geometria

Física 3 | Óptica

Centro

de

curvaturaC

Esfera oca de vidro


Física 3 | Óptica

C

Esfera oca de vidro


Física 3 | Óptica

plano

de

secção

calota

esférica

Esfera oca de vidro


Física 3 | Óptica

plano

de

secção

calota

esférica


Física 3 | Óptica Espelhos Esféricos: Geometria

Física 3 | Óptica

C

espelho

côncavo


Física 3 | Óptica

C

espelho

convexo


Física 3 | Óptica

CC


Física 3 | Óptica

CC

Espelhos Esféricos: Simbologia

Física 3 | Óptica

CC V Veixo principal eixo principal

LUZ LUZ

espelho

côncavoespelho

convexo

Espelhos Esféricos: Simbologia

Física 3 | Óptica

C V

Entrou paralelo

sai “mais ou menos”

pelo ponto médio

entre C e V.

Espelhos Esféricos: Reflexão

Física 3 | Óptica

C V

Entrou pelo centro,

volta sobre si

mesmo.

Incidência

“normal”

i = 0o

r = 0o

Espelhos Esféricos: Reflexão

Física 3 | ÓpticaExercício

1Espelhos Esféricos: Reflexão

(Fuvest 2015) A luz solar incide

verticalmente sobre o espelho esférico

convexo visto na figura. Os raios refletidos

nos pontos A, B e C do espelho têm,

respectivamente, ângulos de reflexão qA, qB

e qC, tais que

a) qA > qB > qC

b) qA > qC > qB

c) qA < qC < qB

d) qA < qB < qC

e) qA = qB = qC


1Espelhos Esféricos: Reflexão

Resolução

a) qA > qB > qC

b) qA > qC > qB

c) qA < qC < qB

d) qA < qB < qC

e) qA = qB = qC

Física 3 | Óptica

C Vq

1a condição

de nitidez de Gauss

Abertura menor

do que 10º

q < 10º

Condições de Nitidez de Gauss

Física 3 | Óptica

C V

2a condição

de nitidez de Gauss

Raios paraxiais


Física 3 | Óptica

2a condição

de nitidez de Gauss

Raios paraxiais

1a condição

de nitidez de Gauss

Abertura menor

do que 10º

q < 10º

Espelhos que obedecem às duas condições

de nitidez de Gauss são chamados de

espelhos gaussianos (ou ideais).

Eles têm funcionamento ideal, ou seja,

formam imagens nítidas.

Para cada ponto objeto eles formam um

único ponto imagem.


Física 3 | Óptica Condições de Nitidez de Gauss

C V

Espelhos gaussianos

têm foco bem definido

F

Entrou paralelo

ao eixo principal

sai pelo foco

Telescópio newtoniano

FOCUS = FOGO

http://fisicamoderna.blog.uol.com.br/arch2013-09-01_2013-09-07.html




http://fisicanaveia.blogosfera.uol.com.br/2016/04/21/como-e-possivel-acender-a-tocha-olimpica-com-a-luz-sol/

http://fisicanaveia.blogosfera.uol.com.br/2016/04/21/como-e-possivel-acender-a-tocha-olimpica-com-a-luz-sol/

Física 3 | Óptica

C V

Espelhos gaussianos


F

Entrou pelo foco

sai paralelo

ao eixo principal

Princípio da

Reversibilidade


Física 3 | Óptica

C VF

ff

R = f + f = 2f

O raio de curvatura

mede o dobro da

distância focal

CF FV f 2CV R f

Espelhos gaussianos



Física 3 | Óptica

(Fuvest-SP) Um holofote é constituído por dois

espelhos esféricos côncavos E1 e E2, de modo que

a quase totalidade da luz proveniente da lâmpada

L seja projetada pelo espelho maior E1, formando

um feixe de raios quase paralelos. Nesse arranjo,

os espelhos devem ser posicionados de forma que

a lâmpada esteja aproximadamente:

a) nos focos dos espelhos E1 e E2.

b) no centro de curvatura de E2 e no vértice de E1.

c) no foco de E2 e no centro de curvatura de E1.

d) nos centros de curvatura de E1 e E2.

e) no foco de E1 e no centro de curvatura de E2.

Para que os raios de luz sejam

refletidos paralelamente ao eixo principal de E1,

a lâmpada deve estar localizada no ponto focal

desse espelho. Por outro lado, os raios de luz

que atingem E2 devem retornar pela mesma

trajetória a fim de passarem pelo ponto focal de

E1. Logo, a lâmpada deve estar localizada sobre

o centro de curvatura de E2.

Condições de Nitidez de GaussExtra

1

Resolução

Física 3 | Óptica

Entrou paralelo,

sai pelo foco

Entrou paralelo ao eixo principal

reflete passando pelo foco

Propriedades Notáveis

Física 3 | Óptica

Entrou pelo foco,

sai paralelo.

Entrou pelo foco

reflete paralelamente ao eixo principal


Física 3 | Óptica

Entrou pelo centro,

volta sobre si

Mesmo.

Entrou pelo centro

reflete sobre si mesmo


Física 3 | Óptica

Entrou pelo vértice,

sai simétrico em

relação ao eixo.

O raio que incide no vértice do espelho

reflete simetricamente em relação ao eixo principal


Física 3 | Óptica

Entrou paralelo ao eixo

sai pelo focoC VF

côncavo


Física 3 | Óptica


sai pelo focoCV F

convexo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco

Entrou pelo foco sai

paralelo ao eixo

C VF

côncavo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco


paralelo ao eixo

CV F

convexo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco


paralelo ao eixo

Entrou pelo centro sai

pelo centro

C VF

côncavo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco


paralelo ao eixo


pelo centro

CV F

convexo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco


paralelo ao eixo


pelo centro

Entrou pelo vértice sai

simétrico em relação ao

eixo

C VF

côncavo


Física 3 | Óptica


sai pelo foco


paralelo ao eixo


pelo centro

Entrou pelo vértice sai

simétrico em relação ao

eixo

CV F

convexo


Física 3 | Óptica

C VF

•Caso I – objeto antes do C

1) Natureza

REAL

2) Posição

entre C e F

3) Orientação

INVERTIDA

4) Tamanho

MENOR

Características

da Imagem

côncavo

Imagens em Espelhos Esféricos

Física 3 | Óptica

C VF

•Caso II – objeto sobre C

1) Natureza

REAL

2) Posição

Sobre C

3) Orientação

INVERTIDA

4) Tamanho

IGUAL

Características

da Imagem

côncavo


Física 3 | Óptica

C VF

•Caso III – objeto entre C e F

1) Natureza

REAL

2) Posição

antes de C

3) Orientação

INVERTIDA

4) Tamanho

MAIOR

Características

da Imagem

côncavo


Física 3 | Óptica

C VF

•Caso IV – objeto sobre F

1) Natureza

IMPRÓPRIA

2) Posição

NO INFINITO

3) Orientação

INDEFINIDA

4) Tamanho

INDEFINIDO

Características

da Imagem

côncavo


Física 3 | Óptica

C VF

•Caso V – objeto entre F e V

1) Natureza

VIRTUAL

2) Posição

Depois de V

3) Orientação

DIREITA

4) Tamanho

MAIOR

Características

da Imagem

côncavo


Física 3 | Óptica

C VF

•RESUMINDO

côncavo


Física 3 | Óptica

C VF

côncavo

•RESUMINDO


Física 3 | Óptica

C VF

•RESUMINDO

côncavo


Física 3 | Óptica

convexo

CV F

1) Natureza

VIRTUAL

2) Posição

entre V e F

3) Orientação

DIREITA

4) Tamanho

MENOR

Características

da Imagem

•Caso único – objeto diante do espelho


Física 3 | Óptica

CV F

1) Natureza

VIRTUAL

2) Posição

entre V e F

3) Orientação

DIREITA

4) Tamanho

MENOR

Características

da Imagem


convexo


Física 3 | Óptica



Física 3 | Óptica

CV F

•RESUMINDO

convexo


Física 3 | Óptica

•CONCLUSÕES

OBJETO REAL E IMAGEM REAL OBJETO REAL E IMAGEM VIRTUAL

IMAGEM

INVERTIDA

IMAGEM

DIREITA

OBJETO TENDE

PARA O INFINITO

IMAGEM TENDE

PARA O FOCO

OBJETO TENDE

PARA O FOCO

IMAGEM TENDE

PARA O INFINITO

ENTRE O OBJETO E

SUA IMAGEM:

O MAIS AFASTADO

DO ESPELHO É

SEMPRE O MAIOR



2Imagens em Espelhos Esféricos

(Unesp 2016) Quando entrou em uma ótica para comprar novos óculos, um rapaz

deparou-se com três espelhos sobre o balcão: um plano, um esférico côncavo e um

esférico convexo, todos capazes de formar imagens nítidas de objetos reais colocados

à sua frente. Notou ainda que, ao se posicionar sempre a mesma distância desses

espelhos, via três diferentes imagens de seu rosto, representadas na figura a seguir.

Em seguida, associou cada imagem vista por ele a um tipo de espelho e classificou-as

quanto às suas naturezas. Uma associação correta feita pelo rapaz está indicada na

alternativa:

a) o espelho A é o côncavo e a imagem conjugada por ele é real.

b) o espelho B é o plano e a imagem conjugada por ele é real.

c) o espelho C é o côncavo e a imagem conjugada por ele é virtual.

d) o espelho A é o plano e a imagem conjugada por ele é virtual.

e) o espelho C é o convexo e a imagem conjugada por ele é virtual.

Convexo: o único

que produz imagem

virtual e menor

Côncavo: o único

que produz imagem

virtual e maior

Plano: imagens sem

aumento ou redução

Física 3 | Óptica Estudo analítico das imagens

C VFp ou p’

ou f

eixo das

abscissas

eix

o d

as

ord

en

ad

as

o ou i


C VF

eixo das

abscissas

p: abscissa do objeto

•p > 0: objeto real

(na frente do espelho)

•p < 0: objeto virtual

(atrás do espelho)

objeto

imagem

abscissa do objeto

p ou p’

ou f


C VF

eixo das

abscissas

objeto

imagem

abscissa da imagem

p ou p’

ou f





(atrás do espelho)

p': abscissa da imagem

•p' > 0: imagem real


•p’ < 0: imagem virtual

(atrás do espelho)


C VF

eixo das

abscissas

objeto

imagem

abscissa do foco

p ou p’

ou f





(atrás do espelho)

f: abscissa do foco

•f > 0: foco real

(na frente do espelho:

côncavo)

f < 0: foco virtual

(atrás do espelho:

convexo)

p': abscissa da imagem

•p' > 0: imagem real


•p’ < 0: imagem virtual

(atrás do espelho)


C VF

eix

o d

as

ord

en

ad

as

o ou i

o: ordenada do objeto

•o > 0: objeto para cima

•o < 0: objeto para baixo

objeto

imagem


C VF

o: ordenada do objeto

•o > 0: objeto para cima

•o < 0: objeto para baixo

objeto

imagem

i: ordenada da imagem

•i > 0: imagem para cima

•i < 0: imagem para baixo

eix

o d

as

ord

en

ad

as

o ou i


1 1 1

f p p '

Equação dos pontos conjugados


iA

o

Imagem direita

(i )A( )

o( )

(i )A( )

o( )

A > 0

Imagem invertidaA < 0

Regra de sinal de A

Imagem para cima

Objeto para cima

Imagem para baixo

Objeto para baixo

Aumento Linear Transversal

(i )A( )

o( )

(i )A( )

o( )

Imagem para cima

Objeto para baixo

Imagem para baixo

Objeto para cima


iA

o

Imagem direita

(i maior )Ao(menor )

A > 0


Regra de sinal de A

Imagem maior

do que o objeto

Imagem ampliada|A| > 1

Imagem reduzida

Regra de valor para |A|

|A| < 1

Imagem e objeto têm

mesmo tamanho|A| = 1

(i menor )Ao(maior )

Imagem menor

do que o objeto

i oA 1o o

Imagem com o mesmo

tamanho do objeto

(i = o)



iA

o

Imagem direitaA > 0


Regra de sinal de A

Imagem ampliada|A| > 1

Imagem reduzida

Regra de valor para |A|

|A| < 1

Imagem e objeto têm

mesmo tamanho|A| = 1

i p ' fAo p f p

Demonstra-se ainda que:


Física 3 | Óptica

Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de distância focal 20 cm,

deseja-se projetar sobre um anteparo uma imagem três vezes maior que o objeto.

Determine:

a) a posição do objeto.

b) a posição da imagem.

Resolução

•f = 20 cm

•Imagem projetada tem que ser real (logo, invertida)

•A = - 3 (3 pois é 3 vezes maior que o objeto, - porque é invertida)

p'A

pa)

p'3

p

p '3p

p' 3p

1 1 1

f p p '

1 1 1

20 p 3p

1 3 1

20 3p

1 4

20 3p3p 4 20

80p

3

80p cm 26,7 cm

3

Exercício

3Estudo analítico das imagens

Física 3 | Óptica

Mediante a utilização de um espelho esférico côncavo, de distância focal 20 cm,

deseja-se projetar sobre um anteparo uma imagem três vezes maior que o objeto.

Determine:

a) a posição do objeto.

b) a posição da imagem.

Resolução

p' 80 cm

b) p' 3p (obtido em “a”)

80p' 3

3

i p ' fAo p f p

a) Outro modo:

fA

f p

20320 p

20320 p

3(20 p) 20 60 3p 2080

p cm3

Exercício




(Unifesp 2016) Na entrada de uma lojade conveniência de um posto decombustível, há um espelho convexoutilizado para monitorar a região externada loja, como representado na figura. Adistância focal desse espelho tem móduloigual a 0,6 m e, na figura, pode-se ver aimagem de dois veículos que estãoestacionados paralelamente e em frente àloja, aproximadamente a 3 m de distânciado vértice do espelho. Considerando queesse espelho obedece às condições de nitidez de Gauss, calcule:a) a distância, em metros, da imagem dos veículos ao espelho.b) a relação entre o comprimento do diâmetro da imagem do pneu de um dos carros,indicada por d na figura, e o comprimento real do diâmetro desse pneu.

Resolução a) 1 1 1

f p p'

1 1 1

0,6 3 p'

1 1 1

0,6 3 p'

1 1 1

6 3 p'

1010 1 1

6 3 p'

10 2 1

6 p'

12 1

6 p'

6p' 0,5 m12

| p' | 0,5 m



(Unifesp 2016) Na entrada de uma lojade conveniência de um posto decombustível, há um espelho convexoutilizado para monitorar a região externada loja, como representado na figura. Adistância focal desse espelho tem móduloigual a 0,6 m e, na figura, pode-se ver aimagem de dois veículos que estãoestacionados paralelamente e em frente àloja, aproximadamente a 3 m de distânciado vértice do espelho. Considerando queesse espelho obedece às condições de nitidez de Gauss, calcule:a) a distância, em metros, da imagem dos veículos ao espelho.b) a relação entre o comprimento do diâmetro da imagem do pneu de um dos carros,indicada por d na figura, e o comprimento real do diâmetro desse pneu.

Resolução b) i p '

o p

d 0,5

o 3

d 1

o 6



(PUC-SP 2016) Determine o raio de curvatura, em cm, de um espelho esférico que

obedece às condições de nitidez de Gauss e que conjuga de um determinado

objeto uma imagem invertida, de tamanho igual a 1/3 do tamanho do objeto e

situada sobre o eixo principal desse espelho. Sabe-se que distância entre a

imagem e o objeto é de 80 cm.

a) 15 b) 30 c) 60 d) 90

Resoluçãop' 1

Ap 3

3 p' p

p p' 80

p p' 80 3 p' p' 80 2 p' 80 p' 40 cm

p 3 p' 3 40 p 120 cm

1 1 1

f p p'

1 1 1

f 120 40

1 1 3

f 120

1 4

f 120f 30 cm

R 2 f 2 30 60 cm



(UEM 2011) Um objeto real, direito, de 5 cm de altura, está localizado entre dois

espelhos esféricos, um côncavo (R = 10 cm) e um convexo (R = 30 cm), sobre o

eixo principal desses espelhos. O objeto está a uma distância de 30 cm do espelho

convexo e de 10 cm do espelho côncavo. Com relação às características das

imagens formadas nos dois espelhos e ao aumento linear transversal, analise as

alternativas a seguir e assinale a que for correta.

01 A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e menor que o objeto.

02 As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são, respectivamente, 5

cm e –15 cm.

04 O aumento linear transversal da imagem formada no espelho convexo é 0,5x.

08 O aumento linear transversal da imagem formada no espelho côncavo é 4x.

16 A imagem formada no espelho côncavo é real, invertida e igual ao objeto.

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Exercício


Resolução

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm

01 A imagem formada no espelho convexo é virtual, direita e

menor que o objeto.

f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Exercício


Resolução

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

02 As distâncias focais dos espelhos côncavo e convexo são,

respectivamente, 5 cm e –15 cm.

Exercício


f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Resolução

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

04 O aumento linear transversal da imagem formada no espelho

convexo é 0,5x.

'

2' ' ' '

2 2 2 2 2 2

1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1p 10 cm

f p p 15 30 p p 15 30 p 30

'

22

2

p ( 10 cm) 1A 0,33

p 30 cm 3

Exercício


f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Resolução

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

08 O aumento linear transversal da imagem formada no espelho

côncavo é 4x.

'

11

1

p 10 cmA 1

p 10 cm

Exercício


f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Resolução

Física 3 | Óptica

10 cm 30 cm

F1 C1

F2

15 cm

16 A imagem formada no espelho côncavo é real,

invertida e igual ao objeto.

Soma = 01 + 02 + 16 = 19

Exercício


f1 = R1/2 = 10/2 = 5 cm f2 = R2/2 = - 30/2 = - 15 cm

Resolução



(FMJ 2016) Um objeto é colocado perpendicularmente sobre o eixo principal de

um espelho esférico de distância focal 2 m, que atende às condições de nitidez de

Gauss. A imagem formada é virtual, direita e com o dobro do comprimento

do objeto. Nas condições descritas, relativas à natureza e à posição da

imagem formada, determine:

a) o tipo do espelho esférico empregado.

b) a distância, em metros, do objeto ao vértice do espelho esférico.

Resolução

a) Espelhos convexos só conjugam imagem reduzida. Portanto, se a imagem é

ampliada, o espelho só pode ser côncavo.

b) f 2 m;

p'A 2

pp' 2 p

'

1 1 1

f p p'

1 1 1

2 p p

p' 2 p

'

1 1 1

2 p p

1 1 1

2 p 2 p

1 1 1

2 p 2 p

1 2 1

2 2 p

1 1

2 2 p2 p 2 p 1m



(FMJ 2016) Um objeto é colocado perpendicularmente sobre o eixo principal de

um espelho esférico de distância focal 2 m, que atende às condições de nitidez de

Gauss. A imagem formada é virtual, direita e com o dobro do comprimento

do objeto. Nas condições descritas, relativas à natureza e à posição da

imagem formada, determine:

a) o tipo do espelho esférico empregado.

b) a distância, em metros, do objeto ao vértice do espelho esférico.

Resolução

a) Espelhos convexos só conjugam imagem reduzida. Portanto, se a imagem é

ampliada, o espelho só pode ser côncavo.

b) f 2 m;

fA

f p

222 p

22 p

22 p 1 2 p 1 p 1 2 p 1m

Outro modo

Chegamos, obviamente, à mesma resposta.

Mas por um caminho mais curto, sem ter que

resolver um sistema de equações lineares!



(PUC-SP) A litografia produzida pelo artista

gráfico holandês M. C. Escher (1898-1972)

comporta-se como um espelho convexo, no

qual o artista, situado a 90 cm do espelho,

observa sua imagem, refletida na superfície

da esfera refletora, com um tamanho dez

vezes menor. Nessas condições, o módulo

da distância focal do espelho, em

centímetros, é igual a:

a) 1

b) 3

c) 5

d) 10

e) 20


8

Resposta : D

p = 90 cm A = 1/10' '

'p 1 pA p 9 cm

p 10 90 cm(p’ < 0: imagem virtual)

'

1 1 1

f p p

1 1 1

f 90 9

1 1 1

f 90 9

f 10 cm

1 1 10

f 90

fA

f p

| f | 10 cm

f = ?

i p ' fAo p f p

1 f

10 f 90f 90 10f 90 10f f 90 9f

| f | 10 cm Resposta : Df 10 cm

Estudo analítico das imagens

Resolução

Outro modo

Chegamos, obviamente, à mesma resposta.

Mas por um caminho mais curto!



(Unesp 2012) Observe o adesivo plástico apresentado no espelho côncavo de raio

de curvatura igual a 1,0 m, na figura 1. Essa informação indica que o espelho

produz imagens nítidas com dimensões até cinco vezes maiores do que as

de um objeto colocado diante dele.

Considerando válidas as condições de nitidez e Gauss para esse espelho, calcule

o aumento linear conseguido quando o lápis estiver a 10 cm do vértice do espelho,

perpendicularmente ao seu eixo principal, e a distância em que o lápis deveria

estar do vértice do espelho, para que sua imagem fosse direita e ampliada cinco

vezes.


9

p = 10 cm R = 1,0 m = 100 cm

'

1 1 1

f p p

f = R/2 = 100 cm / 2 = 50 cm

'

1 1 1

50 10 p '

1 1 1

50 10 p '

1 5 1

50 p '

1 4

p 50

'p 12,5 cmp'

Ap

12,5

10A 1,25

A = ?

p = ? f = 50 cm

p'A

p

A = + 5

p'5

pp' 5p

'

1 1 1

f p p

1 1 1

50 p 5p

1 1 1

50 p 5p

1 5 1

50 5p

1 4

50 5p

5p 200 p 40 cm


Resolução


9

p = 10 cm R = 1,0 m = 100 cm f = R/2 = 100 cm / 2 = 50 cm

fA

f pA 1,25

A = ?

p = ? f = 50 cm A = + 5

50A50 10

i p ' fAo p f p

fA

f p

50550 p

5(50 p) 50 50 p 10 p 40 cm


Outro modo

Outro modo


10

a) Se um objeto real estiver no centro de curvatura de um espelho esférico

sua imagem será real, direita e de mesmo tamanho que a do objeto.

b) Os raios de luz que incidem, fora do eixo principal, sobre o vértice de um

espelho esférico refletem-se passando pelo foco desse espelho.

c) Os espelhos esféricos côncavos só formam imagens virtuais, sendo

utilizados, por exemplo, em portas de garagens para aumentar o campo

visual.

d) Os espelhos convexos, por produzirem imagens ampliadas e reais, são

bastante utilizados por dentistas em seu trabalho de inspeção dental.

e) Os espelhos utilizados em telescópios são côncavos e as imagens por

eles formadas são reais e se localizam, aproximadamente, no foco desses

espelhos.

Telescópio

newtoniano

invertida

simetricamento ao eixo principal

convexos

côncavos


(UFTM 2012) Sobre o comportamento dos espelhos esféricos, assinale a

alternativa correta.

Física 3 | ÓpticaExtra

2

(Mackenzie) Um objeto real O encontra-se

diante de um espelho esférico côncavo, que

obedece as condições de Gauss, conforme o

esquema adiante. A distância x entre o objeto

e o vértice do espelho é:

a) 6,0 cm b) 7,0 cm c) 8,0 cm

d) 9,0 cm e) 11,0 cm

1 1 1

f p p '

Resolução p = x; p’ = - (21-x); f = 10 cm;

1 1 1

10 x 21 x( )

1 1 1

10 x 21 x( )

1 21 x x

10 x 21 x

( )

( )

x 21 x 10 21 2x( ) ( ) 221x x 210 20x 241x x 210 0

2x 41x 210 0

x < 21 cm, x < 10 cm.

Descartada!



2

2x 41x 210 0

2 41 41 4 1 210b b 4acx

2a 2 1

( ) ( )² .

41 1681 840

2

41 841

2

41 29

2

41 29x

2'

7035 cm 21 cm

2

41 29x

2'

126 cm

2


(Mackenzie) Um objeto real O encontra-se

diante de um espelho esférico côncavo, que

obedece as condições de Gauss, conforme o

esquema adiante. A distância x entre o objeto

e o vértice do espelho é:

a) 6,0 cm b) 7,0 cm c) 8,0 cm

d) 9,0 cm e) 11,0 cmDescartada!

Resolução p = x; p’ = - (21-x); f = 10 cm; x < 21 cm, x < 10 cm.



(Unesp) Um estudante compra um espelho retrovisor esférico convexo para sua

bicicleta. Se ele observar a imagem de seu rosto conjugada com esse espelho, vai

notar que ela é sempre:

a) direita, menor que o seu rosto e situada na superfície do espelho.

b) invertida, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

c) direita, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

d) invertida, maior que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

e) direita, maior que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.



Um espelho esférico convexo forma sempre uma imagem direita, virtual, situada

atrás do espelho e menor que o objeto.

(Unesp) Um estudante compra um espelho retrovisor esférico convexo para sua

bicicleta. Se ele observar a imagem de seu rosto conjugada com esse espelho, vai

notar que ela é sempre:

a) direita, menor que o seu rosto e situada na superfície do espelho.

b) invertida, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

c) direita, menor que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

d) invertida, maior que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

e) direita, maior que o seu rosto e situada atrás da superfície do espelho.

Resolução


4

(Unicamp - adaptada) O telescópio Hubble, lançado em 1990, representou um

enorme avanço para os estudos astronômicos. Por estar orbitando a Terra a 600

km de altura, suas imagens não estão sujeitas aos efeitos da atmosfera. A figura a

seguir mostra um desenho esquemático do espelho esférico primário do Hubble,

juntamente com dois raios notáveis de luz. Se F é o foco do espelho, desenhe, na

figura a seguir, a continuação dos dois raios após a reflexão no espelho.



5

(Unesp) Em uma reportagem da revista Pesquisa Fapesp (nº 117 – novembro de

2005), foi relatada uma experiência realizada no Instituto de Tecnologia de

Massachusetts (MIT), na qual se buscava verificar a possibilidade real de incendiar

um navio, utilizando-se espelhos posicionados sobre um arco de circunferência de

raio R, conforme se supõe tenha sido feito por Arquimedes na cidade grega de

Siracusa, em sua luta contra a invasão romana. Considerando que o navio a ser

queimado estivesse a 40 m de distância do espelho, qual seria o raio de curvatura

do arco de circunferência necessário para posicionar o foco desse espelho

côncavo exatamente no ponto requerido? Nos seus cálculos, considere que o

espelho seja ideal e que o Sol, o espelho e o navio estejam quase que alinhados.



5

Para ser queimado, o navio deve estar no foco do espelho. Logo, a

distância entre o navio e o espelho (40 m) é a distância focal (f). Portanto, f = 40 m.

O raio de curvatura do espelho deve ter o dobro da distância focal, ou seja,

R = 2f = 2.40 = 80 m.

(Unesp) Em uma reportagem da revista Pesquisa Fapesp (nº 117 – novembro de

2005), foi relatada uma experiência realizada no Instituto de Tecnologia de

Massachusetts (MIT), na qual se buscava verificar a possibilidade real de incendiar

um navio, utilizando-se espelhos posicionados sobre um arco de circunferência de

raio R, conforme se supõe tenha sido feito por Arquimedes na cidade grega de

Siracusa, em sua luta contra a invasão romana. Considerando que o navio a ser

queimado estivesse a 40 m de distância do espelho, qual seria o raio de curvatura

do arco de circunferência necessário para posicionar o foco desse espelho

côncavo exatamente no ponto requerido? Nos seus cálculos, considere que o

espelho seja ideal e que o Sol, o espelho e o navio estejam quase que alinhados.

Resolução



6

Um objeto real, de altura 6,0 cm, está a 2,0 m diante de um espelho esférico

côncavo, de distância focal 1,0 m. Determine:

a) graficamente, as características da imagem.

b) analiticamente, a posição e o tamanho da imagem.



6

Um objeto real, de altura 6,0 cm, está a 2,0 m diante de um espelho esférico

côncavo, de distância focal 1,0 m. Determine:

a) graficamente, as características da imagem.

b) analiticamente, a posição e o tamanho da imagem.

o = 6 cm p = 2 m f =1 m p = 2f (objeto sobre C)

a) b) 1 1 1

f p p '

1 1 1

1 2 p'

Caso II

Imagem real, invertida, de

mesmo tamanho que o objeto,

posicionado exatamente sobre o

centro de curvatura C.

1 1 1

1 2 p'

1 1

2 p'p' 2 m

i p '

o p

i 2m

6cm 2mi 6 cm

As mesmas características obtidas em “a”, ou seja:

imagem real (p > 0), invertida (A < 0), de mesmo

tamanho que o objeto (|i| = |o| = 6 cm, posicionado

exatamente sobre o centro de curvatura C (p’ = 2 m = R

= 2f)

p'A

p

2mA

2mA 1

Resolução



7

01 A reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice do espelho é

denominada de eixo secundário.

03 O ponto de encontro dos raios refletidos ou de seus prolongamentos, devido

aos raios incidentes paralelos ao eixo principal, é denominado de foco principal.

05 O espelho côncavo tem foco virtual, e o espelho convexo, foco real.

07 Todo raio de luz que incide passando pelo foco, ao atingir o espelho, é

refletido paralelo ao eixo principal.

09 Quando o objeto é posicionado entre o centro de

curvatura e o foco do espelho côncavo, conclui-se que a

imagem é real, invertida e maior do que o objeto.

(UFPE 2011) Em relação aos espelhos esféricos, analise as proposições que se

seguem.

A soma dos números entre parênteses que correspondem aos itens corretos é igual a:

a) 25 b) 18 c) 19 d) 10 e) 9



7

01 A reta definida pelo centro de curvatura e pelo vértice do espelho é

denominada de eixo secundário.

03 O ponto de encontro dos raios refletidos ou de seus prolongamentos, devido

aos raios incidentes paralelos ao eixo principal, é denominado de foco principal.

05 O espelho côncavo tem foco virtual, e o espelho convexo, foco real.

07 Todo raio de luz que incide passando pelo foco, ao atingir o espelho, é

refletido paralelo ao eixo principal.

09 Quando o objeto é posicionado entre o centro de

curvatura e o foco do espelho côncavo, conclui-se que a

imagem é real, invertida e maior do que o objeto.

O correto seria eixo primário!

Exatamente ao contrário!

É o caso 3 de formação de imagens em espelhos côncavos!

(UFPE 2011) Em relação aos espelhos esféricos, analise as proposições que se

seguem.

A soma dos números entre parênteses que correspondem aos itens corretos é igual a:

a) 25 b) 18 c) 19 d) 10 e) 9


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