ακολουθια fibonacci

26
ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο α και ένα μικρό β, έτσι ώστε να ισχύει: =φ= 1,618

Upload: harav24

Post on 06-Jul-2015

207 views

Category:

Documents


2 download

TRANSCRIPT

Page 1: ακολουθια Fibonacci

ΧΡΥΣΗ ΤΟΜΗ

Είναι χωρισμός ενός ευθύγραμμου τμήματος ΑΒ

σε δύο τμήματα, ένα μεγάλο α και ένα

μικρό β, έτσι ώστε να ισχύει:

=φ= 1,618

Page 2: ακολουθια Fibonacci

Ο αριθμός φ είναι η θετική ρίζα της εξίσωσης :

φ² - φ – 1 = 0

Μπορείτε να τη βρείτε;

Page 3: ακολουθια Fibonacci

Ακολουθία Φιμπονάτσι και αριθμός φ

Αν διαιρέσουμε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci

( κάθε όρο προς τον προηγούμενο του ) θα βρούμε τον αριθμό φ =1,618 .Ο αριθμός αυτός ονομάζεται χρυσός κανόνας ή χρυσή αναλογία και πήρε το όνομα του από τον γλύπτη Φειδία.Ποια άραγε η σχέση τους

Page 4: ακολουθια Fibonacci

ΑΚΟΛΟΥΘΙΑ Fibonacci

(Από τη Βικιπαίδεια, την ελεύθερη εγκυκλοπαίδεια)

Στα Μαθηματικά, οι Αριθμοί Φιμπονάτσι είναι οι αριθμοί της παρακάτω ακέραιης ακολουθίας:

0, 1, 2 ,3 , 5 , 8 ,13 ,21 ,34 ,55 ,89 …………Εξ ορισμού, οι πρώτοι δύο αριθμοί Φιμπονάτσι είναι το 0 και το 1, και κάθε επόμενος αριθμός

είναι το άθροισμα των δύο προηγούμενων.Η Ακολουθία Φιμπονάτσι ονομάστηκε έτσι από τον Λεονάρντο της Πίζας, γνωστό και ως

Φιμπονάτσι

Page 5: ακολουθια Fibonacci

Πότε εμφανίστηκε πρώτη φορά;

Η ακολουθία των αριθμών Fibonacci

εμφανίζεται πρώτη φορά στα μαθηματικά των Ινδών.

Στη δύση, τους συναντάμε πρώτη φορά

στο βιβλίο Liber Abaci ( το 1202 μ.Χ) ή βιβλίο των υπολογισμών του Λεονάρντο της Πίζας, γνωστού και ως Φιμπονάτσι ,όπου είναι γραμμένο το εξής πρόβλημα:

Page 6: ακολουθια Fibonacci

Ακολουθία Fibonacci και κουνέλια

Κάποιος τοποθέτησε σε έναν αποκλεισμένο τόπο ένα ζευγάρι κουνελιών. Τα κουνέλια αυτά αναπαράγονται με ρυθμό ένα νέο ζευγάρι το μήνα και κάθε νέο ζευγάρι γίνεται γόνιμο δύο μήνες μετά κι αναπαράγεται με τον ίδιο ρυθμό. Πόσα ζευγάρια κουνελιών έχουν παραχθεί σε έναν χρόνο από το αρχικό ζεύγος; ( στο τέλος του 12ου μήνα είναι 466 κουνέλια ,γι΄αυτό και «μάστιγα»)

Page 7: ακολουθια Fibonacci

Ο αριθμός ζευγαριών των κουνελιών που υπήρχαν στην έναρξη κάθε μήνα είναι :1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, ...

Αριθμός Ζευγαριών

Page 8: ακολουθια Fibonacci

Η φύση γνωρίζει μαθηματικά;

Εκπληκτικός όμως είναι ο τρόπος με τον οποίο οι αριθμοί Φιμπονάτσι εμφανίζονται στη φύση. Είναι το αριθμητικό σύστημα της φύσης. Τους συναντάς παντού, στη διάταξη των φύλλων ενός φυτού,

στο μοτίβο των πετάλων ενός λουλουδιού, στο άνθος της αγκινάρας, σε ένα κουκουνάρι ή στο φλοιό ενός ανανά.

Ισχύουν για την ανάπτυξη κάθε ζωντανού οργανισμού, ενός κυττάρου, ενός κόκκου σιταριού, μιας κυψέλης μελισσών, ακόμη και για όλη την ανθρωπότητα.

Page 9: ακολουθια Fibonacci

Λουλούδια και Fibonacci

Αν μετρήσει κανείς τα πέταλα ενός λουλουδιού, θα διαπιστώσει ότι ο αριθμός τους είναι συχνά 3, 5, 8, 13, 21, 34 ή ακόμα και 55. Σπάνια θα συναντήσουμε λουλούδι με δύο πέταλα. Υπάρχουν εκατοντάδες είδη, τόσο άγρια όσο και καλλιεργημένα με πέντε πέταλα.

Page 10: ακολουθια Fibonacci

Όπως οι μαργαρίτες

Τα πέταλα στις μαργαρίτες συνήθως είναι

13, 21 ,34 ( οι κίτρινες μαργαρίτες του αγρού έχουν 34 πέταλα)

Page 11: ακολουθια Fibonacci
Page 12: ακολουθια Fibonacci

Ηλίανθοι

Οι σπόροι του ηλίανθου κατανέμονται κυκλικά. Η σπείρα είναι προς τα έξω ενώ έχει διπλή κατεύθυνση, δηλαδή και όπως κινούνται οι δείκτες του ρολογιού και αντίστροφα από το κέντρο του λουλουδιού. Ο αριθμός των σπειρών στο κάθε φυτό δεν είναι ίδιος. Γιατί γενικά είναι είτε 21 και 34, είτε 34 και 55, είτε 55 και 89, ή 89 και 144; Ο αριθμός των σπειρών ενός ηλίανθου και προς τις δύο κατευθύνσεις είναι δύο διαδοχικοί αριθμοί στην ακολουθία Fibonacci.

Page 13: ακολουθια Fibonacci
Page 14: ακολουθια Fibonacci

Η ακολουθία Φιμπονάτσι εμφανίζεταιστις βελόνες αρκετών ειδών έλατου ,στακουκουνάρια κτλ

Page 15: ακολουθια Fibonacci

Και σε πολλά άλλα φυτά!!!

Page 16: ακολουθια Fibonacci

Περισσότερες εικόνες και πληροφορίες :

στο link http://anoixti-matia.blogspot.gr/2012/09/blog-post_1165.html

Page 17: ακολουθια Fibonacci

Αστρολούλουδο

Page 18: ακολουθια Fibonacci

καμπανούλες

Page 19: ακολουθια Fibonacci

Πικραλίδα και καλέντουλα

Page 20: ακολουθια Fibonacci

Ο αριθμός Φ

Αν διαιρέσουμε δύο οποιουσδήποτε διαδοχικούς όρους της ακολουθίας Fibonacci

( κάθε όρο προς τον προηγούμενο του ) θα βρούμε τον αριθμό φ =1,618 .Ο αριθμός αυτός ονομάζεται χρυσός κανόνας ή χρυσή αναλογία και πήρε το όνομα του από τον γλύπτη Φειδία.Ποια άραγε η σχέση τους;

Page 21: ακολουθια Fibonacci

Χρυσό ορθογώνιο

Ένα ορθογώνιο τετράπλευρο του οποίου ο λόγος των πλευρών ( μήκος προς πλάτος ) είναι ίσος με φ,δηλαδή που οι διαστάσεις του είναι διαδοχικοί όροι της ακολουθίας Fibonacci ονομάζεται Χρυσό Ορθογώνιο.

Page 22: ακολουθια Fibonacci

Γιατί χρυσό;

Η αρχαία αρχιτεκτονική είναι γεμάτη από χρυσά ορθογώνια αλλά εκτός από την τέχνη, τη γεωμετρία και άλλες ανθρώπινες ασχολίες, ο χρυσός κανόνας συναντάται πολύ συχνά και στη φύση.Παρουσιάζει εξαιρετική αρμονία όπου εμφανίζεται γι΄αυτό και « χρυσό»

Page 23: ακολουθια Fibonacci

Λογαριθμική έλικα και αριθμός Φ

Αν σε κάθε τετράγωνο του σχήματος σχεδιάσουμε ένα τεταρτοκύκλιο θα δημιουργηθεί μια έλικα που είναι η λογαριθμική έλικα.

Page 24: ακολουθια Fibonacci

Διάφορες εφαρμογές

• Σε πολλά όστρακα,όπως ο ναυτίλος

Page 25: ακολουθια Fibonacci

• Στους κυκλώνες όπως τους φωτογραφίζουμε από δορυφόρους

Page 26: ακολουθια Fibonacci

• Στους γαλαξίες με τα αμέτρητα αστέρια