对 偶 理 论 (duality theory)

86
(Duality Theory) 对对对对对对对 对对对对对对对对对 对对对对对对对对对 ---- 对对对对 对 对 对 对 对 对

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对 偶 理 论 (Duality Theory). 对偶问题的提出. 线性规划的对偶理论. 对偶问题的经济解释 ---- 影子价格. 对 偶 单 纯 形 法. 灵 敏 度 分 析. 单件 产 消耗 品 资源. 甲. 乙. 资源限制. A. 5. 2. 170 (钢材). B. 2. 3. 100 (煤炭). C. 1. 5. 150 (设备). 单件利润. 10. 18. - PowerPoint PPT Presentation

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Page 1: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

对 偶 理 论(Duality Theory)

对偶问题的提出

线性规划的对偶理论

对偶问题的经济解释 ---- 影子价格

对 偶 单 纯 形 法

灵 敏 度 分 析

Page 2: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划( LP )必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题,即任何一个求 maxZ 的 LP 都有一个求 minZ 的 LP 。其中的一个问题叫“原问题”,记为“ P”,另一个称为“对偶问题”,记为“ D”。

例一、资源的合理利用问题 已知资料如表所示,问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大?

1810单件利润150 (设备)51C

100 (煤炭)32B

170 (钢材)25A

资源限制乙甲单件 产 消耗 品资源

一、问 题 的 提 出

Page 3: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0,

1505

( 10032

17025

1810max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ

原问题)

数学模型:

下面从另一个角度来讨论这个问题: 假定:该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品,而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务,只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准(合理的)?

Page 4: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

分析问题: 1 、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润; 2 、定价又不能太高,要使对方能够接受。

Wyyy

yyy

yyy

yyy

yyy

321

321

321

321

321

150100170

0,,

18532

1025

,,

以表达:就目标而言,用下式可

有下式:

单价,所以分别为三种资源的收费设

Page 5: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

一般而言, W 越大越好,但因需双方满意,故

321 150100170min yyyW 为最好。

该问题的数学模型为:

0,,

18532

1025

150100170min

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyyW

(对偶问题)

Page 6: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0,

1505

( 10032

17025

1810max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ

原问题)

0,,

18532

1025

150100170min

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyyW

(对偶问题)

模型对比:

Page 7: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例二、合理配料问题,其数学模型为:

0

min

1

1

j

m

iijij

n

jjj

x

bxa

xcZ

假设工厂想把这 m 种营养成分分别制成一种营养丸销售,问如何定价(以保证总收入为最多)?

Page 8: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0

max

1

1

i

n

jjiij

n

jii

y

cya

ybW

(对偶问题)

有下列式子:

原问题 对偶问题目标函数 max min

约束条件 ≤ ≥

变量数量 约束条件个数约束条件个数 变量数量

Page 9: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例三、

2 3

x1 x2 原问题12 y1 2 2 ≤ 12

8 y2 1 2 ≤ 8

16 y3 4 0 ≤ 16

12 y4 0 4 ≤ 12

对偶问题 2 3

Page 10: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

1 、对称型对偶问题:已知 P ,写出 D 。

0X

bAX

CXmaxZ

P矩阵形式:

二、线性规划的对偶理论

(一)、对偶问题的形式

0Y

CYA

min

YbWD

Page 11: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例一、写出线性规划问题的对偶问题

0,,

564

3 7 3

2 532

432max

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxZ

解:首先将原式变形

0,,

5 64

3 7 3

2532

432max

321

321

321

32

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxZ

Page 12: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

注意:以后不强调等式右段项 b≥0,原因在对偶单纯型表中只保证 而不保证 ,故 b可以是负数。

0j 01 bB

0,,

4675

343

232

532min

321

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

yyyW对偶问题:

Page 13: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

2 、非对称型对偶问题

0X

bAX

max

CXZP矩阵形式:

无符号限制(无约束)

min

Y

CYA

YbWD

Page 14: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例二、原问题

0,,

564

373

2532

432max

321

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxZ

无约束

解:对偶问题为

,,

4675

34 3

2 32

532min

321

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

yyy

yyyW

Page 15: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

2 、混合型对偶问题

无约束

无约束

矩阵形式:

231

2323222121

1313212111

332211

21

3232131

2222121

1212111

2211

,0,0

min

,0

max

YYY

CAYAYAY

CAYAYAY

YbYbYbWD

XX

bXAXA

bXAXA

bXAXA

XCXCZP

Page 16: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例三、

无约束4321

4321

421

4321

4321

,0,,0

6 43 2

47 23

523 4

532max

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxxZ

原问题

Page 17: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

无约束321

321

31

321

321

321

,0,0

1 72

54 3

332

2234

645min

yyy

yyy

yy

yyy

yyy

yyyW

对偶问题

Page 18: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

综上所述,其变换形式归纳如下:原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题)

目标函数 max 目标函数 min

约束条件

m 个 m 个变量

≤ ≥0

≥ ≤0

= 无约束

变量

n 个 n 个 约束条件

≥0 ≥

≤0 ≤

无约束 =

约束条件右端项 目标函数变量的系数目标函数变量的系数 约束条件右端项

Page 19: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例四、线性规划问题如下:

无约束、 4321

432

431

4321

4321

0 0

6

442 2

5 3

532min

,xxx,x

xxx

xxx

xxxx

xxxxZ

Page 20: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

无约束

对偶问题:

321

321

321

31

21

321

,0,0

1 4

523

3

2 2

645max

yyy

yyy

yyy

yy

yy

yyyW

Page 21: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

无约束、, 4321

4321

432

4321

4321

321

321

321

321

321

,00

24732

543

0432

4323min2

0,,

564

37 3

2532

422min.1

xxxx

xxxx

xxx

xxxx

xxxxZ.

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxZ练习:

Page 22: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

无约束

答案:

321

321

321

321

31

321

321

321

321

321

321

y0,y0,y

44y4y4y

37y3y3y

23yy 2y

32y y

253max.2

0.yy0,y

46y7y5y

24yy 3y

2y 3y2y

532max.1

yyyW

yyyW

Page 23: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

min Z’= - CX

s.t. - AX≤- b

X ≥0

1 、对称性定理:对偶问题的对偶是原问题。

min W= Y b

s.t. YA ≥ C

Y ≤ 0

max Z=C X

s.t. AX≥b

X ≥0

对偶的定义

对偶的定义

max W’ = -Yb

s.t. YA≥ C

Y ≤ 0

(二)、对偶问题的性质

Page 24: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

2 、弱对偶原理(弱对偶性):设 和 分别是问题( P )和( D )的可行解,则必有

__

X__

Y

n

j

m

iiijj byxcbYXC

1 1

____

,即

推论⑴ .若 和 分别是问题( P)和( D)的可行解,则 是( D)的目标函数最小值的一个下界; 是( P)的目标函数最大值的一个上界。

__

XC bY__

__

X__

Y

Page 25: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

推论⑵ . 在一对对偶问题( P )和( D )中,若其中一个问题可行但目标函数无界,则另一个问题不可行;反之不成立。这也是对偶问题的无界性。

无可行解

关于无界性有如下结论:

问题无界无可行解问题无界对偶问题原问题

0,0

2

4

2max

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZ

无界

如:

(原)

0,0

1

2

24min

21

21

21

21

yy

yy

yy

yyW

无可行解

(对)

Page 26: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

推论⑶ . 在一对对偶问题( P )和( D )中,若一个可行(如 P ),而另一个不可行,(如 D ),则该可行的问题无界。

例一、

0

20232

20322

432max

41

4321

4321

4321

x

xxxx

xxxx

xxxxZ

试估计它们目标函数的界,并验证弱对偶性原理。

( P )

Page 27: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

解:

0,0

423

332

2 2

12

2020min

21

21

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

yy

yyW

( D )

由观察可知: = ( 1.1.1.1 ) T , =( 1.1 ),分别是( P )和( D )的可行解。 Z=10 ,W=40 ,故有 ,弱对偶定理成立。由推论⑴可知, W 的最小值不能小于 10 , Z 的最大值不能超过40 。

__

XC bY__

__

X__

Y

Page 28: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例二、已知

0,,

12

2

2max

321

321

321

21

xxx

xxx

xxx

xxZ

: p

0,

0

2

12

2min:

21

21

21

21

21

yy

yy

yy

yy

yyWD

试用对偶理论证明原问题无界。

解: = ( 0.0.0 ) T 是 P 的一个可行解,而 D 的第一个约束条件不能成立(因为 y1 , y2 ≥0) 。因此,对偶问题不可行,由推论⑶可知,原问题无界。

__

X

Page 29: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例 3、已知

0,

1

1

max :

21

21

21

21

xx

xx

xx

xxZP

0,

1

1

min :

21

21

21

21

yy

yy

yy

yyWD

显然,这两个问题都无可行解。

Page 30: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

3 、最优性判别定理: 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b ,

则 X*. Y* 分别是问题 P 和 D 的最优解。

例如,在例 1中,可找到 X*= ( 0.0.4.4) T, Y*= ( 1.2 , 0.2 ) ,则 Z* =28 , W* =28. 故 X* .Y*

分别是 P 和 D 的最优解。

Page 31: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

4、对偶定理(强对偶性): 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解,则它们都有最优解,且目标函数的最优值必相等。

推论⑷ . 若 P 和 D 的任意一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数的最优值相等。

综上所述,一对对偶问题的关系,只能有下面三种情况之一出现:①. 都有最优解,分别设为 X* 和 Y* ,则必有 CX* =Y*

b ;②. 一个问题无界,则另一个问题无可行解;③. 两个都无可行解。

Page 32: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

5、互补松弛定理: 设 X* 和 Y* 分别是问题 P 和 D 的可行解,则它们分别是最优解的充要条件是

剩余变量

ss

s

s

YX

XYXCAY

XYAXbY

.

00)(

00)(

同时成立

一般而言,我们把某一可行点(如 X* 和 Y* )处的严格不等式约束(包括对变量的非负约束)称为松约束,而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论: 设一对对偶问题都有可行解,若原问题的某一约束是某个最优解的松约束,则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。

Page 33: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例 4 、已知

0

32

235

95243min

51

54321

5432

54321

x

xxxxx

xxxx

xxxxxZ

试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。

解:对偶问题为

Page 34: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0,

)5(923

)4(55

)3(2

)2(4

)1(3

32max

21

21

21

21

21

2

21

yy

yy

yy

yy

yy

y

yyW

用图解法求出: Y*= ( 1 . 3 ), W=11 。将 y*

1=1 , y*2=3 代入对偶约束条件,

( 1 )( 2 )( 5 )式为紧约束,( 3 )( 4 )为松约束。令原问题的最优解为 X* = ( x1.x2.x3.x4.x5 ) T ,则根据互补松弛条件,必有 x3 = x4 =0

(1 . 3) ( 1 )

( 2 )

( 3)

( 4 )

( 5)

Page 35: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

又由于 y*1> 0 , y*

2 > 0 ,原问题的约束必为等式,即

32

23

521

52

xxx

xx

52

51

32

1

xx

xx化简为

此方程组为无穷多解

令 x5 =0,得到 x1=1 , x2=2

即 X*1 = ( 1.2.0.0.0 ) T 为原问题的

一个最优解, Z=11 。 再令 x5 =2/3 ,得到 x1=5/3 , x2=0

即 X*2 ( 5/3.0.0.0.2/3 ) T

也是原问题的一个最优解, Z* =11 。

Page 36: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例 5 、已知原问题的最优解为 X* = ( 0.0.4 ) T , Z=12 试求对偶问题的最优解。

无约束321

321

321

321

321

,0,0

4

16 3

2532

34max

xxx

xxx

xxx

xxx

xxxZ

解:

无约束321

321

321

321

321

,0,0

365

4 3

132

42min

yyy

yyy

yyy

yyy

yyyW

( 1)( 2)( 3 )

Page 37: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

将 X* = ( 0 . 0 . 4 )代入原问题中,有下式:

4 4

1 246 3

2 20532

321

321

321

xxx

xxx

xxx

所以,根据互补松弛条件,必有 y*1= y*

2=0 ,代入对偶问题 ( 3)式, y3 =3 。因此,对偶问题的最优解为 Y*= ( 0 . 0 . 3 ), W=12 。

Page 38: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

6、对偶问题的解利用原问题的最优单纯形表和改进单纯形表求解对偶问题的最优解。

⑴.设原问题为: maxZ=CX AX ≤ b X≥0引入 xs ,构建初始基变量,然后,用单纯形法求解。当检验数满足 σj≤0 ,则求得最优解。此时, xs 对应的 σjs

为 - Y* ,故求对偶 Y* ,只要将最优单纯形表上 xs

对应的检验数反号即可。C CB CN 0

CB XB b XB XN XS

CB XB B-1b I B-1N B-1

Z - CB B-1b 0 CN- CB B-1N - CB B-1

Page 39: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例一、

0,

1505

10032

17025

1810max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

P

xxZ

0,,

18532

1025

150100170min

321

321

321

321

yyy

yyy

yyy

D

yyyW

0

150 5

100 32

170 25

0001810max

51

521

421

321

54321

x

xxx

xxx

xxx

xxxxxZ

Page 40: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj 10 18 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 170 5 2 1 0 0 170/2

0 x4 100 2 3 0 1 0 100/3

0 x5 150 1 5 0 0 1 150/5

-Z 0 10 18 0 0 0

i

cj 10 18 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 540/7 0 0 1 -23/7 11/7

10 x1 50/7 1 0 0 5/7 -3/7

18 x2 200/7 0 1 0 -1/7 2/7

-Z -4100/7 0 0 0 -32/7 -6/7

初始表

最终

Page 41: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

由上表可知: X*= ( 50/7 . 200/7 ) T , Z* =4100/7对偶问题的最优解: Y*= ( 0 . 32/7 . 6/7 ), W* =4100/7也就是外加工时的收费标准。⑵.设原问题: maxZ=CX

AX=b X≥0此时,矩阵 A 中没有现成的矩阵 I ,必须通过加入人工变量来凑一个单位矩阵,再用大 M法或两阶段法求解。 如何求 Y* ,经分析得出如下结论: σB =0 最优基变量检验数向量 σI =CI - CB B-1 初始基变量检验数向量 σD = CD - CB B-1D 非基变量检验数向量 所以, Y* = CI - σI

Page 42: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例二、

0

12

324

112

3max

31

31

321

321

321

x

xx

xxx

xxx

xxx

P

无约束321

321

21

321

321

,0,0

12

12

324

311min

yyy

yyy

yy

yyy

D

yyyW

Page 43: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj 3 -1 -1 0 0 -M -M

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

3 x1 4 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3

-1 x2 1 0 1 0 0 -1 1 -2

-1 x3 9 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3

-Z -2 0 0 0 -1/3 -1/3 1/3-M 2/3- M

cj 3 - 1 - 1 0 0 - M - M

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7

0 x4 11 1 -2 1 1 0 0 0 11

- M x6 3 -4 1 2 0 -1 1 0 3/2

- M x7 1 -2 0 1 0 0 0 1 1

-Z 3-6M -1+M -1+3M 0 -M 0 0

i

Page 44: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

所以, X*= ( 4 . 1 . 9 ), Z* = 2

∴ y*1= (0- σ4 )=1/3

y*2=(-M- σ6 )= -M- (1/3-M)=- 1/3

y*3 =(-M- σ7 )= -M- (2/3- M)=-

2/3

Y*= ( 1/3 . - 1/3 . - 2/3 ) W* = 2

初始基变量的检验数 σ4 =- 1/3 , σ6 =1/

3-M,

σ7 =2/3-M

Page 45: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

定义:在一对 P 和 D 中,若 P 的某个约束条件的右端项常数 bi 增加一个单位时,所引起的目标函数最优值 Z* 的改变量 y*

i 称为第 i 个约束条件的影子价格,又称为边际价格。

0 D

0

minmax

Y

CYA

X

bAXP

YbW CX Z

三、对偶问题的经济解释——影子价格

Page 46: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

设: B 是问题 P 的最优基,由前式可知, Z*=CB B-1b = Y*b

=y*1b1+ y*

2b2+…+y*Ibi+…+y*

mbm

当 bi 变为 bi+1 时(其余右端项不变,也不影响 B ),

C CB CN 0

CB XB b XB XN XS

CB XB B-1b I B-1N B-1

- Z - CB B-1b 0 CN- CB B-1N - CB B-1

Page 47: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

目标函数最优值变为: Z′*= y*

1b1+ y*2b2+…+y*

I ( bi+1 ) +…+y*mbm

∴△Z*= Z′*- Z* = y*

i

)2,1(**

miyb

Zi

i

也可以写成:

即 y*i 表示 Z* 对 bi 的变化率。

其经济意义是:在其它条件不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量 yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。 也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数(但问题中所有其它数据都保持不变)。

Page 48: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

若第 i 种资源的单位市场价格为 mi ,当 yi > mi

时,企业愿意购进这种资源,单位纯利为 yi-mi ,则有利可图;如果 yi < mi ,则企业有偿转让这种资源,,可获单位纯利 mi- yi ,否则,企业无利可图,甚至亏损。

0,

1505

10032

17025

1810max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

P

xxZ

Page 49: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0 10 20 30 40 50 60

10

2 0

3 0

4

0

50

x2

x1

1 2

3

( 50/7. 200/7 )

Page 50: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

7

4132)

7

19918()

7

5510( Z

多了 32/7

x10 10 20 30 40 50 60

10

2 0

3 0

4

0

50

x2

1 2

3

( 55/7. 199/7 )

Page 51: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

7

4100)

7

20018()

7

5010( Z

0 10 20 30 40 50 60

10

2 0

3 0

4

0

50

x2

x1

1 2

3

( 50/7. 200/7 )

Page 52: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

7

4106)

7

20218()

7

4710( Z

0 10 20 30 40 50 60

10

2 0

3 0

4

0

50

x2

x1

1 2

3

( 47/7. 202/7 ) 多了 6/7

Page 53: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的,因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。

由对偶理论可以知道,对于一个线性规划问题,我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。

四、对 偶 单 纯 形 法

Page 54: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

也就是说,求解原问题( P)时,可以从( P)的一个基本解(非基可行解)开始,逐步迭代,使目标函数值( Z=Y b= CB B-1b =CX )减少,当迭代到XB=B-1b≥0 时,即找到了( P)的最优解,这就是对偶单纯形法。

同原始单纯形求法一样,求解对偶问题( D),也可以从( D)的一个基本可行解开始,从一个基本可行解(迭代)到另一个基本可行解,使目标函数值减少。

Page 55: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

对偶 单纯形表

max 存在 bi < 0

(至少有一个)初始表  

全部 σj≤0  

迭代

迭代规则保持原问题可行解

最终表 全部 bi ≥0

全部 σj≤0  

在原问题解不可行,对偶问题解可行的基础上迭代,至原问题解可行,对偶问题解也可行,也就同时达到最优。

用对偶单纯形法求解原问题时必须满足两个条件:

( 1 ) 单纯形表的常数列中至少有一个负的分量。 { 存在 bi < 0 }

( 2 ) 单纯形表的检验数行的全部元素不大于 0 。 { 全部 σj≤0 }

Page 56: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

用对偶单纯形法求解原问题 maxZ = CX

AX = b

X ≥0 步骤如下:1 .若初始表 σj≤0 , bi ≥0 ,则目前解为最优解。 若初始表 σj≤0 ,存在 bi < 0 (至少有一个),则转入下

一步进行迭代。2 .选出基变量: min{bi | bi<0 }=b k , 则 k 行为主元行, x k

出基。3 .选入基变量: min {σj /a kj | a kj<0 }

= min { 检验数行 / 主元行中小于 0 的元素 }=σf /a kf

则 f 列为主元列, xf 为入基变量。(即最小 θ 比值 的原则)

4 .重复迭代,直至 σj≤0 , bi ≥0 ,求出最优解。

Page 57: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例一、用对偶单纯形法求解:

)3.2.1(0

145

1232

1022

15129min

321

321

321

321

jx

xxx

xxx

xxx

xxxZ

j

解:将模型转化为

0

145

1232

1022

15129max

61

6321

5321

4321

321

x

xxxx

xxxx

xxxx

xxxZ

Page 58: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj -9 -12 -15 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 -10 -2 -2 -1 1 0 0

0 x5 -12 -2 -3 -1 0 1 0

0 x6 -14 -1 -1 -5 0 0 1 (-9/-1.-12/-1.

-15/-5)-Z′ 0 -9 -12 -15 0 0 0

i

cj -9 -12 -15 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 -36/5 -9/5 -9/5 0 1 0 -1/5

0 x5 -46/5 -9/5 -14/5 0 0 1 -1/5

-15 x3 14/5 1/5 1/5 1 0 0 -1/5 (-30/-9.-45/-14

.-15/-1)-Z′ 42 -6 -9 0 0 0 -3

i

Page 59: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj -9 -12 -15 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x4 -9/7 -9/14 0 0 1 -9/14 -1/14

-12 x2 23/7 9/14 1 0 0 -5/14 1/14

(-3/-9.-45/-9.

-33/-1)-15 x3 15/7 1/14 0 1 0 1/14 -3/14

-Z′ 501/7 -3/14 0 0 0 -45/14 -33/14

cj -9 -12 -15 0 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

-9 x1 2 1 0 0 -14/9 1 1/9

-12 x2 2 0 1 0 1 -1 0

-15 x3 2 0 0 1 1/9 0 -2/9

-Z′ 72 0 0 0 -1/3 -3 -7/3

i

i

Page 60: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

所以, X*= ( 2 . 2 . 2 . 0 . 0 . 0 ), Z′* =- 72 , 原问题 Z* =72 其对偶问题的最优解为: Y*= (1/3 . 3 . 7/3) , W*= 72

Page 61: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0,,

432

32

432min

321

321

321

321

xxx

xxx

xxx

xxxZ练习:

)5.4.3.2.1( 0

4 32

3 2

432max

51

5321

4321

321

jx

xxxx

xxxx

xxxZ

Page 62: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj -2 -3 -4 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x4 -3 -1 -2 -1 1 0

0 x5 -4 -2 1 -3 0 1

-Z -2 -3 -4 0 0

i

cj -2 -3 -4 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x4 -1 0 -5/2 1/2 1 -1/2

-2 x1 2 1 -1/2 3/2 0 -1/2

-Z 0 -4 -1 0 -1

i

Page 63: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj -2 -3 -4 0 0

cB xB b x1 x2 x3 x4 x5

-3 x2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5

-2 x1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5

-Z 28/5 0 0 -3/5 -8/5 -1/5

i

Y* = ( 8/5 . 1/5 )

X* = ( 2/5 . 11/5 . 0 ) Z* =28/5

Page 64: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

0

b

max

X

AX

CXz σj=cj - CBB - 1Pj

jP

b

=B - 1Pj

=B - 1b

五、 灵敏度分析

考察参数变化对原最终表的影响

解决两方面问题:

( 1 ) 确定参数变化范围,使原最优解不变。

( 2 )若参数超过这一范围,如何方便地求出新的最优解。

Page 65: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

一、价值系数的灵敏度分析( C 变化)

( 一 ) 非基变量的价值系数 Cj → Cj′=Cj+ C△ j (△Cj 可正可负 ) ,受影响的只有 x j 的检验数,其余不变。此时 只需重新计算 x j 的检验数。

若新的检验数: ( 1 ) σj′≤0 ,原最优解保持不变。 σj′= Cj+ C△ j - CBB-1 P j ≤0

△Cj +σj ≤0

△Cj ≤ -σj

  ( 2 ) σj′>0, 则以 x j 为入基变量,用单纯形法继续迭代,即可求出最优解。

Page 66: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

(二)基变量的价值系数 Cj 发生改变, Cj → Cj′=Cj+ C△ j ( C△ j 可正可负 ) ,所

有非基变量的检验数都改变,计算新的检验数。

若新的检验数: ( 1 ) σj′≤0 , 原最优解保持不变。

  ( 2 ) σj′>0, 则以大于 0 的检验数中最大的变

量为入基变量,用单纯形法继续迭代,即可求出最优解。

Page 67: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

例:某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划

0,

45

802

903

45 max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ已知最优表如下。( 1)确定 x2 的系数 c2

的变化范围,使原最优解保持最优;( 2)若 c2=6 ,求新的最优计划。

一、 价值系数 cj 的变化分析

Page 68: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj 5 4 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 0 0 1 2 -5

5 x1 35 1 0 0 1 -1

4 x2 10 0 1 0 -1 2

0 0 0 -1 -3

0,

45

802

903

45 max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxZ

Page 69: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

σ4 = c2 - 5 ≤ 0

σ5 = 5 - 2c2 ≤ 0

5/2 ≤ c2 ≤ 5

cj 5 c2 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 0 0 1 2 -5

5 x1 35 1 0 0 1 -1

c2 x2 10 0 1 0 -1 2

0 0 0 c2 - 5 5 - 2c2

最优解 X*= ( 35 , 10 , 25 , 0 , 0 ) T 保持不变。

( 1 )

Page 70: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 6 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 0 0 1 [2] -5

5 x1 35 1 0 0 1 -1

6 x2 10 0 1 0 -1 2

σj 0 0 0 1 -7

0 x4 25/2 0 0 1/2 1 -5/2

5 x1 45/2 1 0 -1/2 0 3/2

6 x2 45/2 0 1 1/2 0 -1/2

σj 0 0 -1/2 0 -9/2x1*=45/2 , x2

*=45/2 , x4*=25/2 , x3

*=

x5*=0 , z*=495/2

( 2 )

Page 71: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

二、右端常数 bi 的变化分析

1. 若 B-1b′≥0 , 则原最优解还是最优解, 即最优基 B 不变,但解的数值发生改变。 ( XB=B-1b′, 其它 x 为 0 )

2. 若 B-1b′< 0, 则用对偶单纯形法继续求解。

3 .确定使最优基不变的资源限量范围。 用 B-1b′≥0 计算。

Page 72: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

XB= B - 1b

例:对于上例中的线性规划作下列分析:( 1 ) b3 在什么范围内变化,原最优基不变

?( 2)若 b3=55 ,求出新的最优解。

0,

45

802

903

45Z max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xx

二、右端常数 bi 的变化分析

Page 73: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj 5 4 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 0 0 1 2 -5

5 x1 35 1 0 0 1 -1

4 x2 10 0 1 0 -1 2

0 0 0 -1 -3

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

最优基:B= ( P3 , P1 , P2 )

B - 1=

Page 74: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

( 1 )

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

3b

80

90

3

3

3

b280

b80

5b - 250

3b

80

90B - 1 = = ≥0

解得 40≤b3≤50 ,即当 b3 [40∈ , 50] 时,最优基 B 不变

z*=5× ( 80 - b3 ) +4× ( -80+2b3 )

=80+3b3

3

3

3

b280

b80

5b-250

*2

*1

*3

x

x

x

=

Page 75: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

( 2 )当 b3= 55

3

3

3

b280

b80

5b-250

30

25

25=

x2

x1

x5

0-11/5-3/500σj

0-1/52/51020 4

03/5-1/501305

1-2/5-1/50050

-3

2

-1

[-5]

x5

0

-1000σj

-101030 x2 4

100125x15

2100-25x30

x4x3x2x1bXBCB

0045Cj

Page 76: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

三、 增加一个新变量的分析例 2.10 (续例 2.8 )设企业研制了一种新

产品,对三种资源的消耗系数列向量以 P6

表示

P6= 。问它的价值系数 c6 符合什么条件

才必须安排它的生产?设 c6=3 ,新的最优生产计划是什么?

2/1

1

2/3

σ6=c6 - CBB - 1P6 =c6 -( 0 , 5 , 4 ) = c6

- 5/2

0

2/1

1

6P

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

2/1

1

2/3

0

2/1

1

=B - 1P6 = =

Page 77: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 4 0 0 0 3

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 25 0 0 1 2 -5 [1]

5 x1 35 1 0 0 1 -1 1/2

6 x2 10 0 1 0 -1 2 0

σj 0 0 0 -1 -3 1/2

3 x6 25 0 0 1 2 -5 1

5 x1 45/2 1 0 -1/2 0 3/2 0

4 x2 10 0 1 0 -1 2 0

σj 0 0 -1/2 -2 -1/2 0

Page 78: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

四、 增加新的约束条件的分析例 2.11 假设在例 2.8 中,还要考虑一个新的资

源约束: 4x1+2x2≤150

4x1+2x2+x6=150

0,

45

802

903

45 max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxz

X*= ( 35 , 10 , 25 , 0 , 0 ) T

Page 79: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

4x1+2x2+x6=150

cj 5 4 0 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 25 0 0 1 2 -5 0

5 x1 35 1 0 0 1 -1 0

4 x2 10 0 1 0 -1 2 0

0 x6 150 4 2 0 0 0 1

0 0 0 -1 -3 0

Page 80: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 4 0 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

0 x3 25 0 0 1 2 -5 0

5 x1 35 1 0 0 1 -1 0

4 x2 10 0 1 0 -1 2 0

0 x6 150 4 2 0 0 0 1

σj 0 0 0 -1 -3 0

0 x3 25 0 0 1 2 -5 0

5 x1 35 1 0 0 1 -1 0

4 x2 10 0 1 0 -1 2 0

0 x6 -10 0 0 0 [-2] 0 1

σj 0 0 0 -1 -3 0

0 x3 15 0 0 1 0 -5 1

5 x1 30 1 0 0 0 -1 1/2

4 x2 15 0 1 0 0 2 -1/2

0 x4 5 0 0 0 1 0 -1/2

σj 0 0 0 0 -3 -1/2

Page 81: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

五、 其它变化情况的分析1. cj 和 bi 同时变化的情况

例 2.12 在例 2.8 中,假定 c2 由 4 上升为 6 , b3

增加到 55 ,试问最优解将会发生什么变化?

0,

45

802

903

45 max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxz

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

B - 1=

B - = =

55

80

90

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

55

80

90

30

25

25

代替最优表的 b 列,并把 c2 改为 6

Page 82: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

cj 5 6 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 -25 0 0 1 2 -5

5 x1 25 1 0 0 1 -1

6 x2 30 0 1 0 -1 2

σj 0 0 0 1 -7原问题与对偶问题均非可行解,表中第一方程是x3+2x4 - 5x5= - 25 ,两边乘以( -1 ),得:- x3 - 2x4+5x5=25 ,再引入人工变量 x6 :- x3 - 2x4+5x5+x6=25

以 x6 为基变量,增添第 6 列,应用大 M 法继续求解。

Page 83: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 6 0 0 0 -M

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6

-M x6 25 0 0 -1 -2 [5] 1

5 x1 25 1 0 0 1 -1 0

6 x2 30 0 1 0 -1 2 0

σj 0 0 -M -2M+1 5M-7 0

0 x5 5 0 0 -1/5 -2/5 1 0

5 x1 30 1 0 -1/5 3/5 0 1/5

6 x2 20 0 1 2/5 -1/5 0 -2/5

σj 0 0 -7/5 -9/5 0 -M+7/5新的最优计划产量为 x1*=30 , x2

*=20 , z*=270 。

- x3 - 2x4+5x5+x6=25

Page 84: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

2. 技术系数 aij 的变化

例 2.13 在例 2.8 中,第一种产品的消耗系数改变为 ,价值系数不变,求新的最优解。

2/1

2/3

2/3~

1P

0,

45

802

903

45 max

21

21

21

21

21

xx

xx

xx

xx

xxz

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1

B - 1=

2/1

1

2

2/1

2/3

2/3

2 1- 0

1 1 0

5- 2 1~

11PB

Page 85: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 4 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 2 0 1 2 -5

5 x1 35 1 0 0 1 -1

4 x2 10 -1/2 1 0 -1 2

σj 0 0 0 -1 -3

Page 86: 对  偶  理  论 (Duality  Theory)

Cj 5 4 0 0 0

CB XB b x1 x2 x3 x4 x5

0 x3 25 2 0 1 2 -5

5 x1 35 [1] 0 0 1 -1

4 x2 10 -1/2 1 0 -1 2

σj 0 0 0 -1 -3

0 x3 -45 0 0 1 0 [-3]

5 x1 35 1 0 0 1 -1

4 x2 27.5 0 1 0 -1/2 3/2

σj 0 0 0 -3 -10 x5 15 0 0 -1/3 0 1

5 x1 50 1 0 -1/3 1 0

4 x2 5 0 1 1/2 -1/2 0

σj 0 0 -1/3 -3 0