对 偶 理 论 (duality theory)
DESCRIPTION
对 偶 理 论 (Duality Theory). 对偶问题的提出. 线性规划的对偶理论. 对偶问题的经济解释 ---- 影子价格. 对 偶 单 纯 形 法. 灵 敏 度 分 析. 单件 产 消耗 品 资源. 甲. 乙. 资源限制. A. 5. 2. 170 (钢材). B. 2. 3. 100 (煤炭). C. 1. 5. 150 (设备). 单件利润. 10. 18. - PowerPoint PPT PresentationTRANSCRIPT
对 偶 理 论(Duality Theory)
对偶问题的提出
线性规划的对偶理论
对偶问题的经济解释 ---- 影子价格
对 偶 单 纯 形 法
灵 敏 度 分 析
对偶性是线性规划问题的最重要的内容之一。每一个线性规划( LP )必然有与之相伴而生的另一个线性规划问题,即任何一个求 maxZ 的 LP 都有一个求 minZ 的 LP 。其中的一个问题叫“原问题”,记为“ P”,另一个称为“对偶问题”,记为“ D”。
例一、资源的合理利用问题 已知资料如表所示,问应如何安排生产计划使得既能充分利用现有资源有使总利润最大?
1810单件利润150 (设备)51C
100 (煤炭)32B
170 (钢材)25A
资源限制乙甲单件 产 消耗 品资源
一、问 题 的 提 出
0,
1505
( 10032
17025
1810max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxZ
原问题)
数学模型:
下面从另一个角度来讨论这个问题: 假定:该厂的决策者不是考虑自己生产甲、乙两种产品,而是将厂里的现有资源用于接受外来加工任务,只收取加工费。试问该决策者应制定怎样的收费标准(合理的)?
分析问题: 1 、每种资源收回的费用不能低于自己生产时的可获利润; 2 、定价又不能太高,要使对方能够接受。
Wyyy
yyy
yyy
yyy
yyy
321
321
321
321
321
150100170
0,,
18532
1025
,,
以表达:就目标而言,用下式可
有下式:
单价,所以分别为三种资源的收费设
一般而言, W 越大越好,但因需双方满意,故
321 150100170min yyyW 为最好。
该问题的数学模型为:
0,,
18532
1025
150100170min
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyyW
(对偶问题)
0,
1505
( 10032
17025
1810max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxZ
原问题)
0,,
18532
1025
150100170min
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyyW
(对偶问题)
模型对比:
例二、合理配料问题,其数学模型为:
0
min
1
1
j
m
iijij
n
jjj
x
bxa
xcZ
假设工厂想把这 m 种营养成分分别制成一种营养丸销售,问如何定价(以保证总收入为最多)?
0
max
1
1
i
n
jjiij
n
jii
y
cya
ybW
(对偶问题)
有下列式子:
原问题 对偶问题目标函数 max min
约束条件 ≤ ≥
变量数量 约束条件个数约束条件个数 变量数量
例三、
2 3
x1 x2 原问题12 y1 2 2 ≤ 12
8 y2 1 2 ≤ 8
16 y3 4 0 ≤ 16
12 y4 0 4 ≤ 12
对偶问题 2 3
1 、对称型对偶问题:已知 P ,写出 D 。
0X
bAX
CXmaxZ
P矩阵形式:
二、线性规划的对偶理论
(一)、对偶问题的形式
0Y
CYA
min
YbWD
例一、写出线性规划问题的对偶问题
0,,
564
3 7 3
2 532
432max
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxZ
解:首先将原式变形
0,,
5 64
3 7 3
2532
432max
321
321
321
32
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxZ
注意:以后不强调等式右段项 b≥0,原因在对偶单纯型表中只保证 而不保证 ,故 b可以是负数。
0j 01 bB
0,,
4675
343
232
532min
321
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW对偶问题:
2 、非对称型对偶问题
0X
bAX
max
CXZP矩阵形式:
无符号限制(无约束)
min
Y
CYA
YbWD
例二、原问题
0,,
564
373
2532
432max
321
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxZ
无约束
解:对偶问题为
,,
4675
34 3
2 32
532min
321
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW
2 、混合型对偶问题
无约束
无约束
矩阵形式:
231
2323222121
1313212111
332211
21
3232131
2222121
1212111
2211
,0,0
min
,0
max
YYY
CAYAYAY
CAYAYAY
YbYbYbWD
XX
bXAXA
bXAXA
bXAXA
XCXCZP
例三、
无约束4321
4321
421
4321
4321
,0,,0
6 43 2
47 23
523 4
532max
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxZ
原问题
无约束321
321
31
321
321
321
,0,0
1 72
54 3
332
2234
645min
yyy
yyy
yy
yyy
yyy
yyyW
对偶问题
综上所述,其变换形式归纳如下:原问题(或对偶问题) 对偶问题(或原问题)
目标函数 max 目标函数 min
约束条件
m 个 m 个变量
≤ ≥0
≥ ≤0
= 无约束
变量
n 个 n 个 约束条件
≥0 ≥
≤0 ≤
无约束 =
约束条件右端项 目标函数变量的系数目标函数变量的系数 约束条件右端项
例四、线性规划问题如下:
无约束、 4321
432
431
4321
4321
0 0
6
442 2
5 3
532min
,xxx,x
xxx
xxx
xxxx
xxxxZ
无约束
对偶问题:
321
321
321
31
21
321
,0,0
1 4
523
3
2 2
645max
yyy
yyy
yyy
yy
yy
yyyW
无约束、, 4321
4321
432
4321
4321
321
321
321
321
321
,00
24732
543
0432
4323min2
0,,
564
37 3
2532
422min.1
xxxx
xxxx
xxx
xxxx
xxxxZ.
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxZ练习:
无约束
答案:
321
321
321
321
31
321
321
321
321
321
321
y0,y0,y
44y4y4y
37y3y3y
23yy 2y
32y y
253max.2
0.yy0,y
46y7y5y
24yy 3y
2y 3y2y
532max.1
yyyW
yyyW
min Z’= - CX
s.t. - AX≤- b
X ≥0
1 、对称性定理:对偶问题的对偶是原问题。
min W= Y b
s.t. YA ≥ C
Y ≤ 0
max Z=C X
s.t. AX≥b
X ≥0
对偶的定义
对偶的定义
max W’ = -Yb
s.t. YA≥ C
Y ≤ 0
(二)、对偶问题的性质
2 、弱对偶原理(弱对偶性):设 和 分别是问题( P )和( D )的可行解,则必有
__
X__
Y
n
j
m
iiijj byxcbYXC
1 1
____
,即
推论⑴ .若 和 分别是问题( P)和( D)的可行解,则 是( D)的目标函数最小值的一个下界; 是( P)的目标函数最大值的一个上界。
__
XC bY__
__
X__
Y
推论⑵ . 在一对对偶问题( P )和( D )中,若其中一个问题可行但目标函数无界,则另一个问题不可行;反之不成立。这也是对偶问题的无界性。
无可行解
关于无界性有如下结论:
问题无界无可行解问题无界对偶问题原问题
0,0
2
4
2max
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxZ
无界
如:
(原)
0,0
1
2
24min
21
21
21
21
yy
yy
yy
yyW
无可行解
(对)
推论⑶ . 在一对对偶问题( P )和( D )中,若一个可行(如 P ),而另一个不可行,(如 D ),则该可行的问题无界。
例一、
0
20232
20322
432max
41
4321
4321
4321
x
xxxx
xxxx
xxxxZ
试估计它们目标函数的界,并验证弱对偶性原理。
( P )
解:
0,0
423
332
2 2
12
2020min
21
21
21
21
21
21
yy
yy
yy
yy
yy
yyW
( D )
由观察可知: = ( 1.1.1.1 ) T , =( 1.1 ),分别是( P )和( D )的可行解。 Z=10 ,W=40 ,故有 ,弱对偶定理成立。由推论⑴可知, W 的最小值不能小于 10 , Z 的最大值不能超过40 。
__
XC bY__
<
__
X__
Y
例二、已知
0,,
12
2
2max
321
321
321
21
xxx
xxx
xxx
xxZ
: p
0,
0
2
12
2min:
21
21
21
21
21
yy
yy
yy
yy
yyWD
试用对偶理论证明原问题无界。
解: = ( 0.0.0 ) T 是 P 的一个可行解,而 D 的第一个约束条件不能成立(因为 y1 , y2 ≥0) 。因此,对偶问题不可行,由推论⑶可知,原问题无界。
__
X
例 3、已知
0,
1
1
max :
21
21
21
21
xx
xx
xx
xxZP
0,
1
1
min :
21
21
21
21
yy
yy
yy
yyWD
显然,这两个问题都无可行解。
3 、最优性判别定理: 若 X* 和 Y* 分别是 P 和 D 的可行解且 CX* = Y* b ,
则 X*. Y* 分别是问题 P 和 D 的最优解。
例如,在例 1中,可找到 X*= ( 0.0.4.4) T, Y*= ( 1.2 , 0.2 ) ,则 Z* =28 , W* =28. 故 X* .Y*
分别是 P 和 D 的最优解。
4、对偶定理(强对偶性): 若一对对偶问题 P 和 D 都有可行解,则它们都有最优解,且目标函数的最优值必相等。
推论⑷ . 若 P 和 D 的任意一个有最优解,则另一个也有最优解,且目标函数的最优值相等。
综上所述,一对对偶问题的关系,只能有下面三种情况之一出现:①. 都有最优解,分别设为 X* 和 Y* ,则必有 CX* =Y*
b ;②. 一个问题无界,则另一个问题无可行解;③. 两个都无可行解。
5、互补松弛定理: 设 X* 和 Y* 分别是问题 P 和 D 的可行解,则它们分别是最优解的充要条件是
剩余变量
或
或
ss
s
s
YX
XYXCAY
XYAXbY
.
00)(
00)(
同时成立
一般而言,我们把某一可行点(如 X* 和 Y* )处的严格不等式约束(包括对变量的非负约束)称为松约束,而把严格等式约束称为紧约束。所以有如下推论: 设一对对偶问题都有可行解,若原问题的某一约束是某个最优解的松约束,则它的对偶约束一定是其对偶问题最优解的紧约束。
例 4 、已知
0
32
235
95243min
51
54321
5432
54321
x
xxxxx
xxxx
xxxxxZ
试通过求对偶问题的最优解来求解原问题的最优解。
解:对偶问题为
0,
)5(923
)4(55
)3(2
)2(4
)1(3
32max
21
21
21
21
21
2
21
yy
yy
yy
yy
yy
y
yyW
用图解法求出: Y*= ( 1 . 3 ), W=11 。将 y*
1=1 , y*2=3 代入对偶约束条件,
( 1 )( 2 )( 5 )式为紧约束,( 3 )( 4 )为松约束。令原问题的最优解为 X* = ( x1.x2.x3.x4.x5 ) T ,则根据互补松弛条件,必有 x3 = x4 =0
(1 . 3) ( 1 )
( 2 )
( 3)
( 4 )
( 5)
又由于 y*1> 0 , y*
2 > 0 ,原问题的约束必为等式,即
32
23
521
52
xxx
xx
52
51
32
1
xx
xx化简为
此方程组为无穷多解
令 x5 =0,得到 x1=1 , x2=2
即 X*1 = ( 1.2.0.0.0 ) T 为原问题的
一个最优解, Z=11 。 再令 x5 =2/3 ,得到 x1=5/3 , x2=0
即 X*2 ( 5/3.0.0.0.2/3 ) T
也是原问题的一个最优解, Z* =11 。
例 5 、已知原问题的最优解为 X* = ( 0.0.4 ) T , Z=12 试求对偶问题的最优解。
无约束321
321
321
321
321
,0,0
4
16 3
2532
34max
xxx
xxx
xxx
xxx
xxxZ
解:
无约束321
321
321
321
321
,0,0
365
4 3
132
42min
yyy
yyy
yyy
yyy
yyyW
( 1)( 2)( 3 )
将 X* = ( 0 . 0 . 4 )代入原问题中,有下式:
4 4
1 246 3
2 20532
321
321
321
xxx
xxx
xxx
所以,根据互补松弛条件,必有 y*1= y*
2=0 ,代入对偶问题 ( 3)式, y3 =3 。因此,对偶问题的最优解为 Y*= ( 0 . 0 . 3 ), W=12 。
6、对偶问题的解利用原问题的最优单纯形表和改进单纯形表求解对偶问题的最优解。
⑴.设原问题为: maxZ=CX AX ≤ b X≥0引入 xs ,构建初始基变量,然后,用单纯形法求解。当检验数满足 σj≤0 ,则求得最优解。此时, xs 对应的 σjs
为 - Y* ,故求对偶 Y* ,只要将最优单纯形表上 xs
对应的检验数反号即可。C CB CN 0
CB XB b XB XN XS
CB XB B-1b I B-1N B-1
Z - CB B-1b 0 CN- CB B-1N - CB B-1
例一、
0,
1505
10032
17025
1810max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
P
xxZ
0,,
18532
1025
150100170min
321
321
321
321
yyy
yyy
yyy
D
yyyW
0
150 5
100 32
170 25
0001810max
51
521
421
321
54321
x
xxx
xxx
xxx
xxxxxZ
cj 10 18 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 170 5 2 1 0 0 170/2
0 x4 100 2 3 0 1 0 100/3
0 x5 150 1 5 0 0 1 150/5
-Z 0 10 18 0 0 0
i
cj 10 18 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 540/7 0 0 1 -23/7 11/7
10 x1 50/7 1 0 0 5/7 -3/7
18 x2 200/7 0 1 0 -1/7 2/7
-Z -4100/7 0 0 0 -32/7 -6/7
初始表
最终
表
由上表可知: X*= ( 50/7 . 200/7 ) T , Z* =4100/7对偶问题的最优解: Y*= ( 0 . 32/7 . 6/7 ), W* =4100/7也就是外加工时的收费标准。⑵.设原问题: maxZ=CX
AX=b X≥0此时,矩阵 A 中没有现成的矩阵 I ,必须通过加入人工变量来凑一个单位矩阵,再用大 M法或两阶段法求解。 如何求 Y* ,经分析得出如下结论: σB =0 最优基变量检验数向量 σI =CI - CB B-1 初始基变量检验数向量 σD = CD - CB B-1D 非基变量检验数向量 所以, Y* = CI - σI
例二、
0
12
324
112
3max
31
31
321
321
321
x
xx
xxx
xxx
xxx
P
无约束321
321
21
321
321
,0,0
12
12
324
311min
yyy
yyy
yy
yyy
D
yyyW
cj 3 -1 -1 0 0 -M -M
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
3 x1 4 1 0 0 1/3 -2/3 2/3 -5/3
-1 x2 1 0 1 0 0 -1 1 -2
-1 x3 9 0 0 1 2/3 -4/3 4/3 -7/3
-Z -2 0 0 0 -1/3 -1/3 1/3-M 2/3- M
cj 3 - 1 - 1 0 0 - M - M
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6 x7
0 x4 11 1 -2 1 1 0 0 0 11
- M x6 3 -4 1 2 0 -1 1 0 3/2
- M x7 1 -2 0 1 0 0 0 1 1
-Z 3-6M -1+M -1+3M 0 -M 0 0
i
所以, X*= ( 4 . 1 . 9 ), Z* = 2
∴ y*1= (0- σ4 )=1/3
y*2=(-M- σ6 )= -M- (1/3-M)=- 1/3
y*3 =(-M- σ7 )= -M- (2/3- M)=-
2/3
Y*= ( 1/3 . - 1/3 . - 2/3 ) W* = 2
初始基变量的检验数 σ4 =- 1/3 , σ6 =1/
3-M,
σ7 =2/3-M
定义:在一对 P 和 D 中,若 P 的某个约束条件的右端项常数 bi 增加一个单位时,所引起的目标函数最优值 Z* 的改变量 y*
i 称为第 i 个约束条件的影子价格,又称为边际价格。
0 D
0
minmax
Y
CYA
X
bAXP
YbW CX Z
三、对偶问题的经济解释——影子价格
设: B 是问题 P 的最优基,由前式可知, Z*=CB B-1b = Y*b
=y*1b1+ y*
2b2+…+y*Ibi+…+y*
mbm
当 bi 变为 bi+1 时(其余右端项不变,也不影响 B ),
C CB CN 0
CB XB b XB XN XS
CB XB B-1b I B-1N B-1
- Z - CB B-1b 0 CN- CB B-1N - CB B-1
目标函数最优值变为: Z′*= y*
1b1+ y*2b2+…+y*
I ( bi+1 ) +…+y*mbm
∴△Z*= Z′*- Z* = y*
i
)2,1(**
miyb
Zi
i
也可以写成:
即 y*i 表示 Z* 对 bi 的变化率。
其经济意义是:在其它条件不变的情况下,单位资源变化所引起的目标函数的最优值的变化。即对偶变量 yi 就是第 i 个约束条件的影子价格。 也可以理解为目标函数最优值对资源的一阶偏导数(但问题中所有其它数据都保持不变)。
若第 i 种资源的单位市场价格为 mi ,当 yi > mi
时,企业愿意购进这种资源,单位纯利为 yi-mi ,则有利可图;如果 yi < mi ,则企业有偿转让这种资源,,可获单位纯利 mi- yi ,否则,企业无利可图,甚至亏损。
0,
1505
10032
17025
1810max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
P
xxZ
0 10 20 30 40 50 60
10
2 0
3 0
4
0
50
x2
x1
1 2
3
( 50/7. 200/7 )
7
4132)
7
19918()
7
5510( Z
多了 32/7
x10 10 20 30 40 50 60
10
2 0
3 0
4
0
50
x2
1 2
3
( 55/7. 199/7 )
7
4100)
7
20018()
7
5010( Z
0 10 20 30 40 50 60
10
2 0
3 0
4
0
50
x2
x1
1 2
3
( 50/7. 200/7 )
7
4106)
7
20218()
7
4710( Z
0 10 20 30 40 50 60
10
2 0
3 0
4
0
50
x2
x1
1 2
3
( 47/7. 202/7 ) 多了 6/7
对偶单纯形法是求解线性规划的另一的基本方法。它是根据对偶原理和单纯形法的原理而设计出来的,因此称为对偶单纯形法。不要简单理解为是求解对偶问题的单纯形法。
由对偶理论可以知道,对于一个线性规划问题,我们能够通过求解它的对偶问题来找到它的最优解。
四、对 偶 单 纯 形 法
也就是说,求解原问题( P)时,可以从( P)的一个基本解(非基可行解)开始,逐步迭代,使目标函数值( Z=Y b= CB B-1b =CX )减少,当迭代到XB=B-1b≥0 时,即找到了( P)的最优解,这就是对偶单纯形法。
同原始单纯形求法一样,求解对偶问题( D),也可以从( D)的一个基本可行解开始,从一个基本可行解(迭代)到另一个基本可行解,使目标函数值减少。
对偶 单纯形表
max 存在 bi < 0
(至少有一个)初始表
全部 σj≤0
迭代
迭代规则保持原问题可行解
最终表 全部 bi ≥0
全部 σj≤0
在原问题解不可行,对偶问题解可行的基础上迭代,至原问题解可行,对偶问题解也可行,也就同时达到最优。
用对偶单纯形法求解原问题时必须满足两个条件:
( 1 ) 单纯形表的常数列中至少有一个负的分量。 { 存在 bi < 0 }
( 2 ) 单纯形表的检验数行的全部元素不大于 0 。 { 全部 σj≤0 }
用对偶单纯形法求解原问题 maxZ = CX
AX = b
X ≥0 步骤如下:1 .若初始表 σj≤0 , bi ≥0 ,则目前解为最优解。 若初始表 σj≤0 ,存在 bi < 0 (至少有一个),则转入下
一步进行迭代。2 .选出基变量: min{bi | bi<0 }=b k , 则 k 行为主元行, x k
出基。3 .选入基变量: min {σj /a kj | a kj<0 }
= min { 检验数行 / 主元行中小于 0 的元素 }=σf /a kf
则 f 列为主元列, xf 为入基变量。(即最小 θ 比值 的原则)
4 .重复迭代,直至 σj≤0 , bi ≥0 ,求出最优解。
例一、用对偶单纯形法求解:
)3.2.1(0
145
1232
1022
15129min
321
321
321
321
jx
xxx
xxx
xxx
xxxZ
j
解:将模型转化为
0
145
1232
1022
15129max
61
6321
5321
4321
321
x
xxxx
xxxx
xxxx
xxxZ
cj -9 -12 -15 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x4 -10 -2 -2 -1 1 0 0
0 x5 -12 -2 -3 -1 0 1 0
0 x6 -14 -1 -1 -5 0 0 1 (-9/-1.-12/-1.
-15/-5)-Z′ 0 -9 -12 -15 0 0 0
i
cj -9 -12 -15 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x4 -36/5 -9/5 -9/5 0 1 0 -1/5
0 x5 -46/5 -9/5 -14/5 0 0 1 -1/5
-15 x3 14/5 1/5 1/5 1 0 0 -1/5 (-30/-9.-45/-14
.-15/-1)-Z′ 42 -6 -9 0 0 0 -3
i
cj -9 -12 -15 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x4 -9/7 -9/14 0 0 1 -9/14 -1/14
-12 x2 23/7 9/14 1 0 0 -5/14 1/14
(-3/-9.-45/-9.
-33/-1)-15 x3 15/7 1/14 0 1 0 1/14 -3/14
-Z′ 501/7 -3/14 0 0 0 -45/14 -33/14
cj -9 -12 -15 0 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
-9 x1 2 1 0 0 -14/9 1 1/9
-12 x2 2 0 1 0 1 -1 0
-15 x3 2 0 0 1 1/9 0 -2/9
-Z′ 72 0 0 0 -1/3 -3 -7/3
i
i
所以, X*= ( 2 . 2 . 2 . 0 . 0 . 0 ), Z′* =- 72 , 原问题 Z* =72 其对偶问题的最优解为: Y*= (1/3 . 3 . 7/3) , W*= 72
0,,
432
32
432min
321
321
321
321
xxx
xxx
xxx
xxxZ练习:
)5.4.3.2.1( 0
4 32
3 2
432max
51
5321
4321
321
jx
xxxx
xxxx
xxxZ
cj -2 -3 -4 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 -3 -1 -2 -1 1 0
0 x5 -4 -2 1 -3 0 1
-Z -2 -3 -4 0 0
i
cj -2 -3 -4 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x4 -1 0 -5/2 1/2 1 -1/2
-2 x1 2 1 -1/2 3/2 0 -1/2
-Z 0 -4 -1 0 -1
i
cj -2 -3 -4 0 0
cB xB b x1 x2 x3 x4 x5
-3 x2 2/5 0 1 -1/5 -2/5 1/5
-2 x1 11/5 1 0 7/5 -1/5 -2/5
-Z 28/5 0 0 -3/5 -8/5 -1/5
i
Y* = ( 8/5 . 1/5 )
X* = ( 2/5 . 11/5 . 0 ) Z* =28/5
0
b
max
X
AX
CXz σj=cj - CBB - 1Pj
jP
b
=B - 1Pj
=B - 1b
五、 灵敏度分析
考察参数变化对原最终表的影响
解决两方面问题:
( 1 ) 确定参数变化范围,使原最优解不变。
( 2 )若参数超过这一范围,如何方便地求出新的最优解。
一、价值系数的灵敏度分析( C 变化)
( 一 ) 非基变量的价值系数 Cj → Cj′=Cj+ C△ j (△Cj 可正可负 ) ,受影响的只有 x j 的检验数,其余不变。此时 只需重新计算 x j 的检验数。
若新的检验数: ( 1 ) σj′≤0 ,原最优解保持不变。 σj′= Cj+ C△ j - CBB-1 P j ≤0
△Cj +σj ≤0
△Cj ≤ -σj
( 2 ) σj′>0, 则以 x j 为入基变量,用单纯形法继续迭代,即可求出最优解。
(二)基变量的价值系数 Cj 发生改变, Cj → Cj′=Cj+ C△ j ( C△ j 可正可负 ) ,所
有非基变量的检验数都改变,计算新的检验数。
若新的检验数: ( 1 ) σj′≤0 , 原最优解保持不变。
( 2 ) σj′>0, 则以大于 0 的检验数中最大的变
量为入基变量,用单纯形法继续迭代,即可求出最优解。
例:某企业利用三种资源生产两种产品的最优计划问题归结为下列线性规划
0,
45
802
903
45 max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxZ已知最优表如下。( 1)确定 x2 的系数 c2
的变化范围,使原最优解保持最优;( 2)若 c2=6 ,求新的最优计划。
一、 价值系数 cj 的变化分析
cj 5 4 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 0 0 1 2 -5
5 x1 35 1 0 0 1 -1
4 x2 10 0 1 0 -1 2
0 0 0 -1 -3
0,
45
802
903
45 max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxZ
σ4 = c2 - 5 ≤ 0
σ5 = 5 - 2c2 ≤ 0
5/2 ≤ c2 ≤ 5
cj 5 c2 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 0 0 1 2 -5
5 x1 35 1 0 0 1 -1
c2 x2 10 0 1 0 -1 2
0 0 0 c2 - 5 5 - 2c2
最优解 X*= ( 35 , 10 , 25 , 0 , 0 ) T 保持不变。
( 1 )
Cj 5 6 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 0 0 1 [2] -5
5 x1 35 1 0 0 1 -1
6 x2 10 0 1 0 -1 2
σj 0 0 0 1 -7
0 x4 25/2 0 0 1/2 1 -5/2
5 x1 45/2 1 0 -1/2 0 3/2
6 x2 45/2 0 1 1/2 0 -1/2
σj 0 0 -1/2 0 -9/2x1*=45/2 , x2
*=45/2 , x4*=25/2 , x3
*=
x5*=0 , z*=495/2
( 2 )
二、右端常数 bi 的变化分析
1. 若 B-1b′≥0 , 则原最优解还是最优解, 即最优基 B 不变,但解的数值发生改变。 ( XB=B-1b′, 其它 x 为 0 )
2. 若 B-1b′< 0, 则用对偶单纯形法继续求解。
3 .确定使最优基不变的资源限量范围。 用 B-1b′≥0 计算。
XB= B - 1b
例:对于上例中的线性规划作下列分析:( 1 ) b3 在什么范围内变化,原最优基不变
?( 2)若 b3=55 ,求出新的最优解。
0,
45
802
903
45Z max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xx
二、右端常数 bi 的变化分析
cj 5 4 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 0 0 1 2 -5
5 x1 35 1 0 0 1 -1
4 x2 10 0 1 0 -1 2
0 0 0 -1 -3
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
最优基:B= ( P3 , P1 , P2 )
B - 1=
( 1 )
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
3b
80
90
3
3
3
b280
b80
5b - 250
3b
80
90B - 1 = = ≥0
解得 40≤b3≤50 ,即当 b3 [40∈ , 50] 时,最优基 B 不变
z*=5× ( 80 - b3 ) +4× ( -80+2b3 )
=80+3b3
3
3
3
b280
b80
5b-250
*2
*1
*3
x
x
x
=
( 2 )当 b3= 55
时
3
3
3
b280
b80
5b-250
30
25
25=
x2
x1
x5
0-11/5-3/500σj
0-1/52/51020 4
03/5-1/501305
1-2/5-1/50050
-3
2
-1
[-5]
x5
0
-1000σj
-101030 x2 4
100125x15
2100-25x30
x4x3x2x1bXBCB
0045Cj
三、 增加一个新变量的分析例 2.10 (续例 2.8 )设企业研制了一种新
产品,对三种资源的消耗系数列向量以 P6
表示
P6= 。问它的价值系数 c6 符合什么条件
才必须安排它的生产?设 c6=3 ,新的最优生产计划是什么?
2/1
1
2/3
σ6=c6 - CBB - 1P6 =c6 -( 0 , 5 , 4 ) = c6
- 5/2
0
2/1
1
6P
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
2/1
1
2/3
0
2/1
1
=B - 1P6 = =
Cj 5 4 0 0 0 3
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 25 0 0 1 2 -5 [1]
5 x1 35 1 0 0 1 -1 1/2
6 x2 10 0 1 0 -1 2 0
σj 0 0 0 -1 -3 1/2
3 x6 25 0 0 1 2 -5 1
5 x1 45/2 1 0 -1/2 0 3/2 0
4 x2 10 0 1 0 -1 2 0
σj 0 0 -1/2 -2 -1/2 0
四、 增加新的约束条件的分析例 2.11 假设在例 2.8 中,还要考虑一个新的资
源约束: 4x1+2x2≤150
4x1+2x2+x6=150
0,
45
802
903
45 max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxz
X*= ( 35 , 10 , 25 , 0 , 0 ) T
4x1+2x2+x6=150
cj 5 4 0 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 25 0 0 1 2 -5 0
5 x1 35 1 0 0 1 -1 0
4 x2 10 0 1 0 -1 2 0
0 x6 150 4 2 0 0 0 1
0 0 0 -1 -3 0
Cj 5 4 0 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
0 x3 25 0 0 1 2 -5 0
5 x1 35 1 0 0 1 -1 0
4 x2 10 0 1 0 -1 2 0
0 x6 150 4 2 0 0 0 1
σj 0 0 0 -1 -3 0
0 x3 25 0 0 1 2 -5 0
5 x1 35 1 0 0 1 -1 0
4 x2 10 0 1 0 -1 2 0
0 x6 -10 0 0 0 [-2] 0 1
σj 0 0 0 -1 -3 0
0 x3 15 0 0 1 0 -5 1
5 x1 30 1 0 0 0 -1 1/2
4 x2 15 0 1 0 0 2 -1/2
0 x4 5 0 0 0 1 0 -1/2
σj 0 0 0 0 -3 -1/2
五、 其它变化情况的分析1. cj 和 bi 同时变化的情况
例 2.12 在例 2.8 中,假定 c2 由 4 上升为 6 , b3
增加到 55 ,试问最优解将会发生什么变化?
0,
45
802
903
45 max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxz
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
B - 1=
B - = =
55
80
90
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
55
80
90
30
25
25
代替最优表的 b 列,并把 c2 改为 6
cj 5 6 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 -25 0 0 1 2 -5
5 x1 25 1 0 0 1 -1
6 x2 30 0 1 0 -1 2
σj 0 0 0 1 -7原问题与对偶问题均非可行解,表中第一方程是x3+2x4 - 5x5= - 25 ,两边乘以( -1 ),得:- x3 - 2x4+5x5=25 ,再引入人工变量 x6 :- x3 - 2x4+5x5+x6=25
以 x6 为基变量,增添第 6 列,应用大 M 法继续求解。
Cj 5 6 0 0 0 -M
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5 x6
-M x6 25 0 0 -1 -2 [5] 1
5 x1 25 1 0 0 1 -1 0
6 x2 30 0 1 0 -1 2 0
σj 0 0 -M -2M+1 5M-7 0
0 x5 5 0 0 -1/5 -2/5 1 0
5 x1 30 1 0 -1/5 3/5 0 1/5
6 x2 20 0 1 2/5 -1/5 0 -2/5
σj 0 0 -7/5 -9/5 0 -M+7/5新的最优计划产量为 x1*=30 , x2
*=20 , z*=270 。
- x3 - 2x4+5x5+x6=25
2. 技术系数 aij 的变化
例 2.13 在例 2.8 中,第一种产品的消耗系数改变为 ,价值系数不变,求新的最优解。
2/1
2/3
2/3~
1P
0,
45
802
903
45 max
21
21
21
21
21
xx
xx
xx
xx
xxz
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1
B - 1=
2/1
1
2
2/1
2/3
2/3
2 1- 0
1 1 0
5- 2 1~
11PB
Cj 5 4 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 2 0 1 2 -5
5 x1 35 1 0 0 1 -1
4 x2 10 -1/2 1 0 -1 2
σj 0 0 0 -1 -3
Cj 5 4 0 0 0
CB XB b x1 x2 x3 x4 x5
0 x3 25 2 0 1 2 -5
5 x1 35 [1] 0 0 1 -1
4 x2 10 -1/2 1 0 -1 2
σj 0 0 0 -1 -3
0 x3 -45 0 0 1 0 [-3]
5 x1 35 1 0 0 1 -1
4 x2 27.5 0 1 0 -1/2 3/2
σj 0 0 0 -3 -10 x5 15 0 0 -1/3 0 1
5 x1 50 1 0 -1/3 1 0
4 x2 5 0 1 1/2 -1/2 0
σj 0 0 -1/3 -3 0