* combinação de sinais conhecidos * objetivos: * analisar * extrair informação * filtrar *...
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Transformada Wavelet:O que é?
Para que serve?
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Representação de Sinais
*Combinação de sinais conhecidos
*Objetivos:
*Analisar
*Extrair informação
*Filtrar
*Aproximar sinal
*Comprimir
(Wikipedia)
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Fourier
*Quando aparece cada frequência?
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Sinal no Tempo
*Quando aparece cada frequência?
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Quando aparecem freqs?
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Short Time Fourier Transform*Dennis Gabor (1946)
www.math.ucdavis.edu/~strohmer/research/gabor/gaborintro/node3.html
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Primeiras Janelas
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Short Time Fourier Transform
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Short Time Fourier Transform
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Base para STFT
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Resolução
cnx.org/content/col10144/1.8
*Tempo: janelas diferentes
*Duração da janela: T
*Frequência: série de Fourier calcula k.f
*Resolução em frequência: 1/T
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Resolução
http://users.rowan.edu/~polikar/WAVELETS/WTtutorial.html
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Janelas Diferentes para Frequências Diferentes
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Resoluções Diferentes para Frequências Diferentes
*Na prática:
*Baixa frequência dura bastante
*Alta frequência tem curta duração (descontinuidade)
cnx.org/content/col10144/1.8
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Resoluções Diferentes para Frequências Diferentes
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Janela, Frequência e Escala
s1(t)
s2(t) = s1(t/2)
s3(t) = s2(t/2) = s1(t/4)
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Por que senóide?
Alfred Haar
Tese de doutorado, 1909
Orientador: Hilbert
Propósito: base ortonormal de espaço de Hilbert
Haar wavelet method for solving Fisher’s equation, G. Zariharan, K. Kannan, K.R. Sharma
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Haar – tempo discreto
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Haar – cálculo dos coeficientes
*Ortogonalidade:
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Cálculo dos coeficientes - Correlação
The World According to Wavelets, B. B. Hubbard
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Haar e filtragem
http://www.dsprelated.com/dspbooks/sasp/Discrete_Wavelet_Filterbank.html
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Haar e filtragem
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DFT e filtragem
http://www.grin.com/en/doc/272408/fixed-analysis-adaptive-synthesis-filter-banks
1º bloco: y0[0] = x[0] + x[1] + ... + x[N-1]
2º bloco: y0[1] = x[N] + x[N+1] + ... + x[2N-1]
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Outras Wavelets
Conceptual Wavelets, D. L. Fugal
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Daubechies
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Outras Wavelets
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Condições sobre Wavelet
*Média nula
*Regularidade:
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Transformada de Haar - Exemplo
Wavelets for Computer Graphics: A Primer, by Eric Stollnitz, Tony DeRose and David Salesin
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Haar - Interpretação
Diferença Joga fora 50%
Soma Joga fora 50% Repete
Passa altas Joga fora 50%
Passa baixas
Joga fora 50% Repete
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Haar e Filtros
http://www.engmath.dal.ca/courses/engm6610/notes/node6.html
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Generalizando
Matlab Help
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Generalizando
http://www.engmath.dal.ca/courses/engm6610/notes/node6.html
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Generalizando
http://www.engmath.dal.ca/courses/engm6610/notes/node6.html
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Condições sobre Wavelet
*Relação entre filtros
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Transformada de Haar – 2D
Matlab help
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Transformada de Haar - Exemplo
load leleccum;s = leleccum(1:3920); l_s = length(s);
[cA1,cD1] = dwt(s,'db1');
A1 = idwt(cA1,[],'db1',l_s); D1 = idwt([],cD1,'db1',l_s);
wavemenu;