ตัวอย่างแผนการเรียนรู้ backward design...

การวเคราะหหลกสตร

วชาคณตศาสตรเพมเตม (ค31202) ระดบมธยมศกษาตอนปลาย

ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

แผนการจดการเรยนร - 2 - คณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31201)

หลกสตรแกนกลางการศกษาศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551

ความน า กระทรวงศกษาธการไดประกาศใชหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ใหเปน

หลกสตรแกนกลางของประเทศ โดยก าหนดจดหมาย และมาตรฐานการเรยนรเปนเปาหมายและกรอบทศทางในการพฒนาคณภาพผเรยนใหเปนคนด มปญญา มคณภาพชวตทดและมขดความสามารถในการแขงขนในเวทระดบโลก (กระทรวงศกษาธการ, 2544) พรอมกนนไดปรบกระบวนการพฒนาหลกสตร ใหมความสอดคลองกบเจตนารมณแหงพระราชบญญตการศกษาแหงชาต พ.ศ. 2542 และทแกไขเพมเตม (ฉบบท 2) พ.ศ. 2545 ทมงเนนการกระจายอ านาจทางการศกษาใหทองถนและสถานศกษาไดมบทบาทและมสวนรวมในการพฒนาหลกสตร เพอใหสอดคลองกบสภาพ และความตองการของทองถน (ส านกนายกรฐมนตร, 2542)

จากการวจย และตดตามประเมนผลการใชหลกสตรในชวงระยะ 6 ปทผานมา (ส านกวชาการและมาตรฐานการศกษา, 2546 ก., 2546 ข., 2548 ก., 2548 ข.; ส านกงานเลขาธการสภาการศกษา, 2547; ส านกผตรวจราชการและตดตามประเมนผล, 2548; สวมล วองวาณช และนงลกษณ วรชชย, 2547; Nutravong, 2002; Kittisunthorn, 2003) พบวา หลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 มจดดหลายประการ เชน ชวยสงเสรมการกระจายอ านาจทางการศกษาท าใหทองถน และสถานศกษามสวนรวมและมบทบาทส าคญในการพฒนาหลกสตรใหสอดคลองกบความตองการของทองถน และมแนวคดและหลกการในการสงเสรมการพฒนาผเรยนแบบองครวมอยางชดเจน อยางไรกตาม ผลการศกษาดงกลาวยงไดสะทอนใหเหนถงประเดนทเปนปญหาและความไมชดเจนของหลกสตรหลายประการทงในสวนของเอกสารหลกสตร กระบวนการน าหลกสตรสการปฏบต และผลผลตทเกดจากการใชหลกสตร ไดแก ปญหาความสบสนของผปฏบตในระดบสถานศกษาในการพฒนาหลกสตรสถานศกษา สถานศกษาสวนใหญก าหนดสาระและผลการเรยนรทคาดหวงไวมาก ท าใหเกดปญหาหลกสตรแนน การวดและประเมนผลไมสะทอนมาตรฐาน สงผลตอปญหาการจดท าเอกสารหลกฐานทางการศกษาและการเทยบโอนผลการเรยน รวมทงปญหาคณภาพของผเรยนในดานความร ทกษะ ความสามารถและคณลกษณะทพงประสงคอนยงไมเปนทนาพอใจ

นอกจากนนแผนพฒนาเศรษฐกจและสงคมแหงชาต ฉบบท 10 ( พ.ศ. 2550 – 2554) ไดชใหเหนถงความจ าเปนในการปรบเปลยนจดเนนในการพฒนาคณภาพคนในสงคมไทยให มคณธรรมและมความรอบรอยางเทาทน ใหมความพรอมทงดานรางกาย สตปญญา อารมณ และศลธรรม สามารถกาวทนการเปลยนแปลงเพอน าไปสสงคมฐานความรไดอยางมนคง แนวการพฒนาคนดงกลาวมงเตรยมเดกและเยาวชนใหมพนฐานจตใจทดงาม มจตสาธารณะ พรอมทงมสมรรถนะ ทกษะและความรพนฐานทจ าเปนในการด ารงชวต อนจะสงผลตอการพฒนาประเทศแบบยงยน (สภาพฒนาเศรษฐกจและสงคมแหงชาต, 2549) ซงแนวทางดงกลาวสอดคลองกบนโยบาย


ของกระทรวงศกษาธการในการพฒนาเยาวชนของชาตเขาสโลกยคศตวรรษท 21 โดยมงสงเสรมผเรยนมคณธรรม รกความเปนไทย ใหมทกษะการคดวเคราะห สรางสรรค มทกษะดานเทคโนโลย สามารถท างานรวมกบผอน และสามารถอยรวมกบผอนในสงคมโลกไดอยางสนต (กระทรวง ศกษาธการ, 2551)

จากขอคนพบในการศกษาวจย และตดตามผลการใชหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 ทผานมา ประกอบกบขอมลจากแผนพฒนาเศรษฐกจและสงคมแหงชาต ฉบบท 10 เกยวกบแนวทางการพฒนาคนในสงคมไทย และจดเนนของกระทรวงศกษาธการในการพฒนาเยาวชนสศตวรรษท 21 จงเกดการทบทวนหลกสตรการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2544 เพอน าไปสการพฒนาหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 ทมความเหมาะสมชดเจน ทงเปาหมายของหลกสตรในการพฒนาคณภาพผเรยน กระบวนการน าหลกสตรไปสการปฏบตในระดบเขตพนทการศกษาและสถานศกษา โดยไดมการก าหนดวสยทศน จดหมาย สมรรถนะส าคญของผเรยน คณลกษณะอนพงประสงค มาตรฐานการเรยนรและตวชวดทชดเจน เพอใชเปนทศทางในการจดท าหลกสตร การเรยนการสอนในแตละระดบ นอกจากนนไดก าหนดโครงสรางเวลาเรยนขนต าของแตละกลมสาระการเรยนรในแตละชนปไวในหลกสตรแกนกลาง และเปดโอกาสใหสถานศกษาเพมเตมเวลาเรยนไดตามความพรอมและจดเนน อกทงไดปรบกระบวนการวดและประเมนผลผเรยน เกณฑการจบการศกษาแตละระดบ และเอกสารแสดงหลกฐานทางการศกษาใหมความสอดคลองกบมาตรฐานการเรยนร และมความชดเจนตอการน าไปปฏบต

เอกสารหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน พทธศกราช 2551 น จดท าขนส าหรบทองถนและสถานศกษาไดน าไปใชเปนกรอบและทศทางในการจดท าหลกสตรสถานศกษา และจดการเรยนการสอน เพอพฒนาเดกและเยาวชนไทยทกคนในระดบการศกษาขนพนฐานใหมคณภาพดานความร และทกษะทจ าเปนส าหรบการด ารงชวตในสงคมทมการเปลยนแปลง และแสวงหาความรเพอพฒนาตนเองอยางตอเนองตลอดชวต

มาตรฐานการเรยนรและตวชวดทก าหนดไวในเอกสารน ชวยท าใหหนวยงานทเกยวของในทกระดบเหนผลคาดหวงทตองการในการพฒนาการเรยนรของผเรยนทชดเจนตลอดแนว ซงจะสามารถชวยใหหนวยงานทเกยวของในระดบทองถนและสถานศกษารวมกนพฒนาหลกสตรไดอยางมนใจ ท าใหการจดท าหลกสตรในระดบสถานศกษามคณภาพและมความเปนเอกภาพยงขน อกทงยงชวยใหเกดความชดเจนเรองการวดและประเมนผลการเรยนร และชวยแกปญหาการเทยบโอนระหวางสถานศกษา ดงนนในการพฒนาหลกสตรในทกระดบตงแตระดบชาตจนกระทงถงสถานศกษา จะตองสะทอนคณภาพตามมาตรฐานการเรยนรและตวชวดทก าหนดไวในหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน รวมทงเปนกรอบทศทางในการจดการศกษาทกรปแบบ และครอบคลมผเรยนทกกลมเปาหมายในระดบการศกษาขนพนฐาน

การจดหลกสตรการศกษาขนพนฐานจะประสบความส าเรจตามเปาหมายทคาดหวงได ทกฝายทเกยวของทงระดบชาต ชมชน ครอบครว และบคคลตองรวมรบผดชอบ โดยรวมกนท างาน


อยางเปนระบบ และตอเนอง ในการวางแผน ด าเนนการ สงเสรมสนบสนน ตรวจสอบ ตลอดจนปรบปรงแกไขเพอพฒนาเยาวชนของชาตไปสคณภาพตามมาตรฐานการเรยนรทก าหนดไว

วสยทศน หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงพฒนาผเรยนทกคน ซงเปนก าลงของชาตให

เปนมนษยทมความสมดลทงดานรางกาย ความร คณธรรม มจตส านกในความเปนพลเมองไทยและเปนพลโลกยดมนในการปกครองตามระบอบประชาธปไตยอนมพระมหากษตรยทรงเปนประมข มความรและทกษะพนฐาน รวมทง เจตคต ทจ าเปนตอการศกษาตอ การประกอบอาชพและการศกษาตลอดชวต โดยมงเนนผเรยนเปนส าคญบนพนฐานความเชอวา ทกคนสามารถเรยนรและพฒนาตนเองไดเตมตามศกยภาพ

หลกการ หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มหลกการทส าคญ ดงน 1. เปนหลกสตรการศกษาเพอความเปนเอกภาพของชาต มจดหมายและมาตรฐานการ

เรยนรเปนเปาหมายส าหรบพฒนาเดกและเยาวชนใหมความร ทกษะ เจตคต และคณธรรมบนพนฐานของความเปนไทยควบคกบความเปนสากล

2. เปนหลกสตรการศกษาเพอปวงชน ทประชาชนทกคนมโอกาสไดรบการศกษาอยางเสมอภาคและมคณภาพ

3. เปนหลกสตรการศกษาทสนองการกระจายอ านาจ ใหสงคมมสวนรวมในการจดการศกษาใหสอดคลองกบสภาพและความตองการของทองถน

4. เปนหลกสตรการศกษาทมโครงสรางยดหยนทงดานสาระการเรยนร เวลา และการจดการเรยนร

5. เปนหลกสตรการศกษาทเนนผเรยนเปนส าคญ 6. เปนหลกสตรการศกษา ส าหรบ การศกษาในระบบ นอกระบบ และตามอธยาศย

ครอบคลมทกกลมเปาหมาย สามารถเทยบโอนผลการเรยนร และประสบการณ

จดหมาย หลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงพฒนาผเรยนใหเปนคนด มปญญา มความสขม

ศกยภาพในการศกษาตอ และประกอบอาชพ จงก าหนดเปนจดหมายเพอใหเกดกบผเรยน เมอจบการศกษาขนพนฐาน ดงน

1. มคณธรรม จรยธรรม และคานยมทพงประสงค เหนคณคาของตนเอง มวนยและปฏบตตนตามหลกธรรมของพระพทธศาสนา หรอศาสนาทตนนบถอ ยดหลกปรชญาของเศรษฐกจพอเพยง

2. มความร ความสามารถในการสอสาร การคด การแกปญหา การใชเทคโนโลย และมทกษะชวต


3. มสขภาพกายและสขภาพจตทด มสขนสย และรกการออกก าลงกาย 4. มความรกชาต มจตส านกในความเปนพลเมองไทยและพลโลก ยดมนในวถชวตและการ

ปกครองตามระบอบประชาธปไตยอนมพระมหากษตรยทรงเปนประมข 5. มจตส านกในการอนรกษวฒนธรรมและภมปญญาไทย การอนรกษและพฒนา

สงแวดลอมมจตสาธารณะทมงท าประโยชนและสรางสงทดงามในสงคม และอยรวมกนในสงคมอยางมความสข

สมรรถนะส าคญของผเรยน ในการพฒนาผเรยนตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงพฒนาผเรยนใหม

สมรรถนะส าคญ 5 ประการ ดงน 1. ความสามารถในการสอสาร เปนความสามารถในการรบและสงสาร มวฒนธรรมใน

การใชภาษาถายทอดความคด ความรความเขาใจ ความรสก และทศนะของตนเองเพอแลกเปลยนขอมลขาวสารและประสบการณอนจะเปนประโยชนตอการพฒนาตนเองและสงคม รวมทงการเจรจาตอรองเพอขจดและลดปญหาความขดแยงตางๆ การเลอกรบหรอไมรบขอมลขาวสารดวยหลกเหตผลและความถกตองตลอดจนการเลอกใชวธการสอสาร ทมประสทธภาพโดยค านงถงผลกระทบทมตอตนเองและสงคม

2. ความสามารถในการคด เปนความสามารถในการคดวเคราะห การคดสงเคราะห การคดอยางสรางสรรค การคดอยางมวจารณญาณ และการคดเปนระบบ เพอน าไปสการสรางองคความรหรอสารสนเทศเพอการตดสนใจเกยวกบตนเองและสงคมไดอยางเหมาะสม

3. ความสามารถในการแกปญหา เปนความสามารถในการแกปญหาและอปสรรคตางๆ ทเผชญไดอยางถกตองเหมาะสมบนพนฐานของหลกเหตผล คณธรรมและขอมลสารสนเทศ เขาใจความสมพนธและการเปลยนแปลงของเหตการณตางๆ ในสงคม แสวงหาความร ประยกตความรมาใชในการปองกนและแกไขปญหา และมการตดสนใจทมประสทธภาพโดยค านงถงผลกระทบ ทเกดขนตอตนเอง สงคมและสงแวดลอม

4. ความสามารถในการใชทกษะชวต เปนความสามารถในการน ากระบวนการตางๆ ไปใชในการด าเนนชวตประจ าวน การเรยนรดวยตนเอง การเรยนรอยางตอเนอง การท างาน และการอยรวมกนในสงคมดวยการสรางเสรมความสมพนธอนดระหวางบคคล การจดการปญหาและความขดแยงตางๆ อยางเหมาะสม การปรบตวใหทนกบการเปลยนแปลงของสงคมและสภาพแวดลอม และการรจกหลกเลยงพฤตกรรมไมพงประสงคทสงผลกระทบตอตนเองและผอน

5. ความสามารถในการใชเทคโนโลย เปนความสามารถในการเลอก และใช เทคโนโลยดานตางๆ และมทกษะกระบวนการทางเทคโนโลย เพอการพฒนาตนเองและสงคม ในดานการเรยนร การสอสารการท างาน การแกปญหา อยางสรางสรรค ถกตอง เหมาะสม และมคณธรรม


คณลกษณะอนพงประสงค ในการพฒนาผเรยนตามหลกสตรแกนกลางการศกษาขนพนฐาน มงพฒนาผเรยนใหม

คณลกษณะอนพงประสงค เพอใหสามารถอยรวมกบผอนในสงคมไดอยางมความสข ทงในฐานะพลเมองไทยและพลโลก ดงน

1. รกชาต ศาสน กษตรย 2. ซอสตยสจรต 3. มวนย 4. ใฝเรยนร 5. อยอยางพอเพยง 6. มงมนในการท างาน 7. รกความเปนไทย 8. มจตสาธารณะ นอกจากน สถานศกษาสามารถก าหนดคณลกษณะอนพงประสงคเพมเตมใหสอดคลองตาม

บรบทและจดเนนของตนเอง


กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ท าไมตองเรยนคณตศาสตร คณตศาสตรเปนเครองมอทมนษยสามารถน าไปใชประโยชนในการแสวงหาความรอนๆ

นอกเหนอจากความรในตวคณตศาสตรทมคณคามหาศาล เพราะอยางนอย คณตศาสตรเปนศาสตรทจะชวยพฒนาผเรยนใหมความร ความสามารถทมนษยพงม ไดแก ความสามารถในการคดค านวณ ซงเปนความสามารถทใชในชวตประจ าวนของทกชนชน ทกระดบ ทกชาต ทกภาษา และทกศาสนา เพยงแคประโยชนอนเปนพนฐานทกลาวมากมคณคาอเนกอนนต นอกจากน คณตศาสตรยงเปนเครองมอทจะชวยพฒนาเยาวชนใหเปนผทมศกยภาพ เปนพลเมองทม คณคา ทกลาวเชนนกเพราะโดยธรรมชาตของวชาคณตศาสตรจะชวยพฒนา เสรมสรางเยาวชนใหเปนผทรจกคด วเคราะห ชางสงเกต มความคดเปนล าดบขนตอน มระเบยบวนย มเหตมผล สามารถคดค านวณกะประมาณไดอยางสมเหตสมผล นอกจากนคณตศาสตรยงเปนศาสตรทจะชวยพฒนาผเรยนใหมศกยภาพทางคณตศาสตร (Mathematical Power) กลาวคอ เปนผทมความสามารถในการวเคราะห สงเคราะห มความสามารถในการแกปญหา มความสามารถในการอปนยและนรนยสถานการณหรอปญหาตางๆ มความสามารถในการคาดเดา มความสามารถในการเชอมโยง และมความสามารถในการใหเหตผล ตลอดจนมวสยทศนและมความคดรเรมสรางสรรค รองศาสตราจารยสเทพ จนทรสมศกด 1 ไดกลาวถงประโยชนทสะทอนใหเหนถงความส าคญของคณตศาสตรไวในหนงสอคณตศาสตรศกษา ในบทความเรองเรยนคณตศาสตรไปท าไม ซงสรปไดดงน

คณตศาสตรท าใหค านวณเปน คณตศาสตรจะชวยฝกวธการใชความคดพจารณาเรองตางๆ โดยใชเหตผลดวย

ความเปนธรรม ปราศจากอคต ทงนเพราะการเรยนวชาคณตศาสตรผเรยนจะไดฝกแกปญหา และการแกปญหาทกครงตองยดขอมลทก าหนดใหเทานนเปนหลก ไมอนญาตใหน าความเหนสวนตวหรอขอคดเหนของตนเองหรอของคนอนมาอาง

คณตศาสตรชวยฝกใหนกเรยนรจกพดและเขยนไดตามทตนคด ทงนเพราะเมอนกเรยนไดฝกแกปญหาในทางคณตศาสตรแลว จะเปนดวยวธใดกตาม กดจะเปนการเพยงพอทผเรยนคณตศาสตรจะตองสามารถเรยงล าดบแนวคดเปนขนตอน แลวน าเสนอหรอสอสารใหครอาจารย และผอนใหไดเขาใจวาตนเองคดหรอสรปผลมาไดอยางไร เปนการพฒนาทกษะการน าเสนอ (Presentation Skill) ทกษะการแทนคา (Representation Skill) และทกษะการสอสารหรอการสอความหมาย (Communication Skill) ซงลวนแตเปนทกษะทส าคญและจ าเปนทางคณตศาสตรทควรตระหนกในการเรยนการสอนคณตศาสตร

1 สเทพ จนทรสมศกด. (2519). คณตศาสตรศกษา. กรงเทพฯ : หนวยศกษานเทศก กรมสามญศกษา


คณตศาสตรฝกใหใชระบบเพอชวยใหเขาใจสงคมไดดยงขน จะเหนไดวาสงคมมนษยเราใชระบบและวธการของคณตศาสตรหลายประการ เชน รฐธรรมนญ ซงประกอบไปดวยขอตกลงพนฐาน ซงในทางคณตศาสตรไดแก อนยาม นยาม กฎ และสมบตตางๆ ทางคณตศาสตร มาน าก าหนดเปนกฎหมาย ซงในทางคณตศาสตรกคอทฤษฎบท ซงสรปมาจากขอตกลงในรฐธรรมนญ คดความตางๆ คอโจทยปญหา (Problem) การตดสนคดคอการแกโจทยปญหา (Problem Solving) โดยใชตรรกวทยามาสรปตความ ใหไดผลสรปทสอดคลองกบทฤษฎ (กฎหมายตางๆ) หรอขอตกลงพนฐาน (รฐธรรมนญ) เมอเขาใจไดเชนนแลวจะเหนความส าคญของรฐธรรมนญยงขน เพราะถาขอตกลงพนฐาน (รฐธรรมนญ) ไมเหมาะสมหรอไมยตธรรม กฎหมาย และการตดสนคดความตาง ๆ ยอมไมเหมาะสมหรอไมยตธรรมตามมาดวย

กลาวโดยสรปคณตศาสตรมบทบาทส าคญยงตอการพฒนาความคดของมนษย ท าใหมนษยมความคดสรางสรรค คดอยางมเหตผล เปนระบบ เปนระเบยบ มแบบแผน นอกจากนคณตศาสตรยงชวยพฒนาใหมนษยคดวเคราะหปญหาและสถานการณ ท าใหสามารถคาดการณ วางแผนการแกปญหา และตดสนใจไดอยางเหมาะสม ยงกวานนคณตศาสตรยงเปนเครองมอทมนษยน าไปใชในการศกษาและพฒนาคณภาพชวตใหดขน เพราะหากไมมคณตศาสตรแลววทยาศาสตรและเทคโนโลยกจะพฒนาไปไมได ดงจะเหนไดจากค ากลาวของ Charles Darwin ทกลาวถงคณคาของคณตศาสตรไววา “การคนพบสงใหมๆ ทกครงตองอยในรปของคณตศาสตร เพราะวาไมมสงอนใดทจะสามารถน าทางเราได”

เรยนรอะไรในคณตศาสตร

กลมสาระการเรยนรคณตศาสตรเปดโอกาสใหเยาวชนทกคนไดเรยนรคณตศาสตรอยางตอเนอง ตามศกยภาพ โดยก าหนดสาระหลกทจ าเปนส าหรบผเรยนทกคนดงน

สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ: ความคดรวบยอดและความรสกเชงจ านวน ระบบจ านวนจรง สมบตเกยวกบจ านวนจรง การด าเนนการของจ านวน อตราสวน รอยละ การแกปญหาเกยวกบจ านวน และการใชจ านวนในชวตจรง

สาระท 2 การวด: ความยาว ระยะทาง น าหนก พนท ปรมาตรและความจ เงนและเวลา หนวยวดระบบตางๆ การคาดคะเนเกยวกบการวด อตราสวนตรโกณมต การแกปญหาเกยวกบการวด และการน าความรเกยวกบการวดไปใชในสถานการณตางๆ

สาระท 3 เรขาคณต: รปเรขาคณตและสมบตของรปเรขาคณตหนงมต สองมต และสามมต การนกภาพ แบบจ าลองทางเรขาคณต ทฤษฎบททางเรขาคณต การแปลงทางเรขาคณต (geometric transformation)ในเรองการเลอนขนาน (translation) การสะทอน (reflection) และการหมน (rotation)


สาระท 4 พชคณต: แบบรป (pattern) ความสมพนธ ฟงกชน เซตและการด าเนนการของเซต การใหเหตผล นพจน สมการ ระบบสมการ อสมการ กราฟ ล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณต อนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณต

สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน: การก าหนดประเดน การเขยนขอค าถาม การก าหนดวธการศกษา การเกบรวบรวมขอมล การจดระบบขอมล การน าเสนอขอมล คากลางและการกระจายของขอมล การวเคราะหและการแปลความขอมล การส ารวจความคดเหน ความนาจะเปน การใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนในการอธบายเหตการณตางๆ และชวยในการตดสนใจในการด าเนนชวตประจ าวน

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร: การแกปญหาดวยวธการทหลากหลาย การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร และการเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และความคดรเรมสรางสรรค

สาระและมาตรฐานการเรยนร

สาระท 1 จ านวนและการด าเนนการ มาตรฐาน ค 1.1 เขาใจถงความหลากหลายของการแสดงจ านวน และการใชจ านวนใน

ชวตจรง มาตรฐาน ค 1.2 เขาใจถงผลทเกดขนจากการด าเนนการของจ านวน และความสมพนธ

ระหวางการด าเนนการตางๆ และสามารถใชการด าเนนการในการแกปญหา

มาตรฐาน ค 1.3 ใชการประมาณคาในการค านวณและแกปญหา มาตรฐาน ค 1.4 เขาใจระบบจ านวนและน าสมบตเกยวกบจ านวนไปใช

สาระท 2 การวด มาตรฐาน ค 2.1 เขาใจพนฐานเกยวกบการวด วดและคาดคะเนขนาดของสงท

ตองการวด มาตรฐาน ค 2.2 แกปญหาเกยวกบการวด

สาระท 3 เรขาคณต มาตรฐาน ค 3.1 อธบายและวเคราะหรปเรขาคณตสองมตและสามมต มาตรฐาน ค 3.2 ใชการนกภาพ (Visualization) ใชเหตผลเกยวกบปรภม (Spatial

reasoning) และใชแบบจ าลองทางเรขาคณต (Geometric model) ในการแกปญหา

สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.1 เขาใจและวเคราะหแบบรป (Pattern) ความสมพนธ และฟงกชน


มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตร (Mathematical model) อนๆ แทนสถานการณตาง ๆ ตลอดจนแปลความหมาย และน าไปใชแกปญหา

สาระท 5 การวเคราะหขอมลและความนาจะเปน มาตรฐาน ค 5.1 เขาใจและใชวธการทางสถตในการวเคราะหขอมล มาตรฐาน ค 5.2 ใชวธการทางสถตและความรเกยวกบความนาจะเปนในการ

คาดการณไดอยางสมเหตสมผล มาตรฐาน ค 5.3 ใชความรเกยวกบสถตและความนาจะเปนชวยในการตดสนใจและ

แกปญหา สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร

มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

หมายเหต 1. การจดการเรยนการสอนคณตศาสตรทท าใหผเรยนเกดการเรยนรอยางม

คณภาพนน จะตองใหมความสมดลระหวางสาระดานความร ทกษะและกระบวนการ ควบคไปกบคณธรรม จรยธรรม และคานยมทพงประสงค ไดแก การท างานอยางมระบบมระเบยบ มความรอบคอบ มความรบผดชอบ มวจารณญาณ มความเชอมนในตนเอง พรอมทงตระหนกในคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร

2. ในการวดและประเมนผลดานทกษะและกระบวนการ สามารถประเมนในระหวางการเรยนการสอน หรอประเมนไปพรอมกบการประเมนดานความร


คณภาพผเรยน จบชนมธยมศกษาปท 6

1. มความคดรวบยอดเกยวกบระบบจ านวนจรง คาสมบรณของจ านวนจรง จ านวนจรงทอยในรปกรณฑ และจ านวนจรงทอยในรปเลขยกก าลงทมเลขชก าลงเปนจ านวนตรรกยะ หาคาประมาณของจ านวนจรงทอยในรปกรณฑ และจ านวนจรงทอยในรปเลขยกก าลงโดยใชวธการค านวณทเหมาะสมและสามารถน าสมบตของจ านวนจรงไปใชได

2. น าความรเรองอตราสวนตรโกณมตไปใชคาดคะเนระยะทาง ความสง และแกปญหาเกยวกบการวดได

3. มความคดรวบยอดในเรองเซต การด าเนนการของเซต และใชความรเกยวกบแผนภาพเวนน-ออยเลอรแสดงเซตไปใชแกปญหา และตรวจสอบความสมเหตสมผลของการใหเหตผล

4. เขาใจและสามารถใชการใหเหตผลแบบอปนยและนรนยได 5. มความคดรวบยอดเกยวกบความสมพนธและฟงกชน สามารถใชความสมพนธและ

ฟงกชนแกปญหาในสถานการณตางๆ ได 6. เขาใจความหมายของล าดบเลขคณต ล าดบเรขาคณต และสามารถหาพจนทวไปได

เขาใจความหมายของผลบวกของ n พจนแรกของอนกรมเลขคณต อนกรมเรขาคณต และหาผลบวก n พจนแรกของอนกรมเลขคณต และอนกรมเรขาคณตโดยใชสตรและน าไปใชได

7. รและเขาใจการแกสมการ และอสมการตวแปรเดยวดกรไมเกนสอง รวมทงใชกราฟของสมการ อสมการ หรอฟงกชนในการแกปญหา

8. เขาใจวธการส ารวจความคดเหนอยางงาย เลอกใชคากลางไดเหมาะสมกบขอมลและวตถประสงค สามารถหาคาเฉลยเลขคณต มธยฐาน ฐานนยม สวนเบยงเบนมาตรฐาน และเปอรเซนไทลของขอมล วเคราะหขอมล และน าผลจากการวเคราะหขอมลไปชวยในการตดสนใจ

9. เขาใจเกยวกบการทดลองสม เหตการณ และความนาจะเปนของเหตการณ สามารถใชความรเกยวกบความนาจะเปนในการคาดการณ ประกอบการตดสนใจ และแกปญหาในสถานการณตางๆ ได

10. ใชวธการทหลากหลายแกปญหา ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร และเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณ ตางๆ ไดอยางเหมาะสม ใหเหตผลประกอบการตดสนใจ และสรปผลไดอยางเหมาะสม ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอ ไดอยางถกตอง และชดเจน เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค


ค าอธบายรายวชา

วชาคณตศาสตรเพมเตม 1 (ค31201) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 1 กลมสาระการเรยนรคณตศาสตร 1.5 หนวยกต เวลา 3 ชวโมง/สปดาห/ภาค

(ความร) เพอใหผเรยนมความร ความเขาใจ มความคดรวบยอด และสามารถน าความรไปประยกตใชไดในเนอหาเกยวกบ ระบบสมการเชงเสนและเมทรกซ บทนยามของเมทรกซ การด าเนนการของเมทรกซ ตวก าหนด (ดเทอรมแนนต) ไมเนอร และตวประกอบรวมเกยว (โคแฟกเตอร ) การหาตวก าหนดโดยการกระจายโคแฟกเตอร เมทรกซผกผน การแทนระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ กฎเกณฑของคราเมอร การด าเนนการตามแถวเบองตน เรขาคณตวเคราะหเบองตนและภาคตดกรวย ระยะทางระหวางจดสองจด จดกงกลาง ระยะทางระหวางเสนตรงกบจด ความชนของเสนตรง ความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรง เสนขนาน และเสนตงฉาก การหาสมการเสนตรงทต งฉากหรอขนานกบเสนตรงทก าหนดให วงกลม วงร พาราโบลา ไฮเพอรโบลา และการเลอนแกน (ทกษะ) โดยจดประสบการณใหผเรยนไดศกษา ฝกทกษะการคดค านวณ และแกโจทยปญหา เพอพฒนาทกษะกระบวนการในการคดค านวณ การแกปญหา การใหเหตผล การสอความหมายทางคณตศาสตร การน าเสนอ และน าประสบการณดานความร ความคด และทกษะกระบวนการเชอมโยงความรตางๆ ในวชาคณตศาสตร และเชอมโยงกบศาสตรอนๆ พรอมทงบรณาการหลกปรชญาของเศรษฐกจพอเพยง และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค (คณลกษณะอนพงประสงค) รวมทงเหนคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร มความตรงตอเวลา สามารถท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ มความรบผดชอบ มความคดสรางสรรค ใฝรใฝเรยน และเชอมนในตนเอง วดผลและประเมนผลตามสภาพจรง ดวยวธการทหลากหลาย ทงเนอหา ทกษะกระบวนการ และคณลกษณะอนพงประสงค มาตรฐาน ค 3.2, ค 4.1, ค 4.2, ค 6.1 ผลการเรยนร

1 มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ 2 หาดเทอรมแนนตของเมทรกซทมมต n ´ n เมอ n เปนจ านวนเตมบวกทมคาไมเกน 4 3 หาตวผกผนการคณของเมทรกซทมมต n ´ n เมอ n เปนจ านวนเตมบวกทมคาไมเกน 3 4 วเคราะหและหาค าตอบของระบบสมการเชงเสนได 5 มความคดรวบยอดเกยวกบเรขาคณตวเคราะหเบองตน 6 หาระยะทางระหวางจดกบเสน และระยะหางระหวางเสนขนานสองเสนได 7 เขยนความสมพนธทมกราฟเปนเสนตรงได 8 เขยนความสมพนธทมกราฟเปนภาคตดกรวยได 9 แกปญหาเกยวกบเรขาคณตวเคราะหและภาคตดกรวยในสถานการณตางๆ ได


ผงมโนทศน เรองเมทรกซและระบบสมการเชงเสน

ตวผกผนของเมทรกซ

บทนยามของเมทรกซ

เมทรกซและ ระบบสมการเชงเสน

การด าเนนการของเมทรกซ

- การบวกเมทรกซ - การลบเมทรกซ - การคณเมทรซดวยจ านวนจรง - การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ตวก าหนด

เมทรกซทมมต 1 x 1 และ 2 x 2

เมทรกซทมมต 3 x 3 ขนไป

ไมเนอร และโคแฟกเตอร

เมทรกซผกพน

การแกระบบสมการเชงเสนโดยใชเมทรกซ

วธตวก าหนด วธด าเนนการตามแถวเบองตน กฎเกณฑของคราเมอร

- บทนยาม - การเขยนเมทรกซ - สญลกษณของเมทรกซ

การแทนระบบสมการเชงเสนดวยเมทรกซ


หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ

บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน

วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ระดบมธยมศกษาตอนปลาย



ผลการเรยนร/ตวชวดและสาระการเรยนรแกนกลาง หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

สาระท 4 พชคณต มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 4.2: ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตรอนๆ

แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา ผลการเรยนร 1. มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐานการเรยนร มาตรฐาน ค 6.1: มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอ

ความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค

ตวชวด 1. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา 2. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาใน

สถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม 4. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการ

น าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน 5. เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทาง

คณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ 6. มความคดรเรมสรางสรรค

หมายเหต: สาระท 6 ทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร เปนสาระทแทรกอยในสาระท 1 และ 4

โดยครผสอนจะสอดแทรกอยในการจดกจกรรมการเรยนร โดยการวดผลประเมนผลทกษะกระบวนการทางคณตศาสตร สามารถท าไดทงระหวางการจดกจกรรมการเรยนการสอน หรออาจจะประเมนไปพรอมกบการวดผลประเมนผลดานความรกได อยทการออกแบบของครผสอน


วเคราะหมาตรฐาน/ผลการเรยนร/สาระการเรยนร หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

สาระ/มาตรฐาน ผลการเรยนร สาระการเรยนร สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.2 ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตรอนๆ แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา

1. มความคดรวบยอดเกยวกบ เมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

- บทนยามของเมทรกซ - เมทรซบางชนด - การด าเนนการของ

เมทรกซ - ทรานสโพสของ

เมทรกซ

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1 มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตรและเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ และมความคดรเรมสรางสรรค สาระท 6 (ตอ)

1. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา

แทรกอยในการจดกจกรรมสาระท 4

2. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาในสถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม

แทรกอยใน การจดกจกรรมสาระท 4

3. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม


4. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการน าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน


5. เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทางคณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ


6. มความคดรเรมสรางสรรค แทรกอยใน การจดกจกรรมสาระท 4


วเคราะหมาตรฐานการเรยนร/ผลการเรยนร/สาระการเรยนร หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

มาตรฐาน/ ผลการเรยนรท

คาดหวง

สาระการเรยนรเพมเตม

ความร ทกษะกระบวนการ คณลกษณะอนพง

ประสงค สาระท 4 พชคณต 1. มความคดรวบ

ยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

1. บทนยามของ เมทรกซ

1. การใหเหตผล 2. การสอสารฯ 3. การเชอมโยงฯ 4. ความคดรเรมฯ

1. มวนย 2. ใฝเรยนร 3. มงมนในการท างาน 4. ซอสตยสจรต

2. ทรานสโพสของเมทรกซ

1. การใหเหตผล 2. การสอสารฯ 3. การเชอมโยงฯ


3. การเทากนของ เมทรกซ

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสารฯ 4. การเชอมโยงฯ


4. การบวก การลบเมทรกซ

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสารฯ 4. การเชอมโยงฯ


5. การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสารฯ 4. การเชอมโยงฯ 5. ความคดรเรมฯ


6. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสารฯ 4. การเชอมโยงฯ 5. ความคดรเรมฯ



ค าอธบายหนวยการเรยนร หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

(ความร) เพอใหผเรยนมความร ความเขาใจ มความคดรวบยอด และสามารถน าความรไปประยกตใชไดในเนอหาเกยวกบบทนยามของเมทรกซ ทรานสโพสของเมทรกซ การเทากบของ เมทรกซการบวกเมทรกซ การลบเมทรกซ การคณดวยจ านวนจรง การคณเมทรกซดวยเมทรกซ (ทกษะ) โดยจดประสบการณใหผเรยนไดศกษา ฝกทกษะการคดค านวณ และแกโจทยปญหา เพอพฒนาทกษะกระบวนการในการคดค านวณ การแกปญหา การใหเหตผล การสอความหมายทางคณตศาสตร และน าประสบการณดานความร ความคด ทกษะกระบวนการทไดไปใชในการเรยนรส งตางๆ และใชในชวตประจ าวนอยางสรางสรรค (คณลกษณะอนพงประสงค) รวมทงเหนคณคาและมเจตคตทดตอคณตศาสตร มความตรงตอเวลา สามารถท างานอยางเปนระบบระเบยบ รอบคอบ มความรบผดชอบ มความคดสรางสรรค ใฝรใฝเรยน และเชอมนในตนเอง วดผลและประเมนผล ดวยวธการทหลากหลายตามสภาพความเปนจรง ทงเนอหา ทกษะกระบวนการ และคณลกษณะทตองการวดผลประเมนผล


ผงมโนทศน หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2


เมทรกซและ ระบบสมการเชงเสน

บทนยาม

การเขยนเมทรกซ

สญลกษณของเมทรกซ

การด าเนนการของเมทรกซ

ทรานสโพสของเมทรกซ

การบวกและการลบเมทรกซ การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

เมทรกซบางชนด

การเทากนของเมทรกซ


การก าหนดโครงสรางหนวยการเรยนร หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

หนวยยอยท

ชอหนวยยอย ผลการเรยนร/

จดประสงคการเรยนร เวลา (ช.ม.)

น าหนก คะแนน

1.1 บทนยามของเมทรกซ

1. มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

จดประสงคการเรยนร 1. บอกบทนยามและสวนประกอบของเมทรกซ

ได 2. เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให สามารถบอก

ไดวาเปนเมทรกซชนดใด

1 0.5

1.2 การเทากนและการคณ เมทรกซดวยจ านวนจรง


จดประสงคการเรยนร 1. บอกนยามของการเทากนของเมทรกซได 2. หาเงอนไขของการเทากนของเมทรกซได 3. หาทรานสโพสของเมทรกซได 4. บอกบทนยามของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรงได

5. หาผลลพธจาการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง เมอก าหนดจ านวนจรงและเมทรกซใดๆ มาใหได

1 1

1.3 การบวกและการลบเมทรกซ


จดประสงคการเรยนร 1. บอกบทนยามการบวกและการลบเมทรกซได 2. หาผลลพธจากการบวกและการลบเมทรกซ เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาใหได

1 1


การก าหนดโครงสรางหนวยการเรยนร (ตอ)

หนวยยอยท

ชอหนวยยอย ผลการเรยนร/

จดประสงคการเรยนร เวลา (ช.ม.)

น าหนก คะแนน

1.4 การคณ เมทรกซดวยเมทรกซ


จดประสงคการเรยนร 1. บอกบทนยามและเงอนไขของการคณเมทรกซดวยเมทรกซได

2. หาผลคณของเมทรกซตงแต 2 เมทรกซขนไป (ถาหาได) เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให

3. บอกสมบตเกยวกบการด าเนนของ เทรกซได

4. น าสมบตเกยวกบการด าเนนการของเมทรกซไปประยกตใชในการแกปญหาได

2 1.5

รวม 5 4


การออกแบบหนวยการเรยนรองมาตรฐาน หนวยการเรยนรท 1 บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ เวลา 5 ชวโมง บทท 1 เมทรกซและระบบสมการเชงเสน รหสวชา ค31202 วชาคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2

1. ความคดรวบยอด (ความเขาใจทลกซง) ผเรยนมความร ความเขาใน วา 1. เมทรกซ เปนการเขยนจ านวนจรงในรปแบบแถว โดยแตละแถวมจ านวนเทากน เมอ

เขยนจ านวนแถวและจ านวนหลกในรปการคณกน เรยกการเขยนนนวามต 2. ทรานสโพสของเมทรกซ คอ เมทรกซทเกดจากการสลบทกนระหวางสมาชกในแถวและ

สมาชกในหลก 3. เมทรกซตงแต 2 เมทรกซขนไปสามารถหาผลลพธจากการบวกและการลบ โดยตองม

เงอนไข คอ มตตองเทากน และสามารถหาผลลพธไดโดย น าสมาชกในต าแหนงเดยวกนมาบวกหรอลบกน

4. การคณเมทรกซดวยจ านวนจรงสามารถท าไดโดยน าจ านวนจรงนน คณกบสมาชกแตละตวของเมทรกซ

5. เมทรกซ 2 เมทรกซใดๆ จะสามารถหาผลคณ เมอ จ านวนหลกของเมทรกซตวตง เทากบจ านวนแถวของเมทรกซทเปนตวคณ และผลลพธจากการคณหาไดจาก ผลรวมของผลคณของสมาชกแตละตวในแถวของตวตงและสมาชกแตละตวในหลกของตวคณ

2. มาตรฐานการเรยนร/ตวชวด

สาระท 4 พชคณต มาตรฐาน ค 4.2: ใชนพจน สมการ อสมการ กราฟ และตวแบบเชงคณตศาสตรอนๆ

แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา ผลการเรยนรทคาดหวง 1. มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

สาระท 6 ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตร มาตรฐาน ค 6.1: มความสามารถในการแกปญหา การใหเหตผล การสอสาร การสอ



ตวชวด 1. ใชวธการทหลากหลายในการแกปญหา 2. ใชความร ทกษะและกระบวนการทางคณตศาสตรและเทคโนโลยในการแกปญหาใน

สถานการณตางๆ ไดอยางเหมาะสม 3. ใหเหตผลประกอบการตดสนใจและสรปผลไดอยางเหมาะสม 4. ใชภาษาและสญลกษณทางคณตศาสตรในการสอสาร การสอความหมาย และการ

น าเสนอไดอยางถกตองและชดเจน 5. เชอมโยงความรตางๆ ในคณตศาสตร และน าความร หลกการ กระบวนการทาง

คณตศาสตรไปเชอมโยงกบศาสตรอนๆ 6. มความคดรเรมสรางสรรค

3. สาระการเรยนร ความร

1. บทนยามของเมทรกซ 2. ทรานสโพสของเมทรกซ 3. การบวก การลบเมทรกซ 4. การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง 5. การคณเมทรกซดวยเมทรกซ

ทกษะ/กระบวนการทตองการเนน 1. การแกปญหา 2. การใหเหตผล 3. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 4. การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตร

อนๆ 5. ความคดรเรมสรางสรรค

คณลกษณะอนพงประสงคทตองการพฒนา 1. มวนย ความตรงตอเวลา 2. ใฝเรยนร 3. มงมนในการท างาน 4. ซอสตยสจรต

4. ชนงาน/ภาระงาน/การแสดงออกและการประเมน 4.1 ชนงาน/ภาระงาน/การแสดงออก

4.1.1 สมดบนทกแบบฝกหด 4.1.2 แผนภาพความคดสรปความคดรวบยอดและตวอยางส าคญของตรรกศาสตร


4.1.3 การทดสอบเรองเมทรกซบางชนด 4.1.4 การทดสอบเรองบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ

4.2 การประเมน ชนงาน ค าอธบายคณภาพงาน (Holistic Rubric2)

สมดบนทกแบบฝกหด รวบรวมแบบฝกหดตามหนงสอแบบเรยน ไมนอยกวารอยละ 60 ของจ าแบบฝกหดทงหมด โดยทกแบบฝกมความถกตองไมนอยกวารอยละ 70 และแสดงถงความมงมนในการท างาน ความคดสรางสรรค แบบฝกหด/งานมความเรยบรอย และสงงานตรงเวลา

แผนภาพความคดรวบยอดเกยวกบบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ

แผนภาพความคดแสดงใหเหนความคดรวบยอดส าคญของบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ พรอมทงแสดงตวอยางส าคญบางประการ จดเนนทส าคญ และขอควรระวงตางๆ โดยน าเสนอดวยรปแบบทสวยงาม เหมาะสม เขาใจงาย แสดงใหเหนถงความมงมนในการท างาน ความคดสรางสรรค ความละเอยดรอบคอบ และสงงานตรงเวลา

การทดสอบเรองเมทรกซบางชนด

ตอบค าถามเรองเมทรกซบางชนดทผเรยนไดศกษาดวยตนเองจากเอกสารเพมเตม เรอง เมทรกซบางชนด โดยตองตอบถกตองไมนอยกวารอยละ 60 ของคะแนนสงสดของนกเรยนในหอง (เนองจากเมทรกซบางเมทรกซสามารถระบวาเปนเมทรกซไดมากกวา 1 ชนด ดงนน คะแนนเตมของแตละหองอาจจะไมเทากน)

การทดสอบเรองบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ

ท าแบบทดสอบเรองบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซไดไมนอยกวารอยละ 60 ของคะแนนเตม โดยในระหวางท าแบบทดสอบนกเรยนท าดวยความซอสตยสจรต และมความมงมนในการท างาน

2 เกณฑการใหคะแนนรวม การใหคะแนนแบบเกณฑรวมเปนการพจารณาผลงานของผเรยนในภาพรวมวามคณภาพระดบใด


5. กจกรรมการเรยนรทส าคญ/ก าหนดการสอน ครงท

จดประสงคการเรยนร สาระการเรยนร

ทกษะ การคด

ชนงาน/ภาระงาน

วธสอน เวลา

1. 1. บอกบทนยามและสวนประกอบของเมทรกซได

2. เมอก าหนด เมทรกซใดๆ มาให สามารถบอกไดวาเปนเมทรกซชนดใด

- บทนยามของ เมทรกซ

- เมทรกซบางชนด

- เชอมโยง - วเคราะห

- สมดบนทกแบบฝกหด

- การทดสอบเรอง เมทรกซบางชนด

1. ศกษาบทยามของเมทรกซพรอมตวอยางเมทรกซ

2. ศกษาวธการเขยนเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ

3. ท าแบบฝกหด 4. ศกษาใบความร

เรองเมทรกซบางชนด (ศกษาดวยตนเอง)

5. ทดสอบเรอง เมทรกซบางชนด (นอกเวลาเรยน)

1 ช.ม.

2. 1. บอกนยามของ การเทากนของ เมทรกซได

2. หาเงอนไขของ การเทากนของ เมทรกซได

3. หาทรานสโพสของเมทรกซได

4. บอกบทนยามของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรงได


- ทรานสโพสของเมทรกซ

- การเทากนของ เมทรกซ

- การคณ เมทรกซดวยจ านวนจรง

- เชอมโยง - วเคราะห - สง- เคราะห


1. ศกษาบทนยามของทรานสโพส ของเมทรกซ

2. ศกษาและท าความเขาใจตวอยางของการเทากนของ เมทรกซ

3. ศกษาบทนยามและเงอนไขของการบวกและการลบเมทรกซ

4. ศกษาและท าความเขาใจตวอยางเกยวกบการบวกและการลบ เมทรกซ

5. ท าแบบฝกหด

1 ช.ม.

3. 1. บอกบทนยามของการบวกและการ

- การบวกและการลบ



1. ศกษาบทนยามของการคณเมทรกซ

1 ช.ม.


ครงท





ลบเมทรกซได 2. หาผลลพธจากการ

บวกและการลบเมทรกซ เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาใหได

เมทรกซ ดวยจ านวนจรง 2. ศกษาและท าความ

เขาใจตวอยางเกยวกบการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

3. ท าแบบฝกหด 4. 1. บอกบทนยามและ

เงอนไขของการคณเมทรกซดวยเมทรกซได

2. หาผลคณของเมทรกซตงแต 2 เมทรกซขนไป (ถาหาได) เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให

- การคณ เมทรกซดวย เมทรกซ



1. ศกษาบทนยามและเงอนไขของการคณเมทรกซดวย เมทรกซ

2. ศกษา ท าความเขาใจตวอยาง และหาขอสรปเกยวกบการคณเมทรกซแบบแถวดวย เมทรกซแบบหลก

3. ศกษา ท าความเขาใจตวอยาง และหาขอสรปเกยวกบการคณเมทรกซดวยเมทรกซ

4. ท าแบบฝกหด

1 ช.ม.

5. 1. หาผลคณของเมทรกซตงแต 2 เมทรกซขนไป (ถาหาได) เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให

2. บอกสมบตเกยวกบการด าเนนของ เทรกซได

3. น าสมบตเกยวกบการด าเนนการของเมทรกซไปประยกตใชในการแกปญหาได

- การคณ เมทรกซดวย เมทรกซ

- สมบตของการด าเนน-การของเมทรกซ



- แผนภาพความคดฯ

- การทดสอบเรองบทนยามและการด าเนน-การของเมทรกซ

1. ฝกท าโจทยปญหาเกยวกบการคณเมทรกซดวยเมทรกซ

2. ศกษา ท าความเขาใจตวอยางเพอใหไดขอสรปเกยวกบสมบตของการคณเมทรกซดวยเมทรกซ

3. ท าแบบฝกหด 4. ท าแผนภาพ

ความคดรวบยอดเกยวกบบทนยาม

1 คาบ


ครงท





และการด าเนนการของเมทรกซ (นอกเวลา)

5. ท าทดสอบ เรอง บทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ (นอกเวลา)


แผนการจดการเรยนรท 1 เรองบทนยามของเมทรกซ

สาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202) ระดบมธยมศกษาตอนปลาย



หนวยการเรยนรท 1

เรองบทนยามและการด าเนการของเทรกซ

เวลา 1 ชวโมง


แผนการจดการเรยนรท 1 สาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม 2 ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 หนวยการเรยนรท 1 เรองบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ หนวยยอย 1.1 บทนยามของเมทรกซ เวลา 1 ชวโมง

สาระ/มาตรฐานการเรยนร


แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา



แนวความคดหลก/สาระส าคญ

การจดเรยงจ านวนจรงใหเปนแถว แตละแถวมจ านวน จ านวนเทา ๆ กน ภายในวงเลบ ( ) หรอ [ ] เรยกวาเมทรกซ แตละจ านวนในเมทรกซ เรยกวา สมาชกของเมทรกซ

สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวนอน เรยกวาสมาชกทอยในแถว ของเมทรกซ สมาชกของเมทรกซทเรยงกนอยตามแนวตง เรยกวาสมาชกทอยในหลก ของเมทรกซ การเขยนเมรกซอยางยอ หรอเขยนในรปทวไปจะเขยนวา A = [aij]mn

ผลการเรยนรทคาดหวง

มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

จดประสงคการเรยนร

ดานความร 3. บอกบทนยามและสวนประกอบของเมทรกซได 4. เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให สามารถบอกไดวาเปนเมทรกซชนดใด

ดานทกษะกระบวนการ มความสามารถในดานตอไปน

6. การใหเหตผล 7. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 8. การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตรอนๆ


9. ความคดรเรมสรางสรรค

ดานคณลกษณะ


สาระการเรยนร

1. บทนยามของเมทรกซ 2. เมทรกซบางชนด

ทกษะการคด

1. การคดเชอมโยง 2. การคดวเคราะห

การบรณาการ

-

สอการเรยนร/แหลงการเรยนร

1. หนงสอเรยนคณตศาสตร สาระการเรยนรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 ของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)

2. เอกสารเพมเตม 1 เรอง เมทรกซบางชนด 3. แบบฝกทกษะเพมเตม 1 เรอง เมทรกซบางชนด 4. แบบทดสอบเรองเมทรกซบางชนด

กจกรรมการเรยนร

1. นกเรยนศกษาบทยามของเมทรกซ จากนนครอธบายเพมเตมถงวธการเขยนเมทรกซ การเขยนสมาชกของเมทรกซโดยใชดชนลาง (Subscript) สมาชกในแถว สมาชกในหลก และมตของเมทรกซ พรอมตวอยางเมทรกซ

2. ศกษาวธการเขยนเมทรกซและสญลกษณของเมทรกซ 3. นกเรยนศกษาเอกสารเพมเตม 1 เรองเมทรกซบางชนด (ศกษาดวยตนเอง) โดยครคอย

ใหค าแนะน าในระหวางทนกเรยนศกษา 4. นกเรยนท าแบบฝกทกษะเพมเตม 1 5. ทดสอบเรองเมทรกซบางชนด (นอกเวลาเรยน) 6. นกเรยนเตมเนอหาในชวโมงนลงไปในแผนภาพความคด


การวดและประเมนผลการเรยนร

เรองทวดผล วธการวด เครองมอทใช ผลการวดและประเมนผล ดานความร 1. บอกบทนยามและ

สวนประกอบของเมทรกซได

การสงเกต

การถามค าถาม

2. เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให สามารถบอกไดวาเปนเมทรกซชนดใด

การตรวจแบบทดสอบ

แบบทดสอบเรองเมทรกซบางชนด

ดานทกษะกระบวนการ 1. การใหเหตผล 2. การสอสารฯ 3. การเชอมโยงฯ 4. ความคดรเรมสรางสรรค

- การสงเกต - การตรวจงาน

- แบบสงเกต - แบบฝกทกษะเพมเตม 1

- แผนภาพความคดฯ

ดานคณลกษณะ 1. มวนย 2. ใฝเรยนร 3. มงมนในการท างาน 4. ซอสตยสจรต

- การสงเกต - การสงงาน - การตรวจงาน

- แบบสงเกต - บนทก การสงงาน

- แบบฝกทกษะเพมเตม 1

กจกรรมเสนอแนะ


หวหนากลมสาระการเรยนร

(นายชยสทธ คณสวสด) คร หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ครผนเทศ

( ) ต าแหนง

รองผอ านวยการดานการบรหารงานวชาการ

(นางกฤตวรรณ เรองทม) ครช านาญการ ปฏบตหนาท


ผอ านวยการโรงเรยนส าโรงทาบวทยามคม

(นายชเดช อ าพนทอง) ผอ านวยการโรงเรยนส าโรงทาบวทยาคม

บนทกการตรวจและลงนามผตรวจ


บนทกหลงการการจดกจกรรมการเรยนร

แผนการจดการเรยนรท 1 เรอง บทนยามของเมทรกซ วน เดอน ป

ชน บนทกหลงการจดกจกรรมการเรยนร

ผลการจดกจกรรมการเรยนร

ปญหาอปสรรค

ขอเสนอแนะ








บนทกหลงการการจดกจกรรมการเรยนร (ตอ)

แผนการจดการเรยนรท 1 เรอง บทนยามของเมทรกซ วน เดอน ป









สรปผลการจดกจกรรมการเรยนร ผลการจดกจกรรมการเรยนร



ลงชอ ผสอน (นายนฤพนธ สายเสมา)

/ /


ภาคผนวก

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 เรอง



เอกสารเพมเตม 1 เรองเมทรกซบางชนด ประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชอ หอง เลขท

จดประสงคการเรยนร เมอก าหนดเมทรกซใดๆ มาให สามารถบอกไดวาเปนเมทรกซชนดใด

เมทรกซบางชนด

เมทรกซจตรส

บทนยาม 1.1 เมทรกซ A = [aij]m n จะเปนเมทรกซจตรส กตอเมอ m = n

แสดงวาเมทรกซจตรส คอเมรกซทมจ านวนแถวเทากบจ านวนหลก ถา A = [aij]m n เปนเมทรกซจตรสแลวเสนทแยงมมทลากจากมมบนซาย มายงมมลางขวา

จะผานสมาชก a11, a22, a33, a44, …, ann เสนทแยงมมนเรยกวาเสนทแยงมมหลก

A =

nn3n2n1n

n33332an2232221n1131211

aaaa

aaaaaaaaaaa

31

เสนทแยงมมหลก จะพบวา สมาชกทอยเหนอเสนทแยงมมหลกทกตว คอ aij เมอ i < j สมาชกทอยบนเสนทแยงมมหลกทกตว คอ aij เมอ i = j สมาชกทอยใตเสนทแยงมมหลกทกตว คอ aij เมอ i > j

ตวอยางเมทรกซจตรส ไดแก [ -5 ] มมต 1 1

12

21 มมต 2 2

131042321

มมต 3 3 เปนตน

เมทรกซศนย

บทนยาม 1.2 ถา A = [aij]m n เราจะเรยก A วาเปนเมทรกซศนย กตอเมอ aij = 0 เมอ i = 1, 2, …, m และ j = 1, 2, …, n

กลาวอยางงาย ๆ กคอ เมทรกซศนยคอเมทรกซทมสมาชกทกตวเปน 0 เชน


[0] เปนเมทรกซศนยทมมต 1 1

0000

เปนเมทรกซศนยทมมต 2 2

000000

เปนเมทรกซศนยทมมต 2 3

สญลกษณ ถา A เปนเมทรกซศนยทมมต m n เราจะใชสญลกษณแทน A ดงน A = 0m n หรอ A = 0

เมทรกซสามเหลยมดานบน

บทนยาม 1.3 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรส แลวเราจะเรยก A วาเปนเมทรกซสามเหลยมดานบนกตอเมอ aij = 0 เมอ i > j

จากบทนยาม 1.3 อาจกลาวไดวา เมทรกซจตรสใดกตามทจะเปนเมทรกซสามเหลยมดานบนไดกตอเมอสมาชกทกตวของ A ทอยใตเสนทแยงหลกทกตวมคาเทากบ 0 สวนสมาชกทอยเหนอเสนทแยงมมหลกหรออยบนเสนทแยงมมหลกจะมคาเทาใดกได

ตวอยางเมทรกซสามเหลยมดานบน เชน

5021

,

600200501

,

1000540026104032

เมทรกซสามเหลยมดานลาง

บทนยาม 1.4 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรส แลวเราจะเรยก A วาเปนเมทรกซสามเหลยมดานลางกตอเมอ aij = 0 เมอ i < j

จากบทนยาม 1.4 อาจกลาวไดวา เมทรกซจตรสใดกตามทจะเปนเมทรกซสามเหลยมดานลางไดกตอเมอสมาชกทกตวของ A ทอยเหนอเสนทแยงหลกมคาเทากบ 0 สวนสมาชกทอยใตเสนทแยงมมหลกหรออยบนเสนทแยงมมหลกจะมคาเทาใดกได

ตวอยางเมทรกซสามเหลยมดานลาง เชน

5101

,

602031001

,

2131010400230002

บทนยาม 1.5 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรส แลวเราจะเรยก A วาเปนเมทรกซสามเหลยม กตอเมอ A เปนเมทรกซสามเหลยมดานบนหรอสามเหลยมดานลาง (อยางใดอยางหนง หรอทงสองอยาง)


เมทรกซทแยงมม

บทนยาม 1.6 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรส แลวเราจะเรยก A วาเปนเมทรกซทแยงมม

กตอเมอ aij = 0 เมอ i j

หรอกลาววา A จะเปนเมทรกซทแยงมมกตอเมอสมาชกทกตวของ A ทไมอยบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 0 หรอ A เปนทงเมทรกซสามเหลยมดานบนและเมทรกซสามเหลยมดานลาง

ตวอยางของเมทรกซทแยงมม เชน

5001

,

600030001

,

2000010000200002

,

000000000

สญลกษณ ถา A = [aij]m n เปนเมทรกซทแยงมมเราจะเขยนวา A = diag (a11, a22, …, ann)

เมทรกซสเกลาร

บทนยาม 1.7 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรสแลว เราจะเรยก A วาเปนเมทรกซสเกลาร กตอเมอ 1) A เปนเมทรกซทแยงมม และ 2) สมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากน

ตวอยางเชน

1001

,

300030003

,

300030003

,

2000020000200002

ขอสงเกต 1) ถา A เปนเมทรกซสเกลารแลว A เปนเมทรกซทแยงมม (บทกลบไมจรง)

2) ถา A เปนเมทรกซสเกลารแลว A เปนเมทรกซสามเหลยม (บทกลบไมจรง)

เมทรกซเอกลกษณ

บทนยาม 1.8 ถา A = [aij]n n เปนเมทรกซจตรสแลว เราจะเรยก A วาเปนเมทรกซเอกลกษณ กตอเมอ 1) A เปนเมทรกซสเกลาร และ 2) สมาชกทกตวบนเสนทแยงมมหลกมคาเทากบ 1



1001

,

100010001

,

1000010000100001

ขอสงเกต 1) ถา A เปนเมทรกซเอกลกษณแลว A เปนเมทรกซสเกลาร (บทกลบไมจรง)

2) ถา A เปนเมทรกซเอกลกษณแลว A เปนเมทรกซทแยงมม (บทกลบไมจรง) 3) ถา A เปนเมทรกซเอกลกษณแลว A เปนเมทรกซสามเหลยม (บทกลบไมจรง)

เมทรกซแบบแถว

บทนยาม 1.9 เมทรกซแบบแถว หมายถง เมทรกซทมมต 1 n หรอกลาววาเมทรกซแบบแถวคอเมทรกซทมเพยงแถวเดยว ตวอยางเชน [1 2 1] มมต 1 3 [0 1 2 0 -2] มมต 1 5 [1] มมต 1 1 เปนตน

เมทรกซแบบหลก

บทนยาม 1.10 เมทรกซแบบหลก หมายถง เมทรกซทมมต n 1 หรอกลาววาเมทรกซแบบหลกคอเมทรกซทมเพยงหลกเดยว แตจะมกแถวกได


21

,

201

, , [2]


แบบฝกทกษะเพมเตม 1 เรองเมทรกซบางชนด ประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชอ หอง เลขท

จงบอกชนดของเมทรกซทก าหนดให

เมทร

กซจต

รส

เมทร

กซศน

ย

เมทร

กซสามเหล

ยมดานบ

น เมทร

กซสามเหล

ยมดานล

าง เมทร

กซทแ

ยงมม

เมทร

กซสเกล

าร

เมทร

กซเอกล

กษณ

เมทร

กซแบ

บแถว

เมทร

กซแบ

บหลก

1.

0251

2.

0000

3.

02

20

4.

4050

5.

200030001

6.

002030100

7.

600060006

8.

100010001

]

9. [0 0 0 0]

10.

020


แบบทดสอบยอยท 1 เรองเมทรกซบางชนด ประกอบแผนการจดการเรยนรท 1 ชอ หอง เลขท

จงพจารณาวาขอความตอไปนถกตองหรอไม 1) เมทรกซศนยเปนเมทรกซสามเหลยม ( ) 2) เมทรกซศนยเปนเมทรกซทแยงมม ( ) 3) มเมทรกซสเกลารบางเมทรกซไมเปนเมทรกซทแยงมม ( ) 4) มเมทรกซแบบแถวบางเมทรกซซงเปนเมทรกซจตรส ( ) 5) เมทรกซแบบหลกทกเมทรกซไมเปนเมทรกซจตรส ( ) 6) มเมทรกซสามเหลยมดานบนบางเมทรกซทเปนเมทรกซสามเหลยมดานลาง ( ) 7) เมทรกซเอกลกษณเปนเมทรกซสเกลาร ( ) 8) เมทรกซสเกลารไมเปนเมทรกซเอกลกษณ ( )


แผนการจดการเรยนรท 2

เรองการเทากน และการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

สาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202)

ระดบมธยมศกษาตอนปลาย ชนมธยมศกษาปท 4

ภาคเรยนท 2


หนวยการเรยนรท 1

เรองบทนยามและการด าเนการของเทรกซ

เวลา 1 ชวโมง


แผนการจดการเรยนรท 2 สาระการเรยนรคณตศาสตรเพมเตม 2 ชนมธยมศกษาปท 4 ภาคเรยนท 2 หนวยการเรยนรท 1 เรองบทนยามและการด าเนนการของเมทรกซ หนวยยอย 1.2 การเทากน และการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง เวลา 1 ชวโมง

สาระ/มาตรฐานการเรยนร


แทนสถานการณตางๆ ตลอดจนแปลความหมายและน าไปใชแกปญหา



แนวความคดหลก/สาระส าคญ

เมทรกซสลบเปลยน (ทรานสโพสของเมทรกซ: Transpose)

บทนยาม ถา A = [aij]m n แลวเมทรกซสลบเปลยนของ A จะเขยนแทนดวยสญลกษณ At จะเปนเมทรกซ [bij]n m โดยท bij = aji

เมอ i = 1, 2, 3, …, n และ j = 1, 2, 3, …, m

สมบตของเมทรกซสลบเปลยน

1. ถา A เปนเมตรกซทมมต m n แลว (AT)T = A 2. ถา A เปนเมตรกซทมมต m n และ k เปนจ านวนจรง แลว (kA)T = kAT 3. ถา A และ B เปนเมตรกซทมมต m n แลว (A B)T = AT BT 4. ถา A เปนเมตรกซทมมต m n และ B เปนเมตรกซทมมต n k แลว (AB)T = BTAT


การเทากนของเมทรกซ

บทนยาม เมทรกซ A = nmija ][ และ B = qpijb ][ จะเปนเมทรกซทเทากน (เขยนแทนดวย A = B) กตอเมอ

1) m = p และ n = q และ

2) aij = bij ส าหรบทก i = 1, 2, 3, …, m และ j = 1, 2, 3, …, n

นนคอ A = B กตอเมอ 1) A และ B มมตเดยวกน และ 2) สมาชกของ A และ B ทอยต าแหนงเดยวกนเทากนทกตว ถาขาดสมบตขอใดขอหนงแลวจะไดวา A ไมเทากบ B เขยนแทนดวย A B

การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

บทนยาม ถา A = nmija ][ และ c เปนจ านวนจรง ผลคณของ c และ A จะเขยนแทนดวยสญลกษณ cA ซงเปนเมทรกซทมมต m n และนยามวา cA = nmijca ][

จากบทนยาม 5.1 จะไดวา

cA = c

mnmmm

nnn

aaaa

aaaaaaaaaaaa

321

3 333222322211131211

31 =

mnmmm

nnn

cacacaca

cacacacacacacacacacacaca

321

3 333222322211131211

31

สมบตของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง 1. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ แลว 1A = A 2. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ แลว (-1)A = -A 3. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ และ c, d เปนจ านวนจรง แลว (c + d)A = cA + dA 4. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ และ c, d เปนจ านวนจรง แลว (cd)A = c(dA) = d(cA) 5. ถา A และ B เปนเมทรกซทมมตเทากน และ c เปนจ านวนจรง

แลว c(A + B) = cA + cB 6. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ และ n เปนจ านวนเตมบวก

แลว nA = A + A + … + A (n เมทรกซ) 7. ถา A เปนเมทรกซใด ๆ แลว 0A = 0 8. ถา c เปนจ านวนจรงใด ๆ แลว c0 = 0


ผลการเรยนรทคาดหวง

มความคดรวบยอดเกยวกบเมทรกซและการด าเนนการของเมทรกซ

จดประสงคการเรยนร

ดานความร 6. บอกบทนยามของการเทากนของเมทรกซได 7. หาเงอนไขของการเทากนของเมทรกซได 8. หาทรานสโพสของเมทรกซได 9. บอกบทนยามของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรงได 10. หาผลลพธจาการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง เมอก าหนดจ านวนจรงและเมทรกซ

ใดๆ มาใหได

ดานทกษะกระบวนการ มความสามารถในดานตอไปน

10. การแกปญหา 11. การใหเหตผล 12. การสอสาร การสอความหมายทางคณตศาสตรและการน าเสนอ 13. การเชอมโยงความรตางๆ ทางคณตศาสตร และเชอมโยงคณตศาสตรกบศาสตร

อนๆ 14. ความคดรเรมสรางสรรค

ดานคณลกษณะ


สาระการเรยนร

3. ทรานสโพสของเมทรกซ 4. การเทากบของเมทรกซ 5. การบวกและการลบเมทรกซ

ทกษะการคด

3. การคดเชอมโยง 4. การคดวเคราะห 5. การคดสงเคราะห


การบรณาการ

-

สอการเรยนร/แหลงการเรยนร

5. หนงสอเรยนคณตศาสตร สาระการเรยนรเพมเตม ชนมธยมศกษาปท 4 ของสถาบนสงเสรมการสอนวทยาศาสตรและเทคโนโลย (สสวท.)

6. แบบฝกทกษะเพมเตม 2 เรอง การเทากนของเมทรกซ 7. แบบฝกทกษะเพมเตม 3 เรอง การคณเมทรกซดวยจ านวนจรง

กจกรรมการเรยนร

7. ครอธบายเพมเตมเกยวกบแบบฝกหดทนกเรยนไดท าเปนการบาน โดยครไดตรวจแลว พรอมทงใหขอสงเกตการท างาน หรออธบายเพมเตมในประเดน/เนอหาทนกเรยนเขาใจไมถกตอง (ถาม)

8. นกเรยนศกษาบทนยามของการเทากนของเมทรกซ ครอธบายเพมเตม 9. นกเรยนศกษาตวอยางของการแสดงเงอนไขของการเทากนของเมทรกซ พรอมทงหา

เงอนไขนน จากตวอยางท 1 และตวอยางท 2 ในหนงสอแบบเรยน 10. นกเรยนท าแบบฝกทกษะเพมเตม 2 เรองการเทากนของเมทรกซ เมอนกเรยนท าเสรจ

ตวแทนนกเรยนออกมาแสดงวธการหาค าตอบบนกระดาน ครและนกเรยนในหองรวมชนชมดวยการปรบมอให (ในชวงนครควรจดบนทกนกเรยนทออกมาแสดงวธการหาค าตอบดงกลาวดวย)

11. นกเรยนศกษาบทนยามของเมทรกซสลบเปลยน หรอทรานสโพสของเมทรกซ โดยครอธบายเพมเตมพรอมยกตวอยางประกอบ

12. นกเรยนศกษาบทนยามของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง ครอธบายบทนยามเพมเตม พรอมยกตวอยาง

13. นกเรยนท าแบบฝกทกษะเพมเตม 3 เรองการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง 14. นกเรยนเตมเนอหาในชวโมงนลงไปในแผนภาพความคด

การวดและประเมนผลการเรยนร

เรองทวดผล วธการวด เครองมอทใช ผลการวดและประเมนผล ดานความร 3. บอกบทนยามของการ

เทากนของเมทรกซได

a. การสงเกต

b. การถามและ การตอบค าถาม

4. หาเงอนไขของการเทากนของเมทรกซได

a. การตรวจงาน

b. แบบฝกทกษะเพมเตม 2

5. หาเมทรกซสลบเปลยนได




เรองทวดผล วธการวด เครองมอทใช ผลการวดและประเมนผล

6. บอกบทนยามของการคณเมทรกซดวยจ านวนจรงได

a. การสงเกต

b. การถามและ การตอบค าถาม




ดานทกษะกระบวนการ 5. การใหเหตผล 6. การสอสารฯ 7. การเชอมโยงฯ 8. ความคดรเรมสรางสรรค

- การสงเกต - การตรวจแบบฝกหด

- แบบสงเกต - แบบฝกทกษะเพมเตม 2 – 3

ดานคณลกษณะ 5. มวนย 6. ใฝเรยนร 7. มงมนในการท างาน 8. ซอสตยสจรต

- การสงเกต - การสงงาน - การตรวจงาน

- แบบสงเกต - บนทก การสงงาน

- แบบฝกทกษะเพมเตม 2 – 3

กจกรรมเสนอแนะ


หวหนากลมสาระการเรยนร

(นายชยสทธ คณสวสด) คร หวหนากลมสาระการเรยนรคณตศาสตร

ครผนเทศ

( ) ต าแหนง


(นางกฤตวรรณ เรองทม) ครช านาญการ ปฏบตหนาท


ผอ านวยการโรงเรยนส าโรงทาบวทยามคม

(นายชเดช อ าพนทอง) ผอ านวยการโรงเรยนส าโรงทาบวทยาคม

บนทกการตรวจและลงนามผตรวจ


บนทกหลงการการจดกจกรรมการเรยนร

แผนการจดการเรยนรท 2 เรอง การเทากน และการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง วน เดอน ป












บนทกหลงการการจดกจกรรมการเรยนร (ตอ)

วน เดอน ป ชน

บนทกหลงการจดกจกรรมการเรยนร








สรปผลการจดกจกรรมการเรยนร ผลการจดกจกรรมการเรยนร



ลงชอ ผสอน (นายนฤพนธ สายเสมา)

/ /


ภาคผนวก

ประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 เรอง

การเทากน และการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง


แบบฝกทกษะเพมเตม 2 เรองการเทากนของเมทรกซ ประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 ชอ หอง เลขท

จงแสดงวธท า

1. จงหาจ านวนจรง x ทท าให

605

413 xx =

615140

x

วธท า

2. จงหาจ านวนจรง x ทท าให

86125101212

x

x =

865510123

x

วธท า

3. ก าหนดให A =

2012 yx

, B =

24213

yx จงหาจ านวนจรง x และ y ทท าให A = B

วธท า


แบบฝกทกษะเพมเตม 3 เรองการคณเมทรกซดวยจ านวนจรง ประกอบแผนการจดการเรยนรท 2 ชอ หอง เลขท

จงแสดงวธท า

ก าหนดให A =

011221

และ B =

303241

จงหา

1) -5A วธท า

2) 0.5B วธท า

3) At วธท า

4) Bt วธท า

5) 2At วธท า

6) (2A)t วธท า

7) -3Bt วธท า

8) (-3B)t วธท า

ตัวอย่างแผนการเรียนรู้ backward design...

Education