第 6 章控制系统计算机辅助设计

第六章控制系统计算机辅助设计

6.1 返回总目录返回总目录

第 6 章控制系统计算机辅助设计


6.2

采用 MATLAB ，不仅可以解决控制系统的分析问题，还能解决控制系统的设计问题，并使设计过程大大简化，大大提高设计效率。本章将详细介绍如何利用 MATLAB 提供的功能函数进行控制系统的设计。从内容安排上，本章将分别介绍工程上几种常见的控制系统设计方法及其基本原理、设计步骤和相应的 MATLAB 功能函数，然后分别以实例介绍控制系统的具体设计过程，并对设计结果进行校验和 MATLAB 仿真。


6.3

概述本章介绍控制系统中的计算机辅助设计，即在给定受控对象数学模型和系统性能指标的条件下，采用 MATLAB 函数工具，设计一个能够达到给定性能指标的控制器 ( 又称为校正器或者调节器 ) ，也就是确定控制器的结构与参数。这里，受控对象数学模型主要是指传递函数和状态空间表达式；系统性能指标主要包括频域指标 ( 含增益裕量、相位裕量、剪切频率等 ) 、时域指标( 含稳态误差、静态误差系数 K、超调量、峰值时间、调节时间等 ) 、最优控制中的线性二次型指标等。本章要设计的控制器主要包括常用的超前 / 滞后校正器 ( 包括超前校正器、滞后校正器、滞后 - 超前校正器 ) 、比例积分微分 (PID) 控制器 ( 包括 P 、 PI 、 PD 、 PID 四种控制器 ) 和线性二次型状态反馈最优控制器。设计超前 / 滞后校正器主要采用 Bode 图设计法，设计 PID 控制器主要采用 Ziegler-Nichols 经验整定公式，最优控制器设计主要是求解代数黎卡提 (Riccati) 方程。设计工具就是 MATLAB提供的有关控制系统分析和设计的功能函数。

gL c

sse % pt

st


6.4

概述单位负反馈闭环控制系统的基本结构如图 6.1 所示。图中控制器 Gc(s) 就是要设计的控制器，可以是超前 / 滞后校正器或者是 PID 控制器。


6.5

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计主要就是根据开环系统传递函数、剪切频率及其相位裕量、 -180° 相位穿越频率及其增益裕量来进行设计。对于单位负反馈系统，其开环传递函数为，设在处，若系统开环频率特性的幅值 =1 ，在 Bode 图中即，则称为系统的剪切频率或者叫 0dB 线穿越频率。 Bode 图如图 6.2 所示，相位裕量定义为 (6.1)式中，表示系统开环频率特性在处的相位角。

c g gL

( )G s c

c( j )G c20lg ( j ) 0dBG c

c180 [ ( j )]G

c[ ( j )]G c

设在处，若系统开环频率特性的相位角 = － 180° ，则角频率称为 -180° 相位穿越频率。 Bode 图如图 6.2 所示，增益裕量幅值定义为 (6.2)

g g[ ( j )]G g

gKg

g

1

( j )K

G


6.6

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计增益裕量幅值用分贝 (dB) 表示为 (6.3)在系统的开环频率特性中，通常用相位裕量和增益裕量来描述系统的相对稳定性。根据自动控制理论，若相位裕量 ( ＞ 0) 越大，系统的相对稳定性越好，如图 6.2(a) 所示；若，系统处于临界稳定状态；若＜ 0 ，系统是不稳定的 , 如图 6.2(b) 所示。系统相位裕量表示使系统达到临界状态所需要的附加相移。若增益裕量 ( ＞ 0) 越大或者越小，系统的相对稳定性越好，如图 6.2(a) 所示；若增益裕量 =0 或者 =1 ，系统处于临界稳定状态；若增益裕量＜ 0 或者＜ 1 ，系统是不稳定的，如图 6.2(b) 所示。

gKg g g20lg 20lg ( j )L K G

gL

0

gL g( j )G

gL g( j )G g( j )G

gL

图 6.2 Bode 图


6.7

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计一 . 超前校正器的 Bode 图设计1. 超前校正器的基本特性超前校正器的等效 RC电路如图 6.3 所示，该电路的传递函数可为 (6.4)式中阻抗

容易看出，总是小于 1 。那么，超前校正器的一般公式为 (6.5)

0 2

2

( ) 1( )

( ) 1i

U s R TsGc s

U s Z R Ts

11

11

1

1 1s

s

s

RC R

ZRCR

C

1T RC 2

1 2

R

R R

1

( )1

sc

s

TG s

T

超前校正器的幅频特性和相频特性分别为 (6.6)

(6.7)

2

2

( ) 1( )

( ) 1

TA

T

( ) arctan( ) arctan( )T T

图 6.3 超前校正器的等效 RC

电路


6.8

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计因总是小于 1 ，则相位角总是大于 0 ，所以又把该校正器称为相位超前校正器。幅值取常用对数再乘以 20 ，得到对数幅频特性 ( 单位用分贝dB 表示 ) 为 (6.8)为了直观表达超前校正器的幅频特性和相频特性，现在假设式 6.5 中 T=0.2 ，因，分别取 0.2 、 0.5 、 0.8 三个值时，执行以下 MATLAB 程序绘制超前校正器的 Bode 图，

( )

( )A ( )L 2 2( ) 20lg 10lg[( ) 1] 10lg[( ) 1]L T T

1

图 6.4 超前校正器的 Bode 图 (T=0.2)


6.9

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计如图 6.4 所示。 MATLAB 程序如下：s=tf('s'); % 定义拉普拉斯变换，若按第 4句 Gc=alfa*(T*s+1)/( alfa*T*s+1)输入模型，须先写该句T=0.2;

for alfa=0.2:0.3:0.8

Gc=alfa*(T*s+1)/( alfa*T*s+1);% 超前校正器的传递函数 bode(Gc),hold on %bode( ) 函数画 Bode 图， hold on 命令是指在同一坐标图中画线end

gtext('alfa=0.2'); % 程序运行后，在图上出现十字鼠标，在十字鼠标处单击可打印’ alfa=0.2’

gtext('alfa=0.5');

gtext('alfa=0.8');

gtext('alfa=0.2');

gtext('alfa=0.5');

gtext('alfa=0.8');由图 6.4 可知，超前校正器的基本特性是，其相频曲线具有正相移 ( 超前相位角 ) 。超前校正器主要是利用它的相位超前特性，但需要附加增益，以抵消低频段增益下降。超前校正器是一个高通滤波器，抗高频干扰的性能较差，所以，一般不能取得太小，＞ 0.1 。采用超前校正设计可使校正后系统相位裕量增加，从而提高了系统的相对稳定性，同时也增加了系统的稳态误差，为了减少误差，需使用大增益的超前校正器，故工程上常采用由集成运算放大器构成的有源超前校正器。超前校正器也会使校正后系统的剪切频率比校正前大，这样会使阶跃响应过程加快，增加了系统带宽。所以要求稳定性好、超调量小和动态响应过程快的系统经常采用这个方法。


6.10

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 2. 超前校正器的 Bode 图设计步骤在给出受控对象传递函数和性能指标 ( 稳态误差指标、相位裕量或者剪切频率 ) 的要求下，超前校正器的 Bode 图设计步骤如下：(1) 根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益 K。(2) 根据求得的开环增益 K，画出系统校正前的 Bode 图，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 、剪切频率。检验这些性能指标是否符合要求。若不符合，则进行下一步。(3) 计算需要增加的最大相位超前量，即 +(5°～ 10°) (6.9)式中， P0 是校正后期望的相位裕量， Pm 是校正前的相位裕量，另外，式中还增加 5°～ 10° ，意思是考虑了系统在校正前后剪切频率的移动所带来的原系统相位的滞后量，一般在 5°～ 10° 。(4) 再由最大相位超前量求超前校正器中，即 (6.10)式中，。

c

c1

mm 0 mP P

m 1( )

1c

TsG s

Ts

m

m

1 sin( )

1 sin( )

1


6.11

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (5) 确定系统超前校正后的剪切频率。在 Bode 图中，剪切频率就是对应产生期望相位裕量 P0 的频率。因为在处的增加量为 20lg =10lg ，所以应该选在未校正系统的处，当被补偿后，则 =10lg 。也就是，在未校正系统对数幅频特性的对数幅值为 10lg 处所对应的频率就是系统超前校正后的剪切频率。求剪切频率可采用 MATLAB 中的插值函数 yi=spline(x, y, xi) 来计算，spline 函数的基本用法是：在 yi=spline(x, y, xi) 中， y 是 x 的函数，即 y=f(x) ， x 和 y 是一一对应关系，均是有多个元素的向量，即 x=[x1 ， x2 ，…， xn] ， y=[y1 ， y2 ，…， yn] ；现已知 xi 在闭区间 [x1 ， xn]中，则可采用 yi=spline(x, y, xi) 函数求取 xi 对应的 yi 。在超前校正设计中，现已知未校正系统对数幅频特性，采用 MATLAB函数 [mag,phase,w]=bode(G) 可得到对数幅频特性曲线上每个频率 w 值对应的对数幅值 mag 和相位角 phase 。再用函数 wc=spline(mag, w, am) 可计算出 am=10lg 所对应的频率 wc ，即系统超前校正后的剪切频率。 spline 函数的用法详见 MATLAB 的帮助信息。

c2c2 c ( j )G

c2 c2 ( ) 20lgL

( ) 20lgL

c2c2

c2


6.12

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (6) 求超前校正器传递函数中的 T，即 (6.11)

(7) 在系统中串联一个增益为的放大器，可补偿超前校正器引入带来的增益损失，则超前校正器的传递函数可写为 (6.12)

(8) 根据校正后的开环传递函数绘制 Bode 图，验证系统性能指标。校正后的开环传递函数为，其中是超前校正器传递函数，是校正前系统的开环传递函数。(9) 绘制闭环系统的阶跃响应曲线。

c2

1T

1

1( )

1c

TsG s

Ts

c ( ) ( )G s G s c ( )G s

( )G s


6.13

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 3．超前校正器的设计举例【例 6.1】在图 6.1 中，已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为 (6.13)试设计系统的超前校正器，使之满足：(1) 在斜坡信号 r(t)=v0t作用下，系统的稳态误差 ess≤0.001v0 ；(2) 校正后系统的相位裕量 Pm范围为： 43°～ 50° 。解：(1) 由稳态误差要求，求系统开环增益 K。根据自动控制理论和题目要求，该系统在斜坡信号 r(t)=v0t作用下的稳态误差 ≤0.001v0 (6.14)所以，系统开环增益 K≥1000 ，取 K=1000 。则被控对象的传递函数为 (6.15)

( )(2 1)(0.002 1)

KG s

s s s

c ( )G s

0ss

ve

K

1000( )

(2 1)(0.002 1)G s

s s s


6.14

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (2) 绘制系统校正前的 Bode 图和单位阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 。绘制系统校正前 Bode 图的 MATLAB 程序如下：>> s=tf('s'); G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));margin(G) 注： margin( ) 函数用于绘制 Bode 图，计算并显示出增益裕量 Gm 及其穿越频率，相位裕量 Pm 及其剪切频率。上述程序运行后，得到系统校正前的 Bode 图如图 6.5 所示。该被控对象构成单位负反馈系统后，绘制该系统在校正前的单位阶跃响应曲线的 MATLAB 程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));sys= feedback(G,1); % feedback(G,1) 函数是用 G 构成单位负反馈闭环系统 sysstep(sys)% step(sys) 函数是画出闭环系统 sys 的单位阶跃响应曲线

gc


6.15

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计上述程序运行后，得到系统校正前的单位阶跃响应曲线如图 6.6 所示。由图 6.5 可知，该系统校正前的增益裕量 Gm 为 -6.01dB 、相位裕量 Pm为 -1.28° ，显然系统的增益裕量 Gm 和相位裕量 Pm均为负值，系统不稳定，从图 6.6 也验证了这一点，系统的单位阶跃响应曲线是发散的。需要对系统进行超前校正。

图 6.5 系统校正前的 Bode 图

Time/s

图 6.6 系统校正前的单位阶跃响应曲线


6.16

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (3) 求超前校正器的传递函数。校正后系统的相位裕度 Pm范围为： 43°～ 50° ，取 Pm=45° ，按超前校正器设计步骤，编写的 MATLAB 程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));[mag,phase,w]=bode(G);[Gm,Pm]=margin(G);QWPm=45;FIm=QWPm-Pm+5;FIm=FIm*pi/180;alfa=(1-sin(FIm))/(1+sin(FIm));adb=20*log10(mag);am=10*log10(alfa);wc=spline(adb,w,am); % 该句用法，前已说明T=1/(wc*sqrt(alfa));alfat=alfa*T;Gc=tf([T 1],[alfat 1])上述程序部分语句注释：[mag,phase,w]=bode(G); 该句只计算 Bode 图上多个频率点 w 对应的幅值 mag 和相位 phase ，三个变量 w,mag,phase均为有多个元素的矢量。该句不绘 Bode 图。[Gm,Pm]=margin(G); 该句只计算 Bode 图的增益裕量 Gm 和相位裕量 Pm ，不绘 Bode 图。Gc=tf([T 1],[alfat 1]) ；该句是以 [T 1] 为分子， [alfat 1] 为分母构成传递函数 Gc上述程序运行后，得到超前校正器的传递函数

c

1 0.07555 1( )

1 0.009329 1

Ts sG s

Ts s

(6.16)


6.17

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (4) 校正后系统的开环传递函数为，根据该开环传递函数绘制 Bode 图，其 MATLAB 程序如下： >>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);margin(Gc*G) 上述程序部分语句注释： margin( *G) ；该句中 *G表示和 G串联构成开环传递函数， margin( *G) 函数绘制 Bode 图。上述程序运行后，校正后系统的 Bode 图如图 6.7 所示。由图 6.7 可知，校正后系统的相位裕量 Pm 为 47.7° ，满足本题目相位裕量 Pm范围为 43°～ 50° 的设计要求。校正后系统的单位阶跃响应曲线如图 6.8 所示，系统经过超前校正后，是稳定的，其 MATLAB 程序如下：>>s=tf('s');G=1000/(s*(2*s+1)*(0.002*s+1));Gc=(0.07555*s+1)/(0.009329*s+1);step(feedback(Gc*G,1))

c ( ) ( )G s G s

cG cG cG( ) ( )cG s G s cG

cG


6.18

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计

Time/s

图 6.7 校正后系统的 Bode 图图 6.8 校正后系统的单位阶跃响应曲线


6.19

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计二 . 滞后校正器的 Bode 图设计1. 滞后校正器的基本特性滞后校正器的等效 RC网络图如图 6.9 所示，滞后校正器的传递函数为 (6.17)式中，阻抗；；容易看出，总是大于 1 。相位滞后校正器的幅频特性和相频特性分别为

(6.18) (6.19)因大于 1 ，则总是小于 0 ，所以又把该校正器称为相位滞后校正器。对幅值取常用对数再乘以 20 ，得到对数幅频特性 ( 单位用分贝 dB 表示 ) 为 (6.20)可见，因大于 1 ，则小于 0 。

oc

i 1

( ) 1( )

( ) 1

U s Z TsG s

U s R Z Ts

2

1Z R

Cs

2T R C 1 2

2

R R

R

2

2

( ) 1( )

( ) 1

TA

T

( ) arctan( ) arctan( )T T

( )

( )A ( )L

2 2( ) 10lg[( ) 1] 10lg[( ) 1]L T T ( )L


6.20

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计为了直观表达滞后校正器的幅频特性和相频特性，现在假设式 (6.17) 中 T=1 ，因，分别等于 1.5 、 2.0 、 2.5 三个值时，执行以下 MATLAB 程序，绘制相位滞后校正器的 Bode 图，如图 6.10 所示。 MATLAB 程序如下：>>s=tf('s');T=1;for beta=1.5:0.5:2.5 Gc=(T*s+1)/( beta*T*s+1); bode(Gc),hold onend滞后校正器的基本特性是，其相频曲线具有负相移 ( 滞后相位角 ) 。滞后校正器是一个低通滤波器，其越大，高频衰减越厉害。应用滞后校正主要是利用其高频衰减特性。采用滞后校正器将使校正后系统的剪切频率比校正前小，系统的快速性能变差，但稳定性能得以提高，这意味着滞后校正是以牺牲系统的快速性来换取系统稳定性的。如果滞后校正器采用 RC无源网络，虽无增益损失，但有负载效应之弊，故工程上常采用由集成运算放大器构成的有源滞后校正器。

1


6.21


图 6.10 滞后校正器的 Bode 图 (T=1)


6.22


2. 滞后校正器的 Bode 图设计步骤在给出受控对象传递函数和性能指标 ( 稳态误差指标、相位裕量或者剪切频率 ) 的要求下，滞后校正器的 Bode 图设计步骤如下：(1) 根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益 K。(2) 根据求得的开环增益 K，画出系统校正前的 Bode 图，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 、剪切频率。检验这些性能指标是否符合要求。若不符合，则进行下一步。(3) 根据题目对滞后校正后系统的期望相位裕量 P0 ，确定一个新的剪切频率。其方法是：先由期望相位裕量 P0( 单位：角度 ) 计算校正前系统在处的相位角，即＝－ 180°＋ P0＋ (5°～ 12°) (6.21)式中， (5°～ 12°) 为相位滞后网络在处引起的相位滞后量。

c

c1

c2c2 c2( )

c2( )

c2


6.23


再根据校正前系统的相位角计算出对应的频率，就是要求的期望剪切频率的值。其 MATLAB 程序是：fic= -180+P0+5; %P0 为期望相位裕量 P0[mu,pu,w]=bode(G0); % G0 为受控对象传递函数wc2=spline(pu,w,fic); % 计算期望剪切频率的值 ( 即 wc2)MATLAB 的 spline( ) 函数的使用方法前已述及。如果已经确定了一个新的剪切频率，可以不进行第 (3) 步的计算，而直接进入第 (4) 步。确定新的剪切频率的一般方法可形象理解为：在原系统的 Bode 图上，将原剪切频率向左移，移到使相位裕量达到期望的相位裕量 P0 ，这时的剪切频率便是新的剪切频率。根据该剪切频率，可设计合适的滞后校正器，使校正后的系统达到期望的相位裕量，从而使系统控制性能更好。

c2( ) c2

c2c2

c1 mP

c2c2

0P


6.24

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (4) 由新的剪切频率求滞后校正器中，因为经串联滞后校正后的系统在剪切频率处的对数幅值等于 0 ，即

(6.22)

(6.23)

所以

(6.24)式中，为校正后系统在剪切频率处的对数幅值，即 (6.25)

c2 c

1( )

1

TsG s

Ts

c2

c2

120lg( ) ( ) 0dL B

c220lg ( )L

c 2( )

2010L

c2( )L c2

c2 c2( ) 20lg ( )L A


6.25

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (5) 确定滞后校正器中 T。根据自动控制理论，距离剪切频率越远，滞后校正器的滞后特性对系统影响越小，所以，选得越小越好；但如果太小，滞后校正器对剪切频率的相位滞后量的影响又不大。所以，一般选择为～ (6.26)

至此，滞后校正器设计完毕。(6) 绘制系统经过滞后校正后的 Bode 图，并验证系统频域性能指标是否满足设计要求。(7) 绘制闭环系统的阶跃响应曲线。

c

1( )

1

TsG s

Ts

1

T c21

T

1

T

1

T

c21

T 1 1(10T

c2

1)

2

c

1( )

1

TsG s

Ts


6.26

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 3．滞后校正器的设计举例【例 6.2】在图 6.1 中，已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为 (6.27)试设计系统的滞后校正器，使之满足：(1) 在斜坡信号 r(t)=v0t作用下，系统的稳态误差 ess≤0.02v0 ；(2) 校正后系统的相位裕度 Pm范围为： 43°～ 50° ；(3) 校正后系统的剪切频率 ≥ 3.6rad/s 。解：(1) 由稳态误差要求，求系统开环增益 K。根据自动控制理论和题目要求，该系统在斜坡信号 r(t)=v0t作用下的稳态误差 ≤0.02v0 (6.28)所以，系统开环增益求 K≥50 ，取 K=50 。则被控对象的传递函数为 (6.29)

( )(0.2 1)(0.01 1)

KG s

s s s

c ( )G s

c2

0ss

ve

K

50( )

(0.2 1)(0.01 1)G s

s s s


6.27

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (2) 绘制系统校正前的 Bode 图和闭环系统单位阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 、剪切频率。绘制系统校正前 Bode 图的 MATLAB 程序如下：s=tf('s');G=50/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));figure(1) % 该句是开出第 1 个图形窗口，准备绘制 Bode 图margin(G)figure(2) % 该句是开出第 2 个图形窗口，准备绘制单位阶跃响应曲线step(feedback(G,1))上述程序运行后，得到校正前系统的增益裕量 Gm= 6.44dB ，相位裕量 Pm= 9.3528° ，剪切频率 = 15.3rad/s 。显然校正前系统的相位裕量 Pm ＜ 43° ，不满足设计要求。开环系统的 Bode 图如图 6.11 所示。校正前闭环系统单位阶跃响应曲线如图 6.12 所示，系统在动态响应中不稳定，处于振荡状态。

c1

c1


6.28


Time/s

图 6.11 系统校正前的 Bode 图图 6.12 系统校正前的单位阶跃响应曲线


6.29

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (3) 求滞后校正器的传递函数。校正后系统的相位裕度 Pm范围为： 43°～ 50° ，取 Pm= 46° ，按滞后校正器设计步骤，编写的 MATLAB 程序如下：s=tf('s');K=50;G0=K/(s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1));P0=46;fic= -180+P0+5;[mu,pu,w]=bode(G0);wc2=spline(pu,w,fic);d1=conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.01 1]);na=polyval(K,j*wc2);da=polyval(d1,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G); %abs( ) 函数是取绝对值，这里表示求复数 G的模 ( 或频率特性的幅值 ) 。L=20*log10(g1);alfa=10^(L/20);T=1/(0.1*wc2);alfat=alfa*T;Gc=tf([T 1],[alfat 1])figure(1)margin(Gc*G0)figure(2)step(feedback(Gc*G0,1))


6.30


上述程序部分语句注释：d1=conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.01 1]); 该语句中 conv([1 0],[0.2 1]) 是把 (s+0) 与 (0.2*s+1) 相乘得到 s*(0.2*s+1) ， d1=conv(conv([1 0],[0.2 1]),[0.01 1]) 是把 s*(0.2*s+1) 与 (0.01*s+1) 相乘得到 s*(0.2*s+1)*(0.01*s+1) ，即多项式 d1=0.02s^3+0.3s^2+s+0 。 da=polyval(d1,j*wc2); 该句是用 j*wc2 代替多项式 d1=0.02s^3+0.3s^2+s+0 中的 s ，计算出复数，该句计算后 da=1.5870+2.0567j 。 na=polyval(K,j*wc2); 也一样，该句 na=50 。上述程序运行后，得到滞后校正器的传递函数为

(6.30)

上述程序运行后，得到校正后系统的 Bode 图如图 6.13 所示。

c

1 2.668 1( )

1 28.46 1

Ts sG s

Ts s


6.31

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计由图 6.13 可知，滞后校正后系统的相位裕量 Pm=45.7° ，比选择的相位裕量 Pm=46°少了 0.3° ，但是已满足本题目设计要求。滞后校正后系统的单位阶跃响应曲线如图 6.14 所示，表明系统经过滞后校正后是稳定的。

图 6.13 系统校正前的 Bode 图图 6.14 系统校正前的单位阶跃响应曲线


6.32

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计三 . 滞后 - 超前校正器的 Bode 图设计1. 滞后 - 超前校正器的作用滞后 - 超前校正器是既有滞后校正的作用又有超前校正作用的校正器，它不仅能提高系统的稳定性能，还可以减少超调量、加快系统响应速度。其传递函数为 (6.31)

式中，为滞后校正器传递函数，＞ 1 ；为超前校正器传递函数， 0 ＜＜ 1 。2. 滞后 - 超前校正器的 Bode 图设计步骤在给出受控对象传递函数和性能指标 ( 稳态误差指标、相位裕量或者剪切频率 ) 的条件下，滞后 - 超前校正器的 Bode 图设计步骤如下：(1) 根据系统对稳态误差的要求，求出系统开环增益 K。(2) 根据求得的开环增益 K，画出系统校正前的 Bode 图和阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 、剪切频率。检验这些性能指标是否符合要求。若不符合，则进行下一步。

1 2c c1 c2

1 2

1 1( ) ( ) ( )

1 1

T s T sG s G s G s

T s T s

1c1

1

1( )

1

T sG s

T s

2c2

2

1( )

1

T sG s

T s

c

c1


6.33

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 (3) 滞后校正器传递函数参数的确定。滞后校正器传递函数为 (6.32)式中，＞ 1 ，应该远小于校正前系统的剪切频率。工程上一般选择 =0.1 (6.33)并且 =8～ 10 (6.34)(4) 选择校正后系统的期望剪切频率。要考虑两点，一是在该期望剪切频率处，使得原系统串联滞后校正器后的综合幅频值衰减到 0dB ；二是在该期望剪切频率处，超前校正器提供的相位超前量达到系统期望相位裕量的要求。(5) 超前校正器传递函数参数的确定。超前校正器传递函数为，＜ 1 (6.35)若原系统串联滞后校正器后的幅频分贝值为，那么，在原系统串联滞后校正器后再串联超前校正器后，在经过滞后 - 超前校正后的期望剪切频率处，应该满足下式： (6.36)

1c1

1

1( )

1

T sG s

T s

1

1

T c1

1

1

Tc1

c2c2

c2

2c2

2

1( )

1

T sG s

T s

c2( )L

c2c2

120lg ( ) 0dBL


6.34

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计即 (6.37)

那么 (6.38)

同时，因为 (6.39)

则， T2由下式确定 (6.40)

(6) 绘制系统经过滞后 - 超前校正后的 Bode 图，并验证系统频域性能指标是否满足设计要求。(7) 绘制闭环系统的阶跃响应曲线。

c220lg ( )L

c 2( )

2010L

c2 m

2

1

T

2

c2

1T


6.35

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 3．滞后 - 超前校正器的设计举例【例 6.3】在图 6.1 中，已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为 (6.41)试设计系统的滞后 - 超前校正器，使之满足。(1) 在单位斜坡信号 r(t)=t作用下，系统的速度误差系数 Kv=10s-1 ；(2) 校正后系统的相位裕量 Pm范围为： 50°～ 60° ；(3) 校正后系统的剪切频率 ≥ 1rad/s 。解：(1) 由稳态误差要求，求系统开环增益 K。根据自动控制理论和题目要求，由速度误差系数定义并有 (6.42)所以，原系统开环增益 K=10 。则被控对象的传递函数为 (6.43)

( )(0.8 1)(0.6 1)

KG s

s s s

c ( )G s

c2

vK

v 0 0lim ( ) lim 10

(0.8 1)(0.6 1)s s

KK sG s s

s s s

10( )

(0.8 1)(0.6 1)G s

s s s


6.36


(2) 绘制系统校正前的 Bode 图和闭环系统单位阶跃响应曲线，并计算校正前系统的增益裕量 Gm 、相位裕量 Pm 、剪切频率。绘制系统校正前 Bode 图的 MATLAB 程序如下：s=tf('s');G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1));figure(1)margin(G0)figure(2)step(feedback(G0,1))上述程序运行后，得到系统校正前的 Bode 图和闭环系统单位阶跃响应曲线分别如图 6.15 和图 6.16 所示。校正前系统的增益裕量 Gm=-10.7dB 、相位裕量 Pm=-29.6° 、剪切频率 =2.49rad/s 。愿系统的增益裕量 Gm 和相位裕量 Pm均为负值，系统是不稳定的，阶跃响应曲线也是发散的。

c1

c1


6.37


(3) 求滞后 - 超前校正器的传递函数。按滞后 - 超前校正器的 Bode 图设计方法和步骤，先计算滞后校正器的参数，然后计算超前校正器的参数，最后绘制原系统与滞后 - 超前校正器串联后的开环传递函数的 Bode 图，以及构成单位负反馈控制系统的单位阶跃响应曲线。其 MATLAB 程序如下：


6.38

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计 wc2=3; %wc2 为可调参数s=tf('s');G0=10/(s*(0.8*s+1)*(0.6*s+1));[Gm,Pm,wc1]=margin(G0);alfa1=9;T1=1/(0.1*wc1);alfat1=alfa1*T1;Gc1=tf([T1 1],[alfat1 1]) % 计算并显示滞后校正器传递函数sope=G0*Gc1; % 计算原系统与滞后校正器串联后的传递函数num=sope.num{1};den=sope.den{1};na=polyval(num,j*wc2);da=polyval(den,j*wc2);G=na/da;g1=abs(G);L=20*log10(g1);alfa=10^(L/20);T=1/(wc2*(alfa)^(1/2));alfat=alfa*T;Gc2=tf([T 1],[alfat 1]) % 计算并显示超前校正器传递函数G=G0*Gc1*Gc2; % Gc1*Gc2 即为滞后 - 超前校正器的传递函数sys=feedback(G,1);figure(1)margin(G)figure(2)step(sys)


6.39

超前 / 滞后校正器的 Bode 图设计在运行上述程序中，采用凑试法，调节 wc2 的值，直到满足系统要求的性能指标为止。在本例中，当 wc2=3 时，绘制经滞后 - 超前校正后的 Bode 图和单位阶跃响应曲线分别如图图 6.17 和图 6.18 所示。从图 6.17和图 6.18 上可看出，校正后系统的增益裕量 Gm=19.3dB 、相位裕量 Pm=55.3° 、剪切频率 =1.19rad/s ，均满足题目设计要求，系统在 20s后趋于稳定。这时，滞后校正器的传递函数为 (6.44)超前校正器的传递函数为 (6.45)那么，滞后 - 超前校正器的传递函数为 (6.46)请读者验证：在例 6.3 中，如果只进行滞后校正或者超前校正，能否达到性能指标要求？

c

c1

6.928 1( )

62.35 1

sG s

s

c2

1.267 1( )

0.08772 1

sG s

s

2

c c1 c2 2

6.928 1 1.267 1 8.775 8.195 1( ) ( ) ( )

62.35 1 0.08772 1 5.47 62.44 1

s s s sG s G s G s

s s s s


6.40



6.41

PID 控制器设计 PID( 比例、积分、微分 ) 控制器是基于经典控制理论的一种控制策略，其算法简单实用， PID 控制并不要求受控对象的精确数学模型，这使得PID 控制在工业生产过程控制中，应用十分广泛。

一 . PID 控制器的传递函数1. 连续 PID 控制器的传递函数如图 6.1 所示，连续 PID 控制器的一般表达式为 (6.47)式中，比例系数 Kp 、积分系数 Ki 和微分系数 Kd 分别是对系统误差信号 e(t) 及其积分与微分的加权系数。

p i d0

d ( )( ) ( ) ( )d

d

t e tu t K e t K e K

t

0( )d

te d ( )

d

e t

t


6.42

PID 控制器设计 PID 控制器通过对误差信号 e(t) 的加权计算，得到控制信号 u(t) ，驱动受控对象，使得误差 e(t)按减少的方向变化，从而达到控制要求。对式 (6.47)作拉普拉斯变换，整理后，得到连续 PID 控制器的传递函数 (6.48)式中， Kp 是比例系数， Ti= 是积分时间常数， Td= 是微分时间常数。当 Ti→∞ ， Td=0 时，，这叫比例 (P) 控制器；当 Td=0 时，，这叫比例积分 (PI) 控制器；当 Ti→∞ 时，，这叫比例微分 (PD) 控制器；当 Ti≠∞ ， Td≠0 时，，这叫比例积分微分 (PID) 控制器。显然， Kp 、 Ti 、 Td 三个参数一旦确定， PID 控制器的性能也就确定下来。

ic p d p d

i

( ) 1( ) (1 )

( )

KE sG s K K s K T s

U s s T s

p

i

K

Kd

p

K

K

c p( )G s K

c pi

1( ) (1 )G s K

T s

c p d( ) (1 )G s K T s

c p di

1( ) (1 )G s K T s

T s


6.43

PID 控制器设计为避免纯微分运算，常常用一阶超前环节去近似纯微分环节， PID 控制器的传递函数为 (6.49)式中， N→∞ 时，则为纯微分运算。实际中， N不必过大，一般 N=10 ，就可以逼近实际的微分效果。2. 离散 PID 控制器如果采样周期 T很短，在第 k个采样周期的误差 e(t) 的导数可近似表示为 (6.50)在 k个采样周期内对误差 e(t) 的积分可近似表示为 (6.51)所以，离散 PID 控制器的表达式为

dc p

di

1( ) (1 )

1

T sG s K

TT s sN

d ( ) ( ) [( 1) ]

d

e t e kT e k T

t T

1

00 0

( )d ( ) ( ) ( )k kkT

m m

e t t T e mT T e mT Te kT

p i d0

( ) [( 1) ]( ) ( ) ( )

k

m

e kT e k Tu kT K e kT K T e mT K

T

(6.52)

离散 PID 控制器可简写为 (6.53)p i d

0

( ) ( 1)( ) ( ) ( )

k

m

e k e ku k K e k K T e m K

T


6.44

PID 控制器设计由式 (6.53) 可知， PID 控制器的输出控制信号与误差的累加有关，会给控制带来不利影响。由式 (6.53) 可推导出第 (k-1) 个采样周期的控制信号 u(k-1) ，其表达式为 (6.54)用式 (6.53)减式 (6.54) ，并整理后，可得到离散增量式 PID 控制器的表达式

(6.55)由 (6.55) 可知， PID 控制器输出的控制信号由计算，即控制器的第 k次输出等于控制器的上一次输出加上增量即可。增量只与最近三个误差变量、、有关，有利于计算和提高控制性能。在计算机控制中经常采用离散增量式 PID控制。离散 PID 控制器的脉冲传递函数为 (6.56)式中， Kp 、 Ki 和 Kd 分别是比例系数、积分系数、微分系数。

( )u k0

( )k

m

e m

1

p i d0

( 1) ( 2)( 1) ( 1) ( )

k

m

e k e ku k K e k K T e m K

T

dp i

( ) ( ) ( 1)

[( ( ) ( 1)] ( ) [ ( ) ( 2) 2 ( 1)]

u k u k u k

KK e k e k K Te k e k e k e k

T

( )u k ( ) ( 1) ( )u k u k u k

( )u k ( 1)u k ( )u k ( )u k ( )e k ( 1)e k ( 2)e k

1c p d1

( )( ) (1 )

( ) 1iKE z

G z K K zU z z


6.45

PID 控制器设计二 . PID 参数对控制性能的影响前已述及， PID 控制器的 Kp 、 Ti 、 Td 三个参数的大小决定了 PID控制器的比例、积分、微分控制作用的强弱。下面举例分别分析 Kp 、Ti 、 Td 三个参数中一个参数发生变化而另两个参数保持不变时，对系统控制性能的影响。【例 6.4 】某电机转速控制系统如图 6.19 所示，采用 PID 控制器。试绘制系统单位阶跃响应曲线，分析 Kp 、 Ti 、 Td 三个参数对控制性能的影响。


6.46

PID 控制器设计 1. 比例系数 Kp 对控制性能的影响采用比例控制，即当比例系数 Kp 分别取 1 、 2 、 3 、 4 、 5 ，且 Ti→∞ ，Td=0 时，根据图 6.19 绘制该系统的阶跃响应曲线，其 MATLAB 程序如下：s=tf('s');G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;for Kp=1:1:5 Gc=feedback(Kp*G,0.0118); step(Gc),hold onendaxis([0,0.2,0,130]);% 该语句划定横坐标范围为 [0,0.2] ，纵坐标范围为 [0,130]gtext('Kp=1'); gtext('Kp=2');gtext('Kp=3');gtext('Kp=4');gtext('Kp=5');


6.47

PID 控制器设计上述程序运行后，在只有比例 (P) 控制作用下，系统的阶跃响应曲线如图6.20 所示。

由图 6.20 可知，随着比例系数 Kp 的增加，闭环系统响应的幅值增大，超调量加大，系统响应速度加快，同时会减少稳态误差，但不能消除稳态误差。经仿真调试，若 Kp≥19 时，系统的阶跃响应曲线变为发散型，闭环系统不稳定。也就是，比例系数 Kp 的无限增加，会使系统不稳定。


6.48

PID 控制器设计 2．积分时间常数 Ti 对控制性能的影响采用 PI 控制，即当固定比例系数 Kp=1 ，积分时间常数 Ti 分别取 0.03 、0.05 、 0.07 时，根据图 6.19 绘制该系统的阶跃响应曲线，其 MATLAB程序如下：s=tf('s');G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=1;for Ti=0.03:0.02:0.07 PIGc=tf(Kp*[Ti 1],[Ti 0]); Gc=feedback(PIGc*G,0.0118); step(Gc),hold onendaxis([0,0.3,0,140]);gtext('Ti=0.03');gtext('Ti=0.05');gtext('Ti=0.07');


6.49

PID 控制器设计上述程序运行后，在只改变积分时间常数 Ti 的作用下，系统的阶跃响应曲线如图 6.21 所示。

由图 6.21 可知，随着积分时间常数 Ti 的增加，闭环系统响应的超调量降低，系统响应速度稍有变慢。积分环节的主要作用是消除系统的稳态误差。


6.50

PID 控制器设计 3. 微分时间常数 Td 对控制性能的影响采用 PID 控制，即当固定比例系数 Kp=0.01 ， Ti=0.005 ，微分时间常数 Td 分别取 10 、 60 、 110 时，根据图 6.19 绘制该系统的阶跃响应曲线，其 MATLAB 程序如下： s=tf('s');

G1=59/(s+59);G2=13.33/s;G12=feedback(G1*G2,1);G3=23647/(s+599);G4=5.2;G=G12*G3*G4;Kp=0.01;Ti=0.005;for Td=10:50:110 PIDGc=tf(Kp*[Ti*Td Ti 1],[Ti 0]); Gc=feedback(PIDGc*G,0.0118); step(Gc),hold onendaxis([0,15,0,110]);gtext('Td=10');gtext('Td=60');gtext('Td=110');


6.51

PID 控制器设计上述程序运行后，在只改变 Td 的作用下， PID 控制系统的阶跃响应曲线如图 6.22 所示。

由图 6.22 可知，随着微分时间常数 Td 的增加，闭环系统响应的响应速度加快。微分环节的主要作用是提高系统的响应速度。由于该环节对误差的导数 ( 即误差变化率发生作用 ) ，它能在误差较大的变化趋势时施加合适的控制，因此微分环节对于信号无变化或变化缓慢的系统不起作用。


6.52

PID 控制器设计三 . PID 控制器的设计PID 控制器的设计实际上就是 PID 控制器的比例系数 Kp 、积分时间常数Ti 、微分时间常数 Td 三个参数的确定，本节着重介绍如何采用 Ziegler-Nichols 经验整定公式整定 PID 参数，也就是 PID 控制器的设计。1. Ziegler-Nichols 经验整定公式Ziegler( 齐格勒 ) 和 Nichols( 尼柯尔斯 ) 在 1942 年提出了 PID 参数的经验整定公式。这个公式是针对受控对象模型为带延迟的一阶惯性传递函数提出的，即 (6.57)式中， K为比例系数， T为惯性时间常数，为纯延迟时间常数。在实际过程控制系统中，大多数受控对象模型可以近似转换成式 (6.57)这样的带延迟的一阶惯性传递函数。其近似转换方法有多种，其中比较好的方法就是，在获取受控对象阶跃响应数据后，用最小二乘拟合方法拟合出系统的模型参数 K、 T、，详见文献 [4] 。

( ) e1

sKG s

Ts


6.53

PID 控制器设计

Ziegler-Nichols 经验整定公式见表 6.1 。由表可知，设计 PID 控制器的方法有两种。第一种方法是，如果已知受控对象传递函数为类型，即已知由阶跃响应整定的参数 ( 包括比例系数 K、惯性时间常数 T、纯延迟时间 ) ，通过查表，可计算出 PID 控制器的三个参数 Kp 、 Ti 、Td 。这种方法适合式 (6.57) 这种传递函数类型和可近似转换成式 (6.

57) 的受控对象。

( )1

sKG s e

Ts


6.54

PID 控制器设计需要说明是， Ziegler-Nichols 经验整定公式适合于中比值范围为： 0.1≤ ≤1 。如果比值过大，则表明系统的时间延迟很大，在控制中称为大时间延迟系统，对这样的系统可适当予以补偿，Smith补偿器就是一种比较有效的方法，在文献 [4] 中有详细阐述。第二种方法是，如果已知受控对象频域响应参数 ( 增益裕量 Kc 、剪切频率，则 ) ，那么通过表 6.1 中 Ziegler-Nichols 经验整定公式，即可计算出 PID 控制器的三个参数 Kp 、 Ti 、 Td 。这种方法简单实用，因为一旦提供了受控对象的传递函数 G( 包括非式 (6.5

7) 这种类型 ) ，就可用 MATLAB 提供的函数 [Gm,Pm,Wc]=margin(G)

直接求出增益裕量 Kc 和剪切频率Wc ，再根据 Ziegler-Nichols 经验整定公式中的频域响应法整定参数 Kp 、 Ti 、 Td 即可。

( )1

sKG s e

Ts

T

T

T

cc c2 /T


6.55

PID 控制器设计

2. PID 控制器的设计举例

【例 6.5 】如图 6.1 ，已知受控对象为一个带延迟的惯性环节，其传递函数为 (6.58)试用 Ziegler-Nichols 经验整定公式，分别计算 P 、 PI 、 PID 控制器的参数，并进行阶跃响应仿真。解：由该系统传递函数可知， K=2 ， T=30 ， =10 。可采用 Ziegler-Nichols 经验整定公式中阶跃响应整定法。 PID 控制器采用式 (6.49) 表示的模型，计算 P 、 PI 、 PID 控制器参数和绘制阶跃响应曲线的 MATLAB 程序如下：

102( )

30 1sG s e

s


6.56

PID 控制器设计 K=2;T=30;tau=10;s=tf('s');Gz=K/(T*s+1);[np,dp]=pade(tau,2); Gy=tf(np,dp);G=Gz*Gy;PKp=T/(K*tau) % 阶跃响应整定法计算并显示 P 控制器step(feedback(PKp*G,1)),hold onPIKp=0.9*T/(K*tau); % 阶跃响应整定法计算并显示 PI 控制器PITI=3*tau;PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s)) step(feedback(PIGc*G,1)),hold onPIDKp=1.2*T/(K*tau); % 阶跃响应整定法计算并显示 PID 控制器PIDTI=2*tau;PIDTd=0.5*tau;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/((PIDTd/10)*s+1)) step(feedback(PIDGc*G,1)),hold on[PIDKp,PIDTI,PIDTd] %显示 PID 控制器的三个参数 Kp 、 Ti 、 Tdgtext('P');gtext('PI');gtext('PID');


6.57

上述程序部分语句注释：[np,dp]=pade(tau,2); 该语句是把延迟环节转换为二阶传递函数，并把其分子和分母分别放到 np 和 dp 中。上述程序运行后，得到的 P 、 PI 、 PID 控制器分别是 PKp 、 PIGc 、PIDGc ，即PKp =1.5 ，， (6.59)式中， PID 控制器的参数为： Kp=1.8 ， Ti=20 ， Td=5.0 ，则 PID 控制器的直观表达式为 (6.60)在 P 、 PI 、 PID 控制器作用下，分别对应的阶跃响应曲线如图 6.23 所示。由图 6.23 可知，用 Ziegler-Nichols 整定公式设计的 P 、 PI 、 PID 控制器，在它们的阶跃响应曲线中， P 和 PI 两者的响应速度基本相同，因为两种控制器求出的 Kp 不同，两种控制的终值不同， PI 比 P 的调节时间短一些， PID 控制器的调节时间最短，但超调量最大。

e s

c

40.5 1.35PI ( )

30

sG s

s

2

c 2

198 36.9 1.8PID ( )

10 20

s sG s

s s

c

1 5( ) 1.8(1 )

20 0.5 1

sG s

s s

PID 控制器设计


6.58

PID 控制器设计


6.59

【例 6.6 】在图 6.1 中，已知受控对象为一个四阶的传递函数 (6.61)

试用 Ziegler-Nichols 经验整定公式，分别计算 P 、 PI 、 PID 控制器的参数，并进行阶跃响应仿真。解：该受控对象传递函数不是带延迟的一阶惯性环节，根据表 6-1的 Ziegler-Nichols 经验整定公式，可采用频域响应来整定 P 、 PI 、PID 控制器的参数，利用 MATLAB 提供的 margin() 函数计算受控对象的频域响应参数 ( 增益裕量 Kc 、剪切频率， ) ，然后由表 6.1 计算 P 、 PI 、 PID 控制器的相应参数，并分别绘制受控对象串联 P 、 PI 、 PID 控制器后的阶跃响应曲线， PID 控制器采用式 (6.49) 表示的模型，其 MATLAB 程序如下：

PID 控制器设计

4

1( )

(0.1 1)G s

s

c c c2 /T


6.60

PID 控制器设计 s=tf('s');G=1/((0.1*s+1)^4);[Kc,Pm,Wc]=margin(G); % 计算频域响应参数，增益裕量 Kc 和剪切频率WcTc=2*pi/Wc;PKp=0.5*Kc %频率响应整定法计算并显示 P 控制器step(feedback(PKp*G,1)),hold onPIKp=0.4*Kc; %频率响应整定法计算并显示 PI 控制器PITI=0.8*Tc;PIGc=PIKp*(1+1/(PITI*s)) step(feedback(PIGc*G,1)),hold onPIDKp=0.6*Kc; %频率响应整定法计算并显示 PID 控制器PIDTI=0.5*Tc;PIDTd=0.12*Tc;PIDGc=PIDKp*(1+1/(PIDTI*s)+PIDTd*s/((PIDTd/10)*s+1)) step(feedback(PIDGc*G,1)),hold on[PIDKp,PIDTI,PIDTd]gtext('P');gtext('PI');gtext('PID');


6.61

PID 控制器设计上述程序运行后，得到的 P 、 PI 、 PID 控制器分别是 PKp 、 PIGc 、PIDGc ，即PKp =2.0 ，， (6.62)式中， PID 控制器的参数为： Kp=2.4 ， Ti=0.3142 ， Td=0.0754 ，则PID 控制器的直观表达式为 (6.63)在 P 、 PI 、 PID 控制器作用下，分别对应的阶跃响应曲线如图 6.24所示。

0.8042 1.6PI ( )

0.5027c

sG s

s

2

c 2

0.06253 0.7721 2.4PID ( )

0.002369 0.3142

s sG s

s s

c

1 0.0754( ) 2.4(1 )

0.3142 0.00754 1

sG s

s s


6.62

线性二次型指标最优控制系统设计一 . 线性二次型指标与代数黎卡提方程最优控制系统是指在一定的具体条件下，在完成所要求的控制任务时，系统的某种性能指标具有最优值。根据系统的不同用途，可提出各种不同的性能指标，最优控制的设计就是选择最优控制以使某一种性能指标为最小( 或者最优值 ) 。在实际工程应用中，最优控制系统的性能指标通常采用二次型指标。本节着重介绍线性连续定常系统二次型状态反馈最优控制系统设计。对于状态完全能控的线性连续定常系统，其状态方程为， x(0)=x0 (6.64)其输出方程为 (6.65)式中， x(t) 为 n维状态变量；u(t) 为 p维输入控制变量，且不受约束；

( ) ( ) ( )x t x t u t A B

( ) ( ) ( )y t x t u t C D

A为 n×n维状态矩阵，常数矩阵；B为 n×p维输入矩阵，常数矩阵；y(t) 为 m维输出变量；

C为 m×n维输出矩阵，常数矩阵；D为 m×p维输入矩阵，常数矩阵。


6.63

线性二次型指标最优控制系统设计引入的线性二次型 (Linear Quadratic)指标为 (6.66)式中，积分上限为∞，即调节时间 tf→∞； Q和 R均为正定的对称常数矩阵，实际上分别是对状态量 x(t) 和控制量 u(t) 的加权矩阵。根据最优控制理论，使线性二次型指标 J( 式 6.66) 取最小值的最优控制为 (6.67)式中，为最优反馈增益矩阵；P矩阵为对称常数矩阵；P矩阵可通过求解代数黎卡提 (Riccati) 方程 (6.68)这时，最优性能指标为 (6.69)可见，设计最优控制系统的重要一步就是求解黎卡提 (Riccati) 方程。

T T

0

1[ ( ) ( ) ( ) ( )]d

2t x t t t

J x Q u t Ru

*( )u t * 1 T( ) ( ) ( )t t t u Kx R B Px1 TK R B P

T 1 T 0 PA A P PBR B P Q* T1

(0) (0)2

J x Px


6.64

线性二次型指标最优控制系统设计线性二次型指标状态反馈最优控制系统结构图如图 6.25 所示。

从 (6.66) 可看出，线性二次型指标 J的最优性取决于如何确定加权矩阵 Q和 R，但这两个矩阵的选择并没有解析方法，只能作定性的选择。一般情况下，对单输入系统，如果希望输入控制信号 u(t) 小，则 R矩阵的值选择大一些；对多输入系统，如果希望第 i个输入控制信号 ui(t) 小，则 R矩阵第 i列的值应该选择大一些。如果希望第 j个状态变量 xj(t) 的值小一些，那么相应的就应该把 Q矩阵的第 j元素取大点，这时最优化功能会迫使该状态变量变小。


6.65

线性二次型指标最优控制系统设计另外，考虑线性二次型性能指标中含有状态量 x(t) 和控制量 u(t) 的乘积项，即 (6.70)式中， N为交叉乘积项的加权阵，是正定的对称常数矩阵，则系统最优控制为 (6.71)式中，最优反馈增益矩阵为

(6.72)式中，对称常数矩阵 P满足代数黎卡提 (Riccati) 方程

(6.73)由此解出 P矩阵，可得到系统的最优控制。如果 =0 ，式 (6.73) 就变成了式 (6.68) 。

*( )u t*( ) ( )t tu Kx

K

1 T T( ) K R B P N

T 1 T T( ) ( ) 0 PA A P PB N R B P N Q


6.66

线性二次型指标最优控制系统设计

二 . 设计线性二次型指标最优控制的 MATLAB 函数

MATLAB 提供了求解线性连续系统二次型状态最优控制的函数。其函数是 lqr( ) 、 lqr2( ) 和 lqry( ) 。函数的调用格式为：[K,S,E]=lqr(A,B,Q,R,N)[K,S,E]=lqr2(A,B,Q,R,N)[K,S,E]=lqry(A,B,C,D,Q,R,N)其中A和 B均对应系统状态方程 ( 式 6.64) 中的 A和 B矩阵；C和 D均对应系统输出方程 ( 式 6.65) 中的 C和 D矩阵；Q和 R均对应线性二次型指标 ( 式 6.66) 中的 Q和 R矩阵；


6.67

线性二次型指标最优控制系统设计 N为二次型性能指标 ( 式 6.70) 中状态量 x(t) 和控制量 u(t) 的乘积项的加权矩阵；K和 S均分别对应最优控制方程 ( 式 6.67) 中的 K和 P矩阵；E为最优控制闭环系统特征方程的特征值；函数 lqr2( )与 lqr( ) 类似，只是在该函数中采用了 Schar 方法，所以具有更强的稳健性。函数 lqry( ) 用来求解二次型输出反馈最优控制，是用输出反馈代替状态反馈，把最优控制方程 ( 式 6.67) 变为

(6.74)其性能指标为

(6.75)这种二次型输出反馈控制叫做次优 ( 或准最优 ) 控制。另外，如果用输出 y实现反馈控制，则反馈中需要有微分环节，在工程上实现更麻烦些。

( ) 0I A BK

* ( ) ( )t tu Ky

T T

0

1[ ( ) ( ) ( ) ( )]d

2t Q t t t t

J y y u Ru


6.68

线性二次型指标最优控制系统设计三 . 最优控制系统设计实例【例 6.7 】设线性系统的状态方程为

(6.76)试设计使系统线性二次型性能指标

式中，， R= (6.77)取最小时的最优控制，计算最优状态反馈矩阵 K，画出状态反馈最优控制系统结构图。

0 1 0

0 0 1

x x u

T T

0

1[ ( ) ( ) ( ) ( )]d

2t t t t t

J x Qx u Ru

2 1

1 4

Q 1

2*( )u t


6.69

线性二次型指标最优控制系统设计解：根据题意，计算最优状态反馈矩阵 K，设计最优控制的 MATLAB 程序如下：A=[0,1;0,0];B=[0,1]'; % 该语句的′号代表求矩阵转置C=[1,0];D=0;Q=[2,1;1,4];R=1/2;[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R) % 计算并显示最优状态反馈矩阵 K、 P矩阵和特征值 E上述程序执行后，计算出的最优状态反馈矩阵 K为 (6.78)那么，使系统线性二次型性能指标 J( 式 6.77) 取最小的最优控制为 (6.79)另外，代数黎卡提 (Riccati) 方程的解 P矩阵为 (6.80)

*( )u t

2.0 3.4641K*( )u t

*1 2( ) 2 ( ) 3.4641 ( )u t x t x t

2.4641 1

1 1.7321

P


6.70

闭环系统特征方程的特征值为

， (6.81)由自动控制理论，上述特征值均具有负实部，闭环系统是渐近稳定的。根据以上计算，可得到状态反馈最优控制系统结构图如图 6.26 所示。


1 2.7321 2 0.7321


6.71

线性二次型指标最优控制系统设计【例 6.8 】设单输入单输出线性系统的状态方程为

(6.82)输出方程为

(6.83)使引入的线性二次型性能指标

(6.84)取最小值。

试：(1) 计算最优状态反馈矩阵 K、代数黎卡提方程的解 ( 即 P矩阵 )和闭环系统的特征值 ( 即 E矩阵 )；(2) 画出最优控制系统结构框图；

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

16 9 12 1

t t t

x x u

( ) [1 0 0] ( )t ty x

T 2 T

0

300 0 0 01

[ ( ) 0 1 0 ( ) ( ) 2 ( ) 0 ( )]d2

0 0 1 1

t t t t t t

J x x u x u


6.72

线性二次型指标最优控制系统设计解：根据题意，编写MATLAB 程序时， [K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N) 所需要的入口参数 A、 B、 Q、 R、 N矩阵分别为

，

， R=1 ， (6.85)

完成题目要求的 MATLAB 程序如下：A=[0 1 0;0 0 1;-16 -9 -12];B=[0;0;1];Q=[300 0 0;0 1 0;0 0 1];R=1;N=[0;0;1];[K,P,E]=lqr(A,B,Q,R,N)上述程序执行后，计算出的最优状态反馈矩阵 K为 (6.86)那么，使系统线性二次型指标 J( 式 6.84) 取最小的最优控制为 (6.87)另外，代数黎卡提 (Riccati) 方程的解，即对称矩阵 P为

0 1 0

0 0 1

16 9 12

A

0

0

1

B

300 0 0

0 1 0

0 0 1

Q

0

0

1

N

7.5797 8.5922 1.6449K*( )u t

*1 2 3( ) 7.5797 ( ) 8.5922 ( ) 1.6449 ( )u t x t x t x t


6.73


(6.88)闭环系统特征方程的特征值为

， (6.89)上述特征值均具有负实部，根据自动控制理论，该闭环系统是渐近稳定的。根据以上计算，可得到状态反馈最优控制系统结构图如图 6.27 所示。

270.8183 113.743 7.5797

113.743 115.4651 8.5922

7.5797 8.5922 0.6449

P

1 12.3776 2,3 0.6337 1.2262i


6.74

习题6-1 在图 6.1 中，已知单位负反馈系统被控对象的传递函数为

试编写MATLAB 程序，设计系统的超前校正器，要求：(1) 在斜坡信号 r(t)=2t作用下，系统的稳态误差 ess≤0.002 ；(2) 校正后系统的相位裕度 Pm范围为： 45°～ 55° ；(3) 绘制系统校正前后的 Bode 图和阶跃响应曲线，并作简要分析。

( )(0.1 1)(0.001 1)

KG s

s s s

c ( )G s


6.75


试编写MATLAB 程序，设计系统的滞后校正器，要求：(1) 在斜坡信号 r(t)=t作用下，系统的稳态误差 ess≤0.01 ；(2) 校正后系统的相位裕度 Pm范围为： 40°～ 50° ；(3) 绘制系统校正前后的 Bode 图和阶跃响应曲线，并作简要分析。

( )(0.1 1)(0.02 1)

KG s

s s s

c ( )G s


6.76


试编写MATLAB 程序，设计系统的滞后 - 超前校正器，要求：(1) 在单位斜坡信号 r(t)=t作用下，系统的速度误差系数 Kv=20 ；(2) 校正后系统的实际相位裕量 Pm范围为： 42°～ 58° ；(3) 校正后系统的实际剪切频率 ≥ 1.3rad/s ；(4) 绘制系统校正前后的 Bode 图和阶跃响应曲线，并作简要分析。

1sc ( )G s

( )( 1)( 2)

KG s

s s s

c2


6.77

习题6-4 在图 6.1 中，已知受控对象为一个带延迟的惯性环节，其传递函数为

试编写MATLAB 程序，用 Ziegler-Nichols 经验整定公式中的两种方法，分别计算 P 、 PI 、 PID 控制器的参数，并进行阶跃响应仿真。

76( ) e

17 1sG s

s


6.78

习题6-5 设单输入单输出线性系统的状态方程为

使引入的线性二次型性能指标

取最小值。试编写MATLAB 程序，要求：(1) 计算最优状态反馈矩阵 K、代数黎卡提方程的解 ( 即 P矩阵 ) 和闭环系统的特征值 ( 即 E矩阵 ) ；(2) 画出最优控制系统结构框图。

0 1 0 0

( ) 0 0 1 ( ) 0 ( )

1 4 6 1

t t t

x x u

T 2

0

1 0 01

[ ( ) 0 1 0 ( ) ( )]d2

0 0 1

t t t t

J x x u

第 6 章 控制系统计算机辅助设计

Documents

第 6 章控制系统计算机辅助设计